第一讲二次根式的概念及二次根式的乘除法
二次根式的概念和性质
二次根式与有理数的关系
二次根式与有理数存在着紧密的关系。有理数可以表示为二次根式的特殊形 式，而二次根式也可以化简为有理数的形式。理解这种关系可以帮助我们更 好地处理二次根式的运算和问题。
胡克定理和三角不等式
胡克定理
三角不等式
胡克定理描述了弹簧的弹性变形与所受力的关系， 可以用二次根式的形式表示。
二次根式的运算法则
加减法
二次根式加减法遵循同底 同幂原则，将根号内的数 值进行合并，然后进行相 应操作。
乘除法
二次根式乘除法时，可以 通过有理化的方法将根号 内的数值转化为有理数， 然后进行相应操作。
化简
化简二次根式是将一个二 次根式转化为另一种形式， 通常是将根号内的数值合 并或提取出满足条件的因 式。
二次根式的概念和性质
二次根式是代数Leabharlann 的一种重要形式，表示为一个数的平方根。学习二次根式 的概念和性质，将帮助我们更好地理解和运用这一概念。本章将系统介绍二 次根式的相关内容。
什么是二次根式？
二次根式是一个数的平方根，如√2、√5等。它们在代数和几何中都有重要的 应用。通过学习二次根式的性质，可以深入理解数学中的平方根概念。
三角不等式是数学中一条基本不等式，可以用二 次根式的形式表示。它在几何和代数中都有应用。
二次根式的图像及其性质
二次根式的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。通过研究二次根式的图像特性，我们可以了解它 的曲线形状、对称性以及其他重要的几何性质。
二次根式在实际生活中的应用
二次根式在实际生活中有广泛的应用，例如在物理学中描述速度和加速度，以及在几何学中描述曲线和 曲面的形状。了解这些应用可以帮助我们更好地应用二次根式。
二次根式的加减法和乘除法
二次根式的计算方法
添加标题
乘法运算的应用：二次根式的乘法运算在解决实际问题中具有广泛的应用，例如在计算面积、 体积、长度等物理量时，常常需要进行二次根式的乘法运算。
除法运算
公式：a√b/c√d = (a/c)√(b/d) 例题：(2√3)/(3√2) = (2/3)√(3/2) 注意事项：除法运算中，分母不能为0 应用：二次根式的除法运算在解决实际问题中具有广泛应用
二次根式的定义
概念：二次根式是形如√a（a≥0）的代数式，其中a称为被开方数，√a称为根号。
性质：二次根式具有非负性，即√a≥0（a≥0）。
运算：二次根式的运算包括加法、减法、乘法和除法，遵循一定的运算法则。
应用：二次根式在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，如求解方程、计算面积、体积 等。
二次根式的性质
转化为同类二次根式
概念：非同类二次根式是指 根号下含有不同字母的二次 根式
加减运算：将转化后的同类 二次根式进行加减运算，得
到结果
加减法运算规则
二次根式与有理数相加减， 先化成最简二次根式，再相 加减
不同底二次根式相加减，先 化成同底二次根式，再相加 减
同底二次根式相加减，底数 不变，被开方数相加减
03
二次根式的乘除法
乘法运算
添加标题
乘法运算的定义：二次根式的乘法运算是将两个二次根式相乘，得到一个新的二次根式。
添加标题
乘法运算的法则：二次根式的乘法运算法则是：(a√b)(c√d)=(ac)√(bd)。
添加标题
乘法运算的步骤：首先，将两个二次根式相乘，得到新的二次根式；然后，将新的二次根式的 被开方数相乘，得到新的被开方数；最后，将新的二次根式的系数相乘，得到新的系数。
乘除法运算规则
人教版数学八年级下册说课稿：第16章二次根式的乘除法(一)
人教版数学八年级下册说课稿：第16章二次根式的乘除法（一）一. 教材分析人教版数学八年级下册第16章《二次根式的乘除法（一）》是学生在学习了二次根式的概念、性质以及二次根式的加减法之后，进一步深入学习二次根式的乘除法。
本章内容较为抽象，是学生对二次根式知识的进一步拓展，对于提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力具有重要意义。
本章内容包括二次根式的乘法和除法运算。
二次根式的乘法运算涉及到两个二次根式相乘，需要将它们的系数相乘，根号内的式子相乘，并根据乘法分配律进行化简。
二次根式的除法运算则是将一个二次根式除以另一个二次根式，需要将除数和被除数分别相乘，并将结果化简。
二. 学情分析学生在学习本章内容时，需要具备一定的数学基础，包括二次根式的概念、性质，以及二次根式的加减法运算。
此外，学生还需要具备一定的逻辑思维能力和化简能力。
在实际教学中，我发现部分学生在进行二次根式的乘除法运算时，容易混淆概念，对根号内的式子相乘和化简过程理解不透彻。
因此，在教学过程中，我需要针对这部分学生进行有针对性的讲解和辅导，帮助他们巩固基础知识，提高运算能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握二次根式的乘除法运算方法，能够熟练进行二次根式的乘除法运算。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探究二次根式的乘除法运算规律，培养学生的数学思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在实际生活中的应用价值。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次根式的乘除法运算方法及步骤。
2.教学难点：二次根式乘除法运算中根号内的式子相乘和化简过程。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等，引导学生主动探究、讨论和交流。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具，结合数学软件和网络资源，为学生提供丰富的学习资源。
二次根式 基础知识详解+基本典型例题解析
【基本典型例题】(2) 类型一、二次根式的乘除
