回归分析(5)讲解
回归分析中的局部加权回归模型构建技巧(五)
回归分析中的局部加权回归模型构建技巧回归分析是统计学中常用的一种分析方法，用于研究两个或两个以上变量之间的关系。
而局部加权回归模型则是回归分析中的一种特殊方法，它可以更好地适应数据的特点，对异常值和噪音具有更好的鲁棒性。
本文将介绍局部加权回归模型的构建技巧，希望对读者在实际应用中有所帮助。
1. 局部加权回归模型介绍局部加权回归模型（Locally Weighted Scatterplot Smoothing，简称LOESS）是一种非参数回归方法，它通过给不同的样本点赋予不同的权重来拟合数据。
在进行预测时，每个样本点的权重都是根据它周围的邻近点来确定的，这样可以使得模型更加灵活，能够更好地适应数据的非线性关系。
2. 数据准备在构建局部加权回归模型之前，首先需要对数据进行准备。
这包括数据的清洗、缺失值的处理、变量的标准化等工作。
同时，为了保证模型的准确性，在进行局部加权回归之前，还需要对数据进行探索性分析，了解自变量和因变量之间的关系，以及是否存在异常值和离群点。
3. 选择平滑参数在局部加权回归模型中，平滑参数（smoothing parameter）的选择是非常关键的一步。
平滑参数决定了局部加权回归中每个样本点的权重大小，从而影响模型的拟合效果。
一般来说，平滑参数越小，模型越趋向于局部线性回归；而平滑参数越大，模型越趋向于全局线性回归。
在实际应用中，可以通过交叉验证等方法来选择最优的平滑参数。
4. 模型拟合在确定了平滑参数之后，就可以开始构建局部加权回归模型了。
通过给每个样本点赋予不同的权重，模型可以更好地拟合数据，从而得到更准确的预测结果。
在拟合模型时，一般可以使用常见的回归方法，比如最小二乘法、梯度下降法等。
5. 模型评估构建好模型之后，还需要对模型进行评估，以确保模型的准确性和稳定性。
这包括对模型的拟合优度进行检验，比如R方、残差分析等；同时还需要对模型的预测能力进行验证，可以使用交叉验证、留一法等方法来评估模型的泛化能力。
第五章-假设检验与回归分析
件，得到拒绝域；
步骤 4：明确或计算样本均值 x ，得到U 变量的观测值 u x 0 n 0
若观测值 u 落入拒绝域，则拒绝零假设 H 0 ，即接受备择假设 H1 ，
否则不能拒绝零假设 H 0 。
第五章 假设检验与回归分析 例1、 已知某面粉自动装袋机包装面粉，每袋面粉重量 Xkg
服从正态分布 N(25,0.02) ，长期实践表明方差 2 比较稳定，从
第五章 假设检验与回归分析
U 检验的步骤：
步骤 1：提出零假设 H 0 ： 0 与备择假设 H1 ；
步骤 2：明确所给正态总体标准差 0 值、样本容量 n 的
值，当零假设 H 0 成立时，构造变量
U X 0 n ～ N(0,1) 0
第五章 假设检验与回归分析
步骤 3：由所给检验水平 的值查标准正态分布表求出对应 的双侧分位数 u 的值或上侧分位数 u 的值，构造小概率事
u
2
0.05， u 1.96 ，
2
第五章 假设检验与回归分析
x 0 n
12.5 12 1 100
5 u
2
1.96
故拒绝 H0 ，即认为产品平均质量有显著变化。
小结与提问：
理解假设检验的基本原理、概念；掌握假设检验的步骤。
课外作业：
P249 习题五 5.01, 5.02，5.03。
0.10，再在表中第一列找到自由度 m n 1 7 1 6 ，
其纵横交叉处的数值即为对应的 t 分布双侧分位数 t 1.943
2
，使得概率等式
PT 1.943 0.10
成立。这说明事件 T 1.943是一个小概率事件，于是得到
拒绝域
t 1.943
第五章 假设检验与回归分析
回归分析(5)概要
(1) 新引进的自变量只能依赖于 原始变量，而不能与未知参数有关。 若模型 1 中的 b 未知，则模型 1 不能线 性化。 可线性化的非线性回归模型称为 本质线性回归模型，不可线性化的非 线性回归模型称为本质非线性回归模 型。
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(2) 非线性化模型能否线性化不 仅与回归函数的形式有关，而且与误 差项的形式也有关。 例如，模型 3 的误差项为乘性误 差项，可以线性化，而模型 4 的误差 项为加性误差项，不可以线性化。 在对非线性回归模型进行线性化 时，总是假定误差项满足可线性化条
34
具体回归方程为 y 62.349 0.840 x1
5.685 x2 其标准化形式为 0.164 x2
2 0.037 x1
y 62.349 0.164 x1
2 0.785 x1
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例10.3 用均匀设计法研究从烤烟 中提取粗蛋白的实验条件。目标变量 y 是提取的蛋白质尝试，三个实验因 子分别为：提取液pH值x1，提取时间 x2的，提取温度x1。 采用U7(73)均匀设计表, 试验安排 与结果如下表：
, xp x
p
原模型化为多元线性回归模型
5
y 0 1 x1
pxp
对模型3，可先两边取对数，得 ln y ln a bx 然后再令
y ln y, 0 ln a, 1 b 原模型化为线性回归模型 y 0 1 x
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由于本例中最好的实验条件是 x1 13.1, x2 48.0, x3 60 根据前述分析，影响蛋白提取浓度的 最主要因素是提取时间，提取时间应 在48h以上；提取液pH值是第二重要 因素， pH 值应比 13.10 再低些；提取 温度应该控制在60º C以上。
回归分析方法
回归分析方法
回归分析是统计学中一种重要的数据分析方法，它用于研究自
变量和因变量之间的关系。
回归分析方法可以帮助我们预测和解释
变量之间的关系，从而更好地理解数据的特征和趋势。
在本文中，
我们将介绍回归分析的基本概念、常见的回归模型以及如何进行回
归分析。
首先，回归分析的基本概念包括自变量和因变量。
自变量是研
究者可以控制或观察到的变量，而因变量是研究者希望预测或解释
的变量。
回归分析旨在通过自变量的变化来预测或解释因变量的变化，从而揭示它们之间的关系。
常见的回归模型包括线性回归、多元线性回归、逻辑回归等。
线性回归是最简单的回归模型之一，它假设自变量和因变量之间的
关系是线性的。
多元线性回归则允许多个自变量对因变量产生影响，逻辑回归则用于因变量是二元变量的情况，例如成功与失败、生存
与死亡等。
进行回归分析时，我们需要收集数据、建立模型、进行拟合和
检验模型的拟合优度。
在收集数据时，我们需要确保数据的质量和
完整性，避免因为数据缺失或异常值而影响分析结果。
建立模型时，我们需要选择合适的自变量和因变量，并根据实际情况选择合适的
回归模型。
进行拟合和检验模型的拟合优度时，我们需要根据实际
情况选择合适的统计指标和方法，例如残差分析、R方值等。
总之，回归分析方法是一种重要的数据分析方法，它可以帮助
我们预测和解释变量之间的关系。
通过本文的介绍，相信读者对回
归分析有了更深入的了解，希望能够在实际工作中灵活运用回归分
析方法，为决策提供更可靠的依据。
空间分析原理与应用：第五章 空间回归分析
来自表2-1总体的两个随机样本
两个独立样本的回归线
总体回归线与样本回归线
