整式的乘法复习专题
第14章整式的乘法与因式分解复习
专题
汾水中学刘凤至一、内容和内容解析
1．内容
对本章学过的内容进行梳理、总结，建立知识体系，综合应用本章知识解决问题.
2．内容解析
本章主要学习了整式的乘除法和因式分解．整式乘除法是整式四则运算的重要组成部分．在学习整式乘除法的运算中主要研究了幂的运算性质、整式乘除法和乘法公式，其中幂的运算性质，即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是整式乘法的基础，乘法公式是整式乘法的特殊情形，运用乘法公式能简化一些特定类型的整式相乘的运算问题．整式的除法也是整式四则运算的重要组成部分，能熟练地进行单项式除以单项式、多项式除以单项式．在学习了整式乘法的基础上又学习了因式分解，感受因式分解与整式乘法之间的内在联系．在综合运用知识解决实际问题中，将知识进行转化，把复杂问题简单化，将实际问题转化为数学模型，运用数学思想方法解决问题，感受数学思想方法的作用是必要的，也是重要的．
二、学习目标：
1. 经历探索整式运算法则和因式分解方法的过程，体会数学知识之间的内在联系．
2. 掌握整数指数幂的意义和整数指数幂的运算性质；了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系，体会事物之间可以相互转化的思想．
3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能
灵活的运用运算律与乘法公式简化运算。
4.理解因式分解的意义，掌握提公因式法、公式法进行因式分解．教学重点及难点：
教学重点：整式的乘除法和因式分解，特别是作为乘、除运算基础的幂的运算．
教学难点：乘法公式的灵活运用以及运用公式法分解因式．三、知识结构与梳理
幂的运算：(1)同底数幂的乘法(2)同底数幂的除法
(3)幂的乘方(4)积的乘方
整式的乘除：(1)单项式乘单项式(2)单项式乘多项式
(3)多项式乘多项式
(4)单项式除以单项式(5)多项式除以单项式
乘法公式：(1)平方差公式(2)完全平方公式
因式分解：(1)提公因式法(2)公式法
四、教学问题诊断分析
在幂的运算性质中，幂的运算抽象程度比较高，不易理解，学生在接受起来有难度，尤其是在学习完四种运算后，部分学生会将几种运算混淆。
区分幂的乘方、积的乘方与同底数幂的乘法的性质，幂的乘方、积的乘方运算是转化为指数的乘法运算(底数不变)；而同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算(底数不变)．在运用提公因式法分解因式时，学生遇到的困难是公因式选取不准确，在分解因式时没
有分解到不能再分解为止。
如 (44b a -)分解因式后，很多同学的答案
是))((2222b a b a -+，并没有看到22b a -可以继续分解。
五、教学过程设计
活动一、快乐启航——各知识点复习
请同学们回顾一下本章我们都学习了哪些知识？还记得幂的运
算性质吗？整式的乘法包括哪些？乘法公式是什么吗？因式分解都
有哪些方法？请把你的答案写出来。
师生活动：教师提出问题后，请学生将本章知识详细的写到练习
本上，并通过摄像头拍照，将照片传到讨论区，在讨论区同时可以看
到其他同学的答案，可以对其他同学的答案进行补充或是进行纠错。
教师总结本章知识点：
1.整式包括单项式和多项式。
2.同底数幂相乘：a m ·a n =a m+n （m 、n 都是正整数）
3.幂的乘方：（a m ）n ＝=a mn (m 、n 为正整数)
4.积的乘方：n n n b a ab ⋅=)( (n 为正整数)
5.单项式的乘法法则：
两个或两个以上的单项式相乘，把系数相乘，同底数幂的底数不
变指数相加.（对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指
数作为积的一个因式）
6.单项式与多项式相乘的法则： a(b+c)=ab+ac
7.多项式与多项式相乘：(m+n)(a+b)= am+an+bm+bn
8.二项式的乘积：))((b x a x ++ =ab x b a x +++)(2
9.平方差公式： ()()22b a b a b a -=-+
10.完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=±
设计意图：首先通过学生的主动思考与复习，自己总结本章的知识点，
有利于学生将本章的知识系统化，更能加深学生的理解与掌握。
同时通过回复其他同学的帖子，可以对自己掌握的知识查漏补缺。
最后教师进行补充与总结，将本章知识形成体系。
活动二、【小试牛刀】
活动意图：通过10道各地区的中考选择填空题，考查学生对幂的运算性质和整式的乘除的掌握情况。
幂的运算性质虽然简单，但学生准确率并不高，一是学生容易马虎，二是部分同学容易混淆各运算。
所以这几道题目在于加强学生对幂的运算性质和整式的乘除的掌握。
1.(2012·绍兴中考)下列运算正确的是( )
A.x+x=x2
B.x6÷x2=x3
C.x·x3=x4
D.(2x2)3=6x5
2.(2013·东营中考)下列运算正确的是( )
A.a3-a2=a
B.a2·a3=a6
C.(a3)2=a6
D.(3a)3=9a3
3.(2013·衡阳中考)下列运算正确的是( )
A.3a+2b=5ab
B.a3·a2=a5
C.a8·a2=a4
D.(2a2)3=-6a6
4.(2012·丽水中考)计算3a·(2b)的结果是( )
A.3ab
B.6a
C.6ab
D.5ab
5.(2013·威海中考)下列运算正确的是( )
A.3x2+4x2=7x4
B.2x3·3x3=6x3
C.x6+x3=x2
D.(x2)4=x8
6.(2013·恩施中考)下列运算正确的是( )
A.x 3·x 2=x 6
B.3a 2+2a 2=5a 2
C.a(a-1)=a 2-1
D.(a 3)4=a 7
7.(2013·嘉兴中考)a(b+1)-ab-1=
8.(2012·云南中考)若 则a+b 的值为( ) 9.(2012·柳州中考)如图,给出了正方形ABCD 的面积的四个表达式,
其中错误的是( )
A.(x+a)(x+a)
B.x 2+a 2+2ax
C.(x-a)(x-a)
D.(x+a)a+(x+a)x
10.(2013·无锡中考)计算:(x+1)2-(x+2)(x-2)=
活动三、【灵活运用】
活动意图：乘法公式是整式乘法的特殊形式，利用乘法公式可以使
计算变得简便，同时整式乘法与因式分解存在互逆的运算关系，是因
