2015-2016学年上海市徐汇区高一上学期期末数学试卷和解析
2015-2016学年上海市徐汇区高一(上)期末数学试卷及答案
2015-2016学年上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷一、填空题1．（5分）设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，|a﹣5|}，∁U M={5，7}，则a 的值为．2．（5分）函数f（x）=lg（2x﹣4）的定义域为．3．（5分）方程lg（2x+1）+lgx=1的解集为．4．（5分）函数f（x）=x2（x≥1）的反函数f﹣1（x）=．5．（5分）已知幂函数f（x）的图象过，则f（4）=．6．（5分）已知log 163=m，则用m表示log916=．7．（5分）已知函数f（x）=a x﹣4a+3的反函数的图象经过点（﹣1，2），那么a 的值等于．8．（5分）函数y=的值域是．9．（5分）一片人工林地，目前可采伐的木材有10万立方米，如果封山育林，该森林可采伐木材的年平均增长率为8%，则经过年，该片森林可采伐的木材将增加到50万立方米．（结果保留整数）10．（5分）已知函数f（x）=x2+2x+3在[m，0]上的最大值为3，最小值为2，则实数m的取值范围是．11．（5分）若关于x的不等式﹣x2+2x＜lgt恒成立，则实数t的取值范围是．12．（5分）已知函数f（x）=，若f（0）是该函数的最小值，则实数a的取值范围是．二、选择题13．（5分）下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）单调递增的是（）A．y=x2 B．y=x﹣1C．D．14．（5分）命题“若x＞1，则x＞a”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a≥1 D．a≤115．（5分）设a，b为负实数，则“a＜b”是a＜b﹣”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）最近几年，每年11月初，黄浦江上漂浮着的水葫芦便会迅速增长，严重影响了市容景观，为了解决这个环境问题，科研人员进行科研攻关，如图是科研人员在实验室池塘中观察水葫芦面积与时间的函数关系图象，假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，水葫芦的面积会超过30m2；③设水葫芦面积蔓延至2m2、3m2、6m2所需要的时间分别为t1、t2、t3，则有t1+t2=t3；其中正确的说法有（）A．①②B．②③C．①③D．①②③三、解答题17．（12分）设集合A={x||x﹣a|＜2}，，若A⊆B．求实数a 的取值范围．18．（12分）已知a是实数，函数f（x）=是奇函数，求f（x）在（0，+∞）上的最小值及取到最小值时x的值．19．（12分）某公司为生产某种产品添置了一套价值20000元的设备，而每生产一台这种产品所需要的原材料和劳动力等成本合计100元，已知该产品的年销售收入R（元）与年产量x（台）的关系是R（x）=，x∈N．（1）把该产品的年利润y（元）表示为年产量x（台）的函数；（2）当年产量为多少台时，该产品的年利润最大？最大年利润为多少元？（注：利润=销售收入﹣总成本）20．（12分）已知函数f（x）=|x|+﹣1，其中m∈R；（1）当m=2时，判断f（x）在区间（﹣∞，0）上的单调性，并用定义证明；（2）讨论函数f（x）零点的个数．21．（12分）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体，在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．（1）指出函数f（x）=（k≠0，k为常数）与集合M的关系？请说明理由；（2）证明：函数f（x）=（）x+x2∈M．2015-2016学年上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（5分）设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，|a﹣5|}，∁U M={5，7}，则a 的值为2或8．【解答】解：由U={1，3，5，7}，且C U M={5，7}，所以，M={1，3}，又集合M={1，|a﹣5|}，所以|a﹣5|=3．所以，实数a的值为2或8．故答案为：2或82．（5分）函数f（x）=lg（2x﹣4）的定义域为{x|x＞2} ．【解答】解：要使函数有意义，则2x﹣4＞0，解得x＞2，∴函数的定义域为{x|x＞2}，故答案为：{x|x＞2}3．（5分）方程lg（2x+1）+lgx=1的解集为{2} ．【解答】解：∵lg（2x+1）+lgx=1，∴lg（x（2x+1））=lg10，∴，解得：x=2．故答案为：{2}．4．（5分）函数f（x）=x2（x≥1）的反函数f﹣1（x）=（x≥1）．【解答】解：由y=x2（x≥1），解得x=（y≥1），把x与y互换可得：y=，∴f（x）=x2（x≥1）的反函数f﹣1（x）=（x≥1）．故答案为：（x≥1）．5．（5分）已知幂函数f（x）的图象过，则f（4）=．【解答】解：设幂函数f（x）=x a，∵幂函数f（x）的图象过，∴，解得a=﹣，∴，故f（4）==．故答案为：．6．（5分）已知log163=m，则用m表示log916=．【解答】解：∵log163=m，∴log 916===．故答案为：．7．（5分）已知函数f（x）=a x﹣4a+3的反函数的图象经过点（﹣1，2），那么a 的值等于2．【解答】解：依题意，点（﹣1，2）在函数f（x）=a x﹣4a+3的反函数的图象上，则点（2，﹣1）在函数f（x）=a x﹣4a+3的图象上将x=2，y=﹣1，代入y=a x﹣4a+3中，解得a=2故答案为：28．（5分）函数y=的值域是（﹣1，1）．【解答】解：y==1﹣，∵x∈R，∴2x＞0，∴0＜＜2，∴﹣1＜1﹣＜1，∴函数的值域为（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1）．9．（5分）一片人工林地，目前可采伐的木材有10万立方米，如果封山育林，该森林可采伐木材的年平均增长率为8%，则经过21年，该片森林可采伐的木材将增加到50万立方米．（结果保留整数）【解答】解：设经过n年该片森林可采伐的木材将增加到50万立方米，由题意得：100（1+8%）n=50，解得：n≈21，故答案为：21．10．（5分）已知函数f（x）=x2+2x+3在[m，0]上的最大值为3，最小值为2，则实数m的取值范围是[﹣2，﹣1] ．【解答】解：函数f（x）=x2+2x+3的图象是开口朝上，且以直线x=﹣1为对称的抛物线，当x=﹣1时，函数取最小值2，令f（x）=x2+2x+3=3，则x=0，或x=﹣2，若函数f（x）=x2+2x+3在[m，0]上的最大值为3，最小值为2，则m∈[﹣2，﹣1]，故答案为：[﹣2，﹣1]11．（5分）若关于x的不等式﹣x2+2x＜lgt恒成立，则实数t的取值范围是（10，+∞）．【解答】解：函数y=﹣x2+2x的图象是开口朝下，且以直线x=1为对称轴的抛物线，故当x=1时，取最大值1，若关于x的不等式﹣x2+2x＜lgt恒成立，则1＜lgt，解得：t∈（10，+∞），故答案为：（10，+∞）12．（5分）已知函数f（x）=，若f（0）是该函数的最小值，则实数a的取值范围是[﹣2，0] ．【解答】解：∵f（0）是该函数的最小值，∴当x≤0时，|x+a|≥|a|，∴a≤0；又∵x++a≥2+a=4+a，（当且仅当x=2时，等号成立）；∴|a|≤4+a，即﹣a≤4+a，故a≥﹣2；故实数a的取值范围是[﹣2，0]；故答案为：[﹣2，0]．二、选择题13．（5分）下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）单调递增的是（）A．y=x2 B．y=x﹣1C．D．【解答】解：A．函数y=x2为偶函数，在（0，+∞）单调递增，不满足条件．B．y=x﹣1是奇函数，在（0，+∞）单调递减，不满足条件．C．函数y=为非奇非偶函数，在（0，+∞）单调递增，不满足条件．D..函数y=为奇函数，在（0，+∞）单调递增，满足条件．故选：D．14．（5分）命题“若x＞1，则x＞a”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a≥1 D．a≤1【解答】解：“若x＞1，则x＞a”是真命题，则（1，+∞）⊆（a，+∞），即a≤1，即实数a的取值范围是a≤1，故选：D．15．（5分）设a，b为负实数，则“a＜b”是a＜b﹣”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵a，b为正实数，a＜b∴∴∴反之亦成立∴前者是后者的充要条件，故选：C．16．（5分）最近几年，每年11月初，黄浦江上漂浮着的水葫芦便会迅速增长，严重影响了市容景观，为了解决这个环境问题，科研人员进行科研攻关，如图是科研人员在实验室池塘中观察水葫芦面积与时间的函数关系图象，假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，水葫芦的面积会超过30m2；③设水葫芦面积蔓延至2m2、3m2、6m2所需要的时间分别为t1、t2、t3，则有t1+t2=t3；其中正确的说法有（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【解答】解：由图得其关系为指数函数，①、因图象过（4，16）点，所以指数函数的底数为2，故①正确；②、当t=5时，s=32＞30，故②正确；③、由图得t1=log22=1，t2=log23，t3=log26，则t1+t2=t3，故③正确，综上可知①②③正确．故选：D．三、解答题17．（12分）设集合A={x||x﹣a|＜2}，，若A⊆B．求实数a 的取值范围．【解答】解：解|x﹣a|＜2得：a﹣2＜x＜a+2．∴集合A=（a﹣2，a+2）解得：﹣2＜x＜3∵A⊆B，∴．18．（12分）已知a是实数，函数f（x）=是奇函数，求f（x）在（0，+∞）上的最小值及取到最小值时x的值．【解答】解：∵函数f（x）=是奇函数，∴=﹣，∴a=0，∴f（x）=x+，∵x＞0，∴f（x）=x+≥2=4，当且仅当x=2时，f（x）在（0，+∞）上的最小值为4．19．（12分）某公司为生产某种产品添置了一套价值20000元的设备，而每生产一台这种产品所需要的原材料和劳动力等成本合计100元，已知该产品的年销售收入R（元）与年产量x（台）的关系是R（x）=，x∈N．（1）把该产品的年利润y（元）表示为年产量x（台）的函数；（2）当年产量为多少台时，该产品的年利润最大？最大年利润为多少元？（注：利润=销售收入﹣总成本）【解答】解：（1）由题意y=R（x）﹣100x﹣20000元，当0≤x≤500时，y=500x﹣x2﹣100x﹣20000=﹣（x﹣400）2+60000，当x＞500时，y=125000﹣100x﹣20000=105000﹣100x，∴y=；（2）当0≤x≤500时，y=﹣（x﹣400）2+60000显然当x=400时，y取最大值60000元；当x＞500时，y=105000﹣100x，显然y随着x的增大而减小，y＜105000﹣100•500=55000∴每年生产400台时，该产品的年利润最大，最大利润为60000元．20．（12分）已知函数f（x）=|x|+﹣1，其中m∈R；（1）当m=2时，判断f（x）在区间（﹣∞，0）上的单调性，并用定义证明；（2）讨论函数f（x）零点的个数．【解答】解：（1）当m=2时，f（x）=|x|+﹣1，当x＜0时，f（x）=﹣x+﹣1，设x1＜x2＜0，则f（x1）﹣f（x2）=﹣x1+﹣1﹣（﹣x2+﹣1）=x2﹣x1+﹣=（x2﹣x1），∵x1＜x2＜0，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，则f（x1）＞f（x2），即f（x）在区间（﹣∞，0）上的单调递减；（2）由f（x）=|x|+﹣1=0，则=1﹣|x|，即m=x（1﹣|x|），（x≠0），设h（x）=x（1﹣|x|）=，作出函数h（x）的图象如图：由图象得到当m＞或m＜﹣时，m=h（x）有1个零点，当m=﹣或或0时，m=h（x）有2个零点，当﹣＜m＜0或0＜m＜时，m=h（x）有3个零点．21．（12分）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体，在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．（1）指出函数f（x）=（k≠0，k为常数）与集合M的关系？请说明理由；（2）证明：函数f（x）=（）x+x2∈M．【解答】解：（1）f（x0+1）=，f（x0）+f（1）=+k，∵=+k，∴解得无解，故f（x）∉M；（2）f（1）=，f（2）==+，故令x0=1时，满足题意，∴函数f（x）=（）x+x2∈M．。
上海市徐汇区高一上学期期中考试数学试卷含答案
上海市徐汇区高一上学期期中考试数学试卷一、填空题（共12小题）.1．集合M＝{x∈R|x≤2020}，有下列四个式子：①π∈M；②{π}⊆M；③π⊆M；④{π}∈M，其中正确的是（填序号）．2．将化为有理数指数幂的形式为．3．陈述句“x＞1或y＞1”的否定形式是．4．若0＜a＜1，s＜0，则a s1（填符号“＞，≥，＜，≤，”）．5．已知集合A＝{x，y}，B＝{2x，2x2}，且A＝B，则集合A＝．6．已知集合P＝{x|﹣2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，若x∈P是x∈S的必要条件，则实数m 的取值范围为．7．关于x的不等式|2x﹣a|+a＜6的解集是（﹣1，3），则实数a＝．8．如果直角三角形的周长为2，则此直角三角形面积的最大值是．9．若实数a，b，m满足2a＝72b＝m，且＝2，则m的值为．10．已知正数x，y满足4x+9y＝xy且x+y＜m2﹣24m有解，则实数m的取值范围是．11．不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0对x∈（﹣∞，0）恒成立，其中a，b∈Z，则a+b＝．12．已知实数a＞b＞c，且满足：a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，则s＝b+c的取值范围是．二、选择题13．已知a1a2b1b2≠0，陈述句P：关于x的一元一次不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0有相同的解集；陈述句，则P是Q（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件14．设lg2＝a，lg3＝b，则log1225的值是（）A．B．C．D．15．若a，b为非零实数，则以下不等式中恒成立的个数是（）①；②；③；④．A．4B．3C．2D．116．已知，集合M＝{x|f（x）＝0}＝{x1，x2，…，x7}⊆Z，且c1≤c2≤c3≤c4，则c4﹣c1不可能的值是（）A．4B．9C．16D．64三、解答题17．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2﹣ax+a﹣1＝0}，C＝{x|x2+2（m+1）x+m2﹣5＝0}．（1）若A∪B＝A，求实数a的值；（2）若A∩C＝C，求实数m的取值范围．18．经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P＝3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？19．（1）设集合P＝{n|n＝3k+1，k∈N}，集合Q＝{n|n＝3m﹣2，m∈N}，求证：P⊂Q；（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，当函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为6时，求证：++≥12．20．（16分）（1）关于x的不等式（a2﹣16）x2﹣（a﹣4）x﹣1≥0的解集为∅，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式；（3）设（1）中a的整数值构成集合A，（2）中不等式的解集是B，若A∩B中有且只有三个元素，求实数m的取值范围．21．（18分）已知集合A＝{a1，a2，…，a n}（0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i+a j与a j﹣a i两数中至少有一个属于A．（1）分别判断数集{0，1，3，4}与{0，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：a1＝0，且na n＝2（a1+a2+…+a n）；（3）当n＝5时，若a2＝3，求集合A．参考答案一、填空题1．集合M＝{x∈R|x≤2020}，有下列四个式子：①π∈M；②{π}⊆M；③π⊆M；④{π}∈M，其中正确的是①②（填序号）．解：因为π≈3.14，所以元素π∈M，集合{π}⊆M，故①②正确，③④错误．故答案为：①②．2．将化为有理数指数幂的形式为．解：∵a＞0，∴＝＝＝．故答案为：．3．陈述句“x＞1或y＞1”的否定形式是x≤1且y≤1．解：命题为全称命题，则“x＞1或y＞1”的否定形式为x≤1且y≤1，故答案为：x≤1且y≤1．4．若0＜a＜1，s＜0，则a s＞1（填符号“＞，≥，＜，≤，”）．解：∵0＜a＜1时，函数y＝a x为减函数，∴当s＜0时，a s＞a0＝1，故答案为：＞．5．已知集合A＝{x，y}，B＝{2x，2x2}，且A＝B，则集合A＝．解：显然x≠0，由A＝B得，解得．故答案为：{，1}．6．已知集合P＝{x|﹣2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，若x∈P是x∈S的必要条件，则实数m 的取值范围为[0，3]．解：∵P＝{x|﹣2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，若x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P，∴，解得0≤m≤3，∴m的取值范围是[0，3]．故答案为：[0，3]．7．关于x的不等式|2x﹣a|+a＜6的解集是（﹣1，3），则实数a＝2．解：∵|2x﹣a|+a＜6，∴a﹣6＜2x﹣a＜6﹣a，即a﹣3＜x＜3，∵不等式|2x﹣a|+a＜6的解集是（﹣1，3），∴a﹣3＝﹣1，解得a＝2．故答案为：2．8．如果直角三角形的周长为2，则此直角三角形面积的最大值是3﹣2（当且仅当时取等号）．解：设直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，则直角三角形的面积S＝ab．