优先队列与堆
堆与优先队列
堆的操作
•除了实现优先队列, 堆还有其他用途, 因此操 作比优先队列多 • –Getmin(T, x):获得最小值 • –Delete(T, x):删除任意已知结点 • –IncreaseKey(T, x, p):把x的优先级升为p • –Build(T, x):把数组x建立成最小堆 • 显然, 用堆很容易实现优先队列
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• • • • • • •
void insert(int a) { heap[++hlength]=a;//先往堆里插入节点值 up(hlength);//进行向上调整 } int getmin() {
//删除最小元素算法
• int r=heap[1];//取出最小的元素 • heap[1]=heap[hlength--];//然后把最后一个叶子节点赋给根节点 • down(1);//调用向下调整算法 • return r; • } • Int IncreaseKey(int p, int a) • {
• 基本形态：
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完全二叉树：深度为k 的，有n个结点的二叉树，当 且仅当其每一个结点都与深度为k 的满二叉树中 编号从1至n的结点一一对应。 • 完全二叉树的特点就是，只有最后一层叶子不满， 且全部集中在左边。 • 这其实是顺序二叉树的含义。在图论概念中的 “完全二叉树”是指n1=0的情况。
A B C E J
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插入元素和向上调整及堆建立
• 插入元素是先添加到末尾, 再向上调整 • 向上调整: 比较当前结点p和父亲, 如果父亲 比p小，停止; 否则交换父亲和p, 继续调整 • 从下往上逐层向下调整. 所有的叶子无需调 整, 因此从hs/2开始. 可用数学归纳法证明 循环变量为i时, 第i+1, i+2, …n均为最小堆 的根
优先队列升序写法
优先队列升序写法首先，优先队列是一种特殊的队列，其中每个元素都具有一个与之关联的优先级。
当出队时，优先级高的元素先出队，而优先级低的元素则稍后出队。
在升序优先队列中，优先级较高的元素是值越小的元素。
下面，我们将会用中文来讲述升序优先队列的实现方式。
首先，让我们来看看优先队列升序的实现思路：1. 用数组或链表等数据结构来存储元素。
2. 当元素入队时，按照优先级顺序插入到合适的位置。
3. 当元素出队时，取出优先级最高的元素，并删除它。
现在，让我们来详细看看优先队列升序的具体实现方法。
1. 数组实现在使用数组来实现优先队列时，我们需要在数组中存储元素及其优先级。
当元素入队时，我们需要遍历数组并找到第一个比当前元素优先级高的位置，然后将当前元素插入到该位置。
当元素出队时，我们只需要删除数组的最后一个元素即可。
2. 链表实现在使用链表来实现优先队列时，我们需要在链表中存储元素及其优先级。
当元素入队时，我们需要遍历链表并找到第一个比当前元素优先级高的位置，然后将当前元素插入到该位置。
当元素出队时，我们只需要删除链表的第一个元素即可。
3. 堆实现在使用堆来实现优先队列时，我们需要在堆中存储元素及其优先级。
当元素入队时，我们需要插入到堆的末尾，然后进行上浮操作，将元素插入到合适的位置。
当元素出队时，我们需要删除堆顶元素，然后进行下沉操作，将堆中的其他元素重新排列成堆的形式。
无论使用哪种实现方式，都需要注意以下几点：1. 在插入操作时，要确保元素始终按照优先级顺序排列。
2. 在删除操作时，要确保始终取出优先级最高的元素。
3. 在处理异常情况时，要确保代码的健壮性。
总之，在实现优先队列升序时，我们需要注意以下几点：1. 根据具体应用场景选择合适的实现方式。
2. 在插入和删除操作时，要确保始终遵循优先级规则。
3. 考虑到空间和时间复杂度，合理调整数据结构的大小。
以上是升序优先队列的实现方法，希望能对读者有所帮助。
