天津市南开区2016届高三第二学期总复习质量检测(二)数学理试题

南开区2015～2016学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）数 学 试 卷（理工类） 2016.05本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．祝各位考生考试顺利！第 Ⅰ 卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上； 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．本卷共8小题，每小题5分，共40分． 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么 ·如果事件A ，B 相互独立，那么P (A ∪B )=P (A )+P (B )． P (AB )=P (A )•P (B )．·球的表面积公式S 球=4πR 2，其中R 表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设全集为R ，集合A={x ∈Z |–1＜x ≤3}，集合B={1，2}，则集合A ∩∁R B=（ ）．（A ）{0，3} （B ）(–1，1)∪(2，3] （C ）(0，1)∪(1，2)∪(2，3] （D ）{–1，0}（2）设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≤，，，02021y y x x 则z=x –2y –3的最小值为（ ）．（A ）–6 （B ）–3（C ）–1 （D ）1（3）下列结论错误的是（ ）．（A ）命题“若p ，则¬q ”与命题“若q ，则¬p ”互为逆否命题 （B ）命题p ：∀x ∈[0，1]，e x ≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2+x +1＜0，则p ∧q 为真（C ）“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”为真命题（D ）“a ＞0，b ＞0”是“2ba +≥ab ”的充分不必要条件 （4）如图所示的程序框图的运行结果为（ ）．（A ）–1 （B ）21（C ）1 （D ）2（5）17cos 17sin 347sin 2-=（ ）． （A ）–3 （B ）–1 （C ）3 （D ）1（6）已知l 1，l 2分别为双曲线22x a –22y b=1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线，且右焦点关于l 1的对称点在l 2上，则双曲线的离心率为（ ）．（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）5（7）若函数f (x )=|x |+2x a -–2（a ＞0）没有零点，则a 的取值范围是（ ）．（A ）(2，+∞) （B ）(2，+∞) （C ）(0，1)∪(2，+∞) （D ）(0，1)∪(2，+∞) （8）已知函数f (x )=x sin x+cos x+x 2，则不等式f (ln x )+f (lnx1)＜2f (1)的解集为（ ）． （A ）(e ，+∞) （B ）(0，e ) （C ）(0，e 1)∪(1，e ) （D ）(e1，e )南开区2015～2016学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）答 题 纸（理工类）第 Ⅱ 卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2．本卷共12小题，共110分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。

（9）若复数i-3（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ．（10）2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则它的展开式中常数项是______．（11）一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是球体的一部分，则这个几何体的表面积为 ．（12）已知在平面直角坐标系xOy 中，过定点P 倾斜角为α的直线l 的参数方程为：⎩⎨⎧+-==，，ααsin 2cos t y t x （t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆心的极坐标为(3，2π)，半径为3的圆C 与直线l 交于A ，B 两点，则|P A |·|PB |= ．（13）如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的圆O 与边BC ，AC 分别交于点D ，E ，且DF ⊥AC 于F ．若CD=3，EA=57，则EF 的长为 ．（14）已知△ABC 内一点P 满足=21AB +81AC ，过点P 的直线分别交边AB 、AC于M 、N 两点．若=λ，AN =μ，则λ+μ的最小值为 ．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（15）（本小题满分13分）已知函数f (x )=2sin2x ω(3cos 2x ω–sin 2xω)（ω＞0）的最小正周期为3π． （Ⅰ）求ω的值和函数f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-43ππ，上的最大值和最小值； （Ⅱ）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边， a=23，c=4，且f (23A )=1，求b 和△ABC 的面积．（16）（本小题满分13分）如图所示的三个游戏盘中（图（1）是正方形，图（2）是半径之比为1:2的两个同心圆，图（3）是正六边形）各有一个玻璃小球，依次摇动三个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏．