人教数学A版高中数学同步训练之031数列与函数的极限(2)
高中数学人教A版选修1-1习题：第三章3.3-3.3.2函数的极值与导数 Word版含答案
第三章导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用3.3.2 函数的极值与导数A级基础巩固一、选择题1．可导“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．答案：B2．已知可导函数f(x)，x∈R，且仅在x＝1处，f(x)存在极小值，则( )A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0解析：因为f(x)在x＝1处存在极小值，所以x＜1时，f′(x)＜0，x＞1时，f′(x)＞0.答案：C3．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( )A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值解析：由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，当x＜－1或x＞3时，y′＞0；当－1＜x＜3时，y′＜0.故当x＝－1时，函数有极大值5；x取不到3，故无极小值．答案：C4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( ) A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，解得a＞6或a＜－3.答案：D5．设a∈R，若函数y＝e x＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( )A．a＜－1 B．a＞－1C．a＞－1eD．a＜－1e解析：y′＝e x＋a＝0，e x＝－a，因为x＞0，所以 e x＞1，即－a＞1，所以a＜－1.答案：A二、填空题6．函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．解析：f′(x)＝x2－6令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2，所以f(x)极大值＝f(－2)＝a＋42，f(x)极小值＝f(2)＝a－4 2.答案：a＋42，a－4 2.7．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处取极大值，在x＝3处取极小值，则a＝________，b＝________．解析：y′＝3x2＋2ax＋b，根据题意知，－1和3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系可求得a＝－3，b＝－9.经检验，符合题意．答案：－3 －98．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示．则下列说法中不正确的是________．①当x ＝32时，函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时，函数取得极小值； ④当x ＝1时，函数取得极大值．解析：由图象可知当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时，函数取得极小值，当x ＝1时，函数取得极大值．故只有①不正确．答案：① 三、解答题9．已知f (x )＝13x 3－12x 2－2x ，求f (x )的极大值与极小值．解：由已知得f (x )的定义域为R.f ′(x )＝x 2－x －2＝(x ＋1)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：↗↘↗因此，当x ＝－1时，f (x )取得极大值，且极大值为f (－1)＝3×(－1)3－2×(－1)2－2×(－1)＝76；当x ＝2时，f (x )取得极小值，且极小值为f (2)＝13×23－12×22－2×2＝－103.从而f (x )的极大值为76，极小值为－103.10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，求f (2)的值． 解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝10，f ′（1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＋1＝10，2a ＋b ＋3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3. 当a ＝4，b ＝－11时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－113.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0， 所以 f (x )在x ＝1处没有极值，不合题意． 综上可知f (2)＝18.B 级 能力提升1．等差数列{a n }中的a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，则log 2a 2 016的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为f ′(x )＝x 2－8x ＋6，且a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，所以a 1，a 4 031是方程x 2－8x ＋6＝0的两个实数根，则a 1＋a 4 031＝8.而{a n }为等差数列，所以a 1＋a 4 031＝2a 2 016，即a 2 016＝4，从而log 2a 2 016＝log 24＝2.故选A.答案：A2．若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )为三次函数，其导函数f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)为二次函数，要使函数f (x )既有极大值又有极小值，需f ′(x )＝0有两个不等的实数根，所以Δ＝(6a )2－4×3×3(a ＋2)>0，解得a <－1或a >2.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)3．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＝27＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1， 由此可知，x 取足够大的正数时， 有f (x )＞0，x 取足够小的负数时， 有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个定点．由(1)知f (x )最大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.因为曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， 所以f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0， 即527＋a ＜0或a －1＞0，所以a ＜－527或a ＞1， 所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．。
高中数学人教A版必修一同步练习2.3 函数的简单性质(函数的单调性)
高中数学人教A 版必修一同步练习2.3 函数的简单性质（函数的单调性）例题2-3-1、判断下列函数的单调性：(1) y ＝|32|2-+x x ； (2) y ＝x 2-||2x -3； (3) y ＝|1|122---x xx .例题2-3-2、用单调性定义证明：f (x )＝12+x x在[1，+∞)上是减函数.例题2-3-3、已知函数y ＝x +x1， (1)求定义域； (2)判断奇偶性；(3)求单调区间，并证明单调性.例题2-3-4、证明函数f (x )＝111122+++-++x x x x 在R 上是奇函数.例题2-3-5、证明：函数f (x )＝x 3在(-∞，]0上是增函数.例题2-3-6、求函数y ＝x x 20042-的单调递增区间.例题2-3-7、判断函数y ＝x 2+x1在(-∞，0)上的单调性.例题2-3-8、函数f (x )，x (-1，1)满足f (-x )＝-f (x )，且f (1-a )+f (1-a 2)＜0. 若f (x )是(-1，1)上的减函数，求实数a 的取值范围.例题2-3-9、已知y ＝f (x )是R 上的满足f (-x )＝- f (x )的函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f (x )＜0，问)(1)(x f x F ＝在(-∞，0)上是增函数还是减函数? 证明你的结论.例题2-3-10、若函数f (x )＝ax 2-2(a -2)x +1在区间[-1，3]上是单调函数，求实数a 的取值范围.高中数学人教A 版必修一同步练习2.3 函数的简单性质（函数的单调性）解析 例题2-3-1判断下列函数的单调性： (1) y ＝|32|2-+x x ； (2) y ＝x 2-||2x -3； (3) y ＝|1|122---x xx .1. 求函数单调性是基本问题，通过图像来解决非常直接.2. 本题涉及两个图像变换问题：(1) 把f (x )图像在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到上方去得到)(x f 的图像. (2) 把 f (x )图像在y 轴左侧的部分抹去，并把在y 轴右侧的部分沿y 轴翻折到左边来，并保留y 轴右侧的部分，就可得到y ＝f (x )的图像(一定是偶函数，关于y 轴对称).3. 