2分段函数知识点及例题解析
二次函数--利润问题-分段函数
22.3（3.3）---利润问题-分段函数一．【知识要点】1.分段求最值，进行比较。
2.销售利润=（售价-成本价）×销售量．3.解题步骤：（1）.设：设出两变量；（2）.列：列出函数解析式；（3）.定：确定自变量的取值范围；（4）.判：判断存在最大（小）值；（5）.求：求出对称轴，并判断对称轴是否在取值范围；（6）.算：计算最值。
二．【经典例题】1.九(13)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表:已知该商品的进价为每件30元,设销售商品的每天利润为y元.(1)求出y与x的函数关系式;(2)问该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少?22018年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上涨，每千克猪肉的售价y1（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示．每千克猪肉的成本y2（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最低，为9元，如图所示．月份x…3456…售价y1/元…12141618…（1）求y1与x之间的函数关系式．（2）求y2与x之间的函数关系式．（3）设销售每千克猪肉所获得的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉所获得的利润最大？最大利润是多少元？3.某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件． （1）如图，设第x （0＜x ≤20）个生产周期设备售价z 万元/件，z 与x 之间的关系用图中的函数图象表示．求z 关于x 的函数解析式（写出x 的范围）． （2）设第x 个生产周期生产并销售的设备为y 件，y 与x 满足关系式y ＝5x +40（0＜x ≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）4.为喜迎佳节，某食品公司推出一种新年礼盒，每盒成本为20元．在元旦节前30天进行销售后发现，该礼盒在这30天内的日销售量p （盒）与时间x （天）的关系如下表：在这30天内，前20天每天的销售价格1y （元/盒）与时间x （天）的函数关系式为11254y x =+（1≤x ≤20，且x 为整数），后10天每天的销售价格2y （元/盒）与时间x （天）的函数关系式为21402y x =-+（21≤x ≤30，且x 为整数）． （1）直接写出日销售量p （盒）与时间x （天）之间的关系式；（2）请求出这30天中哪一天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）元旦放假期间，该公司采取降价促销策略．元旦节当天，销售价格（元/盒）比第30天的销售价格降低a%，而日销售量就比第30天提高了4a%，日销售利润比前30天中的最大日销售利润少380元，求a 的值．三．【题库】【A】1.数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在前49天销售中，每销售一件商品就捐赠m元（0＜m＜10）给希望工程，若前49天销售获得的最大日利润为5408元，求出m的值时间x（天）1≤x＜5050≤x≤90售价（元/件）x+4090每天销量（件）200﹣2x【B】1.我县云蒙湖被临沂市人民政府定位“饮用水水源地”，为净化水源，某水产养殖企业在净化水源的同时，为谋求养殖利润最大化，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y1（元）与销售月份x（月）满足关系式y＝﹣x+36，而其每千克成本y2（元）与销售月份x（月）满足的函数关系如图所示．“五•一”之前，月份出售这种品每千克的利润最大．【C】1.（本题满分11分）绵阳经开区“万达广场”开业在即，开发商准备对一楼的40个商铺出租，小王和开发商约定：小王租赁的每个商铺每个月的租金y（元/个.月）与租赁的商铺数量x（个）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC 所示（不包含端点A ，但包含端点C ）． （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）已知开发商每个月对每个商铺的投入成本共280元，那么当小王租赁的商铺数量为多少时，开发商在这次租赁中，每个月所获的利润w 最大？最大利润是多少？【D 】1.大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商销售单价q （元/件）与x 满足：当1≤x ＜25时q=x+60；当25≤x ≤50时． （1）请分析表格中销售量p 与x 的关系，求出销售量p 与x 的函数关系． （2）求该超市销售该新商品第x 天获得的利润y 元关于x 的函数关系式． （3）这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少？2.某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。
3.1.2 第2课时 分段函数
第2课时 分段函数学习目标1．会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质.3.能用分段函数解决生活中的一些简单问题．知识点一 分段函数(1)定义：像y ＝⎩⎨⎧－x ，x <0，x ，x ≥0这样的函数称为分段函数．(2)实质：函数f (x )，x ∈A ，自变量x 在A 中□1不同的取值范围内，有着不同的□2对应关系． 知识点二 分段函数的性质(1)定义域：各段自变量取值范围的□3并集，注意各段自变量取值范围的□4交集为空集，这是由函数定义中的唯一性决定的．(2)值域：各段函数在相应区间上函数取值集合的□5并集． (3)图象：根据不同定义域上的解析式分别作出，再将它们组合在一起得到整个分段函数的图象．[微练1] (多选题)下列给出的函数是分段函数的是( ) A ．f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，1≤x ≤5，2x ，x <1B ．f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥4，x 2，x ≤4C ．f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1D ．f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋3，x <0，x －1，x ≥5解析：AD B 中的函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥4，x 2，x ≤4中，当x ＝4时，有两个值与之对应，不满足函数的定义，不是分段函数；C 中的函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1中，当x ＝1时，有两个值与之对应，不满足函数的定义，不是分段函数；只有A 、D中的函数满足分段函数的定义，是分段函数．故选AD ．[微练2] 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1x ＋1，x <－1，x －1，x >1，则f (2)＝( )A ．0B ．13C ．1D ．2解析：C ∵2＞1，∴f (2)＝2－1＝1.题型一 分段函数求值(范围)问题已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，2x ，－1<x <2，x 22，x ≥2.