随机过程复习题及答案1

kh da
w.
co
m
2-69(P99)
2-70(P99)设 X [ n] 为独立同分布随机变量序列，定义离散时间随机过程
M [n] =
试求 M [ n] 的均值、方差和协方差。
课 后
X [1] + X [2] + ... + X [n] n
答
案
网
ww w.
kh da
w.
co
m
2-71(P100)
P{ X < Y } = ∫ P{ X − Y } = ∫
0 ∞
∫ ∫
0
2e − x e − 2 y dxdy =
y +10
0
0
课 后
P{ X 2 < Y } = ∫
∞
0
∫
0
2 2e − x e −2 y dxdy = 1 − e −10 3 1 y π 8 2 2e − x e − 2 y dxdy = 2 + e ( 2crf ( ) − 2 ) 4 4
2.5(P93) 已知集合S={1，2，3，4，5}，试给出三个定义于集合S上的Borel集。 解：根据Borel集的定义，可以在S上定义如下Borel集：
_
B1 = {∅ , S} B2 = {∅ , S, {1}, {2, 3, 4, 5}}_ B3 = {S的所有子集}
其中集合B3一共有32个元素，包括空集和全集。 2.17(P94) 某实验室从A B C三个芯片制造商处购得某芯片，数量比为1：2：2.已知ABC三个芯 片制造商的芯片次品率分别为0.001，0.005和0.01。若该实验室随机使用的某芯片是次品，向该 次品芯片购自制造商Z或C的概率分别是多少？ 解：用符号D表示芯片为次品这个事件，ABC分别表示芯片购自ABC三个芯片制造商，由Bayes 共识知道
答
⎧2 Ax, 0 ≤ x ≤ 1 f X ( x) = FX ' ( x) = ⎨ ⎩ 0, else
案
网
ww w.
kh da
又由题意知道， P(A) = 1/5, P(B) = 2/5, P(C) = 2/5 P(D|A) = 0.001, P(D|B) = 0.005, P(D|C) = 0.01 代入上式计算得到 P(A|D) = 1/31 同样道理，可以得到
ww w.
⎧ 1 x e ,x≤0 ⎪ x 1 ⎪ 2 −|t | FX ( x) = ∫ e dt = ⎨ −∞ 2 ⎪1 − 1 e − x , x > 0 ⎪ ⎩ 2
kh da
1 −x 1 e dx = (1 − e −1 ) 2 2
w.
co
2A=1 A=0.5
m
∫
∞
−∞
f X ( x) dx = 1 知道， 得到
bye
解：1）由概率分布函数和概率密度之间的关系知道
x y FXY ( x, y ) = ∫ − ∞ ∫ −∞ f (u , v ) dudv
=
{
课 后
x y ∫0 ∫ 0 f ( u ,v ) dudv , x > 0 , y > 0 0 ,其他
2 − bv 2 bve 2
− av ⎧ ⎪ ∫ 0x ∫ 0y aue 2 = ⎨ 0,其他 ⎪ ⎩ − ax ⎧ ⎪ (1−e 2 = ⎨ 0,其他 ⎪ ⎩ 2
和相关系数 ρ X Y
网
解：1）
答
1 = ∫ 2 f XY ( x, y)dxdy = ∫
案
π 2
课 后
π = A∫ − cos( x + y) dy = A∫ cos y − cos( + y)dy 0 0 2
= A∫ cos y + sin ydy = A[sin y − cos y] = A[1 − (−1)] 0 1 A= 2
② P{min( X , Y , Z ) > 2} ； ③ P{max( X , Y , Z ) < 6} ；
④随机变量 U = max( X , Y , Z ) 和 V = min( X , Y , Z ) 的概率密度函数。 解：1）由随机变量的独立性知道
3）类似于 2）有
4）先计算概率分布函数
课 后
2.27（P95）设N是样本空间为S={0，1，2….}的几何分布的随机变量，试求： 1）P{N>k};2)N的概率分布函数；3）N为偶数的概率 几何分布是指在事件某一次发生之前， 该事件不发生的次数。 每个事件都是一个单独的伯努 力实验。 解：1）
课 后
因为
∫
−∞
f x ( x) dx = 1 ，所以A=1
_ _
w.
