排列组合题型总结
排列组合题型总结
排列组合题型总结
排列组合是数学中的一个基础概念，涉及概率统计、离散数学和组合数学等学科。
在生活和工作中，排列组合也有广泛应用，如抽奖、组队、排班、挑选花样等。
下面是一些常见的排列组合题型：
1. 从n个不同元素中选择r个元素，一共有多少种选择方式？（组合）
2. 从n个不同元素中按照一定顺序选择r个元素，一共有多少
种选择方式？（排列）
3. 有n个球，其中k个红球，其余的都是蓝球。
从这些球中选择r个球，其中至少包含m个红球，一共有多少种选择方式？（条件选择排列组合）
4. 将n个不同的元素分成k个不同的集合，一共有多少种分法？（划分）
5. n个人坐在一张圆桌周围，一共有多少种不同的座位安排方式？（圆排列组合）
6. 在一个4*4的格子里，从左上角开始，向右或向下走，到右下角一共有多少种不同的走法？（组合数）
7. 有A、B、C、D、E、F六个人，排成一排，其中A和B不
能相邻，一共有多少种排法？（条件限制排列）
这些题型在考试、工作和日常生活中都有出现的可能，对于掌握排列组合的基本概念和运算方法有很大的实用价值。
排列组合题型总结
排列组合题型总结排列组合是高中数学中的一个重要知识点，也是各类数学竞赛常见的题型之一。
它在实际生活中有着广泛的应用，如排队、选材、抽奖等。
因此，对排列组合的掌握至关重要。
下面将对排列组合的概念、性质、计数原理以及常见题型进行总结。
一、排列与组合的概念1. 排列：对给定的一组元素，按照一定的顺序进行排列。
有放回的排列叫做重复排列，不放回的排列叫做不重复排列。
2. 组合：从给定的一组元素中，取出一部分元素进行组合，不考虑元素的顺序。
有放回的组合叫做重复组合，不放回的组合叫做不重复组合。
二、排列组合的性质1. 排列性质：(1) 重复排列：对于n个不同元素，重复排列数为P(m, n) =n^m。
(2) 不重复排列：对于n个不同元素取m个元素进行不重复排列数为A(m, n) = n! / (n-m)!2. 组合性质：(1) 重复组合：对于n个不同元素，从中取出m个元素进行重复组合，共有C(m+n-1, m)种组合方式。
(2) 不重复组合：对于n个不同元素取m个元素进行不重复组合，共有C(m, n)种组合方式。
三、排列组合的计数原理1. 乘法原理：当某件事情分为几个步骤进行，并且每个步骤的选择数目不受前一步骤选择的限制时，总的选择数目等于各个步骤选择数目的乘积。
2. 加法原理：当某件事情可以分为几种情况进行，并且这些情况没有重叠部分，总的选择数目等于各种情况选择数目的和。
3. 减法原理：当某件事情总的选择数目已知，但其中某些选择数目不符合要求时，可以采用总的选择数目减去不符合要求的选择数目得到符合要求的选择数目。
四、常见排列组合题型1. 对于排列问题，常见的题型有：(1) 从n个元素中取m个元素进行排列有多少种方法？(2) 字母排列问题，例如：用字母ABCDF构成几位无重复、有重复的排列？(3) 位置固定的排列问题，例如：某实验有4个步骤，进行3次，每个步骤有多少种选择方法？(4) 特殊位置的排列问题，例如：某分队有4名队员，第一、二名只能选A或B，第三名只能选C或D，第四名只能选E 或F，共有多少种分队方法？2. 对于组合问题，常见的题型有：(1) 从n个元素中取m个元素进行组合有多少种方法？(2) 元素重复的组合问题，例如：甲、乙、丙、丁四个人挑选队员，队员不多于2人，共有多少种选择方法？(3) 特定条件下的组合问题，例如：某公司有5个经理、7个主管、10个员工，要从中选取3个人组成考核小组，其中至少一人是经理，共有多少种选择方法？(4) 若干元素组成一个团队，其中必须包含A，B两人，并且团队至少需要5人，共有多少种选择方法？以上只是排列组合题型的几个常见例子，实际应用中还会出现更复杂的题型。
排列组合的题型与方法
（二）分组分配问题 5.限制条件的分配问题分类法: 例6.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西 部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不 到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
A 60 种。 A
5 5 2 2
（一）排序问题 4.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位 置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
例4.现有1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念， 若老师不站两端则有不同的排法有多少种？
解析：老师在中间三个位置上选一个有 A1 种 ,
3
种，4名同学在其余4个位置上有 A4 种方法； 4
解析、(1)先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中 选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务， 2 1 1 不同的选法共有 C10 C8C7 2520 种
（二）分组分配问题 2.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若 干组，可用逐步下量分组法.
