2021北京人大附中初二(下)期中数学答案
2020-2021学年北京市首都师大附中八年级(下)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年北京市首都师大附中八年级（下）期中数学试卷1.勾股定理是“人类最伟大的十大科学发明之一”.中国对勾股定理的证明最早出现在对《周髀算经》的注解中，它表示了我国古代入对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，在《周髀算经》的注解中证明勾股定理的是我国古代数学家()A. 赵爽B. 祖冲之C. 刘徽D. 杨辉2.一次函数y=2x+1的图象沿y轴向上平移3个单位，所得图象的函数解析式为()A. y=2x−4B. y=2x+4C. y=2x−5D. y=2x+73.解一元二次方程x2+4x−1=0，配方正确的是()A. (x+2)2=3B. (x−2)2=3C. (x+2)2=5D. (x−2)2=54.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是()A. ∠ABC=90°B. AC=BDC. OA=OBD. △ABO≌△ADO5.如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+3的图象交于点P(1,2)，则关于不等式x+b>kx+3的解集是()A. x>0B. x>1C. x<1D. x<06.如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 47.五名学生投篮球，每人投10次，统计他们每人投中的次数．得到五个数据，并对数据进行整理和分析，给出如表信息：平均数中位数众数m67则下列选项正确的是()A. 可能会有学生投中了8次B. 五个数据之和的最大值可能为30C. 五个数据之和的最小值可能为20D. 平均数m一定满足4.2≤m≤5.88.中考体育篮球运球考试中，测试场地长20米，宽7米，起点线后5米处开始设置10根标志杆，每排设置两根，各排标志杆底座中心点之间相距1米，距两侧边线3米，假设某学生按照图1路线进行单向运球，运球行进过程中，学生与测试老师的距离y与运球时间x之间的图象如图2所示，那么测试老师可能站在图1中的位置为()A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D9.函数y=√4x−2中，自变量x的取值范围是______．10.已知m是方程x2−3x−2020=0的根，则代数式1+3m−m2的值为______ ．11.在平面直角坐标系中，已知一次函数y=−2x+1的图象经过P1(π,y1)、P2(√2,y2)两点，则y1______ y2.(填“>”“<”或“=”)12.已知A(0,2)，B(3,1)，在x轴找一点P，使PA+PB的值最小，则点P的坐标为______ ．13.如图，等边△DEC在正方形ABCD内，连接EA、EB，则∠AEB的度数是______．14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为△ABC外一点，使∠DAC=∠BAC，E为BD的中点.若∠ABC=60°，则∠ACE=______ ．15.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为(4,8)，将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E，那么点D的坐标为______ ．16.一个俱乐部里只有两种成员：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话.某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人.外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有45人.”另一个成员李四说：“张三是老实人.”据此可判断李四是______ (填“老实人”或“骗子”)．17.计算：2−2+√2(√2−1)−(π−2021)0−√1．1618.解方程：3x(x−1)=2x−2．19.已知：一次函数图象如图：(1)求一次函数的解析式；(2)若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S△OAP=2，求点P的坐标．20.关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0．(1)若方程有两个相等的实数根，请比较a、c的大小，并说明理由；(2)若方程有一个根是0，求此时方程的另一个根．21.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF//BC交BE的延长线于点F．(1)求证：四边形ADCF是菱形；(2)若AC=12，AB=16，求菱形ADCF的面积．22.人口数据又称为人口统计数据，是指国家和地区的相关人口管理部门通过户口登记、人口普査等方式统计得出的相关数据汇总．人口数据对国家和地区的人口状况、管理以及各项方针政策的制定都具有重要的意义．下面是关于人口数据的部分信息．a.2018年中国大陆(不含港澳台)31个地区人口数量(单位：千万人)的频数分布直方图(数据分成6组：0≤x<2，2≤x<4，4≤x<6，6≤x<8，8≤x<10，10≤x≤12)：b.人口数量在2≤x<4这一组的是：2.22.42.52.52.62.73.13.63.73.83.93.9c.2018年中国大陆(不含港澳台)31个地区人口数量(单位：千万人)、出生率(单位：‰)、死亡率(单位：‰)的散点图：d.如表是我国三次人口普查中年龄结构构成情况：0～14岁人口比例15～59岁人口比例60岁以上人口比例第二次人口普查40.4%54.1% 5.5%第五次人口普查22.89%66.78%10.33%第六次人口普查16.6%70.14%13.26%e.世界各国的人口出生率差别很大，出生率可分为五等，最高>50‰，最低<20‰，2018年我国人口出生率降低至10.94‰，比2017年下降1.43个千分点．根据以上信息，回答下列问题：(1)2018年北京人口为2.2千万人，我国大陆(不含港澳台)地区中，人口数量从低到高排列，北京排在第______位．(2)人口增长率=人口出生率−人口死亡率，我国大陆(不含港澳台)地区中人口在2018年出现负增长的地区有______个，在这些地区中，人口数量最少的地区人数为______千万人(保留小数点后一位)．(3)下列说法中合理的是______．①我国人口基数较大，即使是人口出生率和增长率都缓慢增长的前提下，人口总数仍然是在不断攀升的，所以我国计划生育的基本国策是不变的；②随着我国老龄化越来越严重，所以出台了“二孩政策”，目的是为了缓解老龄化的压力．23.如果方程x2+px+q=0满足两个实数解都为正整数解，我们就称所有遮掩的一元二次方程为x2+px+q=0同族方程，并规定：满足G=P2q.例如x2−7x+12=0有正整数解3和4，所以x2−7x+12=0属于同族方程，所以G=(−7)212=4912．(1)如果同族方程x2+px+q=0中有两个相同的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有G=4；(2)如果同族方程x2+px+q=0中的实数q满足如下条件：①q为一个两位正整数，q=10x+y(1≤x≤y≤9,x，y为自然数)；②q交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得差为54，那么我们称这样为同族方程中和谐方程，求所有和谐方程中的G的最小值．24.已知，将Rt△DAE水平向右平移AD的长度得到Rt△CBF(其中点C与点D对应，点B与点A对应，点F与点E对应)，过点E作BD的垂线，垂足为M，连接AM．(1)根据题意补全图形，并证明MB=ME；(2)①用等式表示线段AM与CF的数量关系，并证明；②用等式表示线段AM，BM，DM之间的数量关系(直接写出即可)．25.对平面直角坐标系xOy中的两组点，如果存在一条直线y=kx+b使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”，对于一条分类直线l，记所有的点到l的距离的最小值为d1，约定：d1越大，分类直线l的分类效果越好，某学校“青春绿”的7位同学在2020年期间网购文具的费用x(单位：百元)和网购图书的费用y(单位：百元)的情况如图所示，现将P1，P2，P3和P4归为第Ⅰ组点，将Q1，Q2和Q3归为第Ⅱ组点，在上述约定下，定义两组点的分类效果最好的分类直线叫做“成达线”．(1)直线l1：x=2.5与直线l2：y=3x−5的分类效果更好的是______ ；(2)小明同学的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第______ 组点位于“成达线”的同侧；(3)如果从第Ⅰ组点中去掉点P1，第Ⅱ组点保持不变，则此时“成达线”的解析式为______ ；(4)这两组点的“成达线”的解析式为______ ．答案和解析1.【答案】A【解析】解：图中的图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.赵爽通过对这种图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了著名的勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国数学史上的骄傲．故选：A．在《周髀算经》中赵爽提过”“赵爽弦图”．本题考查勾股定理，记住“赵爽弦图”是赵爽在《周髀算经》提到过．2.【答案】B【解析】解：原直线的k=2，b=1；向上平移3个单位长度得到了新直线，那么新直线的k=2，b=1+3=4．∴新直线的解析式为y=2x+4．故选：B．注意平移时k的值不变，只有b发生变化．本题考查了一次函数图象的几何变换，难度不大，要注意平移后k值不变．3.【答案】C【解析】解：∵x2+4x−1=0，∴x2+4x+4=5，∴(x+2)2=5，故选：C．根据一元二次方程的配方法即可求出答案．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．4.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OB，故A、B、C正确，故选：D．利用排除法解决问题即可，只要证明A、B、C正确即可．本题考查矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质解决问题，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：当x>1时，x+b>kx+3，即不等式x+b>kx+3的解集为x>1．故选：B．观察函数图象得到当x>1时，函数y1=x+b的图象都在y2=kx+3的图象上方，所以关于x的不等式x+b>kx+3的解集为x>1．本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y= ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．6.【答案】C【解析】解：连接AC、AB、AD、BC、CD、BD，设小正方形的边长为1，由勾股定理得：AB2=12+22=5，AC2=22+42=20，AD2=12+32=10，BC2= 52=25，CD2=12+32=10，BD2=12+22=5，∴AB2+AC2=BC2，AD2+CD2=AC2，BD2+AB2=AD2，∴△ABC、△ADC、△ABD是直角三角形，共3个直角三角形，故选：C．先求出每边的平方，得出AB2+AC2=BC2，AD2+CD2=AC2，BD2+AB2=AD2，根据勾股定理的逆定理得出直角三角形即可．本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．【解析】解：∵中位数是6，唯一众数是7，∴最大的三个数的和是：6+7+7=20，∵这五个数据的平均数是m，∴另外2个数的和是5m−20，∴不可能会有学生投中了8次；五个数据之和的最大值可能为20+5+4=29，不可能为30；五个数据之和的最小值可能为20+0+1=21，不可能为20；∵29÷5=5.8，21÷5=4.2，∴平均数m一定满足4.2≤m≤5.8．故选：D．根据题意可得最大的三个数的和是6+7+7=20，再根据这五个数据的平均数是m，求出另外2个数的和为5m−20，据此即可求解．此题考查了平均数、中位数和众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．8.【答案】B【解析】解：根据图2得：学生与测试老师的距离先快速减小，然后短时间缓慢减小，然后再快速减小，又短时间缓慢增大，然后再快速减到最小，又开始快速增大，再减小，而且开始的时候与测试老师的距离大于快结束的时候，由此可得测试老师可能站在图1中的位置为点B．故选：B．根据图2可得学生与测试老师的距离的变化情况，即可作出判断．本题考查了动点问题的函数图象，利用观察学生与测试老师之间距离的变化关系得出函数的增减性是解题关键．9.【答案】x≥12【解析】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．根据二次根式的有意义的条件：被开方数大于等于0，就可以求解．【解答】解：依题意，得4x−2≥0，，解得：x≥12．故答案为x≥1210.【答案】−2019【解析】解：∵m是方程x2−3x−2020=0的根，∴m2−3m−2020=0，∴m2−3m=2020，∴1+3m−m2=1−(m2−3m)=1−2020=−2019．故答案为：−2019．根据m是方程x2−3x−2020=0的根，可以求得所求代数式的值，本题得以解决．本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出代数式的值．11.【答案】<【解析】解：∵一次函数y=−2x+1中k=−2<0，∴y随x的增大而减小，又∵π>√2，∴y1<y2．故答案为：<．由k=−2<0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合π>√2，即可得出y1<y2．本题考查了一次函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．12.【答案】(2,0)【解析】解：作点A 关于x 轴的对称点A′，连接A′B 交x 轴于P ，则P 即为所求点，如图：∵A(0,2)，A 关于x 轴的对称点A′，∴A′(0,−2)，设直线A′B 的解析式为y =kx +b ，把A′(0,−2)，B(3,1)代入得，则{−2=b 1=3k +b， 解得{k =1b =−2， ∴直线A′B 的解析式为：y =x −2，当y =0时，x =2，∴点P 的坐标为(2,0)．故答案为：(2,0)．“将军饮马”问题：作A 关于x 轴的对称点A′，连接A′B 交x 轴于P ，则P 即为所求点，求出A′坐标和直线A′B 解析式，即可得到P 坐标．本题考查线段和的最小值，解题的关键是熟悉“将军饮马问题”模型：作一个点的对称点，连接对称点和另一个点，连线与对称轴交点即为所求点．13.【答案】150°【解析】解：由题意可知：AD =CD =DE =CE =CB ，∴∠EDC =60°，∠ADE =30°，∴∠AED =∠BEC =75°，∴∠AEB =360°−2∠AED −∠DEC =150°，故答案为：150°根据正方形的性质以及等边三角形的性质即可求出答案．本题考查正方形的性质，解题的关键是熟练运用正方形的性质，本题属于基础题型． 14.【答案】30°【解析】解：延长BC、AD交于F，在△ABC和△AFC中{∠BAC=∠FAC AC=AC∠ACB=∠ACF，∴△ABC≌△AFC(ASA)，∴BC=FC，∴C为BF的中点，∵E为BD的中点，∴CE为△BDF的中位线，∴CE//AF，∴∠ACE=∠CAF，∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴∠BAC=30°，∴∠ACE=∠CAF=∠BAC=30°，故答案为：30°．延长BC、AD交于F，通过全等证明C是BF的中点，然后利用中位线的性质即可．本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的定义与性质，作出正确的辅助线是解题的关键．15.【答案】(−125,24 5)【解析】解：如图，过D作DF⊥x轴于F，∵点B的坐标为(4,8)，∴AO=4，AB=8，根据折叠可知：CD=OA，而∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO，∴△CDE≌△AOE，∴OE=DE，OA=CD=4，设OE =x ，那么CE =8−x ，DE =x ，∴在Rt △DCE 中，CE 2=DE 2+CD 2，∴(8−x)2=x 2+42，∴x =3，又DF ⊥AF ，∴DF//EO ，∴△AEO∽△ADF ，而AD =AB =8，∴AE =CE =8−3=5， ∴AE AD =EO DF =AO AF ， 即58=3DF =4AF ，∴DF =245，AF =325， ∴OF =325−4=125，∴D 的坐标为(−125,245). 故答案是：(−125,245).过D 作DF ⊥x 轴于F ，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE ，然后利用全等三角形的性质得到OE =DE ，OA =CD =4，设OE =x ，那么CE =8−x ，DE =x ，利用勾股定理即可求出OE 的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF ，而AD =AB =8，接着利用相似三角形的性质即可求出DF 、AF 的长度，也就求出了D 的坐标．此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．16.【答案】骗子【解析】解：因为圆圈上，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人，所以可知：老实人与骗子人数相等，因此圆圈上的人数为偶数，而张三说有45人是奇数，这说明张三说了假话，张三是骗子，而李四却说张三是老实人，也说了假话，所以李四也是骗子．故答案为骗子．此题抓住题干中“每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人”找出总人数，进行推理．本题主要考查了奇数与偶数，解答此类题的关键是：先找出题中的突破口，进而得出甲是骗子，进而得出结论．17.【答案】解：原式=14+2−√2−1−14=1−√2．【解析】直接利用二次根式的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18.【答案】解：3x(x −1)−2(x −1)=0(x −1)(3x −2)=0∴x 1=1，x 2=23．【解析】把右边的项移到左边，用提公因式法进行因式分解求出方程的根．本题考查的是用因式分解法解方程，根据题目的结构特点，用提公因式法因式分解求出方程的根．19.【答案】解：(1)设一次函数解析式为y =kx +b ，把(−2,3)、(2,−1)分别代入得{−2k +b =32k +b =−1，解得{k =−1b =1， 所以一次函数解析式为y =−x +1；(2)当y =0时，−x +1=0，解得x =1，则A(1,0)，设P(t,−t +1)，因为S △OAP =2，所以12×1×|−t +1|=2，解得t =−3或t =5，所以P 点坐标为(−3,4)或(5,−4)．【解析】(1)利用待定系数法求一次函数解析式；(2)先计算出函数值为0所对应的自变量的值得到A 点坐标，设P(t,−t +1)，根据三角形面积公式得到12×1×|−t +1|=2，然后解绝对值方程求出t 即可得到P 点坐标． 本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．20.【答案】解：(1)根据题意得，a≠0且△=4a2−4ac=0，∴4a(a−c)=0，∴a=c；(2)把x=0代入原方程得出c=0，∴方程为ax2+2ax=0，∴ax(x+2)=0，∴该方程的另一个根为−2．【解析】(1)根据一元二次方程的定义及判别式的意义得到a≠0且△=4a2−4ac=0，然后得到a=c；(2)把x=0代入原方程得出c=0，再将c=0代入ax2+2ax+c=0，解方程即可求出方程的另一根．本题考查了根的判别式△=b2−4ac.当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．21.【答案】(1)证明：∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵AF//BC，∴∠AFE=∠DBE，在△AEF和△DEB中，∵{∠AFE=∠DBE ∠AEF=∠DEB AE=DE，∴△AEF≌△DEB(AAS)，∴AF=DB，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC=90°，D是BC的中点，∴AD=CD=12BC，∴四边形ADCF是菱形；(2)解：设AF到CD的距离为h，∵AF//BC，AF=BD=CD，∠BAC=90°，∴S菱形ADCF =CD⋅ℎ=12BC⋅ℎ=S△ABC=12AB⋅AC=12×12×16=96．【解析】(1)先证明△AEF≌△DEB(AAS)，得AF=DB，根据一组对边平行且相等可得四边形ADCF是平行四边形，由直角三角形斜边中线的性质得：AD=CD，根据菱形的判定即可证明四边形ADCF是菱形；(3)先根据菱形和三角形的面积可得：菱形ADCF的面积=直角三角形ABC的面积，即可解答．本题考查了菱形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线、三角形和菱形的面积，解决本题的关键是掌握以上基础知识．22.【答案】6 2 3.8①②【解析】解：(1)∵人口为0≤x<2千万人的有5的地区，又∵人口数量在2≤x<4这一组的是：2.22.42.52.52.62.73.13.63.73.83.93.9，北京在第一位，∴我国大陆(不含港澳台)地区中，人口数量从低到高排列，北京排在第6位．故答案为6．(2)由散点图可知：在2018年出现负增长的地区有2个，在这些地区中，人口数量最少的地区人数为3.8千万人，故答案为2，3.8．(3)①我国人口基数较大，即使是人口出生率和增长率都缓慢增长的前提下，人口总数仍然是在不断攀升的，所以我国计划生育的基本国策是不变的，正确．②随着我国老龄化越来越严重，所以出台了“二孩政策”，目的是为了缓解老龄化的压力，正确．故答案为①②．(1)观察统计图结合已知条件即可判断．(2)观察散点图可得结论．(3)根据题意①②说法都是合理的．本题考查频数分布直方图，统计表等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．23.【答案】(1)证明：∵同族方程x2+px+q=0中有两个相同的解，∴b 2−4ac =0，∴p 2−4q =0，∴p 2=4q ，∵G =P 2q ， ∴G =4q q =4；(2)根据题得10y +x −(10x +y)=54，∴9y −9x =54，∴y −x =6，∵1⩽x ⩽y ⩽9，∴{x =3y =9，{x =2y =8，{x =1y =7， ∴q =39或28或17，∴可得三个方程x 2+px +39=0，x 2+px +28=0，x 2+px +17=0， 由和谐方程定义可得x 2+px +39=0的解为x =1或39；x =3或13，此时p =−40或−16；方程x 2+px +28=0的解为x =1或x =28；x =2或x =14；x =4或x =7，此时p =−29或−16或−11；方程x 2+px +17=0的解为x =1或17，此时p =−18；则和谐方程x 2+px +39=0中G 的最小值为(−16)239=25639； 方程x 2+px +28=0中G 的最小值为(−11)228=12128； 方程x 2+px +17=0中G 的值为(−18)217=32417； ∵32417>25639>12128，∴G 的最小值为12128．【解析】(1)先根据判别式得出p 2=4q ，代入G =P 2q ，即可得出结论；(2)先判断出y −x =6，进而求出q 的值，再分情况求出每个方程的解，即可得出结论． 此题是一元二次方程的整数解，理解新定义，理解和应用新定义是解本题的关键． 24.【答案】解：(1)如图所示，∵四边形ABCD 是正方形，BD 是对角线，∴∠ABD=45°，∵EM⊥BD，∴△BEM是等腰直角三角形，∴MB=ME．(2)①结论：FC=√2AM．理由：如图所示，连接CM、FM，∵△BEM是等腰直角三角形，∴MB=ME，∠ABM=∠BEM=45°，∴∠AEM=∠FBM=135°，又∵AE=FB，∴△AEM≌△FBM(SAS)，∴AM=FM，∵AE=BF，∴EF=BC=AB，∴△MEF≌△MBC(SAS)，∴∠EMF=∠BMC，FM=MC，∴∠FMC=90°，∴△FCM是等腰直角三角形，∴FC=√2MF=√2AM，即√2AM=FC．②结论：DM2+BM2=2AM2，理由：如图，连接DE，∵AE=BF，∴AE+BE=BF+BE=EF，又∵DC//AB且DC=AB，∴DC=EF，DC//EF，∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE=CF，∵CF=√2MF，MF=AM，∴DE=√2AM，又BM=EM，∠DME=90°，∴DM2+EM2=DE2，则DM2+BM2=2AM2．【解析】(1)根据等腰直角三角形的性质证明即可．(2)①结论：FC=√2AM.证明△FCM是等腰直角三角形即可．②结论：DM2+BM2=2AM2，利用勾股定理证明即可．本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．25.【答案】l2：y=3x−5Ⅰy=x y=x【解析】解：(1)由图可知：P1(1.5,2)，P2(1,3)，P3(2,3)，P4(2,4)，Q1(3,1)，Q2(3,2)，Q3(4,3)，当l1：x=2.5为分类直线时，d1=0.5，>0.5，当l2：y=3x−5为分类直线时，d2=√105∴l2：y=3x−5分类效果更好；(2)由题意可知，x=y=300，则小明两项网购花费所对应的点(3,3)与第一组点位置于“成达线”的同侧；(3)去掉P1后2k−3+b=3k−2+b，∴k=1，P2，P3，P4与Q1，Q2，Q3关于y=x对称，∴此时“成达线”为y=x；(4)当y=x时，两组点到y=x的距离最小，∴两组点的“成达线”为y=x．故答案为：(1)l2：y=3x−5；(2)Ⅰ；(3)y=x；(4)y=x．(1)根据题意算出距离最小值比较一下即可得出；(2)算出小明两项花费对应的点即可；(3)去掉P1后P2，P3，P4与Q1，Q2，Q3关于y=x对称，即可得出此时的“成达线”的解析式；(4)当y=x时，两组点到y=x的距离最小，可得两组点的“成达线”为y=x．本题考查一次函数的图象和性质与新定义结合综合题，关键是对新定义的理解和运用．。
