人教A版数学必修四章末质量评估(第1章)试卷及解析
最新精编高中人教A版必修四高中数学第一章章末检测和答案
第一章章末检测班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列命题中正确的是( ) A ．终边相同的角一定相等 B ．锐角都是第一象限角 C ．第一象限角都是锐角 D ．小于90°的角都是锐角 答案：B2．已知sin(2π－α)＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则sin α＋cos αsin α－cos α等于( )A.17 B ．－17 C ．－7 D ．7 答案：A解析：∵sin(2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝45，∴sin α＝－45.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴cos α＝1－sin 2α＝35.∴sin α＋cos αsin α－cos α＝－45＋35－45－35＝－15－75＝17. 3．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( )A.2π3B.11π6C.5π6D.3π4 答案：B解析：∵sin α＝－12＝－12，且α的终边在第四象限，∴α＝116π.4．若函数y ＝2cos ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上递减，且有最小值1，则ω的值可以是( )A ．2 B.12C ．3 D.13答案：B解析：由y ＝2cos ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上是递减的，且有最小值为1，则有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝1，即2×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω×2π3＝1，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3ω＝12，检验各选项，得出B 项符合．5．sin(－1740°)的值是( ) A ．－32 B ．－12C.12D.32 答案：D解析：sin(－1740°)＝sin60°＝32.6．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3答案：B解析：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即此时函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.7．下列函数中，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数的偶函数是( )A ．y ＝|sin x |B ．y ＝|sin2x |C ．y ＝|cos x |D ．y ＝tan x 答案：A解析：作图比较可知．8．要得到函数y ＝cos(3x ＋2)的图象，只要将函数y ＝cos3x 的图象( ) A ．向左平移2个单位 B ．向右平移2个单位 C ．向左平移23个单位D ．向右平移23个单位答案：C解析：∵y ＝cos(3x ＋2)＝cos3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23，∴只要将函数y ＝cos3x 的图象向左平移23个单位即可．9．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为( ) A ．－12 B.32C ．－32 D.12答案：B解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.10．若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ax ＋π4(a >0)的最小正周期为1，且g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ax xg x －x，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫56等于( )A ．－12 B.12C ．－32 D.32答案：C解析：由条件得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋π4，又函数的最小正周期为1，故2πa ＝1，∴a ＝2π，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32.11．已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2] 答案：A解析：因为ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，所以ωπ2＋π4≤ωx＋π4≤ωπ＋π4，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54，故选A.12．下图为一半径为3m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮自点A 开始旋转，15s 旋转一圈．水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足函数关系式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有()A ．ω＝2π15，A ＝3B ．ω＝152π，A ＝3C ．ω＝2π15，A ＝5D ．ω＝152π，A ＝5答案：A解析：∵T ＝15，故ω＝2πT ＝2π15，显然y max －y min 的值等于圆O 的直径长，即y max －y min ＝6，故A ＝y max －y min 2＝62＝3. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________.答案：m解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝m .14．已知f (x )的定义域为(0,1]，则f (sin x )的定义域是________． 答案：(2k π，2k π＋π)，k ∈Z解析：由0<sin x ≤1得2k π<x <2k π＋π(k ∈Z )． 15．函数y ＝sin x ＋cos x －12的定义域为________．答案：{x |2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z }．解析：由题意知⎩⎨⎧sin x ≥0cos x －12≥0，即⎩⎨⎧sin x ≥0cos x ≥12，如图，结合三角函数线知：⎩⎨⎧2k π≤x ≤2k π＋πk ∈Z 2k π－π3≤x ≤2k π＋π3k ∈Z，解得2k π≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，∴函数的定义域为{x |2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z }．16．关于函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )有下列命题，其中正确的是________．①y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6；②y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；③y ＝f (x )的最小正周期为2π；④y ＝f (x )的图象的一条对称轴为x ＝－π6.答案：①②解析：4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，故①②正确，③④错误．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αα＋·α－－α的值．解：(1)∵|OP |＝1，∴点P 在单位圆上．由正弦函数的定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α.由余弦函数的定义得cos α＝45，故所求式子的值为54.18．(12分)已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－2 2ax ＋a ＝0的两个根．(1)求实数a 的值；(2)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，求sin θ－cos θ的值．解：(1)∵(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1， 又∵⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝2 2a ，sin θ·cos θ＝a ，∴a ＝12或a ＝－14，经检验Δ≥0都成立，∴a ＝12或a ＝－14.(2)∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴a <0，∴a ＝－14且sin θ－cos θ<0，∴sin θ－cos θ＝－62.19．(12分)若函数f (x )＝a －b cos x 的最大值为52，最小值为－12，求函数g (x )＝－4a sin bx 的最值和最小正周期．解：当b ＞0时，⎩⎨⎧a ＋b ＝52a －b ＝－12⇒⎩⎨⎧a ＝1，b ＝32，g (x )＝－4sin 32x .最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π3.当b ＜0时，⎩⎨⎧a －b ＝52a ＋b ＝－12⇒⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－32，g (x )＝－4sin(－32x )＝4sin 32x .最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π3.b ＝0时不符合题意．综上所述，函数g (x )的最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π3.20．(12分)如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s (cm)和时间t (s)的函数关系是s ＝A sin(ω t ＋φ)，0<φ<π2，根据图象，求：(1)函数解析式；(2)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？ (3)单摆来回摆动一次需要多长时间？解：(1)由图象知，34T ＝1112－16＝34，所以T ＝1.所以ω＝2πT ＝2π.又因为当t ＝16时取得最大值，所以令2π·16＋φ＝π2＋2k π，∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. 所以φ＝π6.又因为当t ＝0时，s ＝3，所以3＝A sin π6，所以A ＝6，所以函数解析式为s ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6.(2)因为A ＝6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6cm. (3)因为T ＝1，所以单摆来回摆动一次需要 1s.21．(12分)设函数f (x )＝3sin(ωx ＋π6)，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期．(1)求f (0)； (2)求f (x )的解析式；(3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝95，求sin α的值．解：(1)f (0)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ω×0＋π6＝3sin π6＝32.(2)∵T ＝2πω＝π2，∴ω＝4，所以f (x )的解析式为：f (x )＝3sin(4x ＋π6)．(3)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝95得3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＋π6＝95，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝35，∴cos α＝35，∴sin α＝±1－cos 2α＝±1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝±45.22．(12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2时，方程f (x )＝k 恰有两个不同的实数根，求实数k 的取值范围；(3)将函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向右平移m (m >0)个单位后所得函数g (x )的图象关于原点中心对称，求m 的最小值．解：(1)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，故函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )；(2)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上为减函数又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＝－2cos π4＝－1，∴当k ∈[0，2)时方程f (x )＝k 恰有两个不同实根． (3)∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋3π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8∴g (x )＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8－m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π－2m由题意得π4－2m＝2kπ，∴m＝－kπ＋π8，k∈Z当k＝0时，m＝π8，此时g(x)＝2sin2x关于原点中心对称．。
人教A版数学必修四习题：第一章三角函数单元质量评估含答案
单元质量评估(120 分钟150 分)一、选择题 ( 本大题共 12 小题 , 每题 5 分, 共 60 分, 在每题给出的四个选项中 , 只有一项为哪一项切合题目要求的 )1.扇形的周长是 4, 面积为 1, 则该扇形的圆心角的弧度数是( C )A. B.1 C.2 D.42. 若 120°角的终边上有一点 (-4,a),则 a 的值为( C )A.-4B. ±4C.4D.23. 以下三角函数值的符号判断正确的选项是( C )A.sin 156°<0B.cos>0C.tan<0D.tan556°<04.sin 300°+tan 600°的值等于 ( B )A.-B.C.- +D.+5. 已知函数 f(x)=3sin x-4cos x(x∈R)的一个对称中心是(x0,0),则tan x 0的值为 ( D )A.-B.C.-D.6.以下函数中 , 最小正周期为π, 且图象对于直线 x= 对称的是( B )A.y=sinB.y=sinC.y=cosD.y=cos7.函数 f(x)=Asinx(A>0) 的图象如下图 ,P,Q 分别为图象的最高点和最低点 ,O 为坐标原点 , 若 OP⊥OQ,则 A= ( B )A.3B.C.D.18.函数 y=sin的图象可由函数y=cos x的图象起码向右平移m(m>0)个单位长度获得 , 则 m= ( A )A.1B.C.D.9. 函数 f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如下图,则ω,φ的值分别是( B )A.2,-B.2,-C.4,D.4,10. 函数 y=cos2x+sin x-1的值域为( C )A. B.C. D.[-2,0]11. 已知函数 f(x)=tanωx在内是减函数,则实数ω 的取值范围是( B )A.(0,1]B.[-1,0)C.[-2,0)D.12. 已知函数 f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点, x= 为 y=f(x) 图象的对称轴 , 且 f(x) 在单一,则ω 的最大值为( B )A.11B.9C.7D.5二、填空题 ( 本大题共 4 小题 , 每题 5 分, 共 20 分, 将答案填在题中的横线上 )13. 若 2sinα-cosα=0,则=- .14. 函数 f(x)= sin+cos的最大值为.15. 设函数 f(x)=cos x, 先将 f(x) 纵坐标不变 , 横坐标变成本来的 2 倍,再将图象向右平移个单位长度后得g(x), 则函数 g(x) 到原点距离最近的对称中心为.16.给出以下命题 :①存在实数 x, 使 sin x+cos x=;②函数 y=sin是偶函数;③若α, β是第一象限角 , 且α>β, 则 cos α<cos β;④函数 y=sin 2x 的图象向左平移个单位,获得函数y=sin的图象 .此中结论正确的序号是②.( 把正确的序号都填上 )三、解答题 ( 本大题共 6 小题 , 共 70 分. 解答时应写出文字说明 , 证明过程或演算步骤 )17.( 本小题满分 10 分) 已知 tan α+= , 求2sin 2(3 π- α)-3cos·sin+2 的值 .