Y
.Y1
需 求 量
. e1
u1
Yˆi b1 b2 Xi
.Yˆ1
EY | X B1 B2 Xi
A
..un Yn . en
Yˆn
0
X1 价格
Xn
X
5.2.6 “线性”回归的特殊含义
解释变量线性与参数线性
1. 解释变量线性 非线性举例：
y
y
000.5yy 0.5y 0 y
1 2 3 4 5
000...555yyy334
2 y
1
0.5y 5
0.5y 5
0.5y 4
(3 1)
式（3 1）表示变量y *用其他区域的y进行解释的线性关系，可写成：
y Cy
（3 2）
其中，是需要估计的回归参数，反映了样本数据内在的空间
模式的有效描述，因此需要引入能够描述空间自相关和空 间非平稳性的项，克服回归模型的缺陷。 • 空间关系的描述需要借助空间权重（邻接）矩阵。
空间邻接矩阵为：
0 1 0 0 0
1 0 0 0 0
W 0 0 0 1 1
(8)
0 0 1 0 1
0 0 1 1 0
行标准化为：
0 1 0 0 0
1 0 0 0 0
5.2.2 总体回归函数
例子：不同家庭收入水平下的学生数学SAT成绩
家庭年收入与数学S.A.T分数
总体回归函数PRF
E(Y | X i ) B1 B2 X i
(2-1)
Y的条件期望，可简写为E(Y)
B1和B2是参数(parameters)，也称回归系数 (regression coefficients)。
回归分析中的人工数据模拟实验(五)
回归分析是统计学中一种重要的分析方法，用于研究两个或多个变量之间的关系。
在实际数据分析中，有时候很难得到完美的数据，因此人工数据模拟实验成为一种常用的分析手段。
本文将探讨回归分析中的人工数据模拟实验的意义、方法和应用。
1. 模拟实验的意义在实际数据分析中，由于数据的获取受到各种限制，很难得到完美的数据。
数据可能存在缺失、异常值或者不符合分析要求的问题。
此时，通过人工数据模拟实验可以生成符合研究要求的数据，从而更好地进行分析和研究。
2. 模拟实验的方法在回归分析中，人工数据模拟实验的方法有多种。
一种常见的方法是基于已有的实际数据，通过随机抽样和重复实验的方式生成符合特定分布的人工数据。
另一种方法是基于已知的模型和假设，通过数值计算的方式生成人工数据。
这些方法可以根据具体的研究问题和数据特点进行选择和调整。
3. 模拟实验的应用人工数据模拟实验在回归分析中有着广泛的应用。
例如，在研究变量之间的线性关系时，可以通过生成符合特定线性关系的人工数据来验证回归模型的有效性和稳定性。
又如，在研究变量之间的非线性关系时，可以通过生成符合特定非线性关系的人工数据来验证回归模型的拟合效果和预测能力。
4. 模拟实验的局限性虽然人工数据模拟实验在回归分析中有着重要的应用，但也存在一定的局限性。
例如，模拟实验生成的人工数据可能无法完全模拟真实数据的复杂性和多样性。
此外，模拟实验需要合理的假设和参数设定，否则可能导致实验结果的偏差和误差。
5. 结语回归分析中的人工数据模拟实验为研究人员提供了一种重要的数据分析手段。
通过模拟实验，研究人员可以更好地理解回归模型的特性和性能，提高数据分析的可靠性和效率。
然而，需要注意的是，模拟实验只是数据分析的一部分，其结果需要结合实际情况进行综合考量和评估。
专题05 回归分析(解析版)
专题5 回归分析例1．已知回归方程y=5x+1，则该方程在样本（1，4）处的残差为（）A．﹣2B．1C．2D．5【解析】解：当x＝1时，y=5x+1＝6，∴方程在样本（1，4）处的残差是4﹣6＝﹣2．故选：A．例2．研究变量x，y得到一组样本数据，进行回归分析，有以下结论①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；②用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小说明拟合效果越好；③在回归直线方程y=−0.2x+0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量y平均减少0.2个单位；④若变量y和x之间的相关系数为r＝﹣0.9462，则变量y和x之间的负相关很强．以上正确说法的是①③④．【解析】解：①可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故①正确；②用相关指数R2来刻画回归效果，R2越大说明拟合效果越好，故②错误；③在回归直线方程y=−0.2x+0.8中中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量y平均减少0.2个单位，故③正确；④若变量y和x之间的相关系数为r＝﹣0.9462，r的绝对值趋向于1，则变量y和x之间的负相关很强，故④正确．故答案为：①③④．例3．下列命题中，正确的命题有②③．①回归直线y=b x+a恒过样本点中心（x，y），且至少过一个样本点；②用相关指数R2来刻画回归效果，表示预报变量对解释变量变化的贡献率，R2越接近于1说明模型的拟合效果越好；③残差图中残差点比较均匀的落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适；④两个模型中残差平方和越大的模型的拟合效果越好．【解析】解：①回归直线y=b x+a恒过样本点中心（x，y），不一定过样本点，故①正确；②用相关指数R2来刻画回归效果，表示预报变量对解释变量变化的贡献率，R2越接近于1说明模型的拟合效果越好，正确；③残差图中残差点比较均匀的落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，正确；④两个模型中残差平方和越大的模型的拟合效果越差．故④错误，故正确的是②③，故答案为：②③例4．下列命题：①相关指数R2越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越好．②对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”可信程度越大．③残差点比较均匀地落在水平带状区域内，带状区域越宽，说明模型拟合精度越高．④两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近0．其中错误命题的个数为4．【解析】解：对于①，相关指数R2越小，则残差平方和越大，此时模型的拟合效果越差，所以①错误；对于②，对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”可信程度越小，所以②错误；对于③，残差点比较均匀地落在水平带状区域内，带状区域越宽，说明模型拟合精度越低，所以③错误；对于④，两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，所以④错误．综上知，错误命题的序号是①②③④，共4个．故答案为：4．例5．垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理．