堆 最大堆 最小堆 堆排序 优先队列
堆是一种什么方法
堆是一种什么方法堆是一种经典的数据结构，它是一棵完全二叉树，并且具备以下两个特点：1.堆是一种自序化的数据结构，其中每个节点满足某种特定的序关系。
通常情况下，堆中每个节点的元素都比它的孩子节点的元素满足特定的序关系，这就是所谓的堆序性质。
对于最小堆来说，每个节点的元素都要小于等于其孩子节点的元素；而对于最大堆来说，每个节点的元素都要大于等于其孩子节点的元素。
2.堆是一种基于数组或链表实现的数据结构，通常通过数组实现。
在数组中，堆的每个节点都有一个对应的编号，节点编号通常从1开始，而不是从0开始。
堆可以分为最大堆和最小堆，最大堆中每个节点的元素都要大于等于其孩子节点的元素，最小堆中每个节点的元素都要小于等于其孩子节点的元素。
最大堆和最小堆都可以用于求解一些具有特定顺序关系的问题，如求解一组数据中的最大值或最小值，或者是求解一组数据中的中位数等。
堆的一个重要性质是堆序性质，根据堆序性质，堆顶的元素一定是整个堆中最大或最小的元素，也就是说，堆顶的元素可以在常数时间复杂度下找到。
因此，堆可以非常高效地找到最大或最小的元素。
堆的操作主要包括插入和删除两种操作。
当插入一个元素时，可以将元素插入到堆的最后一个位置，然后通过向上调整的方式保持堆序性质。
具体而言，可以将插入的元素与其父节点进行比较，如果满足堆序性质，则插入操作结束；否则，需要将插入的元素与其父节点进行交换，并继续向上比较，直到满足堆序性质为止。
当删除堆顶元素时，可以将堆顶元素与堆的最后一个元素进行交换，然后删除最后一个元素，并通过向下调整的方式保持堆序性质。
具体而言，可以将堆顶元素与其孩子节点进行比较，如果满足堆序性质，则删除操作结束；否则，需要将堆顶元素与其较大（或较小）的孩子节点进行交换，并继续向下比较，直到满足堆序性质为止。
最后，堆顶的元素就是原来堆中第二大（或第二小）的元素。
除了插入和删除操作外，堆还可以支持其他的操作，如修改元素、查找元素等。
堆的应用与实现优先队列堆排序等
堆的应用与实现优先队列堆排序等堆的应用与实现：优先队列、堆排序等堆是一种重要的数据结构，它可以应用于多种场景中，例如优先队列和排序算法。
在本文中，我们将探讨堆的应用以及如何实现优先队列和堆排序。
一、堆的概念与性质堆是一种特殊的完全二叉树，它可以分为最大堆和最小堆两种类型。
最大堆满足父节点的值大于等于子节点的值，而最小堆则相反，父节点的值小于等于子节点的值。
堆具有以下性质：1. 堆总是一棵完全二叉树，即除了最后一层，其他层都是完全填满的。
2. 在最大堆中，任意节点的值都大于等于其子节点的值；在最小堆中，则反之。
3. 堆的根节点是最大值（最大堆）或最小值（最小堆）。
4. 堆的左子节点和右子节点的值相对于父节点的值具有一定的顺序关系。
二、优先队列优先队列是一种特殊的队列，它的出队顺序依赖于元素的优先级而非它们被加入队列的顺序。
堆可以用来实现优先队列。
在堆中，每个元素都有一个优先级，优先级高的元素先出队。
优先队列可以应用于很多场景，例如任务调度、事件处理等。
下面是一个使用堆实现优先队列的伪代码：```class PriorityQueue:def __init__(self):self.heap = []def push(self, item):heapq.heappush(self.heap, item)def pop(self):return heapq.heappop(self.heap)```在上述代码中，我们使用Python中的heapq库来实现堆操作。
通过heappush和heappop函数，我们可以实现元素的入队和出队操作，同时保证堆的特性。
三、堆排序堆排序是一种高效的排序算法，它利用堆数据结构进行排序。
堆排序的基本思想是将待排序序列构建成一个最大堆（或最小堆），然后反复将堆顶元素与最后一个元素交换，并进行调整，直到整个序列有序。