【分析】由于 tanα+= ,因此 2tan 2α-5tanα+2=0.解得 tanα=或tanα=2.2sin 2 (3 π- α)-3cos sin+2=2sin 2α-3sin αcos α+2=+2 =+2.当 tanα=时,原式=+2=- +2= ;当 tan α=2 时,原式 =+2= +2=.18.( 本小题满分 12 分) 已知f( α)=.(1) 化简 f( α).(2) 当α=-时,求f(α)的值.【分析】 (1)f( α)===-cosα.(2) 当α=-时,f(α)=-cos=-cos =- .19.( 本小题满分 12 分)(1) 已知 x 是第三象限的角 , 化简三角式-.(2) 已知 tan θ=(0<a<1). 求证 :+=-2.【分析】 (1) 由于 x 是第三象限的角 ,因此-=-=-=-=-2tan x.(2) 由于 tanθ=,因此==-1, 因此 a=cos 2θ,因此+=====-2, 故原式建立 .20.( 本小题满分 12 分) 已知函数f(x)=Asin( ωx+φ)的部分图象如下图.(1)求 f(x) 的分析式 .(2)求 f(x) 在上的最大、最小值及相应的x的值.【分析】 (1) 由图象可知 ,A=2.由于周期 T== π,因此= π,ω>0, 解得ω =2.因此 f(x)=2sin(2x+φ).代入点,得 sin=1,因此+ φ= +2k π,k ∈Z, 即φ=-+2k π,k ∈Z.又| φ|< ,因此φ=- .因此 f(x)=2sin.(2) 由于 x ∈,因此 2x-∈.因此当 2x- = ,即 x=时,f(x)max=2;当 2x- =-或,即 x=0 或时,f(x)min=-.21.( 本小题满分 12 分) 平潭国际“花式风筝冲浪”集训队 , 在平潭龙凤头海滨浴场进行集训, 海滨地区的某个观察点观察到该处水深y( 米) 跟着一天的时间 t(0 ≤t ≤24, 单位 : 时) 呈周期性变化 , 某天各时辰 t 的水深数据的近似值如表 :t( 时)036912 15 18 21 24y( 米) 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.61.5(1)依据表中近似数据画出散点图 . 察看散点图 , 从①y=Asin( ωt+ φ), ②y=Acos(ωt+ φ)+b, ③y=-Asinωt+b(A>0, ω>0, - π<φ<0)中选择一个适合的函数模型, 并求出该拟合模型的函数分析式 .(2)为保证队员安全 , 规定在一天中的 5～18 时且水深不低于 1.05 米的时候进行训练 , 依据 (1) 中的选择的函数分析式 , 试问 : 这天能够安排什么时间段组织训练 , 才能保证集训队员的安全 .【分析】 (1) 依据表中近似数据画出散点图,如下图 :依题意 ,选② y=Acos(ωt+φ)+b做为函数模型,因此 A==0.9,b==1.5.由于 T==12, 因此ω= .因此 y=0.9cos+1.5.又由于函数 y=0.9cos+1.5 的图象过点,因此2.4=0.9 ×cos+1.5.因此 cos=1.因此 sinφ=-1.又由于-π<φ<0,因此φ=-.因此 y=0.9cos+1.5=0.9sin t+1.5.(2) 由(1) 知,y=0.9sin t+1.5.令 y ≥1.05, 即 0.9sin t+1.5 ≥1.05.因此 sin t ≥- .因此 2k π-≤ t≤2kπ+(k ∈Z).因此 12k-1 ≤t ≤12k+7(k∈Z).又由于 5 ≤t ≤18, 因此 5 ≤t ≤7 或 11 ≤t ≤18.因此这天能够安排清晨 5 点至 7 点以及 11 点至 18 点的时间段组织训练 ,才能保证集训队员的安全 .22.( 本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如下图 .(1)求函数 f(x) 的分析式 , 并求出 f(x) 的单一递加区间 .(2) 将函数 f(x) 的图象上各个点的横坐标扩大到本来的 2 倍, 再将图象向右平移个单位,获得g(x)的图象,若存在x∈使得等式3g(x)+1=2[a+g 2(x)] 建立 , 务实数 a 的取值范围 .【分析】(1) 设函数 f(x) 的周期为 T,由图象可知=- =.因此 T= π,即= π,又ω>0, 解得ω =2.因此 f(x)=sin(2x+φ).由于点在函数 f(x) 的图象上 ,因此 sin=1, 即+ φ=+2k π,k ∈Z,解得φ=+2k π,k ∈Z.又由于 | φ|< ,因此φ= .因此 f(x)=sin.令- +2k π≤2x+≤ +2kπ(k∈Z),解得 -+k π≤x ≤ +k π(k ∈Z),因此 f(x) 的单一递加区间为(k ∈Z).-11-(2) 经过图象变换 ,获得函数 g(x)=f=sin x.于是问题即为“存在x ∈,使得等式 3sin x+1=2(a+sin2x)成立” .即 2a=-2sin 2 x+3sin x+1在x∈上有解.令 t=sin x∈[0,1],则2a=-2t 2 +3t+1在t∈[0,1]上有解,由于 -2t 2 +3t+1=-2+∈,因此 2a ∈,即实数 a 的取值范围为.封闭 Word 文档返回原板块-12-。
新人教A版高中数学必修四下学期期末质量检测试卷(含答案)
下期教学质量调研测试高一数学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间100分钟注意：第I 卷的答案必须填在第Ⅱ卷的相应位置，否则不给分。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．225和135的最大公约数是A ．5B ．15C ．45D ．652．在某次商品促销活动中，某人可得到4件不同的奖品，这些奖品要从40件不同的奖品中随机抽取决定，用系统抽样的方法确定这个人所得到的4件奖品的编号，有可能的是 A ．3，9，15，11 B ．3，12，21，40 C ．8，20，32，40 D ．2，12，22，32 3．三位五进制数表示的最大十进制数是A ．120B ．124C ．144D ．224 4．要得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需将sin 2y x =的图像A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位5．在一次实验中，测得（,x y ）的四组值为（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），则y 与x 之间的回归直线方程为A ．ˆ1yx =+ B ．ˆ2y x =+ C ．ˆ21y x =+ D ．ˆ1y x =- 6．函数()sin 2sin(2)sin(2)33f x x x x ππ=+++-的最小正周期为A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 7．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待的时间不多于15分钟的概率为 A ．13 B ．14C ．15D ．16 8．下列各组向量中，可以作为基底的是A ．12(0,0),(1,2)e e ==-B ．12(3,5),(6,10)e e ==C ．12(1,2),(5,7)e e =-=D ．1213(2,3),(,)24e e =-=-9．如图，函数sin()(0,0)y A wx A ϕϕπ=+><<的图象 经过点(,0)6π-、7(,0)6π，且该函数的最大值为2，最 小值为2-，则该函数的解析式为A ．2sin()26x y π=+B ．2sin()24x y π=+ C ．32sin()26x y π=+ D ．32sin()24x y π=+10．已知35sin ,cos(),513ααβ=--=且(,0)2πα∈-，(0,)2πβ∈则cos β的值为A ．1665 B ．5665 C ．1665- D ．5665- 11．若A 、B 、C 是锐角ABC ∆的三内角，P (1sin ,1cos ).(1sin ,1cos )A A q B B =++=+--， 则p 与q 的夹角是A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定12．设函数2,(0)()4sin ,(0)x x f x x x π⎧≤=⎨<≤⎩，则集合{|(())0}x f f x =中元素的个数有A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个HB 下期教学质量调研测试高一数学第Ⅱ卷（答题卷）（非选择题，共90分）二、填空题（本题4小题，每小题5分，共20分）13．如果一组数12345,,,,x x x x x 的平均数是2，则另一数12345,1,2,3,4x x x x x ++++的平均数是_______________。
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第一章章末检测班级____ 姓名____ 考号____ 分数____本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列命题中正确的是( )A ．终边相同的角一定相等B ．锐角都是第一象限角C ．第一象限角都是锐角D ．小于90°的角都是锐角答案：B2．已知sin(2π－α)＝45，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α＋cos αsin α－cos α等于( ) A.17 B ．－17C ．－7D ．7答案：A解析：∵sin(2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝45， ∴sin α＝－45. ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴cos α＝1－sin 2α＝35. ∴sin α＋cos αsin α－cos α＝－45＋35－45－35＝－15－75＝17. 3．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( )A.2π3B.11π6C.5π6D.3π4答案：B解析：∵sin α＝－12＝－12，且α的终边在第四象限，∴α＝116π. 4．若函数y ＝2cos ωx 在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上递减，且有最小值1，则ω的值可以是( )A ．2 B.12C ．3 D.13答案：B解析：由y ＝2cos ωx 在⎣⎡⎦⎤0，2π3上是递减的，且有最小值为1，则有f ⎝⎛⎭⎫2π3＝1，即2×cos ⎝⎛⎭⎫ω×2π3＝1，cos ⎝⎛⎭⎫2π3ω＝12，检验各选项，得出B 项符合． 5．sin(－1740°)的值是( )A ．－32B ．－12C.12D.32 答案：D解析：sin(－1740°)＝sin60°＝32. 6．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，32 B.⎣⎡⎦⎤－32，3 C.⎣⎡⎦⎤－332，332 D.⎣⎡⎦⎤－332，3 答案：B解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3，即此时函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－32，3. 7．下列函数中，在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数的偶函数是( ) A ．y ＝|sin x | B ．y ＝|sin2x |C ．y ＝|cos x |D ．y ＝tan x答案：A解析：作图比较可知．8．要得到函数y ＝cos(3x ＋2)的图象，只要将函数y ＝cos3x 的图象( )A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移23个单位 D ．向右平移23个单位 答案：C解析：∵y ＝cos(3x ＋2)＝cos3⎝⎛⎭⎫x ＋23， ∴只要将函数y ＝cos3x 的图象向左平移23个单位即可． 9．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫5π3的值为( ) A ．－12 B.32C ．－32 D.12答案：B解析：f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. 10．若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ax ＋π4(a >0)的最小正周期为1，且g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ax (x <0)g (x －1)(x ≥0)，则g ⎝⎛⎭⎫56等于( )A ．－12 B.12C ．－32 D.32答案：C解析：由条件得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ax ＋π4，又函数的最小正周期为1，故2πa＝1，∴a ＝2π， ∴g ⎝⎛⎭⎫56＝g ⎝⎛⎭⎫－16＝sin ⎝⎛⎭⎫－a 6＝ sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32. 11．已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2] 答案：A解析：因为ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，所以ωπ2＋π4≤ωx ＋π4≤ωπ＋π4，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54，故选A. 12．下图为一半径为3m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮自点A 开始旋转，15s 旋转一圈．水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足函数关系式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A ．ω＝2π15，A ＝3B ．ω＝152π，A ＝3 C ．ω＝2π15，A ＝5 D ．ω＝152π，A ＝5 答案：A解析：∵T ＝15，故ω＝2πT ＝2π15，显然y max －y min 的值等于圆O 的直径长，即y max －y min ＝6，故A ＝y max －y min 2＝62＝3. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝m ，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________. 答案：m解析：cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝m . 14．已知f (x )的定义域为(0,1]，则f (sin x )的定义域是________．答案：(2k π，2k π＋π)，k ∈Z解析：由0<sin x ≤1得2k π<x <2k π＋π(k ∈Z )．15．函数y ＝sin x ＋cos x －12的定义域为________． 答案：{x |2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z }．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0cos x ≥12， 如图，结合三角函数线知：⎩⎪⎨⎪⎧ 2k π≤x ≤2k π＋π (k ∈Z )2k π－π3≤x ≤2k π＋π3 (k ∈Z )，解得2k π≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )， ∴函数的定义域为{x |2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z }． 16．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )有下列命题，其中正确的是________． ①y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ②y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ③y ＝f (x )的最小正周期为2π；④y ＝f (x )的图象的一条对称轴为x ＝－π6. 答案：①②解析：4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，故①②正确，③④错误． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫45，－35. (1)求sin α的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (α＋π)·tan (α－π)cos (3π－α)的值． 解：(1)∵|OP |＝1，∴点P 在单位圆上．由正弦函数的定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α. 由余弦函数的定义得cos α＝45，故所求式子的值为54. 18．(12分)已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－2 2ax ＋a ＝0的两个根．(1)求实数a 的值；(2)若θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求sin θ－cos θ的值． 