最新人教版九年级上册数学《实际问题与二次函数》精品课件
孔子曰，三人行必有我师焉，术业有专攻，尺有所长，寸有所短，希望你能 提出你的宝贵意见，促进我们共同成长，共同进步。每一个文档都花费了我大量 心血，其目的是在于给您提供一份参考，哪怕只对您有一点点的帮助，也是我最 大的欣慰。如果您觉得有改进之处，请您留言，后期一定会优化。
常言道：人生就是一场修行，生活只是一个状态，学习也只是一个习惯，只 要你我保持积极向上、乐观好学、求实奋进的状态，相信不久的将来我们一定会 取得更大的进步。
22.3 实际问题与二次函数 第2课时 实际问题与二次函数(2)
R·九年级上册
新课导入
问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300 件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少 卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品 的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
(1)能用二次函数表示实际问题中的数量关系(包括写出解 析式、自变量的取值范围、画图象草图). (2)会用二次函数求销售问题中的最大利润.
点的坐标(用公式)：
(1)y=-4x2+3x;
(2)y=3x2+x+6.
解：b 2a
3
2 4
3 8
,
4ac b2 4a
32
4 4
9, 16
最高点为
3 8
,
9 16
.
解：b 1 1 , 2a 2 3 6
4ac b2 4 3 6 12 71
,4a43源自12最低点为1 6
,
71 12
即降价情况下，定价57.5元时，有最大利润6125元.
（1）涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元. （2）降价情况下，定价57.5元时，有最大利润6125元.
综上可知： 该商品的价格定价为65元时，可获得最大利润6250元.
基础巩固
随堂演练
1.下列抛物线有最高点或最低点吗？如果有,写出这些
课堂小结
利用二次函数解决利润问题的一般步骤： (1)审清题意，理解问题； (2)分析问题中的变量和常量以及数量之间的关系； (3)列出函数关系式； (4)求解数学问题； (5)求解实际问题.
课后小知识
学习方法指导
同学们，天道酬勤，一个人学习成绩的优劣取决于他的学习 能力，学习能力包括三个要素：
规范的学习行为； 良好的学习习惯； 有效的学习方法。 只要做好以上三点，相信你一定会成为学习的强者。 加油！加油！加油！
利润 = 售价×销量-进价×销量 = (售价-进价)×销量
由3n000，10n 0.
可得：0≤n≤30.
涨价：
n取何值时，y有最大 值？最大值是多少？
y1=-10n2+100n+6000 （0≤n≤30）
=-10(n2-10n)+6000
=-10(n-5)2+6250
抛物线y1 =-10n2+100n+6000顶点坐标为(5,6250) ， 所以商品的单价上涨 5 元时，利润最大，为 6250 元.
课后反思
1、今天的学习结束，你收获了什么？ 2、引导学生归纳本课知识重点。 3、同桌之间交流一下学习心得与学习方法。
课后作业
1.完成教科书课后练习中的1、2题。 2.完成练习册本课时的习题作业。
后序
亲爱的朋友，你好！非常荣幸和你相遇，很乐意为您服务。希望我的文档能 够帮助到你，促进我们共同进步。
.
2.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出(200-x)件，应如何定价才能使利润最大？
解：设所得利润为y元, 由题意得y=x(200-x)-30(200-x)
=-x2+230x-6000 =-(x-115)2+7225 (0<x<200) 当x=115时，y有最大值. 即当这件商品定价为115元时，利润最大.
300-10n 300+20m
利润
进价/元 售价/元 销量/件
利润
怎样确现定价n的取40
60
300
值范涨围价？ 40
60+n 300-10n
降价
40
60-m 300+20m
解:(1)设每件涨价n元，利润为y1. 则y1=(60+n – 40 )(300 – 10n) 即y1=-10n2+100n+6000 其中，0≤n≤30.
拓展延伸
4.求函数y=-x2+6x+5的最大值和最小值.
(1)0≤x≤6；
(2) -2≤x≤2.
解：y=-x2+6x+5=-(x-3)2+14 (1)当0≤x≤6时， 当x=3时， y有最大值14, 当x=0或6时，y有最小值5.