下面是使用堆排序算法对一个数组进行排序的示例代码：```def heapify(arr, n, i):largest = ileft = 2 * i + 1right = 2 * i + 2if left < n and arr[i] < arr[left]:largest = leftif right < n and arr[largest] < arr[right]:largest = rightif largest != i:arr[i], arr[largest] = arr[largest], arr[i]heapify(arr, n, largest)def heap_sort(arr):n = len(arr)for i in range(n // 2 - 1, -1, -1):heapify(arr, n, i)for i in range(n - 1, 0, -1):arr[i], arr[0] = arr[0], arr[i]heapify(arr, i, 0)```在上述代码中，我们首先通过堆化操作将待排序序列构建为一个最大堆。
堆排序以及最大优先队列
堆排序以及最大优先队列堆排序（heapsort）是一种比较快速的排序方式，它的时间复杂度为O(nlgn)，而且堆排序具有空间原址性：即任何时候只需要有限（常数个）的空间来存储临时数据。
而且堆排序还被应用在构造优先级队列中，本文将会用Java实现一个最大堆，并利用最大堆实现优先级队列。
最大堆的性质1.是一棵近似的完全二叉树，除了最底层，其它是全满，且从左向右填充。
2.树的每个节点对应数组一个元素，根节点对应数组下标0元素。
3.对于下标i，它的父节点下标为(i + 1) / 2 - 1，左孩子节点下标为i * 2 + 1，右孩子节点下标为i * 2 + 2。
4.最大堆中，每个结点都必须大于等于左右孩子节点。
堆排序1.维护最大堆为了建立一个最大堆，我们需要设计一个算法来维护最大堆的性质。
对于节点i，我们假设它们的左右子树都是最大堆，而节点i因为小于左右孩子而违背了最大堆的性质，因此我们需要对节点i进行逐级下降，从而使得以节点i为根结点的子树满足最大堆的性质。
上述代码的解释是：对于节点i（即数组下标i）,首先获取它的左右子孩子下标，分别存储到l，r变量中，其中left和right函数可以根据最大堆的性质得到，如下：变量length是要维护的数组的长度，它的值<=数组的真实长度。
临时变量max用来存储节点i，左孩子和右孩子这三者最大者的下标。
因此，首先比较左孩子a[l]是否大于节点i，是的话将左孩子下标l赋值给max，否则，当前最大者仍为节点i，并把i的值赋给max。
然后当前最大者和右孩子比较，小于右孩子的话就把下标r赋值给max。
到目前为止，我们找到了节点i，左孩子和右孩子这三者之中的最大者的下标max，如果节点i本来就是最大的，那么就不需要维护了，所以函数结束。
否则的话，有孩子节点大于节点i，因此我们需要将节点i 和较大的那个孩子进行交换，即swap(a, i,="">=数组的真实长度。
堆与优先队列
堆与优先队列1.堆与优先队列普通的队列是⼀种先进先出的数据结构，即元素插⼊在队尾，⽽元素删除在队头。
⽽在优先队列中，元素被赋予优先级，当插⼊元素时，同样是在队尾，但是会根据优先级进⾏位置调整，优先级越⾼，调整后的位置越靠近队头；同样的，删除元素也是根据优先级进⾏，优先级最⾼的元素（队头）最先被删除。
另外，优先队列也叫堆。
2.优先队列与⼆叉树⾸先，优先队列是⼆叉树的⼀种特例，是在⼆叉树的基础上，再定义⼀种性质：根节点的key值⽐左⼦树和右⼦树⼤（最⼤优先队列，也叫⼤顶堆）或⼩（最⼩优先队列，也叫⼩顶堆），通过在⼆叉树上维护这⼀性质，这样该⼆叉树就是优先队列。
2.1 ⼆叉树的性质在学习优先队列时，我们要先对⼆叉树有⼀定的认知。
2.1.1 ⼆叉树的定义⼆叉树（binary tree）是指树中节点的度不⼤于2的有序树，它是⼀种最简单且最重要的树。
⼆叉树的递归定义为：⼆叉树是⼀棵空树，或者是⼀棵由⼀个根节点和两棵互不相交的，分别称作根的左⼦树和右⼦树组成的⾮空树；左⼦树和右⼦树⼜同样都是⼆叉树。
2.1.2 ⼆叉树的基本形态⼆叉树是递归定义的，其结点有左右⼦树之分，逻辑上⼆叉树有五种基本形态： [3]1、空⼆叉树——如图（a）；2、只有⼀个根结点的⼆叉树——如图（b）；3、只有左⼦树——如图（c）；4、只有右⼦树——如图（d）；5、完全⼆叉树——如图（e）。
由上述我们可以得知，⼀颗节点数为3的⼆叉树，有五种形态：2.1.2 相关术语1、节点：⾄少包含⼀个key值的数据及若⼲指向⼦树分⽀的指针；2、节点的度：⼀个节点拥有的⼦节点的数⽬称为节点的度；3、叶⼦节点：度为0的节点；4、分⽀节点：度不为0的节点；5：数的度：数中所有节点的度的最⼤值；6、节点的层次：从根节点开始诉求你，假设根节点为第⼀层，根节点的⼦节点为第⼆层，⼀次类推，如果某⼀个节点位于第L层，则其⼦节点位于第L + 1层；7、树的深度：也称为树的⾼度，树中所有节点的层次最⼤值称为树的深度；2.1.3 ⼆叉树的性质性质1：⼆叉树的第i层上⾄多有22-1(i >= 1)个节点；性质2：深度为h的⼆叉树中⾄多有2h - 1个节点；性质3：节点数为n的⼆叉树中，有n-1条边。
