人教版七年级数学 高中数学第三册第二章第二节数列的极限2 24页

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◆一类数列的变化特征◆数列极限的定义
◆几个基本数列的极限◆问题讨论
◆数列极限概念的小结
通过图像观察数列的特性 数列的图像（点击按钮调用图像）
通过图表定量观察(1)数列: 0.9,0.99,0.999,0.9999,0.99999,0.999999,........... 项号项|a n-1|
10.9|0.9-1|=0.1
20.99|0.99-1|=0.01
30.999|0.999-1|=0.001
40.9999|0.9999-1|=0.0001
50.99999|0.99999-1|=0.00001
60.999999|0.999999-1|=0.000001 70.9999999|0.9999999-1|=0.0000001 ....................
对ε=0.001与ε =0.000001,则n>3与n>6后满足|a
-A|< ε
n
项号
项|a n -1|1
1/2|(1/2)-1|=0.52
1/4|(1/4)-1|=0.253
1/8|(1/8)-1|=0.1254
1/16|(1/16)-1|=0.06255
1/32|(1/32)-1|=0.031256
1/64|(1/64)-1|=0.0156257
1/128|(1/128)-1|=0.0078125....................
通过图表定量观察(2)
数列: 1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64,1/128,........... 对ε=0.1与ε =0.01,则n>3与n>6后满足|a n -A|< ε
数列极限定义◆1.描述性定义:
◆如果对数列{a n},存在常
数A,当数列序号n无限增
大时,数列的项a
n 无限接
近常数A,称常数A是数列{a n}的极限.
◆2.ε-N定义
◆任意给定正数ε>0,如果总
存在自然数N,当n>N时,
不等式 |a
n -A|< ε恒成立,
则数列{a
n }的极限是A.记
作:
|a n-A|< ε
ε>0 A
a n
n
=
∞
→
lim
对数列极限定义的说明◆若数列{a n}的极限是A,则a n可能小于A无限的趋近于A;也可能大于A无限的趋近于A;还可能时而大于A,时而小于A而无限的趋近于A.
◆在极限的全过程中,ε必须具有绝对的任意性,但
在该过程的某一瞬间, ε又是相对固定的.
◆N的不唯一性.虽然N与ε有关,但N不是ε的单值函数,若自然数N满足极限定义的条件,则N+1,N+2,...也必满足该条件.
例1:(1)举出两个以0为极限的数列;
(2)举出两个以1为极限的数列;
(3)举出两个以A为极限的数列.
◆解:
◆(1)a n=1/n2 b n=(1/2)n ,...........
◆(2)a n=(n+1)/n b n=1+(1/3)n,.......
◆(3)a n=A+1/n b n=(-1)n(1/n)+A,.......
问 题 1 ◆根据极限定义,猜想下列数列的极限
◆(1) ____ ◆(2) ____ ◆(3) ____ ◆(4) ____ ,.....1,......,61,51,41,31,21,1n ,.....1,......,61,51,41,31,21,1n -------,.....)1(,......,61,51,41,31,21,1n n ----,.....
)1(1,......,61,51,41,......,0,31,0,21,1,0n n -+0 0 0 0
问题 2
判断下列命题的正确性:
①数列{a
}的极限是A,则A一定是该数列中的一项;
n
②任何一个无穷数列必存在极限;
③无穷数列的极限是A,指的是:对任意的ε>0,总能
在{a
}中找到一项a N,使a N以后有无限项满足|a n-A|< ε.
n
④数列{(-1)n}的极限存在,且偶数项的极限为1,奇数项的极限为-1.
几个基本数列的极限 1. 01lim =∞→n
n 2. 0lim ,1=<∞
→n n q q 时3. c
c c n =∞→lim ,为常数
证明：任给ε>0,由 01lim =∞→n
n 的证明: εn
n <=-101所以 εn 1
>故取N= ]ε1[(注: ]ε1[表示1/ε的整数部分） 所以，当n 〉N 时，不等式 ε
01
<-n 恒成立，故数列{1/n}的极限：
01lim =∞→n
n
证明： 0lim ,1=<∞
→n n q q 时的证明 任给ε>0,则由|q|<1
ε|||0|<==-n n n q q q lg|q|n <lgε
nlg|q|<lgε ||lg lg q εn >当|q|≠0, ①
① ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=q N lg εlg 若取则当n>N 时,不等式|q n -0|<ε恒成立;
当|q|=0,显然|0-0|=0< ε恒成立;
0l i m ,1=<∴∞→n
n q q 时
证明:
c c c n =∞
→lim ,为常数的证明 任给ε>0,由|c-c|=0< ε,
取N=任意自然数,那么当n>N 时,,
|c-c|=0< ε恒成立
所以,数列{c}的极限是c.
◆选择题:
◆1.已知非常数的数列{a n }当n －>∞时极限为M,则在区间(M-ε,M+ε)外,这个数列的项数为: (A)无限项 (B)有限项
(C)零项 (D)有限项与无项项都有可能 ◆2.记a 1+a 2+......+a n =S n ,则数列{a n }有极限是数列{S n }有极限的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)不充分也不必要条件
B B
◆填空题 ◆1.数列{a n }中,已知a n =(n+2)/2n,则 |a n -1/2|=_______,要使n>N 时,有 |a n -1/2|<0.001,则N 的最小值是________ ◆2.数列
的极限是:__ 3.数列a,a,a,......,a,......的极限是:________
1/n 1000 0 a ,.....,)1(1,.......,21,1,1d n a d a d a a -+++
◆推测下列数列的极限,并用极限定义证明你的结论.
◆1.数列 ◆2.|q|<1,a 1 ,q≠0,数列 ◆3.数列
⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n 的极限是_______; ⎭⎬⎫⎩⎨⎧--q q a n 1)1(1的极限是____; ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-n n n n 3232的极限是_______; 1 -1 q a -11
◆证明: ◆任给ε>0,由 证明 的极限为1 ε1
11111<+=+-=-+n n n n ,1ε
1->n 取 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11εN 则n>N 时,不等式 ε11
<-+n n 恒成立,所以 11
lim =+∞→n n n ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+1n n
证明: 证明 的极限为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-q 1a (1-q )1n -q
1a 1任给ε>0,由
εq q q q q a q q a n n n <-=--=----1111)1(11|q|n <ε|1-q| lg|q|n <lg ε|1-q|
nlg|q|<lg ε|1-q|
||lg |1|lg q q εn ->(∵|q|<1,lg|q|<0) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=||lg |1|εlg q q N 取故当n>N 时,不等式 ε11)1(11<----q a q q a n 恒成立,所以 q
a q q a n n -=--∞→11)1(lim 11
⎭⎬
⎫⎩⎨⎧+-n n n n 3232 证明 证明 的极限为 -1
εn n n n n n n n n n n n n n n n n <+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=+⨯=+++-=--+-1323223222323232)1(3232任给ε>0,由 εεn -<⎪⎭
⎫ ⎝⎛232)2lg(32lg εεn -<⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛->32lg ε2εlg n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32lg ε2εlg N 取
⎭⎬
⎫⎩⎨⎧+-n n n n 3232证明 的极限为 -1 ε)1(3
232<--+-n n n n 恒成立, 所以数列 ⎭⎬
⎫⎩⎨⎧+-n n n n 3232的极限是-1.
则当n>N 时,不等式
对《数列极限》我们要把握“序号无限增大，数列的项无限接近一个常数”的含义，正确理解它的定义；掌握应用数列极限定义证明数列极限的方法，记住三个基本数列的极限，能应用它们求比较简单的数列的极限。

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