(2)当-2≤x≤2时， 当x=2时，y有最大值13, 当x=-2时，y有最小值-11.
即涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元.
降价
进价/元 售价/元 销量/件
40
60-m 300+20m
利润
降价情况下的最大利润又是多少呢?
解: (2)设每件降价m元，利润为y2. 则y2=(60-m – 40 )(300 +20m) 即y2=-20m2+100m+6000 其中，0≤m≤20.
由6m00m， 40 0.
可得：0≤m≤20.
怎样确定m的取 值范围？
降价：
m取何值时，y有最大 值？最大值是多少？
y2=-20m2+100m+6000 (0=≤-m20≤(2m0)2-5m)+6000
=-20(m-2.5)2+6125
抛物线y2=-20m2+100m+6000顶点坐标为(2.5,6125) ， 所以商品的单价下降 2.5 元时，利润最大，为 6125 元.
最后祝：您生活愉快，事业节节高。
推进新课
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件. 市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少 卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商 品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
分析：
现价 涨价 降价
进价/元 40 40 40
售价/元 60
60+n 60-m
数量/件 300
综合应用 3.某种文化衫以每件盈利20元的价格出售，每天可售出40 件. 若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈利 最多，每件应降价多少元？
解：设每件应降价x元，每天的利润为y元， 由题意得：y=(20-x)(40+10x)
=-10x2+160x+800 =-10(x-8)2+1440 (0＜x＜20). 当x=8时，y取最大值1440. 即当每件降价8元时，每天的盈利最多。
常言道：人生就是一场修行，生活只是一个状态，学习也只是一个习惯，只 要你我保持积极向上、乐观好学、求实奋进的状态，相信不久的将来我们一定会 取得更大的进步。
22.3 实际问题与二次函数 第2课时 实际问题与二次函数(2)
R·九年级上册
新课导入
问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300 件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少 卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品 的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
(1)能用二次函数表示实际问题中的数量关系(包括写出解 析式、自变量的取值范围、画图象草图). (2)会用二次函数求销售问题中的最大利润.
点的坐标(用公式)：
(1)y=-4x2+3x;
(2)y=3x2+x+6.
解：b 2a
3
2 4
3 8
,
4ac b2 4a
32
4 4
9, 16
最高点为
3 8
,
9 16
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解：b 1 1 , 2a 2 3 6
4ac b2 4 3 6 12 71
,4a43源自12最低点为1 6
,
71 12
即降价情况下，定价57.5元时，有最大利润6125元.
（1）涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元. （2）降价情况下，定价57.5元时，有最大利润6125元.
综上可知： 该商品的价格定价为65元时，可获得最大利润6250元.
基础巩固
随堂演练
1.下列抛物线有最高点或最低点吗？如果有,写出这些
课堂小结
利用二次函数解决利润问题的一般步骤： (1)审清题意，理解问题； (2)分析问题中的变量和常量以及数量之间的关系； (3)列出函数关系式； (4)求解数学问题； (5)求解实际问题.
课后小知识
学习方法指导
同学们，天道酬勤，一个人学习成绩的优劣取决于他的学习 能力，学习能力包括三个要素：
规范的学习行为； 良好的学习习惯； 有效的学习方法。 只要做好以上三点，相信你一定会成为学习的强者。 加油！加油！加油！
利润 = 售价×销量-进价×销量 = (售价-进价)×销量
由3n000，10n 0.
可得：0≤n≤30.
涨价：
n取何值时，y有最大 值？最大值是多少？
y1=-10n2+100n+6000 （0≤n≤30）
=-10(n2-10n)+6000
=-10(n-5)2+6250
抛物线y1 =-10n2+100n+6000顶点坐标为(5,6250) ， 所以商品的单价上涨 5 元时，利润最大，为 6250 元.
课后反思
1、今天的学习结束，你收获了什么？ 2、引导学生归纳本课知识重点。 3、同桌之间交流一下学习心得与学习方法。
课后作业
1.完成教科书课后练习中的1、2题。 2.完成练习册本课时的习题作业。
后序
亲爱的朋友，你好！非常荣幸和你相遇，很乐意为您服务。希望我的文档能 够帮助到你，促进我们共同进步。
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2.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出(200-x)件，应如何定价才能使利润最大？
解：设所得利润为y元, 由题意得y=x(200-x)-30(200-x)
=-x2+230x-6000 =-(x-115)2+7225 (0<x<200) 当x=115时，y有最大值. 即当这件商品定价为115元时，利润最大.
