运筹学实验_动态规划
运筹学动态规划
运筹学动态规划第7章动态规划动态规划是Bellman 在1957年提出的解多阶决策问题的方法，在那个时期，线性规划很流行，它是研究静态问题的，而Bellman 提出的解多阶决策问题的方法适用于动态问题，相对于线性规划研究静态问题，取名动态规划。
动态规划方法应用范围非常广泛，方法也比较简单。
动态规划是将一个多阶决策问题分解为一系列的互相嵌套的一步决策问题，序贯求解使问题得到简化。
动态规划问题按照问题的性质可以分为确定性的和随机性的，按决策变量的和状态变量的取值可以分为离散型的和连续型的。
此外还有依据时间变量连续取值还是离散取值又分为连续时间动态规划问题和离散时间动态规划问题。
本章重点讨论离散时间确定性动态规划问题，包括状态变量和决策变量连续取值和离散取值两种情况。
7.1解多阶决策问题的动态规划法1.多阶决策问题的例(1)最优路径问题—多阶决策问题的例为了直观，先从最优路径问题谈起，它可以看作一个多阶决策过程。
通过最优路径问题的解可以看到用动态规划法解多阶决策问题的基本思想。
考虑图7-1所示的最优路径问题。
一汽车由S 点出发到终点F ，P 和Q 是一些可以通过的点。
图中两点间标出的数字是汽车走这一段路所需的时间(单位为小时)。
最优路径问题是确定一个路径，使汽车沿这条路径由S 点出发达到F 点所用时间最短。
最优路径问题可以看作一个多阶决策问题，由S 到城市甲是第1个阶段，第1个结点P 1或第2个结点Q 1做为第1阶段可以通过的两个站点，由城市甲到城市乙是第2阶段，这个阶段是从P 1或Q 1到P 2或Q 2，由城市乙到城市丙是第3阶段，这个阶段是从P 2或Q 2到P 3或Q 3，由城市丙的P 3或Q 3到F 做为第四阶段。
（2）最优路径问题的解对最优路径问题，存在一个非常明显的原理，即最优路径的一部分还是最优路径。
换句话说，如果SQ P Q F 123是所求的最优路径，那么，汽车从这一路径上的任何一点，例如P 2，出发到F 的最优路径必为P Q F 23。
运筹学教案动态规划
运筹学教案动态规划一、教学目标1. 了解动态规划的基本概念及其在运筹学中的应用。
2. 掌握动态规划的基本原理和方法，能够解决实际问题。
3. 学会使用动态规划解决最优化问题，提高解决问题的效率。
二、教学内容1. 动态规划的基本概念动态规划的定义动态规划与分治法的区别2. 动态规划的基本原理最优解的性质状态转移方程边界条件3. 动态规划的方法递推法迭代法表格法4. 动态规划的应用背包问题最长公共子序列最短路径问题三、教学方法1. 讲授法：讲解动态规划的基本概念、原理和方法。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用动态规划解决问题。
3. 编程实践法：让学生动手编写代码，加深对动态规划方法的理解。
四、教学准备1. 教材：《运筹学导论》或相关教材。
2. 课件：动态规划的基本概念、原理、方法及应用案例。
3. 编程环境：为学生提供编程实践的平台，如Python、C++等。
五、教学过程1. 引入：通过一个实际问题，引出动态规划的概念。
2. 讲解：讲解动态规划的基本原理和方法。
3. 案例分析：分析实际问题，展示动态规划的应用。
4. 编程实践：让学生动手解决实际问题，巩固动态规划方法。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调动态规划的关键要点。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂讲解：评估学生对动态规划基本概念、原理和方法的理解程度。
2. 案例分析：评估学生运用动态规划解决实际问题的能力。
3. 编程实践：评估学生动手实现动态规划算法的能力。
4. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的掌握情况。
七、教学拓展1. 研究动态规划与其他优化方法的联系与区别。
2. 探讨动态规划在运筹学其他领域的应用，如库存管理、生产计划等。
3. 了解动态规划在、数据挖掘等领域的应用。
八、教学反思1. 反思本节课的教学内容、方法和过程，确保符合教学目标。
2. 考虑学生的反馈，调整教学方法和节奏，提高教学效果。
3. 探讨如何将动态规划与其他运筹学方法相结合，提高解决问题的综合能力。
管理运筹学第5章动态规划
根据阶段划分、状态转移方程和最优解的性质，建立递推关系。
递推关系的求解
通过递推关系求解各阶段的最优解，最终得到整个问题的最优解。
03
动态规划的求解方法
逆推法
总结词
