人大附中初二年级第一学期数学统一练习12
北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷(无答案)
人大附中2024-2025学年度第一学期期中初二年级数学练习2024年11月6日说明：本练习共三道大题，28道小题，共6页；满分100分，时间90分钟；请在密封线内填写个人信息，请将答案全部作答在答题纸相应的位置上。
一、选择题（每小题3分，共30分）1.若式子有意义，则实数x 的取值范围是（ ）A. B. C. D.2.下列图形中，对称轴最多的图形是（ ）A.等腰三角形B.等边三角形C.长方形D.正五边形3.在下列运算中，正确的是（ ）A. B.C. D.4.一个等腰三角形有一个角为30°，则它的底角的度数是（ ）A.30°B.75°C.30°或75°D.30°或65°5.如图，在中，，，点D 、E 分别在BC 、AC 的延长线上，且，则的度数是（ ）A.40°B.70°C.75°D.80°6.已知，那么代数式值是（ ）A.14B.15C.16D.177.如图，点D 为的边AB 上一点，点A 关于直线CD 对称的点E 恰好在线段BC 上，连接DE ，若，，，则的周长是（）()04x +4x ≠-4x =-4x ≠4x =235x x x x⋅⋅=23x x x +=()235x x =()2326416xy x y -=ABC △90B ∠=︒50A ∠=︒CD CE =CED∠230x x +-=()()2225x x x -+++ABC △10AB =4AC =9BC =BDE △A.13B.15C.17D.不能确定8.如右图，在边长为a 的正方形中，剪去一个边长为b 的小正方形，将余下部分剪开后拼成一个梯形，根据两个图形阴影面积的关系，可以得到一个关于a ，b 的恒等式为（ ）A. B.C. D.9.如图，AD 是的角平分线，且，，那么的度数是（ ）A.26°B.27°C.28°D.30°10.已知实数a ，b满足，则的值是（ ）A.65 B.105 C.115 D.2025二、填空题（每空2分，共18分）11.在平面直角坐标系中，点关于x 轴对称的点的坐标为________.12.已知等腰三角形有两条边的长度分别为5，8，则该三角形的周长为________.13.计算：________.14.如图，BD 是的角平分线，点D 是边AC 一点，且满足，若，，则________.()a b >()2222a b a ab b -=-+()2222a b a ab b +=++()()22a b a b a b -=+-()2a ab a a b +=+ABC △AB BD AC +=40BAC B ∠=∠+︒C ∠()()21222a b a b -+=-2234101220241a b a b ++-+()2,1A 20232024122⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭ABC △BE ED =40A ∠=︒110C ∠=︒EDB ∠=15.定义新运算：，则方程的解为_________.16.如图，，点P 在的平分线上，于点C ，点D 在边OB 上，且.则线段OC 的长度为_________.17.如图，在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，且，则点C 的坐标为________.18.若，，则的值为________.19.如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点和一三象限，点A 为x 轴正半轴上一点，点B 位于第一象限内且在直线上，，，过点B 作直线a 垂直于x 轴，点C ，D 在直线a 上（点D 在点C 上方），且，若线段CD 关于直线对称的线段EF 与坐标轴有交点，则点C 的纵坐标m 的取值范围是________.*a b ab b =-()21*8x x +=60AOB ∠=︒AOB ∠PC OA ⊥8OD DP ==()1,1A -()2,2B ABC △90B ∠=︒7x y -=2y z +=-()2x yz x z y -+-l l 2OB =30AOB ∠=︒1CD =l三、解答题（20-21题每小题4分，22-23题每题4分，24题5分，25题4分，26题5分，27-28题每题7分，共52分）20.计算：（1）；（2）.21.分解因式：（1）；（2）.22.先化简，再求值：，其中，.23.如图，在中，D 为BC 的中点，，，垂足分别为E ，F ，且，连接AD ，求证：AD 是的角平分线.24.小兵遇到一个作图问题：如图，在中，，如何用尺规作图把分成三个等腰三角形.下面是小兵设计的尺规作图过程.作法：①以点A 为圆心，AB 长为半径作弧，交线段BC 于另一点D ；②作线段CD 的垂直平分线，直线交线段AC 于点E ；③连接AD ，DE ，则，，即为所求的等腰三角形.根据小兵设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：由作图可知，①()()53212a a a a -+-÷()()()2332x y x y x y +-++22363ax axy ay -+()()2244a x b x -+-()()()()22223x x x x x y x y y ⎡⎤+--+-+÷⎣⎦3x =-2y =ABC △DE AB ⊥DF AC ⊥BE CF =ABC △ABC △3B C ∠=∠ABC △l l ABD △ADE △CDE △AB AD =∴________.∵，∴.∵直线为线段CD 的垂直平分线，∴（__________）（填推理的依据）.②∴.∴∵，∴.∴.∴（__________）（填推理的依据）.③由①②③得：，，均为等腰三角形.25.已知实数a 、b 满足，，（1）求代数式值；（2）求代数式的值.26.如图，在中，直线MN 是边AB 的垂直平分线，点D 是直线MN 上一点，连接AD ，CD ，满足，求证：CD 为的外角的角平分线.27.对于一个正整数n ，若存在正整数k ，使得n 能表示为k 和的平方差，那么称这个正整数n 为k 系平方差数.