(1)求f (－3)，f (f (32))的值； (2)若f (a )＝2，求a 的值． [解] (1)因为－3<－1， 所以f (－3)＝－3＋2＝－1. 因为－1<32<2，所以f (32)＝2×32＝3. 又3>2，所以f (f (32))＝f (3)＝92.(2)当a ≤－1时，由f (a )＝2，得a ＋2＝2，a ＝0，舍去； 当－1<a <2时，由f (a )＝2，得2a ＝2，a ＝1； 当a ≥2时，由f (a )＝2， 得a 22＝2，a ＝2或a ＝－2(舍去)． 综上所述，a 的值为1或2. [发散思维]若本例函数f (x )不变，求满足f (x )>2x 的x 的取值范围． 解：当x ≤－1时，有x ＋2>2x .解得x <2，∴x ≤－1，当－1<x <2时，2x >2x ，x 无解， 当x ≥2时，x 22>2x .解得x >4， ∴x >4，综上，x 的取值范围为(－∞，－1]∪(4，＋∞)．1．分段函数求函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间；(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值或不等式求范围的步骤(1)先将参数分情况代入解析式，列出方程(不等式)；(2)解方程(不等式)求参数的值(范围)，并检验是否符合参数的取值范围； (3)符合题意的所有值(范围的并集)即为所求．1．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，f （x ＋1），x ≤0，则f (－43)＋f (43)等于( )A ．－2B ．4C ．2D ．－4解析：B ∵f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，f （x ＋1），x ≤0，∴f (－43)＝f (－43＋1)＝f (－13)＝f (－13＋1)＝f (23)＝23×2＝43，f (43)＝2×43＝83， ∴f (－43)＋f (43)＝43＋83＝4.2．已知f (x )＝⎩⎨⎧1，x ≥0，0，x <0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集为( )A ．[0，1]B ．[0，2]C ．(－∞，1]D ．(－∞，2]解析：C 当x ≥0时，x ×1＋x ≤2，解得0≤x ≤1；当x <0时，x ≤2，所以x <0.所以不等式xf (x )＋x ≤2的解集为(－∞，1]．故选C ．3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0，若f (α)＝9，则α＝________．解析：由题意得⎩⎨⎧α≤0，－α＝9或⎩⎨⎧α>0，α2＝9.∴α＝－9或α＝3. 答案：－9或3题型二 分段函数的图象及应用 角度1 分段函数的图象(1)(2023·许昌市高一六校联考)函数y ＝|x |x ＋x 的大致图象是( )(2)作出下列函数的图象： f (x )＝⎩⎨⎧－x －1，x ≤－1，x 2－x －2，－1<x ≤2，x －2，x >2.(1)[解析] 法一：易得函数y ＝|x |x ＋x 的定义域为{x |x ≠0}，排除A ，B ； 当x ＝－1时，y ＝－2，选项D 中的图象不符合，排除D ．故选C ． 法二：函数y ＝|x |x ＋x 的定义域为{x |x ≠0}，依据绝对值的概念可得y ＝⎩⎨⎧1＋x ，x >0，－1＋x ，x <0，易知选项C 对应的图象正确． [答案] C(2)[解] 画出一次函数y ＝－x －1的图象，取(－∞，－1]上的一段；画出二次函数y ＝x 2－x －2的图象，取(－1，2]上的一段；画出一次函数y ＝x －2的图象，取(2，＋∞)上的一段，如图所示．角度2 分段函数图象的应用(链接教材P 68例6)已知函数f (x )＝－x 2＋2，g (x )＝x ，令φ(x )＝min{f (x )，g (x )}(即f (x )和g (x )中的较小者)．(1)分别用图象法和解析式表示φ(x )； (2)求函数φ(x )的定义域，值域．[解] (1)在同一个坐标系中画出函数f (x )，g (x )的图象如图①.由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x )的定义，可得函数φ(x )的图象如图②.令－x 2＋2＝x ，得x ＝－2或x ＝1.结合图②，得出φ(x )的解析式为φ(x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2，x ≤－2，x ，－2<x <1，－x 2＋2，x ≥1.(2)由图②知，φ(x )的定义域为R ，φ(1)＝1， ∴φ(x )的值域为(－∞，1]．1．分段函数图象的画法作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．2．根据分段函数图象求解析式(1)首先从图象上看分段点及各段定义域．(2)其次看各段图象所代表的函数，用待定系数法求解析式，最后写成分段函数．4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x ≤0，x 2＋1，0<x ≤1，则函数f (x )的图象是( )答案：A5．已知函数f (x )的图象如图所示，求f (x )的解析式．解：当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 将(－1，0)，(0，1)代入解析式， 则⎩⎨⎧－a ＋b ＝0，b ＝1.∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1.∴f (x )＝x ＋1. 当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx (k ≠0)， 将(1，－1)代入，则k ＝－1.∴f (x )＝－x . 即f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x <0，－x ，0≤x ≤1.题型三 分段函数在实际问题中的应用某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5 km 以内(含5 km)，票价2元；(2)5 km 以上，每增加5 km ，票价增加1元(不足5 km 的按5 km 计算)． 如果某条线路的总里程为20 km ，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．[解] 设票价为y 元，里程为x km.由题意可知，自变量x 的取值范围是(0，20]．由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，可得到以下函数解析式：y ＝⎩⎨⎧2，0<x ≤5，3，5<x ≤10，4，10<x ≤15，5，15<x ≤20.函数图象如图．分段函数应用问题的两个关注点(1)应用情境日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等，都是最简单的分段函数．(2)注意问题求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”，一定要分得合理．6．(2022·滨州高一检测)某同学设想用“高个子系数k ”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160 cm 及其以下不算高个子，其高个子系数k 应为0；身高190 cm 及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k 应为1，请给出一个符合该同学想法、合理的成年男子高个子系数k 关于身高x (cm)的函数关系式________．