北京市人大附中2020-2021学年八年级下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在 中，若 ，则 的角度为（）
A．80°B．90°C．100°D．120°
2．函数 的自变量 的取值范围是（）
A． B． C． D．
6．如图，矩形ABCD中，AB=4，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB=60º，则矩形ABCD的面积为（）
A．16B． C． D．3
7．用配方法解方程 时，原方程变形为（）
A． B． C． D．
8．如图，在 中，对角线 交于点 ，若 ，则 的长为（）
A． ．7C． D．7.5
9．如图，直线 与 相交于点 ，若点 的横坐标为3．则下列结论中错误的是（）
③连接 ，所以四边形 为菱形，点 即为所求．
根据小新设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明： 平分 ，
（______________________________________）（填推理的依据）
∴四边形 为平行四边形（______________________________________）（填推理的依据）
（2）作 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ．
①补全图形1；
②证明：四边形ECHF为平行四边形．
（3）在（2）的条件下，连接 ，请直接写出 和 之间的数量关系．
28．新定义：在平面直角坐标系 中，对于任意点 ，和直线 ，我们称直线 为点 的伴随直线，反之称点 为直线 的伴随点；特别的，直线 （ 为常数）的伴随点为 ．
2021年(北师大版)八年级数学下册期中考试试卷(含答案)
八年级数学下册期中考试试卷满分：150分考试用时：120分钟范围：第一章《三角形的证明》～第三章《图形的平移和旋转》班级姓名得分卷Ⅰ一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45.0分。
在每小题的四个选项中，只有一个选项正确，请把你认为正确的选项填涂在相应的答题卡上）1.如图，在一块长为12m，宽为6m的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是2m)，则空白部分表示的草地面积是()A. 70m2B. 60m2C. 48m2D. 18m22.不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是()A. B.C. D.3.以下列线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是()A. a=9，b=40，c=41B. a=b=5，c=5√2C. a:b:c=3:4:5D. a=11，b=12，c=154.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线．若AB=13，AD=12，则BC的长为()A. 5B. 10C. 20D. 245.如图，DA⊥AC，DE⊥BC.若AD=5cm，DE=5cm，∠ACD=30°，则∠DCE=()A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°6.不等式组{x−1>0,5−x≥1的整数解共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.下列说法不一定成立的是()A. 若a>b，则a+c>b+cB. 若a+c>b+c，则a>bC. 若a>b，则ac2>bc2D. 若ac2>bc2，则a>b8.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 平行四边形D. 圆9.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=25°，则∠BAA′的度数是()A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°10.在如图所示的4组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有()A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组11.已知关于x的不等式组{2x−a<1,x−2b>3的解集为−1<x<1，则(a+1)(b−1)的值为()A. 6B. −6C. 3D. −312.如图所示的仪器中，OD=OE，CD=CE.小州把这个仪器往直线l上一放，使点D，E落在直线l上，作直线OC，则OC⊥l，他这样判断的理由是()A. 到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等C. 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等13.如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等边三角形，AB⊥x轴，AB=4√3，点C的坐标为(2,0).P为OB边上的一个动点，则PA+PC的最小值为()A. √13B. 2√13C. 4√13D. 1214.在市举办的“划龙舟，庆端午”比赛中，甲、乙两队在比赛时的路程s(米)与时间t(分钟)之间的函数关系图象如图所示，根据图象得到下列结论，你认为正确的结论是()①这次比赛的全程是500米②乙队先到达终点③比赛中两队从出发到1.1分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度快④乙与甲相遇时乙的速度是375米/分钟⑤在1.8分钟时，乙队追上了甲队A. ①③④B. ①②⑤C. ①②④D. ①②③④⑤15. 如图，在正方形ABCD 中，AB =3，点M 在CD 的边上，且DM =1，△AEM 与△ADM 关于AM 所在的直线对称，将△ADM 按顺时针方向绕点A 旋转90°得到△ABF ，连接EF ，则线段EF 的长为( )A. 3B. 2√3C. √13D. √15 卷Ⅱ 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）16. 根据平移的知识可得图中的封闭图形的周长(图中所有的角都是直角)为______．17. 已知x −y =3，若y <1，则x 的取值范围是 ．18. 如图，这是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离ℎ=6.5米，自动扶梯的倾角为30°.若自动扶梯运行速度v =0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为 秒．19. 当k 时，代数式23(k −1)的值不小于代数式1−5k−16的值．20. 如图，线段AB 和CD 关于点O 中心对称．若∠B =40°，则∠D 的度数为 ．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）21. （8分）(1)解不等式0.2x 0.3−6−7x 3≤1(2) 解不等式组{12x >13x x+43>3x−72−122. （8分）如图，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，点A ，D ，E 在同一条直线上，连接BE ．(1)求证：AD=BE；(2)若∠CAE=15°，AD=5，求AB的长．23.（10分）如图，在△ABC中，AF⊥BC于点F.将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．(1)若∠B=50°，求∠DAF的度数；(2)若∠E=∠CAD，求证：AD=CD．24.（12分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图(保留作图痕迹)．(1)在图①中，作△ABC关于点O对称的△A′B′C′;(2)在图②中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′．25.（12分）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．(1)求每千克苹果和每千克梨的售价；(2)如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？26.（14分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE.求证：(1)△AEF≌△CEB；(2)AF=2CD．27.（16分）已知∠AOB=30°，H为射线OA上一定点，OH=√3+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．(1)求证：∠OMP=∠OPN；(2)当OP=2时，点M关于点H的对称点为Q，连接QP．①用量角器和直尺以图1中OP的长为2，画出一个尽可能准确的图形。
北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(解析版)
人大附中2023～2024学年度第二学期初二年级数学期中练习说明：1．本试卷共6页，共两部分，三道大题，24道小题，满分100分，考试时间90分钟．2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上作答无效．3．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．第一部分 选择题一、选择题（共24分，每题3分）1. 以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（ ）A. 6，7，8B. 2，3，4C. 3，4，6D. 6，8，10【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理逆定理即两短边的平方和等于最长边的平方逐一判断即可．【详解】解：．，不能构成直角三角形，故本选项错误；．，不能构成直角三角形，故本选项错误；．，不能构成直角三角形，故本选项错误；．，能构成直角三角形，故本选项正确．故选：．【点睛】本题考查的是勾股定理逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．2. 如图，中，于点，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由在□ABCD 中，∠EAD ＝35°，得出∠D 的度数，根据平行四边形的对角相等，即可求得∠B 的度数，继而求得答案．【详解】解：∵∠EAD ＝35°，AE ⊥CD ，∴∠D ＝55°，A 222678+≠ ∴B 222234+≠ ∴C 222346+≠ ∴D 2226810+= ∴D a b c 222+=a b c ABCD Y AE CD ⊥E 35EAD ∠=︒B ∠35︒55︒65︒125︒∴∠B ＝55°，故选：B ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．3. 下列各式中，运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查了算术平方根，二次根式的加减运算．熟练掌握算术平方根，二次根式的加减运算是解题的关键．根据算术平方根，二次根式的加减运算求解作答即可．【详解】解：AB ．，错误，故不符合要求；C ．D，错误，故不符合要求；故选：A ．4. 在菱形中，点分别是的中点，若，则菱形的周长是（ ）A. 12B. 16C. 20D. 24【答案】D【解析】【分析】根据三角形中位线定理可得，再根据菱形的周长公式列式计算即可得到答案．【详解】解：点分别是的中点，是的中位线，，菱形的周长，=3=2=2=-=3=≠2+≠22=≠-ABCD E F ，AC DC ，3EF =ABCD 26AD EF == E F ，AC DC ，EF ∴ACD 2236AD EF ∴==⨯=∴ABCD 44624AD ==⨯=【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形性质，熟练掌握三角形的中位线等于第三边的一半及菱形的四条边都相等，是解题的关键．5. 如图，正方形的边长为2，是的中点，，与交于点，则的长为（ ）A. B. C. D. 3【答案】A【解析】【分析】由正方形的性质得出∠DAF ＝∠B ＝90°，AB ＝AD ＝2，由E 是BC 的中点，得出BE ＝1，由勾股定理得出AEADF ≌△BAE（ASA ），即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAF ＝∠B ＝90°，BC ＝AB ＝AD ＝2，∴∠BAE ＋∠2＝90°，∵AB ＝2，E 是BC 的中点，∴BE ＝1，∴AE ，∵AD ∥BC ，∴∠1＝∠2，∵DF ⊥AE ，∴∠1＋∠ADF ＝90°，∴∠ADF ＝∠BAE ，在△ADF 和△BAE 中，，的ABCD E BC DF AE ⊥AB F DF =DAF B AD ABADF BAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF ≌△BAE （ASA ），∴DF ＝AE故选：A ．【点睛】此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．6. 一个正方形的面积是22.73，估计它的边长大小在（ ）A. 2与3之间B. 3与4之间C. 4与5之间D. 5与6之间【答案】C 【解析】【分析】设正方形的边长为，根据其面积公式求出的值，估算出的取值范围即可．【详解】解：设正方形的边长为，正方形的面积是22.73，，，，它的边长大小在4与5之间，故选：C ．【点睛】本题考查的是估算无理数的大小及算术平方根，估算无理数的大小时要用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．7. 要判断一个四边形是否为矩形，下面是4位同学拟定的方案，其中正确的是 （ ）A. 测量两组对边是否分别相等B. 测量两条对角线是否互相垂直平分C. 测量其中三个内角是作都为直角D. 测量两条对角线是否相等【答案】C【解析】【分析】根据矩形的判定和平行四边形的判定以及菱形的判定分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：矩形的判定定理有①有三个角是直角的四边形是矩形，②对角线互相平分且相等的四边形是矩形，③有一个角是直角的平行四边形是矩形，、根据两组对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；a a a a a ∴=1622.7325<< <<45<<∴A、根据对角线互相垂直平分得出四边形是菱形，故本选项错误；、根据矩形的判定，可得出此时四边形是矩形，故本选项正确；、根据对角线相等不能得出四边形是矩形，故本选项错误；故选：．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形和菱形的判定，主要考查学生的推理能力和辨析能力．8. 如图，点A ，B ，C 在同一条直线上，点B 在点A ，C 之间，点D ，E 在直线AC 同侧，，，，连接DE ，设，，，给出下面三个结论：①；②；．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】D【解析】【分析】此题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，完全平方公式的应用，熟记勾股定理是解题的关键．①根据直角三角形的斜边大于任一直角边即可；②在三角形中，两边之和大于第三边，据此可解答；③将用和表示出来，再进行比较．【详解】解：①过点作，交于点；过点作，交于点．∵，，，又，，B C D C AB BC <90A C ∠=∠=︒EAB BCD ≌△△AB a =BC b =DE c =a b c +<a b +>)a b c +>c a b D DF AC ∥AE F B BG FD ⊥FD G DF AC ∥AC AE ⊥DF AE ∴⊥BG FD ⊥ BG AE ∴四边形为矩形，同理可得，四边形也为矩形，，在中，则，故①正确，符合题意；②∵，，在中，，，故②正确，符合题意；③∵，，，又，，．，，，，，．故③正确，符合题意；故选：D第二部分 非选择题二、填空题（共24分，每题3分）∴ABGF BCDG FD FG GD a b ∴=+=+∴Rt EFD DF ED<a b c +<EAB BCD ≌△△AE BC b ∴==Rt EAB△BE ==AB AE BE +>a b ∴+>EAB BCD ≌△△AEB CBD ∠∠∴=BE BD =90AEB ABE ∠+∠=︒ 90CBD ABE ∴∠+=∠︒90EBD ∴∠︒=BE BD = 45BED BDE ∴∠=∠=︒sin 45BE c ∴==⋅︒=c ∴= 22222222()2(2)2()42()a b a ab b a b ab a b +=++=++>+∴)a b +>∴)a b c +>9.有意义，则实数x 的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数为非负数．有意义，∴，解得：，故答案为：．10. 如图，在中，若，点D 是的中点，，则的长度是_____．【答案】2【解析】【分析】本题考查了直角三角形的性质，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的长度．【详解】解：∵在中，，点D 是的中点，，∴．故答案为：2．11. 如图，在数轴上点 A 表示的实数是_____．【解析】【分析】根据勾股定理求得的长度，即可得到的长度，根据点的位置即可得到点表示的数．【详解】解：如图，1x ≥10x -≥1x ≥1x ≥ABC 90ACB ∠=︒AB 4AB =CD CD ABC 90ACB ∠=︒AB 4AB =114222CD AB ==⨯=BD AB B A根据勾股定理得：，，点【点睛】本题考查了实数与数轴，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．12. 如图，在四边形中，对角线相交于点O ．如果，请你添加一个条件，使得四边形成为平行四边形，这个条件可以是______________________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定作答即可．【详解】解：由题意知，可添加的条件为，∵，，∴四边形平行四边形，故答案为：．13. 如图，矩形的对角线相交于点O ，，，则矩形对角线的长为___________，边的长为___________．【答案】①. 8 ②. 【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，先由矩形对角线相等且互相是BD ==∴AB BD ==∴A ABCD AC BD ，AB CD ∥ABCD AD BC ∥AD BC ∥AD BC ∥AB CD ∥ABCD AD BC ∥ABCD AC BD ，60AOB ∠=︒4AB =BD BC平分得到，再证明是等边三角形，得到，则，据此利用勾股定理求出的长即可．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，在中，由勾股定理得故答案为：8；14. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得，对角线的长为，接着活动学具成为图2所示的正方形，则图2中对角线的长为________．【答案】【解析】【分析】如图1，2中，连接AC ．在图2中，利用勾股定理求出BC ，在图1中，只要证明△ABC 是等边三角形即可解决问题．【详解】解：如图1，2中，连接AC ．如图1中，∵AB ＝BC ，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝30，在图2中，∵四边形ABCD 是正方形，2290AC BD OA BD ABC ====︒，∠AOB 4OA OB AB ===28AC BD OB ===BC ABCD 2290OA OB AC BD OA BD ABC =====︒，，∠60AOB ∠=︒AOB 4OA OB AB ===28AC BD OB ===Rt ABC △BC ===60B ∠︒AC 30cm AC cm∴AB ＝BC ，∠B ＝90°，∵AB ＝BC ＝30cm ，∴AC ＝cm ，故答案为：．【点睛】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15. 如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点B 落在AD 边的点F 处，折痕为CE ，若∠D ＝80°，则∠ECF 的度数是________．【答案】40°【解析】【分析】根据题意由折叠的性质可得∠BCE =∠FCE ，BC =CF ，由菱形的性质可得BC ∥AD ，BC =CD ，可求∠BCF =∠CFD =80°，即可求解．【详解】解：∵将菱形纸片ABCD 折叠，使点B 落在AD 边的点F 处，∴∠BCE =∠FCE ，BC =CF ，∵四边形ABCD 是菱形，∴BC ∥AD ，BC =CD ，∴CF =CD ，∴∠CFD =∠D =80°，∵BC ∥AD ，∴∠BCF =∠CFD =80°，∴∠ECF =40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查翻折变换以及菱形的性质，熟练掌握并运用折叠的性质是解答本题的关键．16. 图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，，则的值为___________．【答案】9【解析】【分析】设直角三角形另一直角边为，然后分别用表示出两个阴影部分的面积，最后求解即可．