双势垒中的隧道效应及其应用-王鑫
量子隧穿效应
量子隧穿效应量子隧穿效应是量子力学中一种重要且奇特的现象，它描述的是微观粒子在类似势垒的区域内，可能出现超越经典物理学预测的穿越现象。
本文将介绍量子隧穿效应的基本原理、相关应用以及对科学发展的意义。
一、基本原理量子隧穿效应是基于量子力学的概念，其核心是波粒二象性原理。
根据波粒二象性，微观粒子既可以被看作波动，也可以被看作粒子。
在经典物理学中，一个粒子如果没有足够的能量，是无法通过势垒的，而必须越过该势垒才能继续前进。
然而，在量子力学中，微观粒子具有波动特性，它们在经过势垒时，会表现出概率波函数的干涉和叠加效应。
当概率波函数的幅度分布在势垒之外时，存在一定概率粒子会穿越势垒，进入本该被禁止的区域。
这种现象就是量子隧穿效应。
二、相关应用1. 扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜（Scanning Tunneling Microscope，STM）是一种利用量子隧穿效应测量物体表面形貌和电子特性的高分辨率显微镜。
STM通过在探针和样品之间施加微小的电压，使电子通过隧穿效应从探针穿过空隙输送到样品表面上，通过对隧穿电流的测量得到样品表面的显微图像。
2. 四面体结构在化学领域，量子隧穿效应对于描述四面体结构的成键和反映分子之间的空间取向关系起着重要作用。
在传统化学中，四面体结构的成键被认为需要获得足够的能量，但隧道效应表明成键发生的可能性并不取决于能量，而是取决于波函数的幅度分布。
这一发现对于理解分子的结构和化学反应具有重大意义。
3. 穿隧发光二极管穿隧发光二极管（Tunneling Light Emitting Diode，TLED）是一种利用量子隧穿现象产生光辐射的新型光电器件。
TLED中的电子通过量子隧穿效应从导层穿越势垒进入禁带，使空穴和电子发生复合，释放能量并辐射光子。
TLED具有高效率、长寿命和低功耗等优点，具有广泛的应用前景。
三、科学意义量子隧穿效应的发现和研究突破了经典物理学的局限，揭示了微观世界的奇妙规律，对于拓展科学认知、推动科学发展具有重要意义。
物理-势垒和隧道效应
三．扫描隧道显微镜 (STM)
48个Fe原子形成“量子围栏”，围栏 中的电子形成驻波。 “量子围栏－扫描隧道显微术的又一杰作”
三．扫描隧道显微镜 (STM)
1986诺贝尔物理学奖宾 尼：设计出扫描式隧道 效应显微镜
1986 诺 贝 尔 物 理 学 奖 罗雷尔：设计出扫描式 隧道效应显微镜
三．扫描隧道显微镜 (STM)
Gamov首先用势垒穿透成功说明了原子核的α衰变。后来人 们用来成功解释了电子穿越金属表面，金属电子的冷发射； 氢核穿越Couloms势垒发生核聚变等。
§3.5 势垒和隧道效应
怎样理解粒子通过势垒区?
