运筹学8-动态规划
动态规划
多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前状态，又随即引起状 态的转移，一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，故有“动态”的含义，称这种解决多阶段决策最优化 问题的方法为动态规划方法 。
任何思想方法都有一定的局限性，超出了特定条件，它就失去了作用。同样，动态规划也并不是万能的。适 用动态规划的问题必须满足最优化原理和无后效性 。
动态规划
运筹学的分支
01 原理
03 局限性
目录
02 分类
动态规划（Dynamic Programming，DP）是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的过程。20世纪50年 代初，美国数学家贝尔曼（R.Bellman）等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理， 从而创立了动态规划。动态规划的应用极其广泛，包括工程技术、经济、工业生产、军事以及自动化控制等领域， 并在背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等中取得了 显著的效果 。
最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成 的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足 最优化原理又称其具有最优子结构性质 。
将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来 的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又 称为无后效性 。
状态：状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件，它不以人们的主观意志为转移，也称为不可控因 素。在上面的例子中状态就是某阶段的出发位置，它既是该阶段某路的起点，同时又是前一阶段某支路的终点 。
运筹学教案动态规划
运筹学教案动态规划一、教学目标1. 了解动态规划的基本概念及其在运筹学中的应用。
2. 掌握动态规划的基本原理和方法，能够解决实际问题。
3. 学会使用动态规划解决最优化问题，提高解决问题的效率。
二、教学内容1. 动态规划的基本概念动态规划的定义动态规划与分治法的区别2. 动态规划的基本原理最优解的性质状态转移方程边界条件3. 动态规划的方法递推法迭代法表格法4. 动态规划的应用背包问题最长公共子序列最短路径问题三、教学方法1. 讲授法：讲解动态规划的基本概念、原理和方法。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用动态规划解决问题。
3. 编程实践法：让学生动手编写代码，加深对动态规划方法的理解。
四、教学准备1. 教材：《运筹学导论》或相关教材。
2. 课件：动态规划的基本概念、原理、方法及应用案例。
3. 编程环境：为学生提供编程实践的平台，如Python、C++等。
五、教学过程1. 引入：通过一个实际问题，引出动态规划的概念。
2. 讲解：讲解动态规划的基本原理和方法。
3. 案例分析：分析实际问题，展示动态规划的应用。
4. 编程实践：让学生动手解决实际问题，巩固动态规划方法。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调动态规划的关键要点。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂讲解：评估学生对动态规划基本概念、原理和方法的理解程度。
2. 案例分析：评估学生运用动态规划解决实际问题的能力。
3. 编程实践：评估学生动手实现动态规划算法的能力。
4. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的掌握情况。
七、教学拓展1. 研究动态规划与其他优化方法的联系与区别。
