2.2轴对称的基本性质(1)
2.2轴对称的基本性质1
L
3、画出轴对称图形
C B
（1）连接AE、BG， AE与BG平行吗？为 什么？ （2） AE与BG平行，能说明轴对称图形对 称点的连线一定互相平行吗？
●
A
●
l D H
●
E
●
C
● ●
●
F
B
G
●
感谢同学们的积极参与！
B′
B
C
C′
●
B′
2、如图，并仿照上面进行操作，扎孔、展开、标记、连 线． △ABC 与△A′B′C′有什么关系？
说一说
A
轴对称的性质
A
轴对称的性质： 1．成轴对称的两个图形．对应线段相等，对应角相等 2．成轴对称的两个图形中，对称轴垂直平分对 应点的连线。
1、如图所示的两个三角形关于某条直线对称，∠1 ＝110°,∠2＝46°,则x＝ .
x 1
2. 下图是轴对称图形，相等的线段 是 ，相等的角 A E G D A K C B H F B C E 3.已知长方形按如图方式折叠，则∠E=( ),图中GD = ( ) DC=( ) CH=( )
2
D
例1
如图成轴对称的两个图形，你能否画出对称轴的位
置？并说出你是怎样画的． (1)图中两个“4”有什么关系？
2.2 轴对称的基本性质（1）
青岛版 《数学》八年级（上）
学习目标
1. 探索轴对称的图形的性质,并能熟记轴对称 图形的性质 2.熟练运用轴对称基本的性质，画出 已知图 形的轴对称图形。
实验与探究一：
如图所示，把一张纸折叠后，用针扎一个孔；再把 纸展开，两针孔分别记为点A、点A′，折痕记为l ；
初中数学青岛版八年级上2.2《轴对称的基本性质》
1、选关键点， 2、作垂线， 3、取相等， 4、对称点顺次连。
B
l
A
D
CE
对应线段 所在直线 的交点在 对称轴上 F 或与对称 轴平行
校训：立德树人 求实创新 拓展 生成
如何寻找对称轴？
A
D
CE B
F
①取中点，做垂线
②过对应线段所在直线的两个交点作 直线。
思考：
校训：立德树人 求实创新
情景 回扣
轴对称的基本性质
实践探究 理解记忆
应用作图 拓展生成
校训：立德树人 求实创新 实践 探究
做一做
（1）把一张纸片对折，扎一个小孔，然后展开铺平，记得到的两个
小孔为点A与A′，折痕为MN，连接AA′交MN于点O。
猜一猜，说一说
（2）如果将纸片沿MN重新折 叠，线段OA与OA′有怎样的
M
数量关系？
（3）线段AA′与直线MN有怎 样的位置关系 ？猜想一下。并
l
A
O
A′
请总作结垂关线键，步 骤可取分相几等步。。
点A′就是所求点。
校训：立德树人 求实创新 拓展 生成
（2）已知点A和A′是对称点，如何确定点A和A′的对称 轴？
M
A O A′ N
取中点， 作垂线
校训：立德树人 求实创新 应用 作图
如何作直线l关于直线MN 的对称直线l ′
M
作法：
l
l′
1、在直线l 取不重合的两点A,B,
M
（5）连接DD′，交MN于点P， 你发现线段DD′与直线MN具 有怎样的关系？
A
A′
E
B
F
B′
D
P
D′
C G C′ N
轴对称的基本性质(第1课时)课件
点A′就是点A关于直线l的对称点；
2.类似地，作出点B关于直线l
的对称点B′； 3.连接A′B′.
B
B′
所以线段A′B′即为所求.
【规律方法】 作已知图形关于某条直线对称的图形的一般步聚:
1.找点 （确定图形中的一些特殊点）. 2.画点 （画出特殊点关于已知直线的对称点）. 3.连线 （连接对称点）.
【跟踪训练】
1．两个图形关于某直线对称，对称点一定在 ( D )
A．直线的两旁
B．直线的同旁
C．直线上
D．直线两旁或这直线上
2．轴对称图形沿对称轴对折后，对称轴两旁的
部分（ A ）
A．完全重合
B．不完全重合
C．两者都有
D. 没有关系
3.如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线 段被__对__称__轴__垂直平分. 4.下图是轴对称图形，相等的线段是_A_B_=_C_D_，__B_E_=_C_E__， 相等的角__∠__B_=_∠__C___.
A
ED
B
C
共同探究
l
已知对称轴 l 和一个点A，如何
画出点A关于 l 的对称点A′?
A
O
A′
作法: 过点A作直线l的垂线，在垂线上
截取OA′=OA,垂足为点O，点A′就是 点A关于直线l 的对称点.
【例 题】
例2 如图，已知△ABC和直线l，怎样作出与△ABC关于直
线l对称的图形呢？
【解析】△ABC可以由三
（2）对应线段相等，对应角相等. 2.按要求作出一图形关于某条直线成轴对称的图形.
1.下面说法中，正确的是（ Ｃ ） Ａ.设Ａ，Ｂ关于直线MN对称，则AB垂直平分MN. Ｂ.如果△ABC≌△DEF,则一定存在一条直线MN，使 △ABC与△DEF关于MN对称. C.如果一个三角形是轴对称图形，且对称轴不止一条， 则它是等边三角形. Ｄ.两个图形关于MN对称，则这两个图形分别在MN的两 侧.