本题主要考查了三角形和正方形面积的求法，解题的关键在于能够熟练地掌握相关的知识点．【详解】解：设直角三角的另一直角边为，则，，，．故答案为：9三、解答题（共52分，第17题8分，第18-19题，每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题7分，第24题10分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 计算：（1）；（2）．【答案】（1（2）【解析】【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算是解题的关键．（1）先利用二次根式的性质进行化简，然后进行加减运算即可；1S 2S 12S S -a a a 2211(3)4392S a a a =+-⨯⨯=+22S a a a =⋅=221299S S a a ∴-=+-=(1-（2）先分别计算二次根式的乘除，然后进行加减运算即可．【小问1详解】解：【小问2详解】解：．18. 如图，四边形为平行四边形，，是直线上两点，且，连接，．求证：．【答案】见详解【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，根据可得，再根据平行四边形的性质可得，且，即，即可证明，即可得到结论．【详解】证明：∵，∴，∴，∵四边形为平行四边形，∴，且，∴，在和中，2=⨯=(32=+1=-ABCD E F BD BE DF =AF CE AF CE =BE DF =ED FB =AB DC =AB DC =EDC FBA ∠∠()SAS DEC BFA ≌BE DF =BE BD DF BD +=+ED FB =ABCD AB DC =AB DC =EDC FBA ∠∠DEC BFA V，∴，∴．19. 已知，求的值．【答案】11【解析】【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，平方差公式，先整理，再代入计算，即可作答．【详解】解：依题意，20. 如图，在中，点D 是线段的中点．求作：线段，使得点E 在线段上，且．作法：①连接，②以点A 为圆心，长为半径作弧，再以C 为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点M ；③连接，交于点E ；所以线段即为所求的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接∵，，∴四边形是平行四边形．（①）（填推理的依据）∵交于点E ，∴，即点E 是的中点．（② ）（填推理的依据）DE BF EDC FBA DC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS DEC BFA ≌AF CE=1x =-227x x ++()22727x x x x ++=++()))2272711751711x x x x ++=++=⨯++=-+=ABC AB DE AC 12DE BC =CD CD AD DM AC DE AM CM ，，AM CD =AD CM =ADCM AC DM ，AE CE =AC∵点D 是AB 的中点，∴．（③ ）（填推理的依据）【答案】见详解【解析】【分析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．（1）根据几何语言画出对应的几何图形即可；（2）先证明四边形是平行四边形，得出点E 是的中点，再结合然后点D 是的中点，即三角形中位线性质得到．【详解】解：（1）如图，；（2）证明：连接AM ，CM ，∵，，∴四边形是平行四边形．（①两组对边分别相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）∵AC ，DM 交于点E ，∴，即点E 是中点．（②平行四边形的对角线互相平分）（填推理的依据）∵点D 是的中点，∴（③中位线的性质）．故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分；中位线的性质．21. 如图，四边形中，，，．的12DE BC =-ADCM AC AB 12DE BC =AM CD =AD CM =ADCM AE CE =AC AB 12DE BC =ABCD 90BAD ∠=︒AB AD ==4BC =CD =（1）求的度数；（2）求四边形的面积．【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）由题意得，，由勾股定理得，，由，可得是直角三角形，且，根据，计算求解即可；（2）根据，计算求解即可．【小问1详解】解：∵，∴，由勾股定理得，，∵，∴，∴是直角三角形，且，∴，∴的度数为；【小问2详解】解：由题意知，，∴四边形的面积为5．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等边对等角，勾股定理，勾股定理逆定理等知识．熟练掌握三角形内角和定理，等边对等角，勾股定理，勾股定理逆定理是解题的关键．ABC ∠ABCD 135︒1802BADABD ADB ︒-∠∠=∠=2BD =222BD BC CD +=BCD △90CBD ∠=︒ABC ABD CBD ∠=∠+∠1122ABD BCD ABCD S S S AB AD BC BD =+=⨯+⨯ 四边形90BAD ∠=︒AB AD ==180452BAD ABD ADB ︒-∠∠=∠==︒2BD ==(2222420+==222BD BC CD +=BCD △90CBD ∠=︒135ABC ABD CBD ∠=∠+∠=︒ABC ∠135︒11522ABD BCD ABCD S S S AB AD BC BD =+=⨯+⨯= 四边形ABCD22. 在中，，点D 是边上的一个动点，连接．作，，连接．（1）如图1，当时，求证：；（2）当四边形是菱形时，①在图2中画出四边形，并回答：点D 的位置为 ．②若，，则四边形的面积为 ．【答案】（1）见解析，（2）①见解析，为的中点；②【解析】【分析】（1）由，，可证四边形是平行四边形，由，可证四边形是矩形，进而结论得证；（2）①由题意作图如图2，由四边形是菱形，可得，则，由，可得，则，，即为的中点；②如图2，记的交点为，则，，，由勾股定理求，则，根据，计算求解即可．【小问1详解】证明：∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形是矩形，∴；【小问2详解】①解：如图2，Rt ABC △90ACB ∠=︒AB CD AE DC ∥CE AB ∥DE CD AB ⊥AC DE =ADCE ADCE 10AB =8DE =ADCE D AB 24AE DC ∥CE AB ∥AECD 90CDA ∠=︒AECD ADCE AD CD =DAC DCA ∠=∠18090B ACB DAC DCB DCA ∠=︒-∠-∠∠=︒-∠，B DCB ∠=∠CD BD =AD BD =D AB AC DE 、O 5AD =142DO DE ==AC DE ⊥3AO =26AC AO ==12ADCE S AC DE =⨯四边形AE DC ∥CE AB ∥AECD CD AB ⊥90CDA ∠=︒AECD AC DE =∵四边形是菱形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴为的中点；②解：如图2，记的交点为，∵四边形是菱形，为的中点，，，∴，，，由勾股定理得，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理，菱形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理，菱形的性质，勾股定理是解题的关键．23. 如图，四边形中，，，对角线平分，过点A 作的垂线，分别交，于点E ，O ，连接．（1）求证：四边形菱形；（2）连接，若，，求的长．是ADCE AD CD =DAC DCA ∠=∠18090B ACB DAC DCB DCA ∠=︒-∠-∠∠=︒-∠，B DCB ∠=∠CD BD =AD BD =D AB AC DE 、O ADCE D AB 10AB =8DE =5AD =142DO DE ==AC DE⊥3==AO 26AC AO ==1242ADCE S AC DE =⨯=四边形24ABCD AD BC ∥90BCD ∠=︒BD ABC ∠BD AE BC BD DE ABED CO 3AB =2CE =CO【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明，再由等腰三角形的性质得，然后证，得，则四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；（2）由勾股定理得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出【小问1详解】证明：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵，在和中，，，，四边形是平行四边形，又，平行四边形为菱形；【小问2详解】解：∵四边形为菱形，∴，，CO =AB AD =OB OD =()ASA OBE ODA ≌OE OA =ABED CD =BD =CO =AD BC ∥ADB DBE ∠=∠BD ABC ∠ABD DBE ∠=∠ABD ADB ∠=∠AB AD =AE BD ⊥BO DO =AD BC ∥OBE △ODA V DBE ADB OB ODBOE DOA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA OBE ODA ∴ ≌OE OA ∴=∴ABED AB AD = ∴ABED ABED 3BE DE AB ===BO DO =∵，，，∴在中，根据勾股定理得：，∵，为直角三角形，∴．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，二次根式的混合运算等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．24. 在中，，，点D 为射线上一动点（不与点B 、C 重合），点B 关于直线的对称点为E ，作射线，过点C 作的平行线，与射线交于点F ．连接（1）如图1，当点E 恰好在线段上时，用等式表示与的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D 在线段的延长线上时，①依题意补全图形；②用等式表示和的数量关系，并证明．【答案】（1），证明见详解（2）①见详解②，证明见详解【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质与判定，矩形的性质，轴对称性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先由轴对称性质，得出再证明，因为，得出得证即可作答．90BCD ∠=︒CD =∴=325BC BE CE =+=+=Rt BCDBD ===BO DO =BCD△12CO BD ==ABC 90ABC ∠=︒AB BC =BC AD DE AB DE AE AF ，．AC DF BD BC ADB ∠AFE ∠2DF BD =45ADB AFE ∠+︒=∠AB AE BD ED ==，，()SSS ADE ADB ≌CF AB ∥45ECD ECF ∠=∠=︒，()ASA CED CEF ≌，（2）①根据题意的描述作图即可；②易得，过点作于点，四边形是正方形，证明，则，再通过角的运算，即可作答．【小问1详解】解：，证明如下：如图：当点E 恰好在线段上时，∵在中，∴，∵点B 关于直线的对称点为E ，∴在和中，∴，∴，∴，，∵，∴在和中，∴ADE ADB ≌A AG CF ⊥G ABCG ()Rt Rt HL AFG AFE ≌FAG FAE EAG ∠==∠2DF BD =AC ABC 90ABC AB BC∠=︒=，45BAC ACB ∠=∠=︒AD AB AE BD ED ==，，ADE V ADB AE AB ED BD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()SSS ADE ADB ≌90AED ABD ∠=∠=︒AC DF ⊥90CED CEF ∠=∠=︒CF AB ∥45ECF BAC ∠=∠=︒，45ECD ECF ∴∠=∠=︒，CED △CEF △CED CEF CE CEECD ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA CED CEF ≌，∴ ∴，即有；【小问2详解】解：当点在线段的延长线上时①依题意补全图形如下②用等式表示和的数量关系是，证明如下∵点关于直线的对称点为E ，∴，∴，过点作于点，如上图，则，∵，∴∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形，∴，在和中，∴，∴，即有，12DE EF DF ==，12BD DE DF ==2DF BD =D BC ADB ∠AFE ∠45ADB AFE ∠+︒=∠B AD ADE ADB ≌90AE AB AEF ABC =∠=∠=︒，12EAD BAD BAE ∠=∠=∠，A AG CF ⊥G 90AGF AGC ∠=∠=︒CF AB ∥90BAG AGF ABC AGC∠=∠=︒=∠=∠ABCG AB BC =ABCG AG AB AE ==Rt AFG △Rt AFE AG AE AF AF=⎧⎨=⎩()Rt Rt HL AFG AFE ≌FAG FAE EAG ∠==∠2EAG FAE ∠=∠∵∴，∴，∴∴在中，，∴∴．人大附中2023～2024学年度第二学期初二年级数学期中练习附加题说明：1．附加题共4页，共两道大题，9道小题，满分40分，考试时间30分钟．2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上作答无效．3．在答题卡上，作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．一、填空题（共15分，第1题4分，第2-4题，每题3分，第5题2分）25. 矩形中，，，点E 是边上一点，连接，将沿折叠，使点B 落在点处，连接．（1）如图1，当时，的长为___________．（2）如图2，当点恰好在矩形的对角线上，则的长为___________．【答案】①. 4 ②. 【解析】【分析】（1）由矩形性质得，由折叠得：，，由平行线的性质得：，，进而得出：，，即；90AFE FAE ∠+∠=︒90FAE AFE ∠=︒-∠21802EAG FAE AFE ∠=∠=︒-∠2702BAE BAG EAG AFE∠=∠+∠=︒-∠135.BAD BAE AFE ∠=∠=︒-∠Rt △ABD 90ADB BAD ∠+∠=︒13590ADB AFE ∠+︒-∠=︒45ADB AFE ∠+︒=∠ABCD 6AB =8BC =BC AE ABE AE B 'CB 'CB AE '∥BE B 'ABCD ACAE 90ABE ∠=︒B E BE '=AEB AEB '∠=∠AEB ECB '∠=∠AEB EB C ''∠=∠ECB EB C ''∠=∠B E EC '=142BE EC BC ===（2）利用勾股定理可得，由折叠得：，，，设，则，，利用勾股定理建立方程求解即可；本题是矩形综合题，考查了矩形的性质，折叠变换的性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识，学会添加辅助线是解题关键．【详解】解：（1）四边形是矩形，，由折叠得：，，，，，，，，，，故答案为：4；（2）如图，点恰好在矩形的对角线上，四边形是矩形，，，，，由折叠得：，，，，，设，则，，在中，，10AC ===AB AB '=B E BE '=90AB E ABE '∠=∠=︒BE x =B E x '=8CE x =- ABCD 90ABE ∴∠=︒B E BE '=AEB AEB '∠=∠CB AE ' AEB ECB '∴∠=∠AEB EB C ''∠=∠ECB EB C ''∴∠=∠B E EC '∴=12BE EC BC ∴==8BC = 4BE ∴=B 'ABCD AC ABCD 90ABC ∴∠=︒=6AB 8BC=10AC ∴===AB AB '=B E BE '=90AB E ABE '∠=∠=︒1064B C AC AB ''∴=-=-=18090CB E AB E ''∠=︒-∠=︒BE x =B E x '=8CE x =-Rt CB E '△222B E B C CE ''+=，解得：，，在中，；故答案为：4，26. 如图，四边形中， ，的平分线交于点E ，连接．在以下条件：①平分；②E 为中点；③中选取两个作为题设，另外一个作为结论，组成一个命题．（1）请写出一个真命题：题设为___________，结论为___________．（填序号）（2）可以组成真命题的个数为___________．【答案】①. ②， ②. ③， ③. 6【解析】【分析】（1）根据挑选题设为②，结论为③，结合，的平分线交这个两个条件，先证明，再进行边的等量代换，即可作答．（2）注意分类讨论以及逐个分析，不管取哪个作为条件都可以证明，从而利用全等三角形的性质进行边的等量代换或者角的等量代换，即可作答．【详解】解：（1）题设为②，结论为③；理由如下：延长交的延长线于点，∵∴，()22248x x ∴+=-3x =3BE ∴=Rt ABEAE ===ABCD AD BC ∥BAD ∠CD BE BE ABC ∠CD AD BC AB +=AD BC ∥BAD ∠CD ()AAS AED FEC ≌AED FEC △≌△AE BC F AD BC∥DAE F ∠=∠∵E 为中点，∴，在和中，∴，∴，，∵的平分线交于点E ，∴，∴∴∴（2）由（1）知，题设为②，结论为③是真命题，同理：题设为③，结论为②是真命题，过程如下：延长交的延长线于点，∵的平分线交于点E∴，∵∴∴∵∴∴∵CD DE CE =AED △FEC DAE F DEA CEFDE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS AED FEC ≌CF AD =AD BC CF BC BF +=+=BAD ∠CD DAE BAD ∠=∠BAD F∠=∠AB BF=AD BC AB+=AE BC F BAD ∠CD DAE BAD ∠=∠AD BC∥BAD DAE F∠=∠=∠AB BF=AD BC AB+=AD BC AB BF+==AD CF=AD BC∥∴∵∴∴即E 为中点；当题设为①，结论为②是真命题，过程如下：延长交的延长线于点，∵的平分线交于点E∴，∵∴∴∵平分∴∵∴∴即E 为中点；同理：当题设为②，结论①为是真命题，同理，∴，，∵的平分线交于点E ，∴，∴∴∴DAE F∠=∠DEA CEF∠=∠ ≌DEA CEFDE CE=CD AE BC F BAD ∠CD DAE BAD ∠=∠AD BC∥BAD DAE F∠=∠=∠AB BF=BE ABC∠EB AF AE EF⊥=，DEA CEF DAE F∠=∠∠=∠， ≌DEA CEFDE CE=CD CF AD =AD BC CF BC BF +=+=BAD ∠CD DAE BAD ∠=∠BAD F∠=∠AB BF=AD BC AB+=则当题设为①，结论为③是真命题，同理：当题设为③，结论为②是真命题，综上共有6个命题：分别是题设为②，结论为③；题设为③，结论为②；题设为①，结论为②；题设为②，结论①；题设为①，结论为③，题设为③，结论为②．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、真命题，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．27. 如图，在正方形中，，点E 为对角线上的动点（不与A ，C 重合），以为边向外作正方形，点P 是的中点，连接，则的取值范围为___________．【解析】【分析】先取的中点O，结合正方形的性质，得证，当时，有最小值，在中，，计算即可作答．【详解】解：如图，取的中点O ，连接，∵四边形、是正方形，∴，，∴，则在和中ABCD 4AB =AC DE DEFG CD PG PG PG ≤<AD ()SAS ODE PDG ≌OEAC ⊥OE Rt AOE △2224OE AE AO +==AD OE DEFG ABCD 90ODE EDC ︒∠+∠=90PDG EDC ∠+∠=︒ODE PDG ∠=∠ODE PDG △OD OP ODE PDGDE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴，当时，有最小值，此时为等腰直角三角形，，∵，∴，在中，，即，解得，∴．当点运动到点的时候，如图：此时即为点H 的位置，此时正方形的边长最大且为则的值最大，此时∴则．【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键．28.如图，正方形ABCD 边长为2，点E 是射线AC 上一动点(不与A ，C 重合)，点F 在正方形ABCD 的外角平分线CM 上，且CF=AE ，连接BE ， EF ， BF 下列说法：①的值不随点E 的运动而改变的()SAS ODE PDG ∴ ≌OE PG =OE AC ⊥OE AOE △OE AE =4AD AB ==122AO AB ==Rt AOE △2224OE AE AO +==224OE =OE =OE E C G DEFG 4CD AD ==PH PH ===PG PG ≤<PG ≤<②当B ，E ， F 三点共线时，∠CBE=22.5°；③当△BEF 是直角三角形时，∠CBE=67.5°；④点E 在线段AC 上运动时，点C 到直线EF 的距离的最大值为1；其中正确的是__________（填序号）．【答案】①②④【解析】【分析】连接、，由正方形的对称性可知，，，证明，得出，，证出，证出是等腰直角三角形得出，因此，得出①正确；当，，三点共线时，证出，，，四点共圆，由圆周角定理得出，证出，得出，求出，②正确；当是直角三角形时，证出，得出，，③不正确；当点在线段上运动时，过点作于，则，最大时，与重合，即，证出是的中位线，得出，④正确；即可得出结论．【详解】解：连接、，如图1所示：由正方形的对称性可知，，四边形是正方形，，，点是正方形外角平分线上一点，，，在和中，，，，，ED DF BE DE =CBE CDE ∠=∠()ABE CDF SAS ∆≅∆BE DF =ABE CDF ∠=∠DE DF =EDF∆EF=EF B E F E C F D BFC CDE ∠=∠CDE CBE =∠∠CBF CFB ∠=∠22.5CBF ∠=︒BEF ∆9045135BED ∠=︒+︒=︒1(36013590)67.52CBE ∠=︒-︒-︒=︒67.5CBF ∠<︒E AC C CQ EF ⊥Q CQ CH …CQ CQ CH CD EF ⊥QE ACD ∆112CQ DQ CD ===ED DF BE DE =CBE CDE∠=∠ ABCD AB CD ∴=45BAC ∠=︒ F ABCD CM 45DCF ∴∠=︒BAC DCF ∴∠=∠ABE ∆CDF ∆AB CD BAC DCF AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE CDF SAS ∴∆≅∆BE DF ∴=ABE CDF ∠=∠，，，即，是等腰直角三角形，，的值不随点的运动而改变，①正确；当，，三点共线时，如图2所示：，，，，四点共圆，，，，，，，，②正确；当是直角三角形时，如图3所示：是等腰直角三角形，，DE DF ∴=90ABE CBE ∠+∠=︒ 90CDF CDE ∴∠+∠=︒90EDF ∠=︒EDF∴∆EF ∴=EF ∴=∴EF BEE B EF 90ECF EDF ∠=∠=︒ E ∴C F D BFC CDE ∴∠=∠ABE ADE ∠=∠ 90ABC ADC ∠=∠=︒CDE CBE ∴∠=∠CBF CFB ∴∠=∠45FCG CBF CFB ∠=∠+∠=︒ 22.5CBF ∴∠=︒BEF ∆EDF ∆ 9045135BED ∴∠=︒+︒=︒，，③不正确；当点在线段上运动时，如图4所示：过点作于，则，最大时，与重合，即，当时，，，是的中位线，，④正确；综上所述，①②④正确；故答案为：①②④．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度．29. 如图，在平行四边形中，，，，在线段上取一点E ，使，连接，点M ，N 分别是线段上的动点，连接，则的最小值为___________．1(36013590)67.52CBE ∴∠=︒-︒-︒=︒67.5CBF ∴∠<︒E AC C CQ EF ⊥Q CQ CH …CQ ∴CQ CH CD EF ⊥CD EF ⊥//EF AD CF CE AE ==QE ∴ACD ∆112CQ DQ CD ∴=== ABCD 3AB =4BC =60ABC ∠=︒AD 1DE =BE AE BE ，MN 12MN BN +【解析】【分析】如图，作于，于，于，则四边形是矩形，，由题意可求，，，则，，由，可知当三点共线且时，最小，为，求的长，进而可求最小值，【详解】解：如图，作于，于，于，则四边形是矩形，∴，∵平行四边形中，，，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴当三点共线且时，最小，为，∵，∴，由勾股定理得，，∴，【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，含的直角三角形，等边对等角，勾股定理NF BC ^F AH BC ⊥H MG BC ⊥G AHGM MG AH =3AE AB ==120BAC ∠=︒30ABE AEB ∠=∠=︒30EBC ∠=︒12NF BN =12MN BN MN NF +=+M N F 、、MF BC ⊥12MN BN +MG AH 12MN BN +NF BC ^F AH BC ⊥H MG BC ⊥G AHGM MG AH =ABCD 3AB =4BC =1DE =60ABC ∠=︒3AE AB ==120BAC ∠=︒30ABE AEB ∠=∠=︒30EBC ∠=︒12NF BN =12MN BN MN NF +=+M N F 、、MF BC ⊥12MN BN +MG =30BAH ∠︒1322BH AB ==AH ==12MN BN +30︒等知识．明确线段和最小的情况是解题的关键．二、解答题（共25分，第6题5分，第7题4分，第8-9题，每题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．30. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的边长为，其顶点称为格点，四边形的四个顶点都在格点上，请运用课本所学知识，仅用无刻度的直尺，在给定网格中按要求作图．（1）①线段的长为 个单位长度；②在图1中求作边的中点E ；（2）在图中求作边上一点，使平分．注：保留作图痕迹，同时标出必要的点；当你感觉方法比较复杂时，可用文字简要说明作法．【答案】（1）①；②作图见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）①利用勾股定理即可求解；②取格点、，连接交于点，则点为所求；（2）取格点、，连接、相交于点，作射线交于点，则点为所求．【小问1详解】解：①，故答案为：；②如图，点为所求作图形，【小问2详解】解：如图，点为所求，87⨯1ABCD CD CD 2AB F CF BCD ∠5M N MN AC E E G H AQ DH Q CF AB FF 5CD ==5E F。