300-10n 300+20m
利润
进价/元 售价/元 销量/件
利润
怎样确现定价n的取40
60
300
值范涨围价？ 40
60+n 300-10n
降价
40
60-m 300+20m
解:(1)设每件涨价n元，利润为y1. 则y1=(60+n – 40 )(300 – 10n) 即y1=-10n2+100n+6000 其中，0≤n≤30.
拓展延伸
4.求函数y=-x2+6x+5的最大值和最小值.
(1)0≤x≤6；
(2) -2≤x≤2.
解：y=-x2+6x+5=-(x-3)2+14 (1)当0≤x≤6时， 当x=3时， y有最大值14, 当x=0或6时，y有最小值5.
(2)当-2≤x≤2时， 当x=2时，y有最大值13, 当x=-2时，y有最小值-11.
即涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元.
降价
进价/元 售价/元 销量/件
40
60-m 300+20m
利润
降价情况下的最大利润又是多少呢?
解: (2)设每件降价m元，利润为y2. 则y2=(60-m – 40 )(300 +20m) 即y2=-20m2+100m+6000 其中，0≤m≤20.
由6m00m， 40 0.
可得：0≤m≤20.
怎样确定m的取 值范围？
降价：
m取何值时，y有最大 值？最大值是多少？
y2=-20m2+100m+6000 (0=≤-m20≤(2m0)2-5m)+6000
=-20(m-2.5)2+6125
抛物线y2=-20m2+100m+6000顶点坐标为(2.5,6125) ， 所以商品的单价下降 2.5 元时，利润最大，为 6125 元.
最后祝：您生活愉快，事业节节高。
推进新课
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件. 市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少 卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商 品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
分析：
现价 涨价 降价
进价/元 40 40 40
售价/元 60
60+n 60-m
数量/件 300
综合应用 3.某种文化衫以每件盈利20元的价格出售，每天可售出40 件. 若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈利 最多，每件应降价多少元？
解：设每件应降价x元，每天的利润为y元， 由题意得：y=(20-x)(40+10x)
=-10x2+160x+800 =-10(x-8)2+1440 (0＜x＜20). 当x=8时，y取最大值1440. 即当每件降价8元时，每天的盈利最多。
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人教版九年级数学上册22.3 实际问题与二次函数新课课件(共26张PPT)
（a≠0）
1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条 抛物线 ，它的对 称轴是 直线x=h ，顶点坐标是 (h，k) . 2 . 二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 抛物线 ，它的对称 轴是 ，顶点坐标是 . 当a>0时，抛 ；当
物线开口向 上 ，有最 低 点，函数有最 小 值，是
a<0时，抛物线开口向 下 ，有最 高 点，函数有最 大 值， 是 。
65 元时，利润最大，最大利润是 即定价_________ ___________. 6250
(2)在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的讨论自己得出答案． 分析：我们来看降价的情况． （2）设每件降价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化．我们先来确定y随x变化 的函数式．降价x元时，每星期多卖18x件，实际卖出（300+18x）件，销售额为( 60 －x )( 300+18x )，买进商品需付出40 ( 300+18x )，因此所得的利润 y = ( 60－x )( 300+18x ) － 40 ( 300+18x ) 即 当
y = －18x2+60x+6000
x
b 60 5 2a 2 (18) 3
由（1）（2）的讨论及现在的想做状况，你知道应 如何定价能使利润最大了吗？
运用函数来决策定价的问题:
构建二次函数模型:将问题转化为二次函数的一个具体的表达式.