例3、(2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的 调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有( A )
（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少 一本，不同的分法种数为( B ) A、480种 B、240种 C、120种 D、96种
2 4 C5 A4 240
（二）分组分配问题
4.名额分配问题隔板法(无差别物品分配问题隔板法): 例5：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少 一个名额，有多少种不同分配方案？
排列组合题型总结
【一】特殊对象问题：
在处理排列问题时，所要研究的对象 有两组，一是要被排列的对象，一是位置， 在这两组对象中有时候会出现一个或者多 个特殊的对象： 若有一个特殊对象，一般先把特殊的对象 优先进行处理 ，然后再对其他的没有特殊 要求的对象进行全排列；
特殊对象问题：
如果出现了 两个特殊要求 ，一般使用 分类 的方法处理，针对其中的一个的位置不同 进行分类来处理，再或者用间接法 例1、有5人排成一列，其中甲不在第一的 位置，有多少种排法？ 例2、有5人排成一列，其中甲不能在第一， 乙不能在最后，有多少种排法？
【十一】相对顺序固定问题
相对顺序固定问题，常用两种方法： （1）一般要先处理掉没有相对顺序要求的 元素，再把剩下的有相对顺序要求的元 素按照要求摆放， （2）先随意地进行排列，再除以随意摆放 过程中相对顺序固定部分的顺序
【十一】相对顺序固定问题
例1、书架上6本不同的书，现在要放上去3本， 但要保持原来6本的相对顺序不变，有多少种放 法？
【五】不相邻问题
例1、某人射击训练，8枪命中3枪，恰 好没有任何2枪连续命中，有多少种情况？ 例2、8人排成一列，甲乙丙三人不可相 邻，有多少种排法？ 例3、8盏灯关掉3盏，不许关掉相邻的， 也不许关掉两端，多少种方法？ 例4、某人射击训练，8枪命中3枪，恰 好2枪连续命中，有多少种情况？
【六】成双成对问题
【二】名额分配问题
这种问题处理时，要注意两个特征： 1、名额之间没有什么不同 2、名额分配时的具体要求是什么 当问题中要求分配时每人至少一个时，只需要在 所有名额形成空隙中选取比人数少一个的空隙， 放入相同的挡板即可 若问题中没有具体分配要求时，可以补上和人数 相同的名额转化成第一组问题来处理
排列组合题型总结
排列组合题型总结排列组合是数学中的一种常见的问题类型，它涉及到对一组元素进行不同排列或组合的情况计算。
在解决排列组合问题时，可以采用不同的方法和公式，以下是一些常见的排列组合题型及其解决方法的总结。
1. 排列问题：排列是从一组元素中抽取若干个元素按照一定的顺序组成不同的序列。
解决排列问题时，可以使用如下的排列公式。
公式：P(n, k) = n! / (n-k)!其中，n表示一组元素中的总个数，k表示抽取的个数。
示例：从4个元素中选取2个元素进行排列，可以得到的排列数为：P(4, 2) = 4! / (4-2)! = 4*3 = 12。
2. 组合问题：组合是从一组元素中抽取若干个元素按照任意顺序组成的不同子集。
解决组合问题时，可以使用如下的组合公式。
公式：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，n表示一组元素中的总个数，k表示抽取的个数。
示例：从4个元素中选取2个元素进行组合，可以得到的组合数为：C(4, 2) = 4! / (2! * (4-2)!) = 4*3 / 2 = 6。
3. 重复排列问题：重复排列是从一组元素中进行有放回地抽取若干个元素，按照一定的顺序组成的不同序列。
解决重复排列问题时，可以使用如下的重复排列公式。
公式：P'(n, k) = n^k其中，n表示一组元素中的总个数，k表示抽取的个数。
示例：从4个元素中选取2个元素进行重复排列，可以得到的不同序列数为：P'(4, 2) = 4^2 = 16。
4. 重复组合问题：重复组合是从一组元素中进行有放回地抽取若干个元素，按照任意顺序组成的不同子集。
解决重复组合问题时，可以使用如下的重复组合公式。
公式：C'(n, k) = C(n+k-1, k)其中，n表示一组元素中的总个数，k表示抽取的个数。
示例：从4个元素中选取2个元素进行重复组合，可以得到的不同子集数为：C'(4, 2) = C(4+2-1, 2) = C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 5*4 / 2 = 10。
排列组合问题题型方法总结
排列组合常用方法题型总结【知识内容】1．基本计数原理⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．又称加法原理．⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理．⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．2． 排列与组合⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+，m n +∈N ，，并且m n ≤． 全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=．⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!m n n n n n m n m m n m ---+==-，,m n +∈N ，并且m n ≤． 组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）⑶排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有：①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．【排列组合题型总结】直接法1 .特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
排列组合的21种经典题型及解法
排列组合的21种经典题型及解法1.单选题：单选题要求考生从给定的选项中选出一个最佳答案。
解法：根据题目的问题和给定的选项，仔细分析，排除干扰，找出最佳答案。
2.多选题：多选题要求考生从给定的选项中选出多个最佳答案。
解法：根据题目的问题和给定的选项，仔细分析，排除干扰，找出最佳答案，并判断是否有多个最佳答案。
3.判断题：判断题要求考生根据题目的问题和给定的信息，判断给出的答案是正确还是错误。
解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，判断出正确答案。
4.填空题：填空题要求考生根据题目的问题和给定的信息，填入正确的答案。
解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，填入正确的答案。
5.问答题：问答题要求考生根据题目的问题和给定的信息，给出详细的答案。
解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，给出详细的答案。
6.排序题：排序题要求考生根据题目的问题和给定的信息，按照要求的顺序进行排列。
解法：根据题目的问题和给定的佶息，仔细分析，排除干扰，按照要求的顺序进行排列。
7.计算题：计算题要求考生根据题目的问题和给定的信息，运用数学计算得出答案。