某市为调査产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据（x i，y i）（i＝1，2，……，20），其中x i和y i分别表示第i个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位：吨），并计算得∑20i=1x i=80，∑20i=1y i=4000，∑20i=1（x i−x）2＝80，∑20i=1（y i−y）2＝8000，∑20i=1（x i−x）（y i−y）＝7000．（1）请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合；（2）求y关于x的线性回归方程；（3）某科研机构研发了两款垃圾处理机器，如表是以往两款垃圾处理机器的使用年限（整年）统计表：1年2年3年4年5年使用年限台数款式甲款520151050乙款152010550某环保机构若考虑购买其中一款垃圾处理器，以使用年限的频率估计概率．根据以往经验估计，该机构选择购买哪一款垃圾处理机器，才能使用更长久？参考公式：相关系数r=∑n i=1i−x)(y i−y)√∑i=1(x i−x)∑i=1(y i−y)2．对于一组具有线性相关关系的数据（x i，y i）（i＝1，2，……，n），其回归直线y=b x+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b=∑ni=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2，a=y−b x．【解析】解：（1）由题意知相关系数r=∑20i=1i−x)(y i−y)√∑i=1(x i−x)2∑i=1(y i−y)2=√80×8000=78=0.875，因为y与x的相关系数接近1，所以y与x之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合．（2）由题意可得，b=∑20i=1(x i−x)(y i−y)∑20i=1(x i−x)2=70080=8.75，a=y−b x=400020−8.75×8020=200−8.75×4=165，所以y=8.75x+165．（3）以频率估计概率，购买一台甲款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用X（单位：万元）的分布列为X﹣50050100P0.10.40.30.2E（X）＝﹣50×0.1+0×0.4+50×0.3+100×0.2＝30（万元）购买一台乙款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用Y（单位：万元）的分布列为：Y﹣302070120P0.30.40.20.1E（Y）＝﹣30×0.3+20×0.4+70×0.2+120×0.1＝25（万元）因为E（X）＞E（Y），所以该县城选择购买一台甲款垃圾处理机器更划算．例6．某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．据统计该基地的西红柿增加量y（百斤）与使用某种液体肥料x（千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，请计算相关系数r（精确到0.01），并以此判定是否可用线性回归模型拟合y 与x的关系？若是请求出回归直线方程，若不是请说明理由；（2）过去50周的资料显示，该地周光照量X（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制，并有如表关系：周光照量X（单位：小时）30＜X＜5050≤X≤70n≥2光照控制仪最多可运行台数542若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了5台光照控制仪，求商家在过去50周每周利润的平均值．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），……，（x n，y n），其相关系数公式r=∑n i=1i−x)(y i−y)√∑i=1i−x)2∑i=1i−y)2，回归直线y=b x+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b=∑ni=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2=∑ni=1x i y i−nxy∑n i=1(x i−x)2，a=y−b x，参考数据√0.3≈0.55，√0.9≈0.95．【解析】解：（1）由已知数据可得x=2+4+5+6+85=5，y=3+4+4+4+55=4，因为∑5i=1(x i−x)(y i−y)=(−3)×(−1)+0+0+0+3×1=6，√∑5i=1(x i−x)2=√(−3)2+(−1)2+02+12+32=2√5，√∑5i=1(y i−y)2=√(−1)2+02+02+02+12=√2．所以相关系数r=∑n i=1i−x)(y i−y)√∑i=1i −x)2√∑i=1i−y)2=2√5⋅√2=√910≈0.95，因为r＞0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系，因为b=∑ni=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2=620=0.3，a=y−b x=2.5，所以回归直线方程y＝0.3x+2.5．（2）记商家周总利润为Y元，由条件可得在过去50周里：X＞70时，共有10周，只有2台光照控制仪运行，周总利润Y＝2×3000﹣3×1000＝3000元，当50≤X≤70时，共有35周，有4台光照控制仪运行，周总利润Y＝4×3000﹣1×1000＝11000元，当X＜50时，共有5周，5台光照控制仪都运行，周总利润Y＝5×3000＝15000元，所以过去50周每周利润的平均值Y=3000×10+11000×35+15000×550=9800元，所以商家在过去50周每周利润的平均值为9800元．例7．湖南省从2021年开始将全面推行“3+1+2”的新高考模式，新高考对化学、生物、地理和政治等四门选考科目，制定了计算转换T分（即记入高考总分的分数）的“等级转换赋分规则”（详见附1和附2），具体的转换步骤为：①原始分Y等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分．某校的一次年级统考中，政治、生物两选考科目的原始分分布如表：等级A B C D E比例约15%约35%约35%约13%约2%政治学科各等级对应的原始分区间[81，98][72，80][66，71][63，65][60，62]生物学科各等级对应的原始分区间[90，100][77，89][69，76][66，68][63，65]现从政治、生物两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据，作出茎叶图：（1）根据茎叶图，分别求出政治成绩的中位数和生物成绩的众数；（2）该校的甲同学选考政治学科，其原始分为82分，乙同学选考生物学科，其原始分为91分，根据赋分转换公式，分别求出这两位同学的转化分；（3）根据生物成绩在等级B的6个原始分和对应的6个转化分，得到样本数据（Y i，T i），请计算生物原始分Y i与生物转换分T i之间的相关系数，并根据这两个变量的相关系数谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法．