由已知，得a+b+c＝2，∴a+b+＝2，∴2＝a+b+≥2+＝（2+），∴≤＝2﹣，∴ab≤（2﹣）2＝6﹣4，∴S＝ab≤3﹣2，当且仅当a＝b＝2﹣时，S取最大值3﹣2．故答案为：3﹣2（当且仅当时取等号）．9．若实数a，b，m满足2a＝72b＝m，且＝2，则m的值为7．解：∵2a＝72b＝m，∴a＝log2m，2b＝log7m，∴b＝＝＝log49m，∴+＝2，∴log m2+log m49＝2，∴log m98＝2，∴m2＝98，∴m＝7．故答案为：7．10．已知正数x，y满足4x+9y＝xy且x+y＜m2﹣24m有解，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（25，+∞）．解：∵正数x，y满足4x+9y＝xy，∴+＝1，∴x+y＝（x+y）（+）＝++13≥2+13＝25，当且仅当＝，即x＝15，y＝10时取等号，∴x+y的最小值为25，∵x+y＜m2﹣24m有解，∴25＜m2﹣24m，即m2﹣24m﹣25＞0，解得m＞25或m＜﹣1，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（25，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（25，+∞）．11．不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0对x∈（﹣∞，0）恒成立，其中a，b∈Z，则a+b＝10或4．解：当b≤0时，由（ax+3）（x2﹣b）≤0对x∈（﹣∞，0）恒成立，可得ax+3＜0对x∈（﹣∞，0）恒成立，则a不存在；当b＞0时，由（ax+3）（x2﹣b）≤0对x∈（﹣∞，0）恒成立，令f（x）＝ax+3，g（x）＝x2﹣b，又g（x）的大致图象如图所示，所以，又a，b∈Z，所以或，所以a+b＝4或a+b＝10．故答案为：4或10．12．已知实数a＞b＞c，且满足：a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，则s＝b+c的取值范围是．解：∵a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，∴b+c＝1﹣a，bc＝[（b+c）2﹣（b2+c2）]＝a2﹣a﹣1，∵bc＜，∴a2﹣a﹣1＜，∴3a2﹣2a﹣5＜0，即，∴＜1﹣a＜2，∴＜b+c＜2，下面精确a的下限，假设a＜1，由a＞b＞c，由﹣＜b＜a＜1，﹣＜c＜a＜1，所以a2＜1，b2＜1，c2＜1，因此a2+b2+c2＜3，矛盾，故a＞1，所以b+c＝1﹣a＜0，综上可得＜b+c＜0，故答案为：．二、选择题13．已知a1a2b1b2≠0，陈述句P：关于x的一元一次不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0有相同的解集；陈述句，则P是Q（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件解：∵若＝时，如取a1＝b1＝1，a2＝b2＝﹣1，关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0即不等式x+1＞0与﹣x﹣1＞0的解集不相同，∴“＝”不能推出“关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0的解集相同”，反之，“关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0的解集相同”⇒“＝”，∴P是Q的充分非必要条件．故选：A．14．设lg2＝a，lg3＝b，则log1225的值是（）A．B．C．D．解：由lg2＝a，lg3＝b，得log1225＝＝．故选：D．15．若a，b为非零实数，则以下不等式中恒成立的个数是（）①；②；③；④．A．4B．3C．2D．1解：a，b为非零实数，①∵（a﹣b）2≥0，展开可得；②∵（a﹣b）2≥0，展开可得a2+b2≥2ab，∴2（a2+b2）≥（a+b）2，∴；③取a＝b＝﹣1，则不成立；④取ab＜0，则不成立．综上可得：成立的只有①②．故选：C．16．已知，集合M＝{x|f（x）＝0}＝{x1，x2，…，x7}⊆Z，且c1≤c2≤c3≤c4，则c4﹣c1不可能的值是（）A．4B．9C．16D．64解：∵集合M＝{x|f（x）＝0}＝{x1，x2，…，x7}⊆Z，则函数f（x）有7个解，且全是整数，又∵x2﹣4x+m＝0 中两个解满足x1+x2＝4，x1•x2＝m，∴可知解为2和2，3和1，4和0，5和﹣1，6和﹣2，7和﹣3，8和﹣4，9和﹣5，10和﹣6，..．∴m＝4，3，0，﹣5，﹣12，﹣21，﹣32，﹣45，﹣60..．∵c1≤c2≤c3≤c4，∴C4＝4，则C1＝﹣5，或﹣12，或﹣21，或﹣32，或﹣45，或﹣60，..．则c4﹣c1不可能的值是4，故选：A．三、解答题17．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2﹣ax+a﹣1＝0}，C＝{x|x2+2（m+1）x+m2﹣5＝0}．（1）若A∪B＝A，求实数a的值；（2）若A∩C＝C，求实数m的取值范围．解：（1）由x2﹣3x+2＝0得x＝1或2，所以A＝{1，2}，由x2﹣ax+a﹣1＝0得x＝1或a﹣1，所以1∈B，a﹣1∈B，因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以a﹣1＝1或2，所以a＝2或3；（2）因为A∩C＝C，所以C⊆A，当C＝∅时，Δ＝4（m+1）2﹣4（m2﹣5）＜0，解得m＜﹣3，当C＝{1}时，，无解，当C＝{2}时，，解得m＝﹣3，当C＝{1，2}时，，无解，综上，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3]．18．经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P＝3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解：（Ⅰ）由题意知，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣将代入化简得：（0≤x≤a）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）当a≥1时，x∈（0，1）时y'＞0，所以函数在（0，1）上单调递增x∈（1，a）时y'＜0，所以函数在（1，a）上单调递减促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当a＜1时，因为函数在（0，1）上单调递增在[0，a]上单调递增，所以x＝a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（注：当a≥1时，也可：，当且仅当时，上式取等号）19．（1）设集合P＝{n|n＝3k+1，k∈N}，集合Q＝{n|n＝3m﹣2，m∈N}，求证：P⊂Q；（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，当函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为6时，求证：++≥12．【解答】证明：（1）先证P⊆Q，任取n∈P，存在m＝k+1∈N，使得n＝3k+1＝3（k+1）﹣2＝3m﹣2∈Q，∵P⊆Q，又∵﹣2∈Q，﹣2∉P，∴P⊂Q，即得证．（2）证明：∵f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）+（b﹣x）|+c＝a+b+c＝6，∴＝，当且仅当a＝b＝c＝2时取等号，故．20．（16分）（1）关于x的不等式（a2﹣16）x2﹣（a﹣4）x﹣1≥0的解集为∅，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式；（3）设（1）中a的整数值构成集合A，（2）中不等式的解集是B，若A∩B中有且只有三个元素，求实数m的取值范围．解：（1）当a＝4时，﹣1≥0无解，满足题意，当a＝﹣4时，8x﹣1≥0有解，舍去，当a≠±4时，解得，综上，实数a的取值范围是；（2）由得，即（x+2）[（m﹣1）x﹣（3m+2）]≥0且x≠﹣2，当m＝1时，，解集为x∈（﹣∞，﹣2），当m＞1时，，且x≠﹣2，解集为，当m＜1时，且x≠﹣2，当0＜m＜1时，解集为，当m＝0时，解集为∅，当m＜0时，解集为，综上，当m＝1时，解集为x∈（﹣∞，﹣2），当m＞1时，解集为，当0＜m＜1时，解集为，当m＝0时，解集为∅，当m＜0时，解集为；（3）由（1）得A＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，当A∩B中有且只有三个元素，显然0≤m≤1不可能，当m＞1时，因为，不合题意，舍去，当m＜0时，，因为A∩B中有且只有三个元素，所以，，解得，综上，实数m的取值范围是．21．（18分）已知集合A＝{a1，a2，…，a n}（0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i+a j与a j﹣a i两数中至少有一个属于A．（1）分别判断数集{0，1，3，4}与{0，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：a1＝0，且na n＝2（a1+a2+…+a n）；（3）当n＝5时，若a2＝3，求集合A．【解答】（1）解：因为0+1，0+3，0+4，1+3，4﹣1，4﹣3都属于数集{0，1，3，4}，所以数集{0，1，3，4}具有性质P，因为2+3和3﹣2均不属于数集{0，2，3，6}，所以数集{0，2，3，6}不具有性质P；（2）证明：令i＝j＝n，因为a i+a j与a j﹣a i两数中至少有一个属于A，所以a n+a n不属于A，所以a n﹣a n属于集合A，即0∈A，所以a1＝0，令j＝n，i＞1，因为a i+a j，与a j﹣a i两数中至少有一个属于A，所以a i+a j不属于A，所以a j﹣a i属于集合A，令i＝n﹣1，则a n﹣a n﹣1是集合A中的某一项，若a n﹣a n﹣1＝a2，符合题意，若a n﹣a n﹣1＝a3，则a n﹣a3＝a n﹣1，所以a n﹣a2＞a n﹣a3＝a n﹣1，矛盾，同理a n﹣a n﹣1等于其他项均矛盾，所以a n﹣a n﹣1＝a2，同理，令i＝n﹣2，n﹣3，⋯，2，可得a n＝a i+a n+1﹣i，倒序相加得，即na n＝2（a1+a2+a+⋯+a n）；（3）解：当n＝5时，令j＝5，当i≥2时，a i+a5＞a5，因为集合A具有性质P，所以a5﹣a i∈A，所以a5﹣a i∈A，i＝1，2，3，4，5，所以a5﹣a1＞a5﹣a2＞a5﹣a3＞a5﹣a4＞a5﹣a5＝0，所以a5﹣a1＝a5，a5﹣a2＝a4，a5﹣a3＝a3，所以a2+a4＝a5，a5＝2a3，所以a2+a4＝2a3，即0＜a4﹣a3＝a3﹣a2＜a3，又因为a3+a4＞a2+a4＝a5，所以a3+a4∉A，所以a4﹣a3∈A，所以a4﹣a3＝a2＝a2﹣a1，所以a5﹣a4＝a2＝a2﹣a1，所以a5﹣a4＝a4﹣a3＝a3﹣a2＝a2﹣a1＝a2，即a1，a2，a3，a4，a5是首项为0，公差为a2＝3的等差数列，所以A＝{0，3，6，9，12}．。
高三数学上学期期末试卷(含解析)-人教版高三全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市正定中学高三（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x|x＜3}，N={x|x＞﹣1}，全集U=R，则∁U（M∩N）=（）A．{x|x≤﹣1} B．{x|x≥3} C．{x|0＜x＜3} D．{x|x≤﹣1或x≥3}2．已知=1+i，则复数z在复平面上对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数4．等比数列{a n}中，a1+a2=40，a3+a4=60，那么a7+a8=（）A．9 B．100 C．135 D．805．设函数f（x）=，则f（﹣98）+f（lg30）=（）A．5 B．6 C．9 D．226．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B． C． D．87．过三点A（1，2），B（3，﹣2），C（11，2）的圆交x轴于M，N两点，则|MN|=（）A． B． C． D．8．根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）A．0 B．3 C．6 D．129．球O半径为R=13，球面上有三点A、B、C，AB=12，AC=BC=12，则四面体OABC的体积是（）A．60B．50C．60D．5010．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油11．已知双曲线E： =1（a＞0，b＞0）的左，右顶点为A，B，点M在E上，△ABM 为等腰三角形，且顶角θ满足cosθ=﹣，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．12．设函数f′（x）是偶函数f（x）（x∈R）的导函数，f（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，并且当x∈（﹣1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0．则使得f（x）＜0成立的x的取值X围是（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣1，1）D．（﹣2，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设向量，是相互垂直的单位向量，向量λ+与﹣2垂直，则实数λ=．14．若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为．15．已知对任意实数x，有（m+x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，若a1+a3+a5+a7=32，则m=．16．已知数列{a n}满足a1=1，a n=（n≥2），其中S n为{a n}的前n项和，则S2016=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB+bcos2A=a．（I）求；（Ⅱ）若c2=a2+，求角C．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC=BC=，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD．（Ⅰ）证明：DC1⊥BC；（Ⅱ）设AA1=2，A1B1的中点为P，求点P到平面BDC1的距离．19．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不必计算出结果）（Ⅱ）随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：60，65，70，75，80，85，90，95，物理分数从小到大排序是：72，77，80，84，88，90，93，95．（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；（ii）若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如下表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95根据上表数据，用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱．如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由．参考公式：相关系数r=；回归直线的方程是：，其中对应的回归估计值b=，a=，是与x i对应的回归估计值．参考数据：≈457，≈23.5．20．已知P是圆C：x2+y2=4上的动点，P在x轴上的射影为P′，点M满足，当P 在圆上运动时，点M形成的轨迹为曲线E（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）经过点A（0，2）的直线l与曲线E相交于点C，D，并且=，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点x=1处的切线的斜率；（Ⅱ）若当x＞0时，f（x）＞恒成立，求正整数k的最大值．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，等腰梯形ABDC内接于圆，过B作腰AC的平行线BE交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求证：BE=EF．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P的直角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A、B两点，并且，求tanα的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，某某数a的最大值．2015-2016学年某某省某某市正定中学高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x|x＜3}，N={x|x＞﹣1}，全集U=R，则∁U（M∩N）=（）A．{x|x≤﹣1} B．{x|x≥3} C．{x|0＜x＜3} D．{x|x≤﹣1或x≥3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出M∩N，从而求出M∩N的补集即可．【解答】解：集合M={x|x＜3}，N={x|x＞﹣1}，全集U=R，则M∩N={x|﹣1＜x＜3}，则∁U（M∩N）={x|x≤﹣1或x≥3}，故选：D．2．已知=1+i，则复数z在复平面上对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解： =1+i，∴=（3+i）（1+i）=2+4i，∴z=2﹣4i，则复数z在复平面上对应点（2，﹣4）位于第四象限．故选：D．3．