解法:根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，运用数学计算得出答案。
8.简答题：简答题要求考生根据题目的问题和给定的信息，给出简短的答案。
解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，给出简短的答案。
9.完形填空：完形填空要求考生根据文章的内容，从文中空缺处填入正确的单词或词组。
解法：根据文章的内容，仔细分析，排除干扰，从文中空缺处填入正确的单词或词组。
10.阅读理解：阅读理解要求考生根据文章的内容，回答问题或做出判断。
解法：根据文章的内容，仔细分析，排除干扰，回答问题或做出判断。
11.词汇题：词汇题要求考生根据题目的问题和给定的单词，找出正确的答案。
解法：根据题目的问题和给定的单词，仔细分析，排除干扰，找出正确的答案。
12.语法题：语法题要求考生根据题目的问题和给定的句子，选择正确的语法形式。
排列组合十四种题型归纳梳理非常完美
排列组合十四种题型归纳梳理目录专题1 两个计数原理类型一、加法原理【例1】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．【解析】18+38=56．【例2】用数字12345，，，，组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ） A ．8 B ．24 C ．48 D ．120【解析】由题意知本题需要分步计数，2和4排在末位时，共有122A 种排法， 其余三位数从余下的四个数中任取三个有3443224A 种排法，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有22448（个)．故选：C ． 【例3】用012345，，，，，这6个数字，可以组成____个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．【解析】分四类：①千位数字为3,4之一时，百十个位数只要不重复即可，有352120A 个；②千位数字为5时，百位数字为0,1,2,3之一时，有124448A A 个；③千位数字为5时，百位数字是4，十位数字是0,1之一时，有11236A A 个；最后还有5420也满足题意.所以，所求四位数共有120+48+6+1=175个.故答案为 175．类型二、乘法原理【例1】公园有4个门，从一个门进，一个门出，共有_____种不同的走法．【解析】根据题意，要求从从任一门进，从任一门出，则进门的方法有4种，出门的方法也有4种，则不同的走法有4416种【例2】将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有_______．【解析】根据题意，依次对3个小球进行讨论：第一个小球可以放入任意一个盒子，即有4种不同的放法，同理第二个小球也有4种不同的放法，第三个小球也有4种不同的放法，即每个小球都有4种可能的放法，根据分步计数原理知共有即44464不同的放法，故答案为：64．【解析】分两步完成，第一步先安排甲学校参观，共六种安排方法；第二步安排另外两所学校，共有25A 安排方法，故不同的安排种法有256120A ，故答案为120．【例3】用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．【解析】解析：可分三步来做这件事：第一步：先将3、5排列，共有22A 种排法； 第二步：再将4、6插空排列，插空时要满足奇偶性不同的要求，共有222A 种排法；第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有15C 种排法．由分步乘法计数原理得共有221225240A A C （种)．答案为：40【例4】从集合{12311}，，，，中任选两个元素作为椭圆方程22221x y mn 中的m 和n ，则能组成落在矩形区域{()|||11Bx y x ，，且||9}y 内的椭圆个数为（ ） A ．43 B ．72 C ．86 D ．90【解析】椭圆落在矩形内，满足题意必须有，mn ，所以有两类， 一类是m ，n 从{1，2，3，6，7，8}任选两个不同数字，方法有2856A令一类是m 从9，10，两个数字中选一个，n 从{1，2，3，6，7，8}中选一个 方法是：2816，所以满足题意的椭圆个数是：561672，故选：B ．【例5】用0，1，2，3，4，5这6个数字：⑴可以组成______________个数字不重复的三位数．⑵可以组成______________个数字允许重复的三位数．【解析】（1）根据题意，分2步分析： ①、先选百位，百位可以在1、2、3、4、5中任选1个，则百位有5种方法，②、在剩下的5个数字中任选2个，安排在十位、个位，有2520A 种选法，则可以组成520100个无重复数字的三位数（2）分3步进行分析：①、先选百位，百位可以在1、2、3、4、5中任选1个，则百位有5种选法， ②、再选十位，十位可以在0、1、2、3、4、5中任选1个，则十位有6种选法， ③、最后分析个位，个位可以在0、1、2、3、4、5中任选1个，则个位有6种选法， 则可以组成566180个数字允许重复的三位数；类型三、基本计数原理的综合应用【例1】用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是_________．（用数字作答）【解析】按首位数字的奇偶性分两类：一类是首位是奇数的，有：2323A A ； 另一类是首位是偶数，有：322322()A A A ，则这样的五位数的个数是：2332223322()20A A A A A ．故答案为：20．【例2】若自然数n 使得作竖式加法(1)(2)nn n 均不产生进位现象．则称n 为“可连数”．例如：32是“可连数”，因323334不产生进位现象；23不是“可连数”，因232425产生进位现象．那么，小于1000的“可连数”的个数为（ ）A ．27B ．36C ．39D ．48【解析】如果n 是良数，则n 的个位数字只能是0，1，2，非个位数字只能是0，1，2，3（首位不为0)，而小于1000的数至多三位，一位的良数有0，1，2，共3个二位的良数个位可取0，1，2，十位可取1，2，3，共有339个三位的良数个位可取0，1，2，十位可取0，1，2，3，百位可取1，2，3，共有34336个．综上，小于1000的“良数”的个数为393648个，故选：D ．【例3】用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成_______个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．【解析】分四类：①千位数字为3,4之一时，百十个位数只要不重复即可，有352120A 个；②千位数字为5时，百位数字为0,1,2,3之一时，有124448A A 个；③千位数字为5时，百位数字是4，十位数字是0,1之一时，有11236A A 个；最后还有5420也满足题意.所以，所求四位数共有120+48+6+1=175个.故答案为 175．【例4】某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（ ）A ．504B ．210C ．336D ．120 【解析】由题意知将这3个节目插入节目单中，原来的节目顺序不变，三个新节目一个一个插入节目单中，原来的6个节目形成7个空，在这7个位置上插入第一个节目，共有7种结果，原来的6个和刚插入的一个，形成8个空，有8种结果，同理最后一个节目有9种结果 根据分步计数原理得到共有插法种数为789504，故选：A ．