2021年北京人大附中初二(下)期中数学试卷及答案
2021北京人大附中初二（下）期中数 学一.选择题（每小题3分，共30分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（3分）已知直线//m n ，如图，下列哪条线段的长可以表示直线m 与n 之间的距离( )A ．只有AB B ．只有AEC ．AB 和CD 均可 D ．AE 和CF 均可2．（3分）如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交CD 边于E ，3AD =，5AB =，则EC 的长为( )A ．1B ．2C ．3D ．53．（3分）下列各式中，运算正确的是( )A ．2=B =C =D 9=4．（3分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )A ．1，1，2B ．2，3，4C ．4，5，6D ．125．（3分）将直线2y x =−向下平移3个单位得到的直线的表达式为( )A ．23y x =−+B ．23y x =−−C ．23y x =+D ．23y x =−6．（3分）已知，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(3,0)，点B 的坐标为(0,4)，点C 是线段AB 的中点，则线段OC 的长为( )A ．52B ．3C ．4D ．57．（3分）如图，正方形ABCD的面积为4，菱形AECF的面积为2，则EF的长是()A．1B C．2D．8．（3分）工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这样做的道理是()A．两组对边分别相等的四边形是矩形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线相等的平行四边形是矩形9．（3分）下列选项中，不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖的图形是()A．长度为B．边长为2的等边三角形C．斜边为2的直角三角形D．面积为4的菱形10．（3分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油最多可行驶的公里数．如图描述了A、B两辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．根据图中信息，下面4个推断中，合理的是()A．消耗1升汽油，A车最多可行驶5千米B．B车以40千米/小时的速度行驶1小时，最少消耗4升汽油C．对于A车而言，行驶速度越快越省油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市驾驶A车比驾驶B车更省油二.填空题（每空2分，共20分）11．（2x 的取值范围为 ．12．（2|3|0y −=，则xy = ．13．（2分）函数(0)y kx k =≠的图象上有两点11(1,)P y −，22(1,)P y ，若12y y <，写出一个符合题意的k 的值： ．14．（2分）如图，矩形ABCD 中，DE 平分BDC ∠，EF BD ⊥于点F ，若60ABD ∠=︒，AB =EF 的长为 ．15．（2分）如图，函数2y x b =+与函数1y kx =−的图象交于点P ，那么点P 的坐标为 ，关于x 的不等式12kx x b −>+的解集是 ．16．（4分）如图，ABC ∆的顶点A ，B ，C 都在边长为1的正方形网格的格点上，CD AB ⊥于点D ，则AB 的长为 ，CD 的长为 ．17．（4分）小明使用图形计算器探究函数2()ax y x b =−的图象，他输入了一组a ，b 的值，得到了如图的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的a 0，b 0．（填“>”，“ =”或“<” )18．（2分）正方形ABCD 的边长为4，点M ，N 在对角线AC 上（可与点A ，C 重合），2MN =，点P ，Q 在正方形的边上．下面四个结论中，①存在无数个四边形PMQN 是平行四边形；②存在无数个四边形PMQN 是菱形；③存在无数个四边形PMQN 是矩形；④至少存在一个四边形PMQN 是正方形．所有正确结论的序号是 ．三.解答题（本大题共50分，第19题6分，第20-24题，每题5分，第25-26题，每小题6分，第27题7分）19．（6分）计算：（1（2）+．20．（5分）已知一次函数的图象经过点(2,2)−−，(2,4)．（1）求该一次函数的解析式；x时，y的取值范围．（2）在坐标系中画出该一次函数的图象，观察图象，直接写出当021．（5分）学习完四边形的知识后，小明想出了“作三角形一边中线”的另一种尺规作图的作法，下面是具体过程．已知：ABC∆．求作：BC边上的中线AD．作法：如图，①分别以点B，C为圆心，AC，AB长为半径作弧，两弧相交于P点；②作直线AP，AP与BC交于D点，所以线段AD就是所求作的中线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接PB，PC．=，，PC AB∴四边形ABPC是平行四边形()（填推理的依据）．∴=)（填推理的依据）．DB DC(∴是BC边上的中线．AD22．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，直线1:2l y x =与直线2:3l y x =−+相交于点A ，直线2l 与x 轴交于点B ．（1）求OAB ∆的面积；（2）过动点(0,)P n 作垂直于y 轴的直线与1l ，2l 的交点分别为1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，当12||3x x −时，直接写出n 的取值范围．23．（5分）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，D 、E 分别是边BC ，AC 的中点，连接ED 并延长到点F ，使DF ED =，连接BE 、BF 、CF 、AD ．（1）求证：四边形BFCE 是菱形；（2）若4BC =，2EF =，求AD 的长．24．（5分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，小明计划给朋友快递一部分物品，经了解甲、乙两家快递公司比较合适，甲公司表示：快递物品不超过1千克的，收费12元；超过1千克，超过的部分按单价每千克2元收费． 乙公司表示：快递物品不超过1千克的，收费10元；超过1千克，超过的部分按单价每千克4元收费． 例如：小明要快递1.4千克的物品，选甲公司需付费12.8元，选乙公司需付费11.6元．设小明快递物品x 千克．（1）请分别直接写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y （元)与x （千克）之间的函数关系式；（2）如果只考虑价格，不考虑其它因素，小明选择哪家快递公司更省钱？25．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,1)A −，(1,1)B −，(,3)C m ，以点A ，B ，C 为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为1D ，2D ，3D ，如图所示．（1）若1m =−，则点1D ，2D ，3D 的坐标分别是( )，( )，( )；（2）若△123D D D 是以12D D 为底的等腰三角形，①直接写出m 的值； ②若直线12y x b =+与△123D D D 有公共点，求b 的取值范围． （3）若直线y x =与△123D D D 有公共点，求m 的取值范围．26．（6分）已知正方形ABCD ，点E ，F 分别在射线BC ，射线CD 上，BE CF =，AE 与BF 交于点H ．（1）如图1，当点E ，F 分别在线段BC ，CD 上时，求证：AE BF =，且AE BF ⊥；（2）如图2，当点E 在线段BC 延长线上时，将线段BE 沿BF 平移至FG ，连接AG ．①依题意将图2补全；②用等式表示线段AG ，FG 和AD 之间的数量关系，并证明．27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于图形M，N给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M和N的“极大距离”，记为d M N．(,)已知：正方形ABCD，其中(1,1)C−，(1,1)A−，(1,1)B−−，(1,1)D．（1）已知点(0,)P t，①若3ABCD=；t=，则d（点P，正方形)②若d（点P，正方形)3ABCD=，则t=．（2）已知点(,3)E m，(2,3)F m+，若5dABCD<，求m的取值范围．<（线段EF，正方形)（3）一次函数3ABCD的最小=+的图象与x轴交于点G，与y轴交于点H，求d（线段GH，正方形)y kx值，并直接写出此时k的取值范围．2021北京人大附中初二（下）期中数学参考答案一.选择题（每小题3分，共30分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
2021北京北大附中初二(下)期中数学含答案
2021北京北大附中初二（下）期中数学一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列二次根式中，最简二次根式是（）A.B.C.D.2.菱形面积为12c m2，一条对角线是6c m，那么菱形的另一条对角线长为（）A.3c mB.4c mC.5c mD.6c m3.中，点分别是的边，的中点，连接，若，则（）A.B.C.D.4.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A.B.C.D.5.如图，矩形A B C D中，对角线A C，B D交于点O．若∠A O B=60°，B D=8，则A D的长为（）．A.4B.5C.3D.6.如果，则a的取值范围是（）A.B.C.D.7.在某时段由50辆车通过一个雷达测速点，工作人员将测得的车速绘制成如图所示的条形统计图，则这50辆车的车速的众数（单位：k m/h）为（）A.60B.50C.40D.158.将一张平行四边形纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积．则这样的折纸方法共有（）A.1种B.2种C.4种D.无数种9.如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是().A.甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定B.乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好C.丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高D.就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳10.一只小猫在距墙面4米，距地面2米的架子上，紧紧盯住了斜靠墙的梯子中点处的一只老鼠，聪明的小猫准备在梯了下滑时，在与老鼠距离最小时捕食．如图所示，把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，猫所处位置为点D，梯子视为线段M N，老鼠抽象为点E，已知梯子长为4米，在梯子滑动过程中，猫与老鼠的距离D E的最小值为（）A.B.﹣2C.2D.4二、填空题（每小题2分，共20分）11.若有意义，则x的取值范围是__________．12.在实数范围内分解因式a2﹣6＝_____．13.命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是_____________________．14.如图，在中，，D是A B的中点，若，则的度数为________．15.当x＝___时，代数式+1取最小值为___．16.平行四边形的一个内角平分线将对边分成3c m和5c m两个部分，则该平行四边形的周长是__c m.17.如果四边形A B C D中∠A、∠B、∠C、∠D的大小之比是2：3：2：3，那么四边形A B C D是平行四边形，判定的依据是____．18.北大附中实验学校科技节作品得分包括三部分，专家评委给出的专业得分，宣传展示得分以及通过同学们投票得到的支持得分．已知某个作品各项得分如表所示（各项得分均按百分制计）：按专业得分占50%、展示得分占40%、支持得分占10%，计算该作品的综合成绩（百分制），则该作品的最后得分是______．项目专业得分展示得分支持得分成绩（分）96989619.如图所示，菱形A B C D，在边A B上有一动点E，过菱形对角线交点O作射线E O与C D边交于点F，线段E F的垂直平分线分别交B C、A D边于点G、H，得到四边形E G F H，点E在运动过程中，有如下结论：①可以得到无数个平行四边形E G F H；②可以得到无数个矩形E G F H；③可以得到无数个菱形E G F H；④至少得到一个正方形E G F H．所有正确结论的序号是__．20.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，A、B、C、D均落在格点上．（1）S△B D C：S△B A C＝_____；（2）点P为B D的中点，过点P作直线l∥B C，过点B作B M⊥l于点M，过点C作C N⊥l于点N，则矩形B C N M的面积为_____．三、解答题（第21-23题每题5分，第24、25题每题6分，第26题7分，第27、28题每题8分，共50分）21.计算：．22.已知x＝﹣1，求代数式x2+2x﹣6的值．23.下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程，已知：求作：矩形作法：如图，①作线段的垂直平分线角交于点；②连接并延长，在延长线上截取③连接所以四边形即为所求作的矩形根据小东设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，补全图形：（保留作图痕迹）（2）完成下边的证明：证明：，，四边形是平行四边形（）（填推理依据）四边形是矩形（）（填推理的依据）24.如图，在平行四边形A B C D中，D E，B F分别是∠A D C，∠A B C的角平分线．求证：四边形D E B F是平行四边形．25.我校小李同学对北大附中初中三个年级的学生年龄构成很感兴趣，整理数据并绘制如图所示不完整的统计图．依据信息解答下列问题．（1）求样本容量；（2）直接写出样本数据的众数、中位数和平均数；（3）已知北大附中实验学校一共有1920名学生，请估计全校年龄在14岁及以上的学生大约有多少人．26.如图，在中，于点E点，延长B C至F点使，连接A F，D E，D F.（1）求证：四边形A E F D是矩形；（2）若，，，求A E长.27.已知在菱形A B C D中，点P在C D上，连接A P．（1）在B C上取点Q，使得∠P A Q＝∠B，①如图1，当A P⊥C D于点P时，线段A P与A Q之间的数量关系是．②如图2，当A P与C D不垂直时，判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明，若不成立，则需说明理由．（2）在C D的延长线取点N，使得∠P A N＝∠B，①根据描述在图3中补全图形．②若A B＝4，∠B＝60°，∠A N C＝45°，求此时线段D N的长．28.对于平面内的图形G1和图形G2，A为图形G1上一点，B为图形G2上一点，如果线段A B的长度有最小值，称图形G1和图形G2存在“最短距离”，此时线段A B的长度记为m（G1，G2）；如果线段A B的长度有最大值，称图形G1和图形G2存在“最长距离”，此时线段A B的长度记为M（G1，G2）．例如：线段E F两端点坐标为E（1，3），F（3，1），线段K H两端点坐标为K（3，3），H（3，5），根据“最短距离”和“最长距离”的公式可得m（G1，G2）＝，M（G1，G2）＝4．在平面直角坐标系x O y中，已知点A（1，1），B（3，1），C（4，2），D（2，2）．（1）线段A D和线段B C是否存在“最短距离”和“最长距离”？如果存在，请直接写出m（A D，B C）和M（A D，B C）；如果不存在，请说明理由．（2）已知点P（0，t），若过点P且平行于A D的直线l与四边形A B C D没有公共点，且m（l，A D）、m（l，B C）、m（l，A BC D）三者中的最小值不超过最大值的，求t的取值范围．（3）已知四边形Q R S T，其中Q（4，5），R（5，4），S（6，5），T（5，6）．现将四边形A B C D绕点O 旋转，旋转后的图形记为A′B'C′D′，记m*表示m（A'B′C′D′，Q R S T）的最小值，M*表示M（A′B'C′D′，Q R S T）的最大值，直接写出M*+m*的值．2021北京北大附中初二（下）期中数学参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1.【答案】A【解析】【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，结合选项求解即可．【详解】解：A.的被开方数3a不含有能开得尽方的数或因式，因此是最简二次根式，所以选项A 符合题意；B.，被开方数12中含有能开得尽方的因式4，因此选项B不符合题意；C.，被开方数中含有分母，因此选项C不符合题意；D.，被开方数的分母含有二次根式，因此选项D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，解答本题的关键在于掌握最简二次根式的概念，对各选项进行判断．2.【答案】B【解析】【分析】根据菱形面积公式即菱形对角线乘积的一半，即可求出另一对角线的长．【详解】解：设另一条对角线长为x c m，则×6•x＝12，解得x＝4．故选：B．【点睛】本题考查菱形的面积，掌握菱形面积公式，即对角线乘积的一半是解题关键．3.【答案】B【解析】【分析】根据点分别是的边，的中点，得到D E是的中位线，根据中位线的性质解答.【详解】如图，∵点分别是的边，的中点，∴D E是的中位线，∴D E∥B C，∴，故选：B.【点睛】此题考查三角形中位线的判定及性质，平行线的性质，熟记三角形的中位线的判定定理是解题的关键.4.【答案】D【解析】【分析】利用两个以a和b为直角边三角形面积+一个直角边为c的等腰直角三角形面积和=上底为a,下第为b,高为（a+b）的梯形面积推导勾股定理可判断A，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为c的小正方形面积和=以a+b的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为（b-a）的小正方形面积和=以c为边正方形面积推导勾股定理可判断C，利用四个小图形面积和=大正方形面积推导完全平方公式可判断D．【详解】解：A、∵两个以a和b为直角边三角形面积+一个直角边为c的等腰直角三角形面积和=上底为a,下第为b,高为（a+b）的梯形面积，∴a b+c2+a b＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为c的小正方形面积和=以a+b的和为边正方形面积，∴4×a b+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、∵以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为（b-a）的小正方形面积和=以c为边正方形面积，∴4×a b+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、∵四个小图形面积和=大正方形面积，∴a b+b2+a2+a b=（a+b）2，∴a2+2a b+b2=（a+b）2，根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完全平方公式是解题关键．5.【答案】D【解析】【分析】先由矩形的性质得出O A=O B，再证明△A O B是等边三角形，得出A B=O B=4，再利用勾股定理求解即可．【详解】∵四边形A B C D是矩形，∴O A=A C，O B=B D=4，A C=B D，∴O A=O B，∵∠A O B=60°，∴△A O B是等边三角形，∴A B=O B=4；在R t△B D A中，，A D=故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理的应用；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．6.【答案】B【解析】【详解】试题分析：根据二次根式的性质1可知：，即故答案为B..考点：二次根式的性质.7.【答案】C【解析】【详解】解：车速为40k m/h的车辆数最多，这50辆车的车速的众数为40k m/h，故选C.【点睛】本题考查了众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数可以不止一个.8.【答案】D【解析】【详解】分析：根据平行四边形的中心对称性，可知这样的折纸方法有无数种．解答：解：因为平行四边形是中心对称图形，任意一条过平行四边形对角线交点的直线都平分四边形的面积，则这样的折纸方法共有无数种．故选D．9.【答案】D【解析】【分析】折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．