量 第十九章 4(薛定谔方程 一维方势阱 隧道效应 线性谐振子)2009

一维无限深方势阱
, x 0. x a U (x ) 0, 0 x a
特点：
U m 0
粒子在势阱内势能为零 受力为零 在阱内自由运动 在阱外势能为无穷大
E
a
在阱壁上受极大的斥力 不能到阱 外
若是经典粒子，粒子如何运动？
E 可取任意值，且各处出现的 概率一样
薛定谔方程和波函数：
•令上述关系作用于波函数
i Px x
2 2 2 Px 2 x 替换关系
Ψ ( x, t )
•得到自由粒子满足的薛定谔方程
2 2 Ψ ( x, t ) i Ψ ( x, t ) t 2m x 2
自由粒子一维含时薛定谔方程
(二)、势场中粒子的薛定谔方程
d 2 2mE 2 0 2 dx
2mE 令k 2
2
方程变为
•通解
( x) A coskx B sinkx
式中 A 和 B 是待定常数
d 2 k 2 0, 2 dx
•通解
( x) A coskx B sinkx
式中 A 和 B 是待定常数
此解需满足标准化条件：即在 x = 0和 x = a 是连续的. 由于在边界外 ,ψ = 0 ，所以有
微分
•写出非相对论自由粒子能量动量关系式
2 P E＝ x
i E t
i Px x
2 2 2 Px 2 x 替换关系
2m
•写出非相对论自由粒子能量动量关系式
2 Px E＝ 2m
i E t
•将替换关系代入写成
2 2 i t 2m x 2
0 0, a 0,
x 0 处 (0) 0
解的形式为
A 0
Bsin ka 0
( x) B sin kx
x a 处 ( a) 0
B不能再为零了 只能sin ka 等于零 n k , n 1,2,3, (k 0) a
说明 （1）薛定谔方程是一个复数偏微分方程；
其解波函数 Ψ r , t 是一个复函数。 （2）薛定谔方程的解满足态叠加原理
ˆ Ψ r , t i Ψ r , t H t
说明
（1）薛定谔方程是一个复数偏微分方程； 其解波函数 Ψ r , t 是一个复函数。
19-7 薛定谔方程及应用简例
经典力学（质点） 特点 运动情况 状态描述 粒子性 有轨道 量子力学(微观粒子) 波粒二象性 无轨道 波函数Ψ
坐标 r 和动量 P
牛顿方程
薛定谔方程
运动方程
2 dp d r m 2 dt dt
？
一. 薛定谔方程
薛定谔方程是非相对论微观粒子的基本方程 ----量子力学基本假设 地位同经典物理的牛顿定律 薛定谔 Erwin Schrodinger 奥地利人 1887-1961 创立量子力学的波动理论 获1933年诺贝尔物理学奖
能量可能值
π 2 2 2 En n (n 1,2,3,) 2 2ma
nx n B sin a
每个可能的值叫能量本征值(能级） 能量本征函数
为求出 B 的值，利用波函数的归一化条件



n
( x) dx
2
x
n 0
a
2
dx 1,
为求出 B 的值，利用波函数的归一化条件
1 e2 氢原子中的电子…… U r 4 0 r
当粒子在
U U (r ) 势场中运动时
则哈密顿量
2 2 ˆ H U (r ) 不显含时间 2m
采用分离变量法
将波函数写成
Ψ (r , t ) (r ) f (t )
将波函数写成
Ψ (r , t ) (r ) f (t )
i E t
i Px x
2 2 2 Px 2 x 替换关系
2 2 U ( x, t )] Ψ ( x, t ) i Ψ ( x, t ) [ t 2m x 2
势场中的一维含时薛定谔方程 2.三维势场中粒子的薛定谔方程 2 2 2 2 2 2 2 2 U ( x, t ) U (r , t ) x 2 x y z 2 2 2 2 2 拉普拉斯算符 2 2 x y z
( 0 x a) U(x) 势函数: U→∞ U (x ( x 0 x a)
U ( x) 0
2
U→∞
d U ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx
2
E
U=0
0 a
x
定态薛定谔方程: 阱外：
2 d2 ( x) E ( x) ( x 0 x a) 2 2m dx
(一)、自由粒子薛定谔方程的引进
1. 自由粒子满足的方程
质量为m的自由粒子， 在非相对论下能量和动量的关系: 自由粒子的波函数: Ψ ( x, t ) Ψ e 0