求二次函数的最大(或最小值):求这个函数的最大(或最小值)
最值 当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
探究
构建二次函数模型解决 一些实际问题
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整 价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已 知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条 抛物线 ，它的对 称轴是 直线x=h ，顶点坐标是 (h，k) . 2 . 二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 抛物线 ，它的对称 轴是 ，顶点坐标是 . 当a>0时，抛 ；当
物线开口向 上 ，有最 低 点，函数有最 小 值，是
a<0时，抛物线开口向 下 ，有最 高 点，函数有最 大 值， 是 。
65 元时，利润最大，最大利润是 即定价_________ ___________. 6250
(2)在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的讨论自己得出答案． 分析：我们来看降价的情况． （2）设每件降价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化．我们先来确定y随x变化 的函数式．降价x元时，每星期多卖18x件，实际卖出（300+18x）件，销售额为( 60 －x )( 300+18x )，买进商品需付出40 ( 300+18x )，因此所得的利润 y = ( 60－x )( 300+18x ) － 40 ( 300+18x ) 即 当
y = －18x2+60x+6000
x
b 60 5 2a 2 (18) 3
由（1）（2）的讨论及现在的想做状况，你知道应 如何定价能使利润最大了吗？
运用函数来决策定价的问题:
构建二次函数模型:将问题转化为二次函数的一个具体的表达式.
求二次函数的最大(或最小值):求这个函数的最大(或最小值)
最值 当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
探究
构建二次函数模型解决 一些实际问题
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整 价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已 知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
新人教版九年级数学上册《实际问题与二次函数》优质课课件(共7张PPT)
2
������
4������������-������ 大值 4������ .
4������������-������ +bx+c 有最小值 4������ 2
;若 a<0,当 x=- 时,二次函数 y=ax2+bx+c 有最
������ 2������
2.求解最大(小)面积问题的一般步骤 求几何图形最大(小)面积的一般步骤如下: (1)利用问题中的已知条件和学过的有关数学公式列出关系式. (2)把关系式转化为二次函数解析式. (3)结合实际意义,确定自变量的取值范围. (4)画出函数的简图,利ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数的简图和性质求出几何图形的最大面积 或最小面积.
大
=
.
关闭
h 4 .9 m
4������������-������2 最大= 4������
=
-9.82 =4.9(m). 4× (-4.9)
关闭
解析
答案
1
2
3
3.如图,在△ABC 中,∠B=90° ,AB=12 mm,BC=24 mm,动点 P 从点 A 开始沿 边 AB 向 B 以 2 mm/s 的速度移动(不与点 B 重合),动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向 C 以 4 mm/s 的速度移动(不与点 C 重合).如果 P,Q 分别从 A,B 同时出 发,那么经过 s,四边形 APQC 的面积最小.
22.3 实际问题与二次函数
课标要求
知识梳理
1.能利用二次函数求出实际问题中的最大(小)值,发展解决问题的能 力. 2.经历探索商品销售中的最大利润问题的过程,增强数学应用意识.
课标要求
知识梳理
1.二次函数 y=ax2+bx+c 的最值的求法
������
4������������-������ 大值 4������ .
4������������-������ +bx+c 有最小值 4������ 2
;若 a<0,当 x=- 时,二次函数 y=ax2+bx+c 有最
������ 2������
2.求解最大(小)面积问题的一般步骤 求几何图形最大(小)面积的一般步骤如下: (1)利用问题中的已知条件和学过的有关数学公式列出关系式. (2)把关系式转化为二次函数解析式. (3)结合实际意义,确定自变量的取值范围. (4)画出函数的简图,利ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数的简图和性质求出几何图形的最大面积 或最小面积.
大
=
.
关闭
h 4 .9 m
4������������-������2 最大= 4������
=
-9.82 =4.9(m). 4× (-4.9)
关闭
解析
答案
1
2
3
3.如图,在△ABC 中,∠B=90° ,AB=12 mm,BC=24 mm,动点 P 从点 A 开始沿 边 AB 向 B 以 2 mm/s 的速度移动(不与点 B 重合),动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向 C 以 4 mm/s 的速度移动(不与点 C 重合).如果 P,Q 分别从 A,B 同时出 发,那么经过 s,四边形 APQC 的面积最小.
22.3 实际问题与二次函数
课标要求
知识梳理
1.能利用二次函数求出实际问题中的最大(小)值,发展解决问题的能 力. 2.经历探索商品销售中的最大利润问题的过程,增强数学应用意识.