解：(1)∵(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1， 又∵⎩⎨⎧ sin θ＋cos θ＝2 2a ，sin θ·cos θ＝a ， ∴a ＝12或a ＝－14，经检验Δ≥0都成立， ∴a ＝12或a ＝－14. (2)∵θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴a <0， ∴a ＝－14且sin θ－cos θ<0， ∴sin θ－cos θ＝－62. 19．(12分)若函数f (x )＝a －b cos x 的最大值为52，最小值为－12，求函数g (x )＝－4a sin bx 的最值和最小正周期．解：当b ＞0时，⎩⎨⎧ a ＋b ＝52a －b ＝－12⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝32， g (x )＝－4sin 32x . 最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π3. 当b ＜0时，⎩⎨⎧ a －b ＝52a ＋b ＝－12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－32， g (x )＝－4sin(－32x )＝4sin 32x . 最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π3. b ＝0时不符合题意．综上所述，函数g (x )的最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π3. 20．(12分)如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s (cm)和时间t (s)的函数关系是s ＝A sin(ω t ＋φ)，0<φ<π2，根据图象，求：(1)函数解析式；(2)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？(3)单摆来回摆动一次需要多长时间？解：(1)由图象知，34T ＝1112－16＝34，所以T ＝1.所以ω＝2πT＝2π. 又因为当t ＝16时取得最大值，所以令2π·16＋φ＝π2＋2k π， ∵φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 所以φ＝π6.又因为当t ＝0时，s ＝3， 所以3＝A sin π6，所以A ＝6，所以函数解析式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫2πt ＋π6. (2)因为A ＝6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6cm.(3)因为T ＝1，所以单摆来回摆动一次需要 1s.21．(12分)设函数f (x )＝3sin(ωx ＋π6)，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期． (1)求f (0)；(2)求f (x )的解析式；(3)已知f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝95，求sin α的值．解：(1)f (0)＝3sin ⎝⎛⎭⎫ω×0＋π6＝3sin π6＝32. (2)∵T ＝2πω＝π2，∴ω＝4，所以f (x )的解析式为：f (x )＝3sin(4x ＋π6)． (3)由f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝95得3sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫α4＋π12＋π6＝95，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝35，∴cos α＝35， ∴sin α＝±1－cos 2α＝± 1－⎝⎛⎭⎫352＝±45. 22．(12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π8，π2时，方程f (x )＝k 恰有两个不同的实数根，求实数k 的取值范围； (3)将函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移m (m >0)个单位后所得函数g (x )的图象关于原点中心对称，求m 的最小值．解：(1)因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π， 由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，故函数f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )； (2)因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π8，π2上为减函数 又f ⎝⎛⎭⎫－π8＝0，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝2cos ⎝⎛⎭⎫π－π4＝－2cos π4＝－1， ∴当k ∈[0，2)时方程f (x )＝k 恰有两个不同实根．(3)∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋3π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝2sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π8 ∴g (x )＝2sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π8－m ＝ 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2m 由题意得π4－2m ＝2k π，∴m ＝－k π＋π8，k ∈Zπ当k＝0时，m＝8，此时g(x)＝2sin2x关于原点中心对称．。
人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷含答案解析(18)
人教A 版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 下面关于函数 f (x )=log 12x ，g (x )=(12)x和 ℎ(x )=x −12 在区间 (0,+∞) 上的说法正确的是( ) A ． f (x ) 的递减速度越来越慢，g (x ) 的递减速度越来越快，ℎ(x ) 的递减速度越来越慢 B ． f (x ) 的递减速度越来越快，g (x ) 的递减速度越来越慢，ℎ(x ) 的递减速度越来越快 C ． f (x ) 的递减速度越来越慢，g (x ) 的递减速度越来越慢，ℎ(x ) 的递减速度越来越慢 D ． f (x ) 的递减速度越来越快，g (x ) 的递减速度越来越快，ℎ(x ) 的递减速度越来越快2. 甲用 1000 元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票卖给乙，获利 10%，而后乙又将这手股票卖给甲，但乙损失了 10%，最后甲又按乙卖给甲的价格的九成将这手股票卖给了乙．在上述股票交易中 ( ) A ．甲刚好盈亏平衡 B ．甲盈利 9 元 C ．甲盈利 1 元D ．甲亏本 1.1 元3. 若 a =0.32，b =log 20.3，c =20.3，则 a ，b ，c 三者的大小关系是 ( ) A ． b <c <a B ． b <a <c C ． a <c <b D ． a <b <c4. 已知当 x ∈[0,1] 时，函数 y =(mx −1)2 的图象与 y =√x +m 的图象有且只有一个交点，则正实数 m 的取值范围是 ( ) A ． (0,1]∪[2√3,+∞) B ． (0,1]∪[3,+∞) C ． (0,√2]∪[2√3,+∞) D ． (0,√2]∪[3,+∞)5. 已知函数 f (x )={15x +1,x ≤1lnx,x >1，则方程 f (x )=kx 恰有两个不同的实根时，实数 k 的取值范围是 ( ) A ． (0,1e )B ． (0,15)C ． [15,1e )D ． [15,1e ]6. 若函数 f (x )=2x +a 2x −2a 的零点在区间 (0,1) 上，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (−∞,12)B ． (−∞,1)C ． (12,+∞)D ． (1,+∞)7. 已知定义在 R 上的函数 f (x )={x 2+2,x ∈[0,1)2−x 2,x ∈[−1,0)，且 f (x +2)=f (x )．若方程 f (x )−kx −2=0 有三个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是 ( )A ． (13,1)B ． (−13,−14)C ． (−1,−13)∪(13,1)D ． (−13,−14)∪(14,13)8. 定义域为 R 的偶函数 f (x )，满足对任意的 x ∈R 有 f (x +2)=f (x )，且当 x ∈[2,3] 时，f (x )=−2x 2+12x −18，若函数 y =f (x )−log a (∣x∣+1) 在 R 上至少有六个零点，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (0,√33) B ． (0,√77) C ． (√55,√33)D ． (0,13)9. 方程 log 3x +x =3 的解所在的区间是 ( ) A ． (0,1) B ． (1,2) C ． (2,3) D ． (3,+∞)10. 函数 f (x )=√1−x 2lg∣x∣的图象大致为 ( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（共6题）11. 已知函数 f (x )={√4−x 2,x ∈(−2,2]1−∣x −3∣,x ∈(2,4]，满足 f (x −3)=f (x +3)，若在区间 [−4,4] 内关于x 的方程 3f (x )=k (x −5) 恰有 4 个不同的实数解，则实数 k 的取值范围是 ．12. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2+(2m −1)x +m 2=0 有两个实数根 x 1 和 x 2，当 x 12−x 22=0时，m 的值为 ．13. 已知 A ={x∣ 3x <1}，B ={x∣ y =lg (x +1)}，则 A ∪B = ．14. 已知函数 f (x )={x 2+4x −1,x ≤02x −3−k,x >0，若方程 f (x )−k ∣x −1∣=0 有且只有 2 个不相等的实数解，则实数 k 的取值范围是 ．15. 设函数 f (x )={−4x 2,x <0x 2−x,x ≥0，若 f (a )=−14，则 a = ，若方程 f (x )−b =0 有三个不同的实根，则实数 b 的取值范围是 ．16. 设函数 f (x )={e x ,x ≤0−x 2+x +14,x >0，则 f [f (0)]= ，若方程 f (x )=b 有且仅有 3 个不同的实数根，则实数 b 的取值范围是 ．三、解答题（共6题）17. 如图，直角边长为 2 cm 的等腰直角三角形 ABC ，以 2 cm/s 的速度沿直线向右运动．(1) 求该三角形与矩形 CDEF 重合部分面积 y （cm 2）与时间 t 的函数关系（设 0≤t ≤3）． (2) 求出 y 的最大值．（写出解题过程）18. 已知函数 f (x )=a x +k 的图象过点 (1,3)，它的反函数的图象过点 (2,0)．(1) 求函数 f (x ) 的解析式； (2) 求 f (x ) 的反函数．19. 已知函数 g (x )=log a x ，其中 a >1．（注：∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1=∣m (x 1)−m (x 0)∣+∣m (x 2)−m (x 1)∣+⋯+∣m (x n )−m (x n−1)∣） (1) 当 x ∈[0,1] 时，g (a x +2)>1 恒成立，求 a 的取值范围；(2) 设 m (x ) 是定义在 [s,t ] 上的函数，在 (s,t ) 内任取 n −1 个数 x 1，x 2，⋯，x n−2，x n−1，且 x 1<x 2<⋯<x n−2<x n−1，令 x 0=s ，x n =t ，如果存在一个常数 M >0，使得 ∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1≤M 恒成立，则称函数 m (x ) 在区间 [s,t ] 上具有性质 P ． 试判断函数 f (x )=∣g (x )∣ 在区间 [1a ,a 2] 上是否具有性质 P ？若具有性质 P ，请求出 M的最小值；若不具有性质 P ，请说明理由．20. 已知函数 g (x )=ax 2−2ax +1+b (a ≠0,b <1)，在区间 [2,3] 上有最大值 4，最小值 1，设f (x )=g (x )x．(1) 求常数 a ，b 的值；(2) 方程 f (∣2x −1∣)+k (2∣2x −1∣−3)=0 有三个不同的解，求实数 k 的取值范围．21. 已知函数 f (x )=x 2−3mx +n 的两个零点分别为 1 和 2．(1) 求实数 m ，n 的值；(2) 若不等式 f (x )−k >0 在 x ∈[0,5] 上恒成立，求实数 k 的取值范围．22. 已知函数 f (x )=(12)ax，a 为常数，且函数的图象过点 (−1,2)．(1) 求 a 的值；(2) 若 g (x )=4−x −2，且 g (x )=f (x )，求满足条件的 x 的值．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】观察函数f(x)=log12x，g(x)=(12)x和ℎ(x)=x−12在区间(0,+∞)上的图象（图略），由图可知：函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1,+∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢．同样，函数g(x)的图象在区间(0,+∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢．函数ℎ(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1,+∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质2. 【答案】C【解析】由题意知甲两次付出为1000元和(1000×1110×910)元，两次收入为(1000×1110)元和(1000×1110×910×910)元，因为1000×1110+1000×1110×910×910−1000−1000×1110×910=1，所以甲盈利1元．【知识点】函数模型的综合应用3. 【答案】B【解析】因为0<a=0.32<0.30=1，b=log20.3<log21=0，c=20.3>20=1，所以b<a<c．【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质4. 【答案】B【解析】应用排除法．当m=√2时，画出y=(√2x−1)2与y=√x+√2的图象，由图可知，两函数的图象在[0,1]上无交点，排除C，D；当m=3时，画出y=(3x−1)2与y=√x+3的图象，由图可知，两函数的图象在[0,1]上恰有一个交点．【知识点】函数的零点分布5. 【答案】C【解析】因为方程f(x)=kx恰有两个不同实数根，所以y=f(x)与y=kx有2个交点，又因为k表示直线y=kx的斜率，x>1时，y=f(x)=lnx，所以yʹ=1x；设切点为(x0,y0)，则k=1x0，所以切线方程为y−y0=1x0(x−x0)，又切线过原点，所以y0=1，x0=e，k=1e，如图所示：结合图象，可得实数k的取值范围是[15,1e )．【知识点】函数零点的概念与意义6. 【答案】C【解析】因为f(x)单调递增，所以f(0)f(1)=(1−2a)(2+a2−2a)<0，解得a>12．【知识点】零点的存在性定理7. 【答案】C【知识点】函数的零点分布8. 【答案】A【解析】当x∈[2,3]时，f(x)=−2x2+12x−18=−2(x−3)2，图象为开口向下，顶点为(3,0)的抛物线．因为函数y=f(x)−log a(∣x∣+1)在(0,+∞)上至少有三个零点，令g(x)=log a(∣x∣+1)，因为f(x)≤0，所以g(x)≤0，可得0<a<1．要使函数y=f(x)−log a(∣x∣+1)在(0,+∞)上至少有三个零点，如图要求g(2)>f(2)．log a(2+1)>f(2)=−2⇒log a3>−2，可得3<1a2⇒−√33<a<√33，a>0，所以 0<a <√33．【知识点】函数的零点分布9. 【答案】C【解析】把方程的解转化为函数 f (x )=log 3x +x −3 对应的零点．令 f (x )=log 3x +x −3，因为 f (2)=log 32−1<0，f (3)=1>0，所以 f (2)f (3)<0，且函数 f (x ) 在定义域内是增函数，所以函数 f (x ) 只有一个零点，且零点 x 0∈(2,3)，即方程 log 3x +x =3 的解所在的区间为 (2,3)． 故选C ．【知识点】零点的存在性定理10. 【答案】B【解析】（1）由 {1−x 2≥0,∣x ∣≠0且∣x ∣≠1, 得 −1<x <0 或 0<x <1，所以 f (x ) 的定义域为 (−1,0)∪(0,1)，关于原点对称．又 f (x )=f (−x )，所以函数 f (x ) 是偶函数，图象关于 y 轴对称，排除A ； 当 0<x <1 时，lg ∣x ∣<0，f (x )<0，排除C ；当 x >0 且 x →0 时，f (x )→0，排除D ，只有B 项符合． 