优先级队列讲义
public: priorityQueue( int capacity = 100 ) { array = new Type[capacity]; maxSize = capacity; currentSize = 0;} priorityQueue( const Type data[], int size ); ~priorityQueue() {delete [] array;} bool isEmpty( ) const {return currentSize == 0;} void enQueue( const Type & x ); Type deQueue(); Type getHead(){return array[1];} };
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enQueue（x）
• enQueue操作是在堆中插入一个新元素
• 堆的插入通常是在具有最大序号的元素之后插
入新的元素或结点。
• 如果新元素放入后，没有违反堆的有序性，那
么操作结束。否则，让该节点向父节点移动， 直到满足有序性或到达根节点。 • 新节点的向上移动称为向上过滤(percolate up)
优先级队列
• 基本的优先级队列 • 二叉堆
• D堆
• 归并优先级队列
• STL中的优先级队列
• 排队系统的模拟
1
二叉堆
堆是一棵完全二叉树，且满足下述关系之一 ki ≤ 或者： k
i
k2i 且 ki ≤
k2i+1 (i=1,2,… , n/2 ) k2i+1 (i=1,2,… , n/2 )
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向下过滤
template <class Type> void priorityQueue<Type>::percolateDown( int hole ) { int child; Type tmp = array[ hole ];
数据结构（八）：优先队列-最大最小优先
数据结构（⼋）：优先队列-最⼤最⼩优先⼀、优先队列的概述 在前⾯的数据结构（三）：线性表-栈，队列中记录到，队列是先进先出的结构，元素在队列末端添加，在队列前头删除，若使⽤该队列的数据结构，则当要找出队列中的最⼤最⼩值时，需要遍历队列 对每个元素做⽐较后得出，这样在实际的⽣产应⽤中效率是很低的，这时就需要有⼀种队列，能快捷的获取队列中的最⼤或最⼩值，叫做优先队列。
使⽤优先队列保存数据元素，能快速的获取队列的最⼤或最⼩值，⽐如计算机中有多个排队的任务，但是需要按照优先级⼀⼀执⾏，此时优先队列的优势便得到了体现，在前⼀章对堆的记录中 我们发现堆能快速的找到最⼤或最⼩值并删除，符合优先队列的应⽤场景，因此本章我们使⽤堆来实现最⼤，最⼩优先队列和索引优先队列⼆、最⼩优先队列 1、最⼩优先队列实际就是⼀个⼩顶堆，即每次插⼊堆中的元素，都存储⾄堆末端，通过上浮操作⽐较，⼩于⽗节点则和⽗节点交换元素，直到根结点为⽌，这样就形成了⼀个⼩顶堆。
2、在获取最⼩值时，由于堆是数组的结构，只需获取根结点的值，即数组下标为1的值即可。
3、获取最⼩值并删除，则可以交换根结点和尾结点，之后删除尾结点，并对根结点进⾏下沉操作，保证每个⽗节点都⼩于两个左右⼦树即可public class MinPriorityQueue<T extends Comparable<T>> {// 初始化堆private T[] items;// 初始化个数private int N;/*** 返回优先队列⼤⼩*** @return*/public int size() {return N;}/*** 队列是否为空** @return*/public boolean isEmpty() {return N==0;}/*** 构造⽅法，传⼊堆的初始⼤⼩** @param size*/public MinPriorityQueue(int size) {items = (T[]) new Comparable[size + 1]; N = 0;}/*** 