课标要求
知识梳理
1.二次函数 y=ax2+bx+c 的最值的求法
22.3实际问题与二次函数 课件人教版数学九年级上册
【综合拓展类作业】
(2)设利润为w 当22≤x≤30 时 ，w=(x-20)(-x+70)=-x²+90x-1400=-(x45)²+625 ∵在22≤x≤30 范 围 内 ，w 随着x的增大而增大， ∴当x=30 时 ，w 取得最大值为400;
当30<x≤45 时 ，w=(x-20)(-2x+100)=-2x²+140x-2000=2(x-35)²+450 ∴当x=35 时 ，w 取得最大值为450 ∵450>400,
篱笆总长为900 m (篱笆的厚度忽略不计),当AB=_ 150 _m 时，矩形土
地ABCD 的面积最大.
B
F
C
【知识技能类作业】选做题：
3. 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同，跨径也不 同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近 似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A, B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为90米(即AB=90 米), 以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物 线钢拱的函数表达式为( B )
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少? (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
解：1)S=x(24 -4x)=-4x²+24x(0<x<6)
2)当
时，
3)∵墙的可用长度为8米 ∴0<24 -4x ≤8 ∴4≤x<6 ∴当x=4cm时，S最大值=32平方米
有关抛物线形的实际问题的一般解题思路。 (1)建立适当的平面直角坐标系。 (2)根据题意找出已知点的坐标。 (3)求出抛物线解析式。 (4)直接利用图象解决实际问题。
人教版数学九年级上册：22.3《实际问题与二次函数》 PPT课件(共32页)
例3.如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下 底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条 横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬 道的宽为x米。
（1）用含x的式子表示横向甬道的面积； （2）当三条甬道的总面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽； （3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，如果修建甬道的总费 用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余 部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时， 所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？
两腰与下底的和为4 m，当水渠深x为_______时，横断面面积最 大，最大面积是____________。
【思路点拨】根据题目中给定的角度，求出两腰和下底之间的 关系式，进而列式转化为二次函数求解。
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
练习：如图，某水渠的横断面是等腰梯形，底角为120°， 两腰与下底的和为4 m，当水渠深x为_______时，横断面面积最 大，最大面积是____________。
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
活动1 基础性例题
例1.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙 长 25m）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠 墙， 另三边用总长为 40 m 的栅栏围住 （如下图）。设绿化带 的BC 边长为 x m，绿化带的面积为y m²。 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围。 （2）当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
探究二：利用二次函数求几何最值的训练 练习：某窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形， 制造窗框的材料总长为15 m（图中所有线条长度之和），当x 等于多少时，窗户通过的光线最多？此时，窗户的面积是多少？ （结果精确到0.01 m）
（1）用含x的式子表示横向甬道的面积； （2）当三条甬道的总面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽； （3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，如果修建甬道的总费 用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余 部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时， 所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？
两腰与下底的和为4 m，当水渠深x为_______时，横断面面积最 大，最大面积是____________。
【思路点拨】根据题目中给定的角度，求出两腰和下底之间的 关系式，进而列式转化为二次函数求解。
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
练习：如图，某水渠的横断面是等腰梯形，底角为120°， 两腰与下底的和为4 m，当水渠深x为_______时，横断面面积最 大，最大面积是____________。
探究二：利用二次函数求几何最值的训练
活动1 基础性例题
例1.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙 长 25m）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠 墙， 另三边用总长为 40 m 的栅栏围住 （如下图）。设绿化带 的BC 边长为 x m，绿化带的面积为y m²。 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围。 （2）当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
探究二：利用二次函数求几何最值的训练 练习：某窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形， 制造窗框的材料总长为15 m（图中所有线条长度之和），当x 等于多少时，窗户通过的光线最多？此时，窗户的面积是多少？ （结果精确到0.01 m）
初中数学人教版九年级上册《2实际问题与二次函数》课件
(2) 设合作社每天获得的利润为w元，
则w=x(-0.5x+110)-20(-0.5x+ 110) =-0.5x2+120x-2 200=-0.5(x-120)2+5000，
因为60≤x≤150，
所以当x=120时，w取得最大值，此时w=5000，
故当房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元.