附1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间等级A B C D E原始分从高到低排序的等级人数占比约15% 约35% 约35% 约13% 约2%转换分T 的赋分区间[86，100] [71，85][56，70] [41，55] [30，40]附2：计算转换分T 的等比例转换赋分公式：Y 2−Y Y−Y 1=T 2−T T−T 1．（其中：Y 1，Y 2别表示原始分Y 对应等级的原始分区间下限和上限；T 1，T 2分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限．T 的计算结果按四舍五入取整）．附3：∑ 6i=1（Y i −Y ）（T i −T ）＝74，√∑ 6i=1(Yi −Y)2∑ 6i=1(T i −T)2=√5494≈74.12，r =∑n i=1i −Y)(T i −T)√∑i=1i −Y)2∑i=1i −T)2．【解析】解：（1）根据茎叶图知，政治成绩的中位数为72，生物成绩的众数为73； （2）甲同学选考政治学科的等级为A ，由转换赋分公式：98−8282−81=100−T T−86，解得T ＝87；乙同学选考生物学科的等级为A ，由赋分转换公式：100−9191−90=100−T T−86，解得T ＝87；所以甲、乙两位同学的转换分都是87分． （3）由题意知，r =∑n i=1i −Y)(T i −T)√∑ i=1(Y i −Y)2∑ i=1(T i −T)2=7474.12≈0.998， 说法1：等级转换赋分公平，因为相关系数十分接近1，接近函数关系，因此高考这种“等级转换赋分”具有公平性与合理性．说法2：等级转换赋分法不公平，在同一等级内，原始分与转化分是确定的函数关系，理论上原始分与转化分的相关系数为1，在实际赋分过程中由于数据的四舍五入，使得实际的转化分与应得的转化分有一定的误差，极小部分同学赋分后会出现偏高或偏低的现象． （只要说法有道理，都可以得分）．例8．某市房管局为了了解该市市民2018年1月至2019年1月期间买二手房情况，首先随机抽样其中200名购房者，并对其购房面积m （单位：平方米，60≤m ≤130）进行了一次调查统计，制成了如图1所示的频率分布直方图，接着调查了该市2018年1月至2019年1月期间当月在售二手房均价y （单位：万元/平方米），制成了如图2所示的散点图（图中月份代码1﹣13分别对应2018年1月至2019年1月）．（Ⅰ）试估计该市市民的购房面积的中位数m0；（Ⅱ）现采用分层抽样的方法从购房面积位于[110，130]的40位市民中随机抽取4人，再从这4人中随机抽取2人，求这2人的购房面积恰好有一人在[120，130]的概率；（Ⅲ）根据散点图选择y=a+b√x和y=c+d lnx两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为y=0.9369+0.0285√x和y=0.9554+0.0306lnx，并得到一些统计量的值如表所示：y=0.9369+0.0285√x y=0.9554+0.0306lnx ∑13i=1(y i−y i)20.0005910.000164∑13i=1(y i−y)20.006050请利用相关指数R2判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测出2019年12月份的二手房购房均价（精确到0.001）．【参考数据】ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln23≈3.14，ln25≈3.22，√2≈141，√3≈1.73，√23≈4.80．【参考公式】R2=1−∑ni=1(y i−y i)2∑n i=1(y i−y)2．【解析】解：（I）由频率分布直方图，可得，前三组频率和为0.05+0.1+0.2＝0.35，前四组频率和为0.05+0.1+0.2+025＝0.6，故中位数出现在第四组，且m0=90+10×0.150.25=96．（Ⅱ）设从位于[110，120）的市民中抽取x人，从位于[120，130]的市民中抽取y人，由分层抽样可知：440=x30=y10，则x＝3，y＝1，在抽取的4人中，记3名位于[11，120）的市民为A1，A2，A3，位于[120，130]的市民为B则所有抽样情况为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B），（A2，A3），（A2，B），（A3，B）共6种．而其中恰有一人在位于购房面积[120，130]的情况共有3种，故所求概率P=36=12，（III）设模型y=0.9369+0.0285√x和y=0.955+0.0306lnx的相关指数分别为R12，R22，则R12=1−0.0005910.006050，R22=1−0.0001640.006050，显然R12＜R22，故模型y=0.9554+0.0306lnx的拟合效果更好．由2019年12月份对应的代码为24，则y=0.9554+0.0306ln24=0.9554+0.0306(3ln2+ln3)≈1.052万元/平方米．例9．某汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入x（亿元）与科技改造直接收益y（亿元）的数据统计如表：x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666当0＜x≤16时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：y=4.1x+11.8；模型②：y=21.3√x−14.4；当x＞16时，确定y与x满足的线性回归方程为：y=−0.7x+a．（Ⅰ）根据下列表格中的数据，比较当0＜x≤16时模型①、②的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为16亿元时的直接收益．回归模型模型①模型②回归方程y=4.1x+11.8y=21.3√x−14.4∑7i=1(y i−y i)2182.479.2（附：刻画回归效果的相关指数R2＝1−∑n i=1(y i−y i)2∑n i=1(y i−y)2．）（Ⅱ）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入16元与20亿元时公司实际收益的大小；（附：用最小二乘法求线性回归方程y=b x+a的系数公式b=∑ni=1x i y i−nx⋅y∑n i=1x i2−nx2=∑ni=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2；a=y−b x）（Ⅲ）科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布N（0.52，0.012），公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%但不超过53%，不予奖励；若发动机的热效率超过50%但不超过53%，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励4万元．