式分解的基础．本活动在于考查学生对乘法公式和因式分解的掌握情
况。
11.下列能用平方差公式计算的是
A.（x-3）（-3-x ）
B.(x+1)(1+x)
C. (－a +b )(a －b )
D. (x 2－y )(x +y 2)；
11A. B. C.1 D.222-2211a b a b 42
-=-=，，
12.()()()2x 2x 2x 4+-+的计算结果是（ ）
A. 4x 16+
B. 416x --
C. 4x 16-
D. 416x -
13.下列多项式能用公式法进行因式分解的是 （ ）
A.x 2 +1,
B.x 2+2x+4,
C.a 2 －9b,
D.x 2+4x+4
14.下列各式因式分解正确的是（ ）
A.a 2－2ac + a = a(a －2c)
B.x 2－4y 2=(x+4y)(x －4y)
C.4a 2－4a+1=4a(a －1)+1
D.3x 3－3xy 2 =3x(x+y)(x －y)
15.下列从左到右的变形中,属于因式分解的是( )
A.( x+1)( x-1)=- x 2-1
B. x 2-2x+1= x(x-2)+1
C.a 2-b 2=(a+b)(a-b)
D.mx+my+nx+ny=(x+y)m+n(x+y)
活动四、【能力提高】
活动意图：感受灵活运用平方差公式、完全平方公式等可以使繁
琐的问题简单化、直接化，从而大大简化解题步骤，减少错误，达到
简化计算的目的．
计算：
16.)3)(3(+---b a b a
17. 98×102－99²
18.阳光小区前有一块游戏场和一个葡萄园，占地形状都是正方形，面积也相同。
今年重新改建，扩大了游戏场，缩小了葡萄园，扩大后
的游戏场地仍为正方形，边长比原来增大了3米，缩小后的葡萄园也
为正方形，边长比原来减少了2米，设它们的边长原来为x 米，请表
活动五、【科学探究】。
专题05整式的乘法(3个知识点6种题型3种中考考法)(原卷版)
专题05整式的乘法（3个知识点6种题型3种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：单项式与单项式相乘知识点2：单项式与多项式相乘知识点3：多项式与多项式相乘【方法二】实例探索法题型1：单项式与单项式相乘题型2：单项式与单项式相乘的综合应用题型3：单项式与多项式相乘题型4：单项式与多项式相乘的综合应用题型5：多项式与多项式相乘题型6：多项式与多项式相乘的综合应用【方法三】仿真实战法考法1：单项式与单项式相乘考法2：单项式与多项式相乘考法3：多项式与多项式相乘【方法四】成果评定法【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方、再乘法”的顺序进行．例如：()()()22224245234312xy x y x y x y x y⋅-=⋅-=-．要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数 的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指 数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.知识点2：单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即()m a b c ma mb mc ++=++.要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.知识点3：多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.【方法二】实例探索法题型1：单项式与单项式相乘1．（2022秋•嘉定区期中）计算：﹣3ab •4b 2＝ ．2．（2022秋•杨浦区期中）计算：（﹣xy）2•x5＝．3．（2022秋•奉贤区期中）计算：ab2•（﹣4a2 b4）＝．题型2：单项式与单项式相乘的综合应用4．（2022秋•嘉定区期中）计算：（﹣2x3）•（﹣2x）3+（x3）2﹣x2•x4．5．（2022秋•黄浦区期中）计算：（﹣3a2b）3﹣（﹣2a3b）2•（﹣3b）．题型3：单项式与多项式相乘6．（2022秋•杨浦区期中）计算：6ab（2a﹣0.5b）﹣ab（﹣a+b）．7．（2022秋•嘉定区期中）计算：2x•（x2﹣x+3）．8．（2022秋•闵行区校级期中）计算：（﹣2xy）•（x2+xy﹣y2）．9．（2022秋•长宁区校级期中）若A＝3x﹣2，B＝1﹣2x，C＝﹣6x，则C•B+A•C＝．10．（2022秋•奉贤区期中）计算：（x2﹣3xy+y2）（﹣2x）2．题型5：多项式与多项式相乘11．（2022秋•黄浦区期中）计算：（3x﹣2）（x+2）＝．12．（2022秋•杨浦区期中）计算：（x+2y）（y﹣2）+（2y﹣4x）（y+1）．13．（2022秋•长宁区校级期中）2（x+2）（2x+3）﹣3（1﹣x）（x+6）．14．（2022秋•长宁区校级期中）计算：x（2x﹣3）+（3﹣x）（1﹣5x）．15．（2022秋•宝山区校级月考）计算：．16．（2022秋•闵行区期中）若多项式x﹣1与多项式x2+ax﹣b相乘，乘积不含一次项以及二次项，那么a，b的值分别是（）A．1，1B．1，﹣1C．﹣1，﹣1D．﹣1，117．（2022秋•浦东新区期中）已知（mx+n）（x2﹣3x+4）展开式中不含x2项，且x3的系数为2，则n m的值为．18．（2022秋•长宁区校级期中）如果（x﹣2）（x+m）＝x2+x+n，那么m＝，n＝．19．（2022秋•虹口区校级期中）有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为（2a+b），宽为（a+b）的矩形，则需要A类卡片张，B类卡片张，C类卡片张，请你在右下角的大矩形中画出一种拼法．（标上卡片名称）20．（2022秋•虹口区校级期中）已知多项式x2+ax+1与2x+b的乘积中含x2项的系数为4，含x项的系数为2，求a+b的值．21．（2022秋•浦东新区期中）甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．求（a﹣b）（﹣2a ﹣b）的值．22．（2022秋•长宁区校级期中）若关于x 的多项式2x +a 与x 2﹣bx ﹣2的乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，求a 、b 的值．【方法三】 仿真实战法考法1：单项式与单项式相乘1．