高中数学《学案导学与随堂笔记》苏教版 必修1 第三章 基本初等函数 3.2.2(一)
引申探究 1.若将例2(1)中的函数改为y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)，求定义域.
解
x－3>0， 由 得 x>3. x＋3>0，
∴函数y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)的定义域为{x|x>3}.
解答
2.求函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域，相比引申探究1，定义域有何
第3章
3.2
对数函数
3.2.2 对数函数(一)
学习目标
1.理解对数函数的概念. 2.掌握对数函数的性质. 3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
对数函数的概念
思考
已知函数y＝2x，那么反过来，x是否为关于y的函数？ 答案 由于 y ＝ 2x是单调函数，所以对于任意 y∈(0 ，＋ ∞) 都有
因此
2.
解答
反思与感悟
一个函数是对数函数必须满足以下条件
(1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数.
(3)对数的真数仅有自变量x.
跟踪训练1 判断下列函数是不是对数函数？并说明理由.
(1)y＝logax2(a＞0，且a≠1)； 解 ∵中真数不是自变量x，
∴不是对数函数； (2)y＝log2x－1； 解 解 ∵中对数式后减1，∴不是对数函数； ∵中底数是自变量x，而非常数a， (3)y＝logxa(x＞0，且x≠1)；
变化？
解
x＋3>0， x＋3<0， (x＋3)(x－3)>0，即 或 x－3>0 x－3<0，
解得x<－3或x>3. ∴函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域为{x|x<－3或x>3}. 相比引申探究1，函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域多了(－∞，－3)这 个区间，原因是对于y＝loga[(x＋3)· (x－3)]，要使对数有意义，只需(x ＋3)与(x－3)同号，而对于y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)，要使对数有意义， 必须(x－3)与(x＋3)同时大于0.
唯一确定的x与之对应，故x也是关于y的函数，其函数关系式是 x＝log2y，此处y∈(0，＋∞).
答案
梳理
一般地， 函数y＝logax(a>0，a≠1) 叫做对数函数，它的定义域
是 (0，＋∞) .
知识点二
对数函数的图象与性质
思考
y＝logax化为指数式是 x＝ay.你能用指数函数的单调性推导出对 数函数的单调性吗？ 答案 当a＞1时，若0＜x1＜x2，则 a y1 ＜ a y，解指数不等式，得
解答
类型三 对数函数单调性的应用 命题角度1 比较同底对数值的大小
例3 比较下列各组数中两个值的大小.
(1)log23.4，log28.5； 解 考察对数函数y＝log2x，
因为它的底数2>1，
所以它在(0，＋∞)上是单调增函数，
又3.4＜8.5，
于是log23.4<log28.5.
解答
(2)log0.31.8，log0.32.7；
解答
反思与感悟
求含对数式的函数定义域关键是真数大于 0，底数大于0且不为1.如需对 函数式变形，需注意真数底数的取值范围是否改变.
跟踪训练2 求下列函数的定义域.
x2－4 (1)y＝ ； lgx＋3
解
2 x －4≥0， 要使函数有意义，需x＋3>0， x＋3≠1，
x≤－2或x≥2， 即x>－3， x≠－2，
解答
(3)y＝log(3x－1)(2x 2 1 即x>3， 2 x≠ ， 3
2x＋3>0， 要使函数有意义，需3x－1>0， 3x－1≠1，
1 2 所以 x> 且 x≠ ， 3 3
1 2 2 ， ，＋ ∞ 故所求函数的定义域为3 3∪3 .
即－3<x<－2 或 x≥2，
故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞).
解答
(2)y＝log(x＋1)(16－4x)；
解
x 16 － 4 >0， 要使函数有意义，需x＋1>0， x＋1≠1，
x<2， 即x>－1， x≠0，
所以－1<x<2，且x≠0， 故所求函数的定义域为{x|－1<x<2，且x≠0}.
R ___
单调性 共点性
在(0，＋∞)上是单调增函数
在(0，＋∞)上是单调减函数
图象过点 (1,0) ，即loga1＝0
(－∞，0) ； 函数值 x∈(0,1)时，y∈__________ 特点
(0，＋∞) ； x∈(0,1)时，y∈___________
(－∞，0] [0，＋∞) x∈[1，＋∞)时，y∈__________ x∈[1，＋∞)时，y∈________
∴不是对数函数.
解答
(4)y＝log5x.
解 为对数函数.
解答
类型二 对数函数的定义域的应用
例2 求下列函数的定义域. (1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)；
3－x>0， 由 得－3<x<3， 3＋x>0，
解
∴函数的定义域是{x|－3<x<3}. (2)y＝log2(16－4x). 解 由16－4x>0，得4x<16＝42， 由指数函数的单调性得x<2， ∴函数y＝log2(16－4x)的定义域为{x|x<2}.
对称性
函数y＝logax与y＝log 1 x的图象关于 x轴 对称
a
题型探究
类型一 对数函数的概念 例1 已知对数函数y＝f(x)过点(4,2)，求f
解
1 2
及f(2lg 2).
设y＝logax(a＞0，且a≠1)，则2＝loga4，故a＝2，即y＝log2x，
1 1 f2＝log22＝－1，f(2lg 2)＝log22lg 2＝lg
2
y1＜y2，从而y＝logax在(0，＋∞)上为单调增函数. 当0＜a＜1时，同理可得y＝logax在(0，＋∞)上为单调减函数.
答案
梳理
类似地，我们可以借助指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质
定义 底数 图象 定义域 值域 a>1 y＝logax (a>0，且a≠1) 0<a<1
(0，＋∞) ___________
步步高学案导学与随堂笔记数学必修第一册2023
步步高学案导学与随堂笔记数学必修第一册2023【学习目标】
1. 理解双曲函数的基本性质。
2. 掌握绘制双曲函数图形的方法。
【知识重组】
双曲函数作为一种特殊的曲线函数，有着自己的注意事项，需要考生在记忆双曲函数的基本性质的同时，能够掌握绘制双曲函数的技巧。
双曲函数的性质：
（1）定义：双曲函数的一般形式为：y=a*sec(x+b)，其中a为系数，b为常数。
（3）如果a>0，则有：y=a*Sec(x+b)>0 ，y=a*Cosec(x+b)<0。
（4）极值：双曲函数的极值点的x 值是b的值；y值由a的正负大小决定。
（5）导数：双曲函数的导数形式为： y'=a*tan(x+b)；也可以用其通式记作
y'=a*cot(x+b)。
绘制双曲函数图形:
1.根据双曲函数[y=（a/2）*sec（2x+b）]的参数a和b来决定曲线的大小、方向、偏移、极值和导数。
2.先求取双曲函数对应的坐标（x，y）得出函数图像。
3.在函数图像中画出极值点和导数点。
4.根据原函数所提供的x，y的定义域确定绘图范围，画好函数的图像。
【能力反思】
今天的学习任务，是学习关于双曲函数的基本性质，以及掌握绘制双曲函数图形的方法，在广泛阅读有关资料之后，最终对双曲函数也有了比较深入的理解，一步步认识到双曲函数的定义、通式、极值、导数，明白了如何根据双曲函数参数a和b绘制双曲函数图像，以及根据函数定义域确定绘图范围。
希望以后能够以此学习数学知识，扩大自己的视野，释放思维的丰富性。
【学案导学与随堂笔记】2020-高中数学(苏教版一)配套课时作业：3.2.2(一)版含答案
.2对数函数(一)课时目标 1.掌握对数函数的概念、图象和性质.2.能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质,把握指数函数与对数函数关系的实质．1．对数函数的定义：一般地,我们把______________________叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是________．2．对数函数的图象与性质定义y＝log a x (a>0 ,且a≠1)底数a>10<a<1图象定义域值域单调性在(0 ,＋∞)上是增函数在(0 ,＋∞)上是减函数共点性图象过点______ ,即log a1＝0函数值特点x∈(0,1)时,y∈______；x∈[1 ,＋∞)时,y∈______x∈(0,1)时,y∈______；x∈[1 ,＋∞)时,y∈______对称性函数y＝log a x与y＝1logax的图象关于______对称3.反函数对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)和指数函数______________互为反函数．一、填空题1．函数y＝log2x－2的定义域是________．2．设集合M＝{y|y＝(12)x,x∈[0 ,＋∞)} ,N＝{y|y＝log2x,x∈(0,1]} ,那么集合M∪N＝________.3．函数f(x)＝log2(x＋1) ,假设f(α)＝1 ,那么α＝_____________________________. 4．函数f(x)＝|log3x|的图象是________．(填序号)5．对数函数f (x )＝log a x (a >0 ,a ≠1) ,且过点(9,2) ,f (x )的反函数记为y ＝g (x ) ,那么g (x )的解析式是________．6．假设log a 23<1 ,那么a 的取值范围是________．7．如果函数f (x )＝(3－a )x ,g (x )＝log a x 的增减性相同 ,那么a 的取值范围是________． 8．函数y ＝log a (x －3)－1的图象恒过定点P ,那么点P 的坐标是________．9．给出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x (x ≥4)f (x ＋1) (x <4),那么f (log 23)＝________.二、解答题10．求以下函数的定义域与值域： (1)y ＝log 2(x －2)； (2)y ＝log 4(x 2＋8)．11．函数f (x )＝log a (1＋x ) ,g (x )＝log a (1－x ) ,(a >0 ,且a ≠1)． (1)设a ＝2 ,函数f (x )的定义域为[3,63] ,求函数f (x )的最|||值． (2)求使f (x )－g (x )>0的x 的取值范围．能力提升12．图中曲线C 1 ,C 2 ,C 3 ,C 4分别是函数y ＝log a 1x ,y ＝log a 2x ,y ＝log a 3x ,y ＝log a 4x 的图象 ,那么a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4的大小关系是__________．13．假设不等式x 2－log m x <0在(0 ,12)内恒成立 ,求实数m 的取值范围．1．函数y ＝log m x 与y ＝log n x 中m 、n 的大小与图象的位置关系． 当0<n <m <1时 ,如图①；当1<n <m 时 ,如图②；当0<m <1<n 时 ,如图③.2．由于指数函数y ＝a x(a >0 ,且a ≠1)的定义域是R ,值域为(0 ,＋∞) ,再根据对数式与指数式的互化过程知道 ,对数函数y ＝log a x (a >0 ,且a ≠1)的定义域为(0 ,＋∞) ,值域为R ,它们互为反函数 ,它们的定义域和值域互换 ,指数函数y ＝a x 的图象过(0,1)点 ,故对数函数图象必过(1,0)点．2． 对数函数(一)知识梳理1．函数y ＝log a x (a >0 ,且a ≠1) (0 ,＋∞)2．(0 ,＋∞) R (1,0) (－∞ ,0) [0 ,＋∞) (0 ,＋∞) (－∞ ,0] x 轴 3．y ＝a x (a >0且a ≠1) 作业设计 1．[4 ,＋∞)解析 由题意得：⎩⎨⎧log 2x －2≥0x >0.解得x ≥4.2．(－∞ ,1]解析 M ＝(0,1] ,N ＝(－∞ ,0] ,因此M ∪N ＝(－∞ ,1]． 3．1解析 由题意知α＋1＝2 ,故α＝1. 4．①解析 y ＝|log 3x |的图象是保存y ＝log 3x 的图象位于x 轴上半平面的局部(包括与x 轴的交点) ,而把下半平面的局部沿x 轴翻折到上半平面而得到的． 5．g (x )＝3x解析 由题意得：log a 9＝2 ,即a 2＝9 ,又∵a >0 ,∴a ＝3. 因此f (x )＝log 3x ,所以f (x )的反函数为g (x )＝3x .6．(0 ,23)∪(1 ,＋∞)解析 由log a 23<1得：log a 23<log a a .当a >1时 ,有a >23,即a >1；当0<a <1时 ,那么有0<a <23.综上可知 ,a 的取值范围是(0 ,23)∪(1 ,＋∞)．7．(1,2)解析 由题意 ,得⎩⎨⎧0<3－a <1 0<a <1或⎩⎪⎨⎪⎧3－a >1a >1解得1<a <2.8．(4 ,－1)解析 y ＝log a x 的图象恒过点(1,0) ,令x －3＝1 ,那么x ＝4； 令y ＋1＝0 ,那么y ＝－1.9.124解析 ∵1<log 23<log 24＝2 ,∴3＋log 23∈(4,5) , ∴f (log 23)＝f (log 23＋1)＝f (log 23＋2)＝f (log 23＋3)＝f (log 224)＝2log 2412⎛⎫⎪⎝⎭＝2log 242-＝21log 242＝124. 10．解 (1)由x －2>0 ,得x >2 ,所以函数y ＝log 2(x －2)的定义域是(2 ,＋∞) ,值域是R . (2)因为对任意实数x ,log 4(x 2＋8)都有意义 , 所以函数y ＝log 4(x 2＋8)的定义域是R . 又因为x 2＋8≥8 ,所以log 4(x 2＋8)≥log 48＝32,即函数y ＝log 4(x 2＋8)的值域是[32,＋∞)．11．解 (1)当a ＝2时 ,函数f (x )＝log 2(x ＋1)为[3,63]上的增函数 , 故f (x )max ＝f (63)＝log 2(63＋1)＝6 , f (x )min ＝f (3)＝log 2(3＋1)＝2.(2)f (x )－g (x )>0 ,即log a (1＋x )>log a (1－x ) , ①当a >1时 ,1＋x >1－x >0 ,得0<x <1. ②当0<a <1时 ,0<1＋x <1－x ,得－1<x <0. 12．a 3<a 4<a 1<a 2解析 作x 轴的平行线y ＝1 ,直线y ＝1与曲线C 1 ,C 2 ,C 3 ,C 4各有一个交点 ,那么交点的横坐标分别为a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4.由图可知a 3<a 4<a 1<a 2. 13.解 由x 2－log m x <0 ,得x 2<log m x ,在同一坐标系中作y ＝x 2和y ＝log m x 的草图 ,如以下图．要使x 2<log m x 在(0 ,12)内恒成立 ,只要y ＝log m x 在(0 ,12)内的图象在y ＝x 2的上方 ,于是0<m <1.∵x ＝12时 ,y ＝x 2＝14 ,∴只要x ＝12时 ,y ＝log m 12≥14＝14log m m .∴12≤14m ,即116≤m .又0<m <1 , ∴116≤m <1 , 即实数m 的取值范围是[116,1)．。