解析：设身高为x cm ，k (x )＝ax ＋b (a ＞0)，x ∈[160，190]， 由⎩⎨⎧160a ＋b ＝0，190a ＋b ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝130，b ＝－163.k (x )＝130x －163.故k ＝⎩⎪⎨⎪⎧0， 0<x ≤160，130（x －160）， 160<x <190，1， x ≥190.答案：k ＝⎩⎪⎨⎪⎧0， 0<x ≤160，130（x －160）， 160<x <190，1， x ≥190特别提醒(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数，整体及各段符合函数的定义． (2)分段函数的定义域是各段自变量的并集，值域是各段值域的并集． (3)求解分段函数问题的原则是分段讨论．课时规范训练 A 基础巩固练1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x －2，x <2，f （x －1），x ≥2，则f (2)等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：A f (2)＝f (2－1)＝f (1)＝1－2＝－1.2．著名的Dirichlet 函数D (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则D (D (x ))等于( )A ．0B ．1C ．⎩⎨⎧1，x 为无理数，0，x 为有理数D ．⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数解析：B ∵D (x )∈{0，1}，∴D (x )为有理数， ∴D (D (x ))＝1.3．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( )A B C D解析：B 根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A ，D ．然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C ．故选B ．4．设f (x )＝⎩⎨⎧－x －3（x ≤－1），x 2（－1<x <2），3x （x ≥2），若f (x )＝9，则x ＝()A ．－12B ．±3C ．－12或±3D ．－12或3解析：Df (x )＝⎩⎨⎧－x －3（x ≤－1），x 2（－1<x <2），3x （x ≥2），f (x )＝9，当x ≤－1时，－x －3＝9，解得x ＝－12；当－1<x <2时，x 2＝9，解得x ＝±3，不成立；当x ≥2时，3x ＝9，解得x ＝3，所以x ＝－12或x ＝3.故选D ．5.(多选题)函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋1，x >0，x ＋1，x ≤0B ．f (x )＝⎩⎨⎧－x －1，x >0，x ＋1，x ≤0C ．f (x )＝－|x |＋1D ．f (x )＝|x ＋1|解析：AC 由题中图象知 当x ≤0时，f (x )＝x ＋1，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，故选AC ．6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x ＋2，x <1，x 2－ax ，x ≥1，若f (f (0))＝a ，则实数a ＝________．解析：依题意知f (0)＝3×0＋2＝2，则f (f (0))＝f (2)＝22－2a ＝a ，得a ＝43. 答案：437．某市出租汽车收费标准如下：在3 km 以内(含3 km)路程按起步价9元收费，超过3 km 的路程按2.4元/km 收费．收费额(单位：元)关于路程(单位：km)的函数解析式为________．解析：设路程为x km 时，收费额为y 元，则由题意得：当x ≤3时，y ＝9；当x >3时，按2.4元/km 所收费用为2.4×(x －3)，那么有y ＝9＋2.4×(x －3)．于是，收费额关于路程的函数解析式为y ＝⎩⎨⎧9，0<x ≤3，9＋2.4×（x －3），x >3，即y ＝⎩⎨⎧9，0<x ≤3，2.4x ＋1.8，x >3.答案：y ＝⎩⎨⎧9，0<x ≤3，2.4x ＋1.8，x >38．函数f (x )的图象如图所示，求函数f (x )的解析式．解：当x <－1时，设f (x )＝ax ＋b ， 则⎩⎨⎧－a ＋b ＝1，－2a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2， 所以f (x )＝x ＋2；当－1≤x ≤2时，设f (x )＝kx 2， 由4＝k ·22得k ＝1，所以f (x )＝x 2； 当x >2时，设f (x )＝cx ＋d ，则⎩⎨⎧2c ＋d ＝4，3c ＋d ＝6，解得⎩⎨⎧c ＝2，d ＝0，所以f (x )＝2x ，所以f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x <－1，x 2，－1≤x ≤2，2x ，x >2.B 能力进阶练9．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝|x |sgn x 的图象大致是( )A B C D解析：C由题意知f (x )＝⎩⎨⎧x ，x >0，0，x ＝0，x ，x <0，则f (x )＝x ，则f (x )的图象为C 中图象所示．10．(多选题)已知函数f (x )的图象由如图所示的两条线段组成，则( )A ．f (f (1))＝3B ．f (2)>f (0)C ．f (x )＝－x ＋1＋2|x －1|，x ∈[0，4]D ．∃a >0，不等式f (x )≤a 的解集为[12，2]解析：AC 因为f (1)＝0，f (0)＝3，所以f (f (1))＝3，A 正确；f (0)＝3，0<f (2)<3，所以f (2)<f (0)，B 错误；由题图得，当x ∈[0，1]时，设解析式为y ＝k 1x ＋b 1(k 1≠0)，图象经过(1，0)，(0，3)，所以⎩⎨⎧k 1＋b 1＝0，b 1＝3，解得⎩⎨⎧k 1＝－3，b 1＝3，所以y ＝3－3x ； x ∈[1，4]时，设解析式为y ＝k 2x ＋b 2(k 2≠0)，图象经过(1，0)，(4，3)，所以⎩⎨⎧k 2＋b 2＝0，4k 2＋b 2＝3，解得⎩⎨⎧k 2＝1，b 2＝－1，所以解析式为y ＝x －1；即f (x )＝－x ＋1＋2|x －1|，x ∈[0，4]，C 正确；由C 得f (2)＝2－1＝1，f (12)＝3－32＝32，如图，所以不存在大于零的a ，使得不等式f (x )≤a 的解集为[12，2]，故D 错误．11．(多选题)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，关于函数f (x )的结论正确的是( )A ．f (x )的定义域为RB ．f (x )的值域为(－∞，4)C ．若f (x )＝3，则x 的值是 3D ．f (x )<1的解集为(－1，1)解析：BC 由题意知函数f (x )的定义域为(－∞，2)，故A 错误；当x ≤－1时，f (x )的取值范围是(－∞，1]．当－1<x <2时，f (x )的取值范围是[0，4)，因此f (x )的值域为(－∞，4)，故B 正确；当x ≤－1时，x ＋2＝3，解得x ＝1(舍去)，当－1<x <2时，x 2＝3，解得x ＝3或x ＝－3(舍去)，故C 正确；当x ≤－1时，x ＋2<1，解得x <－1，当－1<x <2时，x 2<1，解得－1<x <1，因此f (x )<1的解集为(－∞，－1)∪(－1，1)，故D 错误．故选BC ．12．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f (1a )＝________． 解析：若0<a <1，由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2(a ＋1－1)，所以a ＝14，所以f (1a )＝f (4)＝2×(4－1)＝6.若a ≥1，由f (a )＝f (a ＋1)得2(a －1)＝2(a ＋1－1)，无解．综上，f (1a )＝6.答案：613．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11：00到12：00他骑了多少千米？(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？解：(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．(2)10：30开始第一次休息，休息了半小时．(3)第一次休息时，离家17千米．(4)11：00至12：00他骑了13千米．(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形.。