【详解】解：A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定，正确；B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好，正确；C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高，正确D．就甲、乙、丙三个人而言，丙的数学成绩最不稳，故D错误．故选D．【点睛】本题是折线统计图，要通过坐标轴以及图例等读懂本图，根据图中所示的数量解决问题．10.【答案】B【解析】【分析】如图，连接B E，B D．先利用勾股定理求出B D，根据点E为M N中点，可得B E＝2（米），梯子在下滑过程中，点E在以B为圆心，2米为半径的弧上运动，当点E落在线段B D上时，D E的值最小．【详解】如图，连接B E，B D．由题意B D＝（米），∵∠M B N＝90°，M N＝4米，点E为M N中点，∴B E为直角三角形斜边中线，∴B E＝M N＝2（米），∴梯子在下滑过程中，点E在以B为圆心，2米为半径的弧上运动，∴当点E落在线段B D上时，D E的值最小，∴D E的最小值为（﹣2）米．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理，线段中点运动轨迹，直角三角形斜边中线性质，关键是利用圆与B D相交点位置确定最小值是解题关键．二、填空题（每小题2分，共20分）11.【答案】x≥８【解析】【详解】略12.【答案】（a+）（a﹣）【解析】【分析】根据平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：a2﹣6＝（a+）（a﹣）．故答案为：（a+）（a﹣）．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．13.【答案】如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形.【解析】【详解】试题分析：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.因此，“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是“如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形”.考点：逆命题.14.【答案】52【解析】【分析】根据直角三角形的性质得A D=C D，由等腰三角形性质结合三角形外角性质可得答案.【详解】∵∠A C B=90°，D是A B上的中点，∴C D=A D=B D，∴∠D C A=∠A=26°，∴∠B D C=2∠A=52°.故答案为52.【点睛】此题考查了直角三角的性质及三角形的外角性质，掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质是解题的关键.15.【答案】①.2②.1【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，可求出x的物质范围，根据二次根式的性质求解即可．【详解】解：∵x-2≥0，解得x≥2，当x≥2时，≥0，∴+1≥1，∴x=2，代数式+1取最小值1，故答案为：2，1．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，关键是明确二次根式的被开方数越大，值越大．16.【答案】22或26【解析】【详解】由四边形A B C D为平行四边形可得A D∥B C，根据平行线的性质可得∠D A E=∠A E B，再由A E为角平分线可得∠D A E=∠B A E，所以∠A E B=∠B A E，即可判定A B=B E，分两种情况：①当B E=3时，C E=5，A B=3，则周长为22；②当B E=5时，C E=3，A B=5，则周长为26．点睛：本题考查了平行四边形的性质，结合了等腰三角形的判定．注意有两种情况，要进行分类讨论．17.【答案】两组对角分别相等的四边形是平行四边形．【解析】【分析】先根据四边形内角和求出每个内角，可得∠A=∠C、∠B=∠D，根据平行四边形的判定定理即可的结论．【详解】解：∵四边形A B C D中∠A、∠B、∠C、∠D的大小之比是2：3：2：3，设∠A=2x°、∠B=3x°、∠C=2x°、∠D=3x°，∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴2x°+3x°+2x°+3x°=360°，∴x=36，∴∠A=72°、∠B=108°、∠C=72°、∠D=108°，∴∠A=∠C、∠B=∠D，∴四边形A B C D为平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形，）故答案为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．【点睛】本题考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题关键．18.【答案】96.8分．【解析】【分析】利用加权平均数求即可．【详解】解：根据题意，该作品的最后得分是96×50%+98×40%+96×10%＝96.8（分），故答案为：96.8分．【点睛】本题考查加权平均数问题，掌握加权平均数计算方法是解题关键．19.【答案】①③④【解析】【分析】由“A A S”可证△A O E≌△C O F，△A H O≌△C G O，可得O E=O F，H O=G O，可证四边形E G F H是平行四边形，由E F⊥G H，可得四边形E G F H是菱形，可判断①③正确，若四边形A B C D是正方形，由“A S A”可证△B O G≌△C O F，可得O G=O F，可证四边形E G F H是正方形，可判断④正确，即可求解．【详解】解：如图，∵四边形A B C D是菱形，∴A O＝C O，A D∥B C，A B∥C D，∴∠B A O＝∠D C O，∠A E O＝∠C F O，∴△A O E≌△C O F（A A S），∴O E＝O F，∵线段E F的垂直平分线分别交B C、A D边于点G、H，∴G H过点O，G H⊥E F，∵A D∥B C，∴∠D A O＝∠B C O，∠A H O＝∠C G O，∴△A H O≌△C G O（A A S），∴H O＝G O，∴四边形E G F H是平行四边形，∵E F⊥G H，∴四边形E G F H是菱形，∵点E是A B上的一个动点，∴随着点E的移动可以得到无数个平行四边形E G F H，随着点E的移动可以得到无数个菱形E G F H，故①③正确；若四边形A B C D是正方形，∴∠B O C＝90°，∠G B O＝∠F C O＝45°，O B＝O C；∵E F⊥G H，∴∠G O F＝90°；∠B O G+∠B O F＝∠C O F+∠B O F＝90°，∴∠B O G＝∠C O F；在△B O G和△C O F中，∵，∴△B O G≌△C O F（A S A）；∴O G＝O F，同理可得：E O＝O H，∴G H＝E F；∴四边形E G F H是正方形，∵点E是A B上的一个动点，∴至少得到一个正方形E G F H，故④正确，故答案为：①③④．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是关键．20.【答案】①.5：1；②.【解析】【分析】（1）由题意得：A C＝1，A D＝6，C D＝5，由三角形面积公式得出S△A B D：S△B A C＝6：1，得出S△B D C：S△B A C＝5：1即可；（2）证出，由勾股定理求出，证明△C N E∽△B A C，得出，解得：，由矩形面积公式即可得出矩形B C N M的面积.【详解】（1）由题意得：A C＝1，A D＝6，C D＝5，∴S△A B D：S△B A C＝6：1，∴S△B D C：S△B A C＝5：1；故答案为5：1；（2）如图所示：∵点P为B D的中点，直线l∥B C，∴P E是△B C D的中位线，，∵四边形B C N M是矩形，∴∠B C N＝∠C N E＝90°，∴∠A C B+∠E C N＝90°，∵∠B A C＝90°，∴∠A C B+∠A B C＝90°，B C＝，∴∠E C N＝∠A B C，∴△C N E∽△B A C，∴，即，解得：，∴矩形B C N M的面积＝；故答案为．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积公式、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．三、解答题（第21-23题每题5分，第24、25题每题6分，第26题7分，第27、28题每题8分，共50分）21.【答案】【解析】【分析】根据0指数次幂、负整数指数次幂、绝对值的规律化简，再合并同类二次根式即可.【详解】解：原式考点：实数的运算点评：实数的运算是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.22.【答案】﹣2．【解析】分析】先将代数式配方变形，然后将x计算即可．【详解】解：x2+2x﹣6＝（x+1）2﹣7，当x＝﹣1时，原式＝（﹣1+1）2-7，＝5﹣7，＝﹣2．【点睛】本题考查代数式求值，掌握先将代数式配方，再代入求值使问题简化，利用二次根式性质计算是解题关键．23.【答案】（1）见解析；（2）O C，对角线互相平分的四边形是平行四边形；一角为直角的平行四边形是矩形.【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）根据对角线互相平分得到四边形A B C D是平行四边形，因为∠A B C=90°，且四边形A B C D是平行四边形，则可判定四边形A B C D矩形．【详解】解：（1）如图，矩形A B C D即为所求．（2）∵O A=O C，O D=O B，∴四边形A B C D是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），∵∠A B C=90°，四边形A B C D是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）故答案为O C，对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．【点睛】本题考查作图-复杂作图、平行四边形的判定、矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握尺规作图、平行四边形的判定、矩形的判定．24.【答案】见解析．【解析】【分析】根据题意利用平行四边形的性质求出∠A B F＝∠A E D，即D E∥B F，即可解答【详解】∵四边形A B C D是平行四边形，∴∠A D C＝∠A B C．又∵D E，B F分别是∠A D C，∠A B C的平分线，∴∠A B F＝∠C D E．又∵∠C D E＝∠A E D，∴∠A B F＝∠A E D，∴D E∥B F，∵D E∥B F，D F∥B E，∴四边形D E B F是平行四边形.【点睛】此题考查平行四边形的性质和判定，利用好角平分线的性质是解题关键25.【答案】（1）样本容量是80；（2）众数是13岁；中位数是14（岁），平均数是13.7（岁）；（3）全校年龄在14岁及以上的学生大约有984人．【解析】【分析】（1）由条形统计图得15岁的人数16÷扇形统计图15岁占20%计算即可；（2）求出14岁的人数25（人），根据众数定义重复次数最多的学生岁数13岁，根据中位数定义把这些数从小大排列，中位数第，41两个位置上数据的平均数14岁，根据加权平均数求即可；（3）用样本中14岁以上的学生占样本的百分比为×北大附中实验学校1920名学生即可．【详解】解：（1）根据条形统计图，15岁的人数是16，由扇形统计图知15岁占20%，∴样本容量是：16÷20%＝80；（2）14岁的人数有：80﹣4﹣35﹣16＝25（人），∵13岁的有35人，人数最多，∴众数是13岁；把这些数从小大排列，中位数位于40，41两个位置上数据的平均数，第40与41位置上的数据14岁，14岁，则中位数是（岁），平均数是：（岁）．（3）样本中14岁以上的学生有：25+16=41人，占样本的百分比为，∴北大附中实验学校1920名学生，在14岁及以上的学生大约有1920×＝984（人），答：全校年龄在14岁及以上的学生大约有984人．【点睛】本题考查样本的容量，众数，中位数，平均数，用样本的百分比含量估计总体中的数量，熟练掌握上述知识是解题关键．26.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）先证明四边形A E F D是平行四边形，再证明∠A E F=90°即可．（2）证明△A B F是直角三角形，由三角形的面积即可得出A E的长．试题解析：（1）证明：∵C F=B E，∴C F+E C=B E+E C．即 E F=B C．∵在▱A B C D中，A D∥B C且A D=B C，∴A D∥E F且A D=E F．∴四边形A E F D是平行四边形．∵A E⊥B C，∴∠A E F=90°．∴四边形A E F D是矩形；（2）∵四边形A E F D是矩形，D E=8，∴A F=D E=8．∵A B=6，B F=10，∴A B2+A F2=62+82=100=B F2．∴∠B A F=90°．∵A E⊥B F，∴△A B F的面积=A B•A F=B F•A E．∴A E=．27.【答案】（1）①A P＝A Q；②①中的结论仍然成立，证明见解析；（2）①补全图形见解析；②D N＝2﹣2．【解析】【分析】（1）①A P＝A Q．根据四边形A B C D是菱形，可得B C＝C D，A B∥C D，由∠P A Q＝∠B，可得∠P A Q+∠Q C D＝180°，可证A Q⊥B C，利用面积桥可证A P＝A Q；②①中的结论仍然成立．过点A作A M⊥B C于M，A N⊥C D于N．由四边形A B C D是菱形，A M⊥B C，A N⊥C D，可证A M＝A N，∠A M Q＝∠A N P＝90°，A B∥C D，证明△A M Q≌△A N P（A A S）；（2）①补全图形如下：②如图3，过点A作A H⊥C D于点H，可证A H＝H N，由四边形A B C D是菱形，∠B＝60°，可求∠D A H=30°，由30度直角三角形性质D H＝A D＝2，利用勾股定理A H＝2．【详解】（1）①A P＝A Q．∵四边形A B C D是菱形，∴B C＝C D，A B∥C D，∴∠B+∠Q C D＝180°，∵∠P A Q＝∠B，∴∠P A Q+∠Q C D＝180°，∴∠A P C+∠A Q C＝180°，∵A P⊥C D，∴∠A P C＝90°，∴∠A Q C＝90°，∴A Q⊥B C，∵S菱形A B C D＝B C•A Q＝C D•A P，∴A P＝A Q；故答案为：A P＝A Q；②①中的结论仍然成立．证明：如图2中，过点A作A M⊥B C于M，A N⊥C D于N．∵四边形A B C D是菱形，A M⊥B C，A N⊥C D，∴S菱形A B C D＝B C•A M＝C D•A N，∵B C＝C D，∴A M＝A N，∠A M Q＝∠A N P＝90°，A B∥C D，∴∠B+∠C＝180°，∵∠P A Q＝∠B，∴∠P A Q+∠C＝180°，∴∠A Q C+∠A P C＝180°，∵∠A Q M+∠A Q C＝180°，∴∠A Q M＝∠A P N，在△A M Q和△A N P中，∴△A M Q≌△A N P（A A S），∴A P＝A Q．（2）①，作∠P A N=∠B，角的另一边交C D延长于N，补全图形如下：②如图3，过点A作A H⊥C D于点H，∵∠A N C＝45°，∴∠N A H＝45°，∴A H＝H N，∵四边形A B C D是菱形，∠B＝60°，∴∠A D C＝60°，A B＝A D＝4，∴∠D A H=90°-∠A D H=90°-60°=30°，∴D H＝A D＝2，∴A H＝=D H＝2，∴H N＝2，∴D N＝H N﹣D H＝2﹣2．【点睛】本题考查菱形性质，三角形全等判定与性质，等腰直角三角形，30°直角三角形性质，勾股定理，掌握菱形性质，三角形全等判定与性质，等腰直角三角形，30°直角三角形性质，勾股定理是解题关键．28.【答案】（1）存在，m（A D，B C）＝，M（A D，B C）＝；（2）0＜t≤2或﹣4≤t＜﹣2；（3）M*+m*＝+．．【解析】【分析】（1）连结A B并延长A B到G，过D，C作D E⊥A G，C F⊥A G，分别交于E、F，先证A B∥x轴，再证△A D E为等腰直角三角形，可得∠D A E=45°，再证△C B F为等腰直角三角形，可得∠C B G=45°，可得A D∥B C，利用勾股定理逆定理可证B D⊥A D，可求m（A D，B C）＝，M（A D，B C）＝；（2）由过P的直线l平行于A D，且与▱A B C D无交点，可证l∥B C，当l在A D左侧时：m（l，B C）＝m（l，A D）+m（A D，B C），由m（l，A BC D）＝m（l，A D），可得m（A D，B C）＝，由m（l，B C）＝2m（l，A D），可得m（l，A D）＝，求出A D解析式为，可求过P与A D平行的直线为+,可证△O A P为等腰直角三角形，利用勾股定理O P=t=，可得0＜t≤2，当l在B C右侧时，用相同方法求B C解析式为，证明△O K N为等腰直角三角形再证△K L P为等腰直角三角形，利用勾股定理P K，可求t ＝﹣4，可得﹣4≤t＜﹣2；（3）先求M（O，A B C D）＝，M（O，Q R S T），取Q R中点W（），再求m（O，Q R S T）＝|O W|=，可求M*＝+，m*＝﹣即可．【详解】解：（1）连结A B并延长A B到G，过D，C作D E⊥A G，C F⊥A G，分别交于E、F，∵A（1，1），B（3，1），两点纵坐标相同，∴A B∥x轴，∵点A（1，1），B（3，1），C（4，2），D（2，2）．∴E（2，1），F（4，1），∴A E=2-1=1，D E=2-1=1，A E=D E，D E⊥A E，∴△A D E为等腰直角三角形，∴∠D A E=45°，∵B F=4-3=1，C F=2-1=1，C F=B F，C F⊥B F，∴△C B F为等腰直角三角形，∴∠C B G=45°，∴∠D A E=∠C B G=45°，∴A D∥B C，又∵E B=3-2=1=A E=D E，∴A D2+B D2=，∴B D⊥A D∴A D、B C间最短距离为B D，即m（A D，B C）＝，∴A D、B C间最长为A C，即M（A D，B C）＝；（2）∵过P的直线l平行于A D，且与▱A B C D无交点，∴l∥B C，∴当l在A D左侧时：m（l，B C）＝m（l，A D）+m（A D，B C），m（l，A B C D）＝m（l，A D），由（1）知，m（A D，B C）＝，若m（l，B C）＝2m（l，A D），则m（l，A D）＝，设A D解析式为解得A D解析式为过P与A D平行的直线为+,∵O A==m（l，A D），过A作P A⊥A D，交y轴于P，∴O P=t=，∵直线l在O、P之间运动∴0＜t≤2，∴当0＜t≤2时，m（l，A D）、m（l，B C）、m（l，A B C D）三者中的最小值不超过最大值的，当l在B C右侧时，m（l，A D）＝m（l，B C）+m（A D，B C），m（l，A B C D）＝m（l，B C），由（1）知，m（A D，B C）＝，若m（l，A D）＝2m（l，B C），则m（l，B C）＝，设B C的解析式为为解得B C解析式为直线B C与y轴交点为K（0，-2），与x轴交点N（2，0）∴O K=O N=2，∴∠O K N=45°，过K作K L⊥l于L，则K L=，∵∠P K L=180°-∠O K N-∠N K L=45°∴△K L P为等腰直角三角形，∴P L=K L=，在R t△K L P中P K=，∴-2-t=2∴t＝﹣4，∵直线l在B C下方到t=-4之间运动，∴﹣4≤t＜﹣2，当﹣4≤t＜﹣2时，m（l，A D）、m（l，B C）、m（l，A B C D）三者中最小值不超过最大值的，∴不超过最大值时：0＜t≤2或﹣4≤t＜﹣2；（3）由题意知，M（O，A B C D）＝|O C|＝，M（O，Q R S T）=|O S|＝，取Q R的中点W（），m（O，Q R S T）＝|O W|=，∴M*＝+，m*＝﹣，∴M*+m*＝+．【点睛】本题考查新定义距离问题，等腰直角三角形的判定与性质，直线平行判定，勾股定理定理与逆定理，两点间距离，直线解析式，截距范围，利用辅助线画出准确图形是解题关键．。
人大附中八下期中数学试卷
人大附中八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共36分，每小题3分）1．（3分）下列式子：，，，，，其中是分式的有（）：分式的定义．分析：根据分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，可选出答案．解答：解：，，是分式，故选：C．点评：此题主要考查了分式的概念，关键是把握分母上有字母．（3分）下列四个式子中，正确的是（）．B．C．D．分析：根据分式的基本性质逐项进行判断，选择正确答案．解答：解：A、，故本选项错误；B、，故本选项错误；C、，故本选项错误；D、，故本选项正确．故选；D．点评：此题考查了分式的基本性质，对分式的化简，正确理解分式的基本性质是关键．．．D．（﹣3）﹣2=9分析：根据负整数指数幂的法则进行计算．解答：解：（﹣3）﹣2==，故D错误．故选D．点评：本题主要考查了负整数指数幂的运算，属于基础题型．5．（3分）（2005•泸州）已知一个矩形的面积为24cm2，其长为ycm，宽为xcm，则y与x 之间的函数关系的图象大致是（）．B．C．D．6．（3分）如图，正比例函数y=kx与反比例函数的图象相交于A、B两点，AC⊥y轴，垂足为C，若△ABC的面积为4，则此反比例函数解析式为（）A．B．C．D．：反比例函数系数k的几何意义．分析：首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O 为线段AB的中点，故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于2，然后由反比例函数y=的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于|k|，从而求出k的值，即得到这个反比例函数的解析式．解答：解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∴OA=OB，∴△BOC的面积=△AOC的面积=4÷2=2，又∵A是反比例函数y=图象上的点，且AC⊥y轴于点C，∴△AOC的面积=|k|，∴|k|=2，∵k＞0，∴k=4．故这个反比例函数的解析式为．故选A．点评：本题主要考查了三角形一边上的中线将三角形的面积二等分及反比例函数的比例系数k的几何意义：反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|．7．（3分）（2003•河北）赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完，当他读了一半时，发现平时每天要多读21页才能在借期内读完．他读了前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则下列方程中，正确的是（）．=14 B．=14 C．=1D．=14的时间=14．解答：解：读前一半用的时间为：，读后一半用的时间为：．方程应该表示为：．故选D．点评：本题主要考查的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率．8．（3分）在同一直角坐标系中，函数y=k（x+1）与的图象大致可能为（）．B．C．D．的象限，再做出选择即可．解答：解：∵y=k（x+1）可转化为y=kx+k，当k＞0时，y=kx+k的图象过一、二、三象限；的图象过一、三象限；当k＜0时，y=kx+k的图象过二、三、四象限；的图象过二、四象限；可见，符合条件的只有C．故选C．点评：本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数的性质是解题的关键．9．（3分）下列命题中，正确的有（）①两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．②有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形．③直角三角形中，中位线的长必等于斜边上的中线的长．④三个角都相等的四边形是矩形．⑤对角线互相垂直平分的四边形是正方形．10．