高中数学 第3章 基本初等函数I 10 幂函数教学案苏教版必修1
江苏省泰兴中学高一数学教学案(32)必修1_02 幂函数目标要求1.了解幂函数的概念，会画幂函数ny x =(n=1,2,3,-1,-2,12)的图象； 2．能结合图象了解常见幂函数的性质，会利用它们的单调性比较大小； 3．体会“数形结合”的思想. 重点难点重点：幂函数的图象与性质； 难点：幂函数的性质的应用 教学过程 一、复习引入：经市场调查,一种商品的价格和销售量关系如下表:根据此表,经研究发现价格x 与销售量y 之间近似地满足关系0.3815192114.875.y x -=思考1: 前面我们学习了指数函数，函数0.3815192y x -=是指数函数吗？为什么？二、新课讲授：1．幂函数的定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中α是常量，x 是变量. 思考2：下列函数不是幂函数是 .①4y x = ②22y x = ③3y x =- ④21y x =⑤ 2.3xy =注意：指数函数与幂函数的模型区别比较： 思考3：作出函数x y =，2x y =，3x y =，21xy =，31x y =，32xy =，23xy =的图象.并观察图象，总结填写下表：x y =2x y =3x y =21xy =31x y =32xy =23xy =定义域 值域 奇偶性 单调性思考4：作出函数1-=x y ，21-=x y ， 23y x-=的图象. 观察图象，总结填写下表：思考5：作出函数)0(==ααx y 的图象并考察它的性质.)1(==ααx y 呢？2．画出幂函数）（Q x y ∈=αα的的图象:3．幂函数αx y =的主要性质：（1）幂函数αx y =在第一象限内的特征：若1>α，函数的图象都过定点 ，在区间 是 函数 若10<<α，函数的图象都过定点 ，在区间 是 函数 若0<α，函数的图象都过定点 ，在区间 是 函数（2）幂函数αx y =的图象必过第 象限，必不过第 象限，有可能过第 象限，具体看幂函数αx y =的奇偶性. αx y =是偶函数时，图象还在第 象限，是奇函数时，图象还在第 象限；也有可能既不是奇函数也不是偶函数，但不可能既是奇函数也是偶函数.三、例题分析：例1 已知函数221()(2)mm f x m m x +-=+，m 为何值时，()f x 是（1）正比例函数？（2）反比例函数？（3）二次函数？ （4）幂函数？变题1：已知函数)(32z m x y m m∈=--的图象与x 轴、y 轴都没有交点且关于原点对称，求m 的值．变题2：已知幂函数)()(223z m x x f m m ∈=-+是偶函数，且在),0(+∞上是增函数，求)(x f 的解析式．例2 求函数032212)2()(--++=-x x x x x f 的定义域．例3 比较下列各组数的大小：（1）123-和123.1-（2）232()3--和23()6π-- （3）235和346课堂练习1、已知幂函数312,,y x y x y x ααα===的对应曲线123,,c c c ，如图所示，指出123,,ααα的大小关系．2、比较大小： (1)1.92.4-______ 1.92.5-; (2)35(8)-_________123-3、写出下列函数的定义域，并分别指出他们的奇偶性：（1）4y x = （2）14y x = （3）3y x -=定义域 定义域 定义域 奇偶性 奇偶性 奇偶性江苏省泰兴中学高一数学作业(32)班级 姓名 得分1、 给出下列幂函数：①43y x =；②32y x =；③2y x -=； ④14y x-=.其中既是偶函数又是(,0)-∞上的增函数的是____________________． 2、设1112,1,,,,1,2,3232α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，则使()f x x α=为奇函数且在(0,)+∞内单调递减的α值的个数是______________．3、（1）33440.5a >中参数a 的取值范围是 ． （2）2233(2)(24)a ->+中参数a 的取值范围是 ． 4、当01x <<时，1222(),(),()f x x g x x h x x -===的大小关系是 ．5、下列函数中值域是（0，＋∞）的函数是 ． ①3y x =；②4y x =；③2y x -=； ④13y x =6、下列函数中是幂函数的是 （1）(,my ax a m =为非零常数，且1a ≠）；（2）123y x x =+（3）y x π= （4）3(1)y x =-7、幂函数()f x 的图象过点1(4,)2，则(8)f = ．8、作出2y x -=和2(3)y x -=-的草图，求这两个函数的定义域和单调区间. 9、已知223()nn y x n z --=∈的图像与两坐标轴都无公共点，且其图像关于y 轴对称，求n 的值，并画出函数图像．10、已知函数2152yxx（1）求函数的定义域 、值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间．11、已知幂函数24m m N --*∈m f(x)=x （）的图像关于y 轴对称,且在0>x 时为减函数，求满足条件33(1)(32)m ma a --+<-时a 的取值范围．。
高中数学《学案导学与随堂笔记》苏教版 必修1 第三章 基本初等函数 3.4.2
3.4.2函数模型及其应用学习目标 1.理解函数模型的概念和作用.2.能用函数模型解决简单的实际问题.3.了解建立拟合函数模型的思想和步骤，并了解检验和调整的必要性．知识点一函数模型思考自由落体速度公式v＝gt是一种函数模型．类比这个公式的发现过程，说说什么是函数模型？它怎么来的？有什么用？答案函数模型来源于现实(伽利略斜塔抛球)，通过收集数据(打点计时器测量)，画散点图分析数据(增长速度、单位时间内的增长量等)，寻找或选择函数(假说)来拟合，这个函数即为函数模型．函数模型通常用来解释已有数据和预测．梳理设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．知识点二用函数模型解决实际问题(1)解答应用问题的基本思想(2)解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③求模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将数学结论还原为实际应用问题的结论．知识点三数据拟合思考1我们知道不同的身高需要坐不同高度的桌椅，但你知道任一确定的身高对应的桌椅的最佳高度吗？如何解决？答案 我们知道桌椅高度与身高有关系，但我们不知道具体的对应关系是什么．这需要调查获得大量的数据，再从数据中找出规律或近似的规律．梳理 现实世界中的事物都是相互联系、相互影响的，反映事物变化的变量之间就存在着一定的关系．这些关系的发现，通常是通过试验或实验测定得到一批数据，再经过分析处理得到的．数据拟合就是研究变量之间这种关系，并给出近似的数学表达式的一种方法，根据拟合模型，我们还可以对某变量进行预测或控制． 此类题的解题过程一般有如下五步： (1)作图：即根据已知数据，画出散点图；(2)选择函数模型：一般是根据散点图的特征，联想哪些函数具有类似图象特征，找几个比较接近的函数模型尝试；(3)求出函数模型：求出(2)中找到的几个函数模型的解析式；(4)检验：将(3)中求出几个函数模型进行比较、验证，得出最合适的函数模型； (5)利用所求出的函数模型解决问题．思考2 数据拟合时，得到的函数为什么要检验？答案 因为限于我们的认识水平和一些未知因素的影响，现实可能与我们所估计的函数有误差或甚至不切合客观实际，此时就要检验，调整模型或改选其他函数模型．类型一 利用已知函数模型求解实际问题例1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min 开出13 km 后，以120 km/h 的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S 与匀速行驶的时间t 之间的关系，并求火车离开北京2 h 内行驶的路程．解 因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120 ＝115(h)，所以0≤t ≤115.因为火车匀速行驶t h 所行驶的路程为120t ，所以，火车运行总路程S 与匀速行驶时间t 之间的关系是S ＝13＋120t (0≤t ≤115).2 h 内火车行驶的路程S ＝13＋120×(2－1060)＝233(km)．反思与感悟 在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是已知函数模型，这时可借助待定系数法求出函数解析式．再根据解题需要研究函数性质．跟踪训练1 如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．答案 2 6解析 以拱顶为原点，过原点与水面平行的直线为x 轴，建立平面直角坐标系(如图)，则水面和拱桥交点A (2，－2)，设抛物线所对应的函数关系式为y ＝ax 2(a ≠0)，则－2＝a ·22，∴a ＝－12，∴y ＝－12x 2.当水面下降1米时，水面和拱桥的交点记作B (b ，－3)，将B 点的坐标代入y ＝－12x 2，得b ＝±6，因此水面宽2 6 米．类型二 自建确定性函数模型解决实际问题 命题角度1 非分段函数模型例2 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解 设可获得总利润为R (x )万元， 则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680 (0≤x ≤210)．∵R (x )在[0,210]上是单调增函数，∴当x ＝210时， R (x )max ＝－15(210－220)2＋1 680＝1 660.∴当年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．反思与感悟 自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”． 求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量． 列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等． 限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．跟踪训练2 有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次为Q 1万元和Q 2万元，它们与投入的资金x 万元的关系是Q 1＝15x ，Q 2＝35x .现有3万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润？解 设对甲种商品投资x 万元，则对乙种商品投资(3－x )万元，总利润为y 万元． 所以Q 1＝15x ，Q 2＝353－x .所以y ＝15x ＋353－x (0≤x ≤3)，令t ＝3－x (0≤t ≤3)，则x ＝3－t 2.所以y ＝15(3－t 2)＋35t ＝－15(t －32)2＋2120.当t ＝32时，y max ＝2120＝1.05(万元)，即x ＝34＝0.75(万元)，所以3－x ＝2.25(万元)．由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，共获得利润1.05万元． 命题角度2 分段函数模型例3 某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x 元只取整数，用y 表示出租所有自行车的日净收入．(日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得) (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？解 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115， 令50x －115＞0，解得x ＞2.3. 又因为x ∈N ，所以3≤x ≤6，且x ∈N . 