判断堆中索引i处的值是否⼩于j处的值** @param i* @param j* @return*/private boolean bigger(int i, int j) {return items[i].compareTo(items[j]) > 0; }/*** 元素位置的交换** @param col* @param i* @param j*/private void switchPos(int i, int j) {T temp = items[i];items[i] = items[j];items[j] = temp;}/*** 删除堆中最⼤的元素，并且返回这个元素 ** @return*/public T delMin() {// 获取根结点最⼤值T minValue = items[1];// 交换根结点和尾结点switchPos(1, N);// 尾结点置空items[N] = null;// 堆数量减1N--;// 根结点下沉sink(1);return minValue;}/*** 往堆中插⼊⼀个元素t** @param t*/public void insert(T t) {items[++N] = t;swim(N);}/*** 使⽤上浮算法，使堆中索引k处的值能够处于⼀个正确的位置 ** @param k*/private void swim(int k) {while (k > 1) {if (bigger(k / 2, k)) {switchPos(k, k /2);}k = k / 2;}}/*** 使⽤下沉算法，使堆中索引k处的值能够处于⼀个正确的位置 ** @param k*/private void sink(int k) {while (2 * k <= N) {int min;// 存在右⼦结点的情况if (2 * k + 1 <= N) {if (bigger(2 * k, 2 * k + 1)) {min = 2 * k + 1;} else {min = 2 * k;}} else {min = 2 * k;min = 2 * k;}// 当前结点不⽐左右⼦树结点的最⼩值⼩，则退出if (bigger(min, k)) {break;}switchPos(k, min);k = min;}}public static void main(String[] args) {String[] arr = { "S", "O", "R", "T", "E", "X", "A", "M", "P", "L", "E" };MinPriorityQueue<String> minpq = new MinPriorityQueue<>(20);for (String s : arr) {minpq.insert(s);}String del;while (!minpq.isEmpty()) {del = minpq.delMin();System.out.print(minpq.size());System.out.println(del + ",");}}}三、最⼤优先队列 1、最⼤优先队列实际就是⼀个⼤顶堆，即每次插⼊堆中的元素，都存储⾄堆末端，通过上浮操作⽐较，⼤于⽗节点则和⽗节点交换元素，直到根结点为⽌，这样就形成了⼀个⼤顶堆。
《C++实现数据结构》：优先权队列
《C++实现数据结构》：优先权队列一个大小为n的堆是一棵包含n个结点的完全二叉树，该树中每个结点的关键字大于等于其双亲结点的关键字值。
完全二叉树的根称为堆顶，若它的关键字值是整棵树上最大的，我们称之为最大堆。
反之，就是最小堆。
如果要求每次从数据结构中取出的元素是具有最高优先级的元素，这样的数据结构被称为优先权队列。
可见，堆是实现优先权队列的非常有效的数据结构。
另外，因为堆的特性，我们还可以用堆来实现排序，也就是堆排序了。
堆排序的具体实现在后面实现各种排序算法时再说明了。
现在来看看优先权队列是怎么实现的。