（3分）如图，平行四边形ABCD中，平行于边的两条线段EF，CH把平行四边形ABCD 分成四部分，分别记这四部分的面积为S1，S2，S3和S4，则下列等式一定成立的是（）11．（3分）如图，正方形ABCD中，AE=BF，下列说法中，正确的有（）①AF=DE；②AF⊥DE；③AO=OF；④S△AOD=S四边形BEOF．12．（3分）如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB、AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB、AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形ABC a O a的面积为（）．B．C．D．：规律型．分析：以AB为底边，平行四边形ABC1O1的高是矩形ABCD的高的，以此类推每一次作的平行四边形的高是上一次平行四边形的高的，所以所作平行四边形的面积等于上一次所作平行四边形的面积的，所以ABC a O a的面积为5×．解答：解：根据矩形的对角线相等且互相平分，平行四边形ABC1O1底边AB上的高为BC，平行四边形ABC2O2底边AB山的高为×BC=×BC，所以平行四边形ABC n O n底边AB上的高为×BC，∵S矩形ABCD=AB•BC=5，∴S平行四边形ABCaOa=AB•×BC=5×．故选C．点评：本题利用矩形对角线相等且互相平分的性质，探索并发现规律是解题的关键．二、填空题：（本题共30分，每空3分）13．（3分）当x=2时，分式的值为零．14．（3分）如图，四边形ABCD中，AB=15，BC=12，CD=16，DA=25，且∠C=90°，则四边形ABCD的面积是246．三角形，则四边形ABCD的面积=直角△BCD的面积+直角△ABD的面积．解答：解：连接BD．∵∠C=90°，BC=12，CD=16，∴BD==20；在△ABD中，∵BD=20，AB=15，DA=25，152+202=252，即AB2+BD2=AD2，∴△ABD是直角三角形．∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=AB•BD+BC•CD=×15×20+×12×16=150+96=246．故答案为246．点评：本题考查勾股定理及其逆定理的应用．解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三15．（3分）在反比例函数的图象上有两点（x1，y1），（x2，y2），若x1＜0＜x2而y1＞y2，则k的取值范围是k＜﹣3．象限，然后推知k+3的符号，从而求得k的取值范围．解答：解：∵反比例函数的图象上有两点（x1，y1），（x2，y2），若x1＜0＜x2而y1＞y2，∴该反比例函数的图象是y随x的增大而减小，16．（3分）若一次函数y=ax+b与反比例函数的图象如图所示，则不等式的解集为x＞2和﹣1＜x＜0．：数形结合．分析：求不等式的解集，事实上是求一次函数y=ax+b与反比例函数的图象与不等式的关系，由图可直接解答．解答：解：由图可知，当x＞2和﹣1＜x＜0时，，故答案为x＞2和﹣1＜x＜0．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，重点考查数形结合在解题中的应用．17．（6分）如图，在直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，M、N分别为BD、AC 的中点，AB=4，AD=2，∠ABC=60°，则CD的长为2，MN的长为1．∴AE=CD，在Rt△AEB中，AB=4，∠ABC=60°，∴sin∠ABE==，∴AE=2，∴CD=2，∴BE=2，∵M、N分别为BD、AC的中点，∴F点也是AB的中点，∴FN是三角形ABC的中位线，∴FN=BC=（BE+EC）=（2+2）=2，∵MF是三角形ABD的中位线，∴FM=AD=1，∴MN=FN﹣FM=1．故答案为2、1．点评：本题主要考查直角梯形和三角形中位线定理的知识点，解答本题的关键是熟练掌握正18．（3分）如图，△ABC中，BC=18，若BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，F、G分别为BC、DE的中点，若ED=10，则FG的长为2．长度．解答：解：连接EF，DF，∵BD、CE是△ABC的高，F是BC的中点，∴在Rt△CEB中，EF=，在Rt△BDC中，FD=，∴FE=FD=9，即△EFD为等腰三角形，又∵G是ED的中点，∴FG是等腰三角形EFD的中线，EG=DG=5，∴FG⊥DE（等腰三角形边上的三线合一），在Rt△GDF中，FG===2．故答案为：2．点评：此题主要考查了直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半，求得△EFD为等19．（3分）若x+y=﹣4，xy=﹣3，则式子的值为．分析：先通分计算两个分式的和，再把x+y、xy的值代入通分后的式子，进行计算即可．解答：解：原式==，当x+y=﹣4，xy=﹣3时，原式==，故答案是．点评：本题考查了分式的化简求值，解题的关键是注意通分和整体代入．20．（3分）如图，C为线段AB上一点，正方形ADEF和正方形BCDG的面积分别为10cm2和5cm2，则△EDG的面积为 2.5cm2．两三角形面积相等即将△EDG的面积转化为△ACD的面积即可．解答：解：连接CE，AE，∵正方形ADEF和正方形BCDG的面积分别为10cm2和5cm2，∴AD=，CD=，∴AC==，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠DAC=∠ADC=45°，∴∠EDC=∠EDG=135°，∵DG=DC，DE=DE，∴△EDC≌△EDG，∵∠EAD=45°，∴∠EAC=90°，∴AE∥CD∴S△EDC=S△ACD，∴S△EDG=S△ACD，∵S△ACD=××=cm2，∴S△EDG==2.5cm2．故答案为2.5．点评：本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理的运用，题目21．（3分）如图，边长为6的菱形ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别为BD、BC边上的动点，则CE+EF的最小值为3．值即为EF+CE的最小值．解答：解：连接AF，∵菱形中相对的两个顶点A与C关于对角线BD对称，∴AF的长即为EF+CE的最小值，∵垂线段最短，∴当AF⊥BC时，AF的长最小，∵∠ABC=60°，边长为6，∴AF=AB•cos∠ABC=6×=3，∴EF+CE 的最小值为3．故答案为：3．点评：本题考查了菱形的性质及对称点的性质，解题的关键是结合菱形的性质得到菱形的相三、解答下列各题：（本题共24分）22．（6分）计算：（1）（2）．（2）先分解因式，再约分即可．解答：解：（1）原式=﹣===；（2）原式=••=﹣．点评：本题主要考查对分式的加减、乘除的理解和掌握，能熟练地根据分式的加减、乘除法23．（8分）解下列分式方程：（1）（2）．项，合并同类项，把x的系数化为1，进行计算即可，注意不要忘记检验．解答：解：（1）去分母得：2x（2x+5）﹣2（2x﹣5）=（2x+5）（2x﹣5），去括号得：4x2+10x﹣4x+10=4x2﹣25，移项得：4x2+10x﹣4x﹣4x2=﹣25﹣10，合并同类项得：6x=﹣35，把x的系数化为1得：x=﹣，检验：把x=﹣代入最简公分母（2x+5）（2x﹣5）≠0，∴原分式方程的解为：x=﹣．（2）去分母得：5x+2+3x•x=3x•（x+1），去括号得：5x+2+3x2=3x2+3x，移项得：5x+3x2﹣3x2﹣3x=﹣2，合并同类项得：2x=﹣2把x的系数化为1得：x=﹣1，检验：把x=﹣1代入最简公分母x（x+1）=0，∴原分式方程无解．点评：此题主要考查了解分式方程，关键是在解出未知数的值后，不要忘记检验，很多同学24．（5分）先化简，再求值：，其中x=5．把x=5代入进行计算即可．解答：解：原式=×﹣=﹣=，当x=5时，原式==．点评：本题考查的是分式的化简求值，解答此题的关键是熟知分式的混合运算需特别注意运25．（5分）如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两个点且DF=BE，试猜想AE与CF有何数量关系及位置关系并加以证明．猜想：证明：结合DF=BE可证明△ADE≌△CBF，根据全等三角形的性质可得出结论．解答：解：猜想AE=CF．AE∥CF，证明：∵DF=BE，∴DF﹣EF=BE﹣EF，即DE=BF，又∵ABCD是平行四边形，∴AD=CB，∠ADE=∠CBF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF．∴AE=CF，∠AED=∠CFB，∴∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF．点评：本题考查平行四边形的性质及全等三角形的判定及性质，根据平行四边形的性质得出四、解答下列各题：（本题共17分）26．（5分）已知反比例函数与一次函数的图象交于点M（﹣1，m），，求这两个函数的解析式．：数形结合．分析：设反比例函数解析式为y=，将代入反比例函数解析式即可求出k的值，从而得到反比例函数解析式；再将M（﹣1，m）代入反比例函数解析式，求出m的值，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可．解答：解：设反比例函数解析式为y=，将代入反比例函数解析式得：k=×（﹣2）=﹣3．则得到函数解析式为y=﹣，将M（﹣1，m）代入解析式得，m=3，可得M（﹣1，3）．设一次函数解析式为y=mx+b，将M（﹣1，3），分别代入解析式得，解得．可得一次函数解析式为y=﹣2x+1．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求出函数解析式是解27．（5分）如图，C为线段AB上一动点，过A作AD⊥AB且AD=3，过B作BE⊥AB且BE=1，连接DC、EC，若AB=5，设AC=x．（1）DC+EC的长为+（用含x的式子表示，不必化简）；（2）当点C的位置满足AC=时，DC+EC的长最小，最小值是；（3）根据以上结论，你能通过构图求出的最小值吗？请画出你的示意图，适当加以说明并求出此最小值．（3）根据（2）的求解思路画出示意图并利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．解答：解：（1）∵AB=5，AC=x，∴BC=5﹣x，∵AD=3，BE=1，∴DC==，EC==，∴DC+EC的长为：+；（2）如图，根据两点之间线段最短可知，当点C、D、E在同一直线时，DC+EC的长最小，此时，∠ACD=∠BCE（对顶角相等），∠A=∠B=90°（垂直定义），∴△ACD∽△BCE，∴=，即=，解得x=，此时，DC+EC=+=+=；（3）如图所示，根据（2）中的求解思路，当=时，即x=时，有最小值，此时==．点评：本题考查了利用轴对称求最短路线的问题，根据两点之间线段最短的性质以及相似三28．（7分）（1）如图1，已知△ABC与△DBC的面积相等，试判断直线AD与BC的位置关系并加以证明．判断：AD∥BC；（2）如图2，点A、B在反比例函数的图象上，过点A作AC⊥y轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，连接CD．利用（1）中的结论，证明：AB∥CD．（3）若（2）中的其他条件不变，只改变A、B的位置如图3所示，请画出示意图，判断AB与CD是否平行，并加以证明．解答：证明：（1）分别过点A，D，作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足为G，H，则∠CGA=∠DHB=90°，∴AG∥DH∵△ABC与△BDC的面积相等，∴AG=DH，∴四边形AGHD为平行四边形，∴AD∥BC；（2）连接BC，AD．设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），∵点A，B在反比例函数（k＞0）的图象上，∴x1y1=k，x2y2=k，∵AC⊥y轴，BD⊥x轴，∴OC=y1，OD=x2，AC=x1，∴S△BCD=x2•y2=k，S△ACD=x1•y1=k，∴S△ACD=S△BCD；∴由（1）同样的方法得出AB∥CD（3）由（1）中的结论可知：AB∥CD．证明：连接BC，AD．设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），∵点A，B在反比例函数（k＞0）的图象上，∴x1y1=k，x2y2=k，∵AC⊥y轴，BD⊥x轴，∴OC=y1，BD=|y2|，OD=|x2|，AC=x1，∴S△ABC=x1•（|y2|+y1）=k+x1•|y2|，S△ABD=（x1+|x2|）．y2=k+x1y2，∴S△ABC=S△ABD；∴由（1）同样的证明方法得出AB∥CD．点评：此题考查了反比例函数与几何性质的综合应用，这是一个阅读理解的问题，正确解决五、解答下列各题：（本题共13分）29．（6分）已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出下列5个条件：①AD∥BC；②AB∥CD；③∠ABC=∠ADC；④AB=CD；⑤OB=OD；（1）从以上5个条件中任意选取2个条件，能推出四边形ABCD是平行四边形的，除“①与②”外，还有哪几种？（请用序号表示）（2）除“①与②”外，选择你写的其中的一种，画出示意图，写出已知，求证和证明．（2）可选②③加以证明．解答：解：（1）还有①与③，②与③，②与④，①与⑤，②与⑤；（2）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=∠ADC，求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°又∵∠ABC=∠ADC，∴∠BCD+∠ADC=180°∴BC∥AD．∴四边形ABCD是平行四边形．点评：本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．30．（7分）如图1，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AB=3，DC=6，CB=5．点E 是边DC上任意一点，点F在边AB的延长线上，并且AE=AF，连接EF，与边BC相交于点G．设BF=x，DE=y．（1）直接写出边AD的长；（2）求y关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（3）当点E在边DC上移动时，△BFG能否成为以BG为腰的等腰三角形？如果能，请求出线段BF的长；如果不能，请说明理由．的性质，即可求得答案．解答：解：（1）∵过点B作BM⊥CD于M，∵AB∥DC，∠D=90°，∴∠D=∠ABM=∠BMD=90°，∴四边形ADMB是矩形，∴BM=AD，DM=AB=3，∴CM=CD﹣DM=6﹣3=3，在Rt△BMC中，BM==4，∴AD=4；（2）在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2，∵BF=x，∴AF=AB+BF=3+x，∵AE=AF=3+x，DE=y，∴（3+x）2=y2+16，∴y=，当E与D重合，y=0，则x=AD﹣AB=1，当E与C重合：AC==2，∴x=2﹣3，∴1≤x≤2﹣3，∴y关于x的函数关系式为y=，自变量x的取值范围为1≤x≤2﹣3；（3）①若BG∥AE，则，∵AE=AF，∴BF=BG，∴，∵AB∥CD，∴，∴，∴EC=AB=3，则DE=CD﹣EC=3，∵AD=4，∴AE=AF=5，∴BF=AF﹣AB=2；②若BG=GF，过点G作GN⊥CD于N，∵AB∥CD，∴MN⊥AB，∴四边形ADNM是矩形，∴AM=DN，∵BG=GF，AB∥CD，∴EG=CG，∴BM=BF=x，EN=EC=（CD﹣DE）=，∴3+=y+，∴x=y，∵（3+x）2=y2+16，∴（3+x）2=x2+16，解得：x=．综上，当BF=2或时，△BFG是以BG为腰的等腰三角形．点评：此题考查了直角梯形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理以及等腰三角形的。
2021年北京八年级(下)期中数学试卷解析 (2).doc
202X-202X学年北京市214中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题：（每题3分，共30分）1．在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（）A．∠ABC=90° B．AC⊥BD C．AB=CD D．AB∥CD2．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直平分C．对角线平分一组对角D．四条边相等3．如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为（）A．8 B．10 C．12 D．164．如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠B：∠BCD=1：2，则对角线AC等于（）A．5 B．10 C．15 D．205．菱形的两条对角线长为6cm和8cm，那么这个菱形的周长为（）A．40cm B．20cm C．10cm D．5cm6．下列说法正确的是（）A．两条对角线相等的四边形是平行四边形B．两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形C．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．两条对角线平分且相等的四边形是正方形7．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠．恰好得到菱形AECF．若AD=，则菱形AECF的面积为（）A．2B．4C． 4 D．88．下列线段不能组成直角三角形的是（）A．a=6，b=8，c=10 B．a=1，，C．，b=1，D．a=2，b=3，9．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CD、GH D．AB、CD、EF10．已知a方程2x2+3x﹣4=0的一个根，则代数式2a2+3a的值等于（）A．4 B．0 C． 1 D． 2二、填空：（每题3分，共24分）11．m=时，关于x的方程（m﹣）﹣（m+3）x=4m是一元二次方程．12．x2﹣x配成完全平方式需加上．13．等腰△ABC两边的长分别是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个解，则这个等腰三角形的周长是．14．如图，以菱形AOBC的顶点O为原点，对角线OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，若OB=，点C的坐标为（4，0），则点A的坐标为．15．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是．16．如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为．17．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为．18．已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是．三、解答题：按要求解一元二次方程：（每题5分，共20分）19．直接开方法：（x+6）2﹣9=0．20．配方法：x2+6x+4=0．21．公式法：x2+17=8x．22．因式分解法：（x﹣4）2=（5﹣2x）2．四、解答题：（共26分）23．已知：如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．24．如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？25．已知：如图，▱ABCD中，E、F分别是AD，BC的中点．求证：（1）△AFB≌△CED；（2）四边形AECF是平行四边形．26．已知：如图，在▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）若AF=AD，求证：四边形ABFC是矩形．202X-202X学年北京市214中学八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每题3分，共30分）1．在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（）A．∠ABC=90° B．AC⊥BD C．AB=CD D．AB∥CD考点：菱形的判定．分析：由在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，又由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求得答案．解答：解：∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形．故选：B．点评：此题考查了平行四边形的判定以及菱形的判定．此题比较简单，注意掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形定理的应用．2．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直平分C．对角线平分一组对角D．四条边相等考点：正方形的性质；菱形的性质．分析：根据正方形与菱形的性质即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．解答：解：正方形的性质有：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相平分垂直且相等，而且平分一组对角；菱形的性质有：四条边都相等，对角线互相垂直平分．∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．故选A．点评：此题考查了正方形与菱形的性质．此题比较简单，解题的关键是熟记正方形与菱形的性质定理．3．如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为（）A．8 B．10 C．12 D．16考点：三角形中位线定理．专题：几何图形问题．分析：根据三角形的中位线定理，判断出四边形ADEF平行四边形，根据平行四边形的性质求出ADEF的周长即可．解答：解：∵点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，∴DE∥AC，EF∥AB，DE=AC=5，EF=AB=3，∴四边形ADEF平行四边形，∴AD=EF，DE=AF，∴四边形ADEF的周长为2（DE+EF）=16，故选：D．点评：本题考查了三角形中位线定理，利用中位线定理判断出四边形ADEF为平行四边形是解题的关键．4．如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠B：∠BCD=1：2，则对角线AC等于（）A．5 B．10 C．15 D．20考点：菱形的性质．分析：根据题意可得出∠B=60°，结合菱形的性质可得BA=BC，判断出△ABC是等边三角形即可得到AC的长．解答：解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B+∠BCD=180°，AB=BC，∵∠B：∠BCD=1：2，∴∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=5．故选A．点评：此题考查了菱形的性质及等边三角形的判定与性质，根据菱形的性质判断出△ABC 是等边三角形是解答本题的关键，难度一般．5．菱形的两条对角线长为6cm和8cm，那么这个菱形的周长为（）A．40cm B．20cm C．10cm D．5cm考点：菱形的性质．分析：根据菱形的对角线互相垂直平分求出两对角线长的一半，然后利用勾股定理求出菱形的边长，再根据周长公式计算即可得解．解答：解：∵菱形的两条对角线长为8cm和6cm，∴菱形的两条对角线长的一半分别为4cm和3cm，根据勾股定理，边长==5cm，所以，这个菱形的周长是5×4=20cm．故选B．点评：本题考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．6．下列说法正确的是（）A．两条对角线相等的四边形是平行四边形B．