逆推法是从目标状态出发，逆向推算出达到目标状态的最优决策，逐步推算出初始状态的最优决策。
详细描述
逆推法的基本思想是将问题分解为若干个相互联系的阶段，从最后阶段开始，依次向前推算出每个阶 段的最优决策，直到达到初始状态。这种方法适用于具有重叠子问题和最优子结构的问题，可以避免 重复计算，提高求解效率。
详细描述
资源分配问题通常需要考虑资源的约束条件、 各部门或个体的需求和优先级，以及如何平 衡各方利益。动态规划通过将问题分解为一 系列子问题，逐一求解最优解，最终得到整 体最优解。
生产与存储问题
总结词
生产与存储问题主要研究在生产过程 中如何平衡生产与库存的关系，以最 小化生产成本和库存成本。
详细描述
特点
动态规划适用于具有重叠子问题和最优子结构特性的问题，通过将原问题分解 为子问题，逐个求解并存储子问题的解，避免了重复计算，提高了求解效率。
动态规划的重要性
解决复杂问题
动态规划能够解决一些复杂的问题，如资源分配、生产计 划、物流调度等，这些问题通常难以通过传统方法求解。
提高计算效率
通过避免重复计算，动态规划能够显著提高计算效率，尤 其在处理大规模问题时，能够大大减少计算时间和资源消 耗。
05
动态规划的优化策略
多阶段决策优化
01
02
03
阶段划分
将问题划分为若干个相互 关联的阶段，每个阶段都 有自己的决策变量和状态 转移方程。
状态转移
第五章 物流运筹学——动态规划
表5-2 设i 仪器换成 j 仪器所需中断试验的时间
tij
j
1 10 9 6
仪器 2 9 12 5 3 14 10 8
i 仪器
1 2 3
• 【例5-4】（机器负荷问题）设某机器可以在高、 低两种不同的负荷下进行生产。若年初有 x 台 机器在高负荷下进行生产，则产品年产量a = 8x ， 机器的年折损率 β = 0.3 ；若年初有 y 台机器在低 负荷下进行生产，则产品年产量 b = 5 y ，机器的 年折损率α = 0.1。若初始时有性能正常的机器1000 台，要求制定机器负荷的四年分配计划，确定每年 年初分配正常机器在不同负荷下工作的台数，使四 年内产品总产量最大。
• 状态转移方程(state transfer equation)：动 态规划中本阶段的状态往往是上一阶段状 态和上一阶段的决策结果。如果给定了第 k 段的状态sk ，本阶段决策为uk (sk ) ，则第 k +1 段的状态s k + 1 也就完全确定，两者的关系可 用下式表示： sk +1 = Tk ( sk , uk ) （5-1） 由于它表示了由 k 段到 k +1 段的状态转移 规律，所以称为状态转移方程。
• •
动态规划的求解方法
动态规划的求解有两种基本方法：逆序解法（后向 动态规划方法）和顺序解法（前向动态规划方 法）。 • 在对例5-5的求解中，寻优的方向与多阶段决策过 程的实际进行方向相反，即从最后一段开始计算 逐步前推，从而求得全过程的最优策略，这样的 解法称为逆序解法；与之相反，顺序解法的寻优 方向与过程的前进方向相同，计算时从第一段开 始逐段向后递推，后一阶段要用到前一阶段的求 优结果，最后一段计算的结果就是全过程的最优 结果。
运筹学实验_动态规划
实验二用MATLAB解决动态规划问题问题:有一部货车每天沿着公路给四个售货店卸下6箱货物,如果各零售店出售该货物所得利润如下表所示,试求在各零售店卸下几箱货物,能使获得总利润最解:1)将问题按售货店分为四个阶段2)设s k表示为分配给第k个售货店到第n个工厂的货物数,x k设为决策变量,表示为分配给第k个售货店的货物数,状态转移方程为s k＋1＝s k－x k。
P k(x k)表示为x k箱货物分到第k个售货店所得的盈利值。
f k(s k)表示为s k箱货物分配给第k个售货店到第n个售货店的最大盈利值。
3)递推关系式:f k(s k)＝max[ P k(x k)+ f k+1(s k－x k) ] k=4,3,2,1边界条件:f5(s5)＝04)从最后一个阶段开始向前逆推计算。
第四阶段:设将s4箱货物(s4＝0,1,2,3,4,5,6)全部分配给4售货店时,最大盈利值为: f4(s4)＝max[P4(x4)] 其中x4＝s4＝0,1,2,3,4,5,6 x4*表示使得f4(s4)为最大值时的最优决策。
第三阶段:设将s3箱货物(s3＝0,1,2,3,4,5,6)分配给3售货店与4售货店时,对每一个s3值,都有一种最优分配方案,使得最大盈利值为:f3(s3)＝max[ P3(x3)+ f4(s3－x3) ] ,x3＝第二阶段:设将s2箱货物(s2＝0,1,2,3,4,5,6)分配给2售货店、3售货店与4售货店时,则最大盈利值为:f2(s2)＝max[ P2(x2)+ f3(s2－x2) ]第一阶段:设将s2箱货物(s1＝0,1,2,3,4,5,6)分配给1售货店、2售货店、3售货店与4售货店时,则最大盈利值为:f1(s1)＝max[ P1(x1)+ f2(s1－x1) ]按计算表格的顺序反推,可知最优分配方案有6个:1） x1*＝1,x2*＝1,x3*=3,x4*=1。