2-2 轴对称的性质(解析版)
姓名： 班级2.2 轴对称的性质本课重点（1）轴对称的性质 本课难点 （2）利用轴对称解决最值问题（将军饮马）全卷共25题，满分：120分，时间：90分钟一、单选题（每题3分，共30分） 1．（2021·江苏八年级专题练习）如图，若平行四边形ABCD 与平行四边形EBCF 关于BC 所在直线对称，90ABE ∠=︒，则F ∠的度数为（ ）A ．30°B ．45°C ．50°D ．60°【答案】B 【分析】根据轴对称的性质可得∠ABC ＝∠EBC ，然后求出∠EBC ，再根据平行四边形的对角相等解答．【详解】∵平行四边形ABCD 与平行四边形EBCF 关于BC 所在的直线对称，∴∠ABC ＝∠EBC ， ∵∠ABE ＝90°，∴∠EBC ＝45°，∵四边形EBCF 是平行四边形，∴∠F ＝∠EBC ＝45°．故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称的性质，平行四边形的对角相等的性质，熟记各性质是解题的关键． 2．（2021北京市 八年级期中）下列说法中正确的是（ ）①对称轴上没有对称点；②如果ABC ∆与△A B C '''关于直线L 对称，那么ABC A B C S S ∆'''=；③如果线段AB A B =''，直线L 垂直平分AA '，则AB 和A B ''关于直线L 对称；④射线不是轴对称图形．A ．②B ．①④C ．②④D ．②③ 【答案】A【分析】根据轴对称的性质和定义，对题中条件进行一一分析，选出正确答案．【详解】①对称轴上有对称点，错误；②如果ABC ∆与△A B C '''关于直线L 对称，那么ABC A B C S S ∆'''=，正确； ③如果线段AB A B =''，直线L 垂直平分AA '，由于位置关系不明确，则AB 和A B ''不一定关于直线L 对称，错误；④射线是轴对称图形，故本选项错误．故选：A ．【点睛】本题考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．3．（2021·江苏南通市·九年级一模）如图，在Rt △ACB 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D ，△ABD 与△ADB’关于直线AD 对称，点B 的对称点是点B ’，若∠B’AC ＝14°，则∠B 的度数为 （ ）A ．38°B ．48°C ．50°D ．52°【答案】D 【分析】由对称的性质得=BAD B AD '∠∠，根据∠BAC ＝90°可得38BAD ∠=︒，再根据直角三角形两锐角关系求解即可．【详解】解：∵△ABD 与△ADB’关于直线AD 对称，∴=BAD B AD '∠∠∵∠BAC ＝90°，∠B’AC ＝14°∴90BAD B AD B AC ∠+∠+'∠='︒∴38BAD ∠=︒ ∴903852B ∠=︒-︒=︒ 故选D ． 【点睛】本题考查了轴对称的性质以及直角三角形两锐角关系，掌握轴对称的性质是本题的关键． 4．（2020·河南郑州市·八年级月考）如图所示，在四边形ABCD 中，边AB 与AD 关于AC 对称，则下面结论错误的是（ ）A ．AC 平分BAD ∠B ．BD AC ⊥ C ．CA 平分BCD ∠ D ．BD 平分AC【答案】D 【分析】根据轴对称的性质可得直线AC 是BD 的垂直平分线，然后对各小题分析判断即可得解．【详解】解：∵边AB 与AD 关于AC 对称，∴直线AC 是BD 的垂直平分线，∴①AC 平分∠BAD 正确；②BD ⊥AC 正确；；③AC 平分∠BCD ，正确④BD 平分AC 错误；故选：D ． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的判定与性质，熟记性质是解题的关键．5．（2021·黑龙江哈尔滨市·八年级期末）下列说法正确的是（ ）A ．如果两个三角形全等，则它们是关于某条直线成轴对称的图形B．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形C．等边三角形是关于一条边上的中线成轴对称的图形D．一条线段是关于经过该线段中点的中线成轴对称的图形【答案】B【分析】根据轴对称图形的概念和全等三角形的概念求解即可．【详解】解：选项A：如果两个三角形全等，则它们不一定是关于某条直线成轴对称的图形，所以选项A 不正确；选项B：如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形，所以选项B正确；选项C：三角形的中线是线段，而对称轴是直线，应该说等边三角形是关于一条边上的中线所在直线成轴对称的图形，所以选项C不正确；选项D：一条线段是关于经过该线段中垂线成轴对称的图形，所以选项D不正确；故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形，轴对称和轴对称图形的性质，熟练掌握：①如果两个图形成轴对称，那么这两个图形全等；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③线段、等腰三角形、等边三角形等都是轴对称图形．5．（2020·江苏汇文实验初中八年级月考）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔.若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（）A．1 号袋B．2 号袋C．3 号袋D．4 号袋【答案】B【分析】根据轴对称的性质画出图形即可得出正确选项．【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：∴最后落入2号球袋,故选B.【点睛】本题考查轴对称图形的定义与判定，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴；画出图形是正确解答本题的关键． 6．（2020·江苏省常熟市梅李中学八年级月考）如图，OAB ∆和''OA B ，关于直线OP 对称，则下列说法错误的是（ ）A ．'OA OA =B ．线段'AA 被直线OP 垂直平分C ．'A A ∠=∠D ．OP 不是'BB 的垂直平分线【答案】D 【分析】根据轴对称图形的性质分别判断得出即可．