解决绝对值问题有时需要讨论，去掉绝对值后解析式可化简，这样再研究函数的性质就方便了. 解：(1) 因为 y ＝|4)1(|2-+x 则可以画出此函数的图像，如图，由图像可得 当x ∈(-∞，-3]时，函数单调递减； 当x ∈(-3，-1]时，函数单调递增； 当x ∈(-1，1]时，函数单调递减； 当x ∈(1，+∞)时，函数单调递增.(2) 因为y ＝4)1|(|3||2||22----x x x ＝，所以此函数为偶函数，可以画出函数图像如图.(或由y ＝⎪⎩⎪⎨⎧-+-+----)0 ( 4)1( 32)0 ( 4)1( 322222＜＝＝x x x x xx x x 同样可以画出如图所示的函数图像)则可知当x ∈(-∞，-1)时，f (x )单调递减； 当x ∈[-1，0]时，f (x )单调递增； 当x ∈[0，1]时，f (x )单调递减；当x ∈(1，+∞)时，f (x )单调递增.(3) 因为y＝|1|122---x xx＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+--+--)0 1( 2112)2 1 ( 11222x x x x x x x x x x xx 且＜＝且＝此函数为分段函数，可以画出它的图像， 如图可知当x ∈(-∞，0)和x ∈(0，1)时，f (x )为增函数； 当x ∈(1，2)和x ∈(2，+∞)时，f (x )为减函数.例题2-3-2用单调性定义证明：f (x )＝12+x x在[1，+∞)上是减函数.y-3 -1 1 3 O-3xy 1 2-2xO ≥ ≥ ≠ ≠y -3 -1 1 O 4x(1) 任取：在单调区间内任取两个自变量x 1，x 2，且x 1＜x 2； (2) 作差：用x 1和x 2的函数值作差，即f (x 1)-f (x 2)；(3) 变形：作差后可以因式分解变为乘积或商的形式，也可以凑配成完全平方式； (4) 比较：判断f (x 1)-f (x 2)的符号，从而比较f (x 1)与f (x 2)的大小. 此方法用到了不等式中的一个重要的比较方法：求差比较法. 解：任取x 1，x 2∈[1，+∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)-f (x 2)＝(*))1)(1()1)(()1)(1(1122212112222122121221222211++--++--++-+x x x x x x x x x x x x x x x x x x ＝＝因为1≤x 1＜x 2，x 2 -x 1＞0且x 1x 2＞1.又因为121+x ＞0，122+x ＞0，所以(*)＞0，即f (x 1)＞f (x 2). 所以f (x )在[1，+∞)上是减函数.例题2-3-3 已知函数y ＝x +x1， (1)求定义域； (2)判断奇偶性；(3)求单调区间，并证明单调性.此题所涉及的函数是高中数学经常要遇到的函数，经过此题的讨论，我们可清楚地知道其大致性质，因此也能画出其大致图像，不妨试试看. 解：(1) x ≠0.(2) 因为)(11)(x f x x x x x f -⎪⎭⎫ ⎝⎛+----＝＝＝，所以f (x )为奇函数.(3) 任取x 1，x 2∈(-∞，0) (0，+∞) 且x 1＜x 2， 则22112111)()(x x x x x f x f --+-＝＝(*))1()()(212121211221x x x x x x x x x x x x ---+-＝.因为x 1，x 2∈(-∞，0) (0，+∞)且x 1＜x 2， ① 当x 1＜x 2＜-1时，x 1-x 2＜0，x 1x 2-1＞0，x 1x 2＞0， 所以(*)＜0，即f (x 1)＜f (x 2). 所以f (x )在(-∞，-1)上是增函数. ② 当-1≤x 1＜x 2＜0时，x 1-x 2＜0，x 1x 2-1＜0，x 1x 2＞0， 所以(*)＞0，即f (x 1)＞f (x 2). 所以f (x )在[-1，0]上是减函数. ③ 当0＜x 1＜x 2≤1时，x 1-x 2＜0，x 1x 2-1＜0，x 1x 2＞0， 所以(*)＞0，即f (x 1)＞f (x 2). 所以f (x )在(0，1)上是减函数. ④ 当x 2＞x 1＞1时，x 1-x 2＜0，x 1x 2-1＞0，x 1x 2＞0， 所以(*)＜0，即f (x 1)＜f (x 2).所以f (x )在(1，+∞)上是增函数.例题2-3-4证明函数f (x )＝111122+++-++x x x x 在R 上是奇函数.此题考查用定义证明函数的奇偶性，注意有时采用变通的办法更灵活，如证明：(1) f (-x ) +f(x )＝0⇒奇函数；(2) ⇒--1)()(＝x f x f 奇函数.证明： 因为R ∈x 又f (-x )＝111122+-+--+x x x x＝)]1(1)][1(1)][1(1[)]1(1)][1(1)][1(1[222222+++-++--+-++++++-+x x x x x x x x x x x x＝)11(2)11(222+++-++-x x x x x x＝111122+++-++-x x x x＝)(x f -.所以f (x )是R 上的奇函数.例题2-3-5证明：函数f (x )＝x 3在(-∞，]0上是增函数.证明(判断)函数在指定区间A 上的单调性应严格遵循五个步骤： (1) 设元：设x 1，x 2∈A ，且x 1＜x 2；(2) 作差：将函数值f (x 1)与f (x 2)作差；(3) 变形：对上述差值(因式分解，或配方等)变形；(4) 判号：对上述变形结果的正、负加以判断，从而看出f (x 1)，f (x 2)的大小； (5) 定论：确定f (x )的单调性.证明： 设x 1，x 2∈(-∞，]0，且x 1＜x 2， 则 f (x 1)-f (x 2)＝x 13-x 23＝(x 1-x 2)(x 12+x 1x 2+x 22)＝⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22221214321)(x x x x x .由x 1-x 2＜0，22121⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x ＞0，43x 22≥0，得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22221214321)(x x x x x ＜0，所以f (x 1)- f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2).所以，函数f (x )＝x 3在(-∞，]0上是增函数. 例题2-3-6求函数y ＝x x 20042-的单调递增区间.如果函数＝f (u )和u ＝g (x )在公共区间A 上都是单调函数，那么函数y ＝f [g (x )]在A 上也是单调函数，并且，若y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性相同(反)，则y ＝f [g (x )]是增(减)函数. 这一性质，我们简记为“同增异减”.解：首先，由x 2-2004x ≥0，得x ≤0，或x ≥2004.∴函数的定义域是(-∞，0] [2004，+∞). ①xy O1002 2004其次，由于函数y ＝u 在[0，+∞]上是增函数，所以，求函数y ＝x x 20042-的单调递增区间，只需求出函数u ＝x 2-2004x 的单调递增区间，且满足①.如图所示，函数u ＝x 2-2004x 的单调递增区间是[1002，+∞). ②由①、②知函数y ＝x x 20042-的单调递增区间是[2004，+∞).例题2-3-7 判断函数y ＝x 2+x1在(-∞，0)上的单调性. )、g (x )在区间A 上都是增(减)函数，则函数f (x )+g (x )在区间A 上也是增(减)函数. 应用这一性质解答数学问题时，易出错的地方是：忘记了A 是公共区间.将函数y ＝x 2+x 1拆成函数f (x )＝x 2与xx g 1)(=，依据f (x )、g (x )的单调性确定f (x )+g (x )的单调性，见下图.解：∵ f (x )＝x 2在(-∞，0)上是减函数，g (x )＝x1在(-∞，0)上也是减函数， ∴ y ＝f (x )+ g (x )在(-∞，0)上是减函数，即y ＝x 2+x1在(-∞，0)上是减函数. 例题2-3-8函数f (x )，x ∈(-1，1)满足f (-x )＝-f (x )，且f (1-a )+f (1-a 2)＜0. 若f (x )是(-1，1)上的减函数，求实数a 的取值范围. 是增(减)函数，且f [g (a )]＞f [)(a ϕ]，则a 的取值范围是{a |g (a )＞)(a ϕ}，或{a |g (a )＜)(a ϕ}. 解：首先，-1＜1-a ＜1，-1＜1-a 2＜1.由f (1-a )+f (1-a 2)＜0，得f (1-a )＜-f (1-a 2). ∵ f (-x )＝-f (x )，x ∈(-1，1)，∴ f (1-a )＜f (a 2-1).又∵ f (x )是(-1，1)上的减函数，∴⎪⎩⎪⎨⎧------,11,111,11122a a a a ＞＜＜＜＜ 即 ⎪⎩⎪⎨⎧--12,22,20＜＜＜＜＜＜a a a 且a ≠0，解得0＜a ＜1(参看右图). ∴实数a 的取值范围是(0，1).例题2-3-9已知y ＝f (x )是R 上的满足f (-x )＝- f (x )的函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f (x )＜0，问)(1)(x f x F ＝在(-∞，0)上是增函数还是减函数? 证明你的结论.满足f (-x )＝- f (x ) (或f (-x )＝f (x ))的函数在对称区间(-∞，0)与(0，+∞)上的单调性相同(反). 可以通过两个特殊的函数的图象帮助我们记忆，如图所示. 解：F (x )在(-∞，0)上是减函数.1 2-2 -22 yxOy ＝x 3yxOy ＝x 2任取x 1，x 2∈(-∞，0)，且x 1＜x 2， 则-x 1＞-x 2＞0.∵ y ＝f (x )在(0，+∞)上是增函数，且f (x )＜0， ∴ f (-x 2)＜f (-x 1)＜0. ① 又∵ f (-x )＝- f (x )， ∴ f (-x 2)＝- f (x 2)， ② f (-x 1)＝- f (x 1). ③ 由①、②、③，得f (x 2)＞f (x 1)＞0. 于是F (x 1)-F (x 2)＝)()()()(2112x f x f x f x f -＞0，即F (x 1)＞F (x 2).∴ )(1)(x f x F ＝在(-∞，0)上是减函数.例题2-3-10若函数f (x )＝ax 2-2(a -2)x +1在区间[-1，3]上是单调函数，求实数a 的取值范围. 对a 进行如下分类讨论： 解：① 当a ＝0，f (x )＝4x +1在[-1，3]是单调函数；② 当a ≠0时，f (x )是二次函数，若函数在区间[-1，3]上是单调函数，则对称轴 ∉-a a x 2＝(-1，3)，(如图所示)，即a a 2-≤-1，或aa 2-≥3， 解得-1≤a ＜0，或0＜a ≤1.综上，由①、②可知a 的取值范围是[-1，1].xyO1 3-1xyO 13-1。