（2020•上海）计算：2a •（3ab ）＝ ．考法2：单项式与多项式相乘2．（2023•吉林）计算：a （b +3）＝ ．考法3：多项式与多项式相乘3．（2019•南京）计算（x +y ）（x 2﹣xy +y 2）【方法四】成功评定法一、单选题1．（2021秋·上海·七年级上海市西延安中学校考期中）下列计算正确的是（ ） A ．3x 2y +5yx 2＝8x 2y B ．2x •3x ＝6xC ．（3x 3）3＝9x 9D ．（﹣x ）3•（﹣3x ）＝﹣3x 42．（2021秋·上海黄浦·七年级统考期末）若x 2+px +q ＝（x ﹣3）（x +5），则p 的值为（ ） A ．﹣15B ．﹣2C ．2D ．83．（2022秋·上海普陀·七年级统考期末）如果2（5﹣a ）（6+a ）＝100，那么a 2+a +1的值为（ ） A ．19B ．﹣19C ．69D ．﹣694．（2022秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）下列运算正确的是（ ） A ．325426x x x ⋅=B ．236326x x x ⋅=C ．()()25293212x x x -⋅-=-D ．()312319()x x x x -⋅--=-5．（2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）如果A 、B 都是关于x 的单项式，且A B ⋅是一个八次单项式，A B +是一个六次多项式，那么A B -的次数（ ） A ．一定是八次 B ．一定是六次 C ．一定是四次D ．无法确定6．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）如果()()253x m x x x k +-=-+，那么k 、m 的值分别是（ ）．A ．10k =，2m =B ．10k =，2m =-C ．10k =-，2m =D ．10k =-，2m =-二、填空题)213x y ⎛⎫- ⎝⎪⎭3⎫=⎪⎭．的结果是 )()32m n -三、解答题22241x y y y x y（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；根据以上规律，解答下列问题：（1）（a +b ）5展开式的系数和是 ；（a +b ）n 展开式的系数和是 ．（2）当a ＝2时，（a +b ）5展开式的系数和是 ；（a +b ）n 展开式的系数和是 ．24．（2022秋·上海静安·七年级上海市风华初级中学校考期中）7张如图1的长为a ，宽为b ()0b >的小长方形纸片，按如图2、3的方式不重叠地放在长方形ABCD 内；未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．(1)如图2，点E 、Q 、P 在同一直线上，点F 、Q 、G 在同一直线上，右下角与左上角的阴影部分的面积的差为____________（用含,a b 的代数式表示），长方形ABCD 的面积为____________（用含,a b 的代数式表示）(2)如图3，点F 、H 、Q 、G 在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S ，CP x =. ①用含,,a b x 的代数式表示AE ；②当BC 的长度变化时，按照同样的放置方式，要使S 始终保持不变，那么,a b 必须满足什么条件?25．（2022秋·上海静安·七年级上海市风华初级中学校考期中）已知关于x 的一次二项式ax b +与231x x -+的积不含二次项，一次项的系数是4． 求：(1)系数a 与b 的值；(2)二项式ax b +与231x x -+的积．26．（2022秋·上海闵行·七年级校考周测）阅读材料，回答下列问题．阅读材料，回答下列问题． 多项式相乘的计算法则为用多项式中的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把结果加起来，例如()()()()a b c d a c d b c d ++=+++（乘法分配律）ac ad bc bd =+++()()()()()2x y x y x y x x y y x y +=++=+++22x xy yx y =+++（合并同类项） 222x xy y =++则ac ad bc bd +++叫做()()a b c d ++的展开式，222x xy y ++叫做()2x y +的展开式． (1)计算()21x +的展开式；(2)请指出()2x y +是几次几项式，并计算()3x y +的展开式（按照x 进行降幂排列），指出这个展开式是几次几项式，并推测()nx y +是几次几项式（用n 表示，其中n 为正整数）；(3)推测()nx y +的展开式中各项系数之和，并证明你的结论（用n 表示，其中n 为正整数）．27．（2022秋·上海·七年级专题练习）请阅读以下材料：[材料]若1234912346x =⨯，1234812347y =⨯，试比较x ，y 的大小．解：设12348a =，那么()()2122x a a a a =+-=--，()21y a a a a =-=-． 因为()()22220x y a a a a -=----=-<，所以x y <． 我们把这种方法叫做换元法．请仿照例题比较下列两数大小：997657997655x =⨯，997653997659y =⨯．28．（2021秋·上海·七年级统考期末）如图，已知正方形ABCD 与正方形CEFG ，点G 在边CD 上，已知正方形ABCD 的边长为a ，正方形CEFG 的边长为b ，且a b >．用a 、b 表示下列图形的面积．(1)DFG 的面积．(2)BEF △的面积．(3)BDF 的面积．。
专题05 整式的乘法综合(五大题型,60题)(原卷版) 七年级数学下册
