球与盒子的排列组合问题(精华版)
N个小球放M个盒子
n个球放入m个箱子里，有多少种不同的放法（不一定是球和箱子，也可能是其他的元素与其他的放置位置,例如N个人分到M个单位，每班至少一人，里面已经暗中说明球不同，单位不同）看似很简单的问题其实非常复杂，球是否相同，箱是否相同？是否允许有空盒不难看出一共8类情况1）球同，盒同，无空箱2）球同，盒同，允许空箱3）球同，盒不同，无空箱4)球同，盒不同，允许空箱5)球不同，盒相同，无空箱6）球不同，盒相同，允许空箱7)球不同，盒不同，无空箱8）球不同，盒不同，允许空箱-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------先来看3,4.这个就是最典型的公考中经常遇见的插板法（关于插板法的解释我懒的说了，自己搜，论坛百度都容易找的到）只是需要注意是否允许空箱3的公式是把n个球排成一排，（一种方法），它们中间有n-1个空。
取m-1个小棍，放到空上，就把它们分成m部分，由于小棍不相邻，所以没有空箱子。
它的方法数有C(N-1,M-1),也就是球减1里面挑M-1个箱子做组合4的公式在3的基础上升华出来的，为了避免空箱子，先在每一个箱子假装都放一个球，这样就有n+m个球，C（n+m-1,m-1)，多了M个元素而已------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------关于1,2类情况，本来我想教大家一个特殊三角形的，但画起来比较麻烦，速度还不如穷举快，所以就略了，愿意学的我还是可以教他，不会真的还不如穷举来的快。
排列组合：小球入盒
小球入盒模型的推广应用摘要：小球入盒是排列组合的典型问题，本文从小球同与不同及盒子同与不同几方面对小球入盒模型的加以推广应用。
小球入盒是排列组合的典型问题，与之相关的有名额分配、人员分配等问题，形式多样.“小球入盒问题”问题可以分为四类：不同的小球放入不同的盒子里；不同的小球放入相同的盒子里；相同的小球放入不同的盒子里；相同的小球放入相同的盒子里（此类不做重点讨论）。
解答小球入盒问题的最有效、最易于操作的方法是“先分组后分配”，即先将元素分组、再分配到位置.分组时应注意平均分组与非平均分组的区别；放入相同盒子可看作分组无分配问题；解答相同小球入不同盒子问题的最有效、最易于操作的方法是隔板法。
【引例】①把4个相同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法②把4个不同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法③把4个不同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法④把4个相同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法【解析】①由于小球相同，盒子也相同，故小球数目的不同分组就对应不同的放法，小球数目分组有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，故只有4种放法.②（乘法原理）分4步，把小球一个一个地放入盒子，每一个小球都有3种放法，由乘法原理，共有种放法.③（先分组后分配）先将不同小球分为三组，有4+0+0型(种方法)、3+1+0型（种方法）、2+2+0型(种方法)、2+1+1型(种方法)，共14 种分组方法，再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子相同，故都只有1种方案，故共有14 种放法.④法1：（先分组后分配）先将小球分为三组，有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，由于小球相同，故各只有1种分组方法；再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子不同，故有种放法.法2：（隔板法）每种放法对应于将4个相同小球与2个相同“隔板”进行的一次排列，即从6个位置中选2个位置安排隔板，故共有 =15种放入的方式。
隔板法解排列组合问题
隔板法解排列组合问题一、有7个相同的球和4个相同的盒子，每个盒子至少放一个球，问有多少种不同的放法？A. 15种B. 20种C. 35种D. 56种（答案：C）二、将5本不同的书分给3个同学，每个同学至少得到一本，问有多少种分配方式？A. 60种B. 120种C. 150种D. 210种（答案：C）（注：此题应用隔板法时需先对书进行排序，再插入隔板）三、有8个相同的苹果和3个相同的盘子，要求每个盘子里至少有一个苹果，且苹果不能切分，问有多少种摆放方式？A. 28种B. 36种C. 45种D. 56种（答案：B）（注：此题实际为组合问题中的“插板法”或“隔板法”的特例，但由于苹果和盘子都相同，需特殊处理）四、将6个不同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少有一个小球，问有多少种放法？