经典物理：从能量守恒的角度看是不可能的。
量子物理：粒子有波动性，遵从不确定原理， 粒子经过势垒区和能量守恒并不矛盾。
参考信号
隧道电流 不接触、不破坏样品
三．扫描隧道显微镜 (STM)
隧道电流i 与样品和针尖间距离d 的关系
i Ue A d A—常量
隧道电流 i
d —样品和针尖间的距离 U—加在样品和针尖间的微小电压
探针
U
—样品表面平均势垒高度
d
d
~
。 10A
Hale Waihona Puke 样品d 变~ 1 A。
i 变几十倍，非常灵敏。
隧道效应
E
Ⅰ区
0 Ⅱ区 a
Ⅲ区
x
隧道效应这种现象只在一定条件下才比较显著！
假设：k2a 1
shk2a
1 2
e k2a
§3.5 势垒和隧道效应
T 灵敏地依赖于粒子的质量m，势垒宽度a以及(U0-E)。
U 0 0.1eV
E 0.005eV 当U0-E=5eV，势垒的宽度约50nm 以上时，隧道效应在实际上已经没有 意义了。量子概念过渡到经典了。
隧道效应及其应用
隧道效应及其应用隧道效应是指电荷穿过微小通道时，隧道效应波在均匀媒质中传播，并在微小距离内消失，也就是说，将一种粒子注入到一个势垒中时，隧道效应将允许这种粒子到过势垒。
在材料科学技术中，隧道效应有着广泛的应用。
例如，金属-绝缘体-金属隧道结是一种重要的电子器件。
它在纳米电子学、超导电子学、晶体管和以太网协议等多种领域得到广泛应用。
本文将探讨隧道效应的相关知识和其应用。
一、隧道效应的基础知识隧道效应是一种量子力学现象，是发生在纳米尺度下的粒子动力学现象。
在典型的隧道效应过程中，电子“透过”屏障，而非越过屏障。
隧道效应中的关键因素是隧道势垒的高度和宽度，这是隧道效应发生的必要条件。
隧道效应是由卡尔·波普尔（Karl Popper）首先提出的，通过用微波照射大约10mm范围内的铍结构，波普尔和一组研究人员成功地验证了隧道效应假说。
事实上，隧道效应已经成为科学研究的基础，作为微电子器件的设计和制造过程中重要的一环。
二、金属-绝缘体-金属隧道结的应用金属-绝缘体-金属（MIM）隧道结是一种电子器件，其制备工艺为将绝缘层夹在两层金属层之间。
这种器件的应用可追溯到20世纪70年代，当时Dr. James Francis Gibbons将其应用于元越隧道效应（ESD）测量。
十年后，MIM隧道结被首次用于超导磁通量量子位的变化探测器。
现在，MIM隧道结被广泛运用于各种电子器件，包括晶体管、存储器、逻辑门和模拟单元。
这些器件源自于MIM隧道结具有优秀的诸如电流电压特性和噪声特性的性质。
三、隧道效应在半导体行业的应用半导体行业中，隧道效应在器件的制造和测试过程中具有重要的作用。
隧道效应被用作某些器件的基础结构，这些器件包括MOSFET、BIT、TET和BJT等。
在制造这些器件时，隧道效应被用作材料特性的测定和校准。
此外，隧道效应还被用于各种类型的测量，包括光子计数、电子自旋共振（ESR）、电子电感（ELI）测量等。
隧道效应及其应用
U0
在 III 区只有透射波。
d
21 ( x)
dx2
k121 ( x)
0,
x0
II
I
III
d
22 (x)
dx2
k 22 2
(x)
0,
0 xa
d
23 ( x)
dx2
k123 ( x)
0,
xa
oa x
1 ( x) Aeik1x Aeik1x ,
x0
2 ( x) Beik2x Beik2x ,
0 xa
2
隧道效应及其应用
隧道效应定义是：隧道效应由微观粒子波动性所确定的量子效应，又称势垒贯穿。
1、势垒 在原子核衰变过程会放射出 α 粒子后变成另一种原子核。原子核表面有 40 MeV 的势能，
核内 α 粒子的能量约为 4~9 MeV ,能量较小的 α 粒子怎么会穿过那么高的势垒从核内放射出 来？利用量子力学理论能够给出很好的解释。
A
A
(k1
2i(k12 k22 ) sin k2a k2 )2 eik2a (k1 k2 )2 eik2a