【知识点】对数函数及其性质、函数图象、函数的奇偶性二、填空题（共6题） 11. 【答案】 (−2√217,−38)∪{0}【知识点】函数的零点分布12. 【答案】 14【解析】由题意得 Δ=(2m −1)2−4m 2=0，解得 m ≤14． 由根与系数的关系，得 x 1+x 2=−(2m −1)，x 1x 2=m 2．由 x 12−x 22=0，得 (x 1+x 2)(x 1−x 2)=0． 若 x 1+x 2=0，即 −(2m −1)=0，解得 m =12． 因为 12>14，可知 m =12 不合题意，舍去；若 x 1−x 2=0，即 x 1=x 2，由 Δ=0，得 m =14．故当 x 12−x 22=0 时，m =14．【知识点】函数零点的概念与意义13. 【答案】 R【解析】由 3x <1，解得 x <0，即 A =(−∞,0)． 由 x +1>0，解得 x >−1，即 B =(−1,+∞)． 所以 A ∪B =R ．【知识点】对数函数及其性质、交、并、补集运算14. 【答案】 (−2,−32]∪(−1,2)【解析】当 x ≤0 时，f (x )−k ∣x −1∣=x 2+4x −1−k (1−x )=x 2+(4+k )x −k −1， 当 0<x <1 时，f (x )−k ∣x −1∣=2x −3−k −k (1−x )=(k +2)x −3−2k ，当 x ≥1 时，f (x )−k ∣x −1∣=2x −3−k −k (x −1)=(2−k )x −3，设 g (x )=f (x )−k ∣x −1∣，则 g (x )={x 2+(4+k )x −k −1,x ≤0(k +2)x −3−2k,0<x <1(2−k )x −3,x ≥1，f (x )−k ∣x −1∣=0 有且只有 2 个不相等的实数解等价于g (x ) 有且仅有 2 个零点， 若 g (x ) 一个零点位于 (0,1)，即 0<2k+3k+2<1⇒k ∈(−32,−1)，若 g (x ) 一个零点位于 [1,+∞)，即 {2−k >0,22−k≥1⇒k ∈[−1,2)，可知 g (x ) 在 (0,1)，[1,+∞) 内不可能同时存在零点，即当 k ∈(−32,2) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上有一个零点；当 k ∈(−∞,−32]∪[2,+∞) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， ① 当 g (x ) 在 (−∞,0] 上有且仅有一个零点时，（1）当 Δ=(4+k )2+4(k +1)=0 时，k =−2 或 k =−10， 此时 g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， 所以不满足 g (x ) 有两个零点；（2）当 Δ=(4+k )2+4(k +1)>0，即 k <−10 或 k >−2 时， 只需 g (0)=−k −1<0，即 k >−1，所以当 k >−1 时，g (x ) 在 (−∞,0] 上有且仅有一个零点， 因为 k ∈(−32,2) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上有一个零点， 所以 k ∈(−1,2) 时，g (x ) 有且仅有 2 个零点；② 当 g (x ) 在 (−∞,0] 上有两个零点时，只需 {Δ=(4+k )2+4(k +1)>0,−4+k 2<0,g (0)=−k −1≥0⇒k ∈(−2,−1]，因为 k ∈(−∞,−32]∪[2,+∞) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， 所以 k ∈(−2,−32] 时，g (x ) 有且仅有 2 个零点， 综上所述：k ∈(−2,−32]∪(−1,2)．【知识点】函数的零点分布15. 【答案】 −14或 12； (−14,0)【解析】若 −4a 2=−14，解得 a =−14； 若 a 2−a =−14，解得 a =12，故 a =−14或12；当 x <0 时，f (x )<0；当 x >0 时，f (x )=(x −12)2−14，f (x ) 的最小值是 −14，若方程 f (x )−b =0 有三个不同的实根，则 b =f (x ) 有 3 个交点，故 b ∈(−14,0)．【知识点】函数的零点分布、分段函数16. 【答案】 14； (14,12)【解析】函数 f (x )={e x ,x ≤0−x 2+x +14,x >0，则 f [f (0)]=f (e 0)=f (1)=14．x ≤0 时，f (x )≤1；x >0，f (x )=−x 2+x +14，对称轴为 x =12，开口向下；函数的最大值为 f (12)=12，x →0 时，f (0)→14．方程 f (x )=b 有且仅有 3 个不同的实数根，则实数 b 的取值范围是 (14,12)．【知识点】函数的零点分布、分段函数三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 依题意：当 0≤t ≤1 时，重合部分为边长为 2t cm 的直角等腰三角形， 此时：y =12×2t ×2t =2t 2(cm 2)，当 1<t <2 时，重合部分为边长为 2 cm 的等腰直角三角形， 此时：y =12×2×2=2(cm 2)，当 2≤t ≤3 时，重合部分为边长为 2 的等腰直角三角形， 去掉一个边长为 (2t −4)cm 的等腰直角三角形， 此时：y =12×2×2−12×(2t −4)2=−2t 2+8t −6，综上：y ={2t 2,0≤t ≤12,1<t <2−2t 2+8t −6,2≤t ≤3．(2) 依题意：当 0≤t ≤1 时，重合部分为边长为 2t cm 的直角等腰三角形， 此时：y =12×2t ×2t =2t 2(cm 2)，当 1<t <2 时，重合部分为边长为 2 cm 的等腰直角三角形， 此时：y =12×2×2=2(cm 2)，当 2≤t ≤3 时，重合部分为边长为 2 的等腰直角三角形， 去掉一个边长为 (2t −4)cm 的等腰直角三角形， 此时：y =12×2×2−12×(2t −4)2=−2t 2+8t −6， 综上：y ={2t 2,0≤t ≤12,1<t <2−2t 2+8t −6,2≤t ≤3．当 0≤t ≤1 时，y max =2×12=2，当 1<t <2 时，y max =2，当 2≤t ≤3 时，对称轴 t 0=2，则 t =2 时，y max =2，综上：y max =2．【知识点】函数模型的综合应用、建立函数表达式模型18. 【答案】(1) f (x )=2x +1．(2) f −1(x )=log 2(x −1)(x >1)．【知识点】反函数、指数函数及其性质19. 【答案】(1) 当 x ∈[0,1] 时，g (a x +2)>1 恒成立，即 x ∈[0,1] 时，log a (a x +2)>1 恒成立，因为 a >1，所以 a x +2>a 恒成立，即 a −2<a x 在区间 [0,1] 上恒成立，所以 a −2<1，即 a <3，所以 1<a <3，即 a 的取值范围是 (1,3)．(2) 函数 f (x ) 在区间 [1a ,a 2] 上具有性质 P ．因为 f (x )=∣g (x )∣ 在 [1,a 2] 上单调递增，在 [1a ,1] 上单调递减，对于 (1a ,a 2) 内的任意一个取数方法 1a =x 0<x 1<x 2<⋯<x n−1<x n =a 2，当存在某一个整数 k ∈{1,2,3,⋯,n −1}，使得 x k =1 时，∑∣f (x i )−f (x i−1)∣n i=1=[f (x 0)−f (x 1)]+[f (x 1)−f (x 2)]+⋯+[f (x k−1)−f (x k )]+[f (x k+1)−f (x k )]+[f (x k+2)−f (x k+1)]+⋯+[f (x n )−f (x n−1)]=[f (1a )−f (1)]+[f (a 2)−f (1)]=1+2= 3. 当对于任意的 k ∈{1,2,3,…,n −1}，x k ≠1 时，则存在一个实数 k 使得 x k <1<x k+1 时，∑∣f (x i )−f (x i−1)∣n i=1=[f (x 0)−f (x 1)]+[f (x 1)−f (x 2)]+⋯+[f (x k−1)−f (x k )]+[f (x k+1)−f (x k )]+[f (x k+2)−f (x k+1)]+⋯+[f (x n )−f (x n−1)]=[f (x 0)−f (x k )]+∣f (x k )−f (x k+1)∣+f (x n )−f (x k+1). ⋯⋯(∗)当 f (x k )>f (x k+1) 时，(∗)式=f (x n )+f (x 0)−2f (x k+1)=3−2f (x k+1)<3，当 f (x k )<f (x k+1) 时，(∗)式=f (x n )+f (x 0)−2f (x k )=3−2f (x k )<3，当 f (x k )=f (x k+1) 时，(∗)式=f (x n )+f (x 0)−f (x k )−f (x k+1)=3−f (x k )−f (x k+1)<3，综上，对于 (1a ,a 2) 内的任意一个取数方法 1a =x 0<x 1<x 2<⋯<x n−1<x n =a 2，均有 ∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1≤3，所以存在常数 M ≥3，使 ∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1≤M 恒成立，所以函数 f (x ) 在区间 [1a ,a 2] 上具有性质 P ，此时 M 的最小值为 3．【知识点】函数的单调性、指数函数及其性质、函数的最大（小）值、对数函数及其性质20. 【答案】(1) 因为 a ≠0，所以 g (x ) 的对称轴为 x =1，所以 g (x ) 在 [2,3] 上是单调函数，所以 {g (2)=1,g (3)=4 或 {g (2)=4,g (3)=1,解得 a =1，b =0 或 a =−1，b =3（舍）． 所以 a =1，b =0．(2) f (x )=x 2−2x+1x =x +1x −2．令 ∣2x −1∣=t ，显然 t >0， 所以 t +1t −2+k (2t −3)=0 在 (0,1) 上有一解，在 [1,+∞) 上有一解．即 t 2−(2+3k )t +1+2k =0 的两根分别在 (0,1) 和 [1,+∞) 上．令 ℎ(t )=t 2−(2+3k )t +1+2k ，若 ℎ(1)=0，即 1−2−3k +1+2k =0，解得 k =0，则 ℎ(t )=t 2−2t +1=(t −1)2，与 ℎ(t ) 有两解矛盾．所以 {ℎ(0)>0,ℎ(1)<0,即 {1+2k >0,−k <0, 解得 k >0． 所以实数 k 的取值范围是 (0,+∞)．【知识点】函数的最大（小）值、函数的零点分布21. 【答案】(1) 由函数 f (x )=x 2−3mx +n 的两个零点分别为 1 和 2，可得 {1−3m +n =0,4−6m +n =0, 解得 {m =1,n =2.(2) 由（1）可得 f (x )=x 2−3x +2，由不等式 f (x )−k >0 在 x ∈[0,5] 上恒成立，可得不等式 f (x )>k 在 x ∈[0,5] 上恒成立，可将 f (x )=x 2−3x +2 化为 f (x )=(x −32)2−14，所以 f (x )=x 2−3x +2 在 x ∈[0,5] 上的最小值为 f (32)=−14，所以 k <−14．【知识点】函数的最大（小）值、函数的零点分布22. 【答案】(1) 由已知得 (12)−a=2，解得 a =1．(2) 由（1）知 f (x )=(12)x，又 g (x )=f (x )，所以 4−x −2=(12)x，即 (14)x −(12)x−2=0，即 [(12)x ]2−(12)x−2=0，令 (12)x=t (t >0)，则 t 2−t −2=0，所以 t =−1 或 t =2，又 t >0，所以 t =2，即 (12)x=2，解得 x =−1．【知识点】指数函数及其性质。
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章末综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在⊙O中，∠AOB＝84°，则弦AB所对的圆周角是()【导学号：07370050】A．42°B．138°C．84°D．42°或138°【解析】弦AB所对的弧的度数为84°或276°，故其所对的圆周角为42°或138°.【答案】 D2．如图1，一圆内切四边形ABCD，且AB＝16，CD＝10，则四边形的周长为()图1A．50 B．52C．54 D．56【解析】由切线长定理知CD＋AB＝AD＋BC.∵AB＋CD＝26，∴AB＋BC＋CD＋AD＝52.【答案】 B3．如图2，⊙O经过⊙O1的圆心，∠ADB＝α，∠ACB＝β，则α与β之间的关系是()图2A．β＝αB ．β＝180°－2αC ．β＝12(90°－α) D ．β＝12(180°－α)【解析】 如图所示，分别连接AO1，BO 1. 根据圆内接四边形的性质定理，可得 ∠AO 1B ＋∠ADB ＝180°，∴∠AO 1B ＝180°－∠ADB ＝180°－α. ∵∠ACB ＝12∠AO 1B ， ∴β＝12(180°－α)，故选D. 【答案】 D4.如图3所示，∠A ＝50°，∠ABC ＝60°，BD 是⊙O 的直径，则∠AEB 等于( )图3A ．70°B ．110°C ．90°D ．120°【解析】 由题意知，∠D ＝∠A ＝50°， ∠BCD ＝90°，∴∠CBD ＝90°－50°＝40°， 又∠ACB ＝180°－50°－60°＝70°，∴∠AEB ＝∠CBD ＋∠ACB ＝40°＋70°＝110°. 【答案】 B5．如图4，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，直线MN 切⊙O 于点C ，BE ∥MN 交AC 于点E ，若AB ＝6，BC ＝4，则AE ＝( )图4A.103B.23 C ．1D.43【解析】 ∵MN 为⊙O 的切线，∴∠BCM ＝∠A . ∵MN ∥BE ，∴∠BCM ＝∠EBC ， ∴∠A ＝∠EBC . 又∠ACB ＝∠BCE ，∴△ABC ∽△BEC ，∴AB BE ＝BCEC . ∵AB ＝AC ，∴BE ＝BC ，∴64＝4EC . ∴EC ＝83，∴AE ＝6－83＝103.【答案】 A6．如图5，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，⊙I 是△ABC 的内切圆，∠A ＝80°，则∠BIC 等于( )图5A ．80°B ．100°C ．120°D ．130°【解析】 ∵∠A ＝80°， ∴∠ABC ＋∠ACB ＝100°.∵∠IBC ＝12∠ABC ，∠ICB ＝12∠ACB ，∴∠IBC ＋∠ICB ＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝50°， ∴∠BIC ＝180°－50°＝130°. 【答案】 D7．如图6，已知⊙O 的直径与弦AC 的夹角为30°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于P ，PC ＝5，则⊙O 的半径为( )图6A.53 3 B.56 3 C ．10D ．5【解析】 连接OC ，则有∠COP ＝60°，OC ⊥PC ， ∴PO ＝2CO ，∴3CO ＝5，即CO ＝533. 【答案】 A8．(2016·焦作模拟)如图7，已知AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于P ，EF 是过点P 的弦，已知AB ＝10，P A ＝2，PE ＝5，则CD 和EF 分别为( )图7A ．8和7B ．7和415C ．7和8D ．8和415【解析】 ∵P A ·PB ＝PC 2， ∴PC 2＝16，PC ＝4，∴CD ＝8. ∵PE ·PF ＝PC 2，∴PF ＝165，∴EF＝165＋5＝415.【答案】 D9．如图8，已知AT切⊙O于T.若AT＝6，AE＝3，AD＝4，DE＝2，则BC ＝()图8A．3 B．4C．6 D．8【解析】∵AT为⊙O的切线，∴AT2＝AD·AC.∵AT＝6，AD＝4，∴AC＝9.∵∠ADE＝∠B，∠EAD＝∠CAB，∴△EAD∽△CAB，即DEBC＝AEAC，∴BC＝DE·ACAE＝2×93＝6.【答案】 C10．如图9，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BH，垂足是H，下列结论：①CH＝CP；②＝；③AP＝BH；④DH为圆的切线．其中一定成立的是()图9A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③【解析】显然①可由△PCD≌△HCD得到；因为四边形ABCD为圆的内接四边形，所以∠BAD＝∠HCD＝∠ACD，即＝，故②成立；而③，连接BD ，则AD ＝BD ，∠DAP ＝∠DBH ，所以Rt △APD ≌Rt △BHD ，得AP ＝BH ，③成立；对于④，不能判定DH 是圆的切线，故应选D.【答案】 D11.如图10，在⊙O 中，MN 为直径，点A 在⊙O 上，且∠AON ＝60°，点B 是的中点，点P 是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则AP ＋BP 的最小值为( )图10A ．1 B.22 C.3－1D. 2【解析】 如图，过点B 作BB ′⊥MN ，交⊙O 于点B ′，连接AB ′交MN 于点P ′，即点P 在点P ′处时，AP ＋BP 最小．易知B 与B ′点关于MN 对称， 依题意∠AON ＝60°， 则∠B ′ON ＝∠BON ＝30°， 所以∠AOB ′＝90°， AB ′＝OA 2＋OB ′2＝ 2. 