例如：，则20为6系平方差数.（1）直接写出10系平方差数.（2）已知为k 系平方差数，求M 的值.（3）已知a ，b 为正整数，，且为k 系平方差数.①直接写出a 与b 之间的数量关系；②若是m 系平方差数，请判断是否为平方差数.若是请直接写出是_______系平方差数（用含m 的代数式来表示）；若不是请写出理由；28.在中，，，D 点是边AB 上一点，E 为边AC 上一点，连接CD ，DE .（1）如图1，，点D 为AB 中点，，，直接写出EC 的长，（2）如图2，，，，连接BE 交CD 于点F ，延长FE 至P ，使得B ∠=∠3B C ∠=∠3ADB C ∠=∠l CE DE =C CDE ∠=∠2AED C CDE C∠=∠+∠=∠3ADB C CAD C ∠=∠+∠=∠2CAD ADB C C ∠=∠-∠=∠AED CAD ∠=∠AD DE =ABD △ADE △CDE △6a b +=4ab =22a b +()23a b a b ab -+ABC △2ACB ADM ∠=∠ABC △ACP ∠2k -222064=-()()()23234126M k k k k =+---+a b >()()222336a b b ab +-+-11a b ++20242022a b -ABC △AB AC =BAC α∠=60α=︒8AB =DE AC ⊥60α=︒3AB BD =DE AC ⊥，连接AP ，①依题意补全图形；②用等式表示线段AP ，BP ，CF 之间的数量关系，并证明，（3）如图3，点E 为定点，，连接BE ，点M 为线段BE 上的一个动点，且满足，当取得最小值时，直接写出的值（用和表示）.PF CF =CBE β∠=BM AD =AM CD +BDC ∠αβ。
人大附中初二年级第一学期数学统一练习12
人大附中初二年级第一学期数学统一练习⑿2010.12一、选择题1. 下列算式：①34113333-÷==；②3227()-=-；③33.26100.000326-⨯=-；④001()999910000=；⑤232361(2)22--⨯==；⑥21020-=-中正确的个数是( ) A.2个 B.3个 C.4个D.5个2. 根据分式的基本性质，分式a a b--可变形为( )A.a a b --B.a a b +C.a a b --D.a a b-+3. 下列各式与x yx y-+相等的是( ) A.()()55x y x y -+++ B.22x y x y-+ C.()()222x y x y x y -≠-D.2222x y x y -+ 4. 化简212239m m ++-的结果是( ) A.69m - B.23m -C.23m +D.299m m +- 5. 如果分式222x y中，x 、y 的值都变为原来的一半，则分式的值( )A.不变B.是原来的2倍C.是原来的12倍D.以上都不对6. 当分式3x -的值为零时，x 的值为( ) A.0B.3C.－3D.±37. 下列算式中，你认为错误的是( )A.11b aa b ÷⨯= B.1a b a b a b +=++1=+ D.2211()a b a b -⋅=+ 8. 若x <2，则22x x --的值为( )A.－1B.0C.1D.29. 某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A 、B 两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比A 型包装箱多装15件文具，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用12个。
设B 型包装箱每个可以装x 件文具，根据题意列方程为( ) A.108010801215x x =+- B.108010801215x x =++ C.108010801215x x =-+ D.108010801215x x =--10. 甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a 小时相遇；若同向而行，则b 小时追上乙，那么甲的速度是乙的速度的( ) A.a b b +倍 B.b a b +倍 C.b a b a -+倍 D.b a b a +-倍二、填空题11. 将21,,243y xx xyy 通分后的结果分别为；12. 计算()()2132----13. 若23a =，则2223712a a a a ---+的值等于；14. 已知12210,20a b a b -+=-=，则22a b -+的值为; 15. 若方程2x k -=有增根，则k 的值为； 16. 已知123x y z z x ==++，则2y zx +＝；17. 已知111a b c ----=，则b =;18. 我国是一个水资源贫乏的国家，每一个公民都应自觉养成节约用水的习惯。
北京人大附中2022-2023学年八年级数学第一学期期末统考试题含解析
2022-2023学年八上数学期末模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，如在△ABC 中，BC ＝8，AB 的垂直平分线交BC 于D ，AC 的垂直平分线交BC 与E ，则△ADE 的周长等于（ ）A ．8B ．4C ．2D ．12．利用形如()a b c ab ac +=+这个分配性质，求(32)(5)x x +-的积的第一步骤是( ) A ．(32)(32)(5)x x x +++-B ．3(5)2(5)x x x -+-C ．231310x x --D ．231710x x --3．如图所示，∠1＝∠2＝150°，则∠3＝（ ）A ．30°B ．150°C ．120°D ．60°4．将0.000617用科学记数法表示，正确的是（ ）A ．66.1710-⨯B ．46.1710-⨯C ．56.1710-⨯D ．26.1710-⨯5．如图，在直角ABC 中，90C =∠，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，且BE 平分∠ABC ，则A ∠等于 （ ）A ．