A. 1260种B. 1560种C. 1860种D. 2160种（答案：B）（注：此题需先对小球进行全排列，再应用隔板法）五、有9个相同的糖果和2个相同的杯子，要求每个杯子里至少放3个糖果，问有多少种放法？A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种（答案：C）（注：此题需先满足每个杯子的最小糖果数，再应用隔板法）六、将7个不同的玩具分给4个小朋友，每个小朋友至少得到一个玩具，问有多少种分配方式？A. 840种B. 1680种C. 3360种D. 5040种（答案：B）（注：此题需先对玩具进行全排列，再应用隔板法，并考虑小朋友的区分性）七、有10个相同的饼干和3个相同的碟子，要求每个碟子里至少放2个饼干，且饼干不能切分，问有多少种摆放方式？A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种（答案：A）（注：此题需先满足每个碟子的最小饼干数，再应用隔板法，但由于饼干和碟子都相同，需特殊处理）八、将5封不同的信件投入3个不同的邮筒中，每个邮筒至少有一封信，问有多少种投法？A. 60种B. 150种C. 210种D. 252种（答案：B）（注：此题需先对信件进行全排列，再应用隔板法，并考虑邮筒的区分性，同时需排除不符合条件的情况）。
球入盒问题分类例析
“球入盒”问题分类例析排列组合问题中经常遇到“球入盒子”类型题目，这类问题的类型和解法如下：一、球相同，盒子相同，且盒子不能空例1. 8个相同的球放入3个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个•问有多少种不同的放法解析球入盒问题，可以看成分两步完成，首先是将8个球分成三堆，每堆至少一个•由于这里球和盒子都相同，每三堆放入3个盒子中只有一种情况，所以只要将8个球分成三堆•即1-1-6、1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3五种，故将8个相同的球放入3个相同的盒子中，每个盒子至少有一个，有五种不同的放法•结论n个相同的球放入m个相同的盒子（n>m），不能有空盒时的放法种数等于n分解为m个数的和的种数•二、球相同，盒子相同，且盒子可以空例2. 8个相同的球放入3个相同的盒子中•问有多少种不同的放法解析与上题不同的是分成的三堆中，上题中的每一堆至少有一个球，而这个题中的三堆可以有球数为零的堆，即除了分成上面的五堆外，还可分为1-7、2-6、3-5、4-4和只一堆共五种情况，故8个相同的球放入3个相同的盒子中•，有十种不同的放法•结论n个相同的球放入m个相同的盒子（n A m），可以有空盒时的放法种数等于将n分解为m个、（m- 1）个、（m—2）个、…、2个、1个数的和的所有种数之和•三、球相同，盒子不同，且盒子不能空例3. 8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个•问有多少种不同的放法解析这是个相同的球放入不同的盒子中，与前面不同的是，这里盒子不同，所以不能再用前面的解法•将8个球排成一排，形成7个空隙，在7个空隙中任取两个插入两块隔板，有C" =7-621种，这样将8个球分成三2堆，第一堆放到1号盒子内，第二堆放到2号盒子内，第三堆放到3号盒子内•故将8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个，有21种不同的放法•结论n个相同的球放入m个不同的盒子中（n A m），不能有空盒的放法种数等于•四、球相同，盒子不同，且盒子可以空例4. 8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中•问有多少种不同的放法解析与上一题不同的是，这里可以有盒子没放一个•还是利用隔板原理将8个球分为三堆，只不过有的堆的球数为零，即在8个球之间插入两块隔板•首先将8个球排成一排，就有9个空，任取一个空插入一块隔板，有C11种；然后再将第二块隔板插入前面8个球和第一块隔板形成的10个空中，有C w种，但这两种放法中有重复的，要除以2;最后将第一块隔板左边的球放入1号盒子中，两块隔板之间的球放入2号盒子中，第二块隔板右边的球1 1 1 210 9放入3号盒子中•故一共有一C9 C10 C10------------ 45种•2 2或者，将8个球分成三堆（包括没有0数堆和有0数堆），也就是在8个球的9个空隙中取两个插入隔板或取一个插入两块隔板，即C9 Cg 9 36 45种•例3也可利用上面的分法来解，8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个•先放一个到每个盒子中，只有一种放法•然后将剩下的5个球排成一排，插入两块隔板，2 2 种.结论n个相同的球放入m个不同的盒子中（n A m），可以有空盒的放法种数等于Cr?；.五、球不同，盒子相同，且盒子不能空例5. 