每涨价 1 元，每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，
已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？
降价销售
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元润（元）
销售量（件）
20
20-x
300
300+20x
建立函数关系式：y=(20-x)(300+20x)，
品买卖过程中，追求利润最大化是商家永恒的追求.如果你是商
场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
知识点1
某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，已知商品的进价
为每件 40 元，则每星期销售额是 18000 元，销售利润是 6000元.
数量关系
（1）销售额= 售价×销售量；
（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量；
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y=-10x2+100x+6000，
100
5时，y=-10×52+100×5+6000=6250.
当 x
2 (10)
即定价 65 元时，最大利润是 6250 元.
知识点1
例 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反应：
则w=x(-0.5x+110)-20(-0.5x+ 110) =-0.5x2+120x-2 200=-0.5(x-120)2+5000，
因为60≤x≤150，
所以当x=120时，w取得最大值，此时w=5000，
故当房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元.
每涨价 1 元，每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，
已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？
降价销售
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元润（元）
销售量（件）
20
20-x
300
300+20x
建立函数关系式：y=(20-x)(300+20x)，
品买卖过程中，追求利润最大化是商家永恒的追求.如果你是商
场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
知识点1
某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，已知商品的进价
为每件 40 元，则每星期销售额是 18000 元，销售利润是 6000元.
数量关系
（1）销售额= 售价×销售量；
（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量；
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y=-10x2+100x+6000，
100
5时，y=-10×52+100×5+6000=6250.
当 x
2 (10)
即定价 65 元时，最大利润是 6250 元.
知识点1
例 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反应：
人教版九年级上册课件 22.3 实际问题与二次函数 (共17张PPT)
建立二次函数的解析式。（建模） 把实际问题转换到二次函数的相关知 识上进行解决。（转化） 结合二次函数的图像解决相关的实际 问题（数形结合） 最优化
A题
假设篱笆（虚线）的长度为 40 米，两 面靠墙围成一个矩形，要求面积最大 ，如何围才能使矩形的面积最大？
B题
如图，在一面靠墙的空地上用长为40米的篱笆， 围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃 的宽AB为x米，面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是 多少？ (3)若墙的最大可用长度为 8 米，则求围成花圃的 最大面积。
-5
O
5
10 15 20 25 30 35 40
x
X=16
方法二： ∵ 0＜x≤16＜20 ∴y随x的增大而增大 ∴当x=16时y最大，最大值为192。
解:(1)当AB=xm时，则BC=(40-2x)m ∴y=x(40-2x) Y=192 y =-2(x-10)² +200 x的取值范围是12 ≤ x ＜ 20 250 方法一：根据函数的图像 我们可以知道，当x=12时 y最大，最大值为192。
解： (1) ∵ AB为x米、∴ 花圃宽BC为
（40－4x）米
∴ S＝x（40－4x） ＝－4x2＋40 x （0<x<10）
A B
D C
4ac b 2 b (2)当x＝ 2a 5 时，S最大值＝ 4a ＝100（平方米）
(3) ∵墙的可用长度为8米
∴ 0<40－4x ≤8 8≤x<10 ∴当x＝8cm时，S最大值＝64平方米
总结
1.分析题目中的变量。
人教版数学九年级上册2实际问题与二次函数课件(共20页)
分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来
确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星期少卖 件，实际卖出
件,销额为
元，买进商品需付
元因此，所得利润为
元
10x
(300-10x)
(60+x)(300-10x)
40(300-10x)
巩固训练、拓展思维
某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成，为了坚固起见，每段护 栏中需要间距4dm加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部5dm（如图），则这 条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）A、50m B、100m C、160m D、200m
