第3章离散时间序列和Z变换1

x(n) x(m) (n m) m
x(n), m=n x(m) (n-m) =
0 , 其它m
[例]： 用单位采样序列(n)表示x(n)。
x(n) a
b
c
-3
0
35
解：x(n)=a(n+3)+b(n-3)+c (n-5)
n
作业
第3章 Z变换
引言 Z变换的定义及收敛域 Z反变换 Z变换的基本性质和定理 Z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系 离散系统的系统函数及频率响应
n
n2
|x(n) zn|
收敛域 0|z|< RX+
n=
收敛区是以RX+为收敛半径的圆内
jIm[z]
Re[z] RX+
例 已知x(n) =bnu (n1) ，求X(z) 。
解
1
X(z)= bnzn =
bnzn =1
bnzn
n=
n=1
n=0
1(b1z)n =1lim
n 1b1z
=
1 1bz1
=
z zb
3. 序列的表示
--完全地表示序列x(n)要用x和n两个向量，x表示序列的值，n 表示它的位置或时间次序。
例如x(n)={2,1.2,-1.4,3,1,4,3.1,7}(下划线表示n=0处的采样点) --用MATLAB表示时用两个向量：
n = [-3,-2,-1,0,1,2,3,4];
x = [2,1.2,-1.4,3,1,4,3.1,7]; 可见n是顺序增加的整数序列，可写成n=ns:nf，序列的长度为 lx=nf-ns+1。 本例n= -3:4;lx=8。
n
①
②
①的收敛域 0|z|<
*第一项为有限长序列，第
二项为z的负幂级数,
②的收敛域 RX <|z|
①、 ②的公共收敛域 RX <|z|<
特别的n1 0
x(n)
n 0 n1
X(z) = x(n) zn n=n1
|x(n) zn| n=n1
收敛域 RX <|z|
收敛区是以RX为收敛半径的圆外。
正、余弦序列的一般表示为
x(n) =Acos(n0 +n)
序列的运算
序列的基本运算：序列移位(左,右)、加法、乘 法、翻转、尺度变换及卷积等。
1.乘法和加法
序列之间的乘法和加法， 是指它的同序号的序列值 逐项对应相乘和相加，如 图所示。
2. 移位、翻转及尺度变换
• x(n+n0) 表 示 x(n) 左 移 n0
任意序列z变换存在的充分条件是级数满足绝对可和，即
|x(n) zn|< n= 一般双边变换的收敛区为一环状区域RX< |z|<RX+
RX 、 RX+的具
jIm[z]
体取值与序列
x(n)有关。
Re[z] RX RX+
X(z) 的表示式往往是一个有理函数，即是 z 的两个多 项式之比。分子多项式中使X(z)=0 的 z 值为零点； 分母多项式中使 X(z) = ∞的z 值为极点。 X(z)的收敛区与极点关系密切，因为X(z)在极点上不 收敛，所以收敛区内无极点。收敛区的边界一般是以 极点为半径的圆。 下面具体讨论收敛区与序列的关系。
z=e(+j)T = re j
j
-1
1
-j
Z平面
单位圆
二、 Z变换的收敛区
定义：对于任意给定序列，使
X(z)
=
x(n) zn
n=
收敛的z值集合。
an n0 例2.2-1已知序列 x1(n)=
0 n<0
0 n0 x2(n)= an n<0 分别求它们的z变换及收敛区。
解
X1 (z) = an zn = (az1)n
第3章 离散时间序列及Z变换
3.1 离散时间信号--序列 序列 典型序列 序列的运算 序列的周期性
一、序列
1. 离散时间信号与数字信号
时间为离散变量的信号称作离散时间信号； 而时间和幅值都离散化的信号称作为数字信号。
x(n)
x(0)
x(-1) x(1)
x(-2)
x(2)
n -2 -1 0 1 2
2. 序列
离散时间信号又称作序列。
x(nT)：称为序列的一个样本，即为第n个离散 时间点的值，T称为抽样间隔；
x(n)：考虑到等间隔，即n为整数，用x(n)表示 x(nT)；(由于抽掉了时间，可按序号进行存储 与运算)