【例5】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ） A ．324 B ．328 C ．360 D ．648【解析】由题意知本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法， 因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有884256当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，共有98172根据分类计数原理知共有25672328故选：B ．专题2 排队问题例1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( )A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种【解析】可分3步．第一步，排两端，从5名志愿者中选2名有2520A =种排法，第二步，2位老人相邻，把2个老人看成整体，与剩下的3名志愿者全排列，有4424A =种排法，第三步，2名老人之间的排列，有222A =种排法 最后，三步方法数相乘，共有20242960⨯⨯=种排法，故选：B ．例2．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )A ．2283C AB ．2686C A C ．2286C AD ．2285C A【解析】从后排8人中选2人共28C 种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人则要插入前排5人的空挡，有6种插法，∴为26A ，故选：C ．例3．10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为( )A ．2575C AB ．2275C A C ．2273C AD ．2274C A【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，首先从后排的7人中选出2人，有27C 种结果，再把两个人在5个位置中选2个位置进行排列有25A ，∴不同的调整方法有2275C A ，故选：B ．例4．在数字1，2，3与符号+，-五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是( )A ．6B ．12C ．24D ．18【解析】在数字1，2，3与符号“+”，“ -”五个元素的所有全排列中，先排列1，2，3，有336A =种排法，再将“+”，“ -”两个符号插入，有222A =种方法，共有12种方法，故选：B ． 例5．5男4女站成一排，分别指出满足下列条件的排法种数（1）甲站正中间的排法有（ ）种，甲不站在正中间的排法有（ ）种．（2）甲、乙相邻的排法有（ ）种，甲乙丙三人在一起的排法有 种．（3）甲站在乙前的排法有（ ）种，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有（ ）种，丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有（ ）种．（4）甲乙不站两头的排法有（ ）种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有（ ）种． （5）5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有（ ）种．（6）女生互不相邻的排法有（ ）种，男女相间的排法有（ ）种．（7）甲与乙、丙都不相邻的排法有（ ）种．（8）甲乙之间有且只有4人的排法有（ ）种．【解析】（1）甲站正中间的排法有8！，甲不站在正中间的排法有88⨯！；（2）甲、乙相邻的排法有28⨯！，甲乙丙三人在一起的排法有67⨯！；（3）甲站在乙前的排法有192！，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有196！，丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有193！； （4）甲乙不站两头的排法有2777A A ；甲不站排头，乙不站排尾的排法有9！28-⨯！7+！；（5）5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有25⨯！4⨯！；（6）女生互不相邻的排法有5！46A ⨯；男女相间的排法有5！4⨯！；（7）甲与乙、丙都不相邻的排法有9！28-⨯！227⨯+⨯！；（8）甲乙之间有且只有4人的排法，捆绑法．4724A ⨯⨯！．例6．三个女生和五个男生排成一排．（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？（5）甲必须在乙的右边，可有多少种不同的排法？【解析】（1）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有66A 种不同排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有33A 种不同的排法，因此共有63634A A = 320种不同的排法． （2）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两端两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有55A 种不同的排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有36A 种方法，因此共有535614A A = 400种不同的排法． （3）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有25A 种排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有66A 种排法，所以共有25A 6614A = 400种不同的排法． （4）三个女生和五个男生排成一排有88A 种排法，从中扣去两端都是女生的排法2636A A 种，就能得到两端不都是女生的排法种数，因此共有82683636A A A -= 000种不同的排法． （5）甲必须在乙的右边即为所有排列的221A ，因此共有8822120A A = 160种不同的排法． 例7．三个女生和五个男生排成一排． （1）如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？【解析】（1）女须全排在一起，把3个女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和5个男生全排，故有36364320A A =种； （2）女生必须全分开，先排男生形成了6个空中，插入3名女生，故有535614400A A =种； （3）两端都不能排女生，从男生中选2人排在两端，其余的全排，故有265614400A A =种； （4）男生按固定顺序，从8个位置中，任意排3个女生，其余的5个位置男生按照固定顺序排列，故有38336A =种，（5）三个女生站在前排，五个男生站在后排，3535720A A =种 例8．三个女生和四个男生排成一排．（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？（5）如果最高的站中间，两边均按从高到低排列，有多少种不同的排法？（6）如果四个男同学按从高到低排列，有多少种不同的排法？