//// Created by huxijie on 17-3-20.// 用最大堆来实现优先权队列#include <iostream>using namespace std;template <typename T>class PrioQueue{private:T* q;int n,maxSize; //maxSize是容量上限,n是队列中已有的数据个数void Swim(int k); //上游,也就是向上调整void Sink(int k); //下沉,也就是向下调整bool Less(int i, int j);void Swap(int i, int j);public:PrioQueue();PrioQueue(int mSize);~PrioQueue();bool IsEmpty() const;bool IsFull() const;bool GetMax(T &x); //在x中返回具有最高优先权的元素值,并从优先权队列中删除该元素,返回truebool Append(const T &x); //元素值x加入队列};template <typename T>PrioQueue<T>::PrioQueue() {this->PrioQueue(20);}template <typename T>PrioQueue<T>::PrioQueue(int mSize) {maxSize = mSize;n = 0;q = new T[maxSize];}template <typename T>PrioQueue<T>::~PrioQueue() {delete[]q;}template <typename T>bool PrioQueue<T>::IsEmpty() const {return0 == n;}template <typename T>bool PrioQueue<T>::IsFull() const {return maxSize == n;}template <typename T>bool PrioQueue<T>::Less(int i, int j) { if (q[i] < q[j]) {return true;} else {return false;}}template <typename T>void PrioQueue<T>::Swap(int i, int j) {T tmp = q[i];q[i] = q[j];q[j] = tmp;}template <typename T>void PrioQueue<T>::Swim(int k) {//如果父结点比子结点小,一直向上调整while (k >= 1 && Less((k - 1) / 2, k)) { Swap((k - 1) / 2, k);k = (k - 1) / 2;}template <typename T>void PrioQueue<T>::Sink(int k) {int i;while (2 * k + 1 < n) {i = 2 * k + 1;//如果有右孩子并且右孩子比左孩子大if (i < n && Less(i, i + 1)) {i++;}if (!Less(k, i)) { //父结点比子结点大,向下调整结束break;} else {Swap(k, i);k = i;}}}template <typename T>bool PrioQueue<T>::GetMax(T &x) {if (IsEmpty()) {cout<<"Empty"<<endl;return false;} else {x = q[0]; //得到优先权最大的元素q[0] = q[--n]; //将最后一个元素赋给根结点,结点数量减1 Sink(0); //从根结点向下调整堆return true;}}template <typename T>bool PrioQueue<T>::Append(const T &x) {if (IsFull()) {cout<<"Full"<<endl;return false;} else {q[n++] = x; //加入到堆底,结点数量加1Swim(n-1); //从堆底向上调整堆return true;}}int main() {int n = 10;PrioQueue<int> prioQueue(n);for (int i = 0; i < n; ++i) { prioQueue.Append(i);}prioQueue.Append(10);int max = 0;if (prioQueue.GetMax(max)) { cout<<max<<endl;}prioQueue.Append(10);if (prioQueue.GetMax(max)) { cout<<max<<endl;}return0;}运行结果：Full910。
最大堆与最小堆常见堆的应用与实现
