堆与优先队列

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堆的操作
•除了实现优先队列, 堆还有其他用途, 因此操 作比优先队列多 • –Getmin(T, x):获得最小值 • –Delete(T, x):删除任意已知结点 • –IncreaseKey(T, x, p):把x的优先级升为p • –Build(T, x):把数组x建立成最小堆 • 显然, 用堆很容易实现优先队列
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void insert(int a) { heap[++hlength]=a;//先往堆里插入节点值 up(hlength);//进行向上调整 } int getmin() {
//删除最小元素算法
• int r=heap[1];//取出最小的元素 • heap[1]=heap[hlength--];//然后把最后一个叶子节点赋给根节点 • down(1);//调用向下调整算法 • return r; • } • Int IncreaseKey(int p, int a) • {
• 基本形态：
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完全二叉树：深度为k 的，有n个结点的二叉树，当 且仅当其每一个结点都与深度为k 的满二叉树中 编号从1至n的结点一一对应。 • 完全二叉树的特点就是，只有最后一层叶子不满， 且全部集中在左边。 • 这其实是顺序二叉树的含义。在图论概念中的 “完全二叉树”是指n1=0的情况。
A B C E J
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插入元素和向上调整及堆建立
• 插入元素是先添加到末尾, 再向上调整 • 向上调整: 比较当前结点p和父亲, 如果父亲 比p小，停止; 否则交换父亲和p, 继续调整 • 从下往上逐层向下调整. 所有的叶子无需调 整, 因此从hs/2开始. 可用数学归纳法证明 循环变量为i时, 第i+1, i+2, …n均为最小堆 的根
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while (q<=hlength) { if (q<hlength&&heap[q]>heap[q+1]) //选择两个子节点中的一个最小的 q++; if(heap[q]>=a) break;//如果子节点比当前节点大，就结束 else//否则就交换 { heap[p]=heap[q]; p=q; q=p*2; } } heap[p]=a;//安排原来的节点 } int getmin(long long heap[5843]) { int r=heap[1];//取出最小的元素 heap[1]=heap[hlength--];//然后把最后一个叶子节点赋给根节点 down(1,heap);//调用向下调整算法 return r; } void insert(long long a,long long heap[5843]) { heap[++hlength]=a;//先往堆里插入节点值 up(hlength,heap);//进行向上调整 }
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堆的定义
• • • • • • 堆是一个完全二叉树 –所有叶子在同一层或者两个连续层 –最后一层的结点占据尽量左的位置 堆性质 –为空, 或者最小元素在根上 –两棵子树也是堆
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存储方式
• • • • 最小堆的元素保存在heap[1..hs]内 –根在heap[1] –K的左儿子是2k, K的右儿子是2k+1, –K的父亲是[k/2]
//把p的优先级升为a
• • }
heap[p]=a;
up(p);
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• •
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void build() { //建堆算法 for(int i=hlength/2;i>0;i--) down(i); //从最后一个非终端节点开始进行调 //整 } 时间复杂度分析： 向上调整/向下调整 –每层是常数级别, 共logn层, 因此O(logn) •插入/删除 –只调用一次向上或向下调整, 因此都是O(logn) •建堆 riority_queue< Node,vector<Node>,cmp > q; Node n1; n1.f = 5; Node n2; n2.f = 4; Node n3; n3.f = 2; Node n4; n4.f = 10; q.push(n1); q.push(n2); q.push(n3); q.push(n4); while(!q.empty()) { cout<< q.top().f<<endl; q.pop(); } 21 }
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• 附：
• 二叉树的定义： • 定义：是n（n≥0）个结点的有限集合，由一个根结点以 及两棵互不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉树组 成。 • 逻辑结构： 一对二（1：2） • 基本特征: • ① 每个结点最多只有两棵子树（不存在度大于2的结点）； • ② 左子树和右子树次序不能颠倒（有序树）。
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int main() { int n; ugly[1]=1; while(cin>>n && n) { long long heap[5843]; hlength=4; heap[1]=2;heap[2]=3;heap[3]=5;heap[4]=7; int i,j; for (i=1,j=2;j<=n;++i) { long long min=getmin(heap); if(min<=ugly[j-1]) continue; ugly[j++]=min;//保存选取出来的最小的丑数 long long num=min*2; insert(num,heap);//以下是插入四个丑数 num=min*3; insert(num,heap); num=min*5; insert(num,heap); num=min*7; insert(num,heap); if(j>n) { cout<<ugly[n]<<endl; break; } } if(n==1) cout<<1<<endl; } return 0; }
堆与优先队列 及应用
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堆
• 堆(heap)经常被用来实现优先队列(priority queue): 可以把元素加入到优先队列中, 也 可以从队列中取出优先级最高的元素 • –Insert(T, x):把x加入优先队列中 • –DeleteMin (T, x):获取优先级最高的元素x, 并把它从优先队列中删除
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例1. k路归并问题 把k个有序表合并成一个有序表. 元素共有n个. 分析 每个表的元素都是从左到右移入新表 把每个表的当前元素放入二叉堆中, 每次删 除最小值并放入新表中, 然后加入此序列的 下一个元素 • 每次操作需要logk时间, 因此总共需要nlogk 的时间
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#include <iostream> #include <queue> #include <vector> #include <functional> using namespace std; struct Node {//重载"<"操作符。 int f; bool operator<(const Node& node)const { return f>node.f; } }; class cmp {//重定义比较函数 public: bool operator()( const Node & n1, const Node & n2) const { return n1<n2; } };
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这个代码是简单的实现第n个丑数的，对于oj上的题目代码自己实现。另外此代码没有优化，时间复杂度很大，不过 这只是介绍一下堆与优先队列的应用，具体的优化办法自己想办法
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#include<iostream> using namespace std; int ugly[5843]; int hlength=0; void up(int p,long long heap[5843]) { //向上调整算法，p代表当前节点，而q代表父母节点 int q=p/2;//获取当前节点的父母节点 long long a=heap[p];//保存当前节点的值 while (q<=hlength&&a<heap[q]) { //如果当前节点的值比父母节点的值小，就交换 heap[p]=heap[q]; p=q; q=p/2; } heap[p]=a;//最后安排原来的节点 } void down(int p,long long heap[5843]) { //向下调整算法，p代表当前节点，q代表子节点 int q=p*2; long long a=heap[p];//保存当前节点的值}
运行结果： 2 4 5 10
题目参考：HDU1058 PKU2010 /JudgeOnline/
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向上调整
• void up(int p) • { • //向上调整算法，p代表当前节点，而q代表父母节点 • int q=p/2;//获取当前节点的父母节点 • a=heap[p];//保存当前节点的值 • while (q<=hlength&&a<heap[q]) • { • //如果当前节点的值比父母节点的值小，就交换 • heap[p]=heap[q]; • p=q; • q=p/2; • } • heap[p]=a;//最后安排原来的节点 • }