【人教A版】高中数学同步辅导与检测必修1第一章1.3-1.3.1第2课时函数的最大(小)值
第一章 集合号函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大（小）值 第2课时 函数的最大（小）值A 级 基础巩固一、选择题1．函数y ＝1x －3在区间[4，5]上的最小值为( )A ．2 B.12C.13D ．－12解析：作出图象可知y ＝1x －3在区间[4，5]上是减函数，(图略)所以其最小值为15－3＝12.答案：B2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，1≤x ≤2，x ＋5，－1≤x <1，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．8，4B ．8，6C ．6，4D ．以上都不对解析：f (x )在[－1，2]上单调递增，所以最大值为f (2)＝8，最小值为f (－1)＝4.答案：A 3．函数f (x )＝11－x （1－x ）的最大值是( )A.54B.45C.43D.34解析：因为1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以11－x （1－x ）≤43，得f (x )的最大值为43.答案：C4．若函数y ＝ax ＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( )A ．2B ．－2C ．2或－2D ．0解析：a >0时，由题意得2a ＋1－(a ＋1)＝2，即a ＝2；a <0时，a ＋1－(2a ＋1)＝2，所以a ＝－2，所以，a ＝±2.答案：C5．已知f (x )＝x 2－2x ＋3在区间[0，t ]上有最大值3，最小值2，则t 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[0，2]C ．(－∞，2]D ．[1，2]解析：因为f (0)＝3，f (1)＝2，函数f (x )图象的对称轴为x ＝1，结合图象可得1≤t ≤2.答案：D 二、填空题6．函数f (x )＝x 2－4x ＋2，x ∈[－4，4]的最小值是________，最大值是________．解析：f (x )＝(x －2)2－2，作出其在[－4，4]上的图象知f (x )min ＝f (2)＝－2；f (x )max ＝f (－4)＝34.答案：－2 347．函数y ＝2|x |＋1的值域是________．解析：观察可知y >0，当|x |取最小值时，y 有最大值，所以当x ＝0时，y 的最大值为2，即0<y ≤2，故函数y 的值域为(0，2]．答案：(0，2]8．函数g (x )＝2x －x ＋1的值域为________．解析：令x ＋1＝t ，则x ＝t 2－1(t ≥0)，所以g (x )＝f (t )＝2(t 2－1)－t ＝2t 2－t －2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－178，因为t ≥0，所以当t ＝14时，f (t )取得最小值－178，所以g (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－178，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－178，＋∞ 三、解答题9．已知函数f (x )＝2x －1.(1)证明：函数在区间(1，＋∞)上为减函数； (2)求函数在区间[2，4]上的最值．(1)证明：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1－2x 2－1＝2（x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1）. 由于1<x 1<x 2，则x 2－x 1>0，x 1－1>0，x 2－1>0， 则f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在区间(1，＋∞)上为减函数．(2)解：由(1)可知，f (x )在区间[2，4]上递减，则f (2)最大，为2，f (4)最小，为23.10．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，x ∈[－1，1]，求函数f (x )的最小值．解：f (x )＝x 2－2ax ＋2＝(x －a )2＋2－a 2的图象开口向上，且对称轴为直线x ＝a .图① 图② 图③当a ≥1时，函数图象如图①所示，函数f (x )在区间[－1，1]上是减函数，最小值为f (1)＝3－2a ；当－1<a <1时，函数图象如图②所示，函数f (x )在区间[－1，1]上是先减后增，最小值为f (a )＝2－a 2；当a ≤－1时，函数图象如图③所示，函数f (x )在区间[－1，1]上是增函数，最小值为f (－1)＝3＋2a .综上，当a ≥1时，f (x )min ＝3－2a ； 当－1<a <1时，f (x )min ＝2－a 2； 当a ≤－1时，f (x )min ＝3＋2a .B 级 能力提升1．已知函数f (x )＝3－2|x |，g (x )＝x 2－2x ，构造函数F (x )，定义如下：当f (x )≥g (x )时，F (x )＝g (x )；当f (x )<g (x )时，F (x )＝f (x )，那么F (x )( )A ．有最大值3，最小值－1B ．有最大值3，无最小值C ．有最大值7－27，无最小值D ．无最大值，也无最小值解析：画图得到F (x )的图象：射线AC 、抛物线AB 及射线BD三段，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x 2－2x ，得x A ＝2－7，代入得F (x )的最大值为7－27，由图可得F (x )无最小值，从而选C.答案：C2．函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b ](a <b <3)有最大值9，最小值－7，则a ＝________，b ＝__________．解析：y ＝－(x －3)2＋18，因为a <b <3，所以函数y 在区间[a ，b ]上单调递增，即－b 2＋6b ＋9＝9，得b ＝0(b ＝6不合题意，舍去)－a 2＋6a ＋9＝－7，得a ＝－2(a ＝8不合题意，舍去)．答案：－2 03．已知函数f (x )＝ax －1x ，且f (－2)＝－32.(1)求f (x )的解析式；(2)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性并加以证明；(3)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值和最小值．解：(1)因为f (－2)＝－32，所以－2a ＋12＝－32，所以a ＝1，所以f (x )＝x －1x .(2)f (x )在(0，＋∞)上是增函数．证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1－x 2＋1x＝x 1－x 2＋x 1－x 2x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1x 2＝（x 1－x 2）（x 1x 2＋1）x 1x 2，因为0<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>0，x 1x 2＋1>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (3)由(2)知f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是增函数， 所以f (x )max ＝f (2)＝32，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－32.。
高二数学人教A版选择性必修第二册第五章5.3.2 第1课时 函数的极值同步练习及解析答案