分段函数的几种常见题型和解法
函数的概念和性质考点 分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的围, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：1．求分段函数的定义域和值域例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x xx x +∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩的定义域、值域.2．求分段函数的函数值例2．已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩求12[()]f f .3．求分段函数的最值例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值.4．求分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ）222(10).()2(02)xx x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 222(10).()2(02)xx x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 222(12).()1(24)x x x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩226(12).()3(24)x x x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩5．作分段函数的图像例5．函数|ln ||1|x y ex =--的图像大致是（ ）CD6．求分段函数得反函数例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31xf x =-, 设()f x 的反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式.7．判断分段函数的奇偶性例7．判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.8．判断分段函数的单调性例8．判断函数32(0)()(0)x x x f x xx ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.例9．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.9．解分段函数的方程例10．设函数812(,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1()4f x =的x 的值为10．解分段函数的不等式例11．设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩, 若0()1f x >, 则0x 得取值围是（ ）.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,)D -∞-⋃+∞例12．设函数2(1)(1)()4(1)x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值围为（ ）A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃反馈练习1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln x ＋1，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值围是( )A ．(－∞，0] B.(－∞，1] C ．[－2,1]D ．[－2,0]2．（2013，4分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.3．（2013，5分）函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ， x ≥1，2x ， x <1的值域为________．4．（2012，5分）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A ．lg 101B ．2C ．1D ．05．（2011，5分）根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,166．（2012，5分）设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f (12)＝f (32)，则a ＋3b 的值为________．7．（2011，5分）已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．函数的概念和性质考点一 分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的围, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：1．求分段函数的定义域和值域例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x xx x +∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩的定义域、值域. 【解析】作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为[1,)-+∞, 值域为(1,3]-.2．求分段函数的函数值例2．已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x--≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩求12[()]f f .【解析】因为311222()|1|2f =--=-, 所以312223214[()]()1()13f f f =-==+-.3．求分段函数的最值例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值.【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时, max ()(1)4f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有max ()4f x =.4．