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1专题05整式的乘法综合（多考点特训，60题）目录一、多项式乘积不含某项，10题，难度两星........................................................................................................1二、整式乘法混合运算，10题，难度两星............................................................................................................2三、化简求值，10题，难度三星.............................................................................................................................4四、（x+p）（x+q）型多项式乘法，15题，难度三星............................................................................................5五、多项式乘多项式，15题，难度四星. (7)一、多项式乘积不含某项，10题，难度两星1．（2023下·陕西西安·七年级校考阶段练习）已知将()()3221x mx n x x +--+乘开的结果不含3x 和2x 项，则()m nn m --的值是（）A ．27B ．27-C ．127D ．127-2．（2023下·七年级课时练习）若32211123325x ax x x x ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的积不含3x 项，则=a ．3．（2024·陕西西安·七年级西安市曲江第一中学校考期末）多项式22336x kxy y xy +--不含xy 项，则k 的值为．4．（2023·山东济宁·七年级统考期中）已知关于x 的多项式()()()432211a b x a x b x abx +--++-+不含3x 项和2x 项，则当=1x -时，这个多项式的值为．5．（2024·四川成都·七年级成都嘉祥外国语学校校考期末）若()22133x px x x q ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭的积中不含x 项与3x 项．(1)求p 、q 的值；(2)求代数式()()2122003200423p q pq p q --++的值．6．（2024·四川成都·七年级四川省成都市石室联合中学校考期末）解决下列有关幂的问题(1)若179273x ⨯=，求x 的值．(2)若27193a b =，则23b a -的值．(3)若1528162n n ⨯⨯=，且()()2mx y x y +-展开式中不含xy 项，求n m -的值．7．（2023·广东广州·七年级广州市天河区汇景实验学校校考期中）（1）已知：关于x 、y 的多项式323232mx nxy x xy y +--+中不含三次项，求23m n -值．（2）当2022x =时，代数式535ax bx cx ++-的值为m ，求当2022x =-时，代数式535ax bx cx ++-的值．8．（2023·重庆·七年级校联考期中）小马虎做一道数学题“两个多项式A ，B ，已知2236B x x -=+，试求2A B -的值”．小马虎将2A B -看成2A B +，结果答案（计算正确）为2529x x -+．(1)当3x =-时，求多项式A 的值；(2)若多项式21C mx nx =-+，且满足A C -的结果不含2x 项和x 项，求m ，n 的值．9．（2023·上海松江·七年级校考阶段练习）若()()2233x nx x x m -+++的展开式中不含2x 和3x 项，求m 、n 得值．10．（2023下·广东深圳·七年级校联考期末）已知关于x 的三次三项式3221A x x =-+及关于x 的二次三项式2B x mx n =++（m ，n 均为非零常数）．(1)当A B +为关于x 的三次三项式时，n =_______．(2)当多项式A 与B 的乘积中不含4x 项时，m =________．(3)若3221A x x =-+写成32(1)(1)(1)A a x b x c x d =-+-+-+（其中a ，b ，c ，d 均为常数），求a b c ++的值．(4)若B 能被1x -整除，求m n +的值．13．（2023·山东青岛·七年级统考期中）如图①，正方形原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3(1)如图②，延长AB 到1A ，使1A B BA =，延长BC 到1B ，使1B C CB =，求四边形(2)如图③，延长AB 到2A ，使2A B b =，延长BC 到2B ，使2B C b =，求四边形14．（2023下·江苏无锡·七年级校联考期中）若56m =，65n =，则(23m m n -15．（2023下·重庆江北·七年级校考期中）计算：(1)371488⎛⎫-÷-⎪⎝⎭(2)()22321a b a bc⨯-三、化简求值，10题，难度三星原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5四、（x+p）（x+q）型多项式乘法，15题，难度三星31．（2023下·浙江嘉兴·七年级统考期末）18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”、如记()11231n k k n n ==++++-+∑ ，()()()()334n k x k x x x n =+=+++++∑ ；已知()()221nk x x k axbx c =++=++⎡⎤⎣⎦∑，则b c -=（）A ．2n -B ．n 1-C ．nD ．1n +32．（2023下·四川雅安·七年级统考期末）已知()()245x m x n x x +-=--，则m n -的值为（）A ．1B ．4-C ．5-D ．433．（2023下·湖南娄底·七年级统考阶段练习）若2()()54x a x b x x ++=-+，则a b +的值为（）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7五、多项式乘多项式，15题，难度四星46．（2023下·安徽宿州·七年级安徽省泗县中学校联考阶段练习）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”．如：记1123(1)nk k n n ==+++⋅⋅⋅+-+∑；1()(1)(2)()n k x k x x x n =+=++++⋅⋅⋅++∑．已知：[]21()(1)44nk x k x k xx m =+-+=++∑，则m 的值是（）A ．40B ．70-C ．40-D ．20-47．