最大堆与最小堆常见堆的应用与实现堆是一种特殊的树形数据结构，常用于解决一些优先级相关的问题。
其中，最大堆和最小堆是两种常见的堆形式。
本文将介绍最大堆和最小堆的定义、性质以及它们在实际应用中的使用场景与具体实现。
一、最大堆和最小堆的定义最大堆(Max Heap)是一种堆，其中任意父节点的值都比其孩子节点的值要大或相等。
具体而言，对于最大堆中的任意节点i，其父节点的值大于等于节点i的值。
最小堆(Min Heap)与最大堆相反，其任意父节点的值都比其孩子节点的值要小或相等。
即对于最小堆中的任意节点i，其父节点的值小于等于节点i的值。
最大堆和最小堆作为一种有序的数据结构，可以进行高效的元素插入和删除操作，其应用广泛，比如堆排序、优先级队列等。
二、最大堆和最小堆的性质1. 最大堆性质：a) 最大堆中的根节点存储最大值。
b) 最大堆的高度为O(log n)，n为元素个数。
c) 在最大堆中，插入和删除元素的时间复杂度均为O(log n)。
2. 最小堆性质：a) 最小堆中的根节点存储最小值。
b) 最小堆的高度为O(log n)，n为元素个数。
c) 在最小堆中，插入和删除元素的时间复杂度均为O(log n)。
三、最大堆和最小堆的应用1. 堆排序：堆排序是一种基于最大堆或最小堆的排序算法，它的时间复杂度为O(n log n)。
通过构建最大堆（或最小堆），将需要排序的数组转化为一个堆结构，然后反复取出堆顶元素（最大值或最小值），直到堆为空，得到的序列即为有序的。
2. 优先级队列：优先级队列是一种特殊的队列，每个元素都有一个优先级与之关联。
在优先级队列中，元素按照优先级依次出队，最高优先级的元素先出队，对于相同优先级的元素，可以根据其先后顺序出队。
优先级队列常常使用最小堆或最大堆来实现，以保证元素的出队顺序满足优先级要求。
3. 哈弗曼编码：哈弗曼编码是一种用于数据压缩的编码方式，其中频率较高的字符使用较短的编码，频率较低的字符使用较长的编码。
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基本维护操作
MAX-HEAPIFY(i)
维护函数，接受一个父节点i
将父节点，子节点中的最大值
与父节点交换 向下递归
将一个无序数组变为一个最 大堆
For(i=n/2;i>=1;i--)
MAX_HEAPIFY(i)
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交换 重复
插入
O(logn)
另一种建堆方法
从空堆开始
每次将新元素插入
删除
将堆顶元素取出
将末尾元素移至堆顶 对堆顶维护
删除
O(logn)
还有更高端的
二项堆
斐波那契堆 详见算导……
还有…..
STL!
关于堆的题目
Who's in the Middle
水题
据说连冒泡都能过………….. 仅当练习堆排序…………
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最大堆完成
时间复杂度O(n)
排序
很简单
带有优先队列的选择排序
方法
建立一个最大堆
将最大的元素与最后一个
元素交换 维护堆顶
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The kth great number
优先队列的应用
Argus
优先队列的应用
Fence Repair
优先队列的应用
注意！long
long
Black Box
多种做法
线段树，红黑树，SBT 推荐优先队列
Sliding Window
多种做法
线段树 推荐优先队列
堆
堆能干什么
堆排序
优先级队列
堆是什么
完全二叉树!
关于二叉树
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节点数 n 高度 logn 父节点 i 左子节点 2*i 右子节点2*i+1
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堆支持的操作
插入
删除 排序
关键是怎样维护……
保持堆的性质
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16Leabharlann 10…………..排序的时间效率
运行n次
每次维护logn O(nlogn)
优先级队列
插入
将新元素插入最后
如果父节点小于该元素,