故P A ＋PB 的最小值为2，故选D. 【答案】 D12．如图11所示，PT 与⊙O 切于T ，CT 是⊙O 的直径，PBA 是割线，与⊙O 的交点是A ，B ，与直线CT 的交点D ，已知CD ＝2，AD ＝3，BD ＝4，那么PB ＝( )图11A．10 B．20C．5 D．8 5【解析】根据相交弦定理，可得AD·DB＝CD·DT，∴3×4＝2DT，解得DT＝6，∴圆的半径r＝4，AB＝7，不妨设PB＝x，则P A＝x＋7，根据切割线定理，可得PT2＝PB·P A，∴PT2＝x·(x＋7)，在Rt△PTD中，DT2＋PT2＝PD2，∴36＋PT2＝(x＋4)2，∴36＋x(x＋7)＝(x＋4)2，解得x＝20.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上)13．如图12所示，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.图12【解析】由题意知，AB＝6，AE＝1，∴BE＝5.∴CE·DE＝DE2＝AE·BE＝5.在Rt△DEB中，∵EF⊥DB，由射影定理得DF·DB＝DE2＝5.【答案】 514．如图13，在半径为7的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，P A＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为________．图13【解析】 由相交弦定理得P A ·PB ＝PC ·PD . 又P A ＝PB ＝2，PD ＝1，则PC ＝4， ∴CD ＝PC ＋PD ＝5.过O 作CD 的垂线OE 交CD 于E ，则E 为CD 中点， ∴OE ＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫CD 22＝7－254＝32.【答案】 3215.如图14，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD ∥AC .过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F .若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝5，则线段CF 的长为________．【导学号：07370051】图14【解析】 因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠C .因为AE 与圆相切，所以∠EAB ＝∠C .所以∠ABC ＝∠EAB ，所以AE ∥BC .又因为AC ∥DE ，所以四边形AEBC 是平行四边形．由切割线定理可得AE 2＝EB ·ED ，于是62＝EB ·(EB ＋5)，所以EB ＝4(负值舍去)，因此AC ＝4，BC ＝6.又因为△AFC ∽△DFB ，所以45＝CF 6－CF ，解得CF ＝83.【答案】 8316．(2016·北京朝阳区检测)如图15，PC 切圆O 于点C ，割线P AB 经过圆心O ，PC ＝4，PB ＝8，则tan ∠COP ＝________，△OBC 的面积是________．图15【解析】 因为PC 切圆O 于点C ，根据切割线定理即可得出PC 2＝P A ·PB ，所以42＝8P A ，解得P A ＝2.设圆的半径为R ，则2＋2R ＝8，解得R ＝3.在直角△OCP 中，tan ∠COP ＝43，sin ∠COP ＝45.所以sin ∠BOC ＝sin ∠COP ＝45.所以△OBC 的面积是12×R 2sin ∠BOC ＝12×32×45＝185.【答案】 43 185三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图16，AB 是⊙O 的直径，弦BD ，CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F .求证：(1)BE ·DE ＋AC ·CE ＝CE 2； (2)E ，F ，C ，B 四点共圆．图16【证明】 (1)连接CD ，由圆周角性质可知∠ECD ＝∠EBA . 故△ABE ∽△CDE ，∴BE ∶CE ＝AE ∶DE ， ∴BE ·DE ＋AC ·CE ＝CE 2.(2)∵AB 是⊙O 的直径，所以∠ECB ＝90°，∴CD ＝12BE .∵EF ⊥BF ，∴FD ＝12BE ，∴E ，F ，C ，B 四点与点D 等距，∴E ，F ，C ，B 四点共圆．18．(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅲ)如图17，⊙O 中的中点为P ，弦PC ，PD 分别交AB 于E ，F 两点．图17(1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小；(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD.【解】(1)连接PB，BC，则∠BFD＝∠PBA＋∠BPD，∠PCD＝∠PCB＋∠BCD.因为＝，所以∠PBA＝∠PCB.又∠BPD＝∠BCD，所以∠BFD＝∠PCD.又∠PFB＋∠BFD＝180°，∠PFB＝2∠PCD，所以3∠PCD＝180°，因此∠PCD＝60°.(2)证明：因为∠PCD＝∠BFD，所以∠EFD＋∠PCD＝180°，由此知C，D，F，E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C，D，F，E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上．又O 也在CD的垂直平分线上，因此OG⊥CD.19．(本小题满分12分)如图18，已知PE切⊙O于点E，割线PBA交⊙O 于A，B两点，∠APE的平分线和AE，BE分别交于点C，D.求证：图18(1)CE＝DE；(2)CACE＝PEPB.【证明】(1)∵PE切⊙O于点E，∴∠A＝∠BEP. ∵PC平分∠APE，∴∠A＋∠CP A＝∠BEP＋∠DPE. ∵∠ECD＝∠A＋∠CP A，∠EDC＝∠BEP＋∠DPE，∴∠ECD＝∠EDC，∴CE＝DE.(2)∵∠PDB＝∠EDC，∠EDC＝∠ECD，∠PDB＝∠PCE，∴∠BPD＝∠EPC，∴△PBD∽△PEC，∴PEPB＝PCPD.同理△PDE∽△PCA，∴PCPD＝CADE.∴PEPB＝CADE.∵DE＝CE，∴CACE＝PEPB.20．(本小题满分12分)如图19，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：图19(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.【证明】(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF ∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，所以∠BGD＝∠BDG.由BC＝CD知∠CBD＝∠CD B.又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，所以△BCD∽△GBD.21．(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)如图20，△OAB是等腰三角形，∠AOB＝120°，以O为圆心，12OA为半径作圆．图20(1)证明：直线AB 与⊙O 相切；(2)点C ，D 在⊙O 上，且A ，B ，C ，D 四点共圆，证明：AB ∥CD .【证明】 (1)设E 是AB 的中点，连接OE .因为OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，所以OE ⊥AB ，∠AOE ＝60°.在Rt △AOE 中，OE ＝12AO ，即O 到直线AB 的距离等于⊙O 的半径，所以直线AB 与⊙O 相切．(2)因为OA ＝2OD ，所以O 不是A ，B ，C ，D 四点所在圆的圆心．设O ′是A ，B ，C ，D 四点所在圆的圆心，作直线OO ′.由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上，又O ′在线段AB 的垂直平分线上，所以OO ′⊥AB.同理可证，OO ′⊥CD ，所以AB ∥CD .22．(本小题满分12分)如图21，已知CP 为⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点C ，AB 切⊙O 于点D ，并与CP 的延长线相交于点B ，又BD ＝2BP .图21求证：(1)PC ＝3BP ；(2)AC ＝PC .【证明】 (1)∵BD 是⊙O 的切线，BPC是⊙O的割线，∴BD2＝BP·BC.∵BD＝2BP，∴4BP2＝BP·BC，∴4BP＝BC.∵BC＝BP＋PC.∴4BP＝BP＋PC，∴PC＝3BP.(2)连接DO.∵AB切⊙O于点D，AC切⊙O于点C，∴∠ODB＝∠ACB＝90°.∵∠B＝∠B，∴△ODB∽△ACB，∴DOAC＝BDBC＝2BP4BP＝12，∴AC＝2DO，又PC＝2DO，∴AC＝PC.。
2019版高中数学人教A版必修4：第一章检测B 含解析
1.A.2:根据角α的终边与单位圆交于点P ,(12,-32)x=,y=-,r==1,1232x 2+y 2cos α=,sin α==-,xr=12yr 32sin α-cos α==-2.33×(-32)‒12:B2.函数f (x )=sin x 在区间[a ,b ]上是增函数,且f (a )=-1,f (b )=1,则cos =( )a +b2B .C .-1D .1223.4.为得到函数y=cos 的图象,只需将函数y=sin x 的图象( )(x +π3)向左平移个单位长度B .向右平移个单位长度π6π6向左平移个单位长度D .向右平移个单位长度5π65π6:∵y=cos(x +π3)=sin ,(x +π3+π2)(x +5π6)只需将y=sin x的图象向左平移个单位长度.5π6:C5.[6. D.4,π3:由图象可得,4=12‒(-3)=4T=π,则ω==2.将点代入f (x )=2sin(2x+φ)中,得sin =1,2ππ(5π12,2)(5π6+φ)+φ=2k π+,k ∈Z ,解得φ=2k π-,k ∈Z .π2π3φ∈,则取k=0,∴φ=-.故选A .(-π2,π2)π3:A7.若2k π+π<θ<2k π+(k ∈Z ),则sin θ,cos θ,tan θ的大小关系是( )5π4A .sin θ<cos θ<tan θB .cos θ<tan θ<sin θcos θ<sin θ<tan θD .sin θ<tan θ<cos θ8.1,即T ≥,所以T=,解得ω≤.结合选项知,ω的值可以是.故选A .≤23ω≥322:A9.已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y (单位:m)可看作是时间t (0≤t ≤24,单位:h)函数,记作y=f (t ),经长期观测,y=f (t )的曲线可近似地看成是函数y=A cos ωt+b 的图象,下表是某日各时的浪高数据:03691215182124m2321322320.99322则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是( )cos t+1B.y=cos t+12π612π63210.范围是:函数f (x )=2cos(3x+φ)+3,当x ∈时,3x+φ∈,(|φ|≤2)(-6,12)(-2+φ,4+φ)x )的图象恒在直线y=3的上方,2cos(3x+φ)+3>3,cos(3x+φ)>0,π2+φ≥-π2,π4+φ≤π2,0≤φ≤,π4的取值范围是.[0,π4]:C11.12.13.再向右平移个单位长度得到y=sin x 的图象,则f = .6(6):本题可逆推,由y=sin x 的图象推f (x )=sin(ωx+φ)的图象.将y=sin x的图象向左平移个单位长度得π6y=sin 的图象,再保持纵坐标不变,横坐标伸长为原来的两倍,得到f (x )=sin 的图象.(x +π6)(12x +π6)f =sin =sin .(π6)(π12+π6)π4=22:2214.设函数f (x )=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)图象的相邻两条对称轴之间的距离为,且函数y=f π2(x +π2)偶函数,则f (x )的解析式为 .:由题设知T=,所以T=π,所以ω==2,又y=f 为偶函数,所以函数f (x )的图象关于直线x=12π22πT (x +π2)15.:π6三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)已知sin α+cos α=-.15求sin ·cos 的值;(π2+α)(π2-α)若<α<π,且角β的终边经过点P (-3,),求的值.π271sin (π-α)+1cos (π+α)+2cos (-β-2π)(1)∵sin α+cos α=-,15(sin α+cos α)2=,即1+2sin αcos α=,12512517.(8分)已知sin(α+π)=,且sin αcos α<0,求的值.54cos (α-3π)∵sin(α+π)=,∴sin α=-<0.4545sin αcos α<0,得cos α>0.α为第四象限角,cos α=,tan α=-.35432sin (α-π)+3tan (3π-α)4cos (α-3π)2sin (π-α)+3tan (π-α)4cos (π-α)2sinα-3tanα=2sinα+3tanα18.小值是k π-≤2x+≤2k π+(k ∈Z ),π2π6π2π-≤x ≤k π+(k ∈Z )时,f (x )单调递增,π3π6)的单调递增区间为(k ∈Z ).[kπ-π3,kπ+π6]19.(10分)2019年的元旦,N 市从0时到24时的气温变化曲线近似地满足函数y=A sin(ωx+φ)+b (A>0,ω>0,|φ|≤π).从气象台得知:N 市在该天的温度为1 ℃到9 ℃,其中最高气温只出现在14:00,气温只出现在2:00.求函数y=A sin(ωx+φ)+b 的解析式;若元旦当天M 市的气温变化曲线也近似地满足函数y 1=A 1sin(ω1x+φ1)+b 1,且气温变化也为1 ℃到只不过最高气温和最低气温出现的时间都比N 市迟了4 h .=4sin .(123)12](123)x=7时,=4sin =2.(π12×7-π3)2|y-y 1|≤2⇒-2≤4sin ≤2⇒2≤x ≤6或14≤x ≤18.(π12x -π3)2019年元旦当日,N 市与M 市温度相近的时长为8 h .20.(10分)已知函数f (x )=lg sin .(π3-2x )(1)求f (x )的定义域及值域;求f (x )的单调递增区间.∵10>1,f (x )的单调增区间即求sin 的单调增区间,即求sin 的单调减区间.(π3-2x )(2x -π3)kπ-π3<x <kπ+π6,kπ+π2<2x -π3<2kπ+3π2(k ∈Z ),π+<x<k π+,k ∈Z .2π311π12函数f (x )的单调增区间为,k ∈Z .(kπ+2π3,kπ+11π12)。
2020-2021学年人教A版数学必修4习题：第一章 三角函数 单元质量评估
第一章单元质量评估时间：120分钟 满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知角α是第三象限角，则角－α的终边在( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：∵角α是第三象限角，∴k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z ，∴－k ·360°－270°<－α<－k ·360°－180°，k ∈Z .∴角－α的终边在第二象限．故选B.2．已知扇形AOB 的面积为4，圆心角的弧度数为2，则该扇形的弧长为( A )A ．4B ．2C ．1D ．8解析：S ＝12l ·r ＝12·α·r 2＝4，∵α＝2，∴r ＝2，∴l ＝α·r ＝4.3．点P 从点(－1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1顺时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12解析：点P 从点(－1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1顺时针方向运动π3弧长到达Q 点，如图，因此Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，故选A.4．若600°角的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是( C )A ．－433 B ．4 3 C ．－4 3 D ．±4 3解析：∵tan600°＝tan(60°＋3×180°)＝tan60°＝3，又点(－4，a )在600°角的终边上，∴－a 4＝tan600°＝3，∴a ＝－4 3.5．sin1，cos1，tan1的大小关系为( C ) A ．sin1>cos1>tan1 B ．sin1>tan1>cos1 C ．tan1>sin1>cos1 D ．tan1>cos1>sin1解析：本题主要考查同角的不同三角函数值的大小．由于π4<1<π3，则有1>sin1>22>cos1，又tan1>1，故tan1>sin1>cos1，故选C.6．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则ω＝( B )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：由图象可知函数的周期为π2，所以2πω＝π2，ω＝4. 7．