堆排序的几种方法
堆排序的几种方法堆排序是一种基于堆数据结构的排序算法，具有稳定且时间复杂度为O(nlogn)的特点。
本文将介绍堆排序的几种方法，包括建堆和调整堆两个关键步骤。
一、建堆建堆是堆排序的第一步，其目的是将无序的数组构建成一个堆。
堆是一种完全二叉树，分为大顶堆和小顶堆两种类型。
在大顶堆中，每个节点的值都大于或等于其子节点的值；而在小顶堆中，每个节点的值都小于或等于其子节点的值。
建堆的方法有多种，其中最常用的是从最后一个非叶子节点开始，依次向上调整每个节点的位置，直到根节点。
具体步骤如下：1. 从最后一个非叶子节点开始，向上遍历每个节点。
2. 对于当前节点，比较其与左右子节点的大小关系，如果子节点较大（或较小），则将当前节点与子节点交换位置。
3. 重复步骤2，直到当前节点满足堆的性质，或者到达叶子节点。
二、调整堆建堆完成后，数组的第一个元素一定是堆中的最大（或最小）值。
为了得到有序的数组，需要将第一个元素与最后一个元素交换位置，并对剩余元素进行堆调整。
这样，每次交换后，最大（或最小）值就会被放置在正确的位置上。
调整堆的方法有多种，其中最常用的是从根节点开始，依次向下调整每个节点的位置，直到叶子节点。
具体步骤如下：1. 将第一个元素与最后一个元素交换位置。
2. 缩小堆的范围，即排除已经有序的元素。
3. 对剩余元素进行堆调整。
从根节点开始，比较其与左右子节点的大小关系，如果子节点较大（或较小），则将当前节点与子节点交换位置。
4. 重复步骤3，直到当前节点满足堆的性质，或者到达叶子节点。
三、堆排序的优化方法除了基本的建堆和调整堆方法外，还有一些优化方法可以提高堆排序的效率。
以下是几种常见的优化方法：1. 堆的初始化：在建堆之前，先对数组进行预处理，将数组中的元素调整为局部有序，可以减少后续建堆的时间复杂度。
2. 堆的调整：在调整堆的过程中，可以使用迭代的方式代替递归，以减少函数调用的开销。
3. 堆的选择：在每次交换堆顶元素和最后一个元素后，可以选择将最后一个元素排除在堆的范围之外，从而减少调整堆的次数。
纸上谈兵：堆（heap）
纸上谈兵：堆（heap）堆(heap)⼜被为优先队列(priority queue)。
尽管名为优先队列，但堆并不是队列。
回忆⼀下，在中，我们可以进⾏的限定操作是dequeue和enqueue。
dequeue是按照进⼊队列的先后顺序来取出元素。
⽽在堆中，我们不是按照元素进⼊队列的先后顺序取出元素的，⽽是按照元素的优先级取出元素。
这就好像候机的时候，⽆论谁先到达候机厅，总是头等舱的乘客先登机，然后是商务舱的乘客，最后是经济舱的乘客。
每个乘客都有头等舱、商务舱、经济舱三种个键值(key)中的⼀个。
头等舱->商务舱->经济舱依次享有从⾼到低的优先级。
再⽐如，封建社会的等级制度，也是⼀个堆。
在这个堆中，国王、贵族、骑⼠和农民是从⾼到低的优先级。
封建等级Linux内核中的调度器(scheduler)会按照各个进程的优先级来安排CPU执⾏哪⼀个进程。
计算机中通常有多个进程，每个进程有不同的优先级(该优先级的计算会综合多个因素，⽐如进程所需要耗费的时间，进程已经等待的时间，⽤户的优先级，⽤户设定的进程优先程度等等)。
内核会找到优先级最⾼的进程，并执⾏。
如果有优先级更⾼的进程被提交，那么调度器会转⽽安排该进程运⾏。
优先级⽐较低的进程则会等待。
“堆”是实现调度器的理想数据结构。
(Linux中可以使⽤nice命令来影响进程的优先级)堆的实现堆的⼀个经典的实现是完全⼆叉树(complete binary tree)。
这样实现的堆成为⼆叉堆(binary heap)。
完全⼆叉树是增加了限定条件的⼆叉树。
假设⼀个⼆叉树的深度为n。
为了满⾜完全⼆叉树的要求，该⼆叉树的前n-1层必须填满，第n层也必须按照从左到右的顺序被填满，⽐如下图:为了实现堆的操作，我们额外增加⼀个要求: 任意节点的优先级不⼩于它的⼦节点。
如果在上图中，设定⼩的元素值享有⾼的优先级，那么上图就符合该要求。
这类似于“叠罗汉”。