2 px E Ek 2m i

( Et - Px x )
应该是薛定谔方程的解 薛定谔给出自由粒子波函数满足的微分方程是
2 2 Ψ ( x, t ) i Ψ ( x , t ) t 2m x 2
将波函数代入可以验证该方程
2. 写薛定谔方程的简单途径
自由粒子波函数
i ( Et - Px x ) Ψ ( x, t ) Ψ 0e
注意到
Ψ ( x,t ) i EΨ ( x,t ) t Ψ ( x,t ) i PxΨ ( x,t ) x 2Ψ ( x,t ) Px2 2 Ψ ( x,t ) 2 x 写薛定谔方程的基本过程:
物理上的主要任务是解方程(2) 2 2 ˆ ˆ (r ) E (r ) H U (r ) H
2m
2 2 定态薛定谔方程： U (r ) (r ) E (r ) 2m
讨论:
2 2 U ( r ) ( r ) E ( r ) 2m
令＝E
上式 左边是 t 的函数 右边是 r 的函数 且两变量相互独立
两边必须等于同 一个常量时才成 立
得
df ( t ) 1 1 ˆ i H ( r ) dt f ( t ) ( r )
令＝E
df ( t ) 得到两个独立的方程: i Ef ( t ) (1) dt ˆ ( r ) E ( r ) (2) H df ( t ) i iEt E 具有能量的量纲 Edt f t Ce f (t ) 代表粒子的能量
或写成
E E (r )
i
Et 则粒子的波函数：Ψ E (r , t ) E (r ) f (t ) E (r ) e
Ψ ( r , t ) ( r )e
i Et
Et 则粒子的波函数：Ψ E (r , t ) E (r ) f (t ) E (r ) e
阱内：
2 d2 ( x) E ( x) 2m dx 2
( 0 x a)
分区求通解:
1)阱外
2 d2 ( x) E ( x) 2 2m dx
根据波函数有限的条件
阱外
2)阱内
( x) 0
x a, x 0
2 d2 ( x) E ( x) 2 2m dx
2 2 ˆ H U (r ) 2m
ˆ Ψ (r , t) i Ψ (r , t ) H 代入薛定谔方程 t df ( t ) ˆ (r ) f (t ) 得 i (r ) H dt (r ) f (t ) 左右两边同除


得
df ( t ) 1 1 ˆ i H ( r ) dt f ( t ) ( r )
2 2 U (r , t )] Ψ (r, t) i Ψ (r , t ) [ t 2m
2 2 ˆ 引入哈密顿算符: H U r , t 2m
薛定谔方程普遍形式
ˆ Ψ r , t i Ψ r , t H t
（2）它的解满足态的叠加原理 因为薛定谔方程是线性偏微分方程。
若 Ψ ( r , t ) 和 Ψ ( r , t )是薛定谔方程的解， 1 2 则 c1Ψ(r , t ) c2Ψ (r , t ) 也是薛定谔方程的解。 1 2
（3）它并非推导所得，最初是假设，后来通过实验 检验了它的正确性，地位相当“牛顿定律”。
（4）它是非相对论形式的方程。
ˆ Ψ r , t i Ψ r , t H t
(三)、定态薛定谔方程
2 2 ˆ H U r , t 2m （不含时的薛定谔方程）
微观粒子的势能函数 U 与时间 t 无关的问题------定态问题。 例如： 自由运动的粒子…………U = 0
或写成
i Et Ψ ( r , t ) ( r )e
i
4.定态：能量取确定值的状态
又指粒子在空间的概率密度不随时间变化的状态
即
2 Ψ ( r , t ) E ( r )e
i Et
2
2 E ( r ) 与时间无关
二.定态薛定谔方程的 应用
一维无限深势阱中运 动的粒子
1.一维势场U(x,t) 中的粒子
Px2 U ( x, t ) •粒子总能量 E 2m 2 2 U ( x, t ) •替换后关系式 i 2 t 2m x
• 令其作用于波函数 Ψ ( x, t ) •得到一维势场中粒子满足的薛定谔方程