走美杯数学建模论文 用数学方法分析食谱设计与优化问题

用数学方法分析食谱设计与优化问题
北京市育民小学六年级熊若彤【摘要】近日，刚毕业参加工作的表哥到家里做客。

由于近期工作较忙，加之饮食不规律，他的身形消瘦不少，并伴有疲乏困倦等症状。

经医生检查，主要是由他体内蛋白质和微量元素铁偏低所导致。

因此，他计划在休假期间规律饮食，适当补充些碳水化合物、蛋白质和铁
元素，让身体恢复到原来的健康状态。

但在刚参加工作而工资还不是很高的情况下，如何让自己吃得既营养又经济？这是个不小的难题。

在妈妈的帮助下，我给表哥算了一笔伙食账。

【关键词】碳水化合物，蛋白质，铁元素，最为经济，推荐摄入量
一、前言
众所周知，营养对维持人体健康有很重要的作用。

人体每日所需摄取的六大营养物质为：碳水化合物、脂肪、蛋白质、矿物质、维生素及水。

良好的营养可使人精力充沛并保持正常体重。

营养过少，会导致营养不良，免疫力降低，而营养过剩也会引发种种疾病。

对于表哥来说，他目前主要的问题是营养不良导致的体重偏低、贫血和疲乏困倦，需要通过适当补充碳水化合物、蛋白质和铁元素等营养物质来改善情况。

二、数据收集
根据中国营养师学会2000年发布的《中国居民膳食营养素参考摄入量》[1]的数据和表哥的目标体重——60公斤，我将他每日平均膳食营养素的推荐摄入量列出如下：
表1：表哥每日平均碳水化合物、蛋白质和铁元素的推荐摄入量
出于节约考虑，表哥每天的菜谱基本为一道主食搭配一道副食，副食以肉食为主。

我让妈妈帮我在互联网上查阅相关资料，得知畜牧类副食中牛肉的营养价值非常高——高蛋白、低脂肪，且富含多种氨基酸和矿物质。

为避免菜谱过于单一，我还让妈妈帮忙查阅了表哥平时也喜欢吃的鸡肉和猪肉的营养成分，并以大米作为主食，提供每日必需的碳水化合物，它们的营养成分及搭配方式具体如下：
表2：牛肉的营养成分（每100克中含）
表3：鸡肉的营养成分（每100克中含）
表4：猪肉的营养成分（每100克中含）
表5：大米的营养成分（每100克中含）
表6：主食与副食的搭配
注：表2至表5数据来源于美食天下/
随后，我和妈妈通过走访朝阳区大洋路农副产品批发市场，了解到上述几种农副产品的市价，如下表所示：
表7：北京朝阳区大洋路农副产品批发市场4月13日价格行情
三、建模及分析
下面，我们将逐一分析上述每种搭配方式中主食和副食应分别食用多少，才能使表哥在满足《中国居民膳食营养素参考摄入量》指出的营养要求的同时，所花费用最低。

1. 大米和牛肉
根据妈妈的经验，蒸饭时，大米与水的比例一般是1:2，考虑到水量蒸发，1公斤大米大约可以蒸出2公斤的米饭，而表哥一天的最大饭量约为八两，所以需要的大米为：8×(1/20)×(1/2)=0.2公斤。

而表哥虽然对牛肉有特别的偏爱，但考虑到牛肉现在的市场价格不低，所以将他每天可食用的牛肉控制在1公斤以内。

综上，现假设表哥每天食用大米X公斤，牛肉Y公斤，总成本为Z元，根据上面描述的实际情况，那么
蛋白质的摄入量：74X+178Y≥75克；
铁元素的摄入量：23X+22Y≥15毫克；
大米：0公斤＜X≤0.2公斤；
牛肉：0公斤＜Y≤1公斤
显然，我们需要确定的未知数X和Y除了要满足上面4个不等式外，还要使开销Z=4.5X+45Y最小。

由于牛肉市价是大米市价的10倍，相差悬殊，所以牛肉食用量对开销的影响远大于大米食用量对开销的影响。

可以说，在满足蛋白质和铁元素摄入量要求的前提下，只有尽可能减少牛肉的食用量而增加大米的食用量才能使开销最为经济。

考虑到表哥的最大饭量，大米的食用量只能增加到X=0.2公斤。

此时，牛肉的食用量有两种情况，需逐一计算。

1). 首先保证满足蛋白质的摄入量要求：
此时，牛肉的食用量Y=(75-0.2×74)/178≈0.34公斤；而铁元素的实际摄入量为0.2×23+0.34×22=12.08毫克，小于应摄入量15毫克，不能满足每日的营养要求。

2). 首先保证满足铁元素的摄入量要求：
此时，牛肉的食用量Y=(15-0.2×23)/22≈0.48公斤；而蛋白质的实际摄入量为0.2×74+0.48×178=100.24毫克，大于应摄入量75克。

所以，当食用大米X=0.2公斤，食用牛肉Y=0.48公斤时，不仅可以满足每日的营养要求，还能使开销最为经济，即Z(min)=4.5×0.2+45×0.48=22.50元。