【解析】（1）根据题意，用捆绑法，3名女生看为一个整体，考虑其顺序有33A 种情况，再将其与4名男生进行全排列，有55A 种情况，则共有5353720A A ⨯=种排法； （2）用插空法，先将4名男生全排列，有44A 种情况，排好后，有5个空位，在其中任选3个，安排3名女生，有35A 种情况，则共有43451440A A =种排法； （3）在4名男生中任取2人，安排在两端，有242C 种情况，再将剩余的5人安排在中间的5个位置，有55A 种情况，则共有254521440C A ⨯=种排法； （4）用排除法，7人进行全排列，有77A 种排法，两端都站女生，即先在3名女生中任取2人，再将剩余的5人安排在其他5个位置，有2535A A种站法，则共有7257354320A A A -=种排法； （5）只需将最高的人放在中间，在剩余的6人中任取3人放在左边，其他的3人放在右边，由于顺序固定，则左右两边只有一种排法，则有3620C =种排法； （6）先在7个位置中安排3名女生，有37A 种排法，剩余4个位置安排4名男生，有2种情况，则有372420A =种排法． 例9．现有8个人(5男3女）站成一排．（1）女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？（2）其中甲必须站在排头有多少种不同排法？（3）其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？（4）其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？（5）其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？（6）其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？（7）男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？（8）第3和第6个排男生，有多少种不同排法？（9）甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？(10)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？【解析】（1）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有33A 种情况，将这个整体与5名男生全排列，有66A 种情况，则女生必须排在一起的排法有3636A A 种； （2）根据题意，甲必须站在排头，有2种情况，将剩下的7人全排列，有77A 种情况， 则甲必须站在排头有772A 种排法；（3）根据题意，将甲乙两人安排在中间6个位置，有26A 种情况，将剩下的6人全排列，有66A 种情况，则甲、乙两人不能排在两端有2666A A 种排法；（4）根据题意，先将出甲乙之外的6人全排列，有66A 种情况，排好后有7个空位，则7个空位中，任选2个，安排甲乙二人，有27A 种情况，则甲、乙两人不相邻有2676A A 种排法；（5）根据题意，将8人全排列，有88A 种情况， 其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，则甲在乙的左边有8812A 种不同的排法； （6）根据题意，先将出甲乙丙之外的5人全排列，有55A 种情况，排好后有6个空位，则6个空位中，任选3个，安排甲乙丙三人，有36A 种情况，其中甲乙丙不能彼此相邻有5356A A 种不同排法； （7）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有33A 种情况， 再将5名男生看成一个整体，考虑5人之间的顺序，有55A 种情况，将男生、女生整体全排列，有22A 种情况，则男生在一起，女生也在一起，有235235A A A 种不同排法； （8）根据题意，在5个男生中任选2个，安排在第3和第6个位置，有222525C A A =种情况， 将剩下的6人全排列，有66A 种情况，则第3和第6个排男生，有2656A A 种不同排法； （9）根据题意，将甲乙两人安排在后面的5个位置，有25A 种情况，将剩下的6人全排列，有66A 种情况，甲乙不能排在前3位，有2656A A 种不同排法？(10)根据题意，将5名男生全排列，有55A 种情况，排好后除去2端有4个空位可选，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有34A 种情况，则女生两旁必须有男生，有5354A A 种不同排法．专题3 数字问题例1．由0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成五位没有重复数字的奇数个数为( ) A ．288 B ．360 C ．480 D ．600【解析】根据题意，末位数字可以为1、3、5，有13A 种取法，首位数字不能为0，有14A 种取法，再选3个数字，排在中间，有34A 种排法，则五位奇数共有113344288A A A =，故选：A ． 例2．用0、1、2、3、4、5这六个数字，组成数字不重复且大于3000，小于5421的四位数有（ ）个A ．175B ．174C ．180D ．185【解析】分以下三种情况讨论：①首位数字为3或4，则后面三个数位上的数随便选择，此时，符合条件的数的个数为352120A =；②首位数字为5，百位数字不是4，则百位数字可以在0、1、2、3中随便选择一个，后面两个数位上的数没有限制，此时，符合条件的数的个数为124448C A =；③首位数字为5，百位数字为4，则符合条件的数有5401、5402、5403、5410、5412、5413、5420，共7个.综上所述，大于3000，小于5421的四位数的个数为120487175++=.故选：A.例3．将数字1、1、2、2、3、3、4、4排成四行两列，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有（ ）A ．216B ．72C ．266D ．274【解析】由于每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则第一行数字是1、2、3、4的全排列，共44A 种，现考虑第一行数字的排列为()1,2,3,4， 则第二行数字的排列可以是：()2,1,4,3、()2,3,4,1、()2,4,1,3、()3,1,4,2、()3,4,1,2、()3,4,2,1、()4,1,2,3、()4,3,1,2、()4,3,2,1，共9种.由分步乘法计数原理可知，不同的排列方法共有449924216A =⨯=种.故选：A.例4．由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，且是奇数，其中恰有两个数字是偶数，则这样的五位数的个数为（ ）．A ．7200B ．6480C ．4320D ．5040【解析】第一类，偶数数字取0先从1，3，5，7，9中取3个奇数，从2，4，6，8中取1个偶数，有315440C C =中取法，然后将个位数排一个奇数，十位、百位、千位选一个出来排0，剩下3个数字全排列，即有11333354A A A =种排法所以本类满足条件的五位数有4054=2160⨯个第二类，偶数数字不取0，先从1，3，5，7，9中取3个奇数，从2，4，6，8中取2个偶数，有325460C C =中取法，然后将个位数排一个奇数，剩下4个数字全排列，即有143472A A =种排法，所以本类满足条件的五位数有6072=4320⨯个综上：这样的五位数个数为2160+4320=6480，故选：B例8．