已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】用二倍角公式把二倍角变为一倍角，然后同底数幂相乘公式逆用，变为二倍角正弦的平方，再次逆用二倍角公式，得到能求周期和判断奇偶性的表示式，得到结论．【解答】解：∵f（x）=（1+cos2x）sin2x=2cos2xsin2x=sin22x==，故选D．4．等比数列{a n}中，a1+a2=40，a3+a4=60，那么a7+a8=（）A．9 B．100 C．135 D．80【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意可得等比数列的公比q，而7+a8=（a1+a2）q6，代值计算可得．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∴q2===，∴a7+a8=（a1+a2）q6=40×=135，故选：C．5．设函数f（x）=，则f（﹣98）+f（lg30）=（）A．5 B．6 C．9 D．22【考点】函数的值．【分析】利用分段函数的性质及对数函数性质、运算法则和换底公式求解．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣98）=1+lg100=3，f（lg30）=10lg30﹣1==3，∴f（﹣98）+f（lg30）=3+3=6．故选：B．6．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B． C． D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为四棱锥，底面为直角梯形，高为侧视图三角形的高．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，棱锥底面为俯视图中的直角梯形，棱锥的高为侧视图中等腰三角形的高．∴四棱锥的高h==2，∴棱锥的体积V==4．故选A．7．过三点A（1，2），B（3，﹣2），C（11，2）的圆交x轴于M，N两点，则|MN|=（）A． B． C． D．【考点】圆的一般方程．【分析】设圆的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣b）2=r2，代入A（1，2），B（3，﹣2），求出b，r，利用勾股定理求出|MN|．【解答】解：设圆的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣b）2=r2，代入A（1，2），B（3，﹣2），可得，解得：b=2，r=5，所以|MN|=2=2，故选：D．8．根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）A．0 B．3 C．6 D．12【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，r=12，m=30，n=12，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，r=6，m=12，n=6，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，r=0，m=6，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为6，故选：C；9．球O半径为R=13，球面上有三点A、B、C，AB=12，AC=BC=12，则四面体OABC的体积是（）A．60B．50C．60D．50【考点】球内接多面体．【分析】求出△ABC的外接圆的半径，可得O到平面ABC的距离，计算△ABC的面积，即可求出四面体OABC的体积．【解答】解：∵AB=12，AC=BC=12，∴cos∠ACB==﹣，∴∠ACB=120°，∴△ABC的外接圆的半径为=12，∴O到平面ABC的距离为5，∵S△ABC==36，∴四面体OABC的体积是=60．故选：A．10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可．【解答】解：对于选项A，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40千米每小时时的燃油效率大于5千米每升，故乙车消耗1升汽油的行驶路程远大于5千米，故A错误；对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误，对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确．11．已知双曲线E： =1（a＞0，b＞0）的左，右顶点为A，B，点M在E上，△ABM 为等腰三角形，且顶角θ满足cosθ=﹣，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据△ABM是顶角θ满足cosθ=﹣的等腰三角形，得出|BM|=|AB|=2a，cos∠MBx=，进而求出点M的坐标，再将点M代入双曲线方程即可求出离心率．【解答】解：不妨取点M在第一象限，如右图：∵△ABM是顶角θ满足cosθ=﹣的等腰三角形，∴|BM|=|AB|=2a，cos∠MBx=，∴点M的坐标为（a+，2a•），即（，），又∵点M在双曲线E上，∴将M坐标代入坐标得﹣=1，整理上式得，b2=2a2，而c2=a2+b2=3a2，∴e2==，因此e=，故选：C．12．设函数f′（x）是偶函数f（x）（x∈R）的导函数，f（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，并且当x∈（﹣1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0．则使得f（x）＜0成立的x的取值X围是（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣1，1）D．（﹣2，2）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．【分析】令g（x）=xf（x），判断出g（x）是R上的奇函数，根据函数的单调性以及奇偶性求出f（x）＜0的解集即可．【解答】解：令g（x）=xf（x），g′（x）=xf′（x）+f（x），当x∈（﹣1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0，∴g（x）在（﹣1，1）递减，而g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=﹣xf（x）=﹣g（x），∴g（x）在R是奇函数，∵f（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，即g（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，+∞）递增，g（0）=0，g（2）=0，g（﹣2）=0，如图示：，x≥0时，f（x）＜0，即xf（x）＜0，由图象得：0≤x＜2，x＜0时，f（x）＜0，即xf（x）＞0，由图象得：﹣2＜x＜0，综上：x∈（﹣2，2），故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设向量，是相互垂直的单位向量，向量λ+与﹣2垂直，则实数λ= 2 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量垂直，令数量积为零列方程解出．【解答】解：∵向量，是相互垂直的单位向量，∴=0，．∵λ+与﹣2垂直，∴（λ+）•（﹣2）=λ﹣2=0．解得λ=2．故答案为2．14．若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为 2 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=x可得．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图△ABC及内部），变形目标函数可得y=x﹣z，平移直线y=x可知，当直线经过点A（2，0）时，截距取最小值，z取最大值，代值计算可得z的最大值为2，故答案为：2．15．已知对任意实数x，有（m+x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，若a1+a3+a5+a7=32，则m= 0 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】在所给的等式中，分别令x=1、x=﹣1，可得2个等式，再结合a1+a3+a5+a7=32，求得m的值．【解答】解：对任意实数x，有（m+x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，若a1+a3+a5+a7=32，令x=1，可得（m+1）（1+1）6=a0+a1+a2+…+a7①，再令x=﹣1，可得（m﹣1）（1﹣1）6=0=a0﹣a1+a2+…﹣a7②，由①﹣②可得 64（m+1）=2（a1+a3+a5+a7）=2×32，∴m=0，故答案为：0．16．已知数列{a n}满足a1=1，a n=（n≥2），其中S n为{a n}的前n项和，则S2016=．【考点】数列的求和．【分析】通过对a n=（n≥2）变形可知2S n S n﹣1=S n﹣1﹣S n，进而可知数列{}是首项为1、公差为2的等差数列，计算即得结论．【解答】解：∵a n=（n≥2），∴2=2S n a n﹣a n，∴2﹣2S n a n=S n﹣1﹣S n，即2S n S n﹣1=S n﹣1﹣S n，∴2=﹣，又∵=1，∴数列{}是首项为1、公差为2的等差数列，∴S2016==，故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB+bcos2A=a．（I）求；（Ⅱ）若c2=a2+，求角C．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）由正弦定理化简已知等式，整理即可得解．（II）设b=5t（t＞0），由（I）可求a=3t，由已知可求c=7t，由余弦定理得cosC的值，利用特殊角的三角函数值即可求解．【解答】（本题满分为12分）解：（I）由正弦定理得，，…即，故．…（II）设b=5t（t＞0），则a=3t，于是．即c=7t．…由余弦定理得．所以．…18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC=BC=，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD．（Ⅰ）证明：DC1⊥BC；（Ⅱ）设AA1=2，A1B1的中点为P，求点P到平面BDC1的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由题目条件结合勾股定理，即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，代入运用公式进行计算即可得出答案．【解答】（1）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．∵D为AA1的中点，∴DC=DC1．又，可得，∴DC1⊥DC．而DC1⊥BD，DC∩BD=D，∴DC1⊥平面BCD．∵BC⊂平面BCD，∴DC1⊥BC．…（2）解：由（1）知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1A1，∴CA，CB，CC1两两垂直．以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz．由题意知，，．则，，．设是平面BDC1的法向量，则，即，可取．设点P到平面BDC1的距离为d，则．…12分19．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不必计算出结果）（Ⅱ）随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：60，65，70，75，80，85，90，95，物理分数从小到大排序是：72，77，80，84，88，90，93，95．（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；（ii）若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如下表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95根据上表数据，用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱．如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由．参考公式：相关系数r=；回归直线的方程是：，其中对应的回归估计值b=，a=，是与x i对应的回归估计值．参考数据：≈457，≈23.5．【考点】线性回归方程．【分析】（I）根据分层抽样原理计算，使用组合数公式得出样本个数；（II）（i）使用乘法原理计算；（ii）根据回归方程计算回归系数，得出回归方程．【解答】解：（I）应选女生位，男生位，可以得到不同的样本个数是．（II）（i）这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀，则需要先从物理的4个优秀分数中选3个与数学优秀分数对应，种数是（或），然后将剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是，根据乘法原理，满足条件的种数是．这8位同学的物理分数和数学分数分别对应的种数共有种．故所求的概率．（ii）变量y与x的相关系数．可以看出，物理与数学成绩高度正相关．也可以数学成绩x为横坐标，物理成绩y为纵坐标做散点图如下：从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理与数学成绩高度正相关．设y与x的线性回归方程是，根据所给数据，可以计算出，a=84.875﹣0.66×77.5≈33.73，所以y与x的线性回归方程是．20．已知P是圆C：x2+y2=4上的动点，P在x轴上的射影为P′，点M满足，当P 在圆上运动时，点M形成的轨迹为曲线E（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）经过点A（0，2）的直线l与曲线E相交于点C，D，并且=，求直线l的方程．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（Ⅰ）利用代入法，求曲线E的方程；（Ⅱ）分类讨论，设直线l：y=kx+2与椭圆方程联立，利用韦达定理，向量得出坐标关系，求出直线的斜率，即可求直线l的方程．【解答】解：（I）设M（x，y），则P（x，2y）在圆x2+4y2=4上，所以x2+4y2=4，即…..（II）经检验，当直线l⊥x轴时，题目条件不成立，所以直线l存在斜率．设直线l：y=kx+2．设C（x1，y1），D（x2，y2），则．…△=（16k）2﹣4（1+4k2）•12＞0，得．…．①，…②．…又由，得，将它代入①，②得k2=1，k=±1（满足）．所以直线l的斜率为k=±1．所以直线l的方程为y=±x+2…21．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点x=1处的切线的斜率；（Ⅱ）若当x＞0时，f（x）＞恒成立，求正整数k的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1）即可；（Ⅱ）问题转化为对x＞0恒成立，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出正整数k的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=﹣+，∴…（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，即对x＞0恒成立．即h（x）（x＞0）的最小值大于k．…，，记ϕ（x）=x﹣1﹣ln（x+1）（x＞0）则，所以ϕ（x）在（0，+∞）上连续递增．…又ϕ（2）=1﹣ln3＜0，ϕ（3）=2﹣2ln2＞0，所以ϕ（x）存在唯一零点x0，且满足x0∈（2，3），x0=1+ln（x0+1）．…由x＞x0时，ϕ（x）＞0，h'（x）＞0；0＜x＜x0时，ϕ（x）＜0，h'（x）＜0知：h（x）的最小值为．所以正整数k的最大值为3．…请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，等腰梯形ABDC内接于圆，过B作腰AC的平行线BE交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求证：BE=EF．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）由PA是圆的切线结合切割线定理得比例关系，求得PD，再由角相等得三角形相似：△PAC∽△CBA，从而求得AC的长；（II）欲求证：“BE=EF”，可先分别求出它们的值，比较即可，求解时可结合圆中相交弦的乘积关系．【解答】解：（I）∵PA2=PC•PD，PA=2，PC=1，∴PD=4，…又∵PC=ED=1，∴CE=2，∵∠PAC=∠CBA，∠PCA=∠CAB，∴△PAC∽△CBA，∴，…∴AC2=PC•AB=2，∴…证明：（II）∵，CE=2，而CE•ED=BE•EF，…∴，∴EF=BE．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P的直角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A、B两点，并且，求tanα的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）对极坐标方程两边同乘ρ，得到直角坐标方程；（II）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，利用参数意义和根与系数的关系列出方程解出α．【解答】解：（I）∵ρsin2θ=4cosθ，∴ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．（II）将代入y2=4x，得sin2α•t2+（2sinα﹣4cosα）t﹣7=0，所以，所以，或，即或．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，某某数a的最大值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=﹣时，根据f（x）=的最小值为3，可得lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，不等式得证．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得 f（x）≥|a﹣|，可得|a﹣|≥a，由此解得a的X围．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵当a=﹣时，f（x）=|x﹣|+|x+|=的最小值为3，∴lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，∴lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得 f（x）=|x﹣|+|x﹣a|≥|（x﹣）﹣（x﹣a）|=|a﹣|，再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a﹣|≥a，∴a﹣≥a，或 a﹣≤﹣a，解得a≤，故a的最大值为．。