当6＜x ≤20，且x ∈N 时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115， 综上可知y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115，3≤x ≤6，x ∈N ，－3x 2＋68x －115，6＜x ≤20，x ∈N .(2)当3≤x ≤6，且x ∈N 时， 因为y ＝50x －115是单调增函数， 所以当x ＝6时，y max ＝185. 当6＜x ≤20，且x ∈N 时，y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎫x －3432＋8113， 所以当x ＝11时，y max ＝270.综上所述，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，为270元．反思与感悟 自变量x 按取值不同，依不同的对应关系对应应变量y 是分段函数的典例特征，建立分段函数模型时应注意：(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏． (2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．跟踪训练3 学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40 min 的一节课中，注意力指数y 与听课时间x (单位：min)之间的关系满足如图所示的图象．当x ∈(0,12]时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点A (10,80)，过点B (12,78)；当x ∈[12,40]时，图象是线段BC ，其中C (40,50)．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．(1)试求y ＝f (x )的函数关系式；(2)教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由． 解 (1)当x ∈(0,12]时， 设f (x )＝a (x －10)2＋80(a ≠0)．因为该部分图象过点B (12,78)，将B 点的坐标代入上式，得a ＝－12，所以f (x )＝－12(x －10)2＋80.当x ∈[12,40]时，设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)．因为线段BC 过点B (12,78)，C (40,50)，将它们的坐标分别代入上式，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 12k ＋b ＝78，40k ＋b ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝90，所以f (x )＝－x ＋90. 故所求函数的关系式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12(x －10)2＋80，x ∈(0，12]，－x ＋90，x ∈(12，40].(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤12，－12(x －10)2＋80＞62或⎩⎪⎨⎪⎧12＜x ≤40，－x ＋90＞62，解得4＜x ≤12或12＜x ＜28，即4＜x ＜28.故老师应在x ∈(4,28)时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳．1．从2013年起，在20年内某海滨城市力争使全市工农业生产总产值翻两番，如果每年的增长率是8%，则达到翻两番目标的最少年数为________． 答案 192．某同学最近5年内的学习费用y (千元)与时间x (年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是________．(填序号)①y ＝ax ＋b; ②y ＝ax 2＋bx ＋c ； ③y ＝a e x ＋b; ④y ＝a ln x ＋b .答案 ②3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则x ，y 的函数关系是____________． 答案 y ＝0.9571006x4．某种植物生长发育的数量y 与时间x 的关系如下表：①y ＝2x －1; ②y ＝x 2－1； ③y ＝2x －1; ④y ＝1.5x 2－2.5x ＋2.答案 ④5．一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠．”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价的23优惠．”这两家旅行社的原价是一样的．试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．解 设家庭中孩子数为x (x ≥1，x ∈N *)，旅游收费为y ，旅游原价为a . 甲旅行社收费：y ＝a ＋a 2(x ＋1)＝a2(x ＋3)；乙旅行社收费：y ＝2a3(x ＋2)．∵2a 3(x ＋2)－a 2(x ＋3)＝a6(x －1)，∴当x＝1时，两家旅行社收费相等．当x＞1时，甲旅行社更优惠．1．几类常见的函数模型：2.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．课时作业一、填空题1．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线：一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)．例如，f(2)＝3是指开始买卖2小时的即时价格为3元；g(2)＝3是指开始买卖2小时内的平均价格为3元．下图给出的四个图象中，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是________．答案③解析 开始时平均价格与即时价格一致，排除①、④；平均价格不能一直大于即时价格，排除②.2．某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利4元．据经验，若这种商品每件每降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益，每件售价应降低________元． 答案 1.5解析 设每件降价0.1x 元，则每件获利(4－0.1x )元，每天卖出商品件数为(1 000＋100x )，利润y ＝(4－0.1x )·(1 000＋100x )＝－10x 2＋300x ＋4 000＝－10(x 2－30x ＋225－225)＋4 000＝－10(x －15)2＋6 250.∴当x ＝15时，y max ＝6 250.故每件售价降低1.5元时，可获得最好的经济效益．3．随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为________元(精确到个位)． (附：1.067≈1.50,1.065≈1.59) 答案 4 500解析 根据题意，逐年归纳，总结规律建立关于年份的指数型函数模型，设经过x 年，该地区的农民人均年收入为y 元，依题意有y ＝3 000×1.06x ，因为2014年年底到2021年年底经过了7年，故把x ＝7代入，即可求得y ＝3 000×1.067≈4 500.4．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为________．答案 x ＝15，y ＝12解析 由三角形相似得24－y24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180(8≤y <24)．∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.5．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次试验的数据．根据上述函数模型和试验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．答案 3.75解析依题意得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0.7，16a ＋4b ＋c ＝0.8，25a ＋5b ＋c ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2，所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－0.2⎝⎛⎭⎫t －1542＋1316，所以当t ＝3.75时，p 取得最大值．所以最佳加工时间为3.75分钟．6．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y (只)与时间x (年)近似满足关系y ＝a log 3(x ＋2)，观测发现2012年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2018年冬有越冬白鹤________只． 答案 6 000解析 当x ＝1时，由3 000＝a log 3(1＋2)，得a ＝3 000，所以到2018年冬，即第7年，y ＝3 000×log 3(7＋2)＝6 000.7．工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y ＝a ·0.5x ＋b ，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此工厂3月份生产该产品的产量为________万件． 答案 1.75解析 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧1＝0.5a ＋b ，1.5＝0.25a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2，∴y ＝－2×0.5x ＋2，∴3月份产量为y ＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)．8．国家规定个人稿费的纳税办法是：不超过800元的不纳税：超过800而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税．某人出版了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费为________元．答案 3 800解析 设稿费为x 元时纳税y 元．由题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0(0≤x ≤800)，(x －800)×14%(800＜x ≤4 000)，11%x (x ＞4 000)，当x＝4 000时，y ＝(4 000－800)·14%＝448＞420，可知此人稿费少于4 000元，则有(x －800)·14%＝420，解得x ＝3 800，即此人稿费为3 800元．9．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg /mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时才能开车．(精确到1小时，参考数据：lg 3≈0.477，lg 4≈0.602) 答案 5解析 设至少经过x 小时才能开车，由题意得0.3(1－25%)x ≤0.09，∴0.75x ≤0.3，x ≥log 0.750.3≈4.2.10．现测得(x ，y )的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y ＝x 2＋1，乙：y ＝3x －1，若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型． 答案 甲解析 将x ＝3分别代入y ＝x 2＋1及y ＝3x －1，得y ＝32＋1＝10，y ＝3×3－1＝8.由于10更接近10.2，所以选用甲模型．二、解答题11．牧场中羊群的最大蓄养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y (只)和实际蓄养量x (只)与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k ＞0)．(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围．解 (1)由题意，知空闲率为m －x m， ∴y ＝kx ⎝⎛⎭⎫1－x m (0＜x ＜m )． (2)对原二次函数配方，得y ＝－k m(x 2－mx ) ＝－k m ⎝⎛⎭⎫x －m 22＋km 4， 即当x ＝m 2时，y 取得最大值km 4， 即羊群年增长量的最大值为km 4只． (3)由题意知，实际蓄养量与年增长量的和不大于最大蓄养量，即0＜x ＋y ≤m .∵当x ＝m 2时，y 最大＝km 4， ∴0＜m 2＋km 4≤m ，解得－2＜k ≤2. 又∵k ＞0，∴0＜k ≤2.。
【学案导学与随堂笔记】2018-2019学年高中数学(苏教版必修一)配套课时作业：3.4.1习题课 -含答案