2016里约奥运会期间，小赵常看的6个电视频道中有2个频道在转播奥运比赛，若小赵这时打开电视，随机打开其中一个频道，若在转播奥运比赛，则停止换台，否则就进行换台，那么，小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有（ ）A ．6种B ．24种C ．36种D ．42种【解析】解：第一步从4个没转播的频道选出2个共有24A 种，再把2个报道的频道选1个有12A 种，根据分步计数原理小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有214224A A =种．故选：B ． 例5．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2，0，1，9，10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（ ）A ．72B ．84C ．96D ．120【解析】先选择一个非0数排在首位，剩余数全排列，共有144496C A ⋅=种，其中1和0排在一起形成10和原来的10有重复，考虑1和0相邻时，且1在0的左边，和剩余数字共有4！=24种排法，其中一半是重复的，故此时有12种重复.故共有961284-=种.故选：B.例6．由0,1,2,3,5组成的无重复数字的五位偶数共有（ ）A ．36个B ．42个C ．48个D ．120个【解析】分两类：一、若五位数的个位数是0，则有1432124n =⨯⨯⨯=种情形；二、若五位数的个位数是2，由于0不排首位，因此只有1,3,5有3种情形，中间的三个位置有3216⨯⨯=种情形，依据分步计数原理可得23618n =⨯=种情形．由分类计数原理可得所有无重复五位偶数的个数为12241842n n n =+=+=，应选B ． 例7．现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字.（1）可以组成多少个无重复数字的三位数？（2）组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？（3）可以组成多少个无重复数字的四位偶数？（4）选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数共有多少个？ （5）如果一个数各个数位上的数字从左到右按由大到小的顺序排列，则称此正整数为“渐减数”， 那么由这十个数字组成的所有“渐减数”共有多少个？【解析】（1）由题意，无重复的三位数共有1299972648A A =⨯=个；（2）当百位为1时，共有299872A =⨯=个数；当百位为2时，共有299872A =⨯=个数；当百位为3时，共有118412A A +=个数，所以315是第727212156++=个数；（3）无重复的四位偶数，所以个位必须为0,2,4,6,8，千位上不能为0，当个位上为0时，共有39504A =个数；当个位上是2,4,6,8中的一个时，共有1218841792A A A =个数，所以无重复的四位偶数共有50417922296+=个数；（4）当选出的偶数为0时，共有1335180A A =个数，当选出的偶数不为0时，共有134454960C C A =个数，所以这样的四位数共有9601801140+=个数；（5）当挑出两个数时，渐减数共有210C 个，当挑出三个数时，渐减数共有310C 个，⋅⋅⋅，当挑出十个数时，渐减数共有1010C 个，所以这样的数共有23101001101010101021013C C C C C ++⋅⋅⋅+=--=个. 例8．用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成没有重复数字的：（1）三位偶数有多少个？（2）能被3整除的三位数有多少个？（3）可以组成多少个比210大的三位数？【解析】（1）个位是0时，有2412A =个；个位是2时，有339⨯=个；个位是4时，有339⨯=个.故共有30个三位偶数.（2）能被3整除的三位数的数字组成共有：0,1,2；0,2,4；1,2,3；2,3,4四种情况.共有：12123322223320C A C A A A ⨯+⨯++=个.（3）当百位是2时，共有112328A A ⨯+=个；当百位是3时，共有2412A =个；当百位是4时，共有2412A =个；故共有32个.专题4 分堆问题例1．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ）A ．每人都安排一项工作的不同方法数为54B ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为4154A CC ．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为()3122352533C C C C A +D ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A + 【解析】①每人都安排一项工作的不同方法数为54，即选项A 错误，②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为2454C A ，即选项B 错误，③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（312252532222C C C C A A +）33A ，即选项C 错误， ④分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有13C ,从余下四人中安排三个岗位1112342322C C C A A ， 故有231231111324334322=C C C A C C A A C ；第二种情况，安排两人当司机，从丙、丁、戊选两人当司机有23C ,从余下三人中安排三个岗位33A ，故有2333C A ；所以每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +， 即选项D 正确，故选：D ．例2．我省5名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情现把专家全部分配到A ，B ，C 三个集中医疗点，每个医疗点至少要分配1人，其中甲专家不去A 医疗点，则不同分配种数为（ ）A ．116B ．100C ．124D ．90【解析】根据已知条件，完成这件事情可分2步进行：第一步：将5名医学专家分为3组①若分为3,1,1的三组，有3510C =种分组方法；②若分为2,2,1的三组，有22532215C C A =种分组方法，故有101525+=种分组方法． 第二步：将分好的三组分别派到三个医疗点，甲专家不去A 医疗点，可分配到,B C 医疗点中的一个，有122C =种分配方法， 再将剩余的2组分配到其余的2个医疗点，有222A =种分配方法，则有224⨯=种分配方法．根据分步计数原理，共有254100=⨯种分配方法．故选：B ． 例3．高二年级计划假期开展历史类班级研学活动，共有6个名额，分配到历史类5个班级(每个班至少0个名额，所有名额全部分完).（1）共有多少种分配方案？（2）6名学生确定后，分成A 、B 、C 、D 四个小组，每小组至少一人，共有多少种方法？ （3）6名学生来到武汉火车站.火车站共设有3个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客，求6人进站的不同方案种数.