22.5B ．30C ．25D ．456．已知二元一次方程组m 2n 42m n 3-=⎧⎨-=⎩，则m+n 的值是（ ） A ．1 B ．0C ．-2D ．-1 7．若点()1,1P m -关于原点的对称点是()22,P n ，则m+n 的值是 ( )A ．1B ．-1C ．3D ．-38．函数y ＝5﹣2x ，y 的值随x 值的增大而（ ）A ．增大B ．减小C ．不变D ．先增大后减小9．已知直线y ＝－x ＋4与y ＝x ＋2如图所示，则方程组42y x y x =-+⎧⎨=+⎩的解为( )A ．31x y =⎧⎨=⎩B ．13x y =⎧⎨=⎩C ．04x y =⎧⎨=⎩D ．40x y =⎧⎨=⎩10．一件工作，甲单独完成需要a 天，乙单独完成需要b 天，如果甲、乙二人合作，那么每天的工作效率是（ ）A ．a+bB ．11a b +C ．1a b +D ．ab a b + 11．已知当2x =时，分式2x a x b +-的值为0，当1x =时，分式2x a x b +-无意义，则a -b 的值为（ ）A ．4B ．－4C ．0D ．14 12．已知13a a +=，则221a a +的值为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．8二、填空题（每题4分，共24分）13．计算2201920172018⨯-=____．14．如图，在Rt △ABC 中，平分交BC 于D 点，E ，F 分别是上的动点，则的最小值为__________．15．一组数据：1、2、4、3、2、4、2、5、6、1，它们的中位数为_____．16．已知等腰三角形有两条边分别是3和7，则这个三角形的周长是_______.17．分解因式：12a 2－3b 2＝____．18．已知关于x 的不等式|2||3|x x a ++-<有解，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（共78分）19．（8分）阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有上述方法就无法分解，如x 2﹣4y 2+2x ﹣4y ，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：x 2﹣4y 2+2x ﹣4y＝（x 2﹣4y 2）+（2x ﹣4y ）＝（x+2y ）（x ﹣2y ）+2（x ﹣2y ）＝（x ﹣2y ）（x+2y+2）这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：x 2﹣6xy+9y 2﹣3x+9y（2）△ABC 的三边a ，b ，c 满足a 2﹣b 2﹣ac+bc ＝0，判断△ABC 的形状．20．（8分）如图，∠A=∠D=90°，AC=DB ，AC 、DB 相交于点O ．求证：OB=OC ．21．（8分）因雾霾天引发的汽车尾气污染备受关注，由此汽车限号行驶也成为人们关注的焦点，限行期间为方便市民出行，某路公交车每天比原来的运行增加15车次．经调研得知，原来这路公交车平均每天共运送乘客5600人，限行期间这路公交车平均每天共运送乘客8000人，且平均每车次运送乘客与原来的数量基本相同，问限行期间这路公交车每天运行多少车次？22．（10分）某校为了体育活动更好的开展，决定购买一批篮球和足球．据了解：篮球的单价比足球的单价多20元，用1000元购买篮球的个数与用800元购买足球的个数相同．（1）篮球、足球的单价各是多少元？（2）若学校打算购买篮球和足球的数量共100个，且购买的总费用不超过9600元，问最多能购买多少个篮球？23．（10分）如图，已知BAD CAE ∠=∠，AB AD =，AC AE =．求证：B D ∠=∠．24．（10分）计算或解方程：（1）计算下列各题①（π﹣3.14）0+（﹣23）2﹣3﹣2； ②（3a ﹣1）2﹣（3a ﹣2）（3a +4）；③（12a 5b 7﹣8a 4b 6﹣4a 4b 2）÷（﹣2a 2b ）2；（2）解分式方程：2121x x x =++-． 25．（12分）阅读理解：“若x 满足（21﹣x ）（x ﹣200）＝﹣204，试求（21﹣x ）2+（x ﹣200）2的值”． 解：设21﹣x ＝a ，x ﹣200＝b ，则ab ＝﹣204，且a +b ＝21﹣x +x ﹣200＝1．因为（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2，所以a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝12﹣2×（﹣204）＝2， 即（21﹣x ）2+（x ﹣200）2的值为2．同学们，根据材料，请你完成下面这一题的解答过程：“若x 满足（2019﹣x ）2+（2017﹣x ）2＝4044，试求（2019﹣x ）（2017﹣x ）的值”．26．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC （即三角形的顶点都在格点上）．（1）在图中作出△ABC 关于直线l 对称的△A 1B 1C 1；（要求：A 与A 1，B 与B 1，C 与C 1相对应）（2）在（1）问的结果下，连接BB 1，CC 1，求四边形BB 1C 1C 的面积．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD,AE=EC,进而可得AD+ED+AE=BD+DE+EC,从而可得答案．【详解】解：∵AB 的垂直平分线交BC 于D,∴AD=BD,∵AC 的垂直平分线交BC 与E,∴AE=CE,∵BC=1,∴BD+CE+DE=1,∴AD+ED+AE=1,∴△ADE 的周长为1,故答案为：1．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质,关键是掌握线段垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等．2、A【分析】把3x+2看成一整体，再根据乘法分配律计算即可．