2. 探讨动态规划在运筹学其他领域的应用，如库存管理、生产计划等。
3. 了解动态规划在、数据挖掘等领域的应用。
八、教学反思1. 反思本节课的教学内容、方法和过程，确保符合教学目标。
2. 考虑学生的反馈，调整教学方法和节奏，提高教学效果。
3. 探讨如何将动态规划与其他运筹学方法相结合，提高解决问题的综合能力。
动态规划原理
动态规划原理
动态规划是一种解决复杂问题的算法思想。
它通过将问题分解成较小的子问题，并通过寻找子问题的最优解来解决整体问题。
动态规划的核心思想是将整体问题拆分成多个重叠子问题，在解决子问题的过程中记录下每个子问题的解。
这样一来，当我们需要求解更大规模的子问题时，可以直接利用已经计算出的子问题解，避免重复计算，提高算法效率。
其中，动态规划的关键步骤包括定义状态、设计状态转移方程和确定边界条件。
首先，我们需要确定问题的状态。
状态可以理解为问题的属性，它描述了问题在不同阶段、不同状态下的特征。
在动态规划中，我们将问题的状态表示成一个或多个变量，用于描述问题的特征。
接着，我们需要设计状态转移方程。
状态转移方程描述了子问题之间的联系和转移规律。
它通过将问题的解与子问题的解联系起来，建立起子问题与整体问题的关系。
通过推导状态转移方程，我们可以由已知的子问题解计算出更大规模的问题解。
最后，我们需要确定边界条件。
边界条件表示问题的终止条件，它是最小规模子问题的解。
边界条件是问题求解的起点，也是递归求解过程的出口。
通过依次求解子问题，并利用已经计算过的子问题解，动态规
划可以高效地解决复杂问题，并得到全局最优解。
因此，它在解决优化问题、序列问题、最短路径问题等方面有着广泛的应用。
动态规划 运筹学 例题
动态规划运筹学例题动态规划是运筹学中常用的一种优化技术，它利用规划、三角函数和其他数学技术来解决日常生活中的各种问题，比如最优路线问题、最优资源分配问题、最优出行路线问题等。
本文将通过一个例题，来介绍动态规划的基本思想，以及如何利用动态规划来解决问题。
例题一：已知一条路线，由A点到B点，有N个途经的节点，每个节点之间的距离已知。
求从A到B的最短路线。
按照动态规划的思想，首先将该问题分解为若干个子问题，并根据子问题的解来解决原问题，这种分解和解决问题的方式称为动态规划。
对于上面的问题，可以将其分解为N个子问题，分别是从A到第1个节点、从第1个节点到第2个节点、从第2个节点到第3个节点，以此类推，最后一个子问题是从第N-1个节点到B点的最短路程。
将上面的N个子问题中，从第i个节点到B点的最短路程记为d[i]，由于从第i个节点到B点可能经过i+1、i+2、……、N-1节点，因此要找到d[i]，只需要找到经过i+1、i+2、……、N-1节点的最短路程即可，即求d[i]=Min{d[i+1]+length[i][i+1],d[i+2]+length[i][i+2],…,d[N-1]+length[i][N-1]}，其中length[i][j]是第i个节点到第j个节点的距离。
以上就是动态规划的解题步骤，它能将原问题分解成若干个子问题，并找到最优解。
对于本例来说，通过上述步骤，就可以得到从A 到B的最短路程。
这种分解和求解问题的方法是动态规划，可以用来解决许多类似的问题，如：1）最优路线问题；2）旅行推销员问题；3）硬币找零问题。
动态规划的一大特点是，他能很好地将问题分解为多个子问题，并能从子问题的解中求解出最优解。
总之，动态规划是一种很有用的优化技术，它可以有效解决各种运筹学问题。
它不仅可以帮助我们解决许多具体问题，而且还能使我们更好地理解问题及其解法。
运筹学教材编写组《运筹学》课后习题-动态规划的基本方法(圣才出品)
（1） A → B2 →C1 → D1 → E ；（2） A → B3 →C1 → D1 → E ； （3） A → B3 →C2 → D2 → E 。
8.3 计算从 A 到 B、C 和 D 的最短路线。已知各段路线的长度如图 8-2 所示。
图 8-2
解：设阶段变量 k = 1, 2,3, 4 ,依次表示 4 个阶段选择路线的过程；状态变量 sk 表示第 k 阶段初所处的位置；决策变量 xk 表示第 k 阶段初可能选择的路线；最优值函数 fk (sk ) 表示 从起点 A 到第 k 阶段状态 sk 的最短距离，则有
