2020年四川省宜宾市高考数学二诊试卷(理科)(含解析)

2020年四川省宜宾市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.设i是虚数单位，则(2+3i)(3−2i)=()A.13B.5iC.6−6iD.12+5i2.已知集合A＝{−2, −1, 0, 1, 2}，B＝{x|x2−x−6<0}，则A∩B＝（）A.{−2, −1, 0, 1, 2, 3}B.{−2, −1, 0, 1, 2}C.{−1, 0, 1, 2}D.{−2, −1, 0, 1, }3.2020年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎．为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人民团结一心抗击疫情．如图表示1月21日至3月7日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数，则下列中表述错误的是（）A.2月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势B.随着全国医疗救治力度逐渐加大，2月下旬单日治愈人数超过确诊人数C.2月10日至2月14日新增确诊人数波动最大D.我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在2月12日左右达到峰值4.已知双曲线x2a2−y2b2=1的一条渐近线方程为y=43x，则双曲线的离心率为（）A.54B.53C.34D.325.20世纪产生了著名的“3x+1”猜想：任给一个正整数x，如果x是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如图是验证“3x +1”猜想的一个程序框图，若输入正整数m 的值为40，则输出的n 的值是（ ）A.11B.10C.9D.86.在△ABC 中，角A 的平分线交边BC 于D ，AB =4，AC =8，BD =2，则△ABD 的面积是() A.√15 B.3√15C.1D.37.1x (1−2x)7的展开式中x 2的系数为（ ） A.−84 B.84 C.−280 D.2808.定义在[−2, 2]上的函数f(x)与其导函数f′(x)的图象如图所示，设O 为坐标原点，A ，B ，C ，D 四点的横坐标依次为−12，−16，1，43，则函数y =f(x)e x的单调递减区间是()A.(−16, 43) B.(−12, 1)C.(−12, −16)D.(1, 2)9.某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点A(1, 0)作x 轴的垂线与曲线y =e x 相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y轴相交于点C（如图），然后向矩形OABC内投入M粒豆子，并统计出这些豆子在曲线y=e x上方的有N粒(N<M)，则无理数e的估计值是()A.NM−N B.MM−NC.M−NND.MN10.若函数f(x)=|lnx|满足f(a)=f(b)，且0<a<b，则4a2+b2−44a+2b的最小值是()A.0B.1C.32D.2√211.M是抛物线y2＝4x上一点，N是圆(x−1)2+(y−2)2＝1关于直线x−y−1＝0的对称圆上的一点，则MN|的最小值是（）A.√112−1 B.√3−1 C.2√2−1 D.3212.若函数f(x)=x2+2x−mcos(x+1)+m2+3m−7有且仅有一个零点，则实数m的值为()A.−3−√372B.−3+√372C.−4D.2二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知tanα=3，则cos2α=________．14.已知{a n}为等比数列，S n是它的前n项和．若a2a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为34，则S5＝________．15.在△ABC中，已知AB=3，AC=2，P是边BC的垂直平分线上的一点，则BC→⋅AP→=________．16.如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90∘，A，D分别是BF，CE上的点，AD // BC，且AB=DE=2BC=2AF（如图①）．将四边形ADEF沿AD折起，连接BE，BF，CE（如图②）．在折起的过程中，则下列表述：①AC // 平面BEF；②四点B，C，E，F可能共面；③若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD；④平面BCE与平面BEF可能垂直.