3.4.1习题课课时目标 1.进一步了解函数的零点与方程根的联系.2.进一步熟悉用“二分法”求方程的近似解.3.初步建立用函数与方程思想解决问题的思维方式．1．函数f (x )在区间(0,2)内有零点，则下列正确命题的个数为________．①f (0)>0，f (2)<0；②f (0)·f (2)<0；③在区间(0,2)内，存在x 1，x 2使f (x 1)·f (x 2)<0.2．函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与两条坐标轴共有两个交点，那么函数y ＝f (x )的零点个数是________．3．设函数f (x )＝log 3x ＋2x－a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是________． 4．方程2x －x －2＝0在实数范围内的解的个数是________．5．函数y ＝(12)x 与函数y ＝lg x 的图象的交点的横坐标是________．(精确到0.1) 6．方程4x 2－6x －1＝0位于区间(－1,2)内的解有________个．一、填空题1．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，每一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．2．函数f (x )＝x 5－x －1的一个零点所在的区间可能是________．(填你认为正确的一个区间即可)3．函数f (x )＝1－x 21＋x的零点是________． 4．已知二次函数y ＝f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则在(m ，m ＋1)上函数零点的个数是______________．5．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋2(a <b )，并且α，β(α<β)是函数y ＝f (x )的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系是________．6．若函数y ＝f (x )在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f (x )＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f (－1)·f (1)的值________．(填“大于0”，“小于0”，“等于0”或“无法判断”)7．已知偶函数y ＝f (x )有四个零点，则方程f (x )＝0的所有实数根之和为________．8．若关于x 的二次方程x 2－2x ＋p ＋1＝0的两根α，β满足0<α<1<β<2，则实数p 的取值范围为______________．9．已知函数f (x )＝ax 2＋2x ＋1(a ∈R )，若方程f (x )＝0至少有一正根，则a 的取值范围为________．二、解答题10．若函数f (x )32f (1)＝－2 f (1.5)＝0.625f (1.25)≈－0.984 f (1.375)≈－0.260f (1.437 5)≈0.162 f (1.406 25)≈－0.054求方程x 3＋x 211．分别求实数m的范围，使关于x的方程x2＋2x＋m＋1＝0，(1)有两个负根；(2)有两个实根，且一根比2大，另一根比2小；(3)有两个实根，且都比1大．能力提升12．已知函数f(x)＝x|x－4|.(1)画出函数f(x)＝x|x－4|的图象；(2)求函数f(x)在区间[1,5]上的最大值和最小值；(3)当实数a为何值时，方程f(x)＝a有三个解？13．当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上．1．函数与方程存在着内在的联系，如函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是方程f(x)＝0的解；两个函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交点的横坐标就是方程f(x)＝g(x)的解等．根据这些联系，一方面，可通过构造函数来研究方程的解的情况；另一方面，也可通过构习题课双基演练1．0解析 函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内存在零点，我们并不一定能找到x 1，x 2∈(a ，b )，满足f (x 1)·f (x 2)<0，故①、②、③都是错误的．2．1或2解析 当f (x )的图象和x 轴相切与y 轴相交时，函数f (x )的零点个数为1，当f (x )的图象与y 轴交于原点与x 轴的另一交点在x 轴负半轴上时，函数f (x )有2个零点．3．(log 32,1)解析 f (x )＝log 3(1＋2x)－a 在(1,2)上是减函数， 由题设有f (1)>0，f (2)<0，解得a ∈(log 32,1)．4．2解析 作出函数y ＝2x 及y ＝x ＋2的图象，它们有两个不同的交点，因此原方程有两个不同的根．5．1.9解析 令f (x )＝(12)x －lg x ，则f (1)＝12>0，f (3)＝18－lg 3<0，∴f (x )＝0在(1,3)内有一解，利用二分法借助计算器可得近似解为1.9.6．2解析 设f (x )＝4x 2－6x －1，由f (－1)>0，f (2)>0，且f (0)<0，知方程4x 2－6x －1＝0在 (－1,0)和(0,2)内各有一解，因此在区间(－1,2)内有两个解．作业设计1．(0,0.5)，f (0.25)解析 ∵f (0)<0，f (0.5)>0，∴f (0)·f (0.5)<0，故f (x )在(0,0.5)必有零点，利用二分法，则第二次计算应为f (0＋0.52)＝f (0.25)． 2．[1,2](答案不唯一)解析 因为f (0)<0，f (1)<0，f (2)>0，所以存在一个零点x ∈[1,2]．3．1解析 由f (x )＝0，即1－x 21＋x＝0，得x ＝1，即函数f (x )的零点为1. 4．1解析 二次函数y ＝f (x )＝x 2＋x ＋a 可化为y ＝f (x )＝(x ＋12)2＋a －14，则二次函数对称轴为x ＝－12，其图象如图．∵f (m )<0，由图象知f (m ＋1)>0，∴f (m )·f (m ＋1)<0，∴f (x )在(m ，m ＋1)上有1个零点．5．a <α<β<b解析 函数g (x )＝(x －a )(x －b )的两个零点是a ，b .由于y ＝f (x )的图象可看作是由y ＝g (x )的图象向上平移2个单位而得到的，所以a <α<β<b .6．无法判断解析 由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部．故填“无法判断”． 7．0解析 不妨设它的两个正零点分别为x 1，x 2.由f (－x )＝f (x )可知它的两个负零点分别是－x 1，－x 2，于是x 1＋x 2－x 1－x 2＝0.8．(－1,0)解析 设f (x )＝x 2－2x ＋p ＋1，根据题意得f (0)＝p ＋1>0，且f (1)＝p <0，f (2)＝p ＋1>0，解得－1<p <0.9．a <0解析 对ax 2＋2x ＋1＝0，当a ＝0时，x ＝－12，不符题意； 当a ≠0，Δ＝4－4a ＝0时，得x ＝－1(舍去)．当a ≠0时，由Δ＝4－4a >0，得a <1，又当x ＝0时，f (0)＝1，即f (x )的图象过(0,1)点，f (x )图象的对称轴方程为x ＝－22a ＝－1a， 当－1a>0，即a <0时， 方程f (x )＝0有一正根(结合f (x )的图象)；当－1a<0，即a >0时，由f (x )的图象知f (x )＝0有两负根， 不符题意．故a <0.10．解 ∵f (1.375)·f (1.437 5)<0，且1.375与1.4375精确到0.1的近似值都是1.4，故方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似根为1.4.11．解 (1)方法一 (方程思想)设方程的两个根为x 1，x 2，则有两个负根的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4－4(m ＋1)≥0，x 1＋x 2＝－2<0，x 1x 2＝m ＋1>0，解得－1<m ≤0.方法二 (函数思想)设函数f (x )＝x 2＋2x ＋m ＋1，则原问题转化为函数f (x )与x 轴的两个交点均在y 轴左侧，结合函数的图象，有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4－4(m ＋1)≥0，－b 2a ＝－1<0，f (0)＝m ＋1>0，解得－1<m ≤0. (2)方法一 (方程思想)设方程的两个根为x 1，x 2，则令y 1＝x 1－2>0，y 2＝x 2－2<0，问题转化为求方程(y ＋2)2＋2(y ＋2)＋m ＋1＝0，即方程y 2＋6y ＋m ＋9＝0有两个异号实根的条件，故有y 1y 2＝m ＋9<0，解得m <－9.方法二 (函数思想)设函数f (x )＝x 2＋2x ＋m ＋1，则原问题转化为函数f (x )与x 轴的两个交点分别在2的两侧，结合函数的图象，有f (2)＝m ＋9<0，解得m <－9.(3)由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4－4(m ＋1)≥0，x 1－1＋x 2－1>0，(x 1－1)(x 2－1)>0(方程思想)， 或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4－4(m ＋1)≥0，－b 2a ＝－1>1，f (1)＝m ＋4>0(函数思想)，因为两方程组无解，故解集为空集．12．解 (1)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ， x ≥4，－x 2＋4x ， x <4.图象如图所示．(2)当x ∈[1,5]时，f (x )≥0且当x ＝4时f (x )＝0，故f (x )min ＝0；又f (2)＝4，f (5)＝5，故f (x )max ＝5.(3)由图象可知，当0<a <4时，方程f (x )＝a 有三个解．13．解 ①当a ＝0时，方程即为－2x ＋1＝0，只有一根，不符合题意．②当a >0时，设f (x )＝ax 2－2x ＋1，∵方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0f (1)<0f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧1>0a －2＋1<04a －4＋1>0，解得34<a <1. ③当a <0时，设方程的两根为x 1，x 2，则x 1x 2＝1a<0，x 1，x 2一正一负不符合题意．3综上，a的取值范围为4<a<1.。
高中数学《学案导学与随堂笔记》苏教版 必修1 第三章 基本初等函数 3.2.2 (二)
3．2.2 对数函数(二)学习目标 1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.2.掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法.3.会解简单的对数不等式．知识点一 y ＝log a f (x )型函数的单调区间思考 我们知道y ＝2f (x )的单调性与y ＝f (x )的单调性相同，那么y ＝log 2f (x )的单调区间与y ＝f (x )的单调区间相同吗？答案 y ＝log 2f (x )与y ＝f (x )的单调区间不一定相同，因为y ＝log 2f (x )的定义域与y ＝f (x )的定义域不一定相同．梳理 形如函数f (x )＝log a g (x )的单调区间的求法(1)先求g (x )＞0的解集(也就是函数的定义域)．(2)当底数a 大于1时， g (x )＞0限制之下g (x )的单调增区间是f (x )的单调增区间，g (x )＞0限制之下g (x )的单调减区间是f (x )的单调减区间．(3)当底数a 大于0且小于1时，g (x )＞0限制之下g (x )的单调区间与f (x )的单调区间正好相反． 知识点二 对数不等式的解法 思考 log 2x ＜log 23等价于x ＜3吗？答案 不等价．log 2x ＜log 23成立的前提是log 2x 有意义，即x ＞0， ∴log 2x ＜log 23⇔0＜x ＜3. 梳理 对数不等式的常见类型 当a ＞1时，log af (x )＞log ag (x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＞0(可省略)，g (x )＞0，f (x )＞g (x )；当0＜a ＜1时，log af (x )＞log ag (x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＞0，g (x )＞0(可省略)，f (x )＜g (x ).知识点三 不同底的对数函数图象的相对位置思考 y ＝log 2x 与y ＝log 3x 同为(0，＋∞)上的单调增函数，都过点(1,0)，怎样区分它们在同一坐标系内的相对位置？答案 可以通过描点定位，也可令y ＝1，对应x 值即底数．梳理 一般地，对于底数a >1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x 轴；对于底数0<a <1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越小越靠近x 轴．类型一 对数型复合函数的单调性 命题角度1 求单调区间例1 求函数y ＝12log (－x 2＋2x ＋1)的值域和单调区间．解 设t ＝－x 2＋2x ＋1，则t ＝－(x －1)2＋2. ∵y ＝12log t 为单调减函数，且0<t ≤2，又y ＝12log 2＝－1，即函数的值域为[－1，＋∞)．再由函数12log (－x 2＋2x ＋1)的定义域为－x 2＋2x ＋1>0，由二次函数的图象知1－2<x <1＋2，∴t ＝－x 2＋2x ＋1在(1－2，1)上单调递增，而在(1,1＋2)上单调递减，而y ＝12log t 为单调减函数，∴函数y ＝12log (－x 2＋2x ＋1)的单调增区间为(1,1＋2)，单调减区间为(1－2，1)．反思与感悟 求复合函数的单调性要抓住两个要点(1)单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域．(2)f (x )，g (x )单调性相同，则f (g (x ))为单调增函数；f (x )，g (x )单调性相异，则f (g (x ))为单调减函数，简称“同增异减”．