【详解】解：∵△OAB 和△OA′B′，关于直线OP 对称，∴OA=OA′，故A 选项正确，不符合题意； 线段AA′被直线OP 平分，故B 选项正确，不符合题意；∠A=∠A′，故C 选项正确，不符合题意； OP 是BB′的垂直平分线，故D 选项不正确，符合题意；故选：D ． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的性质，熟练根据轴对称图形的性质得出是解题关键．7．（2021·安徽九年级一模）如图，在四边形ABCD 中，请在所给的图形中进行操作：①作点A 关于BD 的对称点P ：②作射线PC 交BD 于点Q ；③连接AQ ．试用所作图形进行判断，下列选项中正确的是（ ）A ．PCB AQB ∠=∠ B ．PCB AQB ∠<∠C ．PCB AQB ∠>∠D ．以上三种情况都有可能【答案】C 【分析】利用轴对称的性质以及三角形的外角的性质证明即可． 【详解】解：如图，∵A ，P 关于BD 对称，∴∠AQB =∠PQB ，∵∠PCB ＞∠PQB ，∴∠PCB ＞∠AQB ，故选：C ．【点睛】本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．8．（2021·台湾九年级模拟）如图，ABC 中，D 、E 、F 三点分别在AB 、BC 、AC 上，且四边形BEFD 是以DE 为对称轴的线对称图形，四边形CFDE 是以FE 为对称轴的线对称图形．若=40C ∠︒，则DFE ∠的度数为何？（ ）A ．65B ．70C ．75D ．80【答案】D 【分析】根据轴对称的性质可得BED DEF CEF ∠∠∠＝＝，据此可得60DEF ∠︒＝，40EDF C ∠∠︒＝＝，再根据三角形的内角和定理可得DFE ∠的度数． 【详解】四边形BEFD 是以DE 为对称轴的线对称图形，四边形CFDE 是以FE 为对称轴的线对称图形， 180603BED DEF CEF ︒∴∠∠∠︒＝＝＝＝，40EDF C ∠∠︒＝＝， 18080DFE DEF EDF ∴∠︒-∠-∠︒＝＝，故选：D ．【点睛】本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．9．（2021·河北中考真题）如图，直线l ，m 相交于点O ．P 为这两直线外一点，且 2.8OP =．若点P 关于直线l ，m 的对称点分别是点1P ，2P ，则1P ，2P 之间的距离可能．．是（ ）A ．0B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】连接112221,,,,OP P OP PP PP P 根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论．【详解】解：连接112221,,,,OP P OP PP PP P ，如图，∵1P 是P 关于直线l 的对称点，∴直线l 是1PP 的垂直平分线，∴1 2.8OP OP ==∵2P 是P 关于直线m 的对称点，∴直线m 是2PP 的垂直平分线，∴2 2.8OP OP ==当12,,P O P 不在同一条直线上时，121212OP OP PP OP OP <<-+即120 5.6PP <<当12,,P O P 在同一条直线上时，1212 5.6PP OP OP =+=故选：B 【点睛】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键10．（2021·江苏九年级一模）如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 边上的动点，则△DEF 的周长的最小值是（ ）A ．2.5B ．3.5C ．4.8D ．6【答案】C 【分析】如图作D 关于直线AC 的对称点M ，作D 关于直线BC 的对称点N ，连接CM ，CN ，CD ，EN ，FM ，DN ，DM ．由∠MCA =∠DCA ，∠BCN =∠BCD ，∠ACD +∠BCD =90°，推出∠MCD +∠NCD =180°，可得M 、B 、N 共线，由DF +DE +EF =FM +EN +EF ，FM +EN +EF ≥MN ，可知当M 、F 、E 、N 共线时，且CD ⊥AB 时，DE +EF +FD 的值最小，最小值=2CD ，求出CD 的值即可解决问题．【详解】解：如图，作D 关于直线AC 的对称点M ，作D 关于直线BC 的对称点N ，连接CM ，CN ，CD ，EN ，FM ，DN ，DM ．∴DF =FM ，DE =EN ，CD =CM ，CD =CN ，∴CD =CM =CN ，∵∠MCA =∠DCA ，∠BCN =∠BCD ，∠ACD +∠BCD =90°，∴∠MCD +∠NCD =180°，∴M 、C 、N 共线，∵DF +DE +EF =FM +EN +EF ，∵FM +EN +EF ≥MN ，∴当M 、F 、E 、N 共线时，且CD ⊥AB 时，DE +EF +FD 的值最小，最小值为MN =2CD ，∵CD ⊥AB ，∴12•AB •CD =12•AB•AC ，∴CD =•AB AC AB =125=2.4， ∴DE +EF +FD 的最小值为4.8．故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题（每题3分，共24分）11．（2021·江苏泰州市·八年级期中）一辆汽车的车牌号在水中的倒影是“”，那么它的实际车牌号是：___．【答案】苏2737L X ．【分析】关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平的线对称．【详解】解：它的实际车牌号是：苏2737L X ，故答案为：苏2737L X ． 【点睛】本题考查了镜面反射的性质；解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字．12．（2021·河南七年级期末）如图，点P 在AOB ∠内部，点E ，F 分别是点P 关于直线OA ，OB 的对称点，若40AOB ∠=︒，则E F ∠+∠=______．【答案】140°【分析】连接OP ，根据轴对称的性质得80EOF ∠=︒，,E EPO F FPO ∠=∠∠=∠，再利用四边形内角和是360°计算可得答案．