两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形C．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．两条对角线平分且相等的四边形是正方形考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．分析：利用平行四边形的判定定理、菱形的判定定理、矩形的判定定理、正方形的判定定理逐一判断后即可确定本题的答案．解答：解：A、两条对角线相等的四边形是平行四边形，错误，不符合题意；B、两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形，错误，不符合题意；C、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，符合题意；D、两条对角线平分且相等的四边形是正方形，错误，不符合题意；故选C．点评：本题考查了平行四边形的判定定理、菱形的判定定理、矩形的判定定理、正方形的判定定理，属于基础题，难度不大．7．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠．恰好得到菱形AECF．若AD=，则菱形AECF的面积为（）A．2B．4C． 4 D．8考点：翻折变换（折叠问题）；菱形的性质．分析：根据翻折的性质可得∠DAF=∠OAF，OA=AD，再根据菱形的对角线平分一组对角可得∠OAF=∠OAE，然后求出∠OAE=30°，然后解直角三角形求出AE，再根据菱形的面积公式列式计算即可得解．解答：解：由翻折的性质得，∠DAF=∠OAF，OA=AD=，在菱形AECF中，∠OAF=∠OAE，∴∠OAE=×90°=30°，∴AE=AO÷cos30°=÷=2，∴菱形AECF的面积=AE•AD=2．故选A．点评：本题考查了翻折变换的性质，菱形的性质，熟记翻折前后图形能够重合并求出∠OAE=30°是解题的关键．8．下列线段不能组成直角三角形的是（）A．a=6，b=8，c=10 B．a=1，，C．，b=1，D．a=2，b=3，考点：勾股定理的逆定理．分析：根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可．解答：解：A、∵62+82=1002，∴能组成直角三角形，故本选项错误；B、∵12+（）2=（）2，∴能组成直角三角形，故本选项错误；C、∵（）2+12=（）2，∴能组成直角三角形，故本选项错误；D、∵22+（）2≠32，∴不能组成直角三角形，故本选项正确．故选D．点评：本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．9．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CD、GH D．AB、CD、EF考点：勾股定理；勾股定理的逆定理．专题：网格型．分析：设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．解答：解：设小正方形的边长为1，则AB2=22+22=8，CD2=22+42=20，EF2=12+22=5，GH2=22+32=13．因为AB2+EF2=GH2，所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH．故选：B．点评：考查了勾股定理逆定理的应用．10．已知a方程2x2+3x﹣4=0的一个根，则代数式2a2+3a的值等于（）A．4 B．0 C． 1 D． 2考点：一元二次方程的解．分析：由a是方程2x2+3x﹣4=0的一个根，将x=a代入方程得到关于a的等式，变形后即可求出所求式子的值．解答：解：∵a是方程2x2+3x﹣4=0的一个根，∴将x=a代入方程得：2a2+3a﹣4=0，则2a2+3a=4．故选A．点评：此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．二、填空：（每题3分，共24分）11．m=﹣时，关于x的方程（m﹣）﹣（m+3）x=4m是一元二次方程．考点：一元二次方程的定义．分析：利用只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程（最高项的系数不等于0）叫一元二次方程求解即可．解答：解：∵x的方程（m﹣）﹣（m+3）x=4m是一元二次方程．∴m≠，m2=2，∴m=．点评：本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．12．x2﹣x配成完全平方式需加上．考点：完全平方式．分析：多项式配方为完全平方式，必须加上一次项系数一半的平方．解答：解：∵x2﹣x+=（x﹣）2，∴x2﹣x配成完全平方式需加上，故答案为：．点评：此题考查了配方法的应用，二次项系数化为1后，二次项与一次项，再加上一次项系数一半的平方，即能构成完全平方式．13．等腰△ABC两边的长分别是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个解，则这个等腰三角形的周长是7或8．考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．专题：压轴题．分析：可先解出x的值，然后根据等腰可知三角形三边为2，2，3或3，3，2，然后看两组数是否符合三角形的性质，最后解出周长的值．解答：解：解方程x2﹣5x+6=0得x1=2，x2=3，当2是腰时，2+2＞3，可以构成三角形，周长为7；当3是腰时，3+2＞3，可以构成三角形，周长为8；所以周长是7或8．点评：本题运用的是数形结合的解题方法，学生应该对x的值进行讨论，根据三角形的性质（a﹣b＜c＜a+b）来判断x的取值是否满足题意．14．如图，以菱形AOBC的顶点O为原点，对角线OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，若OB=，点C的坐标为（4，0），则点A的坐标为（2，1）．考点：菱形的性质；坐标与图形性质．分析：连接AB，交OC于D，根据菱形的对角线互相垂直平分求出OD=OC，AB⊥OC，再根据菱形的每一条边都相等求出OA，然后利用勾股定理列式求出AD的长，再根据点A 在第一象限解答．解答：解：如图，连接AB，交OC于D，∵点C（4，0），∴OC=4，∵四边形AOBC是菱形，∴OD=OC=×4=2，AB⊥OC，∵OB=，∴OA=OB=，在Rt△AOD中，AD===1，∴点A的坐标为（2，1）．故答案为：（2，1）．点评：本题考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理的应用，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．15．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是AC⊥BD．考点：中点四边形．分析：根据三角形的中位线定理，可以证明所得四边形的两组对边分别和两条对角线平行，所得四边形的两组对边分别是两条对角线的一半，再根据平行四边形的判定就可证明该四边形是一个平行四边形；所得四边形要成为矩形，则需有一个角是直角，故对角线应满足互相垂直．解答：解：如图，∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF=AC，同理HG∥AC，HG=AC，∴EF∥HG，EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形；要使四边形EFGH是矩形，则需EF⊥FG，即AC⊥BD；故答案为：AC⊥BD．点评：此题主要考查了三角形的中位线定理的运用．同时熟记此题中的结论：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形．16．如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为．考点：勾股定理；直角三角形斜边上的中线；勾股定理的逆定理．分析：本题考查勾股定理的逆定理和直角三角形的性质，利用了勾股定理的逆定理和直角三角形的性质求解．解答：解：观察图形AB==，AC==3，BC==2∴AC2+BC2=AB2，∴三角形为直角三角形，∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半∴CD=．点评：解决此类题目要熟记斜边上的中线等于斜边的一半．注意勾股定理的应用．17．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）．考点：矩形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的性质；勾股定理．专题：动点型．分析：当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论．解答：解：由题意，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：（1）如答图①所示，PD=OD=5，点P在点D的左侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE===3，∴OE=OD﹣DE=5﹣3=2，∴此时点P坐标为（2，4）；（2）如答图②所示，OP=OD=5．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△POE中，由勾股定理得：OE===3，∴此时点P坐标为（3，4）；（3）如答图③所示，PD=OD=5，点P在点D的右侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE===3，∴OE=OD+DE=5+3=8，∴此时点P坐标为（8，4）．综上所述，点P的坐标为：（2，4）或（3，4）或（8，4）．故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）．点评：本题考查了分类讨论思想在几何图形中的应用，符合题意的等腰三角形有三种情形，注意不要遗漏．18．已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是15°或75°．考点：正方形的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．专题：计算题．分析：当E在正方形ABCD内时，根据正方形ABCD，得到AD=CD，∠ADC=90°，根据等边△CDE，得到CD=DE，∠CDE=60°，推出AD=DE，得出∠DAE=∠AED，根据三角形的内角和定理求出即可；当E在正方形ABCD外时，根据等边三角形CDE，推出∠ADE=150°，求出即可．解答：解：有两种情况：（1）当E在正方形ABCD内时，如图1∵正方形ABCD，∴AD=CD，∠ADC=90°，∵等边△CDE，∴CD=DE，∠CDE=60°，∴∠ADE=90°﹣60°=30°，∴AD=DE，∴∠DAE=∠AED=（180°﹣∠ADE）=75°；（2）当E在正方形ABCD外时，如图2∵等边三角形CDE，∴∠EDC=60°，∴∠ADE=90°+60°=150°，∴∠AED=∠DAE=（180°﹣∠ADE）=15°．故答案为：15°或75°．点评：本题主要考查对正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．三、解答题：按要求解一元二次方程：（每题5分，共20分）19．直接开方法：（x+6）2﹣9=0．考点：解一元二次方程-直接开平方法．分析：这个式子先移项，变成（x+6）2=9，从而把问题转化为求（x+6）的平方根．解答：解：移项得（x+6）2=9，x+6=±3，x1=﹣3，x2=﹣9．点评：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，解这类问题要移项．把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．20．配方法：x2+6x+4=0．考点：解一元二次方程-配方法．分析：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．解答：解：∵x2+6x+4=0，∴x2+6x=﹣4，∴x2+6x+9=﹣4+9∴（x+3）2=5，∴x+3=±，∴x1=﹣3，x2=﹣﹣3．点评：本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．21．公式法：x2+17=8x．考点：解一元二次方程-公式法．分析：根据求根公式x=来解方程．解答：解：由原方程，得x2﹣8x﹣17=0，∵a=1，b=﹣8，c=﹣17，∴x===4±．点评：本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．利用公式法解题时，需要弄清楚公式x=中字母a、b、c所表示的含义．22．因式分解法：（x﹣4）2=（5﹣2x）2．考点：解一元二次方程-因式分解法．分析：移项得（x﹣4）2﹣（5﹣2x）2=0，然后利用平方差公式得到（﹣x+1）（3x﹣9）=0，从而得到答案．解答：解：∵（x﹣4）2=（5﹣2x）2，∴（x﹣4）2﹣（5﹣2x）2=0，∴（x﹣4+5﹣2x）（x﹣4﹣5+2x）=0，∴（﹣x+1）（3x﹣9）=0，∴x1=1，x2=3．点评：本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．四、解答题：（共26分）23．已知：如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：先连接BD，交AC于O，由于四边形ABCD是平行四边形，易知OB=OD，OA=OC，而AE=CF，根据等式性质易得OE=OF，再根据两组对角线互相平分的四边形是平行四边形可证之．解答：证明：连接BD，交AC于O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，OA=OC，∵AE=CF，∴OA﹣AE=OC﹣CF，∴OE=OF，∴四边形BFDE是平行四边形．点评：本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是作辅助线，使其中出现对角线相交的情况．24．如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？考点：勾股定理的应用．分析：首先根据题意，正确画出图形，还要根据题意确定已知线段的长，再根据勾股定理列方程进行计算．解答：解：设BD=x米，则AD=（10+x）米，CD=（30﹣x）米，根据题意，得：（30﹣x）2﹣（x+10）2=202，解得x=5．即树的高度是10+5=15米．点评：能够根据题意用同一个未知数表示出直角三角形的三边是解决此题的关键．25．已知：如图，▱ABCD中，E、F分别是AD，BC的中点．求证：（1）△AFB≌△CED；（2）四边形AECF是平行四边形．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）利用平行四边形的性质结合全等三角形的判定方法得出即可；（2）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进而得出即可．解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，∠B=∠D，AD=BC，∵E、F分别是AD，BC的中点，∴AE=DE=FC=BF，在△AFB和△CED中，，∴△AFB≌△CED（SAS）；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，又∵AE=BF，∴四边形AECF是平行四边形．点评：此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定等知识，熟练应用平行四边形的判定方法是解题关键．26．已知：如图，在▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）若AF=AD，求证：四边形ABFC是矩形．考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：（1）根据平行四边形性质得出AB∥DC，推出∠1=∠2，根据AAS证两三角形全等即可；（2）根据全等得出AB=CF，根据AB∥CF得出平行四边形ABFC，推出BC=AF，根据矩形的判定推出即可．解答：证明：（1）如图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC 即AB∥DF，∴∠1=∠2，∵点E是BC的中点，∴BE=CE．在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS）．（2）∵△ABE≌△FCE，∴AB=FC，∵AB∥FC，∴四边形ABFC是平行四边形，∴AD=BC，∵AF=AD，∴AF=BC，∴四边形ABFC是矩形．点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，本题主要考查学生运用定理进行推理的能力．。
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2021北京人大附中初二（下）期中数 学一.选择题（每小题3分，共30分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（3分）已知直线//m n ，如图，下列哪条线段的长可以表示直线m 与n 之间的距离( )A ．只有ABB ．只有AEC ．AB 和CD 均可D ．AE 和CF 均可2．（3分）如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交CD 边于E ，3AD =，5AB =，则EC 的长为( )A ．1B ．2C ．3D ．53．（3分）下列各式中，运算正确的是( )A ．2B =C =D 94．（3分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )A ．1，1，2B ．2，3，4C ．4，5，6D ．125．（3分）将直线2y x =-向下平移3个单位得到的直线的表达式为( ) A ．23y x =-+B ．23y x =--C ．23y x =+D ．23y x =-6．（3分）已知，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(3,0)，点B 的坐标为(0,4)，点C 是线段AB 的中点，则线段OC 的长为( )A ．52B ．3C ．4D ．57．（3分）如图，正方形ABCD的面积为4，菱形AECF的面积为2，则EF的长是()A．1B C．2D．8．（3分）工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这样做的道理是()A．两组对边分别相等的四边形是矩形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线相等的平行四边形是矩形9．（3分）下列选项中，不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖的图形是()A．长度为B．边长为2的等边三角形C．斜边为2的直角三角形D．面积为4的菱形10．（3分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油最多可行驶的公里数．如图描述了A、B两辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．根据图中信息，下面4个推断中，合理的是()A．消耗1升汽油，A车最多可行驶5千米B．B车以40千米/小时的速度行驶1小时，最少消耗4升汽油C．对于A车而言，行驶速度越快越省油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市驾驶A车比驾驶B车更省油二.填空题（每空2分，共20分）11．（2x 的取值范围为 ．12．（2|3|0y -=，则xy = ．13．（2分）函数(0)y kx k =≠的图象上有两点11(1,)P y -，22(1,)P y ，若12y y <，写出一个符合题意的k 的值： ．14．（2分）如图，矩形ABCD 中，DE 平分BDC ∠，EF BD ⊥于点F ，若60ABD ∠=︒，AB =，则EF 的长为 ．15．（2分）如图，函数2y x b =+与函数1y kx =-的图象交于点P ，那么点P 的坐标为 ，关于x 的不等式12kx x b ->+的解集是 ．16．（4分）如图，ABC ∆的顶点A ，B ，C 都在边长为1的正方形网格的格点上，CD AB ⊥于点D ，则AB 的长为 ，CD 的长为 ．17．（4分）小明使用图形计算器探究函数2()axy x b =-的图象，他输入了一组a ，b 的值，得到了如图的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的a 0，b 0．（填“>”，“ =”或“<” )18．（2分）正方形ABCD 的边长为4，点M ，N 在对角线AC 上（可与点A ，C 重合），2MN =，点P ，Q 在正方形的边上．下面四个结论中，①存在无数个四边形PMQN 是平行四边形； ②存在无数个四边形PMQN 是菱形； ③存在无数个四边形PMQN 是矩形； ④至少存在一个四边形PMQN 是正方形． 所有正确结论的序号是 ．三.解答题（本大题共50分，第19题6分，第20-24题，每题5分，第25-26题，每小题6分，第27题7分） 19．（6分）计算：（1（2）-．20．（5分）已知一次函数的图象经过点(2,2)--，(2,4)．（1）求该一次函数的解析式；x时，y的取值范围．（2）在坐标系中画出该一次函数的图象，观察图象，直接写出当021．（5分）学习完四边形的知识后，小明想出了“作三角形一边中线”的另一种尺规作图的作法，下面是具体过程．已知：ABC∆．求作：BC边上的中线AD．作法：如图，①分别以点B，C为圆心，AC，AB长为半径作弧，两弧相交于P点；②作直线AP，AP与BC交于D点，所以线段AD就是所求作的中线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接PB，PC．=，，PC AB∴四边形ABPC是平行四边形()（填推理的依据）．(∴=)（填推理的依据）．DB DC∴是BC边上的中线．AD22．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，直线1:2l y x =与直线2:3l y x =-+相交于点A ，直线2l 与x 轴交于点B ． （1）求OAB ∆的面积；（2）过动点(0,)P n 作垂直于y 轴的直线与1l ，2l 的交点分别为1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，当12||3x x -时，直接写出n 的取值范围．23．（5分）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，D 、E 分别是边BC ，AC 的中点，连接ED 并延长到点F ，使DF ED =，连接BE 、BF 、CF 、AD ．（1）求证：四边形BFCE 是菱形； （2）若4BC =，2EF =，求AD 的长．24．（5分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，小明计划给朋友快递一部分物品，经了解甲、乙两家快递公司比较合适，甲公司表示：快递物品不超过1千克的，收费12元；超过1千克，超过的部分按单价每千克2元收费． 乙公司表示：快递物品不超过1千克的，收费10元；超过1千克，超过的部分按单价每千克4元收费． 例如：小明要快递1.4千克的物品，选甲公司需付费12.8元，选乙公司需付费11.6元． 设小明快递物品x 千克．（1）请分别直接写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y （元)与x （千克）之间的函数关系式； （2）如果只考虑价格，不考虑其它因素，小明选择哪家快递公司更省钱？25．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,1)A -，(1,1)B -，(,3)C m ，以点A ，B ，C 为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为1D ，2D ，3D ，如图所示．