2024-2025学年上海市徐汇区南洋中学高一(上)期中数学试卷(含答案)
2024-2025学年上海市徐汇区南洋中学高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设甲是乙的充分而不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要而不充分条件，则丁是甲的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.如图，U 是全集，A 、B 、C 是它的子集，则阴影部分表示对集合是( )A. (A ∩B)∩CB. (A ∩∁U B)∩CC. (A ∩B)∩∁U CD. (A ∪∁U B)∩C3.如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( )A. 1a <1bB. ab <b 2C. −ab <−a 2D. −1a <−1b 4.设集合A ={x||x−a|=1}，B ={1,−3,b}，若A ⊆B ，则对应的实数对(a,b)有( )A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对二、填空题：本题共12小题，共40分。
5.A ={x|−1≤x ≤3}，B ={x|x <−2或x ≥2}，则A ∩B = ______．6.用反证法证明：若梯形的对角线不相等，则该梯形不是等腰梯形，应假设______．7.不等式|x−1|<2的解集为______．8.不等式(1−2x)(x +1)>0的解集是______．9.方程x 2+(m−3)x +m =0有两个实根，则实数m 的取值范围是______．10.已知log 189=a ，18b =5，则18a−b 2的值为______．11.使不等式|x−5|+|x−3|≥2中等号成立的x 的取值范围是______．12.已知集合A ={2,(a +1)2,a 2+3a +3}，且1∈A ，则实数a 的值为______．13.不等式(a−2)x 2+2(a−2)x−4<0对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是______．14.若集合A ={1,2}，B ={1,2,3,4,5,6}，若集合M 满足A ⊂M ⊆B ，则这样的集合M 的个数是______．15.设α，β是方程lg 2x−lgx−3=0的两根，则log αβ+log βα= ______．16.记min{x,y,z}表示x ，y ，z 中最小的数.设a >0，b >0，则min{a,1b ,1a +3b}的最大值为______．三、解答题：本题共5小题，共44分。
高中高一数学上学期第三次月考试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市航天高中高一（上）第三次月考数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符是合题目要求的．）1．设集合A={x|x﹣1＞0}，B={x|2x＞0}，则A∩B=（）A．{x|x＞1} B．{x|x＞0} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x＜﹣1或x＞1}2．若，且α是第二象限角，则cosα的值等于（）A． B． C．D．3．为了得到函数的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度4．下列四个函数中，既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（）A．y=tanx B．y=|sinx| C．y=cosx D．y=|cosx|5．幂函数y=x m（m∈Z）的图象如图所示，则m的值可以为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．26．函数y=ax2+bx+3在（﹣∞，﹣1]上是增函数，在[﹣1，+∞）上是减函数，则（）A．b＞0且a＜0 B．b=2a＜0C．b=2a＞0 D．a，b的符号不确定7．根据表格内的数据，可以断定方程e x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间是（）x ﹣1 0 1 2 3e x0.37 1 2.72 7.39 20.08x+2 1 2 3 4 5A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）8．将下列各式按大小顺序排列，其中正确的是（）A．cos0＜cos＜cos1＜cos30°B．cos0＜cos＜cos30°＜cos1C．cos0＞cos＞cos1＞cos30°D．cos0＞cos＞cos30°＞cos19．若lgx﹣lgy=a，则=（）A．3a B．C．a D．10．若sinα，cosα是关于x的方程4x2+2x+3m=0的两根，则m的值为（）A．B． C．D．11．设函数f（x）=，若方程f（x）=m有三个不同的实数解，则m的取值X围是（）A．m＞0或m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．﹣1＜m＜0 D．m＜012．已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．已知角α的终边经过点P（﹣4，3），则cosα=．14．已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是．15．函数，则=．16．当x＞0时，不等式（a2﹣3）x＞（2a）x恒成立，则实数a的取值X围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）17．已知（1）求tanα的值；（2）求的值．18．设，（1）在下列直角坐标系中画出f（x）的图象；（2）若f（t）=3，求t值．19．已知x∈[﹣，]，（1）求函数y=cosx的值域；（2）求函数y=﹣3（1﹣cos2x）﹣4cosx+4的值域．20．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，y有最大值3；当x=6π时，y有最小值﹣3．（1）求此函数的解析式；（2）求此函数的单调区间．21．已知二次函数f（x）=x2﹣16x+q+3（1）若函数在区间[﹣1，1]上存在零点，某某数q的取值X围；（2）问：是否存在常数q（0＜q＜10），使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为﹣51？若存在，求出q的值，若不存在，说明理由．22．已知函数．（1）当a=1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域；（2）若对任意x∈[0，+∞），总有f（x）＜3成立，某某数a的取值X围．2015-2016学年某某省某某市航天高中高一（上）第三次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符是合题目要求的．）1．设集合A={x|x﹣1＞0}，B={x|2x＞0}，则A∩B=（）A．{x|x＞1} B．{x|x＞0} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x＜﹣1或x＞1}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：x＞1，即A={x|x＞1}，由B中不等式变形得：2x＞0，得到B=R，∴A∩B={x|x＞1}，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．若，且α是第二象限角，则cosα的值等于（）A． B． C．D．【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】由sinα的值，以及α的X围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值即可．【解答】解：∵sinα=，α是第二象限角，∴cosα=﹣=﹣．故选C【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．3．为了得到函数的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】直接利用函数图象的平移法则逐一核对四个选项得答案．【解答】解：∵由y=sinx到y=sin（x﹣），只是横坐标由x变为x﹣，∴要得到函数y=sin（x﹣）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度．故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．是基础题．4．下列四个函数中，既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（）A．y=tanx B．y=|sinx| C．y=cosx D．y=|cosx|【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据函数单调性，周期性和奇偶性分别进行判断即可得到结论．【解答】解：A．函数y=tanx为奇函数，不满足条件．B．函数y=|sinx|满足既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数．C．y=cosx的周期为2π，不满足条件．D．y=|cosx|在（0，）上是减函数，不满足条件．故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握三角函数的周期性，奇偶性和单调性．5．幂函数y=x m（m∈Z）的图象如图所示，则m的值可以为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2【考点】幂函数的性质．【专题】应用题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】由给出的幂函数的图象，得到幂指数小于0，且幂函数为偶函数，即可判断答案．【解答】解：根据幂函数的图象可知函数在第一象限内单调递减，且为偶函数．则m＜0且为偶数，故选：C．【点评】本题主要考查幂函数的图象和性质，要求熟练掌握幂函数的性质的应用．6．函数y=ax2+bx+3在（﹣∞，﹣1]上是增函数，在[﹣1，+∞）上是减函数，则（）A．b＞0且a＜0 B．b=2a＜0C．b=2a＞0 D．a，b的符号不确定【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】利用对称轴的公式求出对称轴，根据二次函数的单调区间得到，得到选项．【解答】解：∵函数y=ax2+bx+3的对称轴为∵函数y=ax2+bx+3在（﹣∞，﹣1]上是增函数，在[﹣1，+∞）上是减函数∴∴b=2a＜0故选B【点评】解决与二次函数有关的单调性问题，一般要考虑二次函数的开口方向、对称轴．7．根据表格内的数据，可以断定方程e x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间是（）x ﹣1 0 1 2 3e x0.37 1 2.72 7.39 20.08x+2 1 2 3 4 5A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】令f（x）=e x﹣x﹣2，求出选项中的端点函数值，从而由根的存在性定理判断根的位置．【解答】解：由上表可知，令f（x）=e x﹣x﹣2，则f（﹣1）≈0.37+1﹣2＜0，f（0）=1﹣0﹣2=﹣1＜0，f（1）≈2.72﹣1﹣2＜0，f（2）≈7.39﹣2﹣2＞0，f（3）≈20.09﹣3﹣2＞0．故f（1）f（2）＜0，故选：C．【点评】考查了二分法求方程近似解的步骤，属于基础题．8．将下列各式按大小顺序排列，其中正确的是（）A．cos0＜cos＜cos1＜cos30°B．cos0＜cos＜cos30°＜cos1C．cos0＞cos＞cos1＞cos30°D．cos0＞cos＞cos30°＞cos1【考点】余弦函数的单调性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】先将1和化为角度，再根据余弦函数的单调性，判断出四个余弦值的大小关系．【解答】解：∵1≈57.30°，∴≈28.56°，则0＜＜30°＜1，∵y=cosx在（0°，180°）上是减函数，∴cos0＞cos＞cos30°＞cos1，故选D．【点评】本题主要考查余弦函数的单调性，以及弧度与角度之间的转化，属于基础题．9．若lgx﹣lgy=a，则=（）A．3a B．C．a D．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】直接利用对数的性质化简表达式，然后把lgx﹣lgy2a代入即可．【解答】解： =3（lgx﹣lg2）﹣3（lgy﹣lg2）=3（lgx﹣lgy）=3a故选A．【点评】本题考查对数的运算性质，考查计算能力，是基础题．10．若sinα，cosα是关于x的方程4x2+2x+3m=0的两根，则m的值为（）A．B． C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用韦达定理求得sinα+cosα=﹣，sinα•cosα=，再利用同角三角函数的基本关系求得sinα•cosα=﹣，从而求得 m的值．【解答】解：∵sinα，cosα是关于x的方程4x2+2x+3m=0的两根，∴sinα+cosα=﹣，sinα•cosα=，再根据1+2sinαcosα=，∴sinα•cosα=﹣，∴m=﹣，故选：D．【点评】本题主要考查韦达定理、同角三角函数的基本关系，属于基础题．11．设函数f（x）=，若方程f（x）=m有三个不同的实数解，则m的取值X围是（）A．m＞0或m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．﹣1＜m＜0 D．m＜0【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得函数y=f（x）和直线y=m有3个不同的交点，数形结合可得m的取值X 围．【解答】解：由题意可得函数y=f（x）和直线y=m有3个不同的交点，如图所示：当﹣1＜m＜0时，函数y=f（x）和直线y=m有3个不同的交点，故选C．【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．12．已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】函数f（x）=1+asinax的图象是一个正弦曲线型的图，其振幅为|a|，周期为，周期与振幅成反比，从这个方向观察四个图象．【解答】解：对于振幅大于1时，三角函数的周期为：，∵|a|＞1，∴T＜2π，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2π．对于选项A，a＜1，T＞2π，满足函数与图象的对应关系，故选D．【点评】由于函数的解析式中只含有一个参数，这个参数影响振幅和周期，故振幅与周期相互制约，这是本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．已知角α的终边经过点P（﹣4，3），则cosα=．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题．【分析】先求出角α的终边上的点P（﹣4，3）到原点的距离为 r，再利用任意角的三角函数的定义cosα=求出结果．【解答】解：角α的终边上的点P（﹣4，3）到原点的距离为 r=5，由任意角的三角函数的定义得cosα==．故答案为：．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，考查计算能力．14．已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是（π﹣2）rad ．【考点】弧长公式．【专题】计算题．【分析】由题意，本题中的等量关系是扇形的周长等于弧所在的圆的半周长，可令圆心角为θ，半径为r，弧长为l，建立方程，求得弧长与半径的关系，再求扇形的圆心角．【解答】解：令圆心角为θ，半径为r，弧长为l由题意得2r+l=πr∴l=（π﹣2）r∴θ==π﹣2故答案为：（π﹣2）rad．【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是熟练掌握弧长公式，且能利用公式建立方程进行运算，本题考查对公式的准确记忆能力15．函数，则= ﹣．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】利用诱导公式先求出f（x）=，再把cos=代入，能求出结果．【解答】解：∵===，∵cos=，∴==．故答案为：﹣．【点评】本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意诱导公式的合理运用．16．当x＞0时，不等式（a2﹣3）x＞（2a）x恒成立，则实数a的取值X围是a＞3 ．【考点】函数恒成立问题．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意结合幂函数的单调性列关于a的不等式组得答案．【解答】解：∵x＞0时，不等式（a2﹣3）x＞（2a）x恒成立，∴，解得：a＞3．故答案为：a＞3．【点评】本题考查函数恒成立问题，应用了幂函数的单调性，同时注意指数式的底数大于0且不等于1，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）17．