跟踪训练1 已知函数f (x )＝12log (－x 2＋2x )．(1)求函数f (x )的值域； (2)求f (x )的单调性．解 (1)由题意得－x 2＋2x >0， 由二次函数的图象知0<x <2.当0<x <2时，y ＝－x 2＋2x ＝－(x 2－2x )∈(0,1]， ∴12log (－x 2＋2x )≥12log 1＝0.∴函数y ＝12log (－x 2＋2x )的值域为[0，＋∞)．(2)设u ＝－x 2＋2x (0<x <2)，v ＝12log u ，∵函数u ＝－x 2＋2x 在(0,1)上是单调增函数，在(1,2)上是单调减函数，v ＝12log u 是单调减函数，∴由复合函数的单调性得到函数f (x )＝12log (－x 2＋2x )在(0,1)上是单调减函数，在(1,2)上是单调增函数．命题角度2 已知复合函数单调性求参数范围例2 已知函数y ＝12log (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，求实数a 的取值范围．解 令g (x )＝x 2－ax ＋a ，g (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，a 2上是单调减函数，∵0<12<1，∴y ＝12log g (x )是单调减函数，而已知复合函数y ＝12log (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是单调增函数，∴只要g (x )在(－∞，2)上单调递减，且g (x )>0在x ∈(－∞，2)上恒成立， 即⎩⎪⎨⎪⎧2≤a 2，g (2)＝(2)2－2a ＋a ≥0，∴22≤a ≤2(2＋1)，故所求a 的取值范围是[22，2(2＋1)]．反思与感悟 若a >1，则y ＝log a f (x )的单调性与y ＝f (x )的单调性相同，若0<a <1，则y ＝log a f (x )的单调性与y ＝f (x )的单调性相反．另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域． 跟踪训练2 若函数f (x )＝log a (6－ax )在[0,2]上为单调减函数，则a 的取值范围是________． 答案 (1,3)解析 函数由y ＝log a u ，u ＝6－ax 复合而成，因为a >0，所以u ＝6－ax 是单调减函数，那么函数y ＝log a u 就是单调增函数，所以a >1，因为[0,2]为定义域的子集，所以当x ＝2时，u ＝6－ax 取得最小值，所以6－2a >0，解得a <3，所以1<a <3. 类型二 对数型复合函数的奇偶性 例3 判断函数f (x )＝ln2－x2＋x的奇偶性． 解 由2－x 2＋x>0可得－2<x <2，所以函数的定义域为(－2,2)，关于原点对称． 方法一 f (－x )＝ln 2＋x 2－x ＝ln(2－x 2＋x )－1＝－ln 2－x2＋x＝－f (x )， 即f (－x )＝－f (x )， 所以函数f (x )＝ln2－x2＋x是奇函数． 方法二 f (x )＋f (－x )＝ln 2－x 2＋x ＋ln 2＋x2－x＝ln(2－x 2＋x ·2＋x2－x )＝ln 1＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )＝ln 2－x2＋x 是奇函数．引申探究若已知f (x )＝ln a －xb ＋x为奇函数，则正数a ，b 应满足什么条件？解 由a －x b ＋x>0，得－b <x <a .∵f (x )为奇函数，∴－(－b )＝a ，即a ＝b . 当a ＝b 时，f (x )＝ln a －xa ＋x .f (－x )＋f (x )＝ln a ＋x a －x ＋ln a －xa ＋x＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋x a －x ·a －x a ＋x ＝ln 1＝0， ∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数． 故f (x )为奇函数时，a ＝b .反思与感悟 (1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数)．(2)含对数式的奇偶性判断，一般用f (x )±f (－x )＝0来判断，运算相对简单． 跟踪训练3 判断函数f (x )＝lg(1＋x 2－x )的奇偶性． 解 方法一 由1＋x 2－x >0可得x ∈R ，所以函数的定义域为R 且关于原点对称， 又f (－x )＝lg(1＋x 2＋x )＝lg(1＋x 2＋x )(1＋x 2－x )1＋x 2－x＝lg 11＋x 2－x＝－lg(1＋x 2－x )＝－f (x )，即f (－x )＝－f (x )． 所以函数f (x )＝lg(1＋x 2－x )是奇函数．方法二 由1＋x 2－x >0可得x ∈R ，f (x )＋f (－x )＝lg(1＋x 2－x )＋lg(1＋x 2＋x )＝lg[(1＋x 2－x )(1＋x 2＋x )]＝lg(1＋x 2－x 2)＝0. 所以f (－x )＝－f (x )， 所以函数f (x )＝lg(1＋x 2－x )是奇函数．类型三 对数不等式例4 已知函数f (x )＝log a (1－a x )(a ＞0，且a ≠1)．解关于x 的不等式：log a (1－a x )＞f (1)． 解 ∵f (x )＝log a (1－a x )，∴f (1)＝log a (1－a )． ∴1－a ＞0.∴0＜a ＜1.∴不等式可化为log a (1－a x )＞log a (1－a )．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a x ＞0，1－a x ＜1－a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a x＜1，a x＞a ，∴0＜x ＜1.∴不等式的解集为(0,1)．反思与感悟 对数不等式解法要点 (1)化为同底log a f (x )＞log a g (x )．(2)根据a ＞1或0＜a ＜1去掉对数符号，注意不等号方向． (3)加上使对数式有意义的约束条件f (x )＞0且g (x )＞0.跟踪训练4 已知A ＝{x |log 2x <2}，B ＝{x |13<3x <3}，则A ∩B 等于________．答案 (0，12)解析 log 2x <2，即log 2x <log 24, 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x <4，∴A ＝(0,4)．13<3x<3，即3－1<3x <123， ∴－1<x <12，B ＝(－1，12)，∴A ∩B ＝(0，12)．1.如图所示，曲线是对数函数f (x )＝log a x 的图象，已知a 取3，43，35，110，则对应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为________．答案3，43，35，1102．如果12log x <12log y <0，那么x ，y,1的大小关系为____________．答案 1<y <x3．函数f (x )＝ln x 2的单调减区间为____________． 答案 (－∞，0) 4．给出下列函数：①f (x )＝lg(2x ＋12x )；②f (x )＝|lg x |；③f (x )＝lg|x |.其中是偶函数的是________．(填序号)答案 ①③5．若函数f (x )＝13log (mx ＋6)在(1,3)上是单调增函数，则实数m 的取值范围是________．答案 [－2,0)解析 ∵f (x )＝13log (mx ＋6)在(1,3)上是单调增函数，∴y ＝mx ＋6在(1,3)上是单调减函数，并且在(1,3)上恒有mx ＋6>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m <0，3m ＋6≥0，解得－2≤m <0，即实数m 的取值范围是[－2,0)．1．判断函数奇偶性的三个步骤： (1)一看：定义域是否关于原点对称；(2)二找：若函数的定义域关于原点对称，再确定是否满足恒等式f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0，或者f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0.(3)三判断：判断是奇函数还是偶函数． 2．判断函数是否具有单调性的方法步骤(1)对于由基本初等函数通过运算构成的函数或复杂函数，先利用换元法将函数分解为基本初等函数，利用“同增异减”的规律判断单调性．(2)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反． 特别提醒：在解决函数的单调性和奇偶性问题时，首先要确定其定义域．课时作业一、填空题1．函数y ＝log 3(2x －1)的定义域为________． 答案 [1，＋∞)解析 要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 3(2x －1)≥0，2x －1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥1，2x －1>0，∴x ≥1， ∴函数y ＝log 3(2x －1)的定义域为[1，＋∞)．2．函数y ＝a x 与y ＝－log a x (a >0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象只可能是______．(填序号)答案 ①解析 当a >1时，指数函数y ＝a x 为单调增函数，而对数函数y ＝－log a x ＝log 1a x 为单调减函数．故填①.3．已知log a 12<1，那么a 的取值范围是________．答案 (0，12)∪(1，＋∞)解析 当a >1时，由log a 12<log a a 知a >12，故a >1；当0<a <1时，由log a 12<log a a 知0<a <12，故0<a <12.综上知：a 的取值范围是(0，12)∪(1，＋∞)．4．函数y ＝log 2(x 2－1)的单调增区间为________． 答案 (1，＋∞)解析 由x 2－1>0解得定义域为{x |x <－1或x >1}，又y ＝log 2x 在定义域上单调递增，y ＝x 2－1在(1，＋∞)上单调递增， ∴函数的单调增区间为(1，＋∞)．5．已知函数y ＝log 2(x 2－2kx ＋k )的值域为R ，则k 的取值范围是________． 答案 (－∞，0]∪[1，＋∞)解析 令t ＝x 2－2kx ＋k ，由y ＝log 2(x 2－2kx ＋k )的值域为R ，得函数t ＝x 2－2kx ＋k 的图象一定恒与x 轴有交点，所以Δ＝4k 2－4k ≥0，即k ≤0或k ≥1.6．已知函数y ＝log a (2－ax )在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是________． 答案 (1,2)解析 由已知可得a >1，当x ∈[0,1]时，2－ax >0恒成立，∴a <2.∴1<a <2.7．不等式12log (4x ＋2x ＋1)＞0的解集为_____________________________________．答案 (－∞，log 2(2－1))解析 由12log (4x ＋2x ＋1)＞0，得4x ＋2x ＋1＜1，即(2x )2＋2·2x ＜1，配方得(2x ＋1)2＜2， 所以2x ＜2－1，两边取以2为底的对数， 得x ＜log 2(2－1)．8．若函数y ＝log a |x －2|(a >0，且a ≠1)在区间(1,2)上是单调增函数，则f (x )在区间(2，＋∞)上的单调性为________． 答案 单调减函数解析 当1<x <2时，函数f (x )＝log a |x －2|＝log a (2－x )是单调增函数，所以0<a <1；函数f (x )＝log a |x －2|在区间(2，＋∞)上的解析式为f (x )＝log a (x －2)(0<a <1)，故在区间(2，＋∞)上是单调减函数．9．已知定义在R 上的偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调减函数，若f (1)>f (lg 1x )，则x 的取值范围为___________． 答案 (0，110)∪(10，＋∞)解析 ∵f (x )为偶函数， ∴f (1)>f (lg 1x )⇔f (1)>f (|lg 1x |)．①又∵f (x )在[0，＋∞)上是单调减函数， ∴①式等价于|lg 1x |>1，即|lg 1x |>1，|－lg x |>1，lg x >1或lg x <－1， lg x >lg 10或lg x <lg110， ⎩⎨⎧x >10，x >0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x <110，解得解集为(0，110)∪(10，＋∞)．10．已知函数f (x )＝lg(x ＋1)，则不等式0<f (1－2x )－f (x )<1的解集为________________． 答案 (－23，13)解析 不等式0<f (1－2x )－f (x )<1， 即0<lg(2－2x )－lg(x ＋1)＝lg 2－2xx ＋1<1.由⎩⎪⎨⎪⎧2－2x >0，x ＋1>0，得－1<x <1. 由0<lg2－2x x ＋1<1，得1<2－2xx ＋1<10.因为x ＋1>0，所以x ＋1<2－2x <10x ＋10，解得－23<x <13. 由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－23<x <13，得－23<x <13. 二、解答题11．已知函数y ＝lg(21＋x－a )是奇函数，求实数a 的值． 解 由函数y ＝lg(21＋x－a )是奇函数，得 lg(21－x －a )＝－lg(21＋x －a )＝lg 121＋x－a ， 即21－x －a ＝121＋x －a ， 化简得4－4a ＋a 2(1－x 2)＝1－x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧4－4a ＝0，a 2＝1，解得a ＝1. 