高中数学人教A 版（新教材）选择性必修第二册5.3.2第1课时 函数的极值一、选择题1．设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( ) A ．－x 0是－f (－x )的极小值点 B ．对任意x ∈R ，f (x )≤f (x 0) C ．－x 0是f (－x )的极小值点 D ．x 0是－f (x )的极大值点2．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取到极大值，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(0，＋∞)C ．(0，1)D ．(－1，0)3．函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示则( )A ．12为f (x )的极大值点B ．－2为f (x )的极大值点C ．2为f (x )的极大值点D ．45为f (x )的极小值点4．当x ＝1时，三次函数有极大值4，当x ＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( ) A ．y ＝x 3＋6x 2＋9x B ．y ＝x 3－6x 2＋9x C ．y ＝x 3－6x 2－9xD ．y ＝x 3＋6x 2－9x5．已知a 为常数，函数f (x )＝x ln x －ax 2＋x 有两个极值点，则实数a 的取值范围为( ) A ．⎝⎛⎭⎫0，e2 B ．(0，e) C ．⎝⎛⎭⎫e 2，eD ．⎝⎛⎭⎫e 2，e 26．(多选题)定义在R 上的可导函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是( )A ．－3是f (x )的一个极小值点B ．－2和－1都是f (x )的极大值点C ．f (x )的单调递增区间是(－3，＋∞)D ．f (x )的单调递减区间是(－∞，－3)7．(多选题)若函数f (x )＝x 3＋2x 2＋a 2x －1有两个极值点，则a 的值可以为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 二、填空题8．已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 无极值，则实数c 的取值范围为________．9．若可导函数f (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则f ′(1)＝________，1是函数f (x )的________值．10．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )极大值与极小值之差为________．11．已知函数f (x )＝(x 2－mx －m )e x ＋2m (m ∈R ，e 是自然对数的底数)在x ＝0处取得极小值，则m ＝________，这时f (x )的极大值是________．12．已知函数f (x )＝x e 2x －1，则函数f (x )的极小值为________，零点有________个． 三、解答题13．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －1，曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝－8x ＋1. (1)求函数f (x )的解析式；(2)求y ＝f (x )在区间(－1，4)上的极值．14．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a ，b ，c 的值；(2)试判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由． 15．已知函数f (x )＝2x 2－kx ＋ke x (k ∈R )．(1)k 为何值时，函数f (x )无极值？(2)试确定k 的值，使f (x )的极小值为0.参考答案一、选择题 1．答案：A答案：对于A ，函数－f (－x )与函数f (x )的图象关于原点对称，因此－x 0是－f (－x )的极小值点；对于B ，极值是一个局部性概念，因此不能确定在整个定义域上f (x 0)是否最大；对于C ，函数f (－x )与函数f (x )的图象关于y 轴对称，因此－x 0是f (－x )的极大值点；对于D ，函数f (x )与函数－f (x )的图象关于x 轴对称，因此x 0是－f (x )的极小值点，故D 错误． 2．答案：D解析：∵f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若a <－1，∴f (x )在(－∞，a )上单调递减，在(a ，－1)上单调递增，∴f (x )在x ＝a 处取得极小值，与题意不符；若－1<a <0，则f (x )在(－1，a )上单调递增，在(a ，＋∞)上单调递减，从而在x ＝a 处取得极大值，符合题意；若a >0，则f (x )在(－1，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，与题意不符，故选D. 3．答案：A解析：对于A 选项，当－2＜x ＜12时，f ′(x )＞0，当12＜x ＜2时，f ′(x )＜0，12为f (x )的极大值点，A 选项正确； 对于B 选项，当x ＜－2时，f ′(x )＜0，当－2＜x ＜12时，f ′(x )＞0，－2为f (x )的极小值点，B 选项错误；对于C 选项，当12＜x ＜2时，f ′(x )＜0，当x ＞2时，f ′(x )＞0，2为f (x )的极小值点，C 选项错误；对于D 选项，由于函数y ＝f (x )为可导函数，且f ′⎝⎛⎭⎫45＜0，45不是f (x )的极值点，D 选项错误． 故选A. 4．答案：B解析：∵三次函数过原点，故可设为y ＝x 3＋bx 2＋cx ，∴y ′＝3x 2＋2bx ＋c . 又x ＝1，3是y ′＝0的两个根，∴⎩⎨⎧1＋3＝－2b 3，1×3＝c3，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－6，c ＝9，∴y ＝x 3－6x 2＋9x ， 又y ′＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)，∴当x ＝1时，f (x )极大值＝4 ， 当x ＝3时，f (x )极小值＝0，满足条件，故选B.] 5．答案：A解析：[f ′(x )＝ln x ＋2－2ax ，函数f (x )有两个极值点，则f ′(x )有两个零点，即函数y ＝ln x 与函数y ＝2ax －2的图象有两个交点，当两函数图象相切时，设切点为(x 0，y 0)，对函数y＝ln x 求导(ln x )′＝1x ，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝ln x 0，y 0＝2ax 0－2，1x 0＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－1，x 0＝1e ，a ＝e 2，要使函数图象有两个交点，则0＜2a ＜e ，即0＜a ＜e2.故选A.]6．答案：ACD解析：当x ＜－3时，f ′(x )＜0，x ∈(－3，＋∞)时f ′(x )≥0，∴－3是极小值点，无极大值点，增区间是(－3，＋∞)，减区间是(－∞，－3)．故选ACD. 7．答案：AB解析：∵f (x )＝x 3＋2x 2＋a 2x －1，∴f ′(x )＝3x 2＋4x ＋a 2.∵函数f (x )＝x 3＋2x 2＋a 2x －1有两个极值点，则f ′(x )＝3x 2＋4x ＋a 2与x 轴有两个交点， 即Δ＝42－4×3×a 2＞0解得－233＜a ＜233，故满足条件的有AB.故选AB.二、填空题8．答案：⎣⎡⎭⎫14，＋∞解析：∵f ′(x )＝x 2－x ＋c ，要使f (x )无极值，则方程f ′(x )＝x 2－x ＋c ＝0没有变号的实数解，从而Δ＝1－4c ≤0，∴c ≥14.9．答案：0 极大解析：[由题意可知，当x ＜1时，f ′(x )＞0，当x ＞1时，f ′(x )＜0， ∴f ′(1)＝0，1是函数f (x )的极大值．] 10．答案：4解析：求导得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，因为函数f (x )在x ＝2取得极值， 所以f ′(2)＝3·22＋6a ·2＋3b ＝0，即4a ＋b ＋4＝0. ① 又因为图象在x ＝1处的切线与直线6x ＋2y ＋5＝0平行， 所以f ′(1)＝3＋6a ＋3b ＝－3，即2a ＋b ＋2＝0， ②联立①②可得a ＝－1，b ＝0，所以f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)． 当f ′(x )＞0时，x ＜0或x ＞2；当f ′(x )＜0时，0＜x ＜2，∴函数的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，函数的单调减区间是(0，2)， 因此求出函数的极大值为f (0)＝0＋c ，极小值为f (2)＝－4＋c ， 故函数的极大值与极小值的差为0－(－4)＝4，故答案为4. 11．答案：0 4e －2解析：由题意知f ′(x )＝[x 2＋(2－m )x －2m ]e x ，由f ′(0)＝－2m ＝0，解得m ＝0， 则f (x )＝x 2e x ，f ′(x )＝(x 2＋2x )e x ，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－2，故函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－2)，(0，＋∞)，单调递减区间是(－2，0)， 所以函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，且有f (－2)＝4e －2. 12．答案：－12e－1 1解析：∵f (x )＝x e 2x －1，f ′(x )＝e 2x ＋2x e 2x ＝(1＋2x )e 2x ， 令f ′(x )＝0，可得x ＝－12，如下表所示：所以，函数y ＝f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12e －1，f (x )＝0⇒e 2x ＝1x， 则函数y ＝f (x )的零点个数等于函数y ＝e 2x 与函数y ＝1x的图象的交点个数，如图所示：两个函数的图象有且只有一个交点，即函数y ＝f (x )只有一个零点． 