【详解】解：(32)(5)x x +-的积的第一步骤是(32)(32)(5)x x x +++-．本题主要考查了多项式乘多项式的运算，把3x+2看成整体是关键，注意根据题意不要把x-5看成整体．3、D【解析】由∠1，∠2的度数，利用邻补角互补可求出∠ABC ，∠BAC 的度数，再利用三角形的外角性质即可求出∠3的度数．【详解】解：∵∠1=∠2=150°，∴∠ABC=∠BAC=180°-150°=30°，∴∠3=∠ABC+∠BAC=60°．故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的外角性质以及邻补角，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．4、B【分析】把一个数表示成10n a ⨯的形式，其中10a ≤<1∣∣，n 是整数，这种记数方法叫做科学记数法，根据科学记数法的要求即可解答.【详解】0.000617=46.1710-⨯，故选：B.【点睛】此题考查科学记数法，注意n 的值的确定方法，当原数小于1时，n 等于原数左起第一个不为0的数前0的个数的相反数，按此方法即可正确求解.5、B【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB=EA ，则∠EBA=∠A ，而∠EBA=∠CBE ，利用三角形内角和定理即可计算出∠A ．【详解】解：∵AB 的垂直平分线交AB 于D ，∴EB=EA ， ∴∠EBA=∠A ，又∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBA=∠CBE ， 而∠C=90°，∴∠CBA+∠A=90°，∴∠A=30°．本题考查了线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．也考查了角平分线的定义以及三角形内角和定理．6、D【解析】分析：根据二元一次方程组的特点，用第二个方程减去第一个方程即可求解.详解：24 23m nm n-=⎧⎨-=⎩①②②-①得m+n=-1.故选：D.点睛：此题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，关键是利用加减法对方程变形，得到m+n这个整体式子的值.7、B【解析】根据关于原点对称的点的坐标特点；两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可得m、n的值，进而可算出m+n的值．【详解】∵点P1（m，-1）关于原点的对称点是P2（2，n），∴m=-2，n=1，∴m+n=-2+1=-1，故选B．【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．8、B【分析】根据函数y＝5﹣2x和一次函数的性质可以得到y随x的增大如何变化，本题得以解决．【详解】解：∵y＝5﹣2x，k＝﹣2＜0，∴y的值随x值的增大而减小，故选：B．【点睛】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．9、B【解析】二元一次方程组42y xy x=-+⎧⎨=+⎩的解就是组成二元一次方程组的两个方程的公共解，即两条直线y ＝－x ＋4与y ＝x ＋2的交点坐标13x y =⎧⎨=⎩． 故选B点睛：本题考查了一次函数与二元一次方程组．二元一次方程组的解就是组成该方程组的两条直线的图象的交点．10、B【分析】根据甲单独完成需要a 天可得甲每天的工作效率为1a ，同理表示出乙每天的工作效率为1b，接下来只需将两人一天完成的工作量求和即可 【详解】由甲单独完成需要a 天，得 甲每天的工作效率为1a 由乙单独完成需要b 天，得 乙每天的工作效率为1b则甲乙两人合作，每天的工作效率为1a +1b . 故答案选B.【点睛】本题考查了列代数式，解题的关键是根据题意列出代数式.11、B【分析】根据题意可得，当2x =时，分子0x a +=，当1x =时，分母20x b -=，从而可以求得a 、b 的值，本题得以解决． 【详解】解：当2x =时，分式2x a x b+-的值为0，当1x =时，分式无意义， ∴20210a b +=⎧⎨⨯-=⎩， 解得，22a b =-⎧⎨=⎩， 224a b ∴-=--=-，故选B ．【点睛】本题考查分式的值为零的条件、分式有意义的条件，解答本题的关键是明确题意，求出a 、b 的值．12、C【分析】根据完全平方公式的变形即可求解. 【详解】∵13a a += ∴219a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 即22129a a ++= ∴221a a+=7， 故选C. 【点睛】此题主要考查完全平方公式的运用，解题的关键是熟知完全平方公式的变形及运用.二、填空题（每题4分，共24分）13、1-【分析】设2018,a =把原式化为()()2220192017201811a a a ⨯-=+--，从而可得答案．【详解】解：设2018,a =()()2220192017201811a a a ∴⨯-=+--221a a =--1,=-故答案为： 1.-【点睛】本题考查的是利用平方差公式进行简便运算，掌握平方差公式是解题的关键． 14、【分析】利用勾股定理先求出BA ，再求到CH ，由垂线段最短可得解.【详解】如图，在AB 上取点F′，使AF′=AF，过点C 作CH ⊥AB ，垂足为H ． 在Rt△ABC 中，依据勾股定理可知BA=10，CH=．∵EF+CE=EF′+EC ，∴当C 、E 、F′共线，且点F′与H 重合时，FE+EC 的值最小，最小值为．故答案为．15、2.1【分析】将数据重新排列，再根据中位数的定义求解可得．【详解】解：将这组数据重新排列为1、1、2、2、2、3、4、4、1、6， 所以这组数据的中位数为232+＝2.1， 故答案为：2.1．【点睛】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．16、17【解析】根据等腰三角形的可得第三条边为3或7，再根据三角形的三边性质即可得出三边的长度，故可求出三角形的周长.【详解】依题意得第三条边为3或7，又3+3＜7，故第三条边不能为3，故三边长为3,7,7故周长为17.【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知三角形的构成条件.17、3(2a ＋b )(2a －b )【解析】12a 2－3b 2＝3（4a 2-b 2）=3(2a+b)(2a-b);故答案是：3(2a ＋b )(2a －b )。