12．设函数f (x )＝log 2(a x －b x )，且f (1)＝1，f (2)＝log 212.(1)求a ，b 的值；(2)当x ∈[1,3]时，求f (x )的最大值． 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝1，f (2)＝log 212，得⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(a －b )＝1，log 2(a 2－b 2)＝log 212， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝2，a 2－b 2＝12， 即⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，a ＋b ＝6，∴a ＝4，b ＝2.(2)由(1)知f (x )＝log 2(4x －2x )，设t ＝2x ，∵x ∈[1,3]，∴t ∈[2,8]．令u ＝4x －2x ＝t 2－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－14， ∴当t ＝8，即x ＝3时，u max ＝56.故f (x )的最大值为log 256.13．已知f (x )＝12log (x 2－ax －a )．(1)当a ＝－1时，求f (x )的单调区间及值域；(2)若f (x )在(－∞，－12)上为单调增函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝12log (x 2＋x ＋1)，∵x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34， ∴12log (x 2＋x ＋1)≤12log 34＝2－log 23， ∴f (x )的值域为(－∞，2－log 23]．y ＝x 2＋x ＋1在(－∞，－12]上单调递减，在[－12，＋∞)上单调递增，y ＝12log x 在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x )的单调增区间为(－∞，－12]， 单调减区间为[－12，＋∞)． (2)令u ＝x 2－ax －a ＝⎝⎛⎭⎫x －a 22－a 24－a ， ∵f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为单调增函数， 又∵y ＝log 12u 为单调减函数，∴u 在(－∞，－12)上为单调减函数，且u ＞0在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上恒成立．⎝⎛⎭⎫提示：⎝⎛⎭⎫－∞，－12⊆⎝⎛⎭⎫－∞，a 2因此⎩⎨⎧ a 2≥－12，u ⎝⎛⎫－12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，14＋a 2－a ≥0， 解得－1≤a ≤12. 故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 三、探究与拓展14．若函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a ＝________.答案 12解析 当a >1时，y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上是单调增函数， ∴f (x )max ＝a ＋log a 2，f (x )min ＝a 0＋log a 1＝1，∴a ＋log a 2＋1＝a ，∴log a 2＝－1，a ＝12(舍去)； 当0<a <1时，y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上是单调减函数， ∴f (x )max ＝a 0＋log a (0＋1)＝1，f (x )min ＝a ＋log a 2，∴a ＋log a 2＋1＝a ，∴a ＝12. 综上所述，a ＝12. 15．如图所示，过函数f (x )＝log c x (c >1)的图象上的两点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为M (a,0)，N (b,0)(b >a >1)，线段BN 与函数g (x )＝log m x (m >c >1)的图象交于点C ，且AC 与x 轴平行．(1)当a ＝2，b ＝4，c ＝3时，求实数m 的值；(2)当b ＝a 2时，求m b －2c a的最小值； (3)已知h (x )＝a x ，φ(x )＝b x ，若x 1，x 2为区间(a ，b )内任意两个变量，且x 1<x 2，求证：h [f (x 2)]<φ[f (x 1)]．(1)解 由题意得A (2，log 32)，B (4，log 34)，C (4，log m 4)， 因为AC 与x 轴平行，所以log m 4＝log 32，所以m ＝9.(2)解 由题意得A (a ，log c a )，B (b ，log c b )，C (b ，log m b )， 因为AC 与x 轴平行，所以log m b ＝log c a ， 因为b ＝a 2，所以m ＝c 2，所以m b －2c a ＝c 2a 2－2c a＝⎝⎛⎭⎫c a －12－1， 所以当c a ＝1时，m b －2c a取得最小值－1. (3)证明 因为a <x 1<x 2<b ，且c >1， 所以log c a <log c x 1<log c x 2<log c b ， 又因为a >1，b >1，所以a log c x 2<a log c b ，b log c a <b log c x 1， 又因为log c b ·log c a ＝log c a ·log c b ， 所以log c a log c b ＝log c b log c a ， 所以a log c b ＝b log c a ，所以a log c x 2<b log c x 1， 即h [f (x 2)]<φ[f (x 1)]．。
【学案导学与随堂笔记】2018-2019学年高中数学(苏教版必修一)配套课时作业：3.1习题课 -含答案
3.1 习题课课时目标 1.提高学生对指数与指数幂的运算能力.2.进一步加深对指数函数及其性质的理解.3.提高对指数函数及其性质的应用能力．1．下列函数中，指数函数的个数是________．①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3.2．设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝________.3．对于每一个实数x ，f (x )是y ＝2x 与y ＝－x ＋1这两个函数中的较小者，则f (x )的最大值是________．4．将22化成指数式为________．5．已知a ＝40.2，b ＝80.1，c ＝(12)－0.5，则a ，b ，c 的大小顺序为________． 6．已知12x ＋12x-＝3，求x ＋1x 的值．一、填空题1．(122-⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值为________． 2．化简3(a －b )3＋(a －2b )2的结果是________．3．若0<x <1，则2x ，(12)x,0.2x 之间的大小关系是________．4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ＋2)， x <2，2－x ， x ≥2，则f (－3)的值为________．5．函数f (x )＝ax －b 的图象如图所示，其中a ，b 均为常数，则下列结论正确的是________．(填序号)①a >1，b >0；②a >1，b <0；③0<a <1，b >0；④0<a <1，b <0.6．函数f (x )＝4x ＋12x 的图象关于________对称． 7．计算130.064-－(－14)0＋160.75＋120.01＝____________________________. 8．已知10m ＝4,10n ＝9，则3210m n -＝________.9．函数y ＝1－3x (x ∈[－1,2])的值域是________．二、解答题10．比较下列各组中两个数的大小：(1)0.63.5和0.63.7； (2)(2)－1.2和(2)－1.4； (3)1332⎛⎫⎪⎝⎭和2332⎛⎫ ⎪⎝⎭； (4)π－2和(13)－1.3.11．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，求a 的值．能力提升12．已知f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(a >0且a ≠1)，讨论f (x )的单调性．13．根据函数y＝|2x－1|的图象，判断当实数m为何值时，方程|2x－1|＝m无解？有一解？有两解？习题课双基演练1．1解析只有③中y＝3x是指数函数．2．－3解析因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即1＋b＝0，b＝－1.所以f(－1)＝－f(1)＝－(2＋2－1)＝－3.3．1解析当x≤0时，f(x)＝2x；当x>0时，f(x)＝－x＋1.显然，其最大值是1.4．3 4 2解析22＝122×11222⎛⎫⎪⎝⎭＝122×142＝342.5．b <a <c解析 a ＝20.4，b ＝20.3，c ＝20.5.又指数函数y ＝2x 在R 上是增函数，∴b <a <c .6．解 由12x ＋12x-＝3得(12x ＋12x -)2＝9， 即x ＋21122x -＋x －1＝9，则x ＋x －1＝7，即x ＋1x＝7. 作业设计 1.22解析 原式＝122-＝12＝22. 2．b 或2a －3b 解析 原式＝(a －b )＋|a －2b |＝⎩⎪⎨⎪⎧ b ， a ≤2b ，2a －3b ， a >2b .3．0.2x <(12)x <2x 解析 当0<x <1时，2x >1，(12)x <1， 对于(12)x,0.2x 不妨令x ＝12， 则有0.5>0.2，再根据指数函数f (x )＝0.5x ，g (x )＝0.2x 的图象判断可知0.2x <(12)x . 4.18解析 f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝f (1＋2)＝f (3)＝2－3＝18. 5．④解析 f (x )＝a x －b 的图象是由y ＝a x 的图象左右平移|b |个单位得到的，由图象可知f (x )在R 上是递减函数，所以0<a <1，由y ＝a x 过点(0,1)得知y ＝a x 的图象向左平移|b |个单位得f (x )的图象，所以b <0.6．y 轴解析 ∵f (－x )＝4－x ＋12－x＝1＋4x2x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称．7.485解析 原式＝()1330.4-－1＋()3442＋()1220.1＝0.4－1－1＋23＋0.1＝52－1＋8＋110＝485. 8.83解析 因为10m ＝4,10n ＝9，所以3210m n-＝103m －n ＝103m ÷10n ＝43÷9＝83. 9．[－8，23] 解析 因为y ＝3x 是R 上的单调增函数，所以当x ∈[－1,2]时，3x ∈[3－1,32]，即－3x ∈[－9，－13]，所以y ＝1－3x ∈[－8，23]． 10．解 (1)考察函数y ＝0.6x .因为0<0.6<1，所以函数y ＝0.6x 在实数集R 上是单调减函数．又因为3.5<3.7，所以0.63.5>0.63.7.(2)考察函数y ＝(2)x .因为2>1，所以函数y ＝(2)x 在实数集R 上是单调增函数．又因为－1.2>－1.4，所以(2)－1.2>(2)－1.4.(3)考察函数y ＝(32)x .因为32>1，所以函数y ＝(32)x 在实数集R 上是单调增函数．又因为13<23，所以1332⎛⎫ ⎪⎝⎭<2332⎛⎫ ⎪⎝⎭. (4)∵π－2＝(1π)2<1，(13)－1.3＝31.3>1， ∴π－2<(13)－1.3. 11．解 (1)若a >1，则f (x )在[1,2]上递增，∴a 2－a ＝a 2， 即a ＝32或a ＝0(舍去)． (2)若0<a <1，则f (x )在[1,2]上递减，∴a －a 2＝a 2，即a ＝12或a ＝0(舍去)． 综上所述，所求a 的值为12或32. 12．解 ∵f (x )＝a a 2－1(a x －1a x )， ∴函数定义域为R ，设x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝a a 2－1(1x a －11x a －2x a ＋21x a ) ＝a a 2－1(1x a －2x a ＋21x a －11x a) ＝a a 2－1(1x a －2x a ＋1212x x x x a a a a -) ＝a a 2－1(1x a －2x a )(1＋121x x a a) ∵1＋121x x a a >0， ∴当a >1时，1x a <2x a ，a a 2－1>0 ∴f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)，f (x )为增函数，当0<a<1时，1x a>2x a，a<0a2－1∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，∴f(x)为增函数，综上，f(x)在R上为增函数．13.解函数y＝|2x－1|的图象可由指数函数y＝2x的图象先向下平移一个单位长度，然后再作x轴下方的部分关于x轴的对称图形，如图所示．函数y＝m的图象是与x轴平行的直线，观察两图象的关系可知：当m<0时，两函数图象没有公共点，此时方程|2x－1|＝m无解；当m＝0或m≥1时，两函数图象只有一个公共点，此时方程|2x－1|＝m有一解；当0<m<1时，两函数图象有两个公共点，此时方程|2x－1|＝m有两解．。