【详解】解：连接OP ，如图：∵E ，F 分别是点P 关于OA ，OB 的对称点，∴,EOA AOP POB BOF ∠=∠∠=∠∵AOB AOP POB ∠=∠+∠∴280EOF AOB ︒∠=∠=∵E ，F 分别是点P 关于OA ，OB 的对称点，∴,PE OA PF OB ⊥⊥∵40,AOB ︒∠=∴140EPF ︒∠=∴36080140140E F ︒︒︒︒∠+∠=--=故答案为：140°【点睛】本题考查了轴对称的性质，四边形的内角和性质，证得80EOF ∠=︒，,E EPO F FPO ∠=∠∠=∠是解答本题的关键．13．（2021·甘肃八年级期末）如图，物理课上，老师和同学们做了如下实验：平面镜A 与B 之间夹角为120°，光线经平面镜A 反射到平面镜B 上，再反射出去，若∠1＝∠2，则∠1的度数为_____【答案】30°【分析】如图（见解析），先根据镜面反射的特点可得13,24∠=∠∠=∠，从而可得34∠=∠，再根据三角形的内角和定理即可得．【详解】如图，由镜面反射的特点得13,24∠=∠∠=∠ 12∠=∠34∴∠=∠又34120180∠+∠+︒=︒33120180∴∠+∠+︒=︒，解得330∠=︒则130∠=︒故答案为：30．【点睛】本题考查了镜面反射的特点、三角形的内角和定理，掌握平面镜的特点是解题关键．14．（2020·浙江杭州市·八年级模拟）给出如下三个图案，它们具有的公共特点是：________．（写出1个即可）【答案】都是轴对称图形【分析】利用已知图形的特征分别得出其公共特征．【详解】解：答案不唯一，例如：都是轴对称图形，故答案为：都是轴对称图形．【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是正确把握轴对称图形的特征．15．（2021·河南驻马店市·八年级期末）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，存在着很多这种图形变换（如图①）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图②）的对应点所具有的性质是_____________．【答案】对应点到对称轴的距离相等【分析】由已知条件，根据轴对称的性质和平移的基本性质可得答案．【详解】解：两个对应三角形的对应点所具有的性质是对应点到对称轴的距离相等．故答案为：对应点到对称轴的距离相等．【点睛】本题主要考查了轴对称及平移的性质，正确把握对应点之间关系是解题的关键．16．（2021·广东九年级模拟）如图，在矩形ABCD 中，8,4AB BC ==，一发光电子开始置于AB 边的点P 处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR 方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与AB 边的碰撞次数是_________．【答案】674【分析】根据题意易得发光电子经过六次回到点P ，进而根据此规律可进行求解． 【详解】解：根据题意可得如图所示：由图可知发光电子经过六次回到点P ，则发光电子与AB 边碰撞的次数为2次，∴202163365÷=⋅⋅⋅⋅， ∴发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与AB 边的碰撞次数是33622674⨯+=（次）； 故答案为674． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．17．（2021·河北天津·）如图，∠ABC=50°，BD 平分∠ABC ，过D 作DE ∥AB 交BC 于点E ，若点F 在AB 上，且满足DF=DE ，则∠DFB 的度数为_____．【答案】50°或130°．【分析】由题意可知，点F 的位置存在如下图所示的两种情况（在点F 处或点F′处），根据图形结合“已知条件”利用“角的两边关于角平分线对称和等腰三角形的性质”进行分析解答即可.【详解】如下图，∵DE ∥AB ，∴∠DEC=∠ABC=50°，∴∠DEB=180°-50°=130°，（1）当点F 在AB 边上的F 处时，由DF=DE 和BD 平方∠ABC 可知，此时△BDF 和△BDE 关于BD 对称，∴△BDF ≌△BDE ，∴∠DFB=∠DEB=130°；（2）当点F 在AB 边上的F′处时，∵DF′=DE=DF ，∴∠DF′B=∠DFF′，又∵∠DFF′=180°-∠DFB=50°，∴∠DF′B=50°；综上所述，∠DFB=50°或130°.故答案为：50°或130°. 【点睛】本题的解题要点有以下两点：（1）知道点F 的位置在AB 上存在两种情形，并能画出对应的图形；（2）知道当点F 在AB 边上的F 处时，△DFB 和△DEB 是关于∠ABC 的角平分线BD 对称的.18．（2021·和平区·天津一中八年级期末）如图，25AOB ∠=︒，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记MPQ α∠=，PQN β∠=，当MP PQ QN ++的值最小时，βα-的大小=__________（度）．【答案】50【分析】作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，可知此时MP PQ QN ++最小，此时OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．【详解】作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时MP PQ QN ++最小，即MP PQ QN M N ''++=， ∴OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，∵MPQ PQN αβ∠=∠=，，∴11(180)(180)22QPN OQP αβ∠=︒-∠=︒-，， ∵QPN AOB OQP ∠=∠+∠，25AOB ∠=︒，∴11(180)25(180)22αβ︒-=︒+︒- ， ∴50βα-=︒ ．故答案为：50．【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形内角和，三角形外角的性质等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键，综合性较强．