1. 计算：（1）（2014 秋•闵行区校级期中） ×（﹣2 ）÷
．
（2）（2014 春·高安市期中） a 8a 2 a 2 1 2a 2a a
【答案与解析】 解：（1） ×（﹣2 ）÷
举一反三： 【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）.
（1）
1 ；（2） 3
3 ；（3）
x2 1 ；（4）3 8 ；（5）
( 1)2 ；（6） 1 x（ x 1 ） 3
A．2 B.3 C.4 D.5 【答案】B.
2. （2016•贵港）式子
在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）
= ×（﹣2 ）×
=﹣
=﹣
=﹣ ．
(2)原式= a 8a2 a2 1 2a 2a a
2 2a2 a2 2 2a 2a 2a a
2
2a2
2a a2
2a a
4 2.
【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简.
举一反三：
【变式】 2
a2 b2 6x2
即原式= a b c a c b b c a = a b c
【总结升华】重点考查二次根式的性质：
的同时，复习了
三角形三边的性质.
二、二次根式的乘除基础知识讲解+基本典型例题解析
【学习目标】 1、 掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的 乘除运算. 2、 了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.
．
(完整版)二次根式知识点归纳及题型总结精华版
二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.；2.；3.；4.积的算术平方根的性质：；5. 商的算术平方根的性质：.6.假设，那么.知识点二、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意每一步运算的算理；2．二次根式的加减运算先化简，再运算，3．二次根式的混杂运算(1) 明确运算的序次，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；(2) 整式、分式中的运算律、运算法那么及乘法公式在二次根式的混杂运算中也同样适用.一. 利用二次根式的双重非负性来解题〔a0 〔a≥0〕，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
〕1.〕。
A、3；B、x ；C、x21；D、x1以下各式中必然是二次根式的是〔2．等式(x 1)2＝1－ x 成立的条件是 _____________ ．3．当 x____________ 时，二次根式2x 3 有意义．4.x 取何值时，以下各式在实数范围内有意义。
〔 1〕〔 2〕1〔3〕5x 2 x1x4〔 4〕假设x( x1)x x1，那么 x 的取值范围是〔 5〕假设x3x3，那么 x 的取值范围是。
x1x16.假设3m 1 有意义，那么m能取的最小整数值是；假设 20m 是一个正整数，那么正整数m的最小值是________．7.当 x 为何整数时，10x11有最小整数值，这个最小整数值为。
8. 假设2004 a a2005a ，那么a2004 2=_____________；假设y x33x 4 ，那么x y9．设 m、n 满足n m299m22mn =。
m 3，那么10. 假设三角形的三边a、 b、 c 满足a24a 4 b 3 =0，那么第三边c的取值范围是11. 假设|4x8 |x y m0 ，且 y 0 时，那么〔〕 A 、0m1 B 、m2C、m 2 D、 m 2利用二次根式的性质2a(a b)(即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题二． a =|a|=0(a0)a(a0)1.x33x2＝－x x 3 ，那么〔〕 A.x≤0 B. x≤－ 3Ｃ. x≥－ 3 D.－ 3≤x≤ 02.． a<b，化简二次根式 a 3b 的正确结果是〔〕A．a ab B ．a ab C． a ab D ．a ab3.假设化简 | 1-x |-28x16 的结果为2x-5 那么〔〕 A 、 x 为任意实数B、1≤ x≤ 4C、 x≥1 D 、x≤ 4 x4. a， b， c 为三角形的三边，那么(a b c)2(b c a) 2(b c a) 2=5.当 -3<x<5 时，化简26921025 =。
第1课时：《二次根式》知识点总结复习(学生版)
《二次根式》题型分类知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．【例1】下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、21a+2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个【例2】若式子13x -有意义，则x 的取值范围是 ． 1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42、使代数式221x x-+-有意义的x 的取值范围是3、如果代数式m nm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=1、若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值3、当a 取什么值时，代数式211a ++取值最小，并求出这个最小值。
1.已知a 是5整数部分，b 是 5的小数部分，求12a b ++的值。
2.若7-3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。