高中数学《学案导学与随堂笔记》苏教版 必修1 第三章 基本初等函数 3.2.1 第1课时
3．2.1对数第1课时对数的概念学习目标 1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．知识点一对数的概念思考解指数方程：3x＝ 3.可化为3x＝123，所以x＝12.那么你会解3x＝2吗？答案不会，因为2难以化为以3为底的指数式，因而需要引入对数概念．梳理对数的概念一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．通常将以10为底的对数称为常用对数，以e为底的对数称为自然对数．log10N可简记为lg_N，log e N简记为ln_N.知识点二对数与指数的关系思考log a1(a>0，且a≠1)等于？答案设log a1＝t，化为指数式a t＝1，则不难求得t＝0，即log a1＝0.梳理(1)对数与指数的关系若a>0，且a≠1，则a x＝N⇔log a N＝x.对数恒等式：log a Na＝N；log a a x＝x(a>0，且a≠1)．(2)对数的性质①1的对数为零；②底的对数为1；③零和负数没有对数．类型一 对数的概念例1 在N ＝log (5－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是________．答案 2<b <5且b ≠4解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ b －2>0，5－b >0，5－b ≠1，∴2<b <5且b ≠4.反思与感悟 由于对数式中的底数a 就是指数式中的底数a ，所以a 的取值范围为a >0，且a ≠1；由于在指数式中a x ＝N ，而a x >0，所以N >0.跟踪训练1 求f (x )＝log x 1－x 1＋x的定义域． 解 要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x ≠1，1－x 1＋x >0，解得0<x <1.∴f (x )＝log x 1－x 1＋x的定义域为(0,1)． 类型二 应用对数的基本性质求值例2 求下列各式中x 的值．(1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1.解 (1)∵log 2(log 5x )＝0，∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1000.反思与感悟 本题利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．log a N ＝0⇒N ＝1；log a N ＝1⇒N ＝a 使用频繁，应在理解的基础上牢记．跟踪训练2 若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为________． 答案 9解析 ∵log 2(log 3x )＝0，∴log 3x ＝1.∴x ＝3.同理y ＝4，z ＝2.∴x ＋y ＋z ＝9.类型三 对数式与指数式的互化命题角度1 指数式化为对数式例3 将下列指数式写成对数式．(1)54＝625；(2)2－6＝164；(3)3a ＝27；(4)⎝⎛⎭⎫13m ＝5.73. 解 (1)log 5625＝4.(2)log 2164＝－6. (3)log 327＝a .(4)13log 5.73＝m .反思与感悟 指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：跟踪训练3 (1)将3－2＝19，⎝⎛⎭⎫126＝164化为对数式． (2)解方程：⎝⎛⎭⎫13m ＝5.解 (1)3－2＝19可化为log 319＝－2； ⎝⎛⎭⎫126＝164可化为12log 164＝6. (2)m ＝13log 5.命题角度2 对数式化为指数式例4 求下列各式中x 的值．(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg100＝x ； (4)－lne 2＝x ；(5)1)log 13＋22＝x . 解 (1)x ＝2364-＝233(4)-＝4－2＝116. (2)因为x 6＝8，所以x ＝166()x ＝168＝136(2)＝122＝ 2.(3)因为10x ＝100＝102，所以x ＝2.(4)由－lne 2＝x ，得－x ＝lne 2，即e －x ＝e 2. 所以x ＝－2.(5)因为1)log )13＋22＝x ， 所以(2－1)x ＝13＋22＝1(2＋1)2＝12＋1＝2－1， 所以x ＝1. 反思与感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．跟踪训练4 计算：(1)log 927；(2)；(3). 解 (1)设x ＝log 927，则9x ＝27,32x ＝33，∴x ＝32. (2)设x＝，则⎝⎛⎭⎫43x ＝81,43x＝34，∴x ＝16. (3)令x ＝，则⎝⎛⎭⎫354x ＝625,435x ＝54，∴x ＝3.命题角度3 对数恒等式log a N a＝N 的应用 例5 (1)求＝2中x 的值； (2)求的值(a，b ，c ∈(0，＋∞)且不等于1，N ＞0)． 解 (1)∵＝33·＝27x ＝2，∴x ＝227. (2)＝＝＝N . 反思与感悟 应用对数恒等式时应注意(1)底数相同．(2)当N >0时才成立，例如y ＝x 与y ＝log a x a并非相等的函数． 跟踪训练5 设5log (21)25x -＝9，则x ＝________. 答案 2解析 ∵5log (21)25x -＝()5log (21)25x -＝5log (21)2(5)x -＝(2x －1)2＝9.∴2x －1＝±3，又∵2x －1>0，∴2x －1＝3.∴x ＝2.1．log b N ＝a (b >0，b ≠1，N >0)对应的指数式是________．答案 b a ＝N2．若log a x ＝1，则x ＝________.答案 a3．下列指数式与对数式互化不正确的一组的序号是________．①e 0＝1与ln1＝0；②138-＝12与log 812＝－13； ③log 39＝2与129＝3；④log 77＝1与71＝7.答案 ③33log 3x +log log log a b c b c N a ⋅⋅33log 3x +3log 3x log log log a b c b c N a ⋅⋅log log log ()a b c b c N a ⋅log c Nc4．已知log x 16＝2，则x ＝________.答案 45．设10lg x ＝100，则x 的值等于________．答案 1001．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1，N >0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)log a N a ＝N .2．在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算；而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．课时作业一、填空题1．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e 为底的对数叫做自然对数．其中正确命题的序号为________．答案 ①③④解析 ①、③、④正确，②不正确，只有a >0，且a ≠1时，a x ＝N 才能化为对数式．2．已知log 2(1－2x )＝1的解x ＝________.答案 －12解析 ∵log 2(1－2x )＝1，∴2＝1－2x ，∴x ＝－12. 3．＝________.答案 8解析 设＝t ，则(3)t ＝81,32t ＝34，t 2＝4，t ＝8. 4．下列四个等式：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若lg x ＝10，则x ＝10；④若ln x ＝e ，则x ＝e 2.其中正确等式的序号是________．答案 ①②解析 ①lg(lg10)＝lg1＝0；②lg(lne)＝lg1＝0；③若lg x ＝10，则x ＝1010；④若ln x ＝e ，则x ＝e e .5．(12)－1＋log 0.54的值为________． 答案 0解析 (12)－1＋log 0.54＝(12)－1＋log 124＝2－2＝0. 6．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m＋n 的值是________．答案 45 解析 由log a 3＝m ，得a m ＝3，由log a 5＝n ，得a n ＝5，∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝32×5＝45. 7．已知f (log 2x )＝x ，则f (12)＝________. 答案 2解析 令log 2x ＝12，则x ＝212＝2， 即f (12)＝f (log 22)＝ 2. 8．方程3log 2x ＝14的解是________． 答案 x ＝19解析 ∵3log 2x ＝2－2，∴log 3x ＝－2， ∴x ＝3－2＝19. 9．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x12-＝________.答案 24 解析 ∵log 7[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3，∴23＝x . ∴x 12-＝(23)12-＝18＝122＝24. 10．设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b ＝________.答案 107解析 ∵a ＝log 310，b ＝log 37，∴3a ＝10,3b ＝7，∴3a －b ＝3a 3b ＝107. 11．22log 32+＋32log 93-＝________.答案 13 解析22log 32+＋32log 33- ＝22×2log 32＋32log 933＝4×3＋99＝12＋1＝13.二、解答题12．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值．①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13. (2)已知6a ＝8，试用a 表示下列各式．①log 68；②log 62；③log 26.解 (1)①因为log 2x ＝－25，所以x ＝225-＝582. ②因为log x 3＝－13，所以x 13-＝3， 所以x ＝3－3＝127. (2)①log 68＝a .②由6a ＝8，得6a ＝23，即63a ＝2，所以log 62＝a 3. ③由63a ＝2，得23a＝6，所以log 26＝3a. 13．设M ＝{0,1}，N ＝{lg a,2a ，a,11－a }，是否存在a 的值，使M ∩N ＝{1}?解 不存在a 的值，使M ∩N ＝{1}成立．若lg a ＝1，则a ＝10，此时11－a ＝1，从而11－a ＝lg a ＝1，与集合元素的互异性矛盾； 若2a ＝1，则a ＝0，此时lg a 无意义；若a ＝1，此时lg a ＝0，从而M ∩N ＝{0,1}，与条件不符；若11－a ＝1，则a ＝10，从而lg a ＝1，与集合元素的互异性矛盾．所以不存在a ，使M ∩N ＝{1}．三、探究与拓展14．log(n＋1－n)(n＋1＋n)＝________.答案－1解析由题意，知log(n＋1－n)(n＋1＋n)＝log(n＋1－n)(n＋1－n)－1＝－1.15．若集合{x，xy，lg(xy)}＝{0，|x|，y}，求log2(x2＋y2)的值．解根据集合中元素的互异性可知，在第一个集合中，x≠0，第二个集合中，y≠0，∴第一个集合中的元素xy≠0，只有lg(xy)＝0，可得xy＝1.①然后，还有两种可能：x＝y，②或xy＝y.③由①②联立，解得x＝y＝1或x＝y＝－1，若x＝y＝1，则xy＝1，违背集合中元素的互异性；若x＝y＝－1，则xy＝|x|＝1，从而两集合中的元素相同．∴x＝－1，y＝－1，符合集合相等的条件．因此，log2(x2＋y2)＝log22＝1.。
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学(苏教版)必修1第三章章末复习课
画一画·知识网络、结构更完善
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研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
题型一
指数、对数的运算
1．指数、对数的运算应遵循的原则
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指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根 式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式 分解以达到约分的目的． 对数运算首先注意公式应用过程中范围的 变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒 等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧． 2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法： (1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数． (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
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g(x)在(－∞，