求分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ）222(10).()2(02)xx x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 222(10).()2(02)xx x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 222(12).()1(24)xx x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 226(12).()3(24)xx x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 【解析】当[2,0]x ∈-时, 121y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式为1122(2)111y x x =-+-=-, 所以()22([1,0])f x x x =+∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以12()2([0,2])f x x x =+∈, 综上可得222(10)()2(02)x x x f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩, 故选A .5．作分段函数的图像 例5．函数|ln ||1|x y ex =--的图像大致是（ ）CD解析：在定义围讨论，当0<x<1时，11y x x=+-；当x>1时1y =，故选D 6．求分段函数得反函数例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31xf x =-, 设()f x 的反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式.【解析】设0x <, 则0x ->, 所以()31xf x --=-, 又因为()f x 是定义在R 上的奇函数,所以()()f x f x -=-, 且(0)0f =, 所以()13xf x -=-, 因此31(0)()0(0)13(0)x x x f x x x -⎧->⎪==⎨⎪-<⎩, 从而可得33log (1)(0)()0(0)log (1)(0)x x g x x x x +>⎧⎪==⎨⎪--<⎩.7．判断分段函数的奇偶性例7．判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.【解析】当0x >时, 0x -<, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=, 当0x =时,(0)(0)0f f -==, 当0x <, 0x ->, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---=-+=因此, 对于任意x R ∈都有()()f x f x -=, 所以()f x 为偶函数.8．判断分段函数的单调性例8．判断函数32(0)()(0)x x x f x xx ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.【解析】显然()f x 连续. 当0x ≥时, '2()311f x x =+≥恒成立, 所以()f x 是单调递增函数, 当0x <时, '()20f x x =->恒成立, ()f x 也是单调递增函数, 所以()f x 在R 上是单调递增函数; 或画图易知()f x 在R 上是单调递增函数.例9．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.【解析】121231()()3(2)31(2)x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩, 画图易知单调减区间为12(,]-∞-.9．解分段函数的方程例10．（01年）设函数812(,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1()4f x =的x 的值为【解析】 若142x-=, 则222x--=, 得2(,1]x =∉-∞, 所以2x =（舍去）, 若1814log x =,则1481x =, 解得3(1,)x =∈+∞, 所以3x =即为所求.10．解分段函数的不等式例11．设函数1221(0)()(0)x x f x xx -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩, 若0()1f x >, 则0x 得取值围是（ ）x.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,)D -∞-⋃+∞【解析1】首先画出()y f x =和1y =的大致图像, 易知0()1f x >时, 所对应的0x 的取值围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞.【解析2】因为0()1f x >, 当00x ≤时, 0211x -->, 解得01x <-, 当00x >时,1201x >, 解得01x >, 综上0x 的取值围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞. 故选D.例12．设函数2(1)(1)()41(1)x x f x x x ⎧+<⎪=⎨--≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值围为（ ）A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃ 【解析】当1x <时, 2()1(1)120f x x x x ≥⇔+≥⇔≤-≥或, 所以21x x ≤-≤<或0, 当1x ≥时, ()14111310f x x x x ≥⇔--≥⇔-≤⇔≤, 所以110x ≤≤, 综上所述, 2x ≤-或010x ≤≤, 故选A 项.【点评：】以上分段函数性质的考查中, 不难得到一种解题的重要途径, 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化, 效果明显.反馈练习1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln x ＋1，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值围是( )A ．(－∞，0]B.(－∞，1] C ．[－2,1] D ．[－2,0]解析：本题考查一次函数、二次函数、对数函数、分段函数及由不等式恒成立求参数的取值围问题，意在考查考生的转化能力和利用数形结合思想解答问题的能力．当x ≤0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤0，所以|f (x )|≥ax 化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，因为x ≤0，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2；当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)＞0，所以|f (x )|≥ax 化简为ln(x ＋1)＞ax 恒成立，由函数图象可知a ≤0，综上，当－2≤a ≤0时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立，选择D.答案：D2．（2013，4分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________. 