已知（1）求tanα的值；（2）求的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】综合题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）直接弦化切，即可求tanα的值；（2）法一：求出sinα，cosα，分类讨论求的值．法二：原式分子分母同除以cos2α，弦化切，即可求的值．【解答】解：（1）∵，∴tanα=﹣tanα+1（2）法一：由（1）知：，∴或当，时，原式=当，时，原式=综上：原式=法二：原式分子分母同除以cos2α得：原式==【点评】本题考查同角三角函数关系，考查学生的转化能力，属于中档题．18．设，（1）在下列直角坐标系中画出f（x）的图象；（2）若f（t）=3，求t值．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】计算题；作图题．【分析】由分段函数，按照基本函数作图，第一段一次函数，第二次二次函数，第三次为一次函数，要注意每段的定义域．【解答】解：（1）如图（2）由函数的图象可得：f（t）=3即t2=3且﹣1＜t＜2．∴t=【点评】本题主要考查分段函数的作图和用数形结合解决问题的能力，分段函数知识点容量大且灵活，是高考的热点，在解决中要注意部分与整体的关系．19．已知x∈[﹣，]，（1）求函数y=cosx的值域；（2）求函数y=﹣3（1﹣cos2x）﹣4cosx+4的值域．【考点】余弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由条件利用余弦函数的定义域和值域，求得函数y=cosx的值域．（2）把函数y的解析式化为y=3（cosx﹣）2﹣，结合cosx∈[﹣，1]，利用二次函数的性质求得y的值域．【解答】解：（1）∵y=cosx在[﹣，0]上为增函数，在[0，]上为减函数，∴当x=0时，y取最大值1；x=时，y取最小值﹣，∴y=cosx的值域为[﹣，1]．（2）原函数化为：y=3cos2x﹣4cosx+1，即y=3（cosx﹣）2﹣，由（1）知，cosx∈[﹣，1]，故y的值域为[﹣，]．【点评】本题主要考查余弦函数的值域，二次函数的性质，属于基础题．20．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，y有最大值3；当x=6π时，y有最小值﹣3．（1）求此函数的解析式；（2）求此函数的单调区间．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）由题意得到A和周期，代入周期公式求ω，在由点（π，3）在此函数图象上结合φ的X围求得φ，则函数解析式可求；（2）直接由复合函数的单调性求函数的单调区间．【解答】解：（1）由题意可知：A=3，，∴T=10π，则，∴y=3sin（φ），∵点（π，3）在此函数图象上，∴，．φ=．∵|φ|＜，∴φ=．∴y=3sin（）；（2）当，即﹣4π+10kπ≤x≤π+10kπ，k∈Z时，函数y=3sin（）单调递增，∴函数的单调增区间为[﹣4π+10kπ，π+10kπ]（k∈Z）；当，即π+10kπ≤x≤6π+10kπ，k∈Z时，函数单调递减，∴函数的单调减区间为[π+10kπ，6π+10kπ]（k∈Z）．【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数图象的求法，考查了复合函数的单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”的原则，是中档题．21．已知二次函数f（x）=x2﹣16x+q+3（1）若函数在区间[﹣1，1]上存在零点，某某数q的取值X围；（2）问：是否存在常数q（0＜q＜10），使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为﹣51？若存在，求出q的值，若不存在，说明理由．【考点】二次函数的性质．【专题】存在型；分类讨论；转化思想；分类法；函数的性质及应用．【分析】（1）若函数在区间[﹣1，1]上存在零点，则，即，解得实数q的取值X围；（2）假定存在满足条件的q值，结合二次函数的图象和性质，对q进行分类讨论，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（1）若二次函数f（x）=x2﹣16x+q+3的图象是开口朝上，且以直线x=8为对称轴的抛物线，故函数在区间[﹣1，1]上为减函数，若函数在区间[﹣1，1]上存在零点，则，即，解得：q∈[﹣20，12]；（2）若存在常数q（0＜q＜10），使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为﹣51，当0＜q≤8时，f（8）=q﹣61=﹣51，解得：q=10（舍去），当8＜q＜10时，f（q）=q2﹣15q+3=﹣51，解得：q=9，或q=6（舍去），综上所述，存在q=9，使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为﹣51．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．22．已知函数．（1）当a=1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域；（2）若对任意x∈[0，+∞），总有f（x）＜3成立，某某数a的取值X围．【考点】函数恒成立问题．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）法一、把a=1代入函数解析式，由指数函数的单调性求得f（x）在（﹣∞，0）上的值域；法二、令换元，由x的X围求出t的X围，转化为二次函数求值域；（2）由f（x）＜3，即，分离参数a，然后利用换元法求函数的最小值得答案．【解答】解：（1）法一、当a=1时，，由指数函数单调性知f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，∴f（x）＞f（0）=3，即f（x）在（﹣∞，1）的值域为（3，+∞）；法二、令，由x∈（﹣∞，0）知：t∈（1，+∞），∴y=g（t）=t2+t+1（t＞1），其对称轴为直线，∴函数g（t）在区间（1，+∞）上为增函数，∴g（t）＞g（1）=3，∴函数f（x）在（﹣∞，1）的值域为（3，+∞）；（2）由题意知，f（x）＜3，即，由于，在[0，+∞）上恒成立．若令2x=t，，则：t≥1且a≤h min（t）．由函数h（t）在[1，+∞）上为增函数，故φmin（t）=φ（1）=1．∴实数a的取值X围是（﹣∞，1]．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查了指数函数的单调性，训练了分离变量法，是中档题．。
历年上海一模、二模专题汇编：矩阵与行列式【S】
高中数学上海市重点高中辅导讲义汇编学科：数学专题：矩阵行列式版本：学生用书姓名：年级：高二上海市各区县2016届高三上学期期末考试数学理试题汇编矩阵与行列式1、（宝山区2016届高三上学期期末）已知矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421y ，B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛876x ，AB =⎪⎪⎭⎫⎝⎛50432219， 则x+y = .2、（崇明县2016届高三上学期期末）函数sin 2()1x f x =- cosx 的最小正周期是 .3、（宝山区2016届高三上学期期末）已知,0,>t ω函数xx x f ωωcos 1sin 3)(=的最小正周期为π2，将)(x f 的图像向左平移t 个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则t 的最小值为 .4、（虹口区2016届高三上学期期末）行列式12cos()tan 25cos cot()x x x x ππ+-的最大值为______.5、（黄浦区2016届高三上学期期末）直线321x y=的一个方向向量可以是 ．6、（嘉定区2016届高三上学期期末）已知31cos 75sin sin 75cos =︒-︒αα，则=+︒)230cos(α_______.7、（金山区2016届高三上学期期末）若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212332c c ，解为⎩⎨⎧==12y x ， 则c 1–c 2= .8、（金山区2016届高三上学期期末）行列式dc b a (a 、b 、c 、d ∈{–1,1,2})所有可能的值中，最小值为 .9、（闵行区2016届高三上学期期末）函数()cos()sin sin()cos x xf x x xπ-=π+的最小正周期T = .10、（浦东新区2016届高三上学期期末）若复数z 满足1012ii z=-（i 为虚数单位），则z = . 11、（青浦区2016届高三上学期期末）方程组35604370x y x y ++=⎧⎨--=⎩的增广矩阵是____________.12、（松江区2016届高三上学期期末）行列式cos 20sin 20︒︒ sin 40cos 40︒︒的值是 .13、（徐汇区2016届高三上学期期末）若三条直线03=++y ax ,02=++y x 和012=+-y x 相交于一点，则行列式11221131-a的值为__________.14、（杨浦区2016届高三上学期期末）已知矩阵1012A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2413B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则=+B A _____________.15、（长宁区2016届高三上学期期末）关于x 的不等式的解集为.（1）求实数a ,b 的值； （2）若为纯虚数，求tan α的值.【例题解析】1. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（文科）】已知二元一次方程组的增广矩阵是421m m mm +⎛⎫⎪⎝⎭，若该方程组无解，则实数m 的值为___________．2. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（文科）】计算：122423432⎛⎫⎛⎫⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= .3. 【黄浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科）】三阶行列式45sin 2cos 610sin ---x x x ()R x ∈中元素4的代数余子式的值记为()x f ，则函数()x f 的最小值为4. 【黄浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科）】各项都为正数的无穷等比数列{}na ，满足,,42t a m a ==且⎩⎨⎧==ty m x 是增广矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2221103的线性方程组⎩⎨⎧=+=+2222111211c y a x a c y a x a 的解，则无穷等比数列{}na 各项和的数值是 _________.5. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科）】若行列式124012x -=，则x = .2014年高三二模汇编——矩阵、行列式1、（2014宝山四区文理1）. 二阶行列式ii i ++-1101的值是 . （其中i 为虚数单位）2、（2014长宁二模文理7）对于任意),1()1,0(∞+∈ a ，函数)1(log 111)(--=x x f a 的反函数)(1x f -的图像经过的定点的坐标是______________．3、（2014奉贤二模理10）、已知函数cos ()sin x f x x=， 则方程()021cos =+⋅x x f 的解是________.4、（2014奉贤二模文10）、将函数cos ()sin x f x x=的图像向左平移m 个单位(0)m >，若所得图像对应的函数为偶函数， 则m 的最小值是________.5、（2014虹口二模5文6）、复数z 满足11z ii i=+，则复数z 的模等于_______________．7、（2014浦东二模文理3）. 函数()31cos 4sin xx x f =的最大值为 .8、（2014松江三区二模文理7）．函数()()sin cos cos 2sin cos sin x x x f x xx xπ+-=-的最小正周期T =____________．【课堂练习】1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】三阶行列式45sin 2cos 61sin ---xx x ()R x ∈中元素4的代数余子式的值记为()x f ，则函数()x f 的最小值为2. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知二元一次方程组的增广矩阵是421m m m m +⎛⎫⎪⎝⎭，若该方程组无解，则实数m 的值为___________．3. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】计算：122423432⎛⎫⎛⎫⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= .4. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】若行列式124012x -=，则x = .5. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】各项都为正数的无穷等比数列{}na ，满足,,42t a m a ==且⎩⎨⎧==ty mx 是增广矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2221103的线性方程组⎩⎨⎧=+=+2222111211c y a x a c y a x a 的解，则无穷等比数列{}na 各项和的数值是 _________.上海市各区县2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编矩阵与行列式一、填空题1、（宝山区20152、（宝山区2015届高三上期末）设矩阵241A x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2211B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，若BA =2412⎛⎫⎪--⎝⎭， 则x =3、（崇明县2015届高三上期末）已知线性方程组的增广矩阵为103210⎛⎫⎪⎝⎭，则其对应的方程组解为4、（奉贤区2015届高三上期末）已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-βαcos 200sin 为单位矩阵，且,2παβπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦、，则tan()αβ+= 5、（虹口区2015届高三上期末）行列式()3sin tan 4cos tan()2x x x x ππ-+的最小值为6、（嘉定区2015届高三上期末）将函数xx x f 2sin 12cos 3)(=的图像向左平移m （0>m ）个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则m 的最小值为____________7、（金山区2015届高三上期末）当a >0，b >0且a+b =2时，行列式ba 11的值的最大值是8、（浦东区2015届高三上期末）已知一个关于y x ,的二元线性方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210211，则y x +=9、（松江区2015届高三上期末）若复数z 满足014=-zz ,则z 的值为10、（徐汇区2015届高三上期末）若全集U R =，不等式11111x x+≥-的解集为A ，则U A C =11、（杨浦区2015届高三上期末）设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ，若30a b c a ba b c ++=+-，则角C =_______12、（黄浦区2015届高三上期末）若三阶行列式1302124121n m mn -+---中第1行第2列的元素3的代数余子式的值是15-，则|i |n m +(其中i 是虚数单位，R m n ∈、)的值是二、选择题 1、（浦东区2015届高三上期末）已知数列{}n a 的通项公式2,n a n n N *=∈，则5231234201220134345620142015a a a a a a a a a a a a a a a a ++++= （ ）()A 16096-()B 16104- ()C 16112-()D 16120-。
福建师大附中高一数学上学期期末试卷(实验班,含解析)-人教版高一全册数学试题