8个不同的球放入三个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个•问有多少种不同的放法解析 由于盒子相同，所以只要对8个不同的球分成三堆就行了， 因为放入盒子只有一种情况•而8个球分成（注意，分组有几组个数相同即几组均分就要除以几的阶乘）•故一共有 C 1C 1C 6C 2C 2C 4C 2C 3C 3C 8C7C6.12 5.13 4 c8 c6 c4 , c8 C6C3+ C 8C 7C 5 +C 8C 7C 4 ++ —2 2结论 n 个不同的球放入m 个相同的盒子中（ n 》m ），不能有空盒的放法种数等于n 个不同的球分成m 堆的种数•六、球不同，盒子相同，且盒子可以空例6. 8个不同的球放入三个相同的盒子中，问有多少种不同的放法 解析 只比上一题多了两种情况，一是有一堆为0的，即分成两堆，1-7、2-6、3-5、4-4四种情况，有1c 8c ；c f c f -Cs127 ;二是有两堆为0的，即只分成一堆，一种情况•所以一共有966+127+仁10942种.结论 n 个不同的球放入m 个相同的盒子中（n > m ）,可以有空盒的放法种数等于将n 个不同的球分成m 堆、 （m—1）堆、（m — 2）堆、…、2堆、1堆的所有种数之和•七、球不同，盒子不同，且盒子不能空例7. 8个不同的球放入标号为 1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个•问有多少种不同的放法解析 这个问题就等价于“ 8本不同的书分给3个同学，每人至少有一本，有多少种分法” 就是在例5先分堆的基础上，再加一步，分到三个不同的盒子中•即966 A 33=5796种•结论 n 个不同的球放入m 个不同的盒子中，不能有空盒的放法种数等于n 个不同的球分成m 堆的种数乘以m! •例8将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子里，每个盒子内放一个球，恰好 3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为（）•A 120B 240C 360D 720解析 先在10个不同的球中任取 7个分别放到对应标号的盒子中，有 Cw 种选法；再将剩下的三个球分别放入剩下的三个盒子中，每个盒子放一个且标号不能相同，有2种放法•故满足题意的放法有 2C 170 =240种，选B.八、球不同，盒子不同，且盒子可以空例9. 8个不同的球放入标号为 1、2、3的三个盒子中，问有多少种不同的放法 解析 包括分三堆的5796种，还有分两堆的 127 A 33762，还有只分一堆的3种情况，所以一共有5796+762+3=6561 种.三堆，各堆球数依次为 1-1-6、1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3 五种.对情况 1-1-6 有c 8c ；c种分法, 对情况1-2-5有C ；C ；C ；种分法，对情况1-3-4有C 8C ；C ：种分法，对情况2-2-4有CsCsC种分法，对情况2-3-3=966 种.它也等价于“ 8封信投到3个邮箱里”，应该有38=6561种•结论n个不同的球放入m个不同的盒子中（n》m），可以有空盒的放法种数等于m n种.。
排列组合：小球入盒
小球入盒模型的推广应用摘要：小球入盒是排列组合的典型问题，本文从小球同与不同及盒子同与不同几方面对小球入盒模型的加以推广应用。
小球入盒是排列组合的典型问题，与之相关的有名额分配、人员分配等问题，形式多样.“小球入盒问题”问题可以分为四类：不同的小球放入不同的盒子里；不同的小球放入相同的盒子里；相同的小球放入不同的盒子里；相同的小球放入相同的盒子里（此类不做重点讨论）。
解答小球入盒问题的最有效、最易于操作的方法是“先分组后分配”，即先将元素分组、再分配到位置.分组时应注意平均分组与非平均分组的区别；放入相同盒子可看作分组无分配问题；解答相同小球入不同盒子问题的最有效、最易于操作的方法是隔板法。
【引例】①把4个相同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法？②把4个不同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法？③把4个不同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法？④把4个相同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法？【解析】①由于小球相同，盒子也相同，故小球数目的不同分组就对应不同的放法，小球数目分组有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，故只有4种放法.②（乘法原理）分4步，把小球一个一个地放入盒子，每一个小球都有3种放法，由乘法原理，共有种放法.③（先分组后分配）先将不同小球分为三组，有4+0+0型(种方法)、3+1+0型（种方法）、2+2+0型(种方法)、2+1+1型(种方法)，共14 种分组方法，再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子相同，故都只有1种方案，故共有14 种放法.④法1：（先分组后分配）先将小球分为三组，有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，由于小球相同，故各只有1种分组方法；再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子不同，故有种放法.法2：（隔板法）每种放法对应于将4个相同小球与2个相同“隔板”进行的一次排列，即从6个位置中选2个位置安排隔板，故共有 =15种放入的方式。