其中正确的是________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子，得0分．从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0, 20]，(20, 40]，(40, 60]，(60, 80]，(80, 100]分组，绘成频率分布直方图如图：(Ⅰ)分别求出所抽取的20人中得分落在组[0, 20]和(20, 40]内的人数；(Ⅱ)从所抽取的20人中得分落在组[0, 40]的选手中随机选取3名选手，以X 表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X的分布列和数学期望；(Ⅲ)如果某选手将抽到的20张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得到100分？请说明理由．18.已知数列{a n}满足12a1−5+22a2−5+32a3−5+⋯+n2a n−5=n3．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{1a n a n+1}的前n项和为T n，证明：T n<16．19.将棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1截去三棱锥D1−ACD后得到如图所示几何体，O为A1C1的中点．(1)求证：OB // 平面ACD1；(2)求二面角C−AD1−C1的正弦值．20.已知中心在原点O的椭圆C的左焦点为F1(−1, 0)，C与y轴正半轴交点为A，且∠AF1O=π．3(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点A作斜率为k1，k2(k1k2≠0)的两条直线分别交C于异于点A的两点M，N．证明：当k2=k1时，直线MN过定点．k1−121.已知函数f(x)=cosx，g(x)＝xsinx+cosx，x（1）判断函数g(x)在区间(0, 2π)上的零点的个数；（2）记函数f(x)在区间(0, 2π)上的两个极值点分别为x1，x2，求证：f(x1)+f(x2)<0．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]=√2+ρsinθ，直线l 22.在极坐标系Ox中，曲线C的极坐标方程为：2√2−ρsinθ的极坐标方程为：ρ(cosθ−sinθ)=1，设l与C交于A，B两点，AB中点为M，AB的垂直平分线交C于E，F．以O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy．(1)求C的直角坐标方程及点M的直角坐标；(2)求证：|MA|⋅|MB|＝|ME|⋅|MF|．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)=|x−1|−2|x+3|．(1)求不等式f(x)<1的解集；(2)若存在实数x，使不等式m2−3m−f(x)<0成立，求实数m的取值范围．2020年四川省宜宾市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.设i是虚数单位，则(2+3i)(3−2i)=()A.13B.5iC.6−6iD.12+5i【解答】解：(2+3i)(3−2i)=6−4i+9i+6=12+5i．故选D.2.已知集合A＝{−2, −1, 0, 1, 2}，B＝{x|x2−x−6<0}，则A∩B＝（）A.{−2, −1, 0, 1, 2, 3}B.{−2, −1, 0, 1, 2}C.{−1, 0, 1, 2}D.{−2, −1, 0, 1, }【解答】∵B＝{x|−2<x<3}，A＝{−2, −1, 0, 1, 2}，∴A∩B＝{−1, 0, 1, 2}．3.2020年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎．为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人民团结一心抗击疫情．如图表示1月21日至3月7日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数，则下列中表述错误的是（）A.2月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势B.随着全国医疗救治力度逐渐加大，2月下旬单日治愈人数超过确诊人数C.2月10日至2月14日新增确诊人数波动最大D.