求每台发动机获得奖励的数学期望．（附：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9545．）【解析】解：（Ⅰ）由表格中的数据，有182.4＞79.2，即182.4∑7i=1(y i−y)2＞79.2∑7i=1(y i−y)2，∴模型①的R2小于模型②的R2，说明模型②的刻画效果更好．∴当x＝16亿元时，科技改造直接收益的预测值为y=21.3×√16−14.4=70.8（亿元）；（Ⅱ）由已知可得，x−20=0.5+2+3.5+4+55=3，则x=23，y−60=8.5+8+7.5+6+65=7.2，则y=67.2，∴a=y−0.7x=67.2+0.7×23=83.3，∴当x＞16亿元时，y与x满足线性回归方程y=−0.7x+83.3，当x＝20亿元时，科技改造直接收益的预测值为y=−0.7×20+83.3=69.3．∴当x＝20亿元时，实际收益的预测值为69.3+10＝79.3亿元＞70.8亿元．∴科技改造投入20亿元时，公司的实际收益更大；（Ⅲ）∵P（0.52﹣0.02＜X＜0.52+0.02）＝0.9545，∴P（X＞0.50）=1+0.95452=0.97725，P（X≤0.50）=1−0.95452=0.02275，∵P（0.52﹣0.01＜X＜0.52+0.01）＝0.6827，∴P（X＞0.53）=1−0.68272=0.15865，∴P（0.50＜X≤0.53）＝0.97725﹣0.15865＝0.8186．设每台发动机获得的奖励为Y（万元），则Y的分布列为：Y024P0.022750.81860.15865∴每台发动机获得的奖励的数学期望为：E（Y）＝0×0.02275+2×0.8186+4×0.15865＝2.2718（万元）．例10．某高中数学建模兴趣小组的同学为了研究所在地区男高中生的身高与体重的关系，从若干个高中男学生中抽取了1000个样本，得到如下数据．数据一：身高在[170，180）（单位：cm）的体重频数统计体重（kg）[50，55）[55，60）[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）[80，85）[85，90）人数206010010080201010数据二：身高所在的区间含样本的个数及部分数据身高x（cm）[140，150）[150，160）[160﹣170）[170﹣180）[180﹣190）平均体重y（kg）4553.66075（Ⅰ）依据数据一将下面男高中生身高在[170﹣180）（单位：cm）体重的频率分布直方图补充完整，并利用频率分布直方图估计身高在[170﹣180）（单位：cm）的中学生的平均体重；（保留小数点后一位）（Ⅱ）依据数据一、二，计算身高（取值为区间中点）和体重的相关系数约为0.99，能否用线性回归直线来刻画中学生身高与体重的相关关系，请说明理由；若能，求出该回归直线方程；（Ⅲ）说明残差平方和或相关指数R2与线性回归模型拟合效果之间关系．（只需写出结论，不需要计算）参考公式：b=∑ni=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2=∑ni=1x i y i−nx⋅y∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．参考数据：（1）145×45+155×53.6+165×60+185×75＝38608；（2）1452+1552+1652+1752+1852﹣5×1652＝1000．（3）663×175＝116025，664×175＝116200，665×175＝116375．（4）728×165＝120120．【解析】解：（1）身高在[170，180）的总人数为：20+60+100+100+80+20+10+10＝400，体重在[55﹣60）的频率为：60400=0.15，体重在[70﹣75）的 频率为：80400=0.2，平均体重为：52.5×0.05+57.5×0.15+62.5×0.25+67.5×0.25+72.5×0.2 +77.5×0.05+82.5×0.025+87.5×0.025≈66.4，（2）因为 r ＝0.99→1，线性相关很强，故可以用线性回归直线来 刻画中学生身高与体重的相关， x =145+155+165+175+1855=165，y =45+75+60+53.6+66.45=60，b =∑ 8i=1x i y i −8x⋅y ∑ 8i=1x i 2−8x2=38608+175×66.4−5×165×601000=0.728， a =y −b x =60−0.728×165=−60.12， 所以回归直线方程为：y =0.728x −60.12，（3）残差平方和越小或相关指数 R 2 越接近于1，线性回归模型拟合效果越好．例11．2019年的“金九银十”变成“铜九铁十”，国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行．如图是该地某小区2018年11月至2019年1月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图．（图中月份代码1～13分别对应2018年11月～2019年11月）根据散点图选择y =a +b √x 和y ＝c +dlnx 两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为y ^=0.9369+0.0285√x和y^=0.9554+0.0306lnx，并得到以下一些统计量的值：y^=0.9369+0.0285√x y^=0.9554+0.0306lnx ∑13i=1(y i−y^i)20.0005910.000164∑13i=1(y i−y)20.006050（1）请利用相关指数R2判断哪个模型的拟合效果更好；（2）某位购房者拟于2020年4月购买这个小区m（70≤m≤160）平方米的二手房（欲购房为其家庭首套房）．若购房时该小区所有住房的房产证均已满2但未满5年，请你利用（1）中拟合效果更好的模型解决以下问题：（i）估算该购房者应支付的购房金额；（购房金额＝房款+税费，房屋均价精确到0.001万元/平方米）（ii）若该购房者拟用不超过100万元的资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的最大面积．（精确到1平方米）附注：根据有关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是按房屋的计税价格（计税价格＝房款）进行征收的．房产证满2年但未满5年的征收方式如下：首套面积90平方米以内（含90平方米）为1%；首套面积90平方米以上且140平方米以内（含140平方米）1.5%；首套面积140平方米以上或非首套为3%．参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln17≈2.83，ln19≈2.94，√2≈1.41，√3≈1.73，√17≈4.12，√19≈4.36．参考公式：相关指数R2=1−∑ni=1(y i−y^i)2∑n i=1(y i−y)2．