三、解答题（19-22题每题9分，其他每题10分，共66分）19．（2021·山东菏泽市·八年级期末）下图，要在燃气管道L 上修建一个泵站，分别向A 、B 两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？（不写做法，保留作图痕迹）【答案】见解析【详解】作出A 镇关于燃气管道的对称点A′，连接A′B ，根据轴对称确定最短路线问题，A′B 与燃气管道的交点即为所求的点P 的位置．解析：作点A 关于燃气管道的对称点A′，连接A′B 交燃气管道于点P ，即点P 即为所求．20．（2021·湖北襄阳市·八年级期末）如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，将四边形沿对角线BD折叠，点A 恰好落在DC 边上的点E 处，若∠EBC =20°，求∠EBD 的度数．【答案】25︒【分析】根据AD ∥BC ，DC ⊥BC ，∠EBC=20°，再利用三角形外角的性质，可求得∠DEB 的度数，由折叠的性质，可得：∠A=∠DEB=110°，∠ABD=∠EBD ，继而求得∠EBD 的度数．【详解】解：∵AD ∥BC ，DC ⊥BC ，∴∠C=90°，∵∠EBC=20°，∴∠DEB=∠EBC +∠C=20°+90°=110°，由折叠的性质可得：∠A=∠DEB =110°，∠ABD=∠EBD ，∵AD ∥BC ，∴∠ABC=180°-∠A=180°-110°=70°，∴∠EBD=70202522ABCEBC ．【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．21．（2021·湖北八年级期中）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹.（1）如图①，四边形ABCD 中，AB AD =，BC DC =，画出四边形ABCD 的对称轴m ； （2）如图②，ABC ∆中，AB AC =，D ，E 分别在AB ，AC ，且AD AE =，画出BC 边的垂直平分线n .【答案】见解析.【分析】（1）连接AC ，AC 所在直线即为对称轴m ．（2）连接CD ，BE 交于一点，连接A 与交点即可获得垂直平分线n ． 【详解】（1）如图①，直线m 即为所求（2）如图②，直线n 即为所求【点睛】本题考查了轴对称作图，根据全等关系可以确定点与点的对称关系，从而确定对称轴所在，即可画出直线．22．（2021·浙江八年级月考）台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球的方向，因此，台球既复杂又有趣，台球运动被称为智慧和技能的较量．问题1：如图（1），如果母球P击中桌边点A，经桌边反弹击中相邻另一条桌边，再次反弹，那么母球P经过的路线BC与PA平行吗？证明你的判断．问题2：在一张简易球桌ABCD上，如图（2）所示，目标球F、母球E之间有一个G球阻挡，击球者想通过击打母球E先撞球台的CD边，过一次反弹后再撞击F球，他应将E球打到CD边上的哪一点？请用尺规作图在图（2）中作出这一点．问题3：如图（3），在简易球台ABCD上，已知AB=4，BC=3．母球P从角落A以45°角击出，在桌子边缘回弹若干次后，最终必将落入（填A、B、C、D）角落的球袋，在它落入球袋之前，与桌子边缘共回弹了次；若AB=100，BC=99，母球P还终将会落入某个角落的球袋，则它在落入球袋之前，在桌子边缘总共回弹了次．【答案】问题1 BC∥PA；问题2见解析；问题3比前一次的位置下移2格，所以要撞击边的次数为100+99﹣2=197次．【详解】（1）类似于光线的反射问题，可通过计算同旁内角互补，得出平行的结论；（2）入射角等于反射角，找出E点关于AB的对称点E1，连接E1F交AB于H根据对称图形的特点及对顶角相等得出∠BHF=∠E1HA=∠EHA，求出E1N及NF的长运用勾股定理求出E1F的长，因对应边EH=E1H，E1H即为所求；（3）根据当AB=4，AD=3时的例图及弹子的运行规律：每一条运行轨迹都是一个正方形的对角线，画出图形，即可得出结论．解：（1）如图，∵∠PAD=∠BAE，∠PAB=180°﹣∠PAD﹣∠BAE，∴∠PAB=180°﹣2∠BAE．同理，∠ABC=180°﹣2∠ABE．∵∠BAE+∠ABE=90°，∴∠PAB+∠ABC=360°﹣2（∠BAE+∠ABE）=180°．∴BC∥PA．（2）可作点E关于直线AB的对称点E1，连接E1F，E1F与AB交于点H，球E的运动路线就是EH→HF，过点F作AB的平行线交E1E的延长线于点N，；（3）如图，母球P从角落A以45°角击出，在桌子边缘回弹若干次后，最终必将落入B（填A、B、C、D）角落的球袋，在它落入球袋之前，与桌子边缘共回弹了5次；设由DC边反弹，弹子撞击BC边的位置距离C点为K格，从BC边反弹后，弹子撞击AB边的位置距离B 点为（99﹣k）格，距离A点为（k+1）格经过AB边反弹后，弹子撞击AD边的位置距离A点为（k+1）格，距离D点为[99﹣（K+1）]格，经AD反弹，弹子撞击DC边的位置距离D点为[99﹣（k+1）]格，距离C 点为100﹣[99﹣（K+1）]=K+2格再撞击BC边的位置距离C点为k+2格，即比前一次的位置下移2格，所以要撞击边的次数为100+99﹣2=197次．23．（2021·河北唐山市·八年级期末）如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB对称点是D，连接CD交OA于M，交OB于N．（1）①若∠AOB＝70°，则∠COD＝°；②若∠AOB＝α，求∠COD的度数．（2）若CD＝8，则求△PMN的周长．【答案】（1）①140°；②∠COD＝2α；（2）△PMN的周长为8．【分析】（1）①由点C和点P关于OA对称．可得∠AOC＝∠AOP，由点P关于OB对称点是D，可得∠BOD＝∠BOP，可求∠COD＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB=140°即可；②由点C和点P关于OA对称．