解析：本题主要考查分段函数的求值，意在考查考生的应用能力和运算求解能力．∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 答案：－2 3．（2013，5分）函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 12x ， x ≥1，2x ， x <1的值域为________．解析：本题主要考查分段函数的概念、性质以及指数函数、对数函数的性质，意在考查考生对函数定义域、值域掌握的熟练程度．分段函数是一个函数，其定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集．当x ≥1时，log 12x ≤0，当x <1时，0<2x<2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．答案：(－∞，2)4．（2012，5分）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A ．lg 101B ．2C ．1D ．0解析：f (10)＝lg 10＝1，故f (f (10))＝f (1)＝12＋1＝2.答案：B5．（2011，5分）根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ c x ，x <A ，c A ，x ≥A (A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16 解析：因为组装第A 件产品用时15分钟，所以c A ＝15(1)，所以必有4<A ，且c 4＝c 2＝30(2)，联立(1)(2)解得c ＝60，A ＝16.答案：D 6．（2012，5分）设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f (12)＝f (32)，则a ＋3b 的值为________． 解析：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f (32)＝f (－12)，且f (－1)＝f (1)，故f (12)＝f (－12)，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1,3a ＋2b ＝－2. ① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，故b ＝－2a . ②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.答案：－107．（2011，5分）已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析：①当1－a ＜1，即a ＞0时，此时a ＋1＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，计算得a ＝－32(舍去)；②当1－a ＞1，即a ＜0时，此时a ＋1＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，计算得a ＝－34，符合题意，所以综上所述，a ＝－34. 答案：－34。
分段函数知识点及例题解析
分段函数常见题型例析所谓“分段函数”是指在定义域的不同部分，有不同对应关系的函数，因此分段函数不是几个函数而是一个函数，它在解题中有着广泛的应用，不少同学对此认识不深，解题时常出现错误．现就分段函数的常见题型例析如下：１．求分段函数的定义域、值域例１．求函数)(x f ＝⎪⎩⎪⎨⎧->-≤+)2(,2)2(,42x x x x x 的值域．解：当x ≤－２时，4)2(422-+=+=x x x y ， ∴ y ≥－４．当x ＞－２时，y ＝2x ， ∴y ＞22-＝－１． ∴ 函数)(x f 的值域是｛y ∣y ≥－４，或y ＞－１｝＝｛y ∣y ≥－４｝． 评注：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集．２．作分段函数的图象例２ 已知函数2(2)()3[22)3[2)x f x x x x -∈-∞-⎧⎪=+∈-⎨⎪∈+∞⎩，，，，，，，画函数(f x 解：函数图象如图１所示．评注：分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据定义域的不同，分别由表达式做出其图象．作图时，一要注意每段自变量的取值范围；二要注意间断函数的图象中每段的端点的虚实． ３．求分段函数的函数值例３．已知)(x f ＝⎪⎩⎪⎨⎧<=>+)0.(0)0(,)0(,1x x x x π 求(((3)))f f f -的值．解：∵ －３＜０ ∴ f （－３）＝０，∴ f （f （－３））＝f （０）＝π又π＞０ ∴(((3)))f f f -＝f （π）＝π＋１． 评注：求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值．４．求分段函数的最值x 图1例４．已知函数)(x f ＝22(0)(0)x x x ⎧⎨<⎩，≥， 求出这个函数的最值．解：由于本分段函数有两段，所以这个函数的图象由两部分组成，其中一部分是一段抛物线，另一部分是一条射线，如图２所示．因此易得，函数最小值为０，没有最大值．５．表达式问题例５． 如图３，动点P 从边长为１的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B C D ，，再回到A ，设x 表示P 点的行程，y 表示PA 的长度，求y 关于x 的表达式．解：如图3所示，当P 点在AB 上运动时，PA x =；当P 点在BC 上运动时，由PBA △Rt ，求得PA =；当P 点在CD 上运动时，由PDA Rt △求出PA =；当P 点在DA 上运动时，4PA x =-，所以y 关于x的表达式是01122343 4.x x x y x x x ⎧<=<-<⎩， ≤≤，≤， ≤，， ≤ 在此基础上，强调“分段”的意义，指出分段函数的各段合并成一个整体，必须用符号“｛”来表示，以纠正同学们的错误认识． A BP 图３。
(完整word版)分段函数的几种常见题型及解法
分段函数的几种常见题型及解法分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 笔者就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：1．求分段函数的定义域和值域例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x xx x +∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩的定义域、值域.【解析】作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为[1,)-+∞, 值域为(1,3]-.2．求分段函数的函数值例2．（05年浙江理）已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩求12[()]f f .【解析】因为311222()|1|2f =--=-, 所以312223214[()]()1()13f f f =-==+-.3．求分段函数的最值例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值.【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时, max ()(1)4f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有max ()4f x =.4．求分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ）222(10).