常见算法之14---球放入盒问题
常见算法之14---球放⼊盒问题N个球放⼊M个盒⼦中的问题研究：本来这是组合数学中的问题，但近年来公务员考试，企业⾯试经常会涉及到这个问题。
这个问题并⾮咋⼀看上去那么容易，不妨⾃⼰先动⼿计算⼀下下⾯⼏个题⽬：情形1 N个不同的球，放⼊M个不同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法。
情形2 N个不同的球，放⼊M个不同的盒⼦，盒⼦不为空的放法。
情形3 N个相同的球，放⼊M个不同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法情形4 N个相同的球，放⼊M个不同的盒⼦，盒⼦不为空的放法。
情形5 N个相同的球，放⼊M个相同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法。
情形6 N个相同的球，放⼊M个相同的盒⼦，盒⼦不为空的放法。
情形7 N个不同的球，放⼊M个相同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法。
情形8 N个不同的球，放⼊M个相同的盒⼦，盒⼦不为空的放法。
==================分割线=========================假定：c(N,M)表⽰为从n个项中挑选出m个项的⽅案数。
情形1 N个不同的球，放⼊M个不同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法。
每个球都可以随意放，有M个选择，故共M^N种⽅式。
情形2 N个不同的球，放⼊M个不同的盒⼦，盒⼦不为空的放法。
⾸先，从N个球中选出M个球，将这M个球排列。
（相当于每个盒⼦⾥放⼀个）c(N,M)*M!种然后，剩下的N-M个球就可以随意放了。
M^(N-M)种综上，c(N,M)*M!*[M^(N-M)]情形3 N个相同的球，放⼊M个不同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法。
根据隔板原理：将N个球排成⼀列，中间插⼊M-1个隔板，分成M个堆，其中允许隔板相邻，也可以放在两边。
N个球时，有N+1个空；插⼊⼀个板后，有N+2个空....故⼀共有(N+1)*(N+2)....*(N+M-1)种。
但板⼦的插⼊顺序是没有要求的，所以我们要去除重复的情形。
板⼦的顺序有(M-1)!综上，有(N+1)*(N+2)....*(N+M-1)/(M-1)!种情形。
排列组合：小球入盒
小球入盒模型的推广应用摘要：小球入盒是排列组合的典型问题，本文从小球同与不同及盒子同与不同几方面对小球入盒模型的加以推广应用。
小球入盒是排列组合的典型问题，与之相关的有名额分配、人员分配等问题，形式多样.“小球入盒问题”问题可以分为四类：不同的小球放入不同的盒子里；不同的小球放入相同的盒子里；相同的小球放入不同的盒子里；相同的小球放入相同的盒子里（此类不做重点讨论）。
解答小球入盒问题的最有效、最易于操作的方法是“先分组后分配”，即先将元素分组、再分配到位置.分组时应注意平均分组与非平均分组的区别；放入相同盒子可看作分组无分配问题；解答相同小球入不同盒子问题的最有效、最易于操作的方法是隔板法。
【引例】①把4个相同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法？②把4个不同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法？③把4个不同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法？④把4个相同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法？【解析】①由于小球相同，盒子也相同，故小球数目的不同分组就对应不同的放法，小球数目分组有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，故只有4种放法.②（乘法原理）分4步，把小球一个一个地放入盒子，每一个小球都有3种放法，由乘法原理，共有种放法.