A
E U 0的情况
令
k2 ik3
在 E>U0 情况下入射粒子的
k
2 2
2m( E U 0 ) 2
为虚数
则
k32
2m(U 0 E ) 2
∵透射系数：
D
3 2 1 2
C2 A2
将 C , A , A' 代入得
隧道效应对经典理论来讲是无法解释的。经典 理论认为，一个粒子的能量 E < U 时，粒子是不能 穿过势垒的。因为 E 是总能量，进入Ⅱ区 E = Ek+ U， 要是 E < U 则 Ek < 0 ，这是经典理论所不允许的。
隧道(Josephson)效应及其应用
隧道（Josephson）效应及其应用Josephson 效应josephson 效应 即 隧道效应 。
隧道效应由微观粒子波动性所确定的量子效应。
又称势垒贯穿。
考虑粒子运动遇到一个高于粒子能量的势垒，按照经典力学，粒子是不可能越过势垒的；按照量子力学可以解出除了在势垒处的反射外，还有透过势垒的波函数，这表明在势垒的另一边，粒子具有一定的概率，粒子贯穿势垒。
约瑟夫森效应属于遂穿效应，但有别于一般的隧道效应，它是库伯电子对通过由超导体间通过若连接形成约瑟夫森结的超流效应。
历史沿革1957年，江崎玲於奈在改良高频晶体管2T7的过程中发现，当增加PN 结两端的电压时，电流反而减少，他将这种现象解释为隧道效应。
1960年，美裔挪威籍科学家加埃沃通过实验证明了在超导体隧道结中存在单电子隧道效应。
1962年，英国剑桥大学实验物理学研究生约瑟夫森预言，当两个超导体之间设置一个绝缘薄层构成SIS 时，电子可以穿过绝缘体从一个超导体到达另一个超导体。
这一预言不久就为P.W.安德森和J.M.罗厄耳的实验观测所证实——电子对通过两块超导金属间的薄绝缘层（厚度约为10埃）时发生了隧道效应，于是称之为“约瑟夫森效应”。
隧道效应(势垒贯穿）设一个质量为m 的粒子，沿x 轴正方向运动，其势能为：这种势能分布称为一维势垒。
粒子在 x < 0 区域里，若其能量小于势垒高度，经典物理来看是不能越过势垒 达到 x > a 的区域。
在量子力学中，情况则不一样。
为讨论方便，我们把整个空间分成三个区域：在各个区域的波函数分别表示为Ψ1 Ψ2 Ψ3 。
=)(x U ,0,0U ax x ><和0ax ≤≤00U VOa IIIxIII)(),0(),0(a x a x x ≥I∏≤≤∏≤I ),()(212122x E dxx d m ϕϕ=- 0≤x三个区间的薛定谔方程简化为：方程的通解为：三式的右边第一项表示沿x 方向传播的平面波，第二项为沿x 负方向传播的平面波。
双势垒结构中电子共振隧穿几率的研究
其一 ， 只允许在垂直 于势垒方 向只有一个 ｋ 值满足共振隧穿 ， 即符合共振条件 ： （ ｋ ）＝Ｅ （ ＝Ｅ ｚ ｋ） ， 其二 ， 波函数 沙 鸵垂 直部分不是一个 简单 的 指数关系 ， 因此归一化 因子不是 １Ｌ而是量子阱 ／ 的有 效宽 度 ｄ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（ ）＝Ａ ｅ ＋Ｂ ｅ ３ｂ ３“ （ ）＝Ｍ１ ５ ｅ （） １
维普资讯
第２ ４卷
第 ３期
哈尔滨师范大学 自然科学学报
ＮＡ ＵＲＡＬ Ｓ Ｉ ＣＥ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＨＡＲＢ Ｎ ＮＯＲ Ｔ Ｃ ＥＮ Ｓ Ｊ Ｉ ＭＡＬ ＵＮ ＶＥＲＳＴ Ｉ ＩＹ
Ｖ １２ Ｎ ． ０ ８ ｏ ４， ｏ３２ ０ ．
利用双势垒量子阱中波函数边界条件及相应的匹
配关 系 ， 即 沙 （）＝ ０ （ ） 沙 （ ０ ｂ ）；沙 （ ｂ） 砂 （ ６ ） ＝沙 （ ｂ ） 砂。 ３ ２ 。２ （ ６ ）＝沙 （ ６ ） ３
双 势 垒 结 构 中 电子 共 振 隧 穿几 率 的研 究
毕 涛 吕树 臣
（ 哈尔滨师范大学 ）