每种营养物质的摄入量计算结果如下：
表8：在最为经济的搭配下，大米和牛肉提供的营养
2、大米和鸡肉
考虑到鸡肉的市价不像牛肉一般高昂，所以并没有将表哥每天食用的鸡肉控制在1公斤以内。

综上，假设表哥每天食用大米X公斤，鸡肉Y公斤，总成本为Z元，根据上面描述的实际情况，那么
蛋白质的摄入量：74X+185Y≥75克；
铁元素的摄入量：23X+9Y≥15毫克；
大米：0公斤＜X≤0.2公斤；
鸡肉：0公斤＜Y
同理，我们需要确定的未知数X和Y除了要满足上面4个不等式外，还要使开销Z=4.5X+11.8Y最小。

由于鸡肉市价是大米市价的2倍，相差较为悬殊，所以鸡肉食用量对开销的影响要大于大米食用量对开销的影响。

可以说，在满足蛋白质和铁元素摄入量要求的前提下，只有尽可能减少鸡肉的食用量而增加大米的食用量才能使开销最小。

考虑到表哥的最大饭量，大米的食用量只能增加到X=0.2公斤。

此时，鸡肉的食用量有两种情况，需逐一计算。

1). 首先保证满足蛋白质的摄入量要求：
此时，鸡肉的食用量Y=(75-0.2×74)/185≈0.33公斤；而铁元素的实际摄入量为0.2×23+0.33×9=7.57毫克，小于应摄入量15毫克，不能满足每日的营养要求。

2). 首先保证满足铁元素的摄入量要求：
此时，鸡肉的食用量Y=(15-0.2×23)/9≈1.16公斤；而蛋白质的实际摄入量为0.2×74+1.16×185=229.40毫克，大于应摄入量75克。

所以，当他食用大米X=0.2公斤，食用鸡肉Y=1.16公斤时，不仅可以满足每日的营养要求，还能使开销最为经济，即Z(min)=4.5×0.2+11.8×1.16≈14.59元。

每种营养物质的摄入量计算结果如下：
表9：在最为经济的搭配下，大米和鸡肉提供的营养
3、大米和猪肉
考虑到猪肉的市价也不像牛肉一般高昂，所以也没有将表哥每天食用的猪肉控制在1公斤以内。

综上，假设表哥每天食用大米X公斤，猪肉Y公斤，总成本为Z元，根据上面描述的实际情况，那么蛋白质的摄入量：74X+146Y≥75克；
铁元素的摄入量：23X+24Y≥15毫克；
大米：0公斤＜X≤0.2公斤；
猪肉：0公斤＜Y
同理，我们需要确定的未知数X和Y除了要满足上面4个不等式外，还要使开销Z=4.5X+13.57Y最小。

由于猪肉市价是大米市价的3倍，相差较为悬殊，所以猪肉食用量对开销的影响要大于大米食用量对开销的影响。

可以说，在满足蛋白质和铁元素摄入量要求的前提下，只有尽可能减少猪肉的食用量而增加大米的食用量才能使开销最为经济。

考虑到表哥的最大饭量，大米的食用量只能增加到X=0.2公斤。

此时，猪肉的食用量有两种情况，需逐一计算。

1). 首先保证满足蛋白质的摄入量要求：
此时，猪肉的食用量Y=(75-0.2×74)/146≈0.41公斤；而铁元素的实际摄入量为0.2×23+0.41×24=14.44毫克，小于应摄入量15毫克，不能满足每日的营养要求。

2). 首先保证满足铁元素的摄入量要求：
此时，猪肉的食用量Y=(15-0.2×23)/24≈0.44公斤；而蛋白质的实际摄入量为0.2×74+0.44×146=79.04毫克，大于应摄入量75克。

所以，当他食用大米X=0.2公斤，食用猪肉Y=0.44公斤时，不
仅可以满足每日的营养要求，还能使开销最为经济，即Z(min)=4.5×0.2+13.57×0.44≈6.88元。

每种营养物质的摄入量计算结果如下：
表10：在最为经济的搭配下，大米和猪肉提供的营养
对比表8、表9和表10的计算结果发现，无论是哪种搭配方式，要在最为经济的前提下满足《中国居民膳食营养素参考摄入量》指出的营养要求，都必须食用相同分量的大米—0.2公斤。

此外，由于猪肉较高的营养价值和较为实惠的市场价格，使得大米和猪肉的搭配相比于大米和牛肉、大米和鸡肉的搭配，不仅开销最为经济而且能够提供较多的碳水化合物、蛋白质和铁元素。

我兴奋地将上述计算结果告诉了表哥，并建议他在按照上面的方案进行主副食搭配时，可以考虑再添加一些水果或蔬菜，从而适当补充除碳水化合物、蛋白质和铁元素之外的其它营养物质。

表哥欣然接受了我的建议，并鼓励我继续努力，将来继续利用数学的方法给他在更为多样的饮食搭配及其它问题上提供意见，帮助他做出更经济合理的决策。

能帮助到他，我和妈妈都感到非常开心。

四、总结
通过这次实践，我深切感受到了数学的魅力。

也为自己能够利用具体的数学知识去分析解决生活中遇到的实际问题而感到高兴。

参考文献
[1] 中国营养学会.中国居民膳食营养素参考摄入量. 北京：中国轻工业出版社, 2000。