xn =sn
n
xn
，或 fn+1(sn+1) = 0
n
（2）设状态变量为 sk = ai xi (k = 1, 2, n) ，状态转移方程为 sk+1 = sk − ak xk ，最 i=k
n
优值函数 fk (sk ) 表示在 sk 状态下从第 k 阶段到第 n 阶段使 z = ci xi2 最小的值，则动态规 i=k
划的基本方程为：
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fk (sk )
=
min
0xk sk ak
{ck
xk2
+
f k +1 (sk
− ak xk )}
fn+1(sn − anxn ) = 0(k = n, n −1, 2,1)
8.5 用递推方法求解下列问题。
=
max {2
0x3 10
x32
+
f2 (s2 )} =
max {2
0x3 10
运筹学教案动态规划
运筹学教案动态规划一、引言1.1 课程背景本课程旨在帮助学生掌握运筹学中的动态规划方法，培养学生解决实际问题的能力。
1.2 课程目标通过本课程的学习，学生将能够：（1）理解动态规划的基本概念和原理；（2）掌握动态规划解决问题的方法和步骤；（3）能够应用动态规划解决实际问题。
二、动态规划基本概念2.1 定义动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种求解最优化问题的方法，它将复杂问题分解为简单子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
2.2 特点（1）最优子结构：问题的最优解包含其子问题的最优解；（2）重叠子问题：问题中含有重复子问题；（3）无后效性：一旦某个给定子问题的解确定了，就不会再改变；（4）子问题划分：问题可以分解为若干个子问题，且子问题之间是相互独立的。
三、动态规划解决问题步骤3.1 定义状态状态是指某一阶段问题的一个描述，可以用一组变量来表示。
3.2 建立状态转移方程状态转移方程是描述从一个状态到另一个状态的转换关系。
3.3 确定边界条件边界条件是指初始状态和最终状态的取值。
3.4 求解最优解根据状态转移方程和边界条件，求解最优解。
四、动态规划应用实例4.1 0-1背包问题问题描述：给定n个物品，每个物品有一个重量和一个价值，背包的最大容量为W，如何选择装入背包的物品，使得背包内物品的总价值最大。
4.2 最长公共子序列问题描述：给定两个序列，求它们的最长公共子序列。
4.3 最短路径问题问题描述：给定一个加权无向图，求从源点到其他各顶点的最短路径。
5.1 动态规划的基本概念和原理5.2 动态规划解决问题的步骤5.3 动态规划在实际问题中的应用教学方法：本课程采用讲授、案例分析、上机实践相结合的教学方法，帮助学生深入理解和掌握动态规划方法。
教学评估：课程结束后，通过课堂讨论、上机考试等方式对学生的学习情况进行评估。
六、动态规划算法设计6.1 动态规划算法框架介绍动态规划算法的基本框架，包括状态定义、状态转移方程、边界条件、计算顺序等。
第8章 动态规划《管理运筹学》PPT课件
8.2 动态规划模型建立
下面以投资问题为例介绍动态规划的建模条件。
【例8-2】 某公司现有资金20万元，若投资于三个
8.1 动态规划基础知识
（5）状态转移方程：状态转移方程是确定过程由一
个状态转移到另一个状态的演变过程。动态规划中某一状
态以及该状态下的决策，与下一状态之间具有一定的函数
关系，称这种函数关系的表达式为状态转移方程。如果第
k段的状态为 sk ，该阶段的决策为
的状态就可以用下式来表示：
uk
sk
，则第k+1段
阶段的指标函数，是该阶段最优的指标函数。
8.2 动态规划模型建立
建立动态规划模型，就是在分析实际问题的基础上建 立该问题的动态规划基本方程。成功地应用动态规划方法 的关键，在于识别问题的多阶段特征，将问题分解成为可 用递推关系式联系起来的若干子问题，或者说正确地建立 具体问题的基本方程，这需要经验与技巧。而正确建立基 本递推关系方程的关键又在于正确选择状态变量，保证各 阶段的状态变量具有递推的状态转移关系。