叠罗汉最重要的⼀点，就是让体重⼤的参与者站在最下⾯，让体重⼩的参与者站在上⾯ (体重⼩，优先级⾼)。
优先队列的底层原理
优先队列的底层原理
堆是一种完全二叉树，它可以被看作是一种数组的抽象，同时也满足堆的性质，即父节点的优先级不小于（或不大于，具体取决于是最大堆还是最小堆）其子节点的优先级。
这种性质保证了在堆中，具有最高（或最低）优先级的元素总是位于根节点。
因此，通过堆来实现优先队列，可以保证在任何时候都能快速找到并取出最高（或最低）优先级的元素。
另一种实现优先队列的方式是使用有序动态数组，即将元素按照优先级顺序存储在数组中。
当需要插入新元素时，可以通过二分查找等方法找到合适的位置将其插入，保持数组的有序性。
这样，在取出元素时，只需直接取出数组的第一个（或最后一个）元素即可得到具有最高（或最低）优先级的元素。
无论是使用堆还是有序动态数组，实现优先队列的底层原理都需要考虑如何维护元素的优先级顺序，并且在插入和删除操作时保持数据结构的特性。
同时，对于不同的应用场景，选择不同的底层实现方式可以根据其特性来提高效率和性能。
总之，优先队列的底层原理可以通过堆和有序动态数组等方式
来实现，通过维护元素的优先级顺序来保证在任何时候都能快速找到并取出具有最高（或最低）优先级的元素。
这样的实现能够满足各种实际应用中对于优先级管理的需求。
二叉堆和优先队列高效实现堆排序和Dijkstra算法
二叉堆和优先队列高效实现堆排序和Dijkstra算法堆排序和Dijkstra算法是计算机科学中常见且高效的算法。
它们的实现中常用到二叉堆和优先队列的数据结构。
本文将介绍二叉堆和优先队列的概念，以及它们在堆排序和Dijkstra算法中的应用。
一、二叉堆二叉堆是一种特殊的完全二叉树，满足以下两个性质：1. 结构性质：除最后一层外，每一层都是满的，最后一层从左到右填入节点。
2. 堆序性质：对于任意节点i，其父节点值小于等于其子节点的值。
二叉堆有两种类型：大顶堆和小顶堆。
大顶堆中，父节点的值大于等于其子节点；小顶堆中，父节点的值小于等于其子节点。
二叉堆的根节点即堆中的最值。
二、优先队列优先队列是一种可以快速访问和删除最值元素的数据结构。
它支持两个主要操作：1. 插入操作：将元素按照一定的优先级插入队列中。
2. 弹出操作：弹出队列中的最值元素。
优先队列可以用二叉堆实现，其中小顶堆用于实现最小优先队列，大顶堆用于实现最大优先队列。
通过保持堆序性质，我们可以在O(logn)的时间复杂度内完成插入和弹出的操作。
三、堆排序堆排序是一种高效的排序算法，基于二叉堆数据结构。
其主要步骤如下：1. 构建最大堆：将待排序序列构建成一个最大堆。
2. 交换堆顶元素和最后一个元素：将最大堆的堆顶元素与最后一个元素交换，此时最大值被固定在了最后。
3. 调整堆：调整剩余元素构建一个新的最大堆。
4. 重复步骤2和步骤3，直到剩余元素只有一个。
堆排序的时间复杂度为O(nlogn)，且具有原地排序的优点，但是不稳定。
四、Dijkstra算法Dijkstra算法是一种解决单源最短路径问题的贪心算法。
其核心思想是利用优先队列选择当前最短路径的顶点来遍历附近的节点，并更新到达这些节点的最短距离。
其主要步骤如下：1. 创建一个距离数组dist，存储源点到每个顶点的最短距离。
初始时，源点到自身的距离为0，其他顶点的距离为无穷大。
2. 将源点插入到优先队列中。
优先队列及其应用场景
优先队列及其应用场景优先队列是一种常见的数据结构，它在很多应用场景中都有广泛的应用。
本文将介绍优先队列的基本概念、实现方式以及一些常见的应用场景。
一、优先队列的基本概念优先队列是一种特殊的队列，其中每个元素都有一个与之关联的优先级。
在优先队列中，元素的出队顺序不仅取决于它们进入队列的顺序，还取决于它们的优先级。
具有较高优先级的元素会被先出队列，而具有较低优先级的元素会被后出队列。
二、优先队列的实现方式实现优先队列的方法有多种，常见的有两种：基于堆和基于有序数组。
1. 基于堆的优先队列：堆是一种满足堆性质的完全二叉树，可以用数组实现。
在基于堆的优先队列中，堆顶元素具有最高的优先级，每次出队列时都会选择堆中优先级最高的元素。