2） x1*＝1,x2*＝2,x3*=2,x4*=1。
运筹学第10章动态规划
管 理 运 精品资料 筹 学
17
动态(dòngtài)规划要求过程指标满足递推关系 ，即
Vk (sk , xk , xk1, , xn ) Vk [v(sk , xk ),Vk1(sk1, xk1, , xn )]
管 理 运 精品资料 筹 学
20
动态(dòngtài)规划方法的基本思想
• 结合解决最短路线问题来介绍动态规划方法(fāngfǎ) 的基本思想。生活中的常识告诉我们, 最短路线有一 个重要特性: 如果由起点A 经过P 点和H 点而到达终 点G 是一条最短路线, 则由点P 出发经过H 点到达终 点G 的这条子路线, 对于从点P 出发到达终点的所有 可能选择的不同路线来说, 必定也是最短路线。
连和形式 (xíngshì)：
VK VK (sk , xk , xk1, , xn ) vk (sk , xk）＋VK (sk＋1, xk1, , xn )
n1
v j (s j , x j）Vn jk
最优指标函数是
f k (sk ) Opt {vk (sk , xk } f k1 (sk1 )}, k 1,2,, n
xk Dk ( sk )
管 理 运 精品资料 筹 学
18
连乘形式(xíngshì)(VvjK≠0)V：K (sk , xk , xk1, , xn )
vk (sk , xk ) VK (sk＋1, xk1, , xn )
n1
j =k
vj
(s j
,
xj
) Vn
最优指标函数是
fk (sk ) Opt {vk (sk , xk } fk1(sk1)}, k 1, 2, , n
运筹学教案动态规划
运筹学教案动态规划一、引言1.1 课程背景本课程旨在帮助学生掌握运筹学中的动态规划方法，培养学生解决实际问题的能力。
1.2 课程目标通过本课程的学习，学生将能够：（1）理解动态规划的基本概念和原理；（2）掌握动态规划解决问题的方法和步骤；（3）能够应用动态规划解决实际问题。
二、动态规划基本概念2.1 定义动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种求解最优化问题的方法，它将复杂问题分解为简单子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
2.2 特点（1）最优子结构：问题的最优解包含其子问题的最优解；（2）重叠子问题：问题中含有重复子问题；（3）无后效性：一旦某个给定子问题的解确定了，就不会再改变；（4）子问题划分：问题可以分解为若干个子问题，且子问题之间是相互独立的。
三、动态规划解决问题步骤3.1 定义状态状态是指某一阶段问题的一个描述，可以用一组变量来表示。
3.2 建立状态转移方程状态转移方程是描述从一个状态到另一个状态的转换关系。
3.3 确定边界条件边界条件是指初始状态和最终状态的取值。
3.4 求解最优解根据状态转移方程和边界条件，求解最优解。
四、动态规划应用实例4.1 0-1背包问题问题描述：给定n个物品，每个物品有一个重量和一个价值，背包的最大容量为W，如何选择装入背包的物品，使得背包内物品的总价值最大。
4.2 最长公共子序列问题描述：给定两个序列，求它们的最长公共子序列。
4.3 最短路径问题问题描述：给定一个加权无向图，求从源点到其他各顶点的最短路径。
5.1 动态规划的基本概念和原理5.2 动态规划解决问题的步骤5.3 动态规划在实际问题中的应用教学方法：本课程采用讲授、案例分析、上机实践相结合的教学方法，帮助学生深入理解和掌握动态规划方法。
教学评估：课程结束后，通过课堂讨论、上机考试等方式对学生的学习情况进行评估。
六、动态规划算法设计6.1 动态规划算法框架介绍动态规划算法的基本框架，包括状态定义、状态转移方程、边界条件、计算顺序等。
10运筹学-动态规划
动态规划问题实例 动态规划的基本概念与原理 动态规划应用举例
引言
动态规划是解决多阶段决策过程最优化的一种方法。该方法 是由美国数学家贝尔曼（R. E. Bellman)等人在20世纪50年代 初提出的。并成功地解决了生产管理、工程技术等方面的许
多问题，从而建立了运筹学的一个新的分支，即动态规划。
式中opt 可根据题意取 max 或 min.