（Ⅰ）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？（Ⅱ）用随机变量ξ表示一局游戏后小球停在阴影部分的个数与小球没有停在阴影部分的个数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望．（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面P AB⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，P A=PB，E为PC上的点，且BE⊥平面P AC．（Ⅰ）求证：P A⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角P-AC-B的正弦值；（Ⅲ）求点D到平面P AC的距离．（18）（本小题满分13分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足21 n a=2S n+n+4，a2–1，a3，a7恰为等比数列{b n}的前3项．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=(–1)n a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．（19）（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为21，过椭圆的左焦点F 且倾斜角为60 的直线与圆x 2+y 2=22ab （其中a ，b 分别为椭圆C 的长半轴、短半轴长）相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l ：y=kx+m 与椭圆C 相交于M ，N 两点（M ，N 不是左、右顶点），若以MN 为直径的圆恰好过椭圆C 的右顶点A ．判断直线l 是否过定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．（20）（本小题满分14分）设函数f(x)=(x–k)e x（k∈R）．（Ⅰ）若f(x)在区间(–1，1)上是增函数，求k的取值范围；（Ⅱ）求f(x)在区间[0，1]上的最小值；（Ⅲ）若k=0，是否存在实数a，使得对任意的x1，x2∈(a，+∞)，当x1＜x2时，恒有x1(f(x2)–f(a))–x2(f(x1)–f(a))＞a(f(x2)–f(x1))成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．南开区2015～2016学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）数学试卷（理工类）参考答案 2016.05一、选择题：二、填空题：（9）2； （10）1120； （11）4π； （12）16； （13）59； （14）89三、解答题：（其他正确解法请比照给分） （15）解：（Ⅰ）∵f (x )=23sin2x ωcos 2x ω–2sin 22x ω =3sin ωx +cos ωx –1 =2sin (ωx +6π)–1， …………3分 ∴ωπ2=3π，∴ω=32． ∴f (x )=2sin (32x +6π)–1， …………5分∵x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-43ππ，， ∴f (x )在区间[–π，2π]单调递增，在区间[2π，43π]单调递减，f (–π)=2sin (–2π)–1=–3，f (2π)=2sin 2π–1=1，f (43π)=2sin 32π–1=3–1，因此f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-43ππ，上的最大值为1，最小值为–3． …………8分 （Ⅱ）∵f (23A )=2sin (A +6π)–1=1， ∴sin (A +6π)=1，又∵0≤A ≤π，∴A =3π， …………10分 ∵a=23，c=4，∴由余弦定理：a 2=b 2+c 2–2bc cos A 得12=b 2+16–4b ，即b 2–4b+4=0，∴b=2， …………12分从而△ABC 的面积S=21bc sin A=23． …………13分 （16）解：（Ⅰ）一局游戏后，三个盘中小球停在阴影部分分别记为事件A 1，A 2，A 3，由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，且P (A 1)=21，P (A 2)=41，P (A 3)=31， 则P (A 1A 2A 3)=P (A 1)P (A 2)P (A 3)=21×41×31=241． …………5分 （Ⅱ）一局游戏后，小球停在阴影部分的个数可能取值为0，1，2，3，相应的小球没有停 在阴影部分的个数可能取值为3，2，1，0，所以ξ可能的取值为1，3，则P (ξ=3)=P (A 1A 2A 3)+P (321A A A )=P (A 1)P (A 2)P (A 3)+P (1)P (2)P (3)=21×41×31+21×43×32=247， P (ξ=1)=1–247=2417， 所以分布列为：…………11分则 ⋅=⨯+⨯=1219247324171ξE …………13分 （17）解：（Ⅰ）∵BE ⊥平面P AC ，∴BE ⊥P A ．∵侧面P AB ⊥底面ABCD ，且CB ⊥AB ，∴CB ⊥平面P AB ，∴CB ⊥P A ，∴P A ⊥平面PBC ． …………4分（Ⅱ）以线段AB 的中点为原点O ，OP 所在直线为z 轴，AB 所在直线为x 轴，过O 点平行于AD 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ．∵P A ⊥平面PBC ，PB ⊂面PBC ，∴P A ⊥PB ，在Rt △APB 中，AB=2，O 为AB 的中点，∴OP=1．