（1）若1m =-，则点1D ，2D ，3D 的坐标分别是( )，( )，( )； （2）若△123D D D 是以12D D 为底的等腰三角形，①直接写出m 的值； ②若直线12y x b =+与△123D D D 有公共点，求b 的取值范围． （3）若直线y x =与△123D D D 有公共点，求m 的取值范围．26．（6分）已知正方形ABCD，点E，F分别在射线BC，射线CD上，BE CF=，AE与BF交于点H．（1）如图1，当点E，F分别在线段BC，CD上时，求证：AE BF⊥；=，且AE BF （2）如图2，当点E在线段BC延长线上时，将线段BE沿BF平移至FG，连接AG．①依题意将图2补全；②用等式表示线段AG，FG和AD之间的数量关系，并证明．27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于图形M，N给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M和N的“极大距离”，记为d M N．(,)已知：正方形ABCD，其中(1,1)C-，(1,1)A-，(1,1)B--，(1,1)D．（1）已知点(0,)P t，①若3ABCD=；t=，则d（点P，正方形)②若d（点P，正方形)3ABCD=，则t=．（2）已知点(,3)E m，(2,3)F m+，若5dABCD<，求m的取值范围．<（线段EF，正方形)（3）一次函数3ABCD的最小=+的图象与x轴交于点G，与y轴交于点H，求d（线段GH，正方形)y kx值，并直接写出此时k的取值范围．2021北京人大附中初二（下）期中数学参考答案一.选择题（每小题3分，共30分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．【分析】由平行线之间的距离的定义判定即可得解．【解答】解：从一条平行线上的任意一点到另一条平行线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，∴线段AB和CD都可以示直线m与n之间的距离，故选：C．【点评】本题考查了平行线之间的距离，熟记平行线之间的距离的概念是解题的关键．2．【分析】先由平行四边形的性质得//==，再证3==，即可求解．DE ADBA CD，5CD AB【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，∴，5==，CD AB//BA CD∴∠=∠，DEA EABAE平分DAB∠，∴∠=∠，DAE EAB∴∠=∠，DAE DEADE AD∴==，3∴=-=-=，532EC CD DE故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．3．【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．【解答】解：2+不能合并，故选项A错误；=B错误；C正确；=，故选项D错误；3故选：C．【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．4．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形．【解答】解：A 、222112+≠，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；B 、222234+≠，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；C 、222456+≠，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；D 、22212+=，能构成直角三角形，故此选项符合题意．故选：D ．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 5．【分析】根据平移时k 值不变及上移加，下移减可得出平移后直线的解析式． 【解答】解：将直线2y x =-向下平移3个单位得到的直线的表达式为：23y x =--． 故选：B ．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 6．【分析】根据勾股定理和直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：点A 的坐标为(3,0)，点B 的坐标为(0,4)， 3OA ∴=，4OB =，5AB OA =， 点C 是线段AB 的中点， 1155222OC AB ∴==⨯=， 故选：A ．【点评】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，直角三角形斜边边上的中线，正确的理解题意是解题的关键．7．【分析】连接AC ，由正方形ABCD 的面积可求解AC 的长，再根据菱形AECF 的面积即可求解EF 的长． 【解答】解：连接AC ，正方形ABCD 的面积为4， ∴2142AC =，解得AC =菱形AECF 的面积为2， ∴122AC EF ⋅=，即122⨯=，解得EF =， 故选：B ．【点评】本题主要考查正方形的性质，菱形的性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键． 8．【分析】先平行四边形的判定、矩形的判定进行解答即可．【解答】解：两组对边相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，∴不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，故选：D ．【点评】本题考查了矩形的判定以及平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定是解题的关键．9．【分析】先计算出正方形的对角线长，即可逐项进行判定求解． 【解答】解：正方形的边长为2，∴对角线长为∴长度为2的正方形及其内部所覆盖，故A 不符合题意；边长为2的等边三角形能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故B 不符合题意；斜边为2的直角三角形能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故C不符合题意；而面积为4的菱形对角线最长可以为8，故不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故D符合题意，故选：D．【点评】本题主要考查正方形的性质，等边三角形的性质，菱形的性质等知识，掌握相关图形的特征是解题的关键．10．【分析】根据题意和函数图象可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：①由图象可知，当A车速度超过40km时，燃油效率大于5/km L，所以当速度超过40km时，消耗1升汽油，A车行驶距离大于5千米，故此项不合理，不符合题意；②B车以40千米/小时的速度行驶1小时，路程为40km，4010/4÷=，最少消耗4升汽油，此项合km km L L理，符合题意；③对于A车而言，行驶速度在080/-时，越快越省油，故此项不合理，不符合题意；km h④某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市驾驶B车比驾驶A车燃油效率更高，所以更省油，故此项不合理，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二.填空题（每空2分，共20分）x-，再解即可．11．【分析】根据二次根式有意义的条件可得20x-，【解答】解：由题意得：20x，解得：2x．故答案为：2【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．12．【分析】根据非负数的性质即可求出x与y的值，代入计算即可得出答案．【解答】解：由题意可知：10y-=，x+=，30y=，∴=-，3x1∴=-⨯=-，133xy故答案为：3-．【点评】本题考查了非负数的性质，解题的关键是求出x与y的值，本题属于基础题型．13．【分析】由11-<，12y y <，可得出y 随x 的增大而增大，再利用一次函数的性质可得出0k >，任取其内一值即可．【解答】解：11-<，12y y <， y ∴随x 的增大而增大， 0k ∴>．故答案为：1（答案不唯一）．【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“0k >，y 随x 的增大而增大；0k <，y 随x 的增大而减小”是解题的关键．14．【分析】根据矩形性质可得DC BC ⊥，//AB DC ，根据角平分线的性质可得EF CE =，30CDE ∠=︒，根据勾股定理即可得CE 的长，进而可得EF 的长．【解答】解：在矩形ABCD 中，DC BC ⊥，//AB DC ， 60BDC ABD ∴∠=∠=︒，DE 平分BDC ∠，EF BD ⊥，EF CE ∴=，30CDE ∠=︒，DC AB ==1CE ∴=．则EF 的长为1． 故答案为：1．【点评】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．15．【分析】函数2y x b =+与函数1y kx =-的图象的交点由图象可直接得到答案，以交点为分界，交点左边12kx x b ->+，结合图象可得答案．【解答】解：由图象可得：函数2y x b =+与函数1y kx =-的图象交于点(1,2)P -， 关于x 的不等式12kx x b ->+的解集是1x <， 故答案为：(1,2)-；1x <．【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键是正确从图象中得到信息，掌握数形结合思想的应用．16．【分析】先根据勾股定理求出AB ，再求出ABC ∆的面积即可．【解答】解：由勾股定理得：AB = 11322ABC S BC AB CD ∆=⨯⨯=⨯⨯，53CD ∴⨯=，∴CD =【点评】本题主要考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用两种方法来表示三角形的面积，属于基础题． 17．【分析】由图象可知，当0x >时，0y >，可知0a >；根据函数解析式自变量的取值范围可以知道x b ≠，结合图象可以知道函数的x 取不到的值大概是在1的位置，所以大概预测可以得b 约为1，也即0b >． 【解答】解：由图象可知，当0x >时，0y >， 0a ∴>；x b ≠，结合图象可以知道函数的x 取不到的值大概是在1的位置， 0b ∴>．故答案为：>，>．【点评】本题考查函数的图象；能够通过已学的反比例函数图象确定b 的取值是解题的关键．18．【分析】根据正方形的判定和性质，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理即可得到结论．【解答】解：如图，作线段MN 的垂直平分线交AD 于P ，交AB 于Q ．PQ 垂直平分线段MN ， PM PN ∴=，QM QN =，四边形ABCD 是正方形，45PAN QAN∴∠=∠=︒，45APQ AQP∴∠=∠=︒，AP AQ∴=，AC∴垂直平分线段PQ，MP MQ∴=，∴四边形PMQN是菱形，在MN运动过程中，这样的菱形有无数个，当点M与A或C重合时，四边形PMQN是正方形，∴①②④正确，故答案为①②④．【点评】本题考查了正方形的判定和性质，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，熟练掌握各定理是解题的关键．三.解答题（本大题共50分，第19题6分，第20-24题，每题5分，第25-26题，每小题6分，第27题7分）19．【分析】（1）直接化简二次根式，再合并得出答案；（2）直接利用乘法公式计算得出答案．【解答】解：（1）原式==；（2）原式22=-125=-7=．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．20．【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）在函数解析式中，令0x=，即可求得与y轴的交点的纵坐标，从而求得与y轴的交点坐标．【解答】解：（1）设函数的解析式是y kx b=+，根据题意得：22 24k bk b-+=-⎧⎨+=⎩，解得：321k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则函数的解析式是312y x =+； （2）画出函数图象如图所示； 观察图象，当0x 时，1y ．【点评】本题考查了一次函数图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 21．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）利用平行四边形的判定和性质解决问题即可． 【解答】解：（1）如图，图形如图所示：（2）连接PB ，PC ． PC AB =，AC PB =，∴四边形ABPC 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．DB DC ∴=（平行四边形的对角线互相平分）． 故答案为：AB PB =，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分．【点评】本题考查作图-基本作图平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．22．【分析】（1）利用直线1l ，2l 的表达式求得A 、B 的坐标，然后根据三角形面积求得即可； （2）根据图象写出结果即可．【解答】解：（1）由23y x y x =⎧⎨=-+⎩得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ∴，直线2:3l y x =-+中，令0y =，则求得3x =， (3,0)B ∴， OAB ∴∆的面积13232=⨯⨯=； （2）由图象得：当12||3x x -时，n 的取值范围是：0n <或4n >．【点评】本题考查了两直线平行和相交的问题，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想求n 的取值是解题的关键．23．【分析】（1）根据平行线的判定定理得到四边形BFCE 是平行四边形，根据直角三角形的性质得到BE CE =，于是得到四边形BFCE 是菱形；（2）连接AD ，根据菱形的性质得到122BD BC ==，112DE EF ==，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：D 是边BC 的中点，BD CD ∴=，DF ED =，∴四边形BFCE 是平行四边形，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，E 是边AC 的中点， BE CE ∴=，∴四边形BFCE 是菱形；（2）解：连接AD ，四边形BFCE 是菱形，4BC =，2EF =， 122BD BC ∴==，112DE EF ==，BE ∴==2AC BE ∴==，2AB ∴==，AD ∴==【点评】本题考查了菱形的判定和性质，三角形的中位数的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．24．【分析】（1）由图形可知甲、乙公司收费与物品的质量是分段函数，用待定系数法分别求出即可； （2）根据题意和（1）中的函数解析式，分类讨论，列出相应的不等式，从而可以解答本题． 【解答】解：（1）由题意可得， 甲公司：当01x <时，12y =，当1x >时，121(1)2210y x x =⨯+-⨯=+，由上可得，甲快递公司快递该物品的费用y （元)与x （千克）之间的函数关系式为12(01)210x y x <⎧=⎨+⎩甲，乙公司：当01x <时，10y =，当1x >时，101(1)446y x x =⨯+-⨯=+，由上可得，甲快递公司快递该物品的费用y （元)与x （千克）之间的函数关系式为10(01)46(1)x y x x <⎧=⎨+>⎩乙，（2）由题意可得，①当01x 时，y y >乙甲；②当1x >时，Ⅰ令y y >乙甲，得21046x x +>+，即2x <， Ⅰ令y y =乙甲，得21046x x +=+，即2x =， Ⅰy y <乙甲，得21046x x +<+，即2x >， 故当2x <时，选择乙快递公司更省钱； 当2x =时，两家快递公司收费一样多； 2x >时，选择甲快递公司更省钱．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．25．【分析】（1）分别以AC 、BC 、AB 为对角线，利用平行四边形以及平移的性质可得点1D ，2D ，3D 的坐标； （2）①根据平行公理得1D ，A 、3D 在同一直线上，2D 、B 、3D 在同一直线上，可得AB 是等腰三角形△123D D D 的中位线，求出22D C AB ==，即可得m 的值；②由①求得的m 的值可得1D ，3D 的坐标，分别求出直线12y x b =+过点1D ，3D 时b 的值即可求解； （3）由题意用m 表示出点1D ，2D ，3D 的坐标，画出图形，求出直线y x =与△123D D D 交于点2D ，3D 时m 的值即可求解． 【解答】解：（1）(3,1)A -，(1,1)B -，1(3)2AB ∴=---=，//AB x 轴．以AC 为对角线时，四边形ABCD 是平行四边形， //CD AB ∴，CD AB =，∴将(1,3)C -向左平移2个单位长度可得D ，即1(3,3)D -；以BC 为对角线时，四边形ABDC 是平行四边形，//CD AB ∴，CD AB =，∴将(1,3)C -向右平移2个单位长度可得D ，即2(1,3)D ；以AB 为对角线时，四边形ACBD 是平行四边形，∴对角线AB 的中点与CD 的中点重合， AB 的中点为(2,1)-，(1,3)C -，3(3,1)D ∴--．故答案为：(3,3)-，(1,3)，(3,1)--；（2）①如图，若△123D D D 是以12D D 为底的等腰三角形，四边形1ABCD ，2ABD C ，3ACBD 是平行四边形，13////BC AD AD ∴，23////AC BD BD ，12AB CD D C ==，1D ∴、A 、3D 在同一直线上，2D 、B 、3D 在同一直线上，1212AB D D =， AB ∴是等腰三角形△123D D D 的中位线，12//AB D D ∴，312CD D D ⊥，(3,1)A -，(1,1)B -，(,3)C m ，22D C AB ∴==，2m ∴=-；②由①得2m =，1(4,3)D ∴-，3(2,1)D --．当直线12y x b =+过点1D 时，13(4)2b =⨯-+，解得：5b =， 当直线12y x b =+过点3D 时，11(2)2b -=⨯-+，解得：0b =， b ∴的取值范围为05b ；（3）如图，(3,1)A -，(1,1)B -，(,3)C m ，1(2,3)D m ∴-，2(2,3)D m +．连接AB 、3CD 交于点E ，四边形3ACBD 是平行四边形，∴点C 、3D 关于点E 对称，3(4,1)D m ∴---，直线y x =与△123D D D 有公共点，当直线y x =与△123D D D 交于点2D ，23m +=，解得：1m =，1m ∴时，直线y x =与△123D D D 有公共点；当直线y x =与△123D D D 交于点3D ，41m --=-，解得：3m =-，3m ∴-时，直线y x =与△123D D D 有公共点；综上，m 的取值范围为1m 或3m -．【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，平移的性质，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识．利用数形结合与分类讨论是解题的关键．26．【分析】（1）根据正方形性质可得AB BC =，90ABE BCF ∠=∠=︒，进而可证明()ABE BCF SAS ∆≅∆，依据全等三角形性质即可证得结论；（2）①按题目要求补全图形即可；②连接EG ，根据平移性质即可得出四边形BEGF 是平行四边形，根据平行四边形性质得EG BF =，//EG BF ，再由()ABE BCF SAS ∆≅∆，可得AE BF =，BFC AEB ∠=∠，进而可得出EG AE =，90AEG ∠=︒，由勾股定理即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90ABE BCF ∠=∠=︒，在ABE ∆和BCF ∆中，BE CFABE BCF AB BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE BCF SAS ∴∆≅∆，AE BF ∴=，BAE CBF ∠=∠，90CBF ABH ∠+∠=︒，90BAE ABH ∴∠+∠=︒，90AHB ∴∠=︒，AE BF ∴⊥，故AE BF =，且AE BF ⊥；（2）①补全图如图2所示；②22222.AG AD FG =+理由如下：如图3，连接EG ，线段BE 沿BF 平移至FG ，∴四边形BEGF 是平行四边形，EG BF ∴=，//EG BF ，在ABE ∆和BCF ∆中，BE CFABE BCF AB BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE BCF SAS ∴∆≅∆，AE BF ∴=，BFC AEB ∠=∠，EG BF AE ∴==，90BFC CBF ∠+∠=︒，90AEB CBF ∴∠+∠=︒，90BHE ∴∠=︒，//EG BF ，90AEG BHE ∴∠=∠=︒，22222AG AE EG AE ∴=+=，22222AE AB BE AD FG =+=+，22222AG AD FG ∴=+．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平移的性质、勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质定理是解题的关键．27．【分析】（1）①根据图形M 和N 的“极大距离”的定义求解即可．②分两种情形，利用勾股定理求解即可．（2）分两种情形：如图2中，当EF 在y 轴的右侧时，如图3中，当EF 在y 轴的左侧时，分别求出落在特殊位置的m 的值即可解决问题．（3）当d （线段GH ，正方形)ABCD 取最小值，推出d （线段GH ，正方形)ABCD 的最小值d =（点H ，正方形)ABCD =，推出d （点G ，正方形)17ABCD ，当d （点G ，正方形)ABCD =(3,0)G 或(3,0)G '-，求出两种特殊位置k 的值，可得结论． 【解答】解：（1）①如图1中，3t =时，(0,3)P ，d ∴（点P ，正方形)ABCD PB ===．②d （点P ，正方形)3ABCD =，当点P 在y 轴的右侧时，2221(1)3t ++=，解得1t =-+1--，当点P 在y 轴的左侧时，2221(1)3t +-=，解得1t =-1+，综上所述，满足条件的t 的值为1-+或1-．故答案为：1-+或1-（2）如图2中，当EF 在y 轴的右侧时，若5BF =时，222(21)45m +++=，解得，0m =或6-（舍弃），若BF =222(21)4m +++=，解得，3m =或9-（舍弃），观察图象可知，满足条件的m 的值为03m <<．如图3中，当EF 在y 轴的左侧时，若5CE =，则有，222(1)45m -+=，解得，2m =-或4舍弃），若BF =222(1)4m -+=，解得，5m =-或7（舍弃），观察图象可知，满足条件的m 的值为52m -<<-．综上所述，满足条件的m 的值为03m <<或52m -<<-．（3）如图4中，当d （线段GH ，正方形)ABCD 取最小值，d ∴（线段GH ，正方形)ABCD 的最小值d =（点H ，正方形)ABCD = d ∴（点G ，正方形)17ABCD ，当d （点G ，正方形)ABCD =时，(3,0)G 或(3,0)G '-，G 代入3y kx k =-，得1k =-，将G '代入3y kx k =-，得1k =，观察图形可知，满足条件的k 的值为：1k 或1k -．【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，勾股定理，图形M 和N 的“极大距离”等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．。