人大附中 初二数学上期中统练试题
人大附中 初二（上）数学统练试题2010.11一、选择题(每题2分，共26分)1．下列计算中，正确的是( )A ．a 10+a 5=a 2B ．3a-2a=aC ．a 3-a 3=1D ．(a 2)3=a 52．按下列程序计算，最后输出的答案是（ ）A ．a 3B ．a 2+1C ．a 2D ．a3．(a+1)2-(a-1)2=( )A ．2B ．4C ．4aD ．2a 2+24．下列运算中，正确的是 ( )A B C ．（ab)2=ab 2 D ．3a+2a=5a 2 5．下列分解因式错误的是（ )A 、x 2-y 2=(x+y)(x-y)B ．x 2+2x+l=(x+1)2C ．x 2+y 2=(x+y)2D ．x 2+xy=x(x+y)6．如图，已知直线y=kx-3经过点M ，则此直线与x 轴、y 轴围成的三角形面积为（ ）A. 2B.4C.92 D. 947．已知关于x 的一次函数y=(k-1k ）+1k ，其中实数k 满足0<k<1，当自变量x 在 l ≤x ≤2的范围内变化时，此函数的最大值为( )A ．1B ．2C ．kD ．2k-1k8．下列等式必定成立的是( ）A 、a 2+a 3=a 5B ． x 2-y 2 =(x-y ）2C ．-x(2-x)=x 2-2xD ．(1-x)°=19．现规定一种运算：a*b=ab+a-b ，其中a ，b 为实数，则a*b+(b-a)*b 等于( )A ．a 2-bB ．b 2-bC ．b 2 D.b 2-a10．甲、乙两人骑车从学校出发，先上坡到距学校6千米的A 地，再下坡到距学校16千米的B 地，甲、乙两人行程y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系如图所示．若甲、乙两人同时从B 地按原路返回到学校，返回时，甲和乙上、下坡的速度仍保持不变．则下列结论：①乙往返行程中的平均速度相同；②乙从学校出发45分钟后追上甲；③乙从B 地返回到学校用时l 小时18分钟；④甲、乙返回时在下坡路段相遇．其中正确的结论有( )A ．②③B ．①④C ．①②④D ．②③④11．如果代数式-2a+3b+8的值为18，那么代数式9b-6a+2的值等于( )A ．28B ．-28C ．32D ．-3212．已知-(1-2x 2)为x 4+1-2x 2的平方根，则满足这一关系的x 的值共有( )个A ．4B ．3C ．2D ．113．直线y=kx+b 与直线y=13x+2k-b 关于直线y=-x 成轴对称，则代数式3k ÷b 的值为（ ） A ．5 B ．1 C.2 D ．4二、填空题(每空2分，共26分)14．|2- =______．15______．16．若(x-1)2=1，则x =_________．17．x-2的平方根为±2，3x+y+1的立方根为3，则x2+y2平方根为_________.18．函数中，自变量x的取值范面是__________．l9．在△ABC中，AB=AC，∠A=x°,∠B=y°，则y与x的函数关系式是___________. 20．一次函数y=(3-k)x+k-5的图象不过第一象限，则整数k=_______.21．计算(3x+k)(2x-3)的结果中不含x项，则k=_______22．计算：(-12a3)2²(-4ab2)3²(-ab2)=________23．直线y=-x+a与y=x+b的交点为(-p,-5)，则a+b=___________．24．已知，一次函数y=-x+5的图象经过点P(a，b)和Q(c，d)，则a(c-d)-b(c-d)的值为_________. 25．直线y=3x-1与y=x-k的交点在第四象限，则k的取值范围是_______.26．已知点P(k，k2+1)在一次函数y1=(k-1)x+k2+k的图象上，则代数式k2+k+1的值为_____________. 三．解答(每题5分，共30分)27．拖拉机油箱有油60公升，若每小时耗油6公升，(1)求油箱中的剩油量Q与耗油时间t之间的函数关系；(2)画图．28．解方程组()()()() 22x2y3x y x-y x3y2⎧+--=+⎪⎨-=⎪⎩29．已知：一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点到原点的距离为3，且过A(2，1)点，求它的解析式30．先化简，再求值：[(xy+2)(xy-2)-2(x2y2-2)]÷(x y)，其中x=10，y=-1 25.31．已知实数a、b满足(a+b)2=1，(a-b)2=25，求a2+b2+ab的值．32．规定：如果两个一次函数的一次项系数和常数项互换，即y=kx+b和y=bx+k（其中｜k｜≠｜b｜)，称这样的两个一次函数为互助一次函数，例如y=-2x+13和y=13x-2就是互助一次函数．根据规定解答下列问题：(1)填空：一次函数y=-14x +4与它的互助一次函数的交点坐标为（）(2)若两个一次函数y=(k-3)x+3k-2b与y=(2k+b)x-3k+b是互助一次函数，求两函数图象与y轴围成的三角形的面积四、解答(每题6分，共：18分）33、学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，汽车上至少要有l名教师，现有甲种可载45人的客车，其租金400元；乙种载容30人的客车，其租金280元，(1)问共需租多少辆汽车?(2)求最节省费用的租车方案．34．己知：直线AB：y=2x+8与x、y轴交于A、B两点，（1）若C为x轴上一点，且△ABC面积为32，求C点坐标：(2)若过C点的直线l与直线y=2x+8的夹角为45°，求直线l的解析式．。