∴A (–1，0，0)，B (1，0，0)，P (0，0，1)，C (1，2，0)，D (–1，2，0)， ∴AP =(1，0，1)，AC =(2，2，0)，显然，平面BAC 的一个法向量为m =(0，0，1)，设平面APC 的一个法向量为n =(x ，y ，z )，则n ·AP =n ·AC =0，即⎩⎨⎧=+=+，，0220y x z x 取x=1，则y=–1，z=–1，从而n =(1，–1，–1)， 设二面角P -AC -B 的平面角为θ，则|cos θ|=|cos <m ，n >|=311⋅=33，∴sin θ=36， 即二面角P -AC -B 的正弦值为36． …………10分 （Ⅲ）∵AD =(0，2，0)，∴点D 到平面P AC 的距离33232||==n n AD ． …………13分（18）解：（Ⅰ）∵21+n a =2S n +n+4，∴2n a =2S n –1+n –1+4（n ≥2），两式相减得21+n a –2n a =2a n +1， ………… 2分∴21+n a =2n a +2a n +1=(a n +1)2，又a n ＞0， ∴a n+1=a n +1（n ≥2）， …………3分 ∵a 32=(a 2–1)a 7，∴(a 2+1)2=(a 2–1)(a 2+5)，解得a 2=3， ………… 5分 又22a =2a 1+1+4，得a 1=2． ………… 6分 ∴{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，所以a n =n+1． …………7分 由题意知b 1=2，b 2=4，∴b n =2n ． ………… 8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得c n =(n+1)•(–2)n ， …………9分 T n =2•(–2)1+3•(–2)2+4•(–2)3+…+n •(–2)n –1+(n +1)•(–2)n ……①–2T n = 2•(–2)2+3•(–2)3+4•(–2)4+……+n •(–2)n +(n +1)•(–2)n+1 ……② ①–②得：3T n =2•(–2)1+(–2)2+(–2)3+(–2)4+……+(–2)n –(n +1)•(–2)n+1 =–38–(n +34)•(–2)n+1 ∴T n =–98–943+n •(–2)n+1． ………… 13分（19）解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>> 则22212c e a b aa b c ⎧==⎪=⎪=+⎪⎩得2,a b == 221.43x y ∴+= …………4分 （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ， 由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->.212122284(3),.3434mk m x x x x k k -+=-⋅=++ ………………7分 22221212121223(4)()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+ ∵以MN 为直径的圆恰好过椭圆C 的右顶点A ，所以090MAN ∠=，故1AM AN k k ⋅=-， ………………9分 1212122y y x x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=，2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++， ………………11分 2271640m mk k ++=，解得1222,7k m k m =-=-，且满足22340k m +->. 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；………………13分 当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0).7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7 ………………14分（20）解：（Ⅰ）令f '(x )=(x –k+1)e x ＞0，得x ＞k –1，∴f (x )在区间(k –1，+∞)单调递增．若f (x )在区间(–1，1)上是增函数，则有k –1≤–1，解得k ≤0． …………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知f (x )在区间(–∞，k –1)单调递减，在区间(k –1，+∞)单调递增． ①若k –1≤0，即k ≤1，f (x )在区间[0，1]上单调递增，∴f (x )min =f (0)=–k ．②若0＜k –1＜1，即1＜k ＜2，f (x )在区间[0，k –1)单调递减，在区间(k –1，1]单调递增，∴f (x )min =f (k –1)=–e k –1．③若k –1≥1，即k ≥2，f (x )在区间[0，1]上单调递减，∴f (x )min =f (1)=(1–k )e ． …………………8分 （Ⅲ）若k=0，则f (x )=xe x ，∵x 1(f (x 2)–f (a ))–x 2(f (x 1)–f (a ))＞a (f (x 2)–f (x 1)) ⇔a x a f x f --11)()(＜ax a f x f --22)()(． …………………10分 ∴设g (x )=a x a f x f --)()(=ax ae xe ax --， 由题意，对任意的x 1，x 2∈(a ，+∞)，当x 1＜x 2时，恒有g (x 1)＜g (x 2)， 即y=g (x )在(a ，+∞)上是单调递增函数．∴g '(x )=2)())(1(a x ae xe e a x x ax x -+--+ =22)(a x ae ae axe e x ax x x -+--≥0（x ∈(a ，+∞)）恒成立．…………11分 令h (x )=x 2e x –axe x –ae x +ae a ，h '(x )=2xe x +x 2e x –a (x+1)e x –ae x =(x+2)(x –a )e x ，若a ≥–2，当x ＞a 时，h '(x )＞0，h (x )为(a ，+∞)上的单调递增函数， ∴h (x )＞h (a )=0，不等式成立．若a ＜–2，当x ∈(a ，–2)时，h '(x )＜0，h (x )为(a ，–2)上的单调递减函数， ∴∃x 0∈(a ，–2)，h (x 0)＞h (a )=0，与∀x ∈(a ，+∞)，h (x )＞0矛盾．综上，a 的取值范围为[–2，+∞)． …………14分。