插入和删除操作的时间复杂度都是O(log n)。
2. 基于有序数组的优先队列：在基于有序数组的优先队列中，元素按照优先级有序排列。
插入操作时，需要找到合适的位置将元素插入到有序数组中；删除操作时，从有序数组中删除优先级最高的元素。
插入的时间复杂度为O(n)，删除的时间复杂度为O(1)。
三、优先队列的应用场景优先队列在很多实际问题中都有重要的应用，下面介绍几个常见的应用场景。
1. 任务调度：在操作系统中，有很多任务需要按照优先级进行调度。
优先队列可以用来存储这些任务，每次选择优先级最高的任务进行调度。
通过合理设置任务的优先级，可以实现高效的任务调度。
2. 模拟系统：在模拟系统中，需要对事件按照发生的顺序进行处理。
优先队列可以用来存储待处理的事件，每次选择发生时间最早的事件进行处理。
通过使用优先队列，可以模拟实际系统中的事件处理过程。
3. 图算法：在图算法中，优先队列可以用来存储待访问的节点或边。
每次选择优先级最高的节点或边进行访问，可以实现一些基于优先级的图算法，如最短路径算法、最小生成树算法等。
4. 哈夫曼编码：哈夫曼编码是一种常见的无损压缩算法，可以将原始数据编码为较短的二进制串。
堆的原理和应用
堆的原理和应用1. 堆的定义和特点堆（Heap）是一种特殊的数据结构，它是一种完全二叉树，并且满足堆特性：对于最大堆，父节点的值大于或等于子节点的值；对于最小堆，父节点的值小于或等于子节点的值。
堆最常见的应用就是优先队列，能够高效地找到最大或最小元素。
堆具有以下特点： - 堆是一棵完全二叉树，节点顺序从上到下、从左到右； - 最大堆（或最小堆）的父节点的值大于等于（或小于等于）子节点的值； - 堆的根节点是整个堆中最大（或最小）的元素。
2. 堆的实现和操作堆可以使用数组来实现，通过满足以下规则： - 对于节点i，其左子节点的索引是2i+1，右子节点的索引是2i+2； - 对于节点i，其父节点的索引是(i-1)/2。
常用的堆操作包括插入元素、删除堆顶元素、堆元素的上浮和下沉。
•插入元素：将元素插入到堆的尾部，然后依次与父节点进行比较，若满足堆特性，则停止比较；否则继续交换位置。
•删除堆顶元素：将堆的尾部元素替换到堆顶，然后依次与子节点进行比较，交换位置直到满足堆特性。
•堆元素的上浮：将该元素与父节点进行比较，若满足堆特性，则停止比较；否则继续交换位置。
•堆元素的下沉：将该元素与子节点进行比较，交换位置直到满足堆特性。
3. 优先队列的实现优先队列是堆的一种常见应用，它能够高效地找到最大（或最小）元素。
优先队列可以支持插入操作和获取最大（或最小）元素操作。
使用堆实现优先队列的步骤如下： 1. 创建一个空的堆作为优先队列。
2. 将元素依次插入到堆中。
3. 获取堆顶元素并删除。
4. 执行上述操作，直到堆为空。
优先队列的应用非常广泛，例如任务调度、数据压缩、图像处理等领域。
4. 堆排序算法堆排序是一种基于堆的排序算法，它可以在O(nlogn)的时间复杂度下完成排序操作。
堆排序的基本思想是： 1. 将待排序的序列构建成一个最大堆。
2. 此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。
3. 将根节点与最后一个节点交换，然后对前面n-1个节点进行堆调整。
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题目：优先队列与堆
问题描述
假设某医生看病人的顺序是由病人的病情严重程度来决定。
护士按照所有病人来医院的时间顺序给病人编号ID，依次为1，2，3，…，n；并且根据病人的病情严重程度设置Priority值，病越重，Priority的值越小。
当医生开始工作时，护士根据病人的Priority
值，由小到大依次安排病人看病。
试为护士编写程序安排病人看病的先后次序。
基本要求
（1）利用最小值堆实现一个优先队列。
（2）对于优先队列应该支持如下操作：初始化队列的init操作；获得队列中元素个数的size操作；判定队列是否为空的empty操作；获得队列中最优先的元素的值的top操作；向队列中插入一个元素的push操作；删除队列中最优先的元素的pop操作。