例如，例1的基本方程为：
f k ( sk ) min{d k ( sk , uk ) f k 1 ( sk 1 )} k 5,4,3,2,1 uk f 6 ( s6 ) 0
最优性原理：无论过去的状态和决策如何，从眼下直到最后 的诸决策必构成最优子策略。
（1）k=5 时，状态 S5 {E1 , E2} 最短路。
它们到F 点的距离即为
f 5 ( E1 ) 4,
f5 ( E2 ) 3;
* * u5 ( E1 ) F , u5 ( E2 ) F.
2
4
C1
8 3
5 4 5 3 4 8
* u5 ( E1 ) F ,
B1
D1 D2 D3
动态规划应用举例
例1 最短路线问题
2 4
C1
8 3
5 4
B1
D1 D2 D3
5 6
2 1
3
6
5 8 7 7
C2 C3
5
3 4 8
E1
3
4
A B2
F E2
3
C4
4
2
4
C1
8 3
5 4 5 3 4 8
B1
D1 D2 D3
5 6 2 1
管理运筹学07动态规划
连续时间动态规划
定义
连续时间动态规划是指时间连续变化，状态 和决策也连续变化，状态转移和决策可以发 生在任意时刻。
解决思路
通过将时间连续化，将连续的时间动态问题转化为 离散的时间动态问题，然后应用动态规划的方法进 行求解。
应用场景
控制系统优化、金融衍生品定价、物流优化 等。
状态转移
指从一个状态转移到另一个状态的过程，是动态规划的基本要素 之一。
状态转移方程
描述了状态转移的数学表达式，是动态规划算法的核心。
最优化原理
最优化原理
在多阶段决策问题中，如果每个阶段 都按照最优策略进行选择，则整个问 题的最优解一定是最优的。
最优子结构
如果一个问题的最优解可以由其子问 题的最优解推导出来，则称该问题具 有最优子结构。
解决方案
采用启发式搜索策略， 如模拟退火、遗传算法 等，来引导算法跳出局 部最优解。
案例
在旅行商问题中，采用 模拟退火算法结合动态 规划，在局部搜索和全 局搜索之间取得平衡， 得到全局最优解。
06 动态规划案例研究
案例一：生产与存储问题的动态规划解决方案
总结词
该案例研究探讨了如何利用动态规划解决生 产与存储问题，通过合理安排生产和存储策 略，降低总成本。
管理运筹学07动态规划
contents
目录
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的应用 • 动态规划的扩展 • 动态规划的挑战与解决方案 • 动态规划案例研究
01 动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题，并存储子问题的 解以避免重复计算的方法，从而有效 地解决最优化问题的方法。
《运筹学07动态规划》课件
动态规划的应用场景
资源分配 问题：如 背包问题、 车辆路径 问题等
优化问题： 如最短路 径问题、 最大子数 组问题等
决策问题： 如股票买 卖问题、 投资组合 问题等
游戏问题： 如国际象 棋、围棋 等
生物信息 学：如基 因序列比 对、蛋白 质结构预 测等
优化策略的改进
动态规划的扩展：从线性规划到非 线性规划，从单阶段决策到多阶段 决策
优化策略的改进：引入并行计算， 提高计算效率
添加标题
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添加标题
添加标题
优化策略的改进：引入启发式算法， 如遗传算法、模拟退火算法等
优化策略的改进：引入智能优化算 法，如神经网络、深度学习等
动态规划与其他 算法的比较
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汇报人：
动态规划的基本 思想：将问题分 解为更小的子问 题，并利用子问 题的解来求解原
问题
动态规划的步 骤：确定状态、 状态转移方程、 初始状态和边
界条件
动态规划的算 法实现：递归、 迭代、记忆化
搜索等
动态规划的应 用：背包问题、 最短路径问题、 资源分配问题
等
动态规划的经典 案例
最短路径问题
问题描述：在图中找到从起点到终点的最短路径 应用场景：交通网络、物流配送、电路设计等 解决方案：使用动态规划算法，通过状态转移方程求解 经典案例：旅行商问题、最短路径问题等
排班问题
问题描述：如何合理安排员工工作时间，使得员工满意度最高，同时满足 公司业务需求