【 摘要】 运 用转移矩 阵方法， 究双势垒量子 阱中的共振 隧穿现 象， 研 讨论 了隧 穿几率 随势 垒宽度 、 垒高度 以及 势 阱宽度 的 变化 关 系． 势 结果表 明 当势 垒宽度 或 势 垒
ｋ 。＝ ［ｍ（ 一 ） 五 ２ ／ ］ ｋ Ｒ＝ ［ ｍ ｚ ； ２ Ｅ屈 ］ （） ４
与 分别为 １ 区和 ３区势垒高度， 为势 阱宽 。
度， ｂ为势 垒 宽 度．当 电子 能 量 低 于势 垒 能量 时 ，
将上式中通过有限势垒的透射几率
势 垒 隧穿结 构相 比主要 有 两点 区别 ：
穿墙而过不是梦！——神奇的量子隧道效应
穿墙而过不是梦！——神奇的量子隧道效应波粒二象性使微观粒子表现出许多在宏观世界里看起来不可思议的现象，隧道效应就是其中之一。
崂山道士的故事被我们当作笑话来看，但是，在量子世界里，因为有隧道效应，穿墙而过不再是什么难事，很容易就能做到。
借助隧道效应，人们发明了扫描隧道显微镜，不但“看见”了一个个原子，而且实现了移动、操控原子的梦想。
10.1 隧道效应：穿墙而过不是梦在讲隧道效应之前，我们先来看一个小实验。
如图10-1所示，假设有一条像山坡一样高低起伏的滑道，滑道上有一个小球，二者之间没有任何摩擦力。
如果我们让小球从A点出发滑落，而且出发时速度为零，那么小球最高能到达哪一点呢？这太简单了，根据能量守恒定律，我们知道小球的势能会转化成动能，然后动能再转化成势能，最后会到达高度与A点相同的B点，如此往复运动。
如果我问你，这个小球会出现在D点吗？你一定会说，绝对不可能，因为C点是一座无法翻越的大山。
或者说，C点是一个能量很高的势垒，小球没有足够的能量来翻越它。
对于经典粒子来说，的确是这样的。
但是，如果这条滑道缩小到原子尺度，而小球是一个电子的话，上述结论就不成立了。
量子力学计算表明，从A 点出发的电子有明显地出现在D 点的概率，就像是从一条隧道中穿越过去的一样，这就是量子隧道效应，它是微观粒子波粒二象性的体现。
总结一下，如果微观粒子遇到一个能量势垒，即使粒子的能量小于势垒高度，它也有一定的概率穿越势垒，这种现象就叫隧道效应。
隧道效应又称势垒贯穿，是一种很常见的量子效应。
也就是说，崂山道士的故事在量子世界里是很平常的，一点都不稀奇。
当然，对于不同的情况，粒子在势垒外出现的概率大小是需要通过薛定谔方程仔细计算的。
在一般情况下，只有当势垒宽度与微观粒子的德布罗意波长可比拟时，势垒贯穿的现象才能被显著观察到。
如果势垒太高或太宽，隧穿的可能性就会变得很小。
用量子隧道效应能部分地解释放射性元素的α 衰变现象。
α 衰变是从原子核中发射出α 粒子（氦原子核）的一种放射性现象。
隧道电阻效应
隧道电阻效应隧道电阻效应是指在一些特定条件下，电子可以通过隧道效应穿越势垒，从而在两个电子能级之间形成电流。
这一现象是量子力学的基本原理之一，对于电子器件的设计和制造具有重要意义。
隧道电阻效应的发现可以追溯到20世纪50年代初，当时物理学家通过实验证实了电子可以在绝缘体-绝缘体结构中进行隧道穿越。
后来，随着技术的发展，人们发现隧道电阻效应不仅仅存在于绝缘体-绝缘体结构中，还可以在金属-绝缘体和金属-金属结构中观察到。
隧道电阻效应的产生与量子力学中的波粒二象性密切相关。
根据波粒二象性理论，电子既可以被看作是粒子，也可以被看作是波动。
当电子穿过势垒时，其波函数在势垒两侧都存在，虽然在势垒内的波函数幅值较小，但不为零。
根据波粒二象性理论，电子存在于势垒两侧的概率是非零的，从而电子有一定的概率可以穿越势垒，形成电流。
隧道电阻效应的大小与势垒的高度和宽度有关。
势垒越高，电子穿越的难度越大，电流越小；势垒越宽，电子穿越的难度越大，电流越小。
此外，电子的质量和能量也会影响隧道电阻效应的大小。
电子质量越大，电子穿越的难度越大，电流越小；电子能量越高，电子穿越的难度越小，电流越大。