某商品现在的售价为每件60元， 每星期可卖出300件，市场调查反 应：每涨价1元，每星期少卖出10 件；每降价1元，每星期可多卖出 18件，已知商品的进价为每件40 元，如何定价才能使利润最大？
22.3 实际问题Байду номын сангаас二次函数
前置作业
问题1.对于二次函数 y ax2 bx c ,如
何求出它的最值呢？
y
x b 2a
x b
y
2a
O
x
O
x
如果a>0,当 x= b 时， 如果a<0,当 x= b 时，
2a
2a
y有最小值 4ac b2
y有最大值 4ac b2
4a
4a
前置作业
问题2. 求出下列二次函数的最值。
y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)
即 y 10 x2 100 x 6000 (0≤X≤30)
y 10 x2 100 x 6000 (0≤X≤30)
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来
确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星期少卖 件，实际卖出
件,销额为
元，买进商品需付
元因此，所得利润为
元
10x
(300-10x)
(60+x)(300-10x)
40(300-10x)
巩固训练、拓展思维
某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成，为了坚固起见，每段护 栏中需要间距4dm加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部5dm（如图），则这 条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）A、50m B、100m C、160m D、200m
某商品现在的售价为每件60元， 每星期可卖出300件，市场调查反 应：每涨价1元，每星期少卖出10 件；每降价1元，每星期可多卖出 18件，已知商品的进价为每件40 元，如何定价才能使利润最大？
22.3 实际问题Байду номын сангаас二次函数
前置作业
问题1.对于二次函数 y ax2 bx c ,如
何求出它的最值呢？
y
x b 2a
x b
y
2a
O
x
O
x
如果a>0,当 x= b 时， 如果a<0,当 x= b 时，
2a
2a
y有最小值 4ac b2
y有最大值 4ac b2
4a
4a
前置作业
问题2. 求出下列二次函数的最值。
y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)
即 y 10 x2 100 x 6000 (0≤X≤30)
y 10 x2 100 x 6000 (0≤X≤30)
最新人教版九年级上册数学《实际问题与二次函数》精品课件
即降价情况下，定价57.5元时，有最大利润6125元.
（1）涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元. （2）降价情况下，定价57.5元时，有最大利润6125元.
综上可知： 该商品的价格定价为65元时，可获得最大利润6250元.
基础巩固
随堂演练
1.下列抛物线有最高点或最低点吗？如果有,写出这些
课堂小结
利用二次函数解决利润问题的一般步骤： (1)审清题意，理解问题； (2)分析问题中的变量和常量以及数量之间的关系； (3)列出函数关系式； (4)求解数学问题； (5)求解实际问题.
课后小知识
学习方法指导
同学们，天道酬勤，一个人学习成绩的优劣取决于他的学习 能力，学习能力包括三个要素：
规范的学习行为； 良好的学习习惯； 有效的学习方法。 只要做好以上三点，相信你一定会成为学习的强者。 加油！加油！加油！
即涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元.
降价
进价/元 售价/元 销量/件
40
60-m 300+20m
利润
降价情况下的最大利润又是多少呢?
解: (2)设每件降价m元，利润为y2. 则y2=(60-m – 40 )(300 +20m) 即y2=-20m2+100m+6000 其中，0≤m≤20.
.
2.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出(200-x)件，应如何定价才能使利润最大？
解：设所得利润为y元, 由题意得y=x(200-x)-30(200-x)
=-x2+230x-6000 =-(x-115)2+7225 (0<x<200) 当x=115时，y有最大值. 即当这件商品定价为115元时，利润最大.
（1）涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元. （2）降价情况下，定价57.5元时，有最大利润6125元.
综上可知： 该商品的价格定价为65元时，可获得最大利润6250元.
基础巩固
随堂演练
1.下列抛物线有最高点或最低点吗？如果有,写出这些
课堂小结
利用二次函数解决利润问题的一般步骤： (1)审清题意，理解问题； (2)分析问题中的变量和常量以及数量之间的关系； (3)列出函数关系式； (4)求解数学问题； (5)求解实际问题.
课后小知识
学习方法指导
同学们，天道酬勤，一个人学习成绩的优劣取决于他的学习 能力，学习能力包括三个要素：
规范的学习行为； 良好的学习习惯； 有效的学习方法。 只要做好以上三点，相信你一定会成为学习的强者。 加油！加油！加油！
即涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元.
降价
进价/元 售价/元 销量/件
40
60-m 300+20m
利润
降价情况下的最大利润又是多少呢?
解: (2)设每件降价m元，利润为y2. 则y2=(60-m – 40 )(300 +20m) 即y2=-20m2+100m+6000 其中，0≤m≤20.
.