我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在2月12日左右达到峰值【解答】由图可得，2月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势，正确，故A正确，随着全国医疗救治力度逐渐加大，2月下旬单日治愈人数超过确诊人数，正确，故B正确，2月10日至2月14日新增确诊人数波动最大，正确，故C正确，我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数，一直在增加，在2月12日左右新增人数达到峰值，故D错误，4.已知双曲线x2a2−y2b2=1的一条渐近线方程为y=43x，则双曲线的离心率为（）A.54B.53C.34D.32【解答】∵双曲线x2a2−y2b2=1的一条渐近线方程为y=43x，∴4a＝3b，∴c=√a2+b2=53a∴e=ca =53．5.20世纪产生了著名的“3x+1”猜想：任给一个正整数x，如果x是偶数，就将它减半；如果x是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如图是验证“3x+1”猜想的一个程序框图，若输入正整数m的值为40，则输出的n的值是（）A.11B.10C.9D.8【解答】解：根据框图可知：n=2，m=40，n=3,m=402=20，n=4,m=202=10，n =5,m =102=5，n =6，m =3×5+1=16， n =7,m =162=8，n =8,m =82=4， n =9,m =42=2， n =10，m =22=1， 故选B .6.在△ABC 中，角A 的平分线交边BC 于D ，AB =4，AC =8，BD =2，则△ABD 的面积是() A.√15 B.3√15C.1D.3【解答】 解：如图：因为△ABC 中，角A 的平分线交边BC 于D ，AB =4，AC =8，BD =2， 所以：ABAC =BDDC ⇒DC =4， ∴BC =6， ∴cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC=42+62−822×4×6=−14，∴sinB =√1−(−14)2=√154，∴S △ABC =12AB ⋅BD ⋅sinB =√15. 故选A .7.1x (1−2x)7的展开式中x 2的系数为（ ） A.−84 B.84 C.−280 D.280【解答】(1−2x)7的展开式的通项为T r+1=C 7r⋅(−2x)r ． 取r ＝3，可得(1−2x)7x的展开式中x 2的系数为(−2)3×C 73=−280．8.定义在[−2, 2]上的函数f(x)与其导函数f′(x)的图象如图所示，设O 为坐标原点，A ，B ，C ，D 四点的横坐标依次为−12，−16，1，43，则函数y =f(x)e x的单调递减区间是()A.(−16, 43) B.(−12, 1)C.(−12, −16)D.(1, 2)【解答】 解：∵y =f(x)e x， ∴y′=f ′(x)−f(x)e x，令y′<0，得：f′(x)−f(x)<0，即f′(x)<f(x)， 由图可知，当−12<x <1时，f′(x)<f(x)， ∴函数y =f(x)e x的单调递减区间是(−12, 1)．故选B .9.某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点A(1, 0)作x 轴的垂线与曲线y =e x 相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线y =e x 上方的有N 粒(N <M)，则无理数e 的估计值是()A.NM−N B.MM−NC.M−N ND.MN【解答】解：根据题意，y =e x 与x =1的交点为(1, e)，则矩形OACB 的面积S =e ， 矩形OABC 在曲线y =e x 上方的面积为：S′=∫ 10(e −e x )dx =1， 又由向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线y =ex上方的有N粒，则有S′S =1e=NM，变形可得：e=MN.故选D.10.若函数f(x)=|lnx|满足f(a)=f(b)，且0<a<b，则4a2+b2−44a+2b的最小值是()A.0B.1C.32D.2√2【解答】解：依题意，|lna|=|lnb|，又0<a<b，∴lna+lnb=0，即ab=1，且0<a<1<b，又4a 2+b2−44a+2b =(2a+b)2−8ab2(2a+b)=2a+b2−42a+b，令t=2a+b≥2√2ab=2√2，当且仅当“2a=b”时取等号，则4a2+b2−44a+2b =t2−4t，又函数y=t2−4t在[2√2,+∞)上单调递增，故y min=2√22−2√2=0，即4a2+b2−44a+2b的最小值为0．故选A.11.M是抛物线y2＝4x上一点，N是圆(x−1)2+(y−2)2＝1关于直线x−y−1＝0的对称圆上的一点，则MN|的最小值是（）A.√112−1 B.