2020-2021学年九年级数学人教版下册第27章 《相似 》章节培优训练(一)(含答案)

九年级下册第27章《相似》
章节培优训练（一）
1．已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且∠AED＝∠ABC，联结BE、CD相交于点F．
（1）求证：∠ABE＝∠ACD；
（2）如果ED＝EC，求证：．
2．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DE∥BC，＝．（1）求证：DF∥BE；
（2）如果AF＝2，EF＝4，AB＝6，求的值．
3．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC、BD相交于点E，AE⋅CE＝DE⋅BE
（1）求证：△ABE∽△ACB；
（2）如果DA2＝DE•DB，求证：AB•EC＝BC•AE．
4．（1）如图1，已知AB⊥l，DE⊥l，垂足分别为B、E，且C是l上一点，∠ACD＝90°，求证：△ABC∽△CED；
（2）如图2，在四边形ABCD中，已知∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA ＝5，求BD的长．
5．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在CD上，且CF＝3FD．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）△ABE与△BEF相似吗？为什么？
6．如图，AB为⊙O的直径，D是弧BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD的延长线于F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝4，⊙O的半径为5．求BF的长．
7．如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），作EF⊥AC交边BC于点F，连接AF、BE交于点G．
（1）求证：△CAF∽△CBE；
（2）若AF平分∠BAC，求证：AC2＝2AG•AF．
8．△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF＝∠B．
（1）如图1，求证：DE•CD＝DF•BE；
（2）如图2，若D为BC中点，连接EF．求证：ED平分∠BEF．
9．一块三角形材料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12，用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中点D、E、F分别在BC、AB、AC上．设EF＝x，请解答下列问题：（1）若矩形CDEF的面积为8，求x的值；
（2）矩形CDEF的面积能否为10？给出你的结论并说明理由．
10．如图，E是边长为8的正方形ABCD的边AB上的点，且AE＝2，EF⊥DE交BC于点F．求线段CF的长．
参考答案1．（1）证明：∵∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ADC∽△AEB，
∴∠ABE＝∠ACD；
（2）证明：∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴∠EDC＝∠EBD，
∵∠DEF＝∠DEB，
∴△EDF∽△EBD，
∴＝＝，
（）2＝•，
∴．
2．（1）证明：∵DE∥BC，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴DF∥BE；
（2）解：∵AF＝2，EF＝4，
∴AE＝AF+EF＝6，＝＝，
∴＝，
∴AD＝AB＝2，BD＝2AD＝4，
∴＝＝，
∵＝＝，
∴＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△AEB，
∴＝＝．
3．证明：（1）∵AE⋅CE＝DE⋅BE，∠AED＝∠BEC，∴△ADE∽△CBE，
∴∠DAE＝∠CBE，∠ADE＝∠BCE，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABE，
∴∠ABE＝∠ACB，
∵∠BAE＝∠CAB，
∴△ABE∽△ACB；
（2）∵DA2＝DE•DB，∠ADB＝∠ADE，
∴△ADB∽△ADE，
∴＝，
∵△ABE∽△ACB，
∴＝，
∴AD＝，
∴＝＝，
∴AB•EC＝BC•AE．
4．证明：（1）∵AB⊥l，DE⊥l，
∴∠ABC＝∠CED＝90°，∠ACB+∠BAC＝90°，∵∠ACD＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝90°，
∴∠BAC＝∠DCE，
∴△ABC∽△CED；
（2）如图，连接AC，
∵∠ABC＝90°，
∴AC＝，
∵AD＝5，CD＝10，
∴△ACD满足AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
如图，过点D作DE⊥BC延长线于点E，
由（1）得此时△ABC∽△CED，
∴，
∴CE＝6，DE＝8，
在Rt△BDE中，BD＝．
5．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，
设AB＝AD＝CD＝4a，
∵E为边AD的中点，CF＝3FD，
∴AE＝DE＝2a，DF＝a，
∴，
∴
又∵∠A＝∠D＝90°
∴△ABE∽△DEF．
（2）∵△ABE∽△DEF，
∴
∴∠AEB＝∠DFE∠ABE＝∠DEF
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠BEF＝90°
又∵，∠A＝90°
∴，∠A＝∠BEF＝90°
∴△ABE∽△EBF．
6．证明：（1）连接OD，BC，OD与BC相交于点G，∵D是弧BC的中点，
∴OD垂直平分BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴AC⊥BC，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）由（1）知：OD⊥BC，AC⊥BC，DE⊥AC，
∴四边形DECG为矩形，
∴CG＝DE＝4，
∴BC＝8，
∵⊙O的半径为5，
∴AB＝10，
∴AC＝＝6，
OG＝AC＝3，GD＝2，在矩形GDEC中CE＝GD＝2，∴AE＝8．
∵D为弧BC的中点，
∴∠EAD＝∠FAB，
∵BF切⊙O于B，
∴∠FBA＝90°．
又∵DE⊥AC于E，
∴∠E＝90°，
∴∠FBA＝∠E，
∴△AED∽△ABF，
∴，
∴
∴BF＝5．
7．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∵EF⊥AC，
∴∠FEC＝90°＝∠ABC，
又∵∠FCE＝∠ACB，
∴△CEF∽△CBA，
∴＝，
又∵∠ACF＝∠BCE，
∴△CAF∽△CBE；
（2）∵△CAF∽△CBE，
∴∠CAF＝∠CBE，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF，
∴∠BAF＝∠CBE，
∴∠BAF+∠AFB＝∠CBE+∠AFB＝90°，
即∠ABF＝∠BGA＝90°，
∵∠BAG＝∠BAF，
∴△ABF∽△AGB，
∴＝，
∴AB2＝AG•AF，
∵正方形ABCD中，AC2＝2AB2，
∴AC2＝2AG•AF
8．证明：（1）∵△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B+∠BDE+∠DEB＝180°，∠BDE+∠EDF+∠FDC＝180°，∠EDF＝∠B，∴∠FDC＝∠DEB，
∴△BDE∽△CFD，
∴，
即DE•CD＝DF•BE；
（2）由（1）可得：△BDE∽△CFD，
∴，
∵D为BC中点，
∴BD＝CD，
∴，
∵∠B＝∠EDF，
∴△BDE∽△DFE，
∴∠BED＝∠DEF，
∴ED平分∠BEF．
9．解：（1）∵∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12，EF＝x，四边形CDEF为矩形，∴∠AFE＝90°，AE＝2x，AF＝＝x，
同理：AC＝6，
∴CF＝6﹣x，
∵矩形CDEF的面积为8，
∴x（6﹣x）＝8，
解得：x＝2或4；
故x的值为2或4；
（2）不能，
理由是：由（1）知：S 矩形CDEF＝x（6﹣x）
若S 矩形CDEF＝10，即x（6﹣x）＝10，
即x2﹣6x+10＝0，
∵△＝62﹣4×1×10＝﹣4＜0，
∴此方程无解，
故矩形面积不能为10．
10．解：∵ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴∠ADE+∠DEA＝90°，
又EF⊥DE，
∴∠AED+∠FEB＝90°，
∴∠ADE＝∠FEB，
∴△ADE∽△BEF．
∴＝，
∴＝，
∴BF＝
∵BC＝8，
∴CF＝BC﹣BF＝．。