3.若172+的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 12+的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2. ()()a aa 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()203. a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()() 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系 （1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．【例4】若()22340a b c -+-+-=，则=+-c b a ．1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。
暑期新初三数学讲义第一讲二次根式及一元二次方程
第一讲 二次根式及一元二次方程【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 2⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a 5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．a≥0，b≥0）；=b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算6.分母有理化(1)定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
(2)有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：a =b a -与b a -等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如a +与a -，，(3)分母有理化的方法与步骤：（1）先将分子、分母化成最简二次根式；（2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；（3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
7、一元二次方程：(1)定义：在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高项的次数的和是2次的整式方程叫做一元二次方程。
人教版数学八年级下册16.2二次根式的乘除第一课时优秀教学案例
2.要求学生认真完成作业，并及时给予反馈，了解学生对知识点的掌握情况。如：“请同学们认真完成作业，明天我们将进行作业讲评。”
五、案例亮点
（二）问题导向
1.设计具有启发性的问题，引导学生思考二次根式乘除法的运算规律，如：“如何将二次根式的乘除法转化为我们已经学过的加减法？”等。
2.引导学生通过问题发现知识点之间的联系，如：提问：“二次根式的乘除法与实数的乘除法有什么异同？”等，让学生在思考中掌握知识。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组讨论，分享各自的想法和解决问题的方法，让学生在合作中发现问题、解决问题，培养团队合作精神。
针对这一知识点，我设计了一节以学生为主体、注重实践与思考的优秀教学案例。首先，我会通过复习导入，引导学生回顾已学的二次根式知识，为新课的学习做好铺垫。接着，我将会引导学生通过小组合作、讨论交流的方式，探索二次根式的乘除运算规律，培养学生的主体探究能力和团队合作精神。在探索过程中，我会适时给予学生反馈和指导，帮助他们克服困难，理解并掌握二次根式的乘除运算方论，让学生分享各自对二次根式乘除法的理解和运算方法。如：“你们认为二次根式乘除法应该如何运算？请你们小组讨论一下，并分享给其他小组。”
2.引导学生通过讨论，发现和总结二次根式乘除法的运算规律。如：“通过讨论，我们发现二次根式乘除法可以转化为加减法，只需要将根号内的数相乘（或相除）即可。”
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结本节课所学的二次根式乘除法的运算规律。如：“我们可以总结一下，二次根式的乘法可以理解为将根号内的数相乘，除法可以理解为将根号内的数相除。”
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【巩固练习三】
【巩固练习二】
1、如图所示，是由边长为的正方形地砖铺设的地面示意图，求小明沿图中所示的折线从所走的路程A B C →→ 米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的
米，那么梯子的底端的滑动距离（ ） D ．不能确定 是中线，，求的210,5BE AD ==AB +50=6a+8b+10c ，判断ΔABC
、如图，已知：在中，，，.
、如图，已知：，，于求证：.
第五讲 勾股定理（2）
知识与方法：如果三角形一边的平方等于其他两边的平方和，那么这条边所对的角是直角.
例题解析
【例1】如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5．求线段EF 的长。
【巩固练习一】
1、 如图所示，已知△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，，求、、的值。
2、 如图，, ,,,,求证：.
4AB =12BC =13CD =3DA =AB AD ⊥BC BD ⊥
2222 =+= 17,241026
的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，.
22PB PD =+
、如果直角三角形的三边都是整数，而且它的周长数等于面积数，求三角形三边的长. ()22214
AD AB AC =+。