（2023下·安徽淮北·七年级校联考期末）关于x 的多项式：12212210n n n n n n a x a x a x a x a x a ----++++++ ，其中n 为正整数，若各项系数各不相同且均不为0，我们称这样的多项式为“亲缘多项式”．①()221x -是“亲缘多项式”．②若多项式323210a x a x a x a +++和43243210b x b x b x b b ++++均为“亲缘多项式”，则32432321043210a x a x a x a b x b x b x b b ++++++++也是“亲缘多项式”．③多项式()44324321021x b x b x b x b x b -=++++是“亲缘多项式”且42041b b b ++=．④关于x 的多项式()nax b +，若a b ¹，0ab ≠，n 为正整数，则()nax b +为“亲缘多项式”．以上说法中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．448．（2023下·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期中）给定一个正整数m ，任意两个整数a 与b 分别除以原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！960．（2023下·福建三明·七年级校考阶段练习）已知关于x 的代数式()22x mx +与()3x -的乘积中，不含有2x 项，求m 的值．。
整式的乘除(重点、难点、考点复习总结)
整式的乘除（重点、难点、考点复习总结）1．知识系统总结2．重点难点易错点归纳（1）几种幂的运算法则的推广及逆用例1：（1）已知52x=4,5y=3,求(53x)2; 54x+2y-2练习：1. 已知a x=2,a y=3, a z=4求a3x+2y-z（2）46×0.256= （-8）2013×0.1252014 =（2）同底数幂的乘除法：底数互为相反数时如何换底能使计算简便判断是否同底：判断底数是否互为相反数：看成省略加号的和，每一项都相反结果就互为相反数换底常用的两种变形：例2：（1）-x7÷（-x）5·（-x）2 (2)(2a-b)7·（-b+2a）5÷（b-2a）8（3）区分积的乘方与幂的乘方例3：计算（1）（x3）2 (2) (-x3）2 (3)（-2x3）2（4）-（2x3）2（4）比较法：逆用幂的乘方的运算性质求字母的值（或者解复杂的、字母含指数的方程）例4：（1）如果2×8n×16n=28n ,求n的值（2）如果（9n）2=316，求n的值（3）3x=,求x的值（4）（-2）x= -,求x的值（5）利用乘方比较数的大小指数比较法：833，1625, 3219底数比较法：355,444,533乘方比较法：a2=5,b3=12，a>0,b>0,比较a,b的大小比较840与6320的大小（6）分类讨论思想例6：是否存在有理数a，使（│a│-3）a =1成立，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由整式的乘法（1）计算法则明确单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的计算法则，尤其注意符号的问题，结果一定要是最简形式。
单项式乘以多项式、多项式乘以多项式最终都是要转化为单项式乘以单项式，通过省略加号的和巧妙简化符号问题。
【例1】计算：（1）(-3x2y)(-xz4)(-2y3zt) (2)-5x n y n+2(3x n+2y-2x n y n-1+y n) （3）（-x+2）(x3-x2)练一练：先化简再求值：[xy(x2-3y)+3xy2](-2xy)+x3y2(2x-y),其中x=-0.25,y=4(2)利用整式的乘法求字母的值①指数类问题：②系数类问题：【例2】已知-2x3m+1y2n与7x m-6y-3-n的积与x4y是同【例3】在x2+ax+b与2x2-3x-1的积中，x3项项，求m与n的值的系数为—5，x2项的系数为-6，求a,b的值（3）新定义题【例4】现规定一种新运算：a*b=ab+a-b，其中a,b为有理数，则（a*b）+[(b-a)*b]=练一练：现规定一种新运算：a※b=ab+a-b，其中a,b为有理数，计算：[（m+n）※n]+[(n-m)※n] 课后提升：1.（-0.7×104）×（0.4×103）×（-10）=2.若（2x-3）（5-2x）=ax2+bx+c,则a= ,b=3.若（-2x+a）(x-1)的结果不含x的一次项，则a=4.计算：(1)（-5x-6y+z）(3x-6y) (2)-2xy(x2-3y2)- 4xy(2x2+y2)平方差公式（1）公式：（a+b）(a-b)=a2-b2注意：公式中的a,b既可以是具体的数字，也可以是单项式或多项式，只要不是单独的数字或字母，写成平方的差时都要加括号公式的验证：根据面积的不同表达方式是验证整式乘法公式常用的方法(2)平方差公式的不同变化形式【例1】计算下列各式：（1）（-5x+2y）(-2y-5x)= （2）（2a-1）(2a+1)(4a2+1)=（3）20132-2012×2014 =练一练：1、（2y-x-3z）(-x-2y-3z)=2、99×101×10001=3、 3×（22+1）×（24+1）×（28+1）×…×（232+1）+1=（3）平方差公式的逆用【例2】∣x+y-3∣+(x-y+5)2=0,求3x2-3y2的值练一练：已知实数a,b满足a+b=2，a-b=5，求（a+b）3（a-b）3的值.课后提升：1.已知下列式子：①（x-y）（-x-y）；②（-x+y）(x-y)；③（-x-y）（x+y）；④（x-y）（y-x）.其中能利用平方差公式计算的是2.(-a-3)( )=9-a23.如果a2-2k=(a-0.5)（a+0.5），那么k=4.为了美化城市，经统一规划，将一正方形的南北方向增加3米，东西方向缩短3米，将改造后的长方形草坪面积与原来的正方形草坪面积相比（）A.增加6平方米B.增加9平方米C.减少9平方米D.保持不变5.解方程：（3x+4）（3x-4）=9（x-2）26.计算：（2+1）×（22+1）×（24+1）×…×（22014+1）完全平方公式（1）公式：（a±b）2=a2±2ab +b2首平方，尾平方，2倍乘积放中央，同号加，异号减注意：公式中的a,b既可以是具体的数字，也可以是单项式或多项式【例1】计算下列各式：（2x-5y）2 = (-mn+1)2 =(-t2-2)2=（2）完全平方公式的推广应用①直接推广②间接推广【例2】计算（a-2b+3c)2【例3】已知x+y+z=10,xy+xz+yz=8,求x2+y2+z2的值（3）利用完全平方公式求字母的值【例4】两数和的平方的结果是x2+(a-1)x+25,则a的值是（）A.-9B.1C.9或-11D.-9或11（4）利用完全平方公式进行简化计算【例5】计算：（1）1992 （2）3.012（5）完全平方公式的变形应用【例6】（1）已知m+n=7,mn=10,求8m2+8n2的值（2）已知（x+y）2=16,(x-y)2=4,求xy的值课后提升：1.下列展开结果是2mn-m2-n2的式子是（）A.（m+n）2B.(-m+n)2C.-(m-n)2D.-(m+n)22.(x+2y-z)2=3.若∣x+y-7∣+(xy-6)2=0,则3x2+3y2=4.若代数式x2+3x+2可以表示为 (x-1)2+a（x-1）+b的形式，则a+b的值是5.计算：（2x-y）2（2x+y）2整式的除法（1）计算法则整式乘法的逆运算，可以互相验证。