√3−1 C.2√2−1 D.32【解答】N是圆(x−1)2+(y−2)2＝1，设圆心为C(1, 2)，半径为1，圆(x−1)2+(y−2)2＝1的圆心关于直线x−y−1＝0的对称点为C′(3, 0)则|MN|＝|C′M|−|C′N|＝|C′M|−1，C′点坐标(2, 0)，由于M在y2＝4x上，设M的坐标为(x, y)，∴|C′M|=√(x−3)2+y2=√x2−2x+9≥2√2，∵圆半径为1，所以|MN|最小值为：2√2−1．12.若函数f(x)=x2+2x−mcos(x+1)+m2+3m−7有且仅有一个零点，则实数m的值为()A.−3−√372B.−3+√372C.−4D.2【解答】解：∵f(x)=(x−1)2−mcos(x+1)+m2+3m−8,则f(−1+x)=(−1+x+1)2−mcos(−1+x+1)+m2+3m−8=x2−mcosx+m2+3m−8,f(−1−x)=(−1−x+1)2−mcos(−1−x+1)+m2+3m−8=x2−mcosx+m2+3m−8,∴f(−1+x)=f(−1−x)，所以，函数y=f(x)的图象关于直线x=−1对称．若函数y=f(x)的零点不为x=−1，则该函数的零点必成对出现，不合题意．所以，f(−1)=0，即m2−2m−8=0，解得m=−4或2.①当m=−4时，令f(x)=(x+1)2−4cos(x+1)−4=0，得4cos(x+1)=4−(x−1)2，作出函数y=4cos(x+1)与函数y=+(x+1)2的图象如下图所示：此时，函数y=4cos(x+1)与函数y=4−(x−1)2的图象有三个交点，不符合题意；②当m=2时，∵cos(x+1)≤1，∴f(x)=(x−1)2−2cos(x+1)+2≥0，当且仅当x=−1时，等号成立，则函数y=f(x)有且只有一个零点．综上所述，m=2.故选D.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知tanα=3，则cos2α=________．【解答】 解：∵tanα=3，∴cos2α=cos 2α−sin 2αsin 2α+cos 2α=1−tan 2αtan 2α+1=−45.故答案为：−45.14.已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为34，则S 5＝________． 【解答】{a n }为公比为q 的等比数列，若a 2a 3＝2a 1，则a 1q ⋅a 1q 2＝2a 1，即a 1q 3＝2，① 由a 4与2a 7的等差中项为34，可得a 4+2a 7=32， 即a 1q 3+2a 1q 6=32，② 由①②解得a 1＝−16，q =−12， 则S 5=a 1(1−q 5)1−q=−16(1−1−32)1+12=−11，15.在△ABC 中，已知AB =3，AC =2，P 是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC →⋅AP →=________． 【解答】解：取BC 的中点D ，由条件得： BC →⋅AP →=BC →⋅(AD →+DP →) =BC →⋅AD →+BC →⋅DP →=(AC →−AB →)⋅12(AC →+AB →)+0=12(AC →2−AB →2) =12(22−32)=−52． 故答案为：−52.16.如图所示，在直角梯形BCEF 中，∠CBF =∠BCE =90∘，A ，D 分别是BF ，CE 上的点，AD // BC ，且AB =DE =2BC =2AF （如图①）．将四边形ADEF 沿AD 折起，连接BE ，BF ，CE （如图②）．在折起的过程中，则下列表述：①AC // 平面BEF；②四点B，C，E，F可能共面；③若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD；④平面BCE与平面BEF可能垂直.其中正确的是________.【解答】解：在图②中取AC的中点为O，取BE的中点为M，连结MO，易证得四边形AOMF为平行四边形，即AC // FM，∴AC // 平面BEF，故①正确；∵直线BF与CE为异面直线，∴B，C，E，F四点不可能共面，故②错误；在梯形ADEF中，易得EF⊥FD，又EF⊥CF，∴EF⊥平面CDF，即有CD⊥EF，∴CD⊥平面ADEF，则平面ADEF⊥平面ABCD，故③正确；延长AF至G使得AF=FG，连结BG，EG，易得平面BCE⊥平面ABF，过F作FN⊥BG于N，则FN⊥平面BCE．与若平面BCE⊥平面BEF，则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上相矛盾，故④错误．故答案为：①③.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子，得0分．