【解析】解：（1）模型一中，y=0.9369+0.0285√x的残差平方和为0.000591，相关指数为R21−0.0005910.006050≈0.923，模型二中，y=0.9554+0.0306lnx的残差平方和为0.000164，相关指数为 R 21−0.0001640.006050≈0.973，∴ 相关指数较大的模型二拟合效果好些． （2）通过散点图确定2020年4月对应的 x ＝18， 代入（1）中拟合效果更好的模型二，代入计算 y =0.9554+0.0306ln18 ＝0.9554+0.0306×（ln 2+2ln 3） ＝0.9554+0.0306×（0.69+2×1.10） ≈1.044 （万元/平方米），则2020年4月份二手房均价的预测值为1.044（万元/平方米）．（i ）设该购房者应支付的购房金额 h 万元，因为税费中淵方只需缴纳契税， ①当70⩽m ⩽90 时，契税为计税价格的 1%， 故h ＝m ×1.044×（1%+1）＝1.05444m ； ②当90＜m ⩽144 时，契税为计税价格的 1.5%， 故h ＝m ×1.044×（1.5%+1）＝1.05966m ； ③当144＜m ⩽160 时，契税为计税价格的 3%， 故h ＝m ×1.044×（3%+1）＝1.07532m ；∴ℎ={1.05444m ，70⩽m ⩽901.05966m ，90＜m ⩽1441.07532m ，144＜m ⩽160；∴ 当 70⩽m ⩽90 时购房金额为 1.05444m 万元， 当 90＜m ⩽144 时购房金额为 1.05966m 万元， 当 144＜m ⩽160 时购房金额为 1.07532m 万元．（ii ）设该购房者可购买该小区二手房的最大面积为 t 平方米，由（i ） 知，当70⩽m ⩽90时，应支付的购房金额为 1.05444t ，又1.05444t ⩽1.05444×90＜100， 又因为房屋均价约为1.044万元/平方米，所以 t ＜100，所以90⩽t ＜100， 由1.05966t ⩽100，解得 t ⩽1001.05966，且1001.05966≈94.4，所以该购房者可购买该小区二手房的最大面积为94平方米．例12．某新兴科技公司为了确定新研发的产品下一季度的营销计划，需了解月宣传费x （单位：万元）对月销售量y（单位：千件）的影响，收集了2020年3月至2020年8月共6个月的月宣传费x和月销售量y的数据如表：月份345678宣传费x5678910月销售量y0.4 3.5 5.27.08.610.7现分别用模型①y=b x+a和模型②y=e m x+n对以上数据进行拟合，得到回归模型，并计算出模型的残差如表：（模型①和模型②的残差分别为e1和e2，残差＝实际值﹣预报值）x5678910y0.4 3.5 5.37.08.610.7e1﹣0.60.540.280.12﹣0.24﹣0.1e2﹣0.63 1.71 2.10 1.63﹣0.7﹣5.42（1）根据上表的残差数据，应选择哪个模型来拟合月宣传费x与月销售量y的关系较为合适，简要说明理由；（2）为了优化模型，将（1）中选择的模型残差绝对值最大所对应的一组数据（x，y）剔除，根据剩余的5组数据，求该模型的回归方程，并预测月宣传费为12万元时，该公司的月销售量．（剔除数据前的参考数据：x=7.5，y=5.9，∑6i=1x i y i=299.8，∑6i=1x i2=355，z＝lny．z≈−1.41，∑6i=1x i y i=−73.10，ln10.7≈2.37，e4.034≈56.49．）参考公式：b=∑ni=1x i y i−nxy∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．【解析】解：（1）应选择模型①，因为模型①每组数据对应的残差绝对值都比模型②的小，残差波动小，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明拟合精度高．（2）由（1）知，需剔除第一组数据，则剔除后的x=7.5×6−55=8，y=5.9×6−0.45=7，5xy=280，5x2=320，∑5i=1x i y i=299.8−5×0.4=297.8，∑5i=1x i2=355−25=330．∴b=∑5i=1x i y i−5xy∑5i=1x i2−5x2=297.8−280330−320=1.78，a=y−b x=7−1.78×8=−7.24．得①的回归方程为y=1.78x−7.24，则当x＝12时，y=1.78×12−7.24=14.12．故月宣传费为12万元时，该公司的月销售量为14.12千件．例13．新型冠状病毒肺炎COVID﹣19疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延．在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制．然而，小王同学发现，每个国家在疫情发生的初期，由于认识不足和措施不到位，感染人数都会出现快速的增长．如表是小王同学记录的某国连续8天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数．日期代码x12345678累计确诊人数y481632517197122为了分析该国累计感染人数的变化趋势，小王同学分别用两种模型：①y=bx2+a，②y=dx+c对变量x和y的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差e î=y i−y î）：经过计算得它∑8i=1(x i−x)(y i−y)=728，∑8i=1(x i−x)2=42，∑8i=1(z i−z)(y i−y)=6868，∑8i=1(z i−z)2=3570，其中z i=x i2，z=18∑8i=1z i.（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由；（2）根据（1）问选定的模型求出相应的回归方程（系数均保留两位小数）；（3）由于时差，该国截止第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数尚未公布．小王同学认为，如果防疫形势没有得到明显改善，在数据公布之前可以根据他在（2）问求出的回归方程来对感染人数做出预测，那么估计该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数是多少？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=∑8i=1(x i−x)(y i−y)∑8i=1(x i−x)2，a=y−b x．【解析】解：（1）选择模型①，理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比较接近，模型②的残差相对比较大，所以模型①的拟合效果相对较好；（2）由（1）可知y关于x的回归方程为y=bx2+a，令z＝x2，则y=bz+a，由所给的数据可得：z=18(1+4+9+16+25+36+49+64)=25.5，y=18(4+8+16+31+51+71+97+122)=50，b=∑8i=1(z i−z)(y i−y)∑8i=1(z i−z)2=68683570≈1.92，则a=y−b z≈50﹣1.92×25.5＝1.04，所以y关于x的回归方程为y=1.92x2+1.04；（3）将x＝9代入回归方程，可得y=1.92×92+1.04＝156.56≈157（人），所以预测该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数约为157人．