2015-2016学年某某师大附中高一（上）期末数学试卷（实验班）一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．若直线l的斜率为，则直线l的倾斜角为（）A．115°B．120°C．135°D．150°2．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如图所示，则（）A．以上四个图形都是正确的B．只有（2）（4）是正确的C．只有（4）是错误的D．只有（1）（2）是正确的3．△ABC的斜二测直观图△A′B′C′如图所示，则△ABC的面积为（）A．1 B．2 C．D．4．一束光线自点P（﹣1，1，1）发出，被yOz平面反射到达点Q（﹣6，3，3）被吸收，那么光线所走的距离是（）A． B． C． D．5．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的母线与底面所称的角为（）A．30° B．45° C．60° D．75°6．下列命题正确的是（）A．若直线l不平行于平面α，则α内不存在直线平行于直线lB．若直线l不垂直于平面α，则α内不存在直线垂直于直线lC．若平面α不平行于平面β，则β内不存在直线平行于平面αD．若平面α不垂直于平面β，则β内不存在直线垂直于平面α7．已知BC是圆x2+y2=25的动弦，且|BC|=6，则BC的中点的轨迹方程是（）A．x2+y2=1 B．x2+y2=9 C．x2+y2=16 D．x2+y2=48．若直线l1：（2m+1）x﹣4y+3m=0与直线l2：x+（m+5）y﹣3m=0平行，则m的值为（）A．B．C．D．﹣19．直线l：y=kx﹣1与曲线C：x2+y2﹣4x+3=0有且仅有2个公共点，则实数k的取值X围是（）A． B． C．D．10．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．411．过M（1，3）引圆x2+y2=2的切线，切点分别为A、B，则△AMB的面积为（）A．B．4 C．D．12．若两条异面直线所成的角为90°，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为（）A．24 B．48 C．72 D．78二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷上）13．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为．14．函数f（x）=的最小值为．15．设点P、Q分别在直线3x﹣y+5=0和3x﹣y﹣13=0上运动，线段PQ中点为M（x0，y0），且x0+y0＞4，则的取值X围为．16．如右图，三棱锥A﹣BCD的顶点B、C、D在平面α内，CA=AB=BC=CD=DB=2，AD=，若将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内为止，则A、D两点所经过的路程之和是．17．若直线m被两平行线l1：x+y=0与l2：x+y+=0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15° ②45° ③60° ④105°⑤120° ⑥165°其中正确答案的序号是．（写出所有正确答案的序号）18．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长l=f（x），x∈0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积v=h（x）为常函数；以上命题中真命题的序号为．三、解答题：（本大题共5小题，满分60分）19．已知△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∠A的角平分线所在的直线方程为y=0，点C的坐标为（1，2）．（Ⅰ）求点A和点B的坐标；（Ⅱ）又过点C作直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点M，N，求△MON的面积最小值及此时直线l的方程．20．如图（1），在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体如图（2），使G1、G2、G3三点重合于点G．证明：（1）G在平面SEF上的射影为△SEF的垂心；（2）求二面角G﹣SE﹣F的正弦值．21．一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱桥最高点距水面8m，拱桥内水面宽32m，船只在水面以上部分高6.5m，船顶部宽8m，故通行无阻，如图所示．（1）建立适当的平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程；（2）近日水位暴涨了2m，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到0.1m，）22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（I）证明：BE∥平面ADP；（II）求直线BE与平面PDB所成角的正弦值．23．如图，已知线段AB长度为a（a为定值），在其上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，⊙P和⊙Q是这两个正方形的外接圆，它们交于点M、N．试以A为坐标原点，建立适当的平面直角坐标系．（1）证明：不论点M如何选取，直线MN都通过一定点S；（2）当时，过A作⊙Q的割线，交⊙Q于G、H两点，在线段GH上取一点K，使=求点K的轨迹．2015-2016学年某某师大附中高一（上）期末数学试卷（实验班）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．若直线l的斜率为，则直线l的倾斜角为（）A．115°B．120°C．135°D．150°【考点】直线的倾斜角．【分析】由倾斜角与斜率的关系和倾斜角的X围，结合题意即可算出直线倾斜角的大小．【解答】解：∵直线的斜率为﹣，∴直线倾斜角α满足tanα=﹣，结合α∈[0°，180°），可得α=150°故选：D．2．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如图所示，则（）A．以上四个图形都是正确的B．只有（2）（4）是正确的C．只有（4）是错误的D．只有（1）（2）是正确的【考点】棱锥的结构特征．【分析】正三棱锥的棱长都相等，三棱锥的四个面到球心的距离应相等，所以圆心不可能在三棱锥的面上【解答】解：（1）当平行于三棱锥一底面，过球心的截面如（1）图所示；（2）过三棱锥的一条棱和圆心所得截面如（2）图所示；（3）过三棱锥的一个顶点（不过棱）和球心所得截面如（3）图所示；（4）棱长都相等的正三棱锥和球心不可能在同一个面上，所以（4）是错误的．故答案选C．3．△ABC的斜二测直观图△A′B′C′如图所示，则△ABC的面积为（）A．1 B．2 C．D．【考点】平面图形的直观图．【分析】将直观图还原成平面图形，根据斜二侧画法原理求出平面图形的边长，计算面积．【解答】解：作出△ABC的平面图形，则∠ACB=2∠A′C′B′=90°，BC=B′C′=2，AC=2A′C′=2，∴△ABC的面积为=2．故选：B．4．一束光线自点P（﹣1，1，1）发出，被yOz平面反射到达点Q（﹣6，3，3）被吸收，那么光线所走的距离是（）A． B． C． D．【考点】空间两点间的距离公式；空间中的点的坐标．【分析】求出P关于平面xoy的对称点的M坐标，然后求出MQ的距离即可．【解答】解：点P（﹣1，1，1）平面xoy的对称点的M坐标（﹣1，1，﹣1），一束光线自点P（﹣1，1，1）发出，遇到平面xoy被反射，到达点Q（﹣6，3，3）被吸收，那么光所走的路程是： =．故选D．5．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的母线与底面所称的角为（）A．30° B．45° C．60° D．75°【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设出圆锥的半径与母线长，利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长得到圆锥的半径与母线长，进而表示出圆锥的母线与底面所成角的余弦值，也就求出了夹角的度数．【解答】解：设圆锥的母线长为R，底面半径为r，则：πR=2πr，∴R=2r，设母线与底面所成角为θ，则母线与底面所成角的余弦值cosθ==，∴母线与底面所成角是60°．故选：C．6．下列命题正确的是（）A．若直线l不平行于平面α，则α内不存在直线平行于直线lB．若直线l不垂直于平面α，则α内不存在直线垂直于直线lC．若平面α不平行于平面β，则β内不存在直线平行于平面αD．若平面α不垂直于平面β，则β内不存在直线垂直于平面α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】逐个分析选项，举出反例即可．【解答】解：对于A，若l⊂α，则α内存在无数条直线与l平行，故A错误．对于B，若l⊂α，则α内存在无数条直线与l垂直，故B错误．对于C，若α∩β=l，则在α存在无数条直线与l平行，故这无数条直线都与平面β平行，故C错误．对于D，若β内存在直线l垂直于平面α，则α⊥β，即命题D的逆否命题成立，故命题D成立，故D正确．7．已知BC是圆x2+y2=25的动弦，且|BC|=6，则BC的中点的轨迹方程是（）A．x2+y2=1 B．x2+y2=9 C．x2+y2=16 D．x2+y2=4【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设BC的中点的坐标，由弦长公式和两点间的距离公式列出式子，化简后可得BC的中点的轨迹方程．【解答】解：设BC的中点P的坐标是（x，y），∵BC是圆x2+y2=25的动弦，|BC|=6，且圆心O（0，0），∴|PO|==4，即，化简得x2+y2=16，∴BC的中点的轨迹方程是x2+y2=16，故选：C．8．若直线l1：（2m+1）x﹣4y+3m=0与直线l2：x+（m+5）y﹣3m=0平行，则m的值为（）A．B．C．D．﹣1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】直线l1的斜率一定存在，所以，当两直线平行时，l2的斜率存在，求出l2的斜率，利用它们的斜率相等解出m的值．【解答】解：直线l1的斜率一定存在，为，但当m=﹣5时，l2的斜率不存在，两直线不平行．当m≠﹣5时，l2的斜率存在且等于=≠=﹣1，解得m=﹣，故选：B．9．直线l：y=kx﹣1与曲线C：x2+y2﹣4x+3=0有且仅有2个公共点，则实数k的取值X围是（）A． B． C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出直线l：y=kx﹣1与曲线C相切时k的值，即可求得实数k的取值X围．【解答】解：如图所示，直线y=kx﹣1过定点A（0，﹣1），直线y=0和圆（x﹣2）2+y2=1相交于B，C两点，，，，∵直线l：y=kx﹣1与曲线C：x2+y2﹣4x+3=0有且仅有2个公共点，∴0，故选A．10．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．4【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，可得m≤6，从而得到答案．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有m≤6，故选：B．11．过M（1，3）引圆x2+y2=2的切线，切点分别为A、B，则△AMB的面积为（）A．B．4 C．D．【考点】圆的切线方程．【分析】作出图象易得sin∠OMB，进而可得cos∠AMB和sin∠AMB=，代入三角形的面积公式计算可得．【解答】解：如图，由题意可得|OM|==，由勾股定理可得|MA|=|MB|==2，故sin∠OMB===，∴cos∠AMB=cos2∠OMB=2cos2∠OMB﹣1=﹣，故sin∠AMB=，三角形面积S=×|MA|×|MB|×sin∠AMB=，故选：C．12．若两条异面直线所成的角为90°，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为（）A．24 B．48 C．72 D．78【考点】异面直线的判定．【分析】可把连接正方体各顶点的所有直线分成3组，棱，面上的对角线，体对角线，分别组合，找出可能的”理想异面直线对”，再相加即可．【解答】解：先把连接正方体各顶点的所有直线有三种形式．分别是正方体的棱，有12条，各面对角线，有12条，体对角线，有4条．分几种情况考虑第一种，各棱之间构成的“理想异面直线对”，每条棱有4条棱和它垂直，∴共有=24对第二种，各面上的对角线之间构成的“理想异面直线对”，每相对两面上有2对互相垂直的异面对角线，∴共有=6对第三种，各棱与面上的对角线之间构成的“理想异面直线对”，每条棱有2条面上的对角线和它垂直，共有2×12=24对第四种，各体对角线与面上的对角线之间构成的“理想异面直线对”，每条体对角线有6条面上的对角线和它垂直，共有6×4=24对最后，把各种情况得到的结果相加，得，24+6+24+24=78对故选D二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷上）13．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为3π．【考点】由三视图求面积、体积；球的体积和表面积．【分析】由三视图得到这是一个四棱锥，底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱与底面垂直，根据求与四棱锥的对称性知，外接球的直径是AD，利用勾股定理做出球的直径，得到球的面积．【解答】解：由主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，得到这是一个四棱锥，底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱AE与底面垂直，∴根据求与四棱锥的对称性知，外接球的直径是AC根据直角三角形的勾股定理知AC==，∴外接球的面积是，故答案为：3π14．函数f（x）=的最小值为2．【考点】两点间距离公式的应用；函数的最值及其几何意义．【分析】由配方可得函数表示f（x）表示P（x，0）到两点A（3，2），B（5，2）的距离之和．作出点A关于x轴的对称点A'（3，﹣2），连接A'B，交x轴于P，运用两点之间线段最短，由两点的距离公式计算即可得到．【解答】解：函数f（x）+=+，设点P（x，0），A（3，2），B（5，2），则f（x）表示P到两点A，B的距离之和．作出点A关于x轴的对称点A'（3，﹣2），连接A'B，交x轴于P，则||PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|==2，则当A，P，B'三点共线，取得最小值2．故答案为：2．15．设点P、Q分别在直线3x﹣y+5=0和3x﹣y﹣13=0上运动，线段PQ中点为M（x0，y0），且x0+y0＞4，则的取值X围为[1，3）．【考点】中点坐标公式．【分析】设P（x1，y1），Q（x2，y2），则3x1﹣y1﹣5=0，3x2﹣y2﹣13=0，两式相加得3（x1+x2）﹣（y1+y2）﹣8=0，设M（x0，y0），则由中点的坐标公式可得3x0﹣y0﹣4=0，又x0+y0＞4即点M在直线x+y=4上或者其右上方区域，画图得到M位于以（2，2）为端点向上的射线上，数形结合可得答案．【解答】解：设P，Q两点的坐标为P（x1，y1），Q（x2，y2），∵点P，Q分别在直线3x﹣y+5=0和3x﹣y﹣13=0上运动，∴3x1﹣y1﹣5=0，①3x2﹣y2﹣13=0，②两式相加得3（x1+x2）﹣（y1+y2）﹣8=0．设线段PQ的中点M（x0，y0），则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0．∴3x0﹣y0﹣4=0．即y0=3x0﹣4．又M点的坐标满足x0+y0＞4，即M恒在直线x+y=4上或者其右上方区域，∴线段PQ的中点M满足，如图．联立，解得M（2，2），∴M位于以（2，2）为端点向上的射线上，当M（2，2）时，k OM=1，∴直线OM斜率的取值X围是[1，3）．16．如右图，三棱锥A﹣BCD的顶点B、C、D在平面α内，CA=AB=BC=CD=DB=2，AD=，若将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内为止，则A、D两点所经过的路程之和是．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】由题意画出图形，可得∠AOD为直角，求出OA的长度，然后利用圆的周长公式求解．【解答】解：如图，取BC中点O，在△ABC和△BCD中，∵CA=AB=BC=CD=DB=2，∴AO=DO=，在△AOD中，AO=DO=，又AD=，∴=，则，∴将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内时，A、D两点所经过的路程都是以O 为圆心，以OA为半径的圆周，∴A、D两点所经过的路程之和是．故答案为：．17．若直线m被两平行线l1：x+y=0与l2：x+y+=0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15° ②45° ③60° ④105°⑤120° ⑥165°其中正确答案的序号是④或⑥．（写出所有正确答案的序号）【考点】直线的倾斜角；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由两平行线间的距离=，得直线m和两平行线的夹角为30°．再根据两条平行线的倾斜角为135°，可得直线m的倾斜角的值．【解答】解：由两平行线间的距离为=，直线m被平行线截得线段的长为2，可得直线m和两平行线的夹角为30°．由于两条平行线的倾斜角为135°，故直线m的倾斜角为105°或165°，故答案为：④或⑥．18．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面B DD′B′；②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长l=f（x），x∈0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积v=h（x）为常函数；以上命题中真命题的序号为①②④．【考点】命题的真假判断与应用；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】①利用面面垂直的判定定理去证明EF⊥平面BDD′B′．②四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可．③判断周长的变化情况．④求出四棱锥的体积，进行判断．【解答】解：①连结BD，B′D′，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以①正确．②连结MN，因为EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=时，此时MN 长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，EM的长度由大变小．当x∈[，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L=f（x）不单调．所以③错误．④连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C′EF为底，以M，N 分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V=h（x）为常函数，所以④正确．故答案为：①②④．三、解答题：（本大题共5小题，满分60分）19．