【解析】（1）由题意得：问题转化为不定方程12345=6x x x x x ++++的非负整数解的个数， ∴方程又等价于不定方程12345=11x x x x x ++++的正整数解的个数，利用隔板原理得：方程正整数解的个数为410210C =，∴共有210种分配方案.（2））先把6名学生按人数分成没有区别的4组，有2类：1人，1人，1人，3人和1人，1人，2人，2人，再把每一类中的人数分到A 、B 、C 、D 四个小组.第一种分法：1人，1人，1人，3人，有3464480C A =种方法；第二种分法：1人，1人，2人，2人，有221146421422221080C C C C A A A ⨯⨯=种方法.共有48010801560+=种方法.（3）每名学生有3种进站方法，分步乘法计数原理得6人进站有63729=种不同的方案. 例4．从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组，请解答下列问题：（1）如果这个医疗小组中男女医生都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？（用数字作答）（2）男医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须男女医生都有，共有多少种不同的建组方案？（3）男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率.（化成最简分数）【解析】(1)由题可能的情况有男医生3人女医生2人和男医生2人女医生3人,共3223636375C C C C +=种不同的建组方案.(2)由题,除开男医生甲后不考虑必须男女医生都有的建组方案共488765701234C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种,其中只有男医生的情况数有455C =,不可能存在只有女医生的情况.故共有70565-=种不同的建组方案.(3)由题, 男医生甲与女医生乙被同时选中的概率为375935512618C C ==.故男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率为51311818-=. 例5．现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学.（1）若5本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？（2）若5本书都不相同，共有多少种分法？（3）若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？【解析】（1）根据题意，若5本书完全相同，将5本书排成一排，中间有4个空位可用，在4个空位中任选2个，插入挡板，有246C =种情况，即有6种不同的分法； （2）根据题意，若5本书都不相同，每本书可以分给3人中任意1人，都有3种分法， 则5本不同的书有5333333243⨯⨯⨯⨯==种；（3）根据题意，分2步进行分析：①将5本书分成3组，若分成1、1、3的三组，有31522210C C A =。
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排列组合题型总结排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。
因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。
一．直接法、1． 特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择25A ，其余2位有四个可供选择24A ，由乘法原理：25A 24A =240 2．特殊位置法（2）当1在千位时余下三位有35A =60，1不在千位时，千位有14A 种选法，个位有14A 种，余下的有24A ，共有14A 14A 24A =192所以总共有192+60=252二．间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。
如上例中（2）可用间接法2435462A A A +-=252 例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数333352A C ⨯⨯个，其中0在百位的有2242⨯C ⨯22A 个，这是不合题意的。
故共可组成不同的三位数333352A C ⨯⨯-2242⨯C ⨯22A =432（个）三．插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有11019A A ⨯=100中插入方法。
四．捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。
例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有44A 种排法，而男生之间又有44A 种排法，又乘法原理满足条件的排法有：44A ×44A =576练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（3324A C ）2． 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（1928129A C ⋅）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C 其余的就是19所学校选28天进行排列）五．闸板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采用闸办法例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种 。
分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有711C 种练习1.(a+b+c+d)15有多少项？当项中只有一个字母时，有14C 种（即a.b.c.d 而指数只有15故01414C C ⋅。
当项中有2个字母时，有24C 而指数和为15，即将15分配给2个字母时，如何分，闸板法一分为2，114C 即24C 114C 当项中有3个字母时34C 指数15分给3个字母分三组即可21434C C当项种4个字母都在时31444C C ⋅ 四者都相加即可．练习2．有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？（216C ）3．不定方程X 1+X 2+X 3+…+X 50=100中不同的整数解有（4999C ）六．平均分堆问题 例6 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？分析：分出三堆书（a 1,a 2）,(a 3,a 4)，（a 5,a 6）由顺序不同可以有33A =6种，而这6种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有33222426A C C C =15种 练习：1．6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？2．某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。
七． 合并单元格解决染色问题例7 （全国卷（文、理））如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）。