例14．H市某企业坚持以市场需求为导向，合理配置生产资源，不断改革、探索销售模式．下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量x（吨）与相应的生产总成本y（万元）的五组对照数据．产量x（件）12345生产总成本y（万元）3781012（Ⅰ）根据上达数据，若用最小二乘法进行线性模拟，试求y关于x的线性回归方程y=b x+a；参考公式：b=∑ni=1x i y i−nxy∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．（Ⅱ）记第（Ⅰ）问中所求y与x的线性回归方程y=b x+a为模型①，同时该企业科研人员利用计算机根据数据又建立了y与x的回归模型②：y=12x2+1．其中模型②的残差图（残差＝实际值﹣预报值）如图所示：请完成模型①的残差表与残差图，并根据残差图，判断哪一个模型更适宜作为y关于x的回归方程？并说明理由；（Ⅲ）根据模型①中y与x的线性回归方程，预测产量为6吨时生产总成本为多少万元？【解析】解：（Ⅰ）计算x=15(1+2+3+4+5)=3，y=15(3+7+8+10+12)=8，∑5i=1x i2=12+22+32+42+52=55，∑5i=1x i y i=1⋅3+2⋅7+3⋅8+4⋅10+5⋅12=141，b=∑5i=1x i y i−nxy∑5i=1x i2−nx2=141−5×3×855−5×9=2.1，a=y−b x=8−2.1×3=1.7，因此，回归直线方程为y=2.1x+1.7．（Ⅱ）模型①的残差表为：x12345y3781012 y 3.8 5.9810.112.2 e﹣0.8 1.10﹣0.1﹣0.2画出残差图，如图所示；结论：模型①更适宜作为y关于x的回归方程，因为：理由1：模型①的4个样本点的残差点落在的带状区域比模型②的带状区域更窄；理由2：模型①的4个样本点的残差点比模型②的残差点更贴近进x轴．．（不列残差表不扣分，写出一个理由即可得分．）（Ⅲ）根据模型①中y与x的回归直线方程，计算x＝6时，y=2.1×6+1.7=14.3，所以预测产量为6吨时生产总成本为14.3万元．例15．为了解某企业生产的某产品的年利润与年广告投入的关系，该企业对最近一些相关数据进行了调查统计，得出相关数据见表：23456年广告投入x（万元）346811年利润y（十万元）根据以上数据，研究人员分别借助甲．乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：方程甲：y（1）=b（x﹣1）2+2.75，方程乙：y（2）=c x﹣1.6．（1）求b（结果精确到0.01）与c的值．（2）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务．①完成下表（备注：e î=y i−y î，e î称为相应于点（x i，y i）的残差；年广告投入x（万元）23456年利润y（十万元）346811模型甲估计值y î（1）残差e î（1）模型乙估计值y î（2）残差e î（2）②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q1及Q2，并通过比较Q1，Q2的大小，判断哪个模型拟合效果更好．【解析】解：（1）设t＝（x﹣1）2，则t=15(1+4+9+16+25)=11．∵y=6.4，∴6.4=b×11+2.75，解得b≈0.33．又x=4，∴6.4=c×4−1.6，即c=2．（2）①经计算，可得下表：年广告投入x（万元）23456年利润y（十万元）346811模型甲估计值y î（1） 3.08 4.07 5.728.0311残差e î（1）﹣0.08﹣0.070.28﹣0.030模型乙估计值y î（2） 2.4 4.4 6.48.410.4残差e î（2）0.6﹣0.4﹣0.4﹣0.40.6②Q1=(−0.08)2+(−0.07)2+0.282+(−0.03)2=0.0906．Q2=0．62×2+(−0.4)2×3=1.2．∵Q1＜Q2，∴模型甲的拟合效果更好．。
《回归分析课程教案》课件
《回归分析课程教案》课件第一章：引言1.1 课程目标让学生了解回归分析的基本概念和应用领域。
让学生掌握回归分析的基本原理和方法。
培养学生应用回归分析解决实际问题的能力。
1.2 教学内容回归分析的定义和分类回归分析的应用领域回归分析的基本原理和方法1.3 教学方法讲授法：讲解回归分析的基本概念和原理。
案例分析法：分析实际案例，让学生了解回归分析的应用。
1.4 教学资源课件：介绍回归分析的基本概念和原理。
案例：提供实际案例，让学生进行分析。
1.5 教学评估课堂讨论：学生参与课堂讨论，回答问题。
第二章：一元线性回归分析2.1 教学目标让学生了解一元线性回归分析的基本概念和原理。
让学生掌握一元线性回归模型的建立和估计方法。
培养学生应用一元线性回归分析解决实际问题的能力。
2.2 教学内容一元线性回归分析的定义和特点一元线性回归模型的建立和估计方法一元线性回归模型的检验和预测2.3 教学方法讲授法：讲解一元线性回归分析的基本概念和原理。
数据分析法：分析实际数据，让学生了解一元线性回归模型的建立和估计方法。
2.4 教学资源课件：介绍一元线性回归分析的基本概念和原理。
数据分析软件：用于一元线性回归模型的建立和估计。
2.5 教学评估课堂练习：学生进行课堂练习，应用一元线性回归分析解决实际问题。
第三章：多元线性回归分析3.1 教学目标让学生了解多元线性回归分析的基本概念和原理。
让学生掌握多元线性回归模型的建立和估计方法。
培养学生应用多元线性回归分析解决实际问题的能力。
3.2 教学内容多元线性回归分析的定义和特点多元线性回归模型的建立和估计方法多元线性回归模型的检验和预测3.3 教学方法讲授法：讲解多元线性回归分析的基本概念和原理。
数据分析法：分析实际数据，让学生了解多元线性回归模型的建立和估计方法。
3.4 教学资源课件：介绍多元线性回归分析的基本概念和原理。
数据分析软件：用于多元线性回归模型的建立和估计。
3.5 教学评估课堂练习：学生进行课堂练习，应用多元线性回归分析解决实际问题。
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(1) 双曲函数
y x 即1 ab1
ax b y
x
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(2) S型函数II
y
a
1 be x
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此函数显然有两条渐近线y=0和y =1/a。
S型函数有多种，其共同特点是 曲线首先缓慢增长，在达到某点后迅 速增长，在超过某点后又缓慢增长， 最终趋于一个稳定值。
22 x22 12 x1x2
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22