三、解答题13．解： (1)因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程的斜率k ＝f ′(x )|x ＝1＝f ′(1)＝3＋2a ＋b . 又因为k ＝－8，所以2a ＋b ＝－11. ① 又因为f (1)＝1＋a ＋b －1＝－8×1＋1， 所以a ＋b ＝－7， ②联立①②解得a ＝－4，b ＝－3. 所以f (x )＝x 3－4x 2－3x －1.(2)由(1)知，f ′(x )＝3x 2－8x －3＝3⎝⎛⎭⎫x ＋13(x －3)， 令f ′(x )＝0得，x 1＝－13，x 2＝3.当－1＜x ＜－13，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当－13≤x ＜3，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当3≤x ＜4，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以f (x )在区间(－1，4)上的极小值为f (3)＝－19，极大值为f ⎝⎛⎭⎫－13＝－1327. 14．解： f ′(x )＝3ax 2 ＋2bx ＋c ， (1)法一：∵x ＝±1是函数的极值点， ∴x ＝±1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根．由根与系数的关系知⎩⎨⎧－2b3a＝0， ①c3a ＝－1， ②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1，③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.法二：由f ′(1)＝f ′(－1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0， ① 3a －2b ＋c ＝0， ②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1， ③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)．当x ＜－1或x ＞1时f ′(x )＞0，当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0.∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数． ∴当x ＝－1时，函数取得极大值，x ＝－1为极大值点； 当x ＝1时，函数取得极小值，x ＝1为极小值点．15．解： (1)∵f (x )＝2x 2－kx ＋k e x ，∴f ′(x )＝－2x 2＋(k ＋4)x －2ke x .要使f (x )无极值，只需f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立即可． 设g (x )＝－2x 2＋(k ＋4)x －2k ，∵e x ＞0，∴f ′(x )与g (x )同号． ∵g (x )的二次项系数为－2，∴只能满足g (x )≤0恒成立，∴Δ＝(k ＋4)2－16k ＝(k －4)2≤0，解得k ＝4，∴当k ＝4时，f (x )无极值． (2)由(1)知k ≠4，令f ′(x )＝0，得x 1＝2，x 2＝k2.①当k2＜2，即k ＜4时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由题意知f ⎝⎛⎭⎫k 2＝0，可得2·⎝⎛⎭⎫k 22－k ·k 2＋k ＝0，∴k ＝0，满足k ＜4. ②当k2＞2，即k ＞4时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由题意知f (2)＝0，可得2×22－2k ＋k ＝0，∴k ＝8，满足k ＞4.综上，当k＝0或k＝8时，f (x)有极小值0.。
人教A版高中数学必修1 1.3.2 函数的最值 同步练习(第二课时)(2)(原卷)Word版
一．选择题1．函数f (x )在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大、最小值分别为( )A ．3，0B ．3，1C ．3，无最小值D ．3，－22.函数f (x )＝x ＋7 x ∈[－1，1），2x ＋6 x ∈[1，2]，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10，6B ．10，8C ．8，6D ．以上都不对3．函数y ＝x ＋的最值的情况为( )A ．最小值为21，无最大值B ．最大值为21，无最小值C ．最小值为21，最大值为2D ．无最大值，也无最小值4.已知21<－2a b <3，则函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在[－2,3]上的最大值为( )A ．f (－2)B ．f 2a bC ．f (3)D ．无最大值5.函数y ＝|x －3|－|x ＋1|有( )A ．最大值4，最小值0B ．最大值0，最小值－4C ．最大值4，最小值－4D ．最大值、最小值都不存在6.函数y ＝的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( )A．(－∞，0)∪(，2] B．(－∞，2]C．(－∞，)∪[2，＋∞) D．(0，＋∞)二．填空题7.已知若的定义域和值域都是，则．8．若f（x）＝（m－1）x2＋6mx＋2是偶函数，则f（0）、f（1）、f（－2）从小到大的顺序是__________.9．已知函数在上的最大值为，则的最小值为．10．设函数是，，三个函数中的最小值，则的最大值为．三．解答题11.已知二次函数f（x）＝ax2＋4ax＋1在区间[－4，3]上的最大值为5，求a的值．12.要建造一个容积为1 600立方米，深为4米的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为每平方米200元，池底的造价为每平方米100元．（1）把总造价y元表示为池底的一边长x米的函数；（2）由于场地原因，蓄水池的一边长不能超过20米，问蓄水池的这个底边长为多少时总造价最低？总造价最低是多少？。
高考数学第一轮总复习 031数列与函数的极限(2)精品同步练习 新人教A版 试题
g3.1031数列与函数的极限（2）1．11lim 21+-→x x x 2．=+-+→)81221(lim 32x x x A ．0 B.21 C.1 D.21- 3．若1)12(lim 2=--+∞→nb n n a n ，则ab 的值是 A ．4224．下列各式不正确的是（ ）A ．321332lim 22=++-∞→x x x xB ．013124lim 42=+-+∞→x x x x C ．417812lim 23=++∞→x x x x D ．6131lim 93lim 323=+=--→→x x x x x 5．给出下列命题（1）若函数f(x)在x 0处无定义，则)(lim 0x f x x →必不存在； （2）)(lim 0x f x x →是否存在与函数f(x)在x 0处是否有定义无关； （3）)(lim 0x f x x +→与)(lim 0x f x x -→都存在，则)(lim 0x f x x →也存在； （4）若)(lim 0x f x x →不存在，则[]2)(lim 0x f x x →必定不存在. 正确的命题个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．36.（05全国卷Ⅲ）22111lim 3243x x x x x →⎛⎫-= ⎪-+-+⎝⎭( ) A 12-B 12C 16-D 167. （05某某卷）若1)11(lim 21=---→x b x a x ，则常数b a ,的值为（） A ．4,2=-=b a B ．4,2-==b a C ．4,2-=-=b a D ．4,2==b a8.（04年某某卷.3）函数2322,2()42,2x x f x x x x a+⎧>-⎪=--⎨≤⎪⎩在2x =处连续，则a =（ ） A. 13 B.14 C.14- D. 12-9.（04年某某卷.理14）设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=)0( )0(11)(x a x x x x f 在0=x 处连续，则实数a 的值为.10．._____)51()1(lim 5250=++-+→xx x x x 11．11lim 1--→n m x x x (m 和n 为自然数)=________. 12．xx x )1ln(lim 0+→=_______. 13．若f(x)=1)1(122+--x x x 的极限为1，则x 的变化趋向是______.14．（1）933lim 23--+-→x x x x = （2）11lim 22---++∞→x x x x x =15．讨论函数f(x)=1, 00, 0, 1, 0x x x x x -<⎧⎪=⎨⎪+>⎩当0x →时的极限与在x=0处的连续性.24)(2--=x x x f 的连续性；适当定义某点的函数值，使)(x f 在区间(－3,3)内连续。
(11)人教A版必修一同步训练1.3.1.第二课时 函数的最大(小)值