co
P( A / D) =
P( D / A) P( A) P P( D / A) P( A) + P( D / B) P( B) + P( D / C ) P(C )
m
2）
∞
3） P { N = 2k } =
∑ p(1 − p)
k =0
2k
=
1 2− p
2.30(P95) 设随机变量X的概率密度函数为
2
w.
co
m
当 0 < x < 1 且 0 < y < 1 时，
所以
2-41 随机向量（X，Y）的联合概率密度函数为
f XY ( x, y ) = 2e − x e −2 y
试求：1） P{ X + Y ≤ 8} =
x > 0, y > 0
∫∫
8 8− x
0 0
2e − x e − 2 y dxdy = (1 − e −8 ) 2 1 3
2 −|t1 −t2 |
课 后
答
案
网
ww w.
kh da
， 试求 X (t ) 和
X (t + s ) 的联合概率密度函数。
解：由 C X (t1 , t2 ) = σ e 分别代入下面公式
2 −|t1 − t2 |
得
ρ x (t1 , t2 ) = e −|t1 −t2 |
mx = 0
w.
σ =σ =σ 1 2
答
案
2）由随机变量的独立性知道
网
ww w.
kh da
w.
co
m
2 ( x + y + z) f XYZ ( x, y, z ) 3 x+ y+z = = f Z ( z | x, y ) = 2 1 3 f XY ( x, y ) ( x + y) + x+ y+ 3 2 4
2.44 已知二维 Gauss 随机向量的联合概率密度函数为
解：X(t)是宽平稳过程，则不妨设 mX = ρ , RX (t1,t2)=E{ X(t1) X(t2)}= RX (t2﹣t1),那么
课 后
RY (t1,t2)=E{Y(t1)Y(t2)}=E{[X(t1)﹣aX(t1+s)][ X(t2)﹣aX(t2+s)]}
=E{ X(t1)X(t2) ﹣ aX(t1)X(t2+s)-aX(t1+s)X(t2)+ a X(t1+s)X(t2+s)}
co
m
−m1)2 − 2ρ ( x1−m1)( x2−m2) + ( x2−m2)2]} 1 exp{− 1 [( x1 f ( x , x ;t ,t ) = σ σ1 σ2 σ2 X 1 2 1 2 2πσ σ 1−ρ 2 2 1 2(1−ρ ) 1 2
2-68(P99)
课 后
答
案
网
ww w.
P{| X − Y |< 1} = 1 − ∫ [ ∫
1
∞
X −1
0
axe
− ax 2 2
dx]bye
− ∫ [∫
0
∞
∞
X +1
axe
dx]bye
∞
dy = 暂略
0
2-40 二维随机向量（X，Y）的概率函数为
试求：1）k；2） （X，Y）的联合概率分布函数；3）X 和 Y 的边界概率密度函数。
解：1）由
答
案
网
∞
y
ww w.
kh da
1 + x,0 < x < 1 2 3）积分可得： 1 f Y ( y ) = + y,0 < y < 1 2
w.
f X ( x) =
co
m
2-42 设随机向量（X，Y，Z）的联合概率密度函数为
f XYZ ( x, y, z ) = k ( x + y + z ),0 ≤ x, y, z ≤ 1
证明:由 X 和 Y 的对称性知道,只要对随机变量 X 证明结论即可,对 Y 则类似可得. 由概率密度函数的相容性原理知道
课 后
答
案
网
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kh da
w.
Байду номын сангаасco
m
f XY ( x, y) = A sin( x + y),0 ≤ x ≤
π π ,0 ≤ y ≤ 2 2
2 2 求：1）系数 A；2）均值 m X , mY ；3）方差 σ X ；4）协相关矩 C XY ,σ Y
π 2 π 2 0
R π 2
0
∫
0
π 2 0
ww w.
π 2 π 2
A sin( x + y)dxdy
kh da
2.49 设随机向量(X,Y)的概率密度函数为
w.
(2.45,2-46)没有解答。