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分式统练一选择题（每题4分，共32分）1. 下列各式-4xy , x y a 73+, πxy 2,m a 1+,x +63,y x 2131+,x xy中分式的个数有（ ）个Ａ ２ Ｂ ３ Ｃ ４ Ｄ 52. 若把分式xy x 23+中的x y 同时缩小12倍，则分式的值（ ） Ａ 扩大12倍 Ｂ缩小12倍 Ｃ 不变 Ｄ缩小６倍3. 下列变形中错误的是（ ） Ａ)0(≠=c bc ac b a Ｂ 1b ---=+b a a Ｃ b a b a b a b a 321053.02.05.0-+=-+Ｄxy x y y x y x +-=+- 4. 已知ab=1,则)1)(1(bb a a +-把化成整式为（ ） A 2a 2 B 2b 2 C b 2-a 2 D a 2-b 25. 化简22-93mm m -的结果是（ ） A 3+m m B -3+m m C mm -3 D mm -3 6. 分式14+a 的值为整数，则整数a 的值为（ ） A 1,2,4 B 1,-1,2,-2,4,-4 C 0,1,3 D 0,-2,1,3,-3,-57. 如果2=a b ,则2222b a ab b a +-+=( ) A 53 B 1 C 2 D 548. 已知31=+x x ,则1242++x x x 的值是（ ） A 31 B 81 C 91 D 641 二 填空题（每空4分，共32分）9. 当x_________时，分式3-9-2x x 有意义，当x_________时，分式3-9-2x x 的值为0 10. 分式xy x 713- ,)(322x y x y - ,yx 221-的最简公分母是________________11. 31-m 34+++m m =_________,=-+-1x 11x x ________ 12. 已知611=-y x ,yxy x y xy x ---+525=_________,则________________ 13. 在实数范围内定义一种运算☆，其规则为a ☆b=ba 21-,根据这个规则计算 x ☆(x+1)=________,14. 已知a b 为实数，且ab=1,设,，则M=11+-+b b a a 与N=1111+-+b a 的大小关系是M________________N(填 >< = ≤ ≥）15. 计算（１）2422---a a a (2)446322+++-+x x x x x(3)xy x y xz x z yz z y 674332232---+- (4)xx x x 26196312+-----16. 先化简，再求值 (1)2292312a a a a a a --÷-+- ,其中a=-2(2)bb b b b -+÷-++11)11(2,其中b=317. 已知2010,2009,2008222=+=+=+x c x b x a 且abc=12,求c b a ac b ab c bc a 111---++的值18. 已知0132=+-a a ,则1825222345+-+-a a a a a 的值是多少？19. 已知a+b+c=0,求222222222111b c a a c b c b a -++-++-+的值。
北京师范大学第一附属中学八年级数学上册第十二章《全等三角形》经典练习(培优提高)
一、选择题1．如图，AB ∥CD ，BE 和CE 分别平分∠ABC 和∠BCD ，AD 过点E ，且AD ⊥AB ，点P 为线段BC 上一动点，连接PE ．若AD ＝14，则PE 的最小值为（ ）A ．7B ．10C ．6D ．5A解析：A【分析】 当EP ⊥BC 时，EP 最短，根据角平分线的性质，可知EP=EA=ED=12AD ，由AD ＝14，求出即可．【详解】解：当EP ⊥BC 时，EP 最短，∵AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∴AD ⊥CD ，∵BE 平分∠ABC ，AE ⊥AB ，EP ⊥BC ，∴EP=EA ，同理，EP=ED ，此时，EP=12AD=12×14=7， 故选A ．【点睛】 本题考查了角平分线的性质和垂线段最短，熟练找到P 点位置并应用角平分线性质求EP 是解题关键．2．如图已知ABC ∆中，12AB AC cm ==，B C ∠=∠，8BC cm =，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以2/cm s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．若点Q 的运动速度为v ，则当BPD ∆与CQP ∆全等时，v 的值为（ ）A ．1B ．3C ．1或3D ．2或3D解析：D【分析】设运动时间为t 秒，由题目条件求出BD=12AB=6，由题意得BP=2t ，则CP=8-2t ，CQ=vt ，然后结合全等三角形的判定方法，分两种情况列方程求解．【详解】解：设运动时间为t 秒，∵12AB AC cm ==，点D 为AB 的中点．∴BD=12AB=6， 由题意得BP=2t ，则CP=8-2t ，CQ=vt ，又∵∠B=∠C∴①当BP=CQ ，BD=CP 时，BPD ∆≌CQP ∆∴2t=vt ，解得：v=2②当BP=CP ，BD=CQ 时，BPD ∆≌CPQ ∆∴8-2t=2t ，解得：t=2将t=2代入vt=6，解得：v=3综上，当v=2或3时，BPD ∆与CQP ∆全等故选：D【点睛】本题主要考查了全等三角形全等的判定、熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．3．如图，在ABC 中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，AD 与CE 交于点F ．请你添加一个适当的条件，使AEF ≌CEB △．下列添加的条件不正确的是（ ）A ．EF EB =B ．EA EC = C ．AF CB =D ．AFE B ∠=∠ D解析：D【分析】 根据垂直关系，可以判断△AEF 与△CEB 有两对角相等，就只需要添加一对边相等就可以了．