()2(02)xx x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 222(10).()2(02)xx x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 222(12).()1(24)xx x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 226(12).()3(24)xx x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 【解析】当[2,0]x ∈-时, 121y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式为1122(2)111y x x =-+-=-, 所以()22([1,0])f x x x =+∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以12()2([0,2])f x x x =+∈, 综上可得222(10)()2(02)x x x f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩, 故选A .5．作分段函数的图像 例5．函数|ln ||1|x y ex =--的图像大致是（ ）y xACD6．求分段函数得反函数例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31xf x =-, 设()f x 得反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式.【解析】设0x <, 则0x ->, 所以()31xf x --=-, 又因为()f x 是定义在R 上的奇函数,所以()()f x f x -=-, 且(0)0f =, 所以()13xf x -=-, 因此31(0)()0(0)13(0)x x x f x x x -⎧->⎪==⎨⎪-<⎩, 从而可得33log (1)(0)()0(0)log (1)(0)x x g x x x x +>⎧⎪==⎨⎪--<⎩.7．判断分段函数的奇偶性例7．判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.【解析】当0x >时, 0x -<, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=, 当0x =时,(0)(0)0f f -==, 当0x <, 0x ->, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---=-+=因此, 对于任意x R ∈都有()()f x f x -=, 所以()f x 为偶函数.8．判断分段函数的单调性例8．判断函数32(0)()(0)x x x f x xx ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.【解析】显然()f x 连续. 当0x ≥时, '2()311f x x =+≥恒成立, 所以()f x 是单调递增函数, 当0x <时, '()20f x x =->恒成立, ()f x 也是单调递增函数, 所以()f x 在R 上是单调递增函数; 或画图易知()f x 在R 上是单调递增函数.例9．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.【解析】121231()()3(2)31(2)x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩, 画图易知单调减区间为12(,]-∞-.9．解分段函数的方程例10．（01年上海）设函数812(,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1()4f x =的x 的值为【解析】 若142x-=, 则222x--=, 得2(,1]x =∉-∞, 所以2x =（舍去）, 若1814log x =,则1481x =, 解得3(1,)x =∈+∞, 所以3x =即为所求.10．解分段函数的不等式例11．设函数1221(0)()(0)x x f x xx -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩,若xy0()1f x >, 则0x 得取值范围是（ ）.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,)D -∞-⋃+∞【解析1】首先画出()y f x =和1y =的大致图像, 易知0()1f x >时, 所对应的0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞.【解析2】因为0()1f x >, 当00x ≤时, 0211x-->, 解得01x <-, 当00x >时, 1201x >, 解得01x >, 综上0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞. 故选D.例12．设函数2(1)(1)()4(1)x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围为（ ）A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃ 【解析】当1x <时, 2()1(1)120f x x x x ≥⇔+≥⇔≤-≥或, 所以21x x ≤-≤<或0, 当1x ≥时, ()141310f x x ≥⇔⇔⇔≤, 所以110x ≤≤, 综上所述, 2x ≤-或010x ≤≤, 故选A 项.【点评：】以上分段函数性质的考查中, 不难得到一种解题的重要途径, 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化, 效果明显.。
初二数学分段函数知识点详解
初二数学分段函数知识点详解分段函数是数学中一个非常重要的概念，在初二数学学习中也是一个重要的知识点。
本文将详细解释分段函数的概念、性质以及解题方法。
1. 概念分段函数是由两个或多个函数组成的函数，根据自变量所属的不同区间而有不同的表达式。
它的定义域分为多个不相交的区间，每个区间上都有一个函数与之对应。
常见的分段函数形式为以下两种：- 若自变量x属于[a, b]，则函数f(x) = g(x)，其中g(x)为定义在[a, b]上的函数。
- 若自变量x属于[a, b]，则函数f(x) = h(x)，其中h(x)为定义在(a, b)上的函数。
2. 性质分段函数具有以下几个性质：- 分段函数的定义域是所有子函数定义域的并集。
- 分段函数是连续函数的一个特例，它在每个子函数定义域内连续，但可能在定义域之间的交界处不连续。
- 分段函数的图像由各个子函数的图像拼接而成，形状可以是折线、曲线或是其他形式。
3. 解题方法解题时，我们需要分析函数的定义域以及每个子函数在其定义域内的表达式。
下面将通过一个具体的例子展示解题步骤：例题：已知函数f(x)由以下两个子函数组成：- 当x ≤ -2时，f(x) = 2x - 1；- 当x > -2时，f(x) = x^2 + 3x + 2。
解题步骤：- 首先，我们需要确定函数的定义域。
根据题目中的条件，可得到整个实数集作为函数的定义域，即f(x)的定义域为(-∞, +∞)。
- 其次，我们根据不同的定义域范围，写出子函数的表达式。
当x ≤ -2时，f(x) = 2x - 1；当x > -2时，f(x) = x^2 + 3x + 2。
- 最后，我们根据定义域的范围和子函数的表达式，可以画出函数f(x)的图像。
在x = -2这个点，需要考虑到分段函数的不连续性。