已知△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∠A的角平分线所在的直线方程为y=0，点C的坐标为（1，2）．（Ⅰ）求点A和点B的坐标；（Ⅱ）又过点C作直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点M，N，求△MON的面积最小值及此时直线l的方程．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】（I）列方程组求出A点坐标，根据两直线垂直的条件求出BC、AB所在的直线方程，然后解方程组得B的坐标；（II）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，说明直线的斜率小于0，设出斜率根据直线过的C点，写出直线方程，求出△MON面积的表达式，利用基本不等式求出面积的最小值，即可得到面积最小值的直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）因为点A在BC边上的高x﹣2y+1=0上，又在∠A的角平分线y=0上，所以解方程组得A（﹣1，0）．∵BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∴k BC=﹣2，∵点C的坐标为（1，2），所以直线BC的方程为2x+y﹣4=0，∵k AC=﹣1，∴k AB=﹣k AC=1，所以直线AB的方程为x+y+1=0，解方程组得B（5，﹣6），故点A和点B的坐标分别为（﹣1，0），（5，﹣6）．（Ⅱ）依题意直线的斜率存在，设直线l的方程为：y﹣2=k（x﹣1）（k＜0），则，所以，当且仅当k=﹣2时取等号，所以（S△MON）min=4，此时直线l的方程是2x+y﹣4=0．20．如图（1），在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体如图（2），使G1、G2、G3三点重合于点G．证明：（1）G在平面SEF上的射影为△SEF的垂心；（2）求二面角G﹣SE﹣F的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）根据线面垂直的性质定理即可证明G在平面SEF上的射影为△SEF的垂心；（2）根据二面角平面角的定义作出二面角的平面角，结合三角形的边角关系即可求二面角G﹣SE﹣F的正弦值．【解答】证明：（1）设G在平面SEF上的射影为点H，则GH⊥平面SEF．∵折前SG1⊥G1E、SG3⊥G3F，∴折后SG⊥GE、SG⊥GF，∵GE∩GF=G，∴SG⊥平面GEF…∵，，SG∩GH=G，∴EF⊥平面SGH…∵SH⊂平面SGH，∴EF⊥SH，同理，EH⊥SF，∴H为△SEF的垂心．…（2）过G作GO⊥SE交SE于点O，连OH，则∠GOH即为所求二面角G﹣SE﹣F的平面角．…∵，又∵GO⊥SE，GH∩GO=G，∴SE⊥平面GHO∵OH⊂平面GHO，∴SE⊥OH，∴∠GOH为所求二面角G﹣SE﹣F的平面角．…设正方形SG1G2G3的边长为1，则在Rt△SEG中，∴…又，∴sin∠GOH==，∴二面角G﹣SE﹣F的正弦值为．…21．一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱桥最高点距水面8m，拱桥内水面宽32m，船只在水面以上部分高6.5m，船顶部宽8m，故通行无阻，如图所示．（1）建立适当的平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程；（2）近日水位暴涨了2m，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到0.1m，）【考点】圆方程的综合应用．【分析】（1）在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x轴，过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系建立坐标系，利用|CD|=|CB|，确定圆的方程；（2）令x=4时，求得y≈7.6，即桥拱宽为8m的地方距正常水位时的水面约7.60m，即可求得通过桥洞，船身至少应该降低多少．【解答】解：（1）在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x轴，过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A，B，D三点的坐标分别为（﹣16，0），（16，0），（0，8）．又圆心C在y轴上，故可设C（0，b）．…因为|CD|=|CB|，所以，解得b=﹣12．…所以圆拱所在圆的方程为：x2+（y+12）2=（8+12）2=202=400…（2）当x=4时，求得y≈7.6，即桥拱宽为8m的地方距正常水位时的水面约7.60m，…距涨水后的水面约5.6m，因为船高6.5m，顶宽8m，所以船身至少降低6.5﹣5.6=0.9（m）以上，船才能顺利通过桥洞．…22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（I）证明：BE∥平面ADP；（II）求直线BE与平面PDB所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取PD中点M，连接EM，AM，推导出四边形ABEM为平行四边形，由此能证明BE∥平面ADP．（Ⅱ）连接BM，推导出PD⊥EM，PD⊥AM，从而直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角，由此能求出直线BE与平面PDB所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）如图，取PD中点M，连接EM，AM．∵E，M分别为PC，PD的中点，∴EM∥DC，且EM=DC，又由已知，可得EM∥AB，且EM=AB，∴四边形ABEM为平行四边形，∴BE∥AM．∵AM⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，∴BE∥平面ADP．解：（Ⅱ）连接BM，由（Ⅰ）有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD，而EM∥CD，∴PD⊥EM．又∵AD=AP，M为PD的中点，∴PD⊥AM，∴PD⊥BE，∴PD⊥平面BEM，∴平面BEM⊥平面PBD．∴直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，∵BE⊥EM，∴∠EBM为锐角，∴∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．依题意，有PD=2，而M为PD中点，∴AM=，进而BE=．∴在直角三角形BEM中，sin∠EBM===．∴直线BE与平面PDB所成角的正弦值为．23．如图，已知线段AB长度为a（a为定值），在其上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，⊙P和⊙Q是这两个正方形的外接圆，它们交于点M、N．试以A为坐标原点，建立适当的平面直角坐标系．（1）证明：不论点M如何选取，直线MN都通过一定点S；（2）当时，过A作⊙Q的割线，交⊙Q于G、H两点，在线段GH上取一点K，使=求点K的轨迹．【考点】轨迹方程．【分析】（1）以A为坐标原点，AB为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出圆P、圆Q的方程，由圆系方程求得MN所在直线方程，再由直线系方程可得直线MN都通过一定点；（2）由题意求出M的坐标，得到圆Q的方程，设G（x1，y1），H（x2，y2），K（x，y），GH所在直线斜率为k，由=，可得，整理后代入根与系数的关系可得点K的轨迹是直线2x+y﹣a=0被⊙Q所截的一条线段．【解答】（1）证明：以A为坐标原点，AB为x轴正方向，建立平面直角坐标系．设M（m，0），则：A（0，0），B（a，0），C（m，m），F（m，a﹣m），，，⊙P方程为：，即：x2+y2﹣mx﹣my=0 ①，⊙Q方程为：即：x2+y2﹣（a+m）x﹣（a﹣m）y+am=0 ②．①﹣②得，公共弦MN所在直线方程：ax+（a﹣2m）y﹣am=0．整理得：（ax+ay）+m（﹣2y﹣a）=0，∴MN恒过定点；（2）解：当时，，⊙Q：，即：．设G（x1，y1），H（x2，y2），K（x，y），GH所在直线斜率为k，则：，，，由题意，，即：．把y=kx代入⊙Q方程，得：，由韦达定理得：，，∴，将代入整理，得：2x+y﹣a=0．∴点K的轨迹是直线2x+y﹣a=0被⊙Q所截的一条线段．。
2016届上海徐汇区初三数学一模试卷加答案(完美word版)
2015学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷初三数学 试卷 2016.1（时间100分钟 满分150分）考生注意∶1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】 1．下列两个图形一定相似的是（A ）两个菱形； （B ）两个矩形； （C ）两个正方形； （D ）两个等腰梯形． 2．如图1，如果EF CD AB ////，那么下列结论正确的是（A ）EF CD AE AC =； （B ）DF CEBD AC =； （C ）CD AB CE AC =； （D ） CEBD DF AC =． 3．将抛物线2)1(22-+=x y 向右平移2个单位，再向上平移2个单位后所得新抛物线的 表达式是（A ）2)3(2+=x y ；（B ）2)3(+=x y ；（C ）2)1(-=x y ；（D ）2)1(2-=x y ． 4．点G 是ABC ∆的重心，如果5==AC AB ，8=BC ，那么AG 的长是 （A ）1； （B ）2 ； （C ）3； （D ） 4．5．如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东︒30方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的 （A ）南偏西︒30方向； （B ）南偏西︒60方向； （C ）南偏东︒30方向； （D ）南偏东︒60方向．6．如图2，梯形ABCD 中，BC AD //，︒=∠90BAC ，AC AB =，点E 是边AB 上一 点，︒=∠45ECD ，那么下列结论错误的是（A ）ECB AED ∠=∠； （B ）ACE ADE ∠=∠ ； （C ）AD BE 2=； （D ） CE BC 2=．二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：=+-+b a b a2131)32(2__▲___．8．如果32=b a ，那么=+-ba ab __▲___． 9．已知二次函数122-=x y ，如果y 随x 的增大而增大，那么x 的取值范围是__▲___． 10．如果两个相似三角形的面积比是9:4，那么它们对应高的比是__▲___．A BC DEF图1图2A BCDE11．如图3所示，一皮带轮的坡比是4.2:1，如果将货物从地面用皮带轮送到离地10米高的平台，那么该货物经过的路程是__▲___米．12．已知点)4,1(M 在抛物线142+-=ax ax y 上，如果点N 和点M 关于该抛物线的对称 轴对称，那么点N 的坐标是__▲___． 13．点D 在ABC ∆的边AB 上，3=AC ，4=AB ，B ACD ∠=∠，那么AD 的长是_▲_． 14．如图4，在□ABCD 中，6=AB ，4=AD ，BAD ∠的平分线AE 分别交BD 、CD于F 、E ，那么=BFDF__▲___． 15．如图5，在ABC ∆中，BC AH ⊥于H ，正方形DEFG 内接于ABC ∆，点E D 、分别在边AC AB 、上，点F G 、在边BC 上，如果20=BC ，正方形DEFG 的面积为 25，那么AH 的长是__▲___．16．如图6，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥，垂足为D ，43tan =∠ACD ，5=AB ，那么CD 的长是__▲___．17．如图7，在梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC 2=，点E 是CD 的中点，AC 与BE交于点F ，那么ABF ∆和CEF ∆的面积比是__▲___．18．如图8，在ABC Rt ∆中，︒=∠90BAC ，3=AB ，53cos =B ，将ABC ∆绕着点A 旋转得ADE ∆，点B 的对应点D 落在边BC 上，联结CE ，那么CE 的长是_▲_．三．（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分） 19．（本题满分10分）计算：︒︒+︒︒-︒60cos 45cot 30cos 30tan 245sin 4．20．（本题满分10分）抛物线c x x y +-=22经过点)1,2(．（1）求抛物线的顶点坐标； （5分）（2）将抛物线c x x y +-=22沿y 轴向下平移后，所得新抛物线与x 轴交于B A 、两 点，如果2=AB ，求新抛物线的表达式． （5分）ABCDEF G H 图5 A B CD图6 ABC D E F 图7 ABC D E图8 图3如图9，在ABC ∆中，点E D 、分别在边AC AB 、上，43=AB AD ，3=AE ，1=CE ，6=BC ．（1）求DE 的长； （5分）（2）过点D 作AC DF //交BC 于F ，设AB a =，=b，求向量（用向量a 、b 表示）． （5分）22．（本题满分10分）如图10，热气球在离地面800米的A 处，在A 处测得一大楼楼顶C 的俯角是︒30，热气球沿着水平方向向此大楼飞行400米后到达B 处，从B 处再次测得此大楼楼顶C 的俯角是︒45，求该大楼CD 的高度． 参考数据：41.12≈，73.13≈．23．（本题满分12分）如图11，在ACB ∆中，BC AC =，点D 在边AC 上，BD AB =，ED BE =，且ABD CBE ∠=∠，DE 与CB 交于点F ．求证：（1）BE AD BD ⋅=2； （6分）（2）DF BC BF CD ⋅=⋅． （6分）ABCDE 图9ABCDE F 图11如图12，在AOB Rt ∆中，︒=∠90AOB ，已知点)1,1(--A ，点B 在第二象限，22=OB ，抛物线c bx x y ++=253经过点A 和B ． （1）求点B 的坐标； （3分）（2）求抛物线c bx x y ++=253的对称轴； （3分） （3）如果该抛物线的对称轴分别和边BO AO 、的延长线交于点D C 、，设点E 在直线AB 上，当BOE ∆和BCD ∆相似时，直接写出点E 的坐标．（6分）25．（本题满分14分）如图13，四边形ABCD 中，︒=∠60C ，5==AD AB ，8==CD CB ，点Q P 、分别是边BC AD 、上的动点，AQ 和BP 交于点E ，且BAD BEQ ∠-︒=∠2190，设P A 、两点的距离为x ．（1）求BEQ ∠的正切值； （4分） （2）设y PEAE=，求y 关于x 的函数解析式及定义域； （5分） （3）当AEP ∆是等腰三角形时，求Q B 、两点的距离． （5分）DB AC QPE图132015学年第一学期徐汇区初三年级数学学科 期终学习能力诊断卷参考答案和评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．C ； 2．B ； 3．D ； 4．B ； 5．A ； 6．D ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分）7．b a 213311+； 8．51； 9．0≥x ； 10．3:2； 11．26； 12．)4,3(； 13．49； 14．32； 15．320； 16．512； 17．1:6； 18．524．三、（本大题共7题，第19、20、21、22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分） 19. 解：原式21123332224+⨯⨯-⨯=；……………………………………………（5分）2122+-=；……………………………………………………………（3分） 122+=．…………………………………………………………………（2分） 20．解：（1）由题意，得144=+-c ，解得1=c ；…………………………………（1分）∴抛物线的解析式为122+-=x x y ；……………………………………（1分）即2)1(-=x y ；……………………………………………………………（1分） ∴顶点坐标是)0,1(．………………………………………………………（2分） （2）设平移后的抛物线解析式是n x x y -+-=122；………………………（1分）∴ 该抛物线的对称轴是直线1=x ；………………………………………（1分） 又2=AB ，由抛物线的对称性可得)0,0(A 、)0,2(B ；………………（1分） ∴01=-n ，解得1=n ；…………………………………………………（1分） ∴新抛物线的表达式是x x y 22-=．……………………………………（1分）21．解：（1）∵3=AE ，1=CE ，∴43=AC AE ；……………………………………（1分）又43=AB AD ，∴ABADAC AE =； …………………………………………（1分） ∴BC DE //．∴ ABADBC DE =……………………………………………（1分）即436=DE ，解得29=DE ．……………………………………………（2分）（2）∵AC DF //，∴ABBDAC DF =；……………………………………………（1分） 又43=AB AD ，∴41=AC DF ，即AC DF 41=；……………………………（2分） ∵b a+=，∴b a 4141+=． ……………………………………（2分）22．解： 分别延长DC AB 、交于点E ． ……………………………………………（1分）∵AB 与地面平行，DC 与地面垂直，∴AB DE ⊥，∴︒=∠90E ． …（1分）在CEB Rt ∆中，︒=∠45EBC ，∴︒=∠45ECB ，∴BE EC =；……（1分） 设x CE =，则x BE =，400+=x AE ． ………………………………（1分） 在AEC Rt ∆中，︒=∠90E ，∴AEECCAE =∠tan ； ……………………（1分） 即40030tan +=︒x x，解得)13(200+=x ；…………………………（2分）即546)173.1(200)13(200=+⨯≈+=CE (米) ；……………………（2分） ∴254546800=-=CD (米)； ……………………………………………（1分） 答： 大楼CD 的高度254米． 23．