可得∠AOC＝∠AOP，由点P关于OB对称点是D，可得∠BOD＝∠BOP，可求∠COD＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD＝2α；(2)根据轴对称的性质，可知CM＝PM，DN＝PN可求△PMN的周长为：PM+PN+MN＝CD＝8即可；【详解】解：（1）①∵点C和点P关于OA对称，∴∠AOC＝∠AOP，∵点P关于OB对称点是D，∴∠BOD＝∠BOP，∴∠COD＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB=2×70°=140°，故答案为：140°，②∵点C和点P关于OA对称．∴∠AOC＝∠AOP，∵点P关于OB对称点是D，∴∠BOD＝∠BOP，∴∠COD＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝2α，(2)根据轴对称的性质，可知CM＝PM，DN＝PN，所以△PMN 的周长为：PM +PN +MN ＝CM +DN +MN ＝CD ＝8． 【点睛】本题考查轴对称的性质与运用，角的和差，掌握轴对称性质是解题关键．24．（2021·三河市第二实验中学八年级期末）如图，ABC 与ADE 关于直线MN 对称，BC 与DE 的交点F 在直线MN 上．若4cm ED =，1cm FC =，76BAC，58EAC ∠=︒．（1）求出BF 的长度；（2）求CAD ∠的度数．【答案】（1）BF ＝3cm ；（2）CAD ∠＝18°【分析】（1）根据△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称确定对称点，从而确定对称线段相等即BC ＝ED ，即可求出BF 的值；（2）根据△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，利用轴对称的性质得出对称角∠EAD ＝∠BAC ，即可解决问题；【详解】解：（1）∵△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，ED ＝4cm ，FC ＝1cm ，∴BC ＝ED ＝4cm ，∴BF ＝BC −FC ＝3cm ．（2）∵△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，∠BAC ＝76°，∠EAC ＝58°，∴∠EAD ＝∠BAC ＝76°，∴∠CAD ＝∠EAD −∠EAC ＝76°−58°＝18°． 【点睛】本题考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 25．（2021·浙江九年级一模）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 是BC 边上的点，连接AD ，AE ，以△ADE 的边AE 所在直线为对称轴作△ADE 的轴对称图形△AD 'E ，连接D 'C ，若BD ＝CD '．（1）求证：△ABD ≌△ACD '．（2）若∠BAC ＝100°，求∠DAE 的度数．【答案】（1）见解析；（2）50︒．【分析】（1）由对称得到AD AD ='，再证明ABD △≅ACD '△ ()SSS 即可；（2）由全等三角形的性质，得到BAD CAD '∠=∠，∠BAC ＝DAD '∠=100°，最后根据对称图形的性质解题即可．【详解】解：（1）以△ADE 的边AE 所在直线为对称轴作△ADE 的轴对称图形△A D E '，AD AD '∴=在△ABD 与ACD '△中，AB AC BD CD AD AD ''=⎧⎪=⎨⎪=⎩ABD ∴≅ACD '△ ()SSS （2）ABD ≅ACD '△ ()SSSBAD CAD '∴∠=∠，∠BAC ＝DAD '∠=100°，以△ADE 的边AE 所在直线为对称轴作△ADE 的轴对称图形△A D E '， 111005022DAE D AE DAD ''∴∠=∠=∠=⨯︒=︒∴∠DAE 50=︒． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．附加题（1-3题，每题5分，共15分）1．（2021·黑龙江八年级期末）如图所示，45MON ∠=︒，点P 为MON ∠内一点，点P 关于OM ON 、对称的对称点分别为点12P P 、，连接11212OP OPPP PP PP 、、、、，12PP 分别与OM ON 、交于点A B 、，连接AP BP 、，则APB ∠的度数为【答案】90︒【分析】由45MON ∠=︒，根据三角形的内角和定理可得到OAB OBA ∠+∠的值，再根据对顶角相等可以求出12PAM P BN ∠+∠的值，然后由点P 与点1P 、2P 对称的特点，求出MAP NBP ∠+∠，进而可以求出PAB PBA ∠+∠的值，最后利用三角形的内角和定理即可求出APB ∠．【详解】∵45MON ∠=︒∴180********OAB OBA MON ︒︒︒︒∠+∠=-∠=-=∵1PAM OAB ∠=∠，2P BN OBA ∠=∠∴12135PAM P BN ︒∠+∠= 又∵点P 关于OM ON 、对称的对称点分别为点12P P 、∴1MAP PAM ∠=∠，2NBP P BN ∠=∠∴135MAP NBP ︒∠+∠= ∴360135290PAB PBA ︒︒︒∠+∠=-⨯=∴()1801809090APB PAB PBA ︒︒︒︒∠=-∠+∠=-= 【点睛】本题考查的知识点有三角形的内角和、轴对称的性质，运用这些性质找到相等的角进行角的和差的转化是解题的关键.2．（2021·安徽芜湖市·八年级期末）如图，在Rt ABC △中．AC BC ⊥，若5AC =，12BC =，13AB =，将Rt ABC △折叠，使得点C 恰好落在AB 边上的点E 处，折痕为AD ，点P 为AD 上一动点，则PEB △的周长最小值为___．【答案】20．【分析】根据ADE ∆由ACD ∆沿AD 对称,得到AE AC =，进而表示出PB PEPB PC BC ，最后求PEB∆周长即可．【详解】ADE ∆由ACD ∆沿AD 对称得到，则E 与C 关于直线AD 对称，5AE AC ==，∴1358BE AB AE =-=-=，如图,连接PC ，由题意得PC PE =，∴12PB PE PB PC BC ，当P 在BC 边上，即D 点时取得最小值12，∴PEB ∆周长为PE PB BE ，最小值为12820+=．故答案为:20． 