隧道电阻效应在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在隧道二极管中，由于隧道电阻效应的存在，电流可以通过绝缘层，从而实现高速电子输运。
这使得隧道二极管成为高速电子器件中的重要组成部分。
此外，隧道电阻效应还可以用于数据存储和传输，如隧道磁阻效应被应用于磁存储器中。
尽管隧道电阻效应在电子器件设计中起着重要作用，但它也存在一些限制。
首先，隧道电阻效应只在非常薄的绝缘层中才能观察到，因此制造过程对绝缘层的控制非常关键。
其次，隧道电阻效应会导致电子的能量损失，从而产生热量。
这对于一些高功率应用来说是一个不可忽视的问题。
隧道电阻效应是一种基于量子力学原理的现象，通过电子在势垒中的隧道穿越形成电流。
隧道电阻效应在电子器件设计和制造中起着重要作用，并在高速电子器件和数据存储中得到广泛应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
双抛物线势场中的隧道效应王 鑫(陕西理工学院 物理系2007级物理学3 班 ，陕西 汉中 723000)指导老师：王剑华[摘要]量子力学中的隧道效应是一种重要的物理现象，有着非常广泛的应用. 本文从薜定谔方程出发,讨论了求解双抛物线势场中的隧道效应，给出了相应的透射系数和反射系数，并对其进行讨论，研究其应用。
[关键词] 薜定谔方程与遂道效应；双抛物线势场中粒子的透射系数；双抛物线势场中粒子的透射系数；隧道效应及其应用引言在量子力学发展初期，德布罗意根据光的波粒二象性，提出了物质波假说，即认为微观粒子（电子、质子、中子等）也具有波动性。
由于微观粒子具有波动性因而它在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒，这种现象称为隧道效应，隧道效应完全是由于微观粒子具有波动的性质而来的。
1957年，江崎制成了隧道二极管，第一次令人信服地证实了固体中的电子隧道效应的存在。
1960年贾埃弗利用隧道效应测量了超导能隙，验证了超导理论。
1982年德国的宾尼等研制成功第一台扫描隧道显微镜，把隧道效应的应用推向一个新的阶段。
近几年来，人们十分关注分子和半导体量子阱中双势的隧道效应问题研究[4-8]，氨分子作为一个典型的三角锥形模型，早在1927年Hund 就提出量子隧道效应会对三角锥形分子的内部结构有很大的调整作用[1]。
适当选择外部条件便可在不同程度上控制分子结构的稳定性。
近几年来在介观尺度的隧道效应和光子隧道效应方面的研究日益成为热点[1-9]，如在超导技术及纳米技术方面的应用发展较为明显[3]。
本文就双抛物线的隧道效应问题求解并进行讨论[2-3]。
1 薛定谔方程与隧道效应在量子力学中，微观体系的运动状态是用一个波函数来描写的，反映微观粒子运动规律的微分方程是()t r ,ψ对时间的一阶微分方程，即:ψ+ψ∇-=∂ψ∂)(222r U t i μ(1.1) 我们称它为薛定谔方程（Schrödinger equation)，式中)r (U是表征力场的函数。
如果作用在粒子上的力场是不随时间改变的，即力场是以势能)(r U表征的，它不显含时间，这时定态波函数所满足的方程为:ψ=ψ+ψ∇-E r U )(222 μ(1.3) 称为定态薛定谔方程（Schrödinger equation of stationary state )，其中E 表示微观粒子处于这个波函数所描写的状态时的能量，且其能量具有确定值。
设一个粒子，沿x 轴正方向运动，其势能为:⎩⎨⎧=0)(0U x U （2.1）这种势能分布称为一维势垒。
如图2.1所示，故称方势垒。
虽然方势垒只是一种理想的情况，但却是计算一维运动粒子被任意场散射的基础。
粒子在0x <区域内，若其能量小于势垒高度，经典物理来看是不能超越势垒达到0x >的区域。
在量子力学中，情况则不一样。