已知tan θ＝2，则sin θsin 3θ－cos 3θ＝( C )A.13B.23C.107D.32解析：本题主要考查同角三角函数关系的应用.sin θsin 3θ－cos 3θ＝sin θ(sin 2θ＋cos 2θ)sin 3θ－cos 3θ＝tan 3θ＋tan θtan 3θ－1＝23＋223－1＝107，故选C.8．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( C ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b解析：∵b ＝cos55°＝sin(90°－55°)＝sin35°，且35°>33°，根据y ＝sin x在(0°，90°)上单调递增，可得b >a ；结合三角函数线可知b <c ，∴c >b >a ，故选C.9．函数f (x )＝lgsin(π4－2x )的一个增区间为( C )A ．(3π8，7π8)B ．(7π8，9π8)C ．(5π8，7π8)D ．(－7π8，－3π8) 解析：本题主要考查三角函数的单调性的判断和单调区间的求法．由sin(π4－2x )>0，得sin(2x －π4)<0，∴π＋2k π<2x －π4<2π＋2k π(k ∈Z )．又f (x )＝lgsin(π4－2x )的增区间即为sin(π4－2x )在定义域内的增区间，即sin(2x －π4)在定义域内的减区间，故π＋2k π<2x －π4<3π2＋2k π(k ∈Z )，化简得5π8＋k π<x <7π8＋k π(k ∈Z )，当k ＝0时，5π8<x <7π8，故选C.10．已知函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则以下说法正确的是( C )A ．函数的最小正周期为π4 B ．函数为偶函数C ．函数图象的一条对称轴为直线x ＝π3D ．函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6上为减函数解析：该函数的最小正周期T ＝π2；因为f (－x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x －π6＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，因此它是非奇非偶函数；函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在[2π3，5π6]上是减函数，但y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在[2π3，5π6]上是增函数，因此只有C 正确． 11．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( B )A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π4解析：将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度，得到函数y ＝sin[2(x ＋π8)＋φ]＝sin(2x ＋π4＋φ)的图象，因为此时函数为偶函数，所以π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π4＋k π，k ∈Z .令k ＝0，得φ＝π4，故选B.12．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( A )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2] 解析：∵ω>0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，又y ＝sin x 的单调减区间是[2k π＋π2，2k π＋32π](k ∈Z )．∴⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥2k π＋π2，πω＋π4≤2k π＋32π，即4k ＋12≤ω≤2k ＋54(k ∈Z )．令k ＝0，得12≤ω≤54，故选A.(本题也可用排除法)二、填空题(每小题5分，共20分) 13.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－1.解析：原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤8π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2cos (π2－α)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cos αsin αcos α[]－()－sin α＝－1.14．函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间是[k π＋23π，k π＋76π](k ∈Z )．解析：由题意得2k π＋π≤2x －π3≤2k π＋2π，k ∈Z .∴k π＋23π≤x ≤k π＋76π，k ∈Z .∴函数的单调递增区间为[k π＋23π，k π＋76π]，k ∈Z .15．已知tan α＝cos α，则sin α＝－1＋52. 解析：由于tan α＝sin αcos α＝cos α，则sin α＝cos 2α，所以sin α＝1－sin 2α，解得sin α＝－1＋52或sin α＝－1－52(舍去)． 16．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 解析：∵f (x )与g (x )的图象的对称轴完全相同，∴f (x )与g (x )的最小正周期相等，∵ω>0，∴ω＝2，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， ∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴－32≤3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤3，即f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 三、解答题(共70分)17．(本小题10分)已知tan α＝－34. (1)求2＋sin αcos α－cos 2α的值；(2)求sin (4π－α)cos (3π＋α)cos (π2＋α)cos (152π－α)cos (π－α)sin (3π－α)sin (－π－α)sin (132π＋α)的值． 解：(1)2＋sin αcos α－cos 2α＝2(sin 2α＋cos 2α)＋sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2sin 2α＋sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α＋tan α＋1tan 2α＋1＝2×(－34)2＋(－34)＋1(－34)2＋1＝98－34＋11＋916＝2225.(2)原式＝(－sin α)(－cos α)(－sin α)cos[7π＋(π2－α)](－cos α)sin αsin αsin[6π＋(π2＋α)]＝sin 2αcos αsin α－cos αsin 2αcos α＝－sin αcos α＝－tan α＝34.18．(本小题12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)图象最低点的纵坐标是－3，相邻的两个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0.(1)求f (x )的解析式； (2)求f (x )的值域； (3)求f (x )的图象的对称轴．解：(1)由题意知，A ＝3，T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)．又点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0在f (x )的图象上， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，∴3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0；∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，结合－π<φ<0，可得φ＝－2π3.∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3.(2)f (x )的值域是[－3，3]．(3)令2x －2π3＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝7π12＋k π2(k ∈Z )．∴f (x )的图象的对称轴是x ＝7π12＋k π2(k ∈Z )．19．(本小题12分)已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋a ＋b .(1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调递减区间；(2)当a <0时，f (x )在[0，π]上的值域为[2,3]，求a ，b 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1＋b .令2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )．解得2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )．∴f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )． (2)f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋a ＋b ，∵x ∈[0，π]，∴－π4≤x －π4≤3π4，∴－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≤1.又∵a <0，∴2a ≤2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≤－a ，∴2a ＋a ＋b ≤f (x )≤b .∵f (x )的值域是[2,3]，∴2a ＋a ＋b ＝2且b ＝3.解得a ＝1－2，b ＝3.20．(本小题12分)如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，P ，Q 是单位圆上的两点，O 是坐标原点，且∠AOP ＝β，β∈(0，π2)，∠AOQ ＝α，α∈[0，π)．(1)若点Q 的坐标是(m ，45)，其中m <0，求cos(π－α)＋sin(－α)的值； (2)设点P (32，12)，函数f (α)＝sin(α＋β)，求f (α)的值域．解：(1)由⎩⎨⎧m 2＋(45)2＝1，m <0得m ＝－35，所以cos α＝m ＝－35，sin α＝45.所以cos(π－α)＋sin(－α)＝－cos α－sin α＝－15.(2)由已知得β＝π6，因为α∈[0，π)，则α＋π6∈[π6，7π6)，所以－12<sin(α＋π6)≤1.故f (α)的值域是(－12，1]．21.(本小题12分) 设x ∈R ，函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<0)的最小正周期为π，且f (π4)＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象； (3)若f (x )>22，求x 的取值范围．解：(1)∵函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∵f (π4)＝cos(2×π4＋φ)＝cos(π2＋φ)＝－sin φ＝32，且－π2<φ<0，∴φ＝－π3.(2)由(1)知f (x )＝cos(2x －π3)，列表如下：x 0 π6 5π12 2π3 11π12 π 2x －π3 －π3 0 π2 π 3π2 5π3 f (x )121－112作图象如图所示：(3)∵f (x )>22，即cos(2x －π3)>22，∴2k π－π4<2x －π3<2k π＋π4(k ∈Z )，则2k π＋π12<2x <2k π＋7π12(k ∈Z )，即k π＋π24<x <k π＋7π24(k ∈Z )．∴x 的取值范围是{x |k π＋π24<x <k π＋7π24，k ∈Z }．22．(本小题12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π2)的一系列对应值如下表：x －π6 π3 5π6 4π3 11π6 7π3 17π6 10π3 f (x )－1131－1131(1)根据表格提供的数据求函数f (x )的解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k >0)的最小正周期为2π3，当x ∈[0，π3]时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．解：(1)设f (x )的最小正周期为T ，由表格中的数据，得T ＝11π6－(－π6)＝2π，由T ＝2πω＝2π，得ω＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋A ＝3，b －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，b ＝1，令ω·5π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，即5π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝2k π－π3(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝－π3.所以f (x )＝2sin(x －π3)＋1.(2)因为函数y ＝f (kx )＝2sin(kx －π3)＋1的最小正周期为2π3，所以k ＝2π2π3＝3，令t ＝3x －π3，因为x ∈[0，π3]，所以t ∈[－π3，2π3]，作出y ＝sin t (t ∈[－π3，2π3])的图象，如图所示．由图象可知，sin t ＝s 在t ∈[－π3，2π3]上有两个不同的实数解时，s ∈[32，1)，所以方程f (kx )＝m 在x ∈[0，π3]上恰好有两个不同实数解时，m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值范围是[3＋1,3)．。
2018-2019学年高中数学人教A版必修4综合质量评估卷含答案
综合质量评估(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.sin2010°= ( )A.-B.-C.D.【解析】选A.sin2010°=sin(5×360°+210°)=sin210°=-sin30°=-.2.若点在角α的终边上,则sinα的值为( )A.-B.-C.D.【解析】选A.由题意,x=sin=,y=cos=-,r=1,所以sinα==-.3.(2018·石家庄高一检测)若tanθ=2,则的值为( )A.-B.C.-D.【解析】选D.因为tanθ=2,则====.4.已知a与b是非零向量且满足(a-6b)⊥a,(2a-3b)⊥b,则a与b的夹角是( )A. B. C.π D.π【解析】选B.根据条件:(a-6b)·a=a2-6a·b=0;(2a-3b)·b=2a·b-3b2=0;因为|a|≠0,|b|≠0;所以|a|=6|b|cos<a,b>①,3|b|=2|a|cos<a,b>②;所以3|a||b|=12|a||b|cos2<a,b>,所以cos2<a,b>=;所以cos<a,b>=,所以a,b的夹角为.5.已知扇形的圆心角为π弧度,半径为2,则扇形的面积是( )A.πB.C.2πD.π【解析】选D.由S扇形=|α|R2,可得S扇形=×π×22=π.6.若α,β都是锐角,且cosα=,sin(α-β)=,则cosβ= ( )A. B.C.或-D.或【解析】选A.因为cosα=,所以sinα=,因为α,β都是锐角,所以-<α-β<,因为sin(α-β)=>0,所以0<α-β<,所以cos(α-β)=,所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=.7. (2018·日照高一检测)已知A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),若·=-1,则sin的值为( ) A. B. C. D.【解析】选B.因为=(cosα-3,sinα),=(cosα,sinα-3),所以·=(cosα-3)·cosα+sinα(sinα-3)=-1,得cos2α+sin2α-3(cosα+sinα)=-1,所以sinα+cosα=,故sin=(sinα+cosα)=×=.8.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为( )A. B. C. D.【解析】选C9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则f(x)的递增区间为( )A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z【解析】选B.由图象可知A=2,T=-=,所以T=π,故ω=2.由五点法作图可得2·+φ=0,求得φ=-,所以f(x)=2sin.由2x-∈(k∈Z),得x∈(k∈Z),所以f(x)的递增区间是(k∈Z).10.