【详解】解：∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，∴∠AEF=∠CEB=90°，∠ADB=∠ADC=90°，∴∠EAF+∠B=90°，∠BCE+∠B=90°，∴∠EAF=∠BCE ．A.在Rt △AEF 和Rt △CEB 中AEF CEB EAF BCE EF EB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEF ≌CEB △（AAS ），故正确；B.在Rt △AEF 和Rt △CEB 中 AEF CEB EA ECEAF BCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AEF ≌CEB △（ASA ），故正确；C.在Rt △AEF 和Rt △CEB 中 AEF CEB EAF BCE AF CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEF ≌CEB △（AAS ），故正确；D.在Rt △AEF 和Rt △CEB 中 由AEF CEB EAF BCE AFB B ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩不能证明AEF ≌CEB △，故不正确；故选D ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．4．下列四个命题中，真命题是（）A．如果ab＝0，那么a＝0B．面积相等的三角形是全等三角形C．直角三角形的两个锐角互余D．不是对顶角的两个角不相等C解析：C【分析】根据有理数的乘法、全等三角形的概念、直角三角形的性质、对顶角的概念判断即可．【详解】解：A、如果ab＝0，那么a＝0或b＝0或a、b同时为0，本选项说法是假命题，不符合题意；B、面积相等的三角形不一定全等，本选项说法是假命题，不符合题意；C、直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题，符合题意；D、不是对顶角的两个角可能相等，本选项说法是假命题，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF 的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组C解析：C【分析】要使△ABC≌△DEF的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断．【详解】解：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF．第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△DEF．所以有3组能证明△ABC≌△DEF．故符合条件的有3组．故选：C ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．6．如图，ABC 和DEF 中，∠A=∠D ，∠C=∠F ，要使ABC DEF ≅，还需增加的条件是（ ）A ．AB=EFB ．AC=DFC ．∠B=∠ED ．CB=DE B解析：B【分析】 根据AAS 定理或ASA 定理即可得．【详解】在ABC 和DEF 中，,A C F D ∠∠∠=∠=，∴要使ABC DEF ≅，只需增加一组对应边相等即可，即需增加的条件是AB DE =或AC DF =或BC EF =，观察四个选项可知，只有选项B 符合，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 7．如图，123,,l l l 是三条两两相交的公路，现需建一个仓库，要求仓库到三条公路距离相等，则仓库的可能地址有（ ）处．A ．1B ．2C ．3D ．4D解析：D【分析】 到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点，把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．【详解】（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处（2）三个外角两两平分线的交点，共三处，共四处，故选：D．．【点睛】此题考查角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，熟记性质是正确解题的关键．8．到ABC的三条边距离相等的点是ABC的( )A．三条中线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条高的交点D．三条角平分线的交点D解析：D【分析】由于角平分线上的点到角的两边的距离相等，而已知一点到ABC的三条边距离相等，那么这样的点在这个三角形的三条角平分线上，由此即可作出选择.【详解】解:∵到ABC的三条边距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等，∴这点在这个三角形三条角平分线上，即这点是三条角平分线的交点，故选：D.【点睛】此题主要考查了三角形的角平分线的性质：三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等.∠=∠，E、D、F分别是AB、BC、AC上的点，且9．如图，在ABC中，B C=，BD CFBE CD=，若104A∠=︒，则EDF∠的度数为（）A ．24°B ．32°C ．38°D ．52°C解析：C【分析】 根据题意可证明BDE CFD ≌，以及求解∠B 的度数，再由三角形的外角性质和全等三角形的性质推出∠EDF=∠B ，从而得出结果．