为了讨论方便，我们把整个区域分为三个区域：Ⅰ()0x ≤，Ⅱ()0x a ≤≤，Ⅲ()x a ≥图2.1 一维方型势垒为了方便起见，将整个空间划分为三个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区，则其定态薛定谔方程为22222220 (0,),2()0(0).d E x x a dx d E U x a dx μμ⎧ψ+ψ=≤≥⎪⎪⎨ψ⎪+-ψ=≤≤⎪⎩(2.2) 当0U E >时，透射系数T ，反射系数为R2212222222122122222122222222122124()sin 4()sin ()sin 4k k T k k k a k k k k k a R k k k a k k ⎧=⎪-+⎪⎨-⎪=⎪-+⎩当0U E <时，只需令32ik k =即可，透射系数)0(a x ≤≤ ),0(a x x ≥≤（2.3）（2.4）2213222222133134()4k k T k k sh k a k k =++ (2.5) 反射系数为1R T =- (2.6)如果粒子能量比势垒高度小得多，即0U E <<，同时势垒的宽度a 不太大，以致13>>a k ，则a k ak e e33->> ，此时233a k ea shk ≈，于是32213222222131341()44k a k k T k k e k k ≈++ 322313111()116k ak k e k k =++ (2.7))(1331k k k k +为恒大于1的数值，当13>>a k 时432>>a k e3200k aT T e T e -== (2.8)当0E U >的时候，按照经典力学观点，在0E U >情况下，粒子应畅通无阻的全部通过势垒，而不会在势垒上发生反射。
而在微观粒子的情形，则会发生发射。
当0E U <的时候，从解薛定谔方程的结果来看，在势垒内部存在波函数。
即在势垒内部找出粒子的概率不为零，同时在x a >区域也存在波函数，所以粒子还可能穿过势垒进入x a >区域。
粒子在总能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为遂道效应。
其中221302221316()k k T k k =+ 它的数量级接近于1，所以透射系数随势垒的加宽或加高而减小。
由上面的结果我们可以看到，微观粒子被势垒散射有与宏观粒子完全不同的效应。
当一个宏观粒子的能量E 大于势垒高度0U 时，此粒子将通过区域（Ⅱ）而进入区域（Ⅲ）。
但是对于一个能量0U E >的微观粒子，不但有穿过势垒的可能，而且还有被反射的可能。
如果一个宏观粒子的能量0U E <，则当此粒子在区域（Ⅰ）内由左向右运动到达势垒边界时将被反射，所以粒子不可能穿过区域（Ⅱ）而进入区域（Ⅲ）。
但是对于一个0U E <的微观粒子却不然，它既有被反射的可能，也有穿透势垒而进入区域（Ⅲ）的可能，这种贯穿势垒的效应称为隧道效应。
2 双抛物线势场中粒子的波函数下面计算xα2- a b 0 c d α2()()2010220202() 20,() 02.V V x x a V x aV V x x a V x a αα⎧=-++-≤≤⎪⎪⎨⎪=--+≤≤⎪⎩（4.1）各个薛定谔方程为222222222222202,()0 20,()0 02,20 2.d E x d x d m x a n x d xd m x a n x d x d E x d x μαααμα⎧ψ+ψ=≤-⎪⎪ψ⎪+++ψ=-<≤⎪⎪⎨ψ⎪+-+ψ=<≤ψ+ψ=≤⎩⎪⎪⎪⎪ (4.2)其中m a U =2202 μ n U E =-)(202 μ令() x V E k 11(2-=μ () x V E k 22(2-=μ () x V E K 11(2--=μ () x V E K 22(2--=μ如上图所示，假设粒子以一定的能量E 从左入射，碰到势垒V （x ），设V （x ）变化比较缓慢，而且入射粒子能量E 不太靠近V （x ）的峰值，此时可以用W.K.B.法来处理粒子穿透势垒的现象。