{x(n)}：一组样本，或称为一个序列，为了方便， 通常n) =anu (n1) X2(z)
=
1 1az1
=
z za
|z|< |a|
必须标明收敛区，否则有二义性，这是与单边z变换不 同的。
4、双边序列（无始无终） n1
n2
1
X(z) = x(n) zn = x(n)zn + x(n)zn
n=
n=
n=0
① ①的收敛域 0|z|< RX+
②
x(n)
1 (ej0n ej0n) u(n) j2
1z j2 z ej0
z z ej0
=
z z22z
sin0 cos0
+1
|z| >1
6、双边指数序列
x(n) =a|n|， az z
X(z) = 1az + za z(1 a2)
= (1 az) (z a)
|a|<1 |a|< |z| <1/|a|
n=0
n=0
=
lim
n
1(az1)n 1az1
|az1| <1
=
1 1az1
=
z za
|a| < |z|
1
X2 (z) = an zn = (a1z)n =1 (a1z)n
n=
n=1
n=0
=1
lim
n
1(a1z)n 1a1z
|a1z| <1
=1
1 1a1z
=
z za
|a| > |z|
X1(z)与X2(z)相同，但X1(z)的收敛区是以|a|为半径 的圆外， X2(z)的收敛区是以|a|为半径的圆内。 此例说明，收敛区与x(n)有关，并且对于双边z变换， 不同序列的表示式有可能相同，但各自的收敛区一 定不同。所以为了唯一确定z变换所对应的序列，双 边z变换除了要给出X(z)的表示式外，还必须标明X(z) 的收敛区。
X(z) = x(n) zn n=
很多离散时间信号不存在 傳里叶变换，而存在Z变换，Z 变换是离散傳里叶变换的推广 形式，是关于复变量z的函数。
=+x(2)z2+ x(1)z+ x(0)+ x(1) z1 + x(2) z2 +
*实际上，Z变换就是将x(n)展为z-1的幂级数。
一、Z变换定义
z是一个连续的复变量，可以表示为：
二、典型序列
1. 单位抽样序列(单位冲激) (n) n
1
n -2 -1 0 1 2
n m
1
n -2 -1 0 1 2 m
2. 单位阶跃序列u(n)
u(n)
1
...
n -1 0 1 2 3
3. 矩形序列
RN (n)
1
-1 0 1 2 3 n
4. 实指数序列 a为实数，当
5. 复指数序列
如果|b1z|<1
|z|< |b| 或0|z| <|b|
左边序列的一般情况 0<|z|< RX+ 左边序列X(z)的封闭表示式中，若有多个极点，则收敛 区是以绝对值最小的极点为收敛半径的圆内。
jIm[z]
Re[z] RX+
x1(n)
=anu
(n)
X1(z)
=
1 1az1
=
z za
|z|> |a|
6、斜变序列 x(n) =n u(n)
x(n)
2 1
n 01 2 3 4 5
7、余弦序列（包络为正、余弦）
例： sin(n0)
0 =/5
则每10点重复一次正、余弦变化 。
sin(n0)
6 7 8 9 10 11 n
012 3 4 5
x(n) =cos(n0) 0 =/5
cos(n0)
34 5 6 7
(1) 有限长序列
x (n)
n
n1 0
n2
x (n)
n
n1 0
n2
j Im[ z]
Re[ z]
例已知x(n) =RN(n) ，求X(z)。
N1
解 X(z) = zn
n=0
=1+ z1 + z2 + + z(N1)
=
1zN 1z1
收敛域为0<|z|
(2) 右边序列(有始无终)
x(n)
...
n1 0 1
jIm[z]
Re[z] RX
(3) 左边序列(无始有终)
x(n)
n2
1
|x(n) zn| =
n2
|x(n) zn| +
|x(n) zn|
n=
n=
n=0
①
②
①的收敛域 0|z|< RX+
②的收敛域 0<|z|
①、 ②的公共收敛域 0<|z|< RX+
0 nn 2
特别的n2 0
x(n)
n2 0
单位,x(n)的超前序列；