1]上也是增函数， 所以
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1 1 3 g(x)max＝g(1)＝－ ＋ ＝－ . 4 4 2
1 1 x a>－4 ＋2x在(－∞，1]上恒成立，
因为
3 所以 a 应大于 g(x)的最大值，即 a>－4. 故所求 a
研一研·题型解法、解题更高效
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(2)①若 a>1，则 y＝logat 递增，且 t＝a－ax 递减，而 a－ax>0，即 ax<a，∴x<1，∴y＝loga(a－ax)在(－∞，1)上递减．
②若 0<a<1， y＝logat 递减， t＝a－ax 递增， a－ax>0， ax<a， 则 且 而 即
， 1 2
1.5
＝21.5，
∵y＝2x 在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴4 >
高中数学《学案导学与随堂笔记》苏教版 必修1 第三章 基本初等函数 章末复习课
学习目标 1.掌握基本初等函数的图象和性质.2.会借助基本初等函数的图象性质研究函数与方程问题.3.能建立函数模型解决简单的实际问题．知识点一指数函数与对数函数的性质知识点二幂函数y＝xα的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；(2)如果α>0，则幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上为单调增函数；(3)如果α<0，则幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是单调减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x 轴；(4)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数． 知识点三 函数的零点与方程的根函数的零点与方程的根之间存在着紧密的关系：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么函数y ＝f (x )在(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 知识点四 函数模型及其应用解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力．一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面．求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为类型一 指数函数、对数函数、幂函数的综合应用 命题角度1 函数性质及应用例1 已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0. (1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性；(2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时的x 的取值范围．解 (1)当a >0，b >0时，因为a ·2x ，b ·3x 都单调递增，所以函数f (x )单调递增； 当a <0，b <0时，因为a ·2x ，b ·3x 都单调递减， 所以函数f (x )单调递减． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0. ①当a <0，b >0时，⎝⎛⎭⎫32x >－a 2b ， 解得x >32log ⎝⎛⎭⎫－a2b ； ②当a >0，b <0时，⎝⎛⎭⎫32x <－a2b ， 解得x <32log ⎝⎛⎭⎫－a2b . 反思与感悟 指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段，构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图象变换等手段化归为基本的指数函数、对数函数、幂函数来研究． 跟踪训练1 已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0<a <1)． (1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－2，求a 的值．解 (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋3>0，解得－3<x <1，∴定义域为(－3,1)．(2)函数可化为f (x )＝log a [(1－x )(x ＋3)]＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]． ∵－3<x <1，∴0<－(x ＋1)2＋4≤4. ∵0<a <1，∴log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4. 由log a 4＝－2，得a －2＝4，∴a ＝124-＝12. 命题角度2 函数图象及应用例2 如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是________．答案 (－1,1]解析 借助函数的图象求解该不等式．令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )的图象如图.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝log 2(x ＋1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}．反思与感悟 指数函数、对数函数、幂函数的图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点，最值，解不等式的工具，所以要能熟练画出这三类函数图象，并会进行平移、伸缩，对称、翻折等变换．跟踪训练2 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象中正确的是________．(填序号)答案 ②解析 由题意得y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.①中，y ＝3－x ＝(13)x ，显然图象错误；②中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；③中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；④中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称．显然不符．故填②. 类型二 函数的零点与方程的根的关系及应用例3 已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是____________． 答案 x 1＜x 2＜x 3解析 令x ＋2x ＝0，得2x ＝－x ； 令x ＋ln x ＝0，得ln x ＝－x ；在同一坐标系内画出y ＝2x ，y ＝ln x ，y ＝－x 的图象，如图可知x 1＜0＜x 2＜1.令h (x )＝x －x －1＝0，则(x )2－x －1＝0， 所以x ＝1＋52，即x 3＝(1＋52)2＞1.所以x 1＜x 2＜x 3. 反思与感悟 (1)函数的零点与方程的根的关系：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断．跟踪训练3 若函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是________． 答案 (0,3)解析 显然f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，由条件可知f (1)·f (2)＜0，即(2－2－a )(4－1－a )＜0，即a (a －3)＜0，解得0＜a ＜3.类型三 用二分法求函数的零点或方程的近似解例4 已知函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为(0,1)，进行两次二分后，零点所在区间为________． 答案 (14，12)解析 ∵f (x )是R 上的单调增函数且图象是连续的，且f (0)＝e 0＋4×0－3＜0，f (1)＝e ＋4－3＞0，∴f (x )在(0,1)内有唯一零点．f (12)＝12e ＋4×12－3＝12e －1＞0，f (14)＝14e ＋4×14－3＝14e －2＜0，∴f (x )在(14，12)内存在唯一零点．反思与感悟 (1)根据f (a 0)·f (b 0)<0确定初始区间，高次方程要先确定有几个解再确定初始区间．(2)初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间对应的结果是相同的，但二分的次数相差较大．(3)取区间中点c ，计算中点函数值f (c )，确定新的零点区间，直到所取区间(a n ，b n )中，a n ，b n 与精确度要求的近似值相等．跟踪训练4 已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a ＞0，且a ≠1)，当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝__________. 答案 2 解析 ∵a ＞2，∴f (x )＝log a x ＋x －b 在(0，＋∞)上为单调增函数，且f (2)＝log a 2＋2－b ，f (3)＝log a 3＋3－b . ∵2＜a ＜3＜b ＜4，∴0＜log a 2＜1，－2＜2－b ＜－1， ∴－2＜log a 2＋2－b ＜0. 又1＜log a 3＜2，－1＜3－b ＜0，∴0＜log a 3＋3－b ＜2，即f (2)＜0，f (3)＞0. 又∵f (x )在(0，＋∞)上是单调函数， ∴f (x )在(2,3)内必存在唯一零点． 类型四 函数模型及应用例5 如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． 解 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝20k 1＋k2＝20k ＋1k ＝20⎝⎛⎭⎫k －1k 2＋2≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米． (2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔ 存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔ 判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔0<a ≤6. 所以当它的横坐标a 不超过6时，可击中目标．反思与感悟 在建立和应用函数模型时，准确地把题目要求翻译成数学问题(如最大射程翻译成y ＝0时求x 的最大值)非常重要．另外实际问题要注意实际意义对定义域、取值范围的影响．跟踪训练5 某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时． 答案 24解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e22k ＋b ＝48，两式相除可得e 22k ＝14，故e 11k ＝12，故e 33k ＋b ＝e 33k ·e b ＝24，即该食品在33℃的保鲜时间是24小时．1．已知23a ＝49(a >0)，则23log a ＝________.答案 3解析设23log a＝x，则a＝⎝⎛⎭⎫23x，又23a＝49，∴⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23x23＝⎝⎛⎭⎫232，即⎝⎛⎭⎫2323x＝⎝⎛⎭⎫232，∴23x＝2，解得x＝3.2．如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y与行走时间x之间函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是________．答案④解析由晨练的图象可知，总共分为三部分，前一段随着时间的增加，离家的距离增大，接着一段时间是保持离家距离不变，根据所给路线可知只有④符合，同时，最后一段是随着时间的增加，离家的距离越来越小，④也符合．故填④.3．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1与x轴交点的个数为________．答案 2解析函数f(x)＝2x|log0.5x|－1与x轴交点的个数即为函数y＝|log0.5x|与y＝12x图象的交点个数．在同一直角坐标系中作出函数y＝|log0.5x|，y＝12x的图象(图略)，易知有2个交点．4．设函数f(x)＝log3x＋2x－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是________．答案(log32,1)5．已知方程2x＝10－x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝______.答案 21．对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程的根；对于连续函数，利用零点存在性定理，可用来求参数的取值范围．2．函数模型的应用实例的基本题型(1)给定函数模型解决实际问题；(2)建立确定的函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．3．函数建模的基本过程如图：。