证明：（1）∵BC AC =，∴ABC A ∠=∠； ……………………………………（1分） ∵ED BE =，∴DBE BDE ∠=∠；…………………………………（1分）∵ABD CBE ∠=∠，∴CBD ABD CBD CBE ∠+∠=∠+∠， 即ABC DBE ∠=∠，∴A BDE ∠=∠；∴BED ∆∽BCA ∆ ；……（1分） ∵BD AB =，∴BDA A ∠=∠；∴ABC BDA ∠=∠；又A A ∠=∠，∴ABD ∆∽BCA ∆；…………………………………（1分） ∴BED ∆∽ADB ∆ ；……………………………………………………（1分） ∴BEBD BD AD =，即BE AD BD ⋅=2．…………………………………（1分） （2）∵ABD ∆∽BCA ∆，∴C ABD ∠=∠；………………………………（1分） 又ABD CBE ∠=∠，∴C CBE ∠=∠；……………………………（1分）∴BE AC //，∴EFDFBE DC =；…………………………………………（1分） ∵BED ∆∽BCA ∆，∴C E ∠=∠，1==ABBDBC BE ；………………（1分）∴CBE E ∠=∠，∴EF BF =；………………………………………（1分）又BC BE =，∴BFDFBC DC =；…………………………………………（1分） 即DF BC BF CD ⋅=⋅．24．解：（1）分别过点B A 、作y 轴的垂线，垂足分别是D C 、．可得ACO ∆∽ODB ∆，∴OAOBAC OD OC BD ==；∵)1,1(--A ，∴2=OA ； ∴2,2==OD BD ；∴)2,2(-B …………………………………………（3分）（2）由题意，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+-;22512;153c b c b ……………………………………………（1分） 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=;514;56c b ……………………………………………………………（1分） ∴51456532--=x x y ； ∴对称轴是直线1=x ．……………………………………………………（1分） （3）点)0,34(-E 或)58,54(--E ．…………………………………………（各3分）25．解：（1）联结BD AC 、交于点O ．…………………………………………………（1分）∴AD AB =，∴BAD BAD ABD ADB ∠-︒=∠-︒=∠=∠21902180，又BAD BEQ ∠-︒=∠2190，∴ADB BEQ ∠=∠； ∵AD AB =，CD CB =，∴BD AC ⊥，DO BO =； ∵︒=∠60BCD ，∴BCD ∆是等边三角形，∴8==BC BD ； 在AOD Rt ∆中，︒=∠90AOD ，∴3452222=-=-=DO AD AO ，∴43tan ==∠DO AO ADO ； ∴43tan =∠BEQ ． ………………………………………………………（3分）（2）如图，联结BD 交AQ 于F ．∵ADB BEQ AEP ∠=∠=∠，DAF EAP ∠=∠， ∴AEP ∆∽ADF ∆，∴DFADPE AE =；…………………（1分） ∵ABD ADB BEQ ∠=∠=∠，AFB BFE ∠=∠； ∴BFE ∆∽AFB ∆ ；∴BAF FBE ∠=∠；∴PBD ∆∽FAB ∆ ；∴BDPDAB BF =； 即855x BF -=，得8525x BF -=；∴85398xBF DF +=-=；…（2分） ∴39540+=x y ，定义域是50<≤x ．…………………………………（2分）DB ACQ PE F（3）如图，联结BD 交AQ 于F ．∵AEP ∆∽ADF ∆，当AEP ∆是等腰三角形时； ∴ADF ∆也是等腰三角形． 分情况讨论：︒1 当AD AF =时，0=BQ ，但此时点E Q B 、、重合，BEQ ∠不存在，不合题意，舍去；……………………………………（1分）︒2 当DF AF =时，解得4825〈=DF ，此时AF 与边BC 没有交点（即点Q 不在边BC 上），不合题意，舍去；…………………………………（2分）︒3 当5==AD DF 时，得3=BF ，此时1=y ，∴51=x ，符合题意； 联结AC 交BD 于O ，过点Q 作BF QG ⊥于G ；可得3tan =∠BFQ ， 因此，解得339-=BQ ，即Q B 、两点的距离是339-．…（2分）综合︒1、︒2、︒3，当AEP ∆是等腰三角形时，Q B 、两点的距离是339-．古今名言敏而好学，不耻下问——孔子业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随——韩愈 兴于《诗》，立于礼，成于乐——孔子 己所不欲，勿施于人——孔子 读书破万卷，下笔如有神——杜甫 读书有三到，谓心到，眼到，口到——朱熹 立身以立学为先，立学以读书为本——欧阳修 读万卷书，行万里路——刘彝黑发不知勤学早，白首方悔读书迟——颜真卿 书卷多情似故人，晨昏忧乐每相亲——于谦DB ACQ PEF书犹药也，善读之可以医愚——刘向莫等闲，白了少年头，空悲切——岳飞发奋识遍天下字，立志读尽人间书——苏轼鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书——李苦禅立志宜思真品格，读书须尽苦功夫——阮元非淡泊无以明志，非宁静无以致远——诸葛亮熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟——孙洙《唐诗三百首序》书到用时方恨少，事非经过不知难——陆游问渠那得清如许，为有源头活水来——朱熹旧书不厌百回读，熟读精思子自知——苏轼书痴者文必工，艺痴者技必良——蒲松龄声明访问者可将本资料提供的内容用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律的规定，不得侵犯本文档及相关权利人的合法权利。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2015-2016学年上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷一、填空题1．（5分）设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，|a﹣5|}，∁U M={5，7}，则a 的值为．2．（5分）函数f（x）=lg（2x﹣4）的定义域为．3．（5分）方程lg（2x+1）+lgx=1的解集为．4．（5分）函数f（x）=x2（x≥1）的反函数f﹣1（x）=．5．（5分）已知幂函数f（x）的图象过，则f（4）=．6．（5分）已知log163=m，则用m表示log916=．7．（5分）已知函数f（x）=a x﹣4a+3的反函数的图象经过点（﹣1，2），那么a 的值等于．8．（5分）函数y=的值域是．9．（5分）一片人工林地，目前可采伐的木材有10万立方米，如果封山育林，该森林可采伐木材的年平均增长率为8%，则经过年，该片森林可采伐的木材将增加到50万立方米．（结果保留整数）10．（5分）已知函数f（x）=x2+2x+3在[m，0]上的最大值为3，最小值为2，则实数m的取值范围是．11．（5分）若关于x的不等式﹣x2+2x＜lgt恒成立，则实数t的取值范围是．12．（5分）已知函数f（x）=，若f（0）是该函数的最小值，则实数a的取值范围是．二、选择题13．（5分）下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）单调递增的是（）A．y=x2 B．y=x﹣1C．D．14．（5分）命题“若x＞1，则x＞a”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a≥1 D．a≤115．（5分）设a，b为负实数，则“a＜b”是a＜b﹣”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）最近几年，每年11月初，黄浦江上漂浮着的水葫芦便会迅速增长，严重影响了市容景观，为了解决这个环境问题，科研人员进行科研攻关，如图是科研人员在实验室池塘中观察水葫芦面积与时间的函数关系图象，假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，水葫芦的面积会超过30m2；③设水葫芦面积蔓延至2m2、3m2、6m2所需要的时间分别为t1、t2、t3，则有t1+t2=t3；其中正确的说法有（）A．①②B．②③C．①③D．①②③三、解答题17．（12分）设集合A={x||x﹣a|＜2}，，若A⊆B．求实数a 的取值范围．18．（12分）已知a是实数，函数f（x）=是奇函数，求f（x）在（0，+∞）上的最小值及取到最小值时x的值．19．（12分）某公司为生产某种产品添置了一套价值20000元的设备，而每生产一台这种产品所需要的原材料和劳动力等成本合计100元，已知该产品的年销售收入R（元）与年产量x（台）的关系是R（x）=，x∈N．（1）把该产品的年利润y（元）表示为年产量x（台）的函数；（2）当年产量为多少台时，该产品的年利润最大？最大年利润为多少元？（注：利润=销售收入﹣总成本）20．（12分）已知函数f（x）=|x|+﹣1，其中m∈R；（1）当m=2时，判断f（x）在区间（﹣∞，0）上的单调性，并用定义证明；（2）讨论函数f（x）零点的个数．21．（12分）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体，在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．（1）指出函数f（x）=（k≠0，k为常数）与集合M的关系？请说明理由；（2）证明：函数f（x）=（）x+x2∈M．2015-2016学年上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（5分）设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，|a﹣5|}，∁U M={5，7}，则a 的值为2或8．【解答】解：由U={1，3，5，7}，且C U M={5，7}，所以，M={1，3}，又集合M={1，|a﹣5|}，所以|a﹣5|=3．所以，实数a的值为2或8．故答案为：2或82．（5分）函数f（x）=lg（2x﹣4）的定义域为{x|x＞2} ．【解答】解：要使函数有意义，则2x﹣4＞0，解得x＞2，∴函数的定义域为{x|x＞2}，故答案为：{x|x＞2}3．（5分）方程lg（2x+1）+lgx=1的解集为{2} ．【解答】解：∵lg（2x+1）+lgx=1，∴lg（x（2x+1））=lg10，∴，解得：x=2．故答案为：{2}．4．（5分）函数f（x）=x2（x≥1）的反函数f﹣1（x）=（x≥1）．【解答】解：由y=x2（x≥1），解得x=（y≥1），把x与y互换可得：y=，∴f（x）=x2（x≥1）的反函数f﹣1（x）=（x≥1）．故答案为：（x≥1）．5．（5分）已知幂函数f（x）的图象过，则f（4）=．【解答】解：设幂函数f（x）=x a，∵幂函数f（x）的图象过，∴，解得a=﹣，∴，故f（4）==．故答案为：．6．（5分）已知log163=m，则用m表示log916=．【解答】解：∵log163=m，∴log 916===．故答案为：．7．（5分）已知函数f（x）=a x﹣4a+3的反函数的图象经过点（﹣1，2），那么a 的值等于2．【解答】解：依题意，点（﹣1，2）在函数f（x）=a x﹣4a+3的反函数的图象上，则点（2，﹣1）在函数f（x）=a x﹣4a+3的图象上将x=2，y=﹣1，代入y=a x﹣4a+3中，解得a=2故答案为：28．（5分）函数y=的值域是（﹣1，1）．【解答】解：y==1﹣，∵x∈R，∴2x＞0，∴0＜＜2，∴﹣1＜1﹣＜1，∴函数的值域为（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1）．9．（5分）一片人工林地，目前可采伐的木材有10万立方米，如果封山育林，该森林可采伐木材的年平均增长率为8%，则经过21年，该片森林可采伐的木材将增加到50万立方米．（结果保留整数）【解答】解：设经过n年该片森林可采伐的木材将增加到50万立方米，由题意得：100（1+8%）n=50，解得：n≈21，故答案为：21．10．（5分）已知函数f（x）=x2+2x+3在[m，0]上的最大值为3，最小值为2，则实数m的取值范围是[﹣2，﹣1] ．【解答】解：函数f（x）=x2+2x+3的图象是开口朝上，且以直线x=﹣1为对称的抛物线，当x=﹣1时，函数取最小值2，令f（x）=x2+2x+3=3，则x=0，或x=﹣2，若函数f（x）=x2+2x+3在[m，0]上的最大值为3，最小值为2，则m∈[﹣2，﹣1]，故答案为：[﹣2，﹣1]11．（5分）若关于x的不等式﹣x2+2x＜lgt恒成立，则实数t的取值范围是（10，+∞）．【解答】解：函数y=﹣x2+2x的图象是开口朝下，且以直线x=1为对称轴的抛物线，故当x=1时，取最大值1，若关于x的不等式﹣x2+2x＜lgt恒成立，则1＜lgt，解得：t∈（10，+∞），故答案为：（10，+∞）12．（5分）已知函数f（x）=，若f（0）是该函数的最小值，则实数a的取值范围是[﹣2，0] ．【解答】解：∵f（0）是该函数的最小值，∴当x≤0时，|x+a|≥|a|，∴a≤0；又∵x++a≥2+a=4+a，（当且仅当x=2时，等号成立）；∴|a|≤4+a，即﹣a≤4+a，故a≥﹣2；故实数a的取值范围是[﹣2，0]；故答案为：[﹣2，0]．二、选择题13．（5分）下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）单调递增的是（）A．y=x2 B．y=x﹣1C．D．【解答】解：A．函数y=x2为偶函数，在（0，+∞）单调递增，不满足条件．B．y=x﹣1是奇函数，在（0，+∞）单调递减，不满足条件．C．函数y=为非奇非偶函数，在（0，+∞）单调递增，不满足条件．D..函数y=为奇函数，在（0，+∞）单调递增，满足条件．故选：D．14．（5分）命题“若x＞1，则x＞a”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a≥1 D．a≤1【解答】解：“若x＞1，则x＞a”是真命题，则（1，+∞）⊆（a，+∞），即a≤1，即实数a的取值范围是a≤1，故选：D．15．（5分）设a，b为负实数，则“a＜b”是a＜b﹣”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵a，b为正实数，a＜b∴∴∴反之亦成立∴前者是后者的充要条件，故选：C．16．（5分）最近几年，每年11月初，黄浦江上漂浮着的水葫芦便会迅速增长，严重影响了市容景观，为了解决这个环境问题，科研人员进行科研攻关，如图是科研人员在实验室池塘中观察水葫芦面积与时间的函数关系图象，假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，水葫芦的面积会超过30m2；③设水葫芦面积蔓延至2m2、3m2、6m2所需要的时间分别为t1、t2、t3，则有t1+t2=t3；其中正确的说法有（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【解答】解：由图得其关系为指数函数，①、因图象过（4，16）点，所以指数函数的底数为2，故①正确；②、当t=5时，s=32＞30，故②正确；③、由图得t1=log22=1，t2=log23，t3=log26，则t1+t2=t3，故③正确，综上可知①②③正确．故选：D．三、解答题17．（12分）设集合A={x||x﹣a|＜2}，，若A⊆B．求实数a 的取值范围．【解答】解：解|x﹣a|＜2得：a﹣2＜x＜a+2．∴集合A=（a﹣2，a+2）解得：﹣2＜x＜3∵A⊆B，∴．18．（12分）已知a是实数，函数f（x）=是奇函数，求f（x）在（0，+∞）上的最小值及取到最小值时x的值．【解答】解：∵函数f（x）=是奇函数，∴=﹣，∴a=0，∴f（x）=x+，∵x＞0，∴f（x）=x+≥2=4，当且仅当x=2时，f（x）在（0，+∞）上的最小值为4．19．（12分）某公司为生产某种产品添置了一套价值20000元的设备，而每生产一台这种产品所需要的原材料和劳动力等成本合计100元，已知该产品的年销售收入R（元）与年产量x（台）的关系是R（x）=，x∈N．（1）把该产品的年利润y（元）表示为年产量x（台）的函数；（2）当年产量为多少台时，该产品的年利润最大？最大年利润为多少元？（注：利润=销售收入﹣总成本）【解答】解：（1）由题意y=R（x）﹣100x﹣20000元，当0≤x≤500时，y=500x﹣x2﹣100x﹣20000=﹣（x﹣400）2+60000，当x＞500时，y=125000﹣100x﹣20000=105000﹣100x，∴y=；（2）当0≤x≤500时，y=﹣（x﹣400）2+60000显然当x=400时，y取最大值60000元；当x＞500时，y=105000﹣100x，显然y随着x的增大而减小，y＜105000﹣100•500=55000∴每年生产400台时，该产品的年利润最大，最大利润为60000元．20．（12分）已知函数f（x）=|x|+﹣1，其中m∈R；（1）当m=2时，判断f（x）在区间（﹣∞，0）上的单调性，并用定义证明；（2）讨论函数f（x）零点的个数．【解答】解：（1）当m=2时，f（x）=|x|+﹣1，当x＜0时，f（x）=﹣x+﹣1，设x1＜x2＜0，则f（x1）﹣f（x2）=﹣x1+﹣1﹣（﹣x2+﹣1）=x2﹣x1+﹣=（x2﹣x1），∵x1＜x2＜0，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，则f（x1）＞f（x2），即f（x）在区间（﹣∞，0）上的单调递减；（2）由f（x）=|x|+﹣1=0，则=1﹣|x|，即m=x（1﹣|x|），（x≠0），设h（x）=x（1﹣|x|）=，作出函数h（x）的图象如图：由图象得到当m＞或m＜﹣时，m=h（x）有1个零点，当m=﹣或或0时，m=h（x）有2个零点，当﹣＜m＜0或0＜m＜时，m=h（x）有3个零点．21．（12分）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体，在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．（1）指出函数f（x）=（k≠0，k为常数）与集合M的关系？请说明理由；（2）证明：函数f（x）=（）x+x2∈M．【解答】解：（1）f（x0+1）=，f（x0）+f（1）=+k，∵=+k，∴解得无解，故f（x）∉M；（2）f（1）=，f（2）==+，故令x0=1时，满足题意，∴函数f（x）=（）x+x2∈M．。