按照经典力学，粒子在x=a 处被碰回，但按照量子力学，考虑到粒子的波动性，粒子有一定的几率穿透势垒。
当然，在许多情况下，这种几率是很小的。
现在我们就来计算双势垒穿透几率T 的大小。
在A 区远离a 处,由(3.6)式得波函数是⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎰⎰+=ψax axdx k i dx k i ek A eAk 4211'4211111ππ, (4.3)在C 区远离b 处,由(3.6)式得波函数是⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫⎝⎛--⎰⎰+=ψxb xb dx k i dx k i ek B eBk 4211'4211311ππ , (4.4)而根据连接关系(3.8),(3.9),则在区域B 中的W.K.B.近似解应为⎰+⎰+⎰-⎰=ψ------bxbx bxbx dx K dx K dx K dx K e K iB e K B e iBK e BK 1111211'211'21121122121=⎰⎰⎰⎰--------++-x axaxaxadx K dx K dx K dx K e K iB e K B e iBK e BK 1111211'1211'21112112121ττ.(4.5)其中, ⎰=badxK e 11τ.利用a 处的连接公式(3.10),(3.11)在区域A 中的W.K.B.近似解(4.3)应为⎪⎭⎫ ⎝⎛----=ψ⎰⎰--ax a x k iBk dx k Bk 4cos 2)4sin(21112111112111πτπτ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+⎰⎰--ax a x k k iB dx k k B 4cos 2)4sin(211111'111211'πτπτ=⎪⎭⎫⎝⎛-⎰++-ax dx k i e B B k i 1)]221()221([211'11211ττττ +⎪⎭⎫⎝⎛--⎰--+-a xdx k i e B B k i 1)]221()221([211'11211ττττ , (4.6)同理,在D 区域的波函数为⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫⎝⎛--⎰⎰+=ψcx cx dx k i dx k i ek C eCk 4211'4211411ππ , (4.7)在F 区域,远离d 处,由于只有投射波,没有反射波,所以,W.K.B 近似解为⎪⎭⎫⎝⎛--⎰=ψxd dx k i eDk 421262π=⎰⎰-+⎪⎭⎫ ⎝⎛---x d x d dx k iDk dx k Dk )4sin(4cos 2212212ππ , (4.8)由(3.8),(3.9) 则在区域E 中的W.K.B.近似解应为⎰--⎰---=ψx c x c dxK dx K e iDK e DK 22221212212521ττ.(4.9) 其中, ⎰=dcdxK e 22τ,⎪⎭⎫ ⎝⎛----=ψ⎰⎰--cx c x k iDk dx k Dk 4cos 2)4sin(212122122122124πτπτ⎰--+⎰-=-----cx cx dx k i dx k i ek iD e k iD )4(21222)4(2122222)221(2)221(2ππττττ . (4.10) 利用波函数43,ψψ及其微商在x=0处的连续性得方程组并解之得 )221(222ττα--=i e iD B (4.11) )221(222'ττα+-=-i e iD B (4.12) 其中)(12⎰⎰-=bcdx k dx k i α3 双抛物线势场中粒子的透射系数下面计算粒子在双抛物线势场中的透射系数。