Origin拟合效果图
90000
60000 adj.R2 0.9934
30000
B
0
0
8
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
16
A
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§2 多项式回归
多项式回归是一种较为重要的非 线性回归模型，有较广泛的应用。
1. 几种常见的多项式回归模型
常见的多项式回归模型有一元二
次模型
y 0 1x 11x2
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例10.1 对下表中的GDP数据进行 非线性回归。
解 首先做数据散点图。 分析->回归->曲线估计。 分别选线性和复合函数进行回归, 结果见下。
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年份
t
y
y1
e
1981
1
4862.4 4296.35 566.05
1982
2
5294.7 5123.04 171.66
例如，模型3常简记为 y aebx。
2. 常用可线性化的曲线回归方程 SPSS 中 给 出 了 11 种 常 见 的 可 线
性化的非线性回归方程，见下表。
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9
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10
显然，上述曲线中的复合函数、 增长函数和指数函数等价，只是形式 不同。
若选用上述曲线进行回归，只需 选用分析->回归->曲线估计菜单即可, 而不必做任何变换。
1989
9
16909.2 17560.04 -650.84
1990 10 18547.9 20938.89 -2390.99
1991 11 21617.8 24967.89 -3350.09
1992 12 26638.1 29772.14 -3134.04
1993 13 34634.4 35500.81 -866.41
1994 14 46759.4 42331.77 4427.63
1995 15 58478.1 50477.13 8000.97
1996 16 67884.6 60189.80 7694.80
1997 17 74462.6 71771.35 2691.25
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17
1998 18 79395.7 85581.38 -6185.68
第10章 非线性回归
线性回归的理论较为成熟，应用 也较为广泛。但当被解释变量与解释 变量之间呈某种曲线关系时，就必须 用非线性回归。
本章首先介绍可线性化的非线性 回归，然后介绍多项式回归，最后简 要介绍了一般的非线性回归模型。
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§1 可线性化的非线性回归
1. 线性化的含义及途径
y 0 1x
对模型2，令 x1 x, x2 x2 , , x p x p
原模型化为多元线性回归模型
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y 0 1x1 p x p
对模型3，可先两边取对数，得
ln y lna bx
然后再令
y ln y, 0 lna, 1 b
原模型化为线性回归模型
y 0 1x
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(1) 新引进的自变量只能依赖于 原始变量，而不能与未知参数有关。 若模型1中的b未知，则模型1不能线 性化。
可线性化的非线性回归模型称为 本质线性回归模型，不可线性化的非 线性回归模型称为本质非线性回归模 型。
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和一元三次模型
y 0 1x 11x2 111x3
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三次及以上的多项式回归模型较
少使用，因为此时回归系数的解释比
较困难，回归模型的数值稳定性也不
太高，不利于应用。
多元多项式回归比较复杂，较少
使用。二元多项式回归模型为
y 0 1x1 2 x2 11x12
因为线性回归的“线性”是针对
参数而言，而不是针对自变量而言，
所以有些非线性回归模型可以通过变
量代换转化为线性回归模型。
例如，
y 0 1ebx (b已知) y 0 1x px p
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y aebxe
y aebx
对模型1，只要令 x ebx 即可化 为线性回归模型
S型函数在许多领域都有广泛的 应用，例如产品的销售量、农作物的
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生长、病毒的传播速率与时间的关系
等都可以用S型函数研究。 SPSS中的S型函数y=exp(b0+b1/t)
当b1<0时属通常意义的S型函数; 当b1 >0时不属通常意义的S型函数。
另外，SPSS中的Logistic函数也 是S型函数。
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(2) 非线性化模型能否线性化不 仅与回归函数的形式有关，而且与误 差项的形式也有关。
例如，模型3的误差项为乘性误 差项，可以线性化，而模型4的误差 项为加性误差项，不可以线性化。
在对非线性回归模型进行线性化 时，总是假定误差项满足可线性化条
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析，所以通常略去误差项，而仅写出 回归函数。
数据散点图
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线性回归
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指数回归
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回归效果图
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需要说明的是，回归分析的一个 重要应用是预测，而预测的方法有多 种，如拟合(回归)、灰色模型、时间 序列和神经网络等。
相比较而言，Origin的拟合功能 更强，提供了更多的线型，可以图形 的帮助下选择较合适的线型。
1983
3
5934.5 6108.80 -174.30
1984
4
7171.0 7284.24 -113.24
1985
5
8964.4 8685.86 278.54
1986
6
10202.2 10357.16 -154.96
1987
7
11962.5 12350.06 -387.56
1988
8
14928.3 14726.42 201.88