1.3.1. 第二课时 函数的最大（小）值1、函数f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0,3]上的最大值为( )A ．9B ．9(1－a )C ．9－aD ．9－a 21、解、选A.x ∈[0,3]时f (x )为减函数，f (x )max ＝f (0)＝9.2、函数y ＝x ＋1－x －1的值域为( ) A ．(－∞， 2 ] B ．(0， 2 ] C ．[2，＋∞) D ．[0，＋∞)2、解、选B.y ＝x ＋1－x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0x －1≥0，∴x ≥1.∵y ＝2x ＋1＋x －1为[1，＋∞)上的减函数，∴f (x )max ＝f (1)＝2且y ＞0.3、函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2在[0，a ]上取得最大值3，最小值2，则实数a 为( ) A ．0或1 B ．1 C ．2 D ．以上都不对3、解、选B.因为函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2＝(x －a )2－a 2＋a ＋2, 对称轴为x ＝a ，开口方向向上，所以f (x )在[0，a ]上单调递减，其最大值、最小值分别在两个端点处取得，即f (x )max ＝f (0)＝a ＋2＝3，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋a ＋2＝2.故a ＝1.4、函数f (x )＝x 2在[0,1]上的最小值是( )A ．1B ．0 C.14D ．不存在4、解、选B.由函数f (x )＝x 2在[0,1]上的图象(图略)知，f (x )＝x 2在[0,1]上单调递增，故最小值为f (0)＝0.5、函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]x ＋7，x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对5、解、选A.f (x )在x ∈[－1,2]上为增函数，f (x )max ＝f (2)＝10，f (x )min ＝f (－1)＝6.6、函数y ＝－x 2＋2x 在[1,2]上的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．不存在6、解、选A.因为函数y ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1.对称轴为x ＝1，开口向下，故在[1,2]上为单调递减函数，所以y max ＝－1＋2＝1.7、函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( )A ．2 B.12 C.13 D ．－127、解、选B.函数y ＝1x －1在[2,3]上为减函数，∴y min ＝13－1＝12.8、某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x ，其中销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )A ．90万元B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元8、解、选C.设公司在甲地销售x 辆(0≤x ≤15，x 为正整数)，则在乙地销售(15－x )辆，∴公司获得利润L ＝－x2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30.∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元，故选C.9、已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．29、解、选C.f (x )＝－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2＋4＋a .∴函数f (x )图象的对称轴为x ＝2，∴f (x )在[0,1]上单调递增．又∵f (x )min ＝－2，∴f (0)＝－2，即a ＝－2.f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.10、已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1.则xy 的最大值为________．10、解、y 4＝1－x 3，∴0＜1－x 3＜1,0＜x ＜3.而xy ＝x ·4(1－x 3)＝－43(x －32)2＋3.当x ＝32，y ＝2时，xy 最大值为3.答案：311、函数y ＝2x 2＋2，x ∈N *的最小值是________．11、解析：∵x ∈N *，∴x 2≥1，∴y ＝2x 2＋2≥4，即y ＝2x 2＋2在x ∈N *上的最小值为4，此时x ＝1. 答案：412、已知函数f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[1，a ]，并且f (x )的最小值为f (a )，则实数a 的取值范围是________． 12、解析：由题意知f (x )在[1，a ]上是单调递减的，又∵f (x )的单调减区间为(－∞，3]，∴1<a ≤3. 答案：(1,3]13、函数f (x )＝xx ＋2在区间[2,4]上的最大值为________；最小值为________．13、解、∵f (x )＝x x ＋2＝x ＋2－2x ＋2＝1－2x ＋2，∴函数f (x )在[2,4]上是增函数，∴f (x )min ＝f (2)＝22＋2＝12，f (x )max ＝f (4)＝44＋2＝23.答案：23 1214、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－12≤x ≤1 1x 1＜x ≤2，求f (x )的最大、最小值．14、解：当－12≤x ≤1时，由f (x )＝x 2，得f (x )最大值为f (1)＝1，最小值为f (0)＝0；当1＜x ≤2时，由f (x )＝1x ，得f (2)≤f (x )＜f (1)，即12≤f (x )＜1.综上f (x )max ＝1，f (x )min ＝0.15、某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？15、解：(1)当每辆车的月租金为3600元时，未租出的车辆数为3600－300050＝12.所以这时租出了88辆车．(2)设每辆车的月租金为x 元．则租赁公司的月收益为f (x )＝(100－x －300050)(x －150)－x －300050×50，整理得f (x )＝－x 250＋162x －21000＝－150(x －4050)2＋.所以，当x ＝4050时，f (x )最大，最大值为f (4050)＝.即当每辆车的月租金为4050元时，租赁公司的月收益最大．最大月收益为元．16、求f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值．16、解：f (x )＝(x －a )2－1－a 2，对称轴为x ＝a .①当a ＜0时，由图①可知，f (x )min ＝f (0)＝－1，f (x )max ＝f (2)＝3－4a .②当0≤a ＜1时，由图②可知，f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (2)＝3－4a .③当1≤a ≤2时，由图③可知，f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (0)＝－1. ④当a ＞2时，由图④可知f (x )min ＝f (2)＝3－4a ，f (x )max ＝f (0)＝－1.综上所述，当a ＜0时，f (x )min ＝－1，f (x )max ＝3－4a ；当0≤a ＜1时，f (x )min ＝－1－a 2，f (x )max ＝3－4a ；当1≤a ≤2时，f (x )min ＝－1－a 2，f (x )max ＝－1；当a ＞2时，f (x )min ＝3－4a ，f (x )max ＝－1.17、已知函数f (x ) = x 2– 2x – 3，若x [t ，t +2]时，求函数f (x )的最值.17、解：∵对称轴x = 1，（1）当1≥t +2即t ≤–1时， f (x )max = f (t ) = t 2–2t –3， f (x )min = f (t +2) = t 2 +2t –3. （2）当22t t ++≤1＜t +2，即–1＜t ≤0时， f (x )max = f (t ) = t 2–2t –3， f (x )min = f (1) = – 4. （3）当t ≤1＜22t t ++，即0＜t ≤1， f (x )max = f (t +2) = t 2+ 2t – 3， f (x )min = f (1) = – 4. （4）当1＜t ，即t ＞1时， f (x )max = f (t +2) = t 2+2t –3， f (x )min = f (t ) = t 2–2t –3.设函数最大值记为g (t )，最小值记为ϕ(t )时，则有g (t ) =2223,(0)23,(0)t t t t t t ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩2223,(1)()4,(11)23,(1)t t t t t t t t ϕ⎧--≤-⎪=--<≤⎨⎪-->⎩18、、甲、乙两地相距s km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固 定部分组成，可变部分与速度x (km / h)的平方成正比，比例系数为a ，固定部分为b 元，请问，是不是汽车的行驶速度越快，其全程成本越小？如果不是，那么为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？18、分析：根据汽车运输成本y 元与行驶速度x km / h 之间的关系，建立函数模型，结合函数式的特点，运用函数有关知识去解决.解：设汽车运输成本为y 元，依题意得汽车运输成本y 与汽车行驶速度x 之间的关系为：y = b ·s x + ax 2·s x.∴y = s (a x +b x ) . （其中x (0，+∞). 