设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是( )A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象关于直线x=对称C.f(x+π)的一个零点为x=D.f(x)在内单调递减【解析】选D.当x∈时,x+∈,函数在该区间内不单调.11.如图,四边形OABC是边长为1的正方形,OD=3,点P为△BCD内(含边界)的动点,则|+|的取值范围为( )A. B.[,4]C.[,]D.【解析】选 B.以O为原点建立平面直角坐标系,如图所示:则C(0,1),A(1,0), D(3,0),设P(x,y),则+=(x+1,y),所以|+|=,设M(-1,0),则|+|=||,由图可知当P与C重合时||取得最小值,当P与D重合时,||取得最大值4,所以|+|的取值范围是[,4].12.已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是( )A.-2B.-C.-D.-1【解析】选B.以BC为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点建立坐标系,则A(0,),B(-1,0),C(1,0),设P(x,y),所以=(-x,-y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y),所以+=(-2x,-2y),·(+)=2x2-2y(-y)=2x2+2-≥-,当P时,所求的最小值为-.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.将函数y=sin的图象上的所有点向右平移个单位,再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),则所得的图象的函数解析式为________.【解析】将函数y=sin的图象上的所有点向右平移个单位,得到函数y=sin=sin2x的图象,再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),则所得的图象的函数解析式为y=sin4x.答案:y=sin4x14.=________.【解析】原式===.答案:15.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=________. 【解析】由已知得:a+b=(m+1,3),所以|a+b|2=|a|2+|b|2⇒(m+1)2+32=m2+12+12+22,解得m=-2.答案:-216.已知e1,e2是互相垂直的单位向量,若e1+e2与e1-λe2夹角为60°,则实数λ的值是________.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)如图,在△ABC中,已知AB=2,AC=6,∠BAC=60°,点D,E分别在边AB,AC上,且=2,=5,(1)若=-+,求证:点F为DE的中点.(2)在(1)的条件下,求·的值.【解析】(1)因为=-+,所以=-=+,又=2,=5,所以=+,所以F为DE的中点.(2)由(1)可得==(-),因为=2,=5,所以=-,所以·=-·=-+·=-×4+×2×6×cos60°=-.18.(12分)已知a=(sinx,cosx),b=(cosx,cosx),f(x)=2a·b+2m-1(x,m∈R). (1)求f(x)的对称轴方程.(2)若x∈时,f(x)的最小值为5,求m的值.【解析】(1)a·b=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin+;所以f(x)=2sin+2m;令2x+=+kπ,k∈Z;所以f(x)的对称轴方程为x=+,k∈Z.(2)因为x∈,所以≤2x+≤;所以2x+=时,f(x)min=2×+2m=5;所以m=3.19.(12分)已知函数f(x)=+cos2x-sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间.(2)在所给坐标系中画出函数在区间的图象(只作图不写过程).【解析】f(x)=+cos2x =sin2x+cos2x=sin.(1)函数f(x)的最小正周期T==π, 令2kπ+≤2x+≤2kπ+π,k∈Z,则2kπ+≤2x≤2kπ+π,k∈Z,故kπ+≤x≤kπ+π,k∈Z,所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).(2)图象如下:20.(12分)(2018·山东高考)设函数f(x)=sin(ωx-)+sin(ωx-),其中0<ω<3,已知f=0,(1)求ω.(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的最小值.【解析】(1)因为f(x)=sin+sin,所以f(x)=sinωx-cosωx-cosωx=sinωx-cosωx==sin,由题设知f=0,所以-=kπ,k∈Z.故ω=6k+2,k∈Z,又0<ω<3,所以ω=2.(2)由(1)得f(x)=sin,所以g(x)=sin=sin,因为x∈,所以x-∈,当x-=-,即x=-时,g(x)取得最小值-.21.(12分)已知函数f(x)=sin+b(ω>0),且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为,当x∈时,f(x)的最大值为1.(1)求函数f(x)的解析式.(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,若g(x)-3≤m≤g(x)+3在x∈上恒成立,求实数m的取值范围. 【解析】(1)因为函数f(x)=sin+b(ω>0),且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为,所以=,可得T=π,由=π,可得ω=2,所以f(x)=sin+b,因为当x∈时,2x-∈,由y=sinx在上单调递增,可得当2x-=,即x=时,函数f(x)取得最大值f=sin+b,所以sin+b=1,解得b=-,所以f(x)=sin-.(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数解析式为:g(x)=sin-=sin-,因为当x∈时,2x-∈,g(x)=sin-∈[-2,1],所以g(x)-3∈[-5,-2],g(x)+3∈[1,4],因为g(x)-3≤m≤g(x)+3在x∈上恒成立,所以m∈[-2,1].22.(12分)如图所示,已知OPQ是半径为1,圆心角为的扇形,四边形ABCD是扇形的内接矩形,B,C两点在圆弧上,OE是∠POQ的平分线,E在上,连接OC,记∠COE=α,则角α为何值时矩形ABCD的面积最大?并求最大面积.【解析】设OE交AD于M,交BC于N,显然矩形ABCD关于OE对称,而M,N分别为AD,BC的中点,在Rt△ONC中,CN=sinα,ON=cosα,OM==DM=CN=sinα,所以MN=ON-OM=cosα-sinα,即AB=cosα-sinα,而BC=2CN=2sinα,故S矩形ABCD=AB·BC=(cosα-sinα)·2sinα=2sinαcosα-2sin2α=sin2α-(1-cos2α)=sin2α+cos2α-=2-=2sin-.因为0<α<,所以0<2α<,<2α+<,故当2α+=,即α=时,S矩形ABCD取得最大值,此时S矩形ABCD=2-.。
高中数学人教a高一必修4章末综合测评1_word版含解析
高中数学人教a 高一必修4章末综合测评1_word 版含解析章末综合测评(一) 三角函数(时间120分钟，满分150分)一、填空题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·安徽高考)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝ln x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝sin xD ．y ＝cos x【解析】 A 是非奇非偶函数，故排除；B 是偶函数，但没有零点，故排除；C 是奇函数，故排除；y ＝cos x 是偶函数，且有无数个零点．故选D ．【答案】 D2．(2015·山东高考)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位【解析】 由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可，故选B ．【答案】 B3．点P 从(1，0)点出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12【解析】 设∠POQ ＝θ，则θ＝π3.又设Q (x ，y )，则x ＝cos π3＝12，y ＝sin π3＝32. 【答案】 A4．已知a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－334π，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．b >a >cB ．a >b >cC ．b >c >aD ．a >c >b【解析】 a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π6＝－tan π6＝－33，b ＝cos 234π＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫6π－π4＝cos π4＝22，c ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－334π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8π－π4＝－sin π4＝－22，所以b >a >c .故选A ． 【答案】 A5．(2016·台州高一检测)已知扇形的半径为r ，周长为3r ，则扇形的圆心角等于( ) A ．π3 B ．1 C ．2π3D ．3【解析】 因为弧长l ＝3r －2r ＝r ， 所以圆心角α＝lr ＝1. 【答案】 B6．已知函数y ＝2sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－2，1]，则b －a 的值不可能是( ) A ．5π6 B ．π C ．7π6D ．2π【解析】 函数y ＝2sin x 在R 上有－2≤y ≤2，函数的周期T ＝2π，值域[－2，1]含最小值不含最大值，故定义域[a ，b ]小于一个周期．【答案】 D7.(2016·临沂期末)如图1是函数y ＝f (x )图象的一部分，则函数y ＝f (x )的解析式可能为( )图1A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6【解析】 T 2＝π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，∴T ＝π2，∴ω＝4，排除A 、B 、D ． 故选C ． 【答案】 C8．(2015·四川高考)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )【导学号：00680032】A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x【解析】 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期T ＝2π2＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A 正确；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于y 轴对称，故B 不正确；C ，D 均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C ，D 不正确． 【答案】 A9．(2016·临沂期末)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，若其图象向右平移π3个单位后关于y 轴对称，则( )A ．ω＝2，φ＝π3 B ．ω＝2，φ＝π6 C ．ω＝4，φ＝π6 D ．ω＝2，φ＝－π6【解析】 T ＝2πω＝π，∴ω＝2.函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位得函数 g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－2π3的图象关于y 轴对称，∴φ－2π3＝π2＋k π，k ∈Z ， ∴φ＝76π＋k π，k ∈Z . ∵|φ|<π2，∴φ＝π6. 故选B ． 【答案】 B10．(2016·蚌埠期末)已知tan α＝－3，π2<α<π，那么cos α－sin α的值是( ) A ．－1＋32B ．－1＋32C ．1－32D ．1＋32【解析】 ∵π2<α<π， ∴cos α<0，sin α>0，∴cos α－sin α＝－（cos α－sin α）2 ＝－1－2sin αcos αsin 2 α＋cos 2 α＝－1－2tan αtan 2 α＋1＝－4＋234 ＝－3＋12.【答案】 A11．(2014·辽宁高考)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增【解析】 y ＝3 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π.令2k π－π2≤2x －23π≤2k π＋π2得k π＋π12≤x ≤k π＋712π，k ∈Z ，则y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋712π，k ∈Z .令k ＝0得其中一个增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，712π，故B 正确．画出y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的简图，如图，可知y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上不具有单调性，故C ，D 错误．【答案】 B12．(2015·安徽高考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A ．f (2)<f (－2)<f (0)B ．f (0)<f (2)<f (－2)C ．f (－2)<f (0)<f (2)D ．f (2)<f (0)<f (－2)【解析】 法一：由题意，得T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝A sin(2x ＋φ)，而当x ＝2π3时，2×2π3＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )， ∴φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，∴f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.当2x ＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝π6＋k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值．下面只需判断2，－2，0与最近的最大值处的对称轴距离大小，距离越大，函数值越小， 当k ＝0时，x ＝π6，⎪⎪⎪⎪⎪⎪0－π6≈0.52，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－π6≈1.48，当k ＝－1时，x ＝－5π6，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6≈0.6，∴f (2)<f (－2)<f (0)．法二：将要比较的函数值化归到函数的同一单调区间上． ∵f (x )的最小正周期为π，∴f (－2)＝f (π－2)． 又当x ＝2π3时，f (x )取得最小值，故当x ＝π6时，f (x )取得最大值，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3是函数f (x )的一个递减区间．又∵π6<π－2<2<2π3， ∴f (π－2)>f (2)，即f (－2)>f (2)．再比较0，π－2与对称轴x ＝π6距离的大小．∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪π－2－π6－⎪⎪⎪⎪⎪⎪0－π6＝5π6－2－π6＝2π3－2>0，∴f (0)>f (π－2)，即f (0)>f (－2)． 综上，f (0)>f (－2)>f (2)．故选A ． 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．(2015·四川高考)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________． 【解析】 由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1.【答案】 －114．(2014·重庆高考)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.【解析】 因为y ＝sin x 图象――→向左平移π6个单位得函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上――――――→每点横坐标变为原来2倍得函数y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6图象，则有f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22【答案】 2215．