4. 例题解析我们将例题中的两个子函数进行分析：- 子函数1：f(x) = 2x - 1。
它的定义域为(-∞, -2]。
初二数学分段函数知识点解析
初二数学分段函数知识点解析分段函数是初中数学中的重要内容之一，它通过不同的定义域范围将一个函数分成若干个部分，每个部分使用不同的表达式描述。
分段函数在数学中的应用非常广泛，能够帮助我们更好地理解和解决实际问题。
本文将对初二数学分段函数的知识点进行解析，并以具体的例子来说明其应用。
一、什么是分段函数分段函数（piecewise function），又称离散函数，指的是在定义域上不同区间内可以有不同的表达式。
通常我们用一个大括号表示不同区间上的表达式，例如：\[ f(x)=\begin{cases}x+1, & x<0 \\x^2, & x\geq0\end{cases} \]这个函数在定义域上可以分为两个区间，即负无穷到0和0到正无穷，分别使用了x+1和x^2作为函数表达式。
二、分段函数的定义域和值域对于分段函数来说，每个区间上都有一个对应的函数表达式。
因此，我们需要确定每个区间的定义域。
在上面的例子中，第一个区间定义域为负无穷到0，第二个区间定义域为0到正无穷。
而对于整个分段函数的定义域，应该是各个区间定义域的并集。
在上面的例子中，整个函数的定义域为负无穷到正无穷，即(-∞, +∞)。
值域的确定需要分别计算每个区间的值域，然后取所有值域的并集。
对于上面的例子来说，第一个区间的值域为(-∞, 1)，第二个区间的值域为[0, +∞)。
因此，整个函数的值域为(-∞, 1]。
三、分段函数的图像和性质分段函数的图像通常由各个区间的图像组成。
在上面的例子中，第一个区间图像为一条斜率为1的直线，第二个区间图像为一条开口向上的抛物线。
分段函数具有一些特殊的性质。
首先，分段函数的图像是不连续的，因为在不同的区间上使用了不同的表达式。
其次，分段函数可能具有端点处的间断点。
例如，在上面的例子中，函数在x=0处具有间断点，因为0既属于第一个区间也属于第二个区间。
四、分段函数的应用举例分段函数在实际问题中具有广泛的应用。
1.2.2(2)分段函数知识点及例题解析
1.2.2(2)分段函数知识点及例题解析-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII2分段函数常见题型例析所谓“分段函数”是指在定义域的不同部分，有不同对应关系的函数，因此分段函数不是几个函数而是一个函数，它在解题中有着广泛的应用，不少同学对此认识不深，解题时常出现错误．现就分段函数的常见题型例析如下： １．求分段函数的定义域、值域例１．求函数)(x f ＝⎪⎩⎪⎨⎧->-≤+)2(,2)2(,42x x x x x 的值域．解：当x ≤－２时，4)2(422-+=+=x x x y ， ∴ y ≥－４． 当x ＞－２时，y ＝2x ， ∴y ＞22-＝－１． ∴ 函数)(x f 的值域是｛y ∣y ≥－４，或y ＞－１｝＝｛y ∣y ≥－４｝．评注：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集．２．作分段函数的图象例２ 已知函数2(2)()3[22)3[2)x f x x x x -∈-∞-⎧⎪=+∈-⎨⎪∈+∞⎩，，，，，，，画函数解：函数图象如图１所示．评注其图象．作图时，一要注意每段自变量的取值范围；二要注意间断函数的图象中每段的端点的虚实．３．求分段函数的函数值例３．已知)(x f ＝⎪⎩⎪⎨⎧<=>+)0.(0)0(,)0(,1x x x x π 求(((3)))f f f -的值．x 图3解：∵ －３＜０ ∴f （－３）＝０， ∴ f （f （－３））＝f （０）＝π又π＞０ ∴(((3)))f f f -＝f （π）＝π＋１．评注：求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值．４．求分段函数的最值例４．已知函数)(x f ＝22(0)(0)x x x ⎧⎨<⎩，≥， 求出这个函数的最值． 解：由于本分段函数有两段，所以这个函数的图象没有最大值．５．表达式问题例５． 如图３，动点P 从边长为１的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B C D ，，再回到A ，设x 表示P 点的行程，y 表示PA 的长度，求y 关于x 的表达式．解：如图3所示，当P 点在AB 上运动时，PA x =；当P 点在BC上运动时，由PBA △Rt ，求得PA =；当P 点在CD 上运动时，由PDA Rt △求出PA =当P 点在DA 上运动时，4PA x =-， ABP图３所以y关于x的表达式是01122343 4.x xxyxx x⎧<=<-<⎩，≤≤，≤，≤，，≤在此基础上，强调“分段”的意义，指出分段函数的各段合并成一个整体，必须用符号“｛”来表示，以纠正同学们的错误认识．4。
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分段函数常见题型例析
所谓“分段函数”是指在定义域的不同部分，有不同对应关系的函数，因此分段函数不是几个函数而是一个函数，它在解题中有着广泛的应用，不少同学对此认识不深，解题时常出现错误．现就分段函数的常见题型例析如下：
１．求分段函数的定义域、值域
例１．求函数)(x f ＝⎪⎩⎪
⎨⎧->-≤+)2(,2
)2(,42x x x x x 的值域．
解：当x ≤－２时，4)2(42
2
-+=+=x x x y ， ∴ y ≥－４． 当x ＞－２时，y ＝
2x ， ∴y ＞2
2-＝－１． ∴ 函数)(x f 的值域是｛y ∣y ≥－４，或y ＞－１｝＝｛y ∣y ≥－４｝． 评注：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集．
２．作分段函数的图象
例２ 已知函数2(2)()3[22)3[2)x f x x x x -∈-∞-⎧⎪
=+∈-⎨⎪∈+∞⎩
，，，，
，，，画函数(
f x 解：函数图象如图１所示．
评注：分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成， 作图的关键是根据定义域的不同，分别由表达式做出 其图象．作图时，一要注意每段自变量的取值范围； 二要注意间断函数的图象中每段的端点的虚实．
３．求分段函数的函数值
例３．已知)(x f ＝⎪⎩
⎪
⎨⎧<=>+)0.(0)0(,)0(,1x x x x π 求(((3)))f f f -的值．
解：∵ －３＜０ ∴ f （－３）＝０，
x
图1
∴ f （f （－３））＝f （０）＝π
又π＞０ ∴(((3)))f f f -＝f （π）＝π＋１．
评注：求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值．
４．求分段函数的最值
例４．已知函数)(x f ＝22(0)(0)x x x ⎧⎨<⎩，
≥，
求出这个函数的最值．
解：由于本分段函数有两段，所以这个函数的图象由 两部分组成，其中一部分是一段抛物线，另一部分是 一条射线，如图２所示．因此易得，函数最小值为０，
没有最大值．
５．表达式问题
例５． 如图３，动点P 从边长为１的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过
B C D ，，再回到A ，设x 表示P 点的行程，y 表示PA 的长度，求y 关于x 的表达式．
解：如图3所示，当P 点在AB 上运动时，PA x =；
当P 点在
BC 上运动时，由PBA △Rt ，求得PA =； 当P 点在CD
上运动时，由PDA Rt △求出PA =； 当P 点在DA 上运动时，4PA x =-，
所以y 关于x
的表达式是01122343 4.
x x x y x x x ⎧<=<-<⎩， ≤≤， ≤，
≤，， ≤
在此基础上，强调“分段”的意义，指出分段函数的 各段合并成一个整体，必须用符号“｛”来表示，以纠正 同学们的错误认识． A
B
P
图３。