从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0, 20]，(20, 40]，(40, 60]，(60, 80]，(80, 100]分组，绘成频率分布直方图如图：(Ⅰ)分别求出所抽取的20人中得分落在组[0, 20]和(20, 40]内的人数；(Ⅱ)从所抽取的20人中得分落在组[0, 40]的选手中随机选取3名选手，以X 表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X的分布列和数学期望；(Ⅲ)如果某选手将抽到的20张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得到100分？请说明理由．【解答】（1）由题意知，所抽取的20人中得分落在组[0, 20]的人数有0.0050×20×20＝2（人），得分落在组(20, 40]的人数有0.0075×20×20＝3（人）．∴所抽取的20人中得分落在组[0, 20]的人数有2人，得分落在组(20, 40]的人数有3人．（2）X的所有可能取值为0，1，2．P(X=0)=C33C53=110，P(X=1)=C21C32C53=610，P(X=2)=C22C31C53=310．∴X的分布列为：∴X的期望EX=0×110+1×610+2×310=1.2．(Ⅲ)答案不唯一．答案示例1：可以认为该选手不会得到100分．理由如下：该选手获得100分的概率是(14)20，概率非常小，故可以认为该选手不会得到100分．答案示例2：不能认为该同学不可能得到100分．理由如下：该选手获得100分的概率是(14)20，虽然概率非常小，但是也可能发生，故不能认为该选手不会得到100分．18.已知数列{a n}满足12a1−5+22a2−5+32a3−5+⋯+n2a n−5=n3．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{1a n a n+1}的前n项和为T n，证明：T n<16．【解答】(1)解：12a1−5+22a2−5+32a3−5+⋯+n2a n−5=n3，①当n=1时，a1=4；当n≥2时，12a1−5+22a2−5+32a3−5+⋯+n−12a n−1−5=n−13，②由①−②，得a n=3n+52(n≥2)，因为a1=4符合上式，所以a n=3n+52.(2)证明：由(1)知，1a n a n+1=4(3n+5)(3n+8)=43(13n+5−13n+8).T n=1a1a2+1a2a3+⋯+1a n a n+1=43×[(18−111)+(111−114)+⋯+(13n+5−13n+8)]=43×(18−13n+8)=16−49n+24<16．故得证．19.将棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1截去三棱锥D1−ACD后得到如图所示几何体，O为A1C1的中点．(1)求证：OB // 平面ACD1；(2)求二面角C−AD1−C1的正弦值．【解答】(1)证明：取AC的中点M，连接MO，MB，MD1，B1D1，因为MB=OB1=OD1，MB // D1B1，所以四边形MBOD1为平行四边形，所以OB // MD1，又OB平面ACD1，MD1⊂平面ACD1，所以OB // 平面ACD1.(2)解：连接BC1，CB1交于F，取AD1的中点E，连接EF，CE，因为D1C1⊥平面AD1A1，AD1⊂平面AD1A1，所以D1C1⊥AD1，又EF // D1C1，所以EF⊥AD1，又三角形ACD1为等边三角形，所以CE⊥AD1，故∠CEF为所求二面角的平面角，在Rt△CEF中，CF=√2，EF=2，所以CE=√4+2=√6，故sin∠CEF=CFCE =√2√6=√33，所以二面角C−AD1−C1的正弦值为√33．20.已知中心在原点O的椭圆C的左焦点为F1(−1, 0)，C与y轴正半轴交点为A，且∠AF1O=π3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点A作斜率为k1，k2(k1k2≠0)的两条直线分别交C于异于点A的两点M，N．证明：当k2=k1k1−1时，直线MN过定点．【解答】(1)解：由题意得{c=1,tan∠AF1O=bc=√3, a2=b2+c2.解得{a2=4, b2=3, c2=1.即x24+y23=1.(2)证明：由题不妨设MN:y=kx+m，联立{x24+y23=1y=kx+m，方程组的解M(x1, y1)，N(x2, y2)，消去y化简得(4k2+3)x2+8kmx+4m2−12=0，且x 1+x 2=−8km 4k 2+3，x 1x 2=4m 2−124k 2+3，∵k 1k 2=k 1+k 2， ∴y 1−√3x 1⋅y 2−√3x 2=y 1−√3x 1+y 2−√3x 2，∴代入y =kx +m ，化简得(k 2−2k)x 1x 2+(k −1)(m −√3) (x 1+x 2)+m 2−2√3m +3=0， 8√3k(m −√3)=3(m −√3)2， ∵m ≠√3,8√3k =3(m −√3)， ∴m =8√3k 3+√3，直线MN:y =kx +8√3k 3+√3，MN 过定点(−8√33,√3)． 