(2016·新余期末)已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，则m的取值范围是________．【解析】 f (x )有两个零点，即m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的实根．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，56π，结合正弦曲线知m ∈[1，2)．【答案】 [1，2)16．(2016·温州期末)给出下列4个命题：①函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期是π2；②直线x ＝7π12是函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的一条对称轴；③若sin α＋cos α＝－15，且α为第二象限角，则tan α＝－34；④函数y ＝cos(2－3x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3上单调递减．其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)【解析】 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期是π，故①正确．对于②，当x ＝712π时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×712π－π4＝2sin 32π＝－2，故②正确．对于③，由(sin α＋cos α)2＝125得2sin αcos α＝－2425，α为第二象限角，所以sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75，所以sin α＝35，cos α＝－45，∴tan α＝－34，故③正确．对于④，函数y ＝cos(2－3x )的最小正周期为2π3，而区间⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3长度73>2π3，显然④错误． 【答案】 ①②③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知0<α<π2，sin α＝45. (1)求tan α的值；(2)求sin （α＋π）－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin （－α）＋cos （π＋α）的值．【解】 (1)因为0<α<π2，sin α＝45， 所以cos α＝35，故tan α＝43. (2)sin （α＋π）－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin （－α）＋cos （π＋α） ＝－sin α＋2sin αsin α－cos α＝sin αsin α－cos α ＝tan αtan α－1＝4. 18．(本小题满分12分)(1)已知角α的终边经过点P (4，－3)，求2sin α＋cos α的值； (2)已知角α的终边经过点P (4a ，－3a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值；(3)已知角α终边上一点P 到x 轴的距离与到y 轴的距离之比为3∶4，求2sin α＋cos α的值．【解】 (1)∵α终边过点P (4，－3)， ∴r ＝|OP |＝5，x ＝4，y ＝－3， ∴sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45， ∴2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.(2)∵α终边过点P (4a ，－3a )，(a ≠0)， ∴r ＝|OP |＝5|a |，x ＝4a ，y ＝－3a . 当a >0时，r ＝5a ，sin α＝y r ＝－35， cos α＝x r ＝45，∴2sin α＋cos α＝－25；当a <0时，r ＝－5a ，∴sin α＝y r ＝35， cos α＝x r ＝－45， ∴2sin α＋cos α＝25.综上，2sin α＋cos α＝－25或25. (3)当点P 在第一象限时，sin α＝35， cos α＝45，2sin α＋cos α＝2； 当点P 在第二象限时，sin α＝35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝25； 当点P 在第三象限时，sin α＝－35， cos α＝－45，2sin α＋cos α＝－2； 当点P 在第四象限时，sin α＝－35， cos α＝45，2sin α＋cos α＝－25.19．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？【解】 (1)T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，知k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．所以所求函数的最小正周期为π，所求的函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)变换情况如下： y ＝sin2x ――――――――→向左平移π12个单位y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12――――――→将图象上各点向上平移32个单位y ＝sin(2x ＋π6)＋32.20．(本小题满分12分)(2016·徐州高一检测)在已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2时，求f (x )的值域．【解】 (1)由最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，得A ＝2. 由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2， 得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图象上得 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1， 故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )， ∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )． 又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值为2； 当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值为－1， 故f (x )的值域为[－1，2]．21．(本小题满分12分)(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数f (x )的解析式； (2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值． 【解】 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎭⎪⎫2x －6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ， 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.22．(本小题满分12分)函数f (x )＝1－2a －2a cos x －2sin 2 x 的最小值为g (a )(a ∈R )． (1)求g (a )；(2)若g (a )＝12，求a 及此时f (x )的最大值．【解】 (1)由f (x )＝1－2a －2a cos x －2sin 2 x ＝1－2a －2a cos x －2(1－cos 2 x ) ＝2cos 2 x －2a cos x －(2a ＋1) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －a 22－a 22－2a －1. 这里－1≤cos x ≤1.①若－1≤a 2≤1，则当cos x ＝a2时， f (x )min ＝－a 22－2a －1；②若a2>1，则当cos x ＝1时，f (x )min ＝1－4a ； ③若a2<－1，则当cos x ＝－1时，f (x )min ＝1. 因此g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， a <－2，－a 22－2a －1， －2≤a ≤2，1－4a ， a >2.(2)因为g (a )＝12.所以①若a >2，则有1－4a ＝12，得a ＝18，矛盾； ②若－2≤a ≤2，则有－a 22－2a －1＝12， 即a 2＋4a ＋3＝0，所以a ＝－1或a ＝－3(舍)； 若a ＜－2时，g (a )≠12，矛盾． 所以g (a )＝12时，a ＝－1. 此时f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋122＋12，当cos x ＝1时，f (x )取得最大值5.。
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二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把正确的答案填在
题中的横线上)
13．(2012·广州期末)已知 sin α＝3，cos α＝－4，则角α的终边在第________象限．
5
5
解析 由 sin α＝3>0，得角α的终边在第一、二象限；由 cos α＝－4<0，得角
5
5
α的终边在第二、三象限，故角α的终边在第二象限．
长公式 l＝α·r，∴ 3r＝α·r，∴α＝ 3.
答案 C
5．要想得到函数 y＝sin x 的图象，只需将函数 y＝cos
x－π 3
的图象(
)．
A．向右平移π个单位长度 6
B．向右平移π个单位长度 3
C．向左平移π个单位长度 3
D．向左平移π个单位长度 6
解析
函数 y＝cos
x－π 3
可化为 y＝sin
π＋ 2
x－π 3
x＋π ＝sin 6 .要想得到函数 y
＝sin x 的图象，只需将函数 y＝sin
x＋π 6
的图象向右平移π个单位长度． 6
答案 A
6．函数 y＝2tan
3x－π 4
的一个对称中心是(
)．
π，0 A. 3
B．
π，0 6
－π，0 C. 4
D．
－π，0 2
解析 由题意得 3x－π＝kπ(k∈Z)，解得 x＝2k＋1π(k∈Z)．当取 k＝－2，x
5
5
－3，cos α＝4，2sin α＋cos α＝－2.
5
5
5
18．(本小题满分 12 分)已知 tan α＝3，求下列各式的值：
3cos－π－α－sinπ＋α
(1)
3cos
π＋α 2
＋sin
3π－α 2
；
(2)2sin2α－3sin αcos α－1.
解
－ (1)原式＝
3cos α＋sin α＝ －
章末质量评估(一) 三角函数
(时间：120 分钟 满分：150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各对角中，终边相同的是( )．
A.3π和 2kπ－3π(k∈Z)
2
2
B．－π和22π 55
C．－7π和11π 99
，φ－π＝π，∴φ＝2π，
62
3
∴y＝2sin
2x＋2π 3
，故选
D.
3
答案 D
10．函数 y＝tan(sin x)的值域为( )．
－π，π A. 4 4
－ 2， 2 B． 2 2
C．[－tan 1，tan 1]
D．以上均不对
－π，π 解析 ∵－1≤sin x≤1，∴sin x∈ 2 2 .
－π，π 又∵y＝tan x 在 2 2 上单调递增，
2
2
6
2
3
6
∈Z)．
所以所求的单调递增区间为
kπ－π，kπ＋π
3
6
(k∈Z)．
向左平移 π 个单位 (2)变换情况如下：y＝sin 2x―――――1―2 ――→
y＝sin
2x＋ π 12
将图象上各 ―――――→ 点向上平移3个单位
2
y＝sin
2x＋π 6
＋3. 2
20．(本小题满分 12 分)交流电的电压 E(单位：V)与时间 t(单位：s)的关系可用 E
当 100πt＋π＝π，t＝ 1 ，即第一次获得最大值的时间为 1 s.
6 2 300
300
21．(本小题满分
12
分)函数
y＝Asin(ωx＋φ)
A>0，ω>0，0≤φ≤π 2
在
x∈(0,7π)
内只取到一个最大值和一个最小值，且当 x＝π时，ymax＝3；当 x＝6π时，ymin
＝－3.
(1)求此函数的解析式；
答案 二
14．已知 f(x)＝ax3＋bsin x＋1 且 f(1)＝5，f(－1)的值为________．
解析 ∵f(1)＝5，∴a＋bsin 1＝4，
∴－a－b·sin 1＝－4，
∴f(－1)＝－a－b·sin 1＋1＝－3.
答案 －3
15．已知函数 f(x)＝ 3sin πx的图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好 k
－19π 3．sin 6 的值等于( )．
A.1
B．－1
2
2
C. 3 2
D．－ 3 2
解析
sin
－19π 6
＝－sin19π＝－sin7π＝sin1π＝1.
6
6
62
答案 A
4．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为
( )．
A.π
B．2π
3
3
C. 3
D．2
解析 设圆的半径为 r，则其内接正三角形的边长为 3r，即为弧19．(本小题满分
12
分)已知
f(x)＝sin
2x＋π 6
＋3，x∈R. 2
(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间．
(2)函数 f(x)的图象可以由函数 y＝sin 2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？
解 (1)T＝2π＝π，由 2kπ－π≤2x＋π≤2kπ＋π，k∈Z 知 kπ－π≤x≤kπ＋π(k
r5
r5
－6＋4＝－2. 55 5
(2)∵r＝ x2＋y2＝5|a|，∴当 a>0 时，r＝5a，∴sin α＝－3a＝－3，cos α＝4，
5a 5
5
∴2sin α＋cos α＝－2；当 a<0 时，r＝－5a，∴sin α＝－3a＝3，cos α＝－4，
5
－5a 5
5
∴2sin α＋cos α＝2. 5
|α
α＝kπ，k∈Z 2
；③在同一直角坐标系中，函数 y＝sin x 的图象和函数 y
＝x 的图象有三个公共点；④把函数 y＝3sin
2x＋π 3
的图象向右平移π个单位 6
长度得到函数 y＝3sin 2x 的图象；⑤函数 y＝sin
x－π 2
在[0，π]上是减函数．
其中，正确的说法是________．
3＋tan α ＝
3－
3
＝6－5
3.
－ 3sin α－cos α － 3tan α－1 －3 3－1 13
(2) 原 式 ＝ 2sin2α－3sin αcos α－sin2α－cos2α ＝ 2tan2α－3tan α－tan2α－1 ＝
sin2α＋cos2α
tan2α＋1
18－9－9－1＝－ 1 .
y＝3sin
2
x－π 6
＋π 3
＝3sin
2x，故④对；
对于⑤，y＝sin
x－π 2
＝－cos
x，在[0，π]上为增函数，故⑤错．
答案 ①④
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤)
17．(本小题满分 10 分)(1)已知角α的终边经过点 P(4，－3)，求 2sin α＋cos α的
解析 该函数的周期 T＝π； 2
| | | | －2x－π
2x＋π
因为 f(－x)＝ sin
6 ＝ sin 6 ，因此它是非奇非偶函数；函数 y
| | 2x－π 2π，5π
2x－π 2π，5π
＝sin
6 在 3 6 上是减函数，但 y＝ sin 6 在 3 6 上是增函
数，因此只有 C 正确．
答案 C
A．与 g(x)的图象相同
B．与 g(x)的图象关于 y 轴对称
C．向左平移π个单位，得 g(x)的图象 2
D．向右平移π个单位，得 g(x)的图象 2
解析
因为
f(x)＝sin
x＋π 2
＝cos
x，故将其图象向右平移π个单位，得
y＝g(x)
2
＝cos
x－π 2
的图象．
答案 D
9．如图所示是 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的一段，它的一个解析式为
(2)当－π＋2kπ≤1x＋3π≤π＋2kπ，即－4π＋10kπ≤x≤π＋10kπ时，函数 y＝
2
5 10 2
1x＋3π 3sin 5 10 单调递增，所以此函数的单调递增区间为[－4π＋10kπ，π＋
10kπ](k∈Z)．
22．(本小题满分
12
分)已知函数
f(x)＝Asin(ωx＋φ)
A>0，ω>0，|φ|<π 2
值；
(2)已知角α的终边经过点 P(4a，－3a)(a≠0)，求 2sin α＋cos α的值；
(3)已知角α终边上一点 P 与 x 轴的距离与 y 轴的距离之比为 3∶4，求 2sin α
＋cos α的值．
解 (1)∵r＝ x2＋y2＝5，∴sin α＝y＝－3，cos α＝x＝4，∴2sin α＋cos α＝
数解析式为( )．
A．y＝sin
π t＋π 30 6
B．y＝sin
－ π t－π 60 6
C．y＝sin
－ π t＋π 30 6
D．y＝sin
－ π t－π 30 3
解析 由题意知，函数的周期为 T＝60，∴ω＝2π＝ π . 60 30
－ π t＋φ 设函数解析式为 y＝sin 30 .
∵初始位置为 P0
42
12
＝－π.即选项 C 正确． 4
答案 C
7．(2012·云南检测)下列各函数值中符号为负的是( )．