【点睛】本题考查了三角形折叠问题，正确读懂题意是解本题的关键．3．（2021·清远市清新区凤霞中学）如图，点D 是锐角AOB ∠内一点，DE OA ⊥于点E ，点F 是线段OE 的一个动点，点G 是射线OB 的一个动点，连接DF 、FG 、GD ，当DFG 的周长最小时，FDG ∠与AOB ∠的数量关系式是________．【答案】2180FDG AOB ∠+∠=︒【分析】作D 关于OA 的对称点D ′，作D 关于OB 的对称得D ″，连接D ′D ″，交OA 、OB 于F 、G ，此时△DFG的周长最小，最小值为D ′D ″，连OD 、OD ′、OD ″，根据轴对称的性质得出△GOD ≌△GOD ″，△FOD ≌△FOD ′，即可得出∠BOD =∠BOD ′，∠ODG =∠OD ″G ，∠DOA =∠AOD ′，∠ODF =∠ODF ′，由∠D ′OD ″=2∠AOB ，∠GDF =∠ODF ′+∠ODG ″根据三角形内角和定理即可得出2∠AOB +∠GDF =180°．【详解】解：作D 关于OA 的对称点D ′，作D 关于OB 的对称得D ″，连接D ′D ″，交OA 、OB 于F 、G ，此时△DFG 的周长最小，最小值为D ′D ″，连OD 、OD ′、OD ″，由轴对称的性质可知，△GOD≌△GOD″，△FOD≌△FOD′，∴∠BOD=∠BOD″，∠ODG=∠OD″G，∠DOA=∠AOD′，∠ODF=∠OD′F，∴∠D′OD″=2∠AOB，∠GDF=∠OD′F+∠OD″G，∵∠D′OD″+∠OD′F+∠OD″G=180°，∴2∠AOB+∠GDF=180°，故答案为2∠AOB+∠GDF=180°．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．。
1.2 轴对称的性质(一)
学案初二1.2 轴对称的性质（一）——提前自学班级姓名一、自学目标：1、知道线段的垂直平分线的概念,掌握轴对称图形的性质。
2、会画简单的图形关于对称轴的对称图形。
自学重点：会利用轴对称性质作对称点、对称图形等。
自学难点：准确理解成轴对称的两个图形的基本性质并会简单应用性质解决实际问题。
二、自学过程：1、完成课本第10页的操作,即图1—7，并将你完成的操作带到课堂上来。
2、思考：（1)、针孔A、A’折痕l之间有什么关系？请记录下你的发现。
（2)、线段AA’与折痕l之间有什么关系？请记录下你的发现。
（3)、且一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
（4)、成轴对称的两个图形。
（5)、如果两个图形成轴对称，那么对称轴是的垂直平分线。
3、自学、相信自己：1．下列数字图象都是由镜中看到的，请分别写出它们所对应的实际数字，并说明数字图象与镜面的位置关系。
图 1 图 22、（1）如图所示在方格纸上画出的一棵树的一半，请你以树干为对称轴画出树的另一半（2）如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗?（3）作轴对称图形的对称轴的方法是：找到一对，作出连接它们的的线，就可以得到这个图形的对称轴．1.2 轴对称的性质（一）——作业（一）回顾与检测：1、右图是从镜中看到的一串数字，这串数字应为 .23、右图是两个关于某条直线成轴对称的图形，请你画出它们的对称轴。
（二） 拓展：1、如上图，在两面成“八”字形放置的镜子中间放着塑料做的数字9， 你在左右两面镜子中看到的像是怎么样的？请你把它们写出来。
2、如图，△ABC 中，∠C=900⑴在BC 上找一点D ，使点D 到AB 的距离等于DC 的长度；⑵连结AD ，画一个三角形与△ABC 关于直线AD 对称.3、（1）实践与运用:将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过 点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D '处，折痕为E G（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中α∠的大小．（2）观察与发现小明将三角形纸片()ABC AB AC >沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到AEF △（如图②）．小明认为AEF △是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（3）、思考题：如图，DA 、CB 是平面镜前同一发光点S 发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S 的位置，并将光路图补充完整.（三）自我反思与整理我的收获与困惑：A 图① A 图② F E E D C FB A图③ E D C A B F G ' D ' A D E C B F α 图④ 图⑤。
2.2轴对称的性质(1)
(1)2.2轴对称的性质教学目标1．知道线段垂直平分线的概念，知道成轴对称的两个图形全等，且成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；2．经历探索轴对称性质的活动过程，积累数学活动经验，进一步发展空间观念和有条理的思考和表达能力．教学重点理解“成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段相等、对应角相等”．教学难点轴对称性质的运用教学过程开场白同学们，你们喜欢照镜子吗你知道“你与镜中的你”有什么关系吗引入【一些图形也想照镜子看看自己美不美，一位数学老师就让同学们记录下圆、正方形、长方形、平行四边形照镜子的状况，你对这四位的记录有什么意见吗（投影图片）同学们的看法到底对不对通过这一节课的学习我们就有答案了（对学生的回答不予评价，探索完轴对称的性质后，让学生自评或互评）．需满足几个条件（活动说明：最好用透明纸，这样更方便观察现象）．实践探索一1．指导学生完成下边的活动（投影要求）．活动一：如图所示，把一张纸折叠后，用针扎一个孔；再把纸展开，两针孔分别记为点A、点A，折痕记为l；连接AA，AA与l相交于点O．2．探究：你有什么发现（1）通过活动一的操作，你小组探索的结果是什么你们是怎样发现的给直线l起个名字．