整式的乘除复习试题(3套)
整式的乘除过关测试A一、（时间: 40分钟, 总分: 80分） 选择题（共12小题, 每小题3分, 共36分） ）可写成（13.1+m a()()a a D aa C aa a B aa A m m m m ⋅++⋅+3333....()6223124355126663)5(;1243)4(;)3(;)2(;2)1(.2y x xy b b b c c c a a a a a a n n n ==⋅=⋅=+=⋅下列计算：中正确的个数为（ ）A.0B.1C.2D.3 )(324,0352.3=⋅=-+y x y x 则若A.32B.16C.8D.4()）的结果为（计算200920088125.0.4⨯-A.8B.-8C.-1D.无法计算）的是（下列等式中运算不正确.5()()2223243322232442.51025.842.63)2(3.y xy x y x D xy x y x x C b a ab b a B y x y x xy x xy A ++=--=-=⋅-=-()()()()的值为、，则若a a M 10M 102105108.626⨯=⨯⨯⨯ 105M 108M 92M 88M ========a D a C a B a A ，、，、，、，、()()()等于则若m n n x x mx x -++=-+,315.72 251.251.25.25.--D C B A()()()的关系是与的一次项，则展开后不含要使多项式q p x q x px x -++2.822.1.0..===+=pq D pq C q p B q p A()的值是，那么已知ab b a b a 2,3.922=-=+A.-0.5B.0.5C.-2D.2 10.计算: 得（ ）A.0B.1C.8.8804D.3.960111.现有纸片: 4张边长为a 的正方形, 3张边长为b 的正方形, 8张宽为a 、长为b 的长方形, 用这15张纸片重新拼出一个长方形, 那么该长方形的长为（ ）A.2a+3bB.2a+bC.a+3bD.无法确定()的最小值是则如果多项式p b a b a p ,2008422.1222++++= A.2005 B.2006 C.2007 D.2008 填空题（共6小题, 每小题3分, 共18分）()()=-⋅-322323.13a a 计算 。
整式的乘法分类总复习(原卷版)
专题13 整式的乘法分类总复习考点一幂的运算法则【知识点睛】❖幂的运算法则：()() ()()() ()()()()()都是正整数、是正整数都是正整数、都是正整数、nmaaanbaabnmaanmaaanmnmnnnnmnmnmnm-+=÷===432·1·☆：此处的底数ba、既可以是单项式（如单独的字母、单独的数字、数字与字母的乘积等），也可以是一个多项式。
❖幂的运算法则，不仅要会正向使用，也要学会逆用，有时逆用法则，可以使计算简便或解决问题【类题训练】1．下列计算正确的是（）A．x2•x6＝x12B．a8÷a4＝a2C．2a2+3a2＝6a4D．（﹣3a）2＝9a22．计算[（﹣x）3]2＝（）A．﹣x6B．x6C．﹣x5D．x53．已知2m＝3，32n＝6，则下列关系成立的是（）A．m+1＝5n B．n＝2m C．m+1＝n D．2m＝5+n4．若m，n均是正整数，且2m+1×4n＝128，则m+n的所有可能值为（）A．2或3B．3或4C．5或4D．6或55．计算（﹣）2022×（﹣2）2022的结果是（）A．﹣1B．0C．1D．20226．已知2a＝5，2b＝10，2c＝50，那么a、b、c之间满足的等量关系是（）A．ab＝c B．a+b＝c C．a：b：c＝1：2：10D．a2b2＝c27．计算：（1）x2•x6＝；（2）a2n•a n+1＝；（3）（﹣2）×（﹣2）2×（﹣2）3＝．8．已知，则x ＝．9．已知162×43×26＝22x﹣1，（102）y＝1012，则2x+y＝．10．已知2x +3y ﹣1＝0，求9x •27y 的值．11．（1）若x 2n ＝2．求（﹣3x 3n ）2﹣4（﹣x 2）2n 的值； （2）规定a ⊗b ＝2a ÷2b ． ①求2⊗（﹣3）的值；②若2⊗（x ﹣1）＝16，求x 的值．考点二 乘法公式 【知识点睛】❖ 平方差公式：()()22b a b a b a -=-+☆：①此处的底数b a 、只需满足：一个系数相同，另一个系数相反。
整式的乘法专题训练
整式的乘法专题训练题目一：(2x)(3x)解析：根据单项式乘以单项式法则，系数相乘，字母部分按同底数幂相乘，结果为6x²。
题目二：(-3a²b)(4ab²)解析：系数相乘为-12，同底数幂相乘，a 的次数为2+1 = 3，b 的次数为1+2 = 3，结果是-12a³b³。
题目三：(2x²y)(-3xy³)解析：系数相乘为-6，x 的次数为2+1 = 3，y 的次数为1+3 = 4，答案是-6x³y⁴。
题目四：(5m²n)(-2m³n²)解析：系数相乘为-10，m 的次数为2+3 = 5，n 的次数为1+2 = 3，结果是-10m⁴n³。
题目五：(3x)(x² - 2x + 1)解析：用3x 分别乘以括号里的每一项，3x·x² = 3x³，3x·(-2x) = -6x²，3x·1 = 3x，结果为3x³ - 6x² + 3x。
题目六：(2x - 1)(x + 3)解析：用2x 乘以(x + 3)得2x² + 6x，再用-1 乘以(x + 3)得-x - 3，最后相加，2x² + 6x - x - 3 = 2x² + 5x - 3。