分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5．下面分情况讨论:(ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元素 ①③⑤的全排列数A 44 2,43,5 2,4 （ⅱ）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形(ⅰ)类似同理可得A 44 种着色法． （ⅲ）当2、4与3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格 ① 从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有A C 3334⋅种方法． 由加法原理知：不同着色方法共有2A C A 333444+=48+24=72（种）练习1（天津卷（文））将3种作物种植在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ， 不同的种植方法共 种（以数字作答） （72）2．（江苏、辽宁、天津卷（理））某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图3），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种（以数字作答）．（120）图3 图43．如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE 五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数．（540）4．如图5：四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是 种（84）图5 图65．将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共 种（420）八．递推法例八 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？ 分析：设上n 级楼梯的走法为a n 种，易知a 1=1,a 2=2,当n ≥2时，上n 级楼梯的走法可分两类：第一类：是最后一步跨一级，有a n-1种走法，第二类是最后一步跨两级，有a n-2种走法，由加法原理知：a n =a n-1+ a n-2,据此，a 3=a 1+a 2=3,a 4=a #+a 2=5,a 5=a 4+a 3=8,a 6=13,a 7=21,a 8=34,a 9=55,a 10=89.故走上10级楼梯共有89种不同的方法。
九.几何问题1．四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同的取法有1 2 3 4 5546132E D C B A 4321D B C E种（335C +3=33）2.四面体的棱中点和顶点共10个点（1）从中任取3个点确定一个平面，共能确定多少个平面？ (310C -436C +4-334C +3-6C 34+6+2×6=29)(2)以这10个点为顶点，共能确定多少格凸棱锥？ 三棱锥 C 104-4C 64-6C 44-3C 44=141 四棱锥 6×4×4=96 3×6=18 共有114十． 先选后排法例9 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法有（ ）A.1260种B.2025种C.2520种D.5054种分析：先从10人中选出2人十一．用转换法解排列组合问题例10．某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．解 把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题．25A =20种 例11． 个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．解 把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题．59C =126种例12 从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法． 解 把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题。
10991C例13 某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．解 无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题．37C =35（种）例14 一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．解 根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题．612C =924（种）．例15 求（a+b+c ）10的展开式的项数．解 展开使的项为a αb βc γ,且α+β+γ=10，因此，把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排列问题．212C =66（种）例16 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？解 设亚洲队队员为a 1,a 2，…,a 5,欧洲队队员为b 1，b 2，…，b 5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为610C =252（种）十二．转化命题法例17 圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各？分析：因两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形，则问题化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内的交点最多有415C =1365（个） 十三．概率法例18 一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？ 分析：在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等，均为21，故本例所求的排法种数就是所有排法的21，即21A=360种 十四．除序法 例19 用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，（1）若偶数2，4，6次序一定，有多少个？（2）若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？解（1）3377A A （2）443377A A A 十五．错位排列例20 同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的分配方法有 种（9）公式 1）))(1(21--+-=n n n a a n a n=4时a 4=3(a 3+a 2)=9种 即三个人有两种错排，两个人有一种错排． 2）n a =n!(1-!11+!21-!31+…+()n 1-!1n 练习 有五位客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子，问5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？（44）。