即将此时的问题转化成：“函数y = s (ax +b x)是否随着x 的不断增大而减小？当x 取何值时，y 取最小值？”下面讨论函数y = s (ax +bx)[x (0，+∞)，a ＞0，b ＞0]在其定义域内的单调性.设x 1，x 2 (0，+∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1) – f (x 2) = s [(ax 1 +1bx )– (ax 2 +2b x )]= s [a (x 1– x 2) +2112()b x x x x -]=121212()()s x x ax x b x x --=121212()()bas x x x x a x x -- ∵x 1，x 2＞0，且x 1＜x 2∴x 1x 2＞0，a (x 1 – x 2)＜0∴当x 1，x 2 (0时，x 1，x 2＜b a ，x 1x 2 –ba＜0，∴f (x 1)＞f (x 2)，当x 1，x 2+∞]时，x 1x 2＞b a ，x 1x 2 –b a ＞0，∴f (x 1)＜ f (x 2).综上所述，我们看到函数y = s (ax +bx) (a ＞0，b ＞0)并不是整个区间（0，+∞）上是随着x 的不断增大而减小的，而且由上述分析可看出当xy 取得最小值即y min =2. 那么，在这个实际问题当中可回答为：并不是汽车的行驶速度越快，其全程运输成本越小；并且为了使全程运输成本最小，汽车应以x的速度行驶. 19、 已知函数f (x ) =22x x ax++，x ∈[1，+∞).（Ⅰ）当a =12时，求函数f (x )的最小值；（Ⅱ）若对任意x∈[1，+∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围. 19、分析：对于（1），将f (x )变形为f (x ) = x +2 +a x = x +12x+2，然后利用单调性求解. 对于（2），运用等价转化220x x a x ++>(x [1，+∞)恒成立，等价于x 2+ 2x + a ＞0 恒成立，进而解出a 的范围.解：（1）当a =12时，f (x ) = x +12x +2因为f (x )在区间[1，+∞）上为增函数，所以f (x )在区间[1，+∞）上的最小值为f (1) =72.（2）解法一：在区间[1，+∞）上，f (x ) =220x x a x++>恒成立⇔x 2+ 2x + a ＞0恒成立.设y = x 2 +2x +a ，∵(x + 1) 2+ a –1在[1，+∞)上递增.∴当x =1时，y min =3 + a ，于是当且仅且y min =3 + a ＞0时，函数f (x )＞0恒成立， ∴a ＞–3. 解法二：f (x ) = x +ax+2 x [1，+∞).当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正；当a ＜0时，函数f (x )递增. 故当x =1时，f (x )min = 3+a .于是当且仅当f (x )min =3 +a ＞0时，函数f (x )＞0恒成立. 故a ＞–3.20、 已知函数f (x )对任意x ，y R ，总有f (x ) + f ( y ) = f (x + y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1) =23-.（1）求证f (x )是R 上的减函数；（2）求f (x )在[–3，3]上的最大值和最小值. 20、分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用. 证明：（1）令x = y =0，f (0) = 0，令x = – y 可得： f (–x ) = – f (x )， 在R 上任取x 1＞x 2，则f (x 1) – f (x 2) = f (x 1) + f (– x 2) = f (x 1–x 2).∵x 1＞x 2，∴x 1–x 2＞0. 又∵x ＞0时，f (x )＜0，∴f (x 1–x 2)＜0， 即f (x 1) – f (x 2)＞0.由定义可知f (x )在R 上为单调递减函数.（2）∵f (x )在R 上是减函数，∴f (x )在[–3，3]上也是减函数， ∴f (–3)最大，f (3)最小.f (3) = f (2) +f (1) = f (1) + f (1) + f (1) =3×(23-) = –2. ∴f (–3) = – f (3) =2.即f (–3)在[–3，3]上最大值为2，最小值为–2.。
2019新人教A版高中数学 必修第一册课时同步训练 第三章函数概念与性质3.2.1.2函数的最大值最小值含解析
函数的最大值、最小值(15分钟35分)1.函数y=x2+2x-1在[0，3]上的最小值为( )A.0B.-4C.-1D.-2【解析】选C.因为y=x2+2x-1=(x+1)2-2，其图象的对称轴为直线x=-1，所以函数y=x2+2x-1在[0，3]上单调递增，所以当x=0时，此函数取得最小值，最小值为-1.2.函数f(x)=的最大值是( )A. B. C. D.【解析】选D.令t=1-x(1-x)=+≥，所以0<f(x)≤，即f(x)的最大值为.3.(2020·海淀高一检测)设函数f(x)=4x+-1(x<0)，则f(x) ( )A.有最大值3B.有最小值3C.有最小值-5D.有最大值-5【解析】选D.当x<0时，f(x)=4x+-1=-(-4x)+-1≤-2-1=-5.当且仅当-4x=-，即x=-时，上式取等号.所以f(x)有最大值为-5.4.(2020·成都高一检测)函数f(x)=2x-的最小值为_______. 【解析】因为f(x)=2-2=2-，所以f(x)min=f=-.答案：-5.对于函数f(x)，在使f(x)≥M恒成立的所有实数M中，我们把M的最大值M max叫做函数f(x)的下确界，则对于a∈R，f(a)=a2-4a+6的下确界为_______.【解析】f(a)=a2-4a+6，f(a)≥M，即f(a)min≥M.而f(a)=(a-2)2+2，所以f(a)min=f(2)=2.所以M≤2.所以M max=2.答案：26.(2020·温州高一检测)已知函数f(x)=x2+.求函数f(x)在区间[-3，-1]上的最值.【解析】∀x1，x2∈[-3，-1]，且-3≤x1<x2≤-1，f(x1)-f(x2)=-=(x1-x2)(x1+x2)-，又由-3≤x1<x2≤-1，得x1-x2<0，-6<x1+x2<-2，4<(x1-1)(x2-1)<16，则有(x1+x2)-<0，则有f(x1)-f(x2)>0，故函数f(x)在区间[-3，-1]上单调递减，故f(x)max=f(-3)=4，f(x)min=f(-1)=-.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x(其中销售量x单位：辆).若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为 ( )A.90万元B.60万元C.120万元D.120.25万元【解析】选C.设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15-x)辆，公司获利为L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30=-+30+，所以当x=9或10时，L最大为120万元.2.函数y=x+的最值的情况为( )A.最小值为，无最大值B.最大值为，无最小值C.最小值为，最大值为2D.最大值为2，无最小值【解析】选A.因为y=x+在定义域，+∞上是增函数，所以函数最小值为，无最大值.3.(2020·连云港高一检测)已知a>，则函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是( )A.a2+1B.a+C.a-D.a-【解析】选D.函数f(x)=x2+|x-a|=当x≥a>时，函数f(x)=x2+x-a的对称轴方程为x=-，函数在[a，+∞)上单调递增，其最小值为a2；当x<a时，f(x)=x2-x+a的对称轴方程为x=，当x=时函数求得最小值为a-. 因为a2-=a2-a+=>0.所以a2>a-.所以函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是a-.4.(2020·无锡高一检测)若关于x的不等式x2-mx+4>0在x∈[1，3]上有解，则实数m的取值范围为( )A.(-∞，5)B.(-∞，5]C.(-∞，4)D.(-∞，-4)∪(4，+∞)【解析】选A.关于x的不等式x2-mx+4>0在x∈[1，3]上有解，即m<x+在x∈[1，3]上能成立.设f(x)=x+，则f(x)在(0，2]上单调递减，在[2，+∞)上单调递增，故当x=2时，f(x)取得最小值4，又f(1)=5，f(3)=，故当x=1时，函数f(x)取得最大值.则实数m<5.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5.下列关于函数y=ax+1，x∈[0，2]的说法正确的是( )A.当a<0时，此函数的最大值为1，最小值为2a+1B.当a<0时，此函数的最大值为2a+1，最小值为1C.当a>0时，此函数的最大值为1，最小值为2a+1D.当a>0时，此函数的最大值为2a+1，最小值为1【解析】选AD.当a<0时，函数y=ax+1在区间[0，2]上单调递减，当x=0时，函数取得最大值为1；当x=2时，函数取得最小值为2a+1.当a>0时，函数y=ax+1在区间[0，2]上单调递增，当x=0时，函数取得最小值为1，当x=2时，函数取得最大值为2a+1.6.函数y=(x≠1)的定义域为[2，5)，下列说法正确的是( )A.最小值为B.最大值为4C.无最大值D.无最小值【解析】选BD.函数y==1+在[2，5)上单调递减，即在x=2处取得最大值4，由于x=5取不到，则最小值取不到.三、填空题(每小题5分，共10分)7.二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3，则a=_______.