题目七：(x - 2)(x² + 3x - 1)解析：x 乘以(x² + 3x - 1)得x³ + 3x² - x，-2 乘以(x² + 3x - 1)得-2x² - 6x + 2，相加得x³ + 3x² - x - 2x² - 6x + 2 = x³ + x² - 7x + 2。
题目八：(3x + 2)(2x² - 5x + 1)解析：3x 乘以(2x² - 5x + 1)得6x³ - 15x² + 3x，2 乘以(2x² - 5x + 1)得4x² -10x + 2，相加得6x³ - 15x² + 3x + 4x² - 10x + 2 = 6x³ - 11x² - 7x + 2。
整式的乘法(复习)——单单、单多(多单)
整式的乘法（复习）——单×单、单×多（多×单）【知识点复习】【基础练习】1、计算——单×单：（1）)83(4322yz x xy （2）)312()(-733323c b a b a（3）322)-(125.02.3n m mn • （4）)53(32)21(322yz y x xyz -⋅⋅-（5）)2.1()25.2()31(522y x axy ax x ⋅-⋅⋅ （6）3322)2()5.0(52xy x xy y x ⋅---⋅（7）32222211(2)(2)()342x y xy x y xy x y z ⋅-+-⋅-⋅（8）)47(123)5(232y x y x xy -⋅-⋅-（9）23223)4()()6()3(5a ab ab ab b b a -⋅--⋅-+-⋅(10)()()()10102106.0102.132422⨯⨯-+⨯⨯⨯-（1）同底数幂相乘： =n m a a ； =+n m a （2）幂的乘方： =n m a )(； =mn a （3）积的乘方：幂的运算性质整式乘法（1）单×单：单项式与单项式相乘，把它们的 系数、相同字母的幂分别， 其余的字母连同它的指数 作为积的因式.（2）单×多（多×单）：=++)(z y x a（3）2、计算——单×多：（1）111()()(2)326a ab a b a b -++--- （2） 22(3)(21)x x x --+-=（3）2211(6)(6)23ab a b ab ab --⋅- （4) 2342)2-()31-1(6ab ab x +（5）3212[2()]43ab a a b b --+ (6)222(1)3(1)a bab ab ab -++-=（7）321(248)()2x x x ---⋅-=（8）223121(3)()232x y y xy +-⋅-(9)223263()(2)2(1)x x y x x y --⋅-+-=(10)32325431()(2)4(75)2a ab ab a b ab -⋅--⋅--(11)解方程：2(25)(2)6x x x x x --+=-(1)、化简求值：322b 71(-3.5a)b)53(-10a ab)21()(-b -)2-(4•++•a ab ， 其中.2-,1==b a（2)、若12x =，1y =，求2222()()3()x x xy y y x xy y xy y x ++-+++-的值.（3）、先化简，再求值22(69)(815)2(3)x x x x x x x x -----+-，其中16x =-。
中考数学总复习《整式的乘法》专项提升训练(带有答案)
中考数学总复习《整式的乘法》专项提升训练(带有答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.计算a •a 2的结果是( )A ．a 3B ．a 2C ．3aD ．2a 22.如果a 2n ﹣1a n+5=a 16，那么n 的值为( )A.3B.4C.5D.63.计算(－a 3)2的结果是( )A.－a 5B.a 5C.a 6D.－a 64.如果3a ＝5，3b ＝10，那么9a ﹣b 的值为( ) A.12 B.14 C.18D.不能确定 5.下列运算错误的是（ ）A.-m 2·m 3=-m 5B.-x 2＋2x 2=x 2C.(-a 3b)2=a 6b 2D.-2x(x-y)=-2x 2-2xy6.若x+y=2,xy=-2 ,则(1-x)(1-y)的值是（ ） A.-1 B.1 C.5 D.-37.如图所示，从边长为a 的大正方形中挖去一个边长是b 的小正方形，小明将图a 中的阴影部分拼成了一个如图b 所示的长方形，这一过程可以验证( )A.a 2+b 2﹣2ab=(a ﹣b)2B.a 2+b 2+2ab=(a+b)2C.2a 2﹣3ab+b 2=(2a ﹣b)(a ﹣b)D.a 2﹣b 2=(a+b)(a ﹣b)8.若4x 2＋kx ＋25＝(2x ＋a)2，则k ＋a 的值可以是( )A.﹣25B.﹣15C.15D.209.计算20222﹣2021×2023的结果是( )A.1B.﹣1C.2D.﹣210.观察下列各式及其展开式：(a ＋b)2=a 2＋2ab ＋b 2(a＋b)3=a3＋3a2b＋3ab2＋b3(a＋b)4=a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4(a＋b)5=a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5…请你猜想(a＋b)10的展开式第三项的系数是( )A.36B.45C.55D.66二、填空题11.已知39m•27m＝36，则m＝________．12.若(mx3)·(2x k)＝﹣8x18，则适合此等式的m＝______，k＝_____.13.如图是一个L形钢条的截面，它的面积为________14.如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=7，ab=13，则阴影部分的面积为.15.已知x2+2x=3，则代数式(x+1)2﹣(x+2)(x﹣2)+x2的值为_____.16.化简：6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1= .三、解答题17.化简：(x+3)(x+4)﹣x(x﹣1)18.化简：(a+2b)(3a﹣b)﹣(2a﹣b)(a+6b)19.化简：(x﹣6)(x+4)+(3x+2)(2﹣3x)20.化简：(3a+2b)(2a-3b)-(a-2b)(2a-b).21.先化简，再求值：[(x＋2y)2﹣(x＋y)(x﹣y)﹣5y2]÷2x，其中x＝﹣2，y＝1 2．22.已知(x2＋px＋8)(x2-3x＋q)的展开式中不含x2和x3项，求p，q的值.23.已知a+b=7，ab=12.