(完整版)实变函数试题库1及参考答案

实变函数试题库及参考答案（1） 本科
一、填空题
1．设,A B 为集合，则()\A B B U A B U （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是
5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E U 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n
E ⊂¡
是可数集，则*
m E 0
7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1
a ∀∈¡，()E x f x a ⎡⎤≥⎣⎦是 ，则称()f x 在E 上可测
8．可测函数列的上极限也是 函数
9．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x +⇒ 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题
1．下列集合关系成立的是（ ）
A ()\
B A A =∅I B ()\A B A =∅I
C ()\A B B A =U
D ()\B A A B =U
2．若n
R E ⊂是开集，则（ ）
A E E '⊂
B 0E E =
C E E =
D
E E '=
3．设(){}
n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ）
A ()()lim lim n n E E
n n f x dx f x dx →∞
→∞≤⎰⎰ B ()()lim lim n n E E n n f x dx f x dx →∞
→∞
≤⎰⎰
C ()()lim lim n n E E
n n f x dx f x dx →∞
→∞≤⎰⎰ D ()()lim lim n n E
E n n f x dx f x →∞→∞
≤⎰⎰
三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =
中无理数，则（ ）
A E 是不可数集
B E 是闭集
C E 中没有内点
D 1m
E =
2．设n
E ⊂¡
是无限集，则（ ）
A E 可以和自身的某个真子集对等
B E a ≥（a 为自然数集的基数）
C E '≠∅
D *0m
E >
3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ ）
A 函数()f x 在E 上可测
B ()f x 在E 的可测子集上可测
C ()f x 是有界的
D ()f x 是简单函数的极限
4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ ）
A ()f x 在[],a b 上可测
B ()f x 在[],a b 上L 可积
C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续
D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数
四、判断题
1. 可数个闭集的并是闭集. （ ）
2. 可数个可测集的并是可测集. （ ）
3. 相等的集合是对等的. （ ）
4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ ） 五、定义题
1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合.
2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系.
3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？
4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？
六、计算题
1. 设()[]23
0,1\x
x E f x x
x E
⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，其中E 为[]0,1中有理数集，求
()[]
0,1f x dx ⎰.
2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121
,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩L L ，求()[]
0,1lim n n f x dx →∞
⎰.
七、证明题
1．证明集合等式：(\)A B B A B =U U
2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE =
3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集
4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1
[|()|]|()|E mE x f x a f x dx a
≥≤⎰
5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞
=，则
lim ()0n
E n f x dx →∞=⎰
实变函数试题库及参考答案（1） 本科
一、填空题
1.=
2.≤
3.闭集
4.开集
5.≤
6.=
7.可测集
8.可测
9.()()f x g x + 10.可积 二、单选题 ABB
三、多选题
ACD AB ABD ABC 四、判断题 × √√√ 五、定义题
1.答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合A ，A 的幂集2A 的基数大于A 的基数.
2.答: 内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点.
3.答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限
4.答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差.
六、解答题
1.解：因为0mE =，所以()3
,.f x x a e =于[]0,1，于是
()[]
[]
30,10,1f x dx x dx =
⎰
⎰
，
而3
x 在[]0,1上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系，
[]
()41
3
3
1000,11
|44x x dx R x dx ===⎰⎰ 因此()[]
0,11
4
f x dx =
⎰
.
2.解：显然()n f x 在[]0,1上可测，另外由()n f x 定义知，()0,.n f x a e =于[]0,1()1n ≥ 所以
()[]
[]
0,10,100n
f x dx dx ==⎰⎰
因此()[]
0,1lim
0n
n f x dx →∞
=⎰
七、证明题 1.证明
(\)()c A B B A B B =U I U ()()()c c A B A B B A B B B A B ===I U I U I U U U
2.证明 设F 是[0,1]中的有理数集，则F 是可数集，从而*
0m F =，因此F 是可测集，从而c F 可测，又[0,1]\[0,1]c
E F F ==I ，故E 是可测集.由于E F =∅I ，所以
1[0,1]()0m m E F mE mF mF ===+=+U ，故1mF =
3.证明 设{}n r 为全体有理数所成之集，则
()1
1
[|()()][|()()][|()][|()]n n n n n E x f x g x E x f x r g x E x f x r E x g x r ∞∞
==>=≥>=≥<I U U
因为(),()f x g x 是E 上的可测函数，所以[|()]n E x f x r ≥，
[|()]n E x g x r <是可测集，1,2,n =L ，于是由可测集性质知[|()()]E x f x g x >是可测集
4.证明 因为()f x 在E 上可测，所以|()|f x 在E 上非负可测，由非负可测函数积分性质，
[|()|]
[|()|]
|()||()|E x f x a E x f x a E
adx f x dx f x dx ≥≥≤≤⎰
⎰
⎰
而
[|()|]
[|()|]E x f x a adx a mE x f x a ≥=⋅≥⎰
，所以
1
[|()|]|()|E mE x f x a f x dx a
≥≤⎰
5.证明 因为lim 0n n mE →∞
=，所以0,1N δ∀>∃≥，当n N ≥时，n mE δ<，又()f x 在E 上
L -可积，所以由积分的绝对连续性，0,0,εδ∀>∃>当,e E me δ⊂<时|()|e
f x dx ε<⎰
于是当n N ≥时，n mE δ<，因此|()|n
E f x dx ε<⎰
，即lim ()0n
E n f x dx →∞=⎰。