③（先分组后分配）先将不同小球分为三组，有4+0+0型(种方法)、3+1+0型（种方法）、2+2+0型(种方法)、2+1+1型(种方法)，共14 种分组方法，再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子相同，故都只有1种方案，故共有14 种放法.④法1：（先分组后分配）先将小球分为三组，有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，由于小球相同，故各只有1种分组方法；再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子不同，故有种放法.法2：（隔板法）每种放法对应于将4个相同小球与2个相同“隔板”进行的一次排列，即从6个位置中选2个位置安排隔板，故共有 =15种放入的方式。
分球人盒问题例析
ʏ浙江省绍兴市上虞区上虞中学 章舜龙在求解排列㊁组合问题的过程中,我们经常会遇到一类 分球入盒 的问题或可转化为 分球入盒 模型的问题㊂不少同学由于不能正确对待 球 和 盒 的顺序而导致错解㊂下面例析 分球入盒 问题,以期帮助同学们厘清思路,顺利解答该类问题㊂一㊁球同盒同例1 将7个相同的小球,放入4个相同的箱子中㊂(1)每个箱子中至少有一个小球(即箱子不空),有多少种不同的放法?(2)若箱子允许空,又有多少种不同的放法?分析:箱子相同时不需要考虑箱子的顺序,球相同也无须考虑球的差别,只要考虑各个箱子中放入小球的数量多少,故可用 穷举法 求解㊂解:(1)箱子不空有3种放法:{1,1,1,4},{1,1,2,3},{1,2,2,2}㊂(2)箱子允许空共有11种放法:{0,0,0,7},{0,0,1,6},{0,0,2,5},{0,0,3,4},{0,1,1,5},{0,1,2,4},{0,1,3,3},{0,2,2,3},{1,1,1,4},{1,1,2,3},{1,2,2,3}㊂点评: 穷举法 是求解排列组合问题中最常见的数学思想方法㊂此时, 无招胜有招㊂二㊁球同盒不同例2 将7个相同的小球,放入4个不同的箱子中㊂(1)箱子不空,有多少种不同的放法?(2)若箱子允许空,有多少种不同的放法?分析:本题与例1的不同点是这里的4个箱子是不同的,需考虑箱子间的顺序,若还用穷举法解就显得繁杂,可将问题转化为方程正整数解的问题,进而利用 插空法 求解㊂解:(1)设第i 个箱子里放入m i (i =1,2,3,4)个球,则问题转化为求不定方程m 1+m 2+m 3+m 4=7(*)的正整数解的个数㊂将7个小球排成一排,用3个隔板将7个小球分成四份,每一种分隔方法对应一种放法,7个小球之间有6个间隙,在其中任选3个插入隔板,有C 36=20(种)方法㊂故共有20种不同的放法㊂(2)箱子允许有空,等价于求(*)式的非负整数解个数㊂设x i =m i +1(i =1,2,3,4),问题转化为求不定方程x 1+x 2+x 3+x 4=11的正整数解的个数㊂仿(1)知共有C 310=120(种)不同方法㊂对于(2)也可这样思考,此时把7个小球81 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年3月与3个隔板等同看待,认为共有10个元素,将它们排成一列,每一个排列对应一种放法,如O O O O O||O O|对应的放法就是:{5,0,2, 0},10个位置任选3个放隔板,其余7个位置放小球,共有C310=120(种)不同方法㊂点评:求解相同元素的分配问题用 隔板法 ,将n个相同的元素分成m份(n,m为正整数),每份至少一个元素,可以用m-1块隔板,插入n个元素排成一排的n-1个空隙中,所有分法数为C m-1n-1㊂三㊁盒同球不同例3将7个不同的小球,放入4个相同的箱子中㊂(1)箱子不空,有多少种不同的放法?(2)箱子允许空,有多少种不同的放法?分析:此情形中要注意球是不同的,需考虑其差异,而箱子是相同的就不需要考虑其顺序,故常用 分类累加法 求解㊂解:(1)箱子不空,分为以下三类:①4个箱子中小球数是{1,1,1,4},放法有C17C16C15C44/A33=35(种);②4个箱子中小球数是{1,1,2,3},放法有C17C16C25C33/A22=210(种);③4个箱子中小球数是{1,2,2,2},放法有C17C26C24C22/A33=105(种)㊂放法共有35+210+105=350(种)㊂(2)箱子允许空,分为下面四类㊂①4个箱子均不空,由(1)知有350种放法㊂②4个箱子中有1个是空的,则分为下面四种情形㊂ⅰ)4个箱子中小球数是{0,1,1,5},不同的放法有C17C16C55/A22=21(种);ⅱ)4个箱子中小球数是{0,1,2,4},不同的放法有C17C26C44=105(种);ⅲ)4个箱子中小球数是{0,1,3,3},不同的放法有C17C36C33/A22=70(种);ⅳ)4个箱子中小球数是{0,2,2,3},不同的放法有C27C25C33/A22=105(种)㊂此时共有不同的放法数为21+105+ 70+105=301㊂③4个箱子中有2个是空的,又分为下面三种情形㊂ⅰ)4个箱子中小球数是{0,0,1,6},不同的放法有C17C66=7(种);ⅱ)4个箱子中小球数是{0,0,2,5},不同的放法有C27C55=21(种);ⅲ)4个箱子中小球数是{0,0,3,4},不同的放法有C37C44=35(种)㊂此时共有不同的放法数为7+21+35= 63㊂④4个箱子中有3个是空的仅有一种情形{0,0,0,7},共有1种放法㊂综上所述,共有350+301+63+1=715 (种)不同放法㊂点评:本题属于分组问题,分组的类型包括整体均分㊁部分均分和不等分三种,无论分成几组,都应注意只要有元素的个数相等的组存在,就需要考虑均分的现象(即:整体平均分组;或部分平均分组)㊂四㊁球盒均不同例4将7个不同的小球,放入4个不同的箱子中㊂(1)箱子不空,有多少种不同的放法?