求：(1)a2+b2；(2)(a-b)2的值.24.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．(1)28和2012这两个数是神秘数吗?为什么?(2)设两个连续偶数为2k＋2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗?为什么?25.阅读材料：把形ax2+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=(a±b)2.请根据阅读材料解决下列问题：(1)填空：a2﹣4a+4= .(2)若a2+2a+b2﹣6b+10=0，求a+b的值.(3)若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+4b2+c2﹣2ab﹣6b﹣2c+4=0，试判断△ABC 的形状，并说明理由.参考答案1.A2.B3.C4.B5.D6.D7.D8.A9.A10.B11.答案为：12 .12.答案为：﹣4，15.13.答案为：ac+bc-c2.14.答案为：515.答案为：816.答案为：73217.原式=8x+12．18.原式=4x2+4x+1﹣y219.原式=x2﹣2x﹣24+4﹣9x2=﹣8x2﹣2x﹣20.20.原式=4a2-8b2.21.解：原式＝(x2＋4xy＋4y2﹣x2＋y2﹣5y2)÷2x＝4xy÷2x＝2y当x＝﹣2，y＝12时，原式＝1．22.解：(x2＋px＋8)(x2-3x＋q)=x4-3x3＋qx2＋px3-3px2＋pqx＋8x2-24x＋8q=x4＋(p-3)x3＋(q-3p＋8)x2＋(pq-24)x＋8q.[来源:学科网] 因为展开式中不含x2和x3项所以p-3=0，q-3p＋8=0解得p=3，q=1.23.解：(1)a2+b2=(a+b)2-2ab=72-2×12=49-24=25；(2)(a-b)2=(a+b)2-4ab=72-4×12=49-48=1.24.解：(1)28和2012都是神秘数；(2)这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数；(3)两个连续奇数的平方差不是神秘数．25.解：(1)∵a2﹣4a+4=(a﹣2)2，故答案为：(a﹣2)2；(2)∵a2+2a+b2﹣6b+10=0∴(a+1)2+(b﹣3)2=0∴a=﹣1，b=3∴a+b=2；(3)△ABC为等边三角形.理由如下：∵a2+4b2+c2﹣2ab﹣6b﹣2c+4=0∴(a﹣b)2+(c﹣1)2+3(b﹣1)2=0∴a﹣b=0，c﹣1=0，b﹣1=0∴a=b=c=1∴△ABC为等边三角形.。
《整式的乘法复习》课件
学习建议与展望
深入理解概念
建议学生深入理解整式乘法的 概念和性质，掌握其本质，以
便更好地应用所学知识。
提高运算能力
强调学生应通过多做练习题提 高整式乘法的运算能力，掌握 常用的运算技巧。
拓展应用领域
建议学生将整式乘法的应用拓 展到其他学科领域，如物理、 化学等，以增强跨学科应用能 力。
展望未来发展
$(x+y)(x^2+y^2) = (x^2+y^2)(x+y)$，可用于交换多项式相乘的顺序。
整式乘法的综合练
04
习
基础练习题
总结词
掌握基本概念和规则
详细描述
包括单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与 多项式相乘等基础题型，旨在帮助学生掌握整式乘法的基本 概念和规则。
提高练习题
总结词
学习方法总结
主动参与
强调在学习整式乘法过程中，学 生应积极参与课堂讨论，主动思
考问题，提高自主学习能力。
实践应用
建议学生在课后多做练习题，通过 实践应用加深对整式乘法的理解， 提高运算能力和解决问题的能力。
归纳总结
鼓励学生对所学知识进行归纳总结 ，形成知识体系，以便更好地掌握 整式乘法的核心概念和运算规则。
小。
整式乘法的技巧与
03
注意事项
乘法公式的运用
01
02
03
平方差公式
$(a+b)(a-b) = a^2 b^2$，可用于简化整式 乘法。
完全平方公式
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，可用于展开整 式和简化整式乘法。
平方差公式
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，可用于展开整式 和简化整式乘法。
整式的乘除知识点及题型复习
整式运算考点1、幂的有关运算①=⋅nm a a （m 、n 都是正整数）②=n m a )( （m 、n 都是正整数）③=n ab )( （n 是正整数） ④=÷nm a a （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m>n ） ⑤=0a （a ≠0）⑥=-p a （a ≠0，p 是正整数） 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
例：在下列运算中，计算正确的是（ ）（A ）326a a a ⋅= （B ）235()a a =（C ）824a a a ÷=（D ）2224()ab a b =练习：1、()()103x x -⨯-=________.2、()()()32101036a a a a -÷-÷-÷ = 。
3、23132--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭= 。
4、322(3)---⨯- = 。
5、下列运算中正确的是（ ）A ．336x y x =；B ．235()m m =；C ．22122x x-=； D ．633()()a a a -÷-=- 6、计算()8pm n a aa ⋅÷的结果是（ ）A 、8mnp a - B 、()8m n p a ++ C 、8mp np a+- D 、8mn p a+-7、下列计算中，正确的有（ ）①325a a a ⋅= ②()()()4222ab ab ab ab ÷= ③()322a a a a ÷÷= ④()752a a a -÷=。
A 、①②B 、①③C 、②③D 、②④ 8、在①5x x ⋅ ②7x y xy ÷ ③()32x - ④()233x y y ÷中结果为6x 的有（ ）A 、①B 、①②C 、①②③④D 、①②④ 提高点1：巧妙变化幂的底数、指数 例：已知：23a =，326b =，求3102a b+的值；1、 已知2a x =，3bx =，求23a bx-的值。