（2）线段的垂直平分线你觉得线段的垂直平分线我们怎样定义%线段的垂直平分线的特征是什么实践探索二指导学生完成活动二（投影要求）．仿照上面的操作，在对折后的纸上再扎一个孔，把纸展开后记这两个针孔为点B、点B，连接AB、A B、BB．你有什么新的发现实践探索三（投影要求）如图，并仿照上面进行操作，扎孔、展开、标记、连线．你又有什么发现引导学生观察，形成结论．返回情景导入题（投影图片）开始同学们的回答对不对先让学生自评，再由他评．投影例题&例1 小明取一张纸，用小针在纸上扎出“4”，然后将纸放在镜子前．（1）你能画出镜子所在直线l的位置吗（2）图中点A、B、C、D的在镜中的对应点分别是，线段AC、AB 的在镜中的对应线段分别是，CD＝，∠CAB＝，∠ACD＝.（3）连接AE、BG，AE与BG平行吗为什么（4）AE与BG平行，能说明轴对称图形对称点的连线一定互相平行吗（5）延长线段CA、FE，连接CB、FG并延长，作直线AB、EG，你有什么发现吗总结轴对称在我们的生活中无处不在，通过这节课的学习，你有什么感受呢，说出来告诉大家。
2.2轴对称的基本性质(第1课时)
生活中的方程模型11.4一元一次方程的应用（1）七年级数学上册青岛版: 巍巍宝塔高七层, 点点红灯倍加增。
灯共三百八十一, 请问顶层几盏灯。
学习目标:2、会列一元一次方程解决有关实际问题,总结运用方程解决实际问题的步骤；3、通过列一元一次方程解决实际问题提高分析问题、解决问题的能力。
1.能找出实际问题中的已知量、未知量及等量关系1.兴华学校距青云双语7.5千米,老师今天开车以60千米每小时的速度行驶,x小时到达；2.牛牛的爸爸今年35岁了,是牛牛年龄的2倍多7岁,牛牛的年龄是x 岁；3.小红买10本练习本和3只笔共花了20元,已知练习本每本1.4元,每只笔x元；体验身边的方程:（找出已知量、未知量及等量关系）一座雄伟壮丽的七层宝塔,层层飞檐上闪烁着红灯,下层红灯数目是相邻上层的2倍。
如果共有381盏灯,请问顶层有几盏灯?列一元一次方程解应用题的一般步骤是: 1.审:分析题中已知量、未知量各是什么,明确各量之间的关系；4.列:根据相等关系列出方程；5.解并检验方程的解是否正确、符合题意；6.答:写出答案. 3.设:设未知数,用代数式表示其他量；2.找:根据题意找出等量关系；关键为响应安丘市政府“文明城市”的号召,青云山购进A,B两种树苗共12棵,已知A种树苗每棵20元,B种树苗每棵10元,若购进A,B两种树苗刚好用去了140元,问购进A,B两种树苗各多少棵?等量关压缩包中的资料: 一元一次方程的应用（1）课件.ppt 教学设计.doc。
2. 2轴对称的性质教案(2013年秋苏科版八年级上)
预 习 导 航
探索：两针孔 A． A 和线段 A A 与折痕 l 之间有什么关系？ 问题 1：如果把纸重新折叠，因为 A、 A 重合，那么线段 OA、O A 呢？ ，此时 O 是线段 A A 的
1 1 1 1 1
。
问题 2：∠1 与∠2 有什么关系？ 问题 3：折痕 l 与 A A 什么关系？ 一、概念探究： 垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 1．操作：取一张长方形的纸片，按下面步骤做一做。 将长方形纸片对折，折痕为 l， （1）在纸上画△ABC； （2）用针尖沿△ABC 各边扎几个小孔 （3）将纸展开，连接 AA’ 、BB’ 、CC’
O · P 四、提炼总结： 画轴对称图形的方法：
A
O · P
A
1．先画对称轴，再画已知点的对称 2．先画已知线段各端点的 3．先画已知三角形的各顶点的
； ，再画出对称线段； ，再画出对称三角形；
4．成轴对称的两个图形的对应点也成轴对称。
1．如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形的有 （ ）
.
A l B B
2．变式 1：请你分别在直线 l 上取一点 C，并作出△ABC 关于直线 l 对称的△ ABC 。 问题：三角形有三个顶点，你想到了什么？你该如何做？
变式 2：已知点 P 和点 P’关于一条直线对称，请你画出这条对称轴。
P
.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.
P’
归纳：画轴对称图形的一般步骤： 1．定好 。 2．找准图形中的关键 。 3．作对关键 的对称 ，完成轴对称图形。 例 2 ． 四 边 形 ABCD 与 四 边 形 EFGH 关 于 直 线 l 对 称 。 连 接 AC、BD ，设它们相交于点 P。怎么样找出 P 点关于 l 的对称点 Q？
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2.2轴对称的基本性质
学习目标：
1、经历探索轴对称图形的性质的过程，理解连接对应点的线段被对称轴平分、对应线段相等、对应角相等的性质。
2、会画出与已知图形关于某条直线对称的图形。
自主探究
一、仔细阅读第34-35页实验与探究后，回答下列问题：
1、你能通过动手折纸的办法说明下列问题吗？能和同学们交流吗？
2、线段AB与线段A′B′的长度有什么关系？
3、△ABC与△A′B′C′的三个内角有什么关系？
4、△ABC与△A′B′C′有什么关系？
由此可以得到
1、轴对称图形的定义：关于某条直线对称的两个图形是；
2、轴对称图形的性质：①如果两个图形关于某一条直线成轴对称，那么连接对应点
的线段被对称轴，②成轴对称的两个图形
相等，相等。
轴对称图形的性质也可以这样描述：①轴对称图形对应点所连的线段被，②轴对称图形的，。
（重点）二、你能独立完成例1吗？
画图区（在图上标注答案）
1、本题考查的知识点有：、。
2、在上图中，连接对应顶点，你能指出哪些线段被直线l垂直平分吗？
三、你能独立完成练习2吗？
1、三对对应点是：；对应线段是：；对应角是：。
2、三对相等的线段是：；三对相等的角是：。
巩固检测
1.把例题1中的三角形的顶点分别用字母表示出来，连接对应顶点，指出哪些线段
被直线L垂直平分.
2.如图，△ABC与△A，B，C，关于直线MN成轴对
称，指出三对对应点、对应线段和对应角，并找
出三对相等的线段和相等的角.
课后提升
一、课堂小结
本节课主要学习了哪些内容，有什么收获和困惑。
二、你能快速回答习题A组第1题吗？
1、可借助图形找对称点的坐标。
2、利用抽象思维和空间思维直接回答答案。
教学反思。