第8章 动态规划
动态规划(DYnamic Programming，缩写为DP)方法 ，是本世纪50年代初期由美国数学家贝尔曼(Richard E ，Bellman)等人提出，后来逐渐发展起来的数学分支， 它是一种解决多阶段决策过程最优化问题的数学规划法 。动态规划的数学模型和求解方法比较灵活，对于连续 的或离散的，线性的或非线性的，确定性的或随机性的 模型，只要能构成多阶段决策过程，便可用动态规划方 法求其最优解。因而在自然科学、社会科学、工程技术 等许多领域具有广泛的用途，甚至一定程度上比线性规 划（LP）、非线性规划（NLP）有成效，特别是对于某 些离散型问题，解析数学无法适用，动态规划方法就成 为非常有用的求解工具。
运筹学教材习题答案详解
B1：2.0
3
需要量（套）
200
150
问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少．
【解】第一步：求下料方案，见下表。
方案
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
十三
十四
需要量
B1:2.7m
2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
300
B2:2m
0
1
0
0
3
2
2
1
1
1
0
0
0
0
450
A1:1.7m
0
0
1
0
0
1
0
2
1
0
3
2
1
0
(2)
【解】最优解X＝（3/4，7/2）；最优值Z=－45/4
(3)
【解】最优解X＝（4，1）；最优值Z=－10
(4)
【解】最优解X＝（3/2，1/4）；最优值Z=7/4
(5) 【解】最优解X＝（3，0）；最优值Z=3
(6)
【解】无界解。
(7)
【解】无可行解。
(8)
【解】最优解X＝（2，4）；最优值Z=13
【解】设x1、x2、x3分别为产品A、B、C的产量，则数学模型为
1.3建筑公司需要用6m长的塑钢材料制作A、B两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－23所示：
表1－23窗架所需材料规格及数量
型号A
型号B
每套窗架需要材料
长度（m）
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一般情况，k阶段与k+1阶段的递推关系式可写为 fk(sk)= opt {vk(sk,uk(sk))+fk+1(uk(sk))} uk Dk(sk) k=n,n-1,…,1
边界条件为 fn+1(sn+1)=0
动态规划的最优性原理
作为整个过程的最优策略具有这样的性 质:即无论过去的状态和决策如何, 对前 面的决策所形成的状态而言, 余下的诸 决策必须构成最优策略。
如何解决这个问题呢?可以采取穷举法。
即把由A到G所有可能的每一条路线的距离都 算出来,然后互相比较找出最短者,相应地得出了 最短路线。这样,由A到G的6个阶段中,一共有 2×3×2×2×2×1=48条不同的路线,比较48条不 同的路线的距离值,才找出最短路线为
A→B1→C2→D1→E2→F2→G
相应最短距离为18。
2.1 动态规划的基本概念
1.阶段 描述阶段的变量称为阶段变量,常用k表示。
阶段的划分,一般是根据时间和空间的自然特 征来划分,但要便于把问题的过程能转化为多 阶段决策的过程。
2.状态 描述过程状态的变量称为状态变量。它可用
一个数、一组数或一向量(多维情形)来描述。 常用Sk表示第k阶段的状态变量。
第8章 动态规划的基本方法
本章篇目
8.1 • 多阶段决策过程及实例 8.2 • 动态规划的基本概念和基本方程 8.3 • 动态规划的最优性原理和最优性定理 8.4 • 动态规划和静态规划的关系
第1节 多阶段决策过程及实例
把一个问题可看作是一个前后关联具有链状结构 的多阶段过程（如图所示)就称为多阶段决策过程, 也称序贯决策过程。这种问题就称为多阶段决策过
3.决策 常用Dk(sk)表示第k阶段从状态sk出发的允许
决策集合,显然有uk(sk)∈Dk(sk)
4.策略 由每段的决策按顺序排列组成的决策函数序