(2)箱子允许空,有多少种不同的放法?分析:与例3比较,需考虑箱子的差异,即箱子间的顺序㊂解:(1)由例3可知7个不同的小球,放入4个相同的箱子中,箱子不空时共有350种放法㊂故将7个不同的小球,放入4个不同的箱子中,箱子不空,共有350A44=8400 (种)不同的放法㊂(2)用 分步法 求解㊂将7个不同的小球,放入4个不同的箱子中,箱子允许空,每一个小球都有4种不同的放法,故共有47= 16384(种)不同的放法㊂点评:重复排列问题要区分两类元素,一类可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作 客 ,把能重复的元素看作 店 ,通过 住店法 可顺利解题㊂在使用住店策略解决这类问题时,关键是正确判断哪个是底数,哪个是指数㊂(责任编辑徐利杰)91解题篇经典题突破方法高二数学2024年3月。
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球与盒子的排列组合问题（精华版）
首先看一下分类，主要有8种：
1）球同，盒同，无空箱
2）球同，盒同，允许空箱
3）球同，盒不同，无空箱
4) 球同，盒不同，允许空箱
5) 球不同，盒相同，无空箱
6）球不同，盒相同，允许空箱
7) 球不同，盒不同，无空箱
8）球不同，盒不同，允许空箱
做这种题型关键是要对号入座，下面的解释分析统一假设m个球，n个盒子。
先从最简单入手，第8种，每个球都有n种选择，所以是n m
剩下的我们先从前四种（数字都不会太大，且分析较简单）开始。
做题时一看到球同，盒同，就想到凑数法，事实证明这是最快的一种方法。
如第（1）种，假设m=7，n=4.它的情况只有1 1 1 4
1 1
2 3
1 2 2 2
这3种情况，所以答案是3.
第（2）种是在第（1）种的基础上延伸它的情况如下
0，0，0，7
0，0，1，6
0，0，2，5
0，0，3，4
0，1，1，5
0，1，2，4
0，1，3，3
0，2，2，3
1，1，1，4
1，1，2，3
1，2，2，2
所以答案是11种。
第（3）种，典型的插板法（不懂的网上搜一下）。
记住就行
1-n
1-
m C
第（4）种，是上面方法的延伸，同样记住就行
1-n
1-n
m C
下面分析球不同的（５）（６）（７）３种情况
先给各位献上一张表，大家别看到数字就害怕了，其实也就是类似与乘法口诀表，（５）（６）（７）的答案都可以在这个表上找到。
看一下图上的数字是怎么来的，看下面解释
第一左右两边都是1，第几行就有几个数，比如第5行就是1XXX1
第二S（n,k)=S(n-1,k-1)+k*S(n-1,k)，含义是第N排的第K个数等于他上一排的上一个位置数字加上一排的同样位置数字的K倍
例如S（7，3）就是第7排第3个数字，所以他等于上排第6排第2个数字+第6排第3个位置*3
所以画图的话，明显第1排是1，第2排1，1，推理第3排（左右两边都是1，只有中间那个数字没确定）
所以S(3,2)=第2排第1个数字+第2排第2个数字两倍=1+1*2=3，所以第3排数字就是1,3,1.同理S(4,2)=S(3,1)+2*S(3,2)=1+2*3=7,
S(4,3)=S(3,2)+3*S(3,3)=3+3*1=6......如此类推三角形
所以第（5）种即：N不同球，M同箱子，无空箱。
一共有S(N,M)种分法，比如7个不同
球，4个相同箱子，每个箱子至少一个，则看三角形的第7行，第4个数字多少。
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而类型6，N不同球，M同箱，允许空的时候（在类型5的基础上允许空箱）。
明显是N个球不变，一个空箱子都没有+有一个空箱子+有两个空箱子+有三个空箱子+，，，，，，都装在一个箱子。
说的简单点一共有就是
S(N,1)+S(N,2)+S(N,3)+..........S(N,M)=也就是说第N 排开始第1个数字一直加到第M个数字就是总的分法----------------------------------------------------------------------------------------
而类型7同样是在类型5的基础上升华，因为5是箱同的，而7箱不同，所以箱子自身多了P(M,M)=M!倍可能
S(N,M) 所以类型7的公式就是M!乘以。