21.已知函数f(x)=cosx x，g(x)＝xsinx +cosx ，（1）判断函数g(x)在区间(0, 2π)上的零点的个数；（2）记函数f(x)在区间(0, 2π)上的两个极值点分别为x 1，x 2，求证：f(x 1)+f(x 2)<0． 【解答】g′(x)＝xcosx ，x >0，当x ∈(0,12π)时，g′(x)>0，函数单调递增，当x ∈(12π,32π)时，g′(x)<0，函数单调递减，当x ∈(3π2,2π)时，g′(x)>0，函数单调递增，且g(0)＝1>0，g(12π)=12π>0，g(π)＝−1<0，g(3π2)=−3π2<0，g(2π)＝1>0，故函数g(x)在(0, 12π)，(π,3π2)上不存在零点，存在x 1∈[12π,π]，使得g(x)＝0，同理x 2∈[3π2,2π]使得g(x)＝0 综上，g(x)在区间(0, 2π)上的零点有2个， f ′(x)=−xsinx+cosxx 2，由（1）可得，g(x)＝xsinx +cosx 在区间(12π,π)，(3π2,2π)上存在零点， 所以f(x)在(12π,π)，(3π2,2π)上存在极值点x 1<x 2，x 1∈(12π,π)，x 2∈(3π2,2π)，又因为y＝sinx在(12π,2π)上单调递减，则sinx1>sin(x2−π)＝−sinx2，∴sinx1+sinx2>0即f(x1)+f(x2)<0，又因为x i sinx i+cosx i＝0(i＝1, 2)，即1xi=−tanx i，f(x1)+f(x2)=cosx1x1+cosx2x2=−sinx1−sinx2，又12π<x1<π<3π2<x2<2π，∴1x1>1x2即−tanx1>−tanx2，∴tanx1<tanx2＝tan(x2−π)，∵x1∈(12π,π)，x2∈(3π2,2π)，x2−π∈(12π,π)，由y＝tanx在(12π,π)上单调递增可得12π<x1<x2−π<π．∴f(x1)+f(x2)=cosx1x1+cosx2x2=−sinx1−sinx2再由y＝sinx在(12π,π)上单调递减，得sinx1>sin(x2−π)＝−sinx2，∴sinx1+sinx2>0，所以f(x1)+f(x2)<0．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系Ox中，曲线C的极坐标方程为：2√2−ρsinθ=√2+ρsinθ，直线l 的极坐标方程为：ρ(cosθ−sinθ)=1，设l与C交于A，B两点，AB中点为M，AB的垂直平分线交C于E，F．以O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy．(1)求C的直角坐标方程及点M的直角坐标；(2)求证：|MA|⋅|MB|＝|ME|⋅|MF|．【解答】(1)解：曲线C的极坐标方程为2√2−ρsinθ=√2+ρsinθ，转换为直角坐标方程为C:x2+2y2=2,x22+y2=1．直线l的极坐标方程为ρ(cosθ−sinθ)=1转换为直角坐标方程为：y=x−1，联立C与l的方程得：3x2−4x=0，解得A(0,−1),B(43,13 )．由于AB 中点为M ，∴M(23,−13)． (2)证明：由(1)利用两点间的距离公式的应用得：|MA|=|MB|=2√23， ∴|MA|⋅|MB|=89．又设AB 的垂直平分线EF:{x =23−√22t,y =−13+√22t,代入C 的方程得：32t 2−4√23t −43=0， ∴|ME|⋅|MF|=|−4332|=89．∴|MA|⋅|MB|=|ME|⋅|MF|．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)=|x −1|−2|x +3|．(1)求不等式f(x)<1的解集；(2)若存在实数x ，使不等式m 2−3m −f(x)<0成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：(1)f(x)=|x −1|−2|x +3|={−x −7,x ≥1,−3x −5,−3<x <1,x +7,x ≤−3,当x ≥1时，−x −7<1，解得x ≥1；当−3<x <1时，−3x −5<1，解得−2<x <1；当x ≤−3时，x +7<1，解得x <−6．综上得x <−6或x >−2．∴不等式的解集为(−∞, −6)∪(−2, +∞).(2)∵存在实数x ，不等式m 2−3m −f(x)<0成立，∴存在实数x ，不等式m 2−3m <f(x)成立．∴存在实数x ，不等式m 2−3m <[f(x)]max 成立．又f(x)={−x −7,x ≥1,−3x −5,−3<x <1,x +7,x ≤−3,∴f(x)max=f(−3)=4，∴m2−3m<4，解得−1<m<4．∴m的范围是(−1, 4)．。