动态规划方法：使用动态规划算法，通过状态转移方程和递归函数求解
状态转移方程：定义状态变量，表示员工在不同时间段的工作状态
递归函数：根据状态转移方程，递归求解最优解
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实验二用MATLAB解决动态规划问题
问题：有一部货车每天沿着公路给四个售货店卸下6箱货物，如果各零售店出售该货物所得利润如下表所示，试求在各零售店卸下几箱货物，能使获得总利润最大？其值为多少？
解：
1)将问题按售货店分为四个阶段
2)设s k表示为分配给第k个售货店到第n个工厂的货物数，
x k设为决策变量，表示为分配给第k个售货店的货物数，
状态转移方程为s k＋1＝s k－x k。
P k(x k)表示为x k箱货物分到第k个售货店所得的盈利值。
f k(s k)表示为s k箱货物分配给第k个售货店到第n个售货店的最大盈利值。
3)递推关系式：
f k(s k)＝max[ P k(x k)+ f k+1(s k－x k) ] k=4,3,2,1
边界条件：f5(s5)＝0
4)从最后一个阶段开始向前逆推计算。
第四阶段：
设将s4箱货物（s4＝0,1,2,3,4,5,6）全部分配给4售货店时，最大盈利值为：f4(s4)
＝s＝0,1,2,3,4,5,6x*表示使得f
＝max[P
第三阶段：
设将s3箱货物（s3＝0,1,2,3,4,5,6）分配给3售货店和4售货店时，对每一个s3值，都有一种最优分配方案，使得最大盈利值为：f3(s3)＝max[ P3(x3)+ f4(s3－x3) ] ，x3
设将s2箱货物（s2＝0,1,2,3,4,5,6）分配给2售货店、3售货店和4售货店时，则最大盈利值为：f2(s2)＝max[ P2(x2)+ f3(s2－x2) ]
其中，x＝0,1,2,3,4,5,6
第一阶段：
设将s2箱货物（s1＝0,1,2,3,4,5,6）分配给1售货店、2售货店、3售货店和4售货店时，则最大盈利值为：f1(s1)＝max[ P1(x1)+ f2(s1－x1) ]
1） x1*＝1，x2*＝1，x3*=3，x4*=1。
2） x1*＝1，x2*＝2，x3*=2，x4*=1。
3） x1*＝1，x2*＝3，x3*=1，x4*=1。
4） x1*＝2，x2*＝0，x3*=3，x4*=1。
5） x1*＝2，x2*＝1，x3*=2，x4*=1。
6） x1*＝2，x2*＝2，x3*=1，x4*=1。
以上6种最优方案的总利润均为17。
使用Matlab解决上面的问题：
在matlab命令窗口输入下面的程序：
图1 程序及其运行结果-1
图2程序及其运行结果-2
图3程序及其运行结果-3 m=1;
A=[0 4 6 7 7 7 7];
B=[0 2 4 6 8 9 10];
C=[0 3 5 7 8 8 8];
D=[0 4 5 6 6 6 6];
for a=1:7
for b=1:7
for c=1:7
for e=1:7
if a+b+c+e==10
d(m)=A(a)+B(b)+C(c)+D(e);
E(m,1)=a;
E(m,2)=b;
E(m,3)=c;
E(m,4)=e;
m=m+1;
else
continue;
end
end
end
end
end
MAXNum=d(1);
for l=1:size(d,2)
if d(l)>MAXNum
MAXNum=d(l);
p=l;
else
continue;
end
end
for l=1:size(d,2)
if d(l)==MAXNum
E(l,:)-1
else
continue;
end
end
MAXNum
按回车后可以得到以下的结果：
ans =
1 1 3 1
ans =
1 2 2 1
ans =
1 3 1 1
ans =
2 0
3 1
ans =
2 1 2 1
ans =
2 2 1 1
MAXNum =
17
由运行结果可知最优方案有6个：
1）x1*＝1，x2*＝1，x3*=3，x4*=1。
2）x1*＝1，x2*＝2，x3*=2，x4*=1。
3）x1*＝1，x2*＝3，x3*=1，x4*=1。
4）x1*＝2，x2*＝0，x3*=3，x4*=1。
5）x1*＝2，x2*＝1，x3*=2，x4*=1。
6）x1*＝2，x2*＝2，x3*=1，x4*=1。
最大总利润为17。
这与之前的计算结果一致。