（3）利用优先队列存入所有病人的信息（编号和病情严重程度）。
最后利用优先队列获得病人看病的次序。
测试数据:
输入:
1 15
2 3
3 5
4 20
5 10
－1 －1
输出:
2
3
5
1
4
实现提示
（1）最小值堆采用数组作为物理存储结构，每个元素是一个结构体变量，包含编号ID和病情严重程度Priority值。
（2）用户录入－1 －1表示输入结束。
实验分析：
优先级队列是这样的一种数据结构，对它的访问或者删除操作只能对集合中通过指定优先级方法得出的最高优先级元素进行。
优先级队列是公平的，对于任何两个具有相同优先级的元素，首先被删除的是那个在队列中存在时间最长的元素。
如果元素是Int类型且按照其排列的顺序进行比较，那么具有最高优先级的元素就是优先级队列中相应的int值最小的那个元素。
如果元素是Int类型，但是比较方法与原排列顺序相反，那么具有最高优先级的元素就是优先级队列中相应的int值最大的元素。
到底是最小的还是最大的元素优先。
实质上堆可用来实现优先级队列，或者说堆就是一种优先级队列。
由于堆的添加元素与删除元素时都会破坏堆结构，所以添加与删除进都要进行结构调整。
一般普通的队列添加是在最后加入，但优先级队列却不一定添加到最后，他会按照优先级算法把它插入到队列当中去，出队时还是从第一个（也即最小元素，优
先级最高）开始，即取根元素，这样保证了队列中优先级高的先服务，而不是先来先服务了。
Heap类是对接口的一种高效实现。
堆是一种完全二叉树。
由于使用基于数组的完全二叉树的表示，可以根据子节点的索引快速计算出你父节点的索引，反之亦然，所以，使用数组来表示堆，它是利用了数组可以根据给定索引随机访问元素的特性。
实验结果：
实验代码：
#include <iostream>
using namespace std;
class HEAP //定义堆
{
public:
int IDnum;
int priority;
void operator=(HEAP& temp){
IDnum=temp.IDnum;
priority=temp.priority;
}
};
void sift(HEAP* a,int i,int n) { //筛选int j;
HEAP t;
t=a[i];
while((j=2*i+1)<n) {
if(j<n-1&&a[j].priority<a[j+1].priority) j++;
if(t.priority<a[j].priority) {
a[i]=a[j];
i=j;
}
else break;
}
a[i]=t;
}
void heap(HEAP* a,int n) {
int i;
HEAP p;
for(i=(n-2)/2;i>=0;i--)
sift(a,i,n);
for(i=n-1;i> 0;i--) {
p=a[0];
a[0]=a[i];
a[i]=p;
sift(a,0,i);
}
}
void push(HEAP* a,int& num,int IDnum,int priority) { //将元素压入栈
a[num].IDnum=IDnum;
a[num++].priority=priority;
}
void pop(HEAP* a,int& num,int& ID) { //出栈ID=a[0].IDnum;
for(int i=0;i <num-1;i++)
a[i]=a[i+1];
num--;
heap(a,num);
}
void main() {
int IDnum,priority;
HEAP h[50];
int num;
num=0;
while(IDnum)
{
cin>> IDnum>> priority;
if(IDnum==-1)
break;
push(h,num,IDnum,priority);
}
heap(h,num);
for(int i=0;i <num;i++)
cout <<(h[i].IDnum) <<endl; }。