2.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出(200-x)件，应如何定价才能使利润最大？
解：设所得利润为y元, 由题意得y=x(200-x)-30(200-x)
=-x2+230x-6000 =-(x-115)2+7225 (0<x<200) 当x=115时，y有最大值. 即当这件商品定价为115元时，利润最大.
人教版九年级上册实际问题与二次函数课件
2.有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面
宽度为20m,拱顶距离水面4m.
(1)在如图所示的直角系中,求抛物线的解析式.
(2)设正常水位时桥下的水深为2m,为保证过往
船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m,
求水深超过多少米时，就会影响过往船只在桥
下顺利航行.
18m
ห้องสมุดไป่ตู้
E
2.有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面
-
-（-4）=3.36＞2.5
∴小船能安全通过这座桥.
2.有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面
宽度为20m,拱顶距离水面4m.
(1)在如图所示的直角系中,求抛物线的解析式.
(2)设正常水位时桥下的水深为2m,为保证过往
船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m,
求水深超过多少米时，就会影响过往船只在桥
就到达警戒线CD,这时水面宽为10米。
（1）求抛物线形拱桥的解析式；
y
O
x
(5,m+3)
(10,m)
1.如图所示,有一座抛物线形拱桥,在正
常水位AB时,水面宽20米,水位上升3米,
就到达警戒线CD,这时水面宽为10米。
（1）求抛物线形拱桥的解析式；
解：(1)设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2.
O
y
P(0,2)
l
B(-2,0)
A(2,0)
x
O
y P(0,3)
l
B(-2,1)
A(2,1)
O
x
1.如图所示,有一座抛物线形拱桥,在正
常水位AB时,水面宽20米,水位上升3米,
就到达警戒线CD,这时水面宽为10米。
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数课件
2.25a+k=3.05，
即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有
k=3.5，
所以该抛物线的表达式为y=﹣0.2x2+3.5.
当 x=﹣2.5时，y=2.25 .
故该运动员出手时的高度为2.25m.
x
巩固练习
2. 一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地
面的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）
从图看出，什么情势的二次函数，它
的图象是这条抛物线呢？
由于顶点坐标系是（0.0），因
此这个二次函数的情势为y ax 2
如何确定a是多少？
-2
-1
1
2
-2
已知水面宽4米时，拱顶离水面
高2米，因此点A（2，-2）在抛
物线上，由此得出 2 a 22
解得
a
A
-4
1
2
因此， y
1
x2
，其中
y
抛物线经过点（450,81.5），代入上式，得
81.5=a•4502+0.5.
解得
a
81
1
4502 2500
故所求表达式为
y
-450
1
x 2 0.5(450 x 450)
2500
O
450
x
(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索的长.
解：当x=450﹣100=350（m）时，得
7
即k1≈5.07，k2≈﹣5.07
∴CD=5.07×2≈10.14（m）
设最多可安装n扇窗户，
∴1.5n+0.8（n﹣1）+0.8×2≤10.14，解得n≤4.06．
即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有
k=3.5，
所以该抛物线的表达式为y=﹣0.2x2+3.5.
当 x=﹣2.5时，y=2.25 .
故该运动员出手时的高度为2.25m.
x
巩固练习
2. 一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地
面的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）
从图看出，什么情势的二次函数，它
的图象是这条抛物线呢？
由于顶点坐标系是（0.0），因
此这个二次函数的情势为y ax 2
如何确定a是多少？
-2
-1
1
2
-2
已知水面宽4米时，拱顶离水面
高2米，因此点A（2，-2）在抛
物线上，由此得出 2 a 22
解得
a
A
-4
1
2
因此， y
1
x2
，其中
y
抛物线经过点（450,81.5），代入上式，得
81.5=a•4502+0.5.
解得
a
81
1
4502 2500
故所求表达式为
y
-450
1
x 2 0.5(450 x 450)
2500
O
450
x
(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索的长.
解：当x=450﹣100=350（m）时，得
7
即k1≈5.07，k2≈﹣5.07
∴CD=5.07×2≈10.14（m）
设最多可安装n扇窗户，
∴1.5n+0.8（n﹣1）+0.8×2≤10.14，解得n≤4.06．