【解析】根据题意，二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3，则解得a=-1.答案：-18.(2020·杭州高一检测)对于任意的实数x1，x2，min{x1，x2}表示x1，x2中较小的那个数，若f(x)=2-x2，g(x)=x，则集合{x|f(x)=g(x)}=_______；min{f(x)，g(x)}的最大值是_______. 【解析】由题作出函数f(x)，g(x)的图象，令f(x)=g(x)，即2-x2=x，解得x=-2或x=1，则集合{x|f(x)=g(x)}={-2，1}，由题意及图象得min{f(x)，g(x)}=由图象知，当x=1时，min{f(x)，g(x)}最大，最大值是1.答案：{-2，1} 1四、解答题(每小题10分，共20分)9.若函数y=f(x)=x2-6x+10在区间[0，a]上的最小值是2，求实数a的值.【解析】由题意知，f(x)=x2-6x+10=(x-3)2+1，(1)若a≥3，f(x)min=f(3)=1，不符合题意；(2)若0<a<3，f(x)在[0，a]上单调递减，所以f(x)min=f(a)=2，所以a=2或a=4，因为0<a<3，所以a=2.综上所述，a=2.10.(2020·太原高一检测)已知函数f(x)=，g(x)=x-1.(1)求解不等式f(x)≥g(x).(2)若x>，求y=3f(x)+2g(x)的最小值.【解析】(1)当x>时，由f(x)≥g(x)，得(2x-1)(x-1)≤3，解得<x≤2. 当x<时，由f(x)≥g(x)，得(2x-1)(x-1)≥3，解得x≤-.所以不等式f(x)≥g(x)的解集为x<x≤2或x≤-.(2)因为y=3f(x)+2g(x)，x>，所以3f(x)+2g(x)=+2-1≥2-1=5，当且仅当4=9，即x=2时取等号，故当x>时，函数y=3f(x)+2g(x)的最小值为5.【补偿训练】已知函数f(x)=ax2+2x+c(a，c∈N*)，满足：①f(1)=5；②6<f(2)<11.(1)求a，c的值.(2)设g(x)=f(x)-2x-3+|x-1|，求g(x)的最小值.【解析】(1)f(1)=a+2+c=5，f(2)=4a+4+c∈(6，11)，又c=5-2-a=3-a，所以4a+4+3-a=3a+7∈(6，11)，所以-<a<，又a∈N*，所以a=1，c=2.(2)因为f(x)=x2+2x+2，所以g(x)=f(x)-2x-3+|x-1|=x2+2x+2-2x-3+|x-1|=x2+|x-1|-1，当x≥1时，g(x)=x2+x-2，此时g(x)在[1，+∞)上单调递增，所以g(x)min=g(1)=1+1-2=0，当x<1时，g(x)=x2-x，g(x)在上单调递减，在上单调递增，所以g(x)min=g=-=-，又-<0，所以g(x)min=g=-.1.当x∈(1，2)时，不等式x2+mx+4<0恒成立，则m的取值范围是_______.【解析】设f(x)=x2+mx+4，则f(x)图象开口向上，对称轴为x=-.(1)当-≤1时，即m≥-2时，满足f(2)=4+2m+4≤0，所以m≤-4，又m≥-2，所以此时无解.(2)当-≥2，即m≤-4时，需满足f(1)=1+m+4≤0，所以m≤-5，又m≤-4，所以m≤-5.(3)当1<-<2，即-4<m<-2时，需满足此时无解.综上所述，m≤-5.答案：m≤-52.(2020·永州高一检测)已知≤a≤1，若函数f(x)=ax2-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)=M(a)-N(a).(1)求g(a)的函数解析式.(2)不要证明，请直接写出函数g(a)的单调区间，并求g(a)的最大值.【解析】(1)根据题意，f(x)=ax2-2x+1=a+1-，由≤a≤1得1≤≤3，则N(a)=f=1-，当1≤<2，即<a≤1时，M(a)=f(3)=9a-5；当2≤≤3，即≤a≤时，M(a)=f(1)=a-1，则g(a)=(2)g(a)在上单调递减，在上单调递增，且g(a)的图象连续不断；又g=，g(1)=4，所以g(a)的最大值是g(1)=4.【补偿训练】1.已知函数f(x)=x2+ax+a2+1(a∈R)，设f(x)在[-1，1]上的最大值为g(a)，(1)求g(a)的表达式.(2)是否存在实数m，n，使得g(a)的定义域为[m，n]，值域为[5m，5n]？如果存在，求出m，n的值；如果不存在，请说明理由.【解析】(1)因为函数f(x)图象的对称轴为x=-，所以当-≤0，即a≥0时，g(a)=f(x)max=f(1)=a2+a+2；当->0，即a<0时，g(a)=f(x)max=f(-1)=a2-a+2.所以g(a)=(2)假设存在符合题意的实数m，n，则由(1)可知，当a∈R时，g(a)∈[2，+∞).所以若a∈[m，n]，有g(a)∈[5m，5n]，则0<m<n.所以g(a)=a2+a+2，且为单调递增函数.所以所以2.对于区间[a，b]和函数y=f(x)，若同时满足：①f(x)在[a，b]上是单调函数；②函数y=f(x)，x∈[a，b]的值域还是[a，b]，则称区间[a，b]为函数f(x)的“不变”区间.(1)求函数y=x2(x≥0)的所有“不变”区间.(2)函数y=x2+m(x≥0)是否存在“不变”区间？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.【解析】(1)易知函数y=x2(x≥0)单调递增，故有解得a=0或1，b=0或1，又a<b，所以所以函数y=x2(x≥0)的“不变”区间为[0，1].(2)易知函数y=x2+m(x≥0)单调递增，若函数y=x2+m(x≥0)存在“不变”区间，则有b>a≥0，且消去m得a2-b2=a-b，整理得(a-b)(a+b-1)=0.因为a<b，所以a+b-1=0，即b=1-a.又由b>a≥0，得1-a>a≥0，所以0≤a<.所以m=-a2+a=-+，所以0≤m<.综上，当0≤m<时，函数y=x2+m(x≥0)存在“不变”区间.。
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数列与函数的极限（2）
1．1
1lim 21+-→x x x 的值为 A ．不存在 B.2 C.0 D.1 2．=+-+→)81221(lim 32x x x A ．0 B.21 C.1 D.2
1- 3．若1)12(lim 2=--+∞
→nb n n a n ，则ab 的值是 A ．42 B.82 C. 8 D.16
4．下列各式不正确的是（ ）
A ．321332lim 22=++-∞→x x x x
B ．01
3124lim 42=+-+∞→x x x x C ．417812lim 23=++∞→x x x x D ．6
131lim 93lim 323=+=--→→x x x x x 5．给出下列命题
（1）若函数f(x)在x 0处无定义，则)(lim 0
x f x x →必不存在； （2）)(lim 0
x f x x →是否存在与函数f(x)在x 0处是否有定义无关； （3）)(lim 0x f x x +→与)(lim 0x f x x -→都存在，则)(lim 0
x f x x →也存在； （4）若)(lim 0x f x x →不存在，则[]2
)(lim 0
x f x x →必定不存在. 正确的命题个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
6.（05全国卷Ⅲ）22111lim 3243x x x x x →⎛⎫-= ⎪-+-+⎝⎭
( ) A 12-
B 12
C 16-
D 16
7. （05湖北卷）若1)11(lim 21=---→x b x a x ，则常数b a ,的值为 （） A ．4,2=-=b a B ．4,2-==b a C ．4,2-=-=b a D ．4,2==b a
8.（04年广东卷.3）函数2322,2()42,2x x f x x x x a
+⎧>-⎪=--⎨≤⎪⎩在2x =处连续，则a =（ ） A. 13 B.
14 C. 14- D. 12
-
9.（04年福建卷.理14）设函数⎪⎩
⎪⎨⎧=≠-+=)0( )0(11)(x a x x x x f 在0=x 处连续，则实数a 的值为 .
10．._____)51()1(lim 5
250=++-+→x x x x x 11．1
1lim 1--→n m x x x (m 和n 为自然数)=________. 12．x
x x )1ln(lim 0+→=_______. 13．若f(x)=1)1(1
22+--x x x 的极限为1，则x 的变化趋向是______.
14．（1）93
3lim 23--+-→x x x x = （2）11lim 22---++∞→x x x x x =
15．讨论函数f(x)=1, 00, 0, 1, 0x x x x x -<⎧⎪=⎨⎪+>⎩
当0x →时的极限与在x=0处的连续性.
16.讨论函数2
4)(2--=x x x f 的连续性；适当定义某点的函数值，使)(x f 在区间(－3,3)内连续。
17.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+-<=)51()1(log )11()2()1(2)(2
x x x x x x x f
(1) 讨论f(x)在点x=-1,0,1处的连续性；（2）求f(x)的连续区间。
同步练习031 1—6、CDACACB.
8、1
.
2
9、10. 10、
()
1()
m
m n
n
m n
⎧
≠
⎪
⎨
⎪=
⎩
11、1. 12、0.
x x
→→+∞
或 13、（1）
0；（2）1.
14、当0()
x f x
→时，无极限，从而在x=0处不连续.
15、()
f x∞∞
在区间(-,2)和(2,+)连续，在点x=2不连续；
若定义
24
(2)
(),()
2
4(2)
x
x
f x f x
x
x
⎧-
≠
⎪
=-
⎨
⎪=
⎩
则在区间（-3，3）内连续.
16、（略）。