列{uk(sk),…,un(sn)}称为k子过程策略,简称 子策略,记为pk,n(sk)。即
pk,n(sk)={uk(sk),uk+1(sk+1),…,un(sn)}
同理，从E2和E3出发，则有
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ似地，可算得
且u1(A)=B1。于是得到从起点A到终点G的最短距离为18。 为了找出最短路线,再按计算的顺序反推之,可求出最优决策函
数序列{uk},即由u1(A)=B1,u2(B1)=C2,u3(C2)=D1,u4(D1)=E2,u5(E2)= F2,u6(F2)=G组成一个最优策略。因而,找出相应的最短路线为
Vk,n(sk,uk,sk+1,…,sn+1)=ψk[sk,uk,Vk+1,n
(sk+1,…,sn+1)]
常见的指标函数的形式如下
(1)过程和它的任一子过程的指标是它所包 含的各阶段的指标的和。即
n
Vk,n(sk,uk,…,sn+1)= vj(sj,uj) jk
(2)过程和它的任一子过程的指标是它所包 含的各阶段的指标的乘积。即
n
Vk,n(sk,uk,…,sn+1)= vj(sj,uj) jk
指标函数的最优值,称为最优值函数,记为 fk(sk) fk(sk)= opt Vk,n(sk,uk,…,sn+1)
{uk,, un
2.2 动态规划的基本思想和基本方程
生活中的常识告诉我们,最短路线有一个重要特性:如果由起点 A经过P点和H点而到达终点G是一条最短路线,则由点P出发经过H点 到达终点G的这条子路线,对于从点P出发到达终点的所有可能选择 的不同路线来说,必定也是最短路线。
上述最短路线问题的计算过程,也可借助图形直观 简明的表示出来。
逆序解法
顺序解法
动态规划逆序解法的基本方程
边界条件fn+1(sn+1)=0。式中sk+1=Tk(sk,uk)。 动态规划顺序解法的基本方程
边界条件为 0(s1)=0。 式中sk=Trk(sk+1,uk)。
第3节
动态规划的最优性原理 和最优性定理
程。
多阶段决策问题举例
最短路线问题 如下图,给定一个线路网络,两点之间连线上的数
字表示两点间的距离(或费用),试求一条由A到G 的铺管线路,使总距离为最短(或总费用最小)。
第2节
动态规划的基本概念和基 本方程
如图所示的线路网络
问题的要求是:在各个阶段选取一个恰当的 决策,使由这些决策组成的一个决策序列所 决定的一条路线,其总路程最短。
当k=1时,此决策函数序列称为全过程的一个策 略,简称策略,记为p1,n(s1)。
p1,n(S1)={u1(s1),u2(s2),…,un(sn)}
5.状态转移方程 若给定第k阶段状态变量sk的值,如果该段的
决策变量uk一经确定,第k+1阶段的状态变量 sk+1的值也就完全确定。即sk+1的值随sk和uk的 值变化而变化。这种确定的对应关系,记为
这种递推关系式称为动态规划的基本方程。
动态规划方法的基本思想归纳如下：
(1)动态规划方法的关键在于正确地写出基本的 递推关系式和恰当的边界条件(简言之为基本 方程)。
(2)在多阶段决策过程中,动态规划方法是既把 当前一段和未来各段分开,又把当前效益和未 来效益结合起来考虑的一种最优化方法。
(3)在求整个问题的最优策略时,由于初始状态 是已知的,而每段的决策都是该段状态的函数, 故最优策略所经过的各段状态便可逐次变换得 到,从而确定了最优路线。
下面按照动态规划的方法,将例1从最后一段开始计算,由后向前逐步 推移至 A点。 当k=6时,由 F1到终点G只有一条路线,故 f6(F1)=4。同理, f6(F2)=3。 当k=5时,出发点有 E1、E2、E3 三个。若从 E1出发,则有两个选择: ①至F1;②至F2则
其相应的决策为 us ( E1 ) = F1 这说明,由 E1 至终点 G的最短距离为 7,其最短路线是
sk+1=Tk(sk,uk)
6.指标函数和最优值函数
用来衡量所实现过程优劣的一种数量指标,称 为指标函数。常用Vk,n表示之。即
Vk,n=Vk,n(sk,uk,sk+1,…,sn+1),k=1,2,…,n
对于要构成动态规划模型的指标函数,应具有 可分离性,并满足递推关系。即Vk,n可以表示 为sk、uk、Vk+1,n的函数。记为