【详解】在BDE 与CFD 中，BE CD B C BD CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BDE CFD SAS ≌∴∠BED=∠CDF ，又∵∠B+∠BED=∠EDC=∠EDF+∠CDF ，∴∠B=∠EDF ，∵在BAC 中，∠A=104°，∠B=∠C ，∴∠B=（180°-104°）÷2=38°，∴∠EDF=38°，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理与外角性质，熟练证明全等并利用其性质进行推理演算是解题关键．10．已知，如图，OC 是∠AOB 内部的一条射线，P 是射线OC 上任意点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，下列条件中：①∠AOC ＝∠BOC ，②PD ＝PE ，③OD ＝OE ，④∠DPO ＝∠EPO ，能判定OC 是∠AOB 的角平分线的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D解析：D【分析】根据角平分线的性质、全等三角形的判定定理和性质定理判断即可．【详解】解：∵∠AOC ＝∠BOC ，∴OC 是∠AOB 的角平分线，① 符合题意；∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，PD ＝PE ，∴OC 是∠AOB 的角平分线，② 符合题意；在Rt △POD 和Rt △POE 中，OD DE OP OP =⎧⎨=⎩， ∴Rt △POD ≌Rt △POE ，∴∠AOC ＝∠BOC ，∴OC 是∠AOB 的角平分线，③ 符合题意；∵∠DPO=∠EPO ，PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴在△POD 和△POE 中，DPO EPO PDO PEO OP OP =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠∴△POD ≌△POE （AAS ），∴∠AOC ＝∠BOC ，∴OC 是∠AOB 的角平分线，④ 符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键；二、填空题11．如图，四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，AC 平分DAB ∠，CM AB ⊥于点M ，若4cm AM =， 2.5cm BC =，则四边形ABCD 的周长为______cm ．13【分析】过点C 作CN ⊥AD 交AD 延长线于点N 由角平分线的性质得到CN=CM 然后证明△CDN ≌△CBM 得到DN=BMCD=CB=25然后求出AN=AM=4则AD=4DN 即可求出四边形的周长【详解】解析：13【分析】过点C 作CN ⊥AD ，交AD 延长线于点N ，由角平分线的性质，得到CN=CM ，然后证明△CDN ≌△CBM ，得到DN=BM ，CD=CB=2.5，然后求出AN=AM=4，则AD=4-DN ，即可求出四边形的周长．【详解】解：根据题意，过点C 作CN ⊥AD ，交AD 延长线于点N ，如图：∵CM AB ⊥，CN ⊥AD ，∴∠N=∠CMB=90°，∵180B ADC ∠+∠=︒，180CDN ADC ∠+∠=︒，∴B CDN ∠=∠，∵AC 平分DAB ∠，∴CN=CM ，∴△CDN ≌△CBM ，∴DN=BM ，CD=CB=2.5，∵AC=AC ，∠N=∠CMA=90°，∴△ACN ≌△ACM （HL ），∴AN=AM=4，∴AD=4-DN ，∴AB=4+BM=4+DN ，∴四边形ABCD 的周长为：4 2.5 2.5413AD DC CB AB DN DN +++=-++++=；故答案为：13．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用所学的知识，正确得到AD=4-DN ，AB=4+DN ．12．如图（1），已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上一点，连接BD ，CD ；如图（2），已知AB AC =，D ，E 为BAC ∠的角平分线上两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图（3），已知AB AC =，D ，E ，F 为BAC ∠的角平分线上三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；……，依此规律，第7个图形中有全等三角形的对数是________．28【分析】设第n 个图形中有an （n 为正整数）对全等三角形根据各图形中全等三角形对数的变化可找出变化规律an=（n 为正整数）再代入n=7即可求出结论【详解】解：设第n 个图形中有an （n 为正整数）对全解析：28【分析】设第n 个图形中有a n （n 为正整数）对全等三角形，根据各图形中全等三角形对数的变化可找出变化规律“a n =(1)2n n +（n 为正整数）”，再代入n=7即可求出结论． 【详解】解：设第n 个图形中有a n （n 为正整数）对全等三角形．∵点E 在∠BAC 的平分线上∴∠BAD=∠CAD 在△ABD 和△ACD 中，AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD （SAS ），∴a 1=1；同理，可得：a 2=3=1+2，a 3=6=1+2+3，a 4=10=1+2+3+4，…，∴a n =1+2+3+…+n=(1)2n n +（n 为正整数）， ∴a 7=7(71)282⨯+=． 故答案为：28．【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及规律型：图形的变化类，根据各图形中全等三角形对数的变化，找出变化规律“a n =(1)2n n +（n 为正整数）”是解题的关键． 13．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与外角∠ACE 的平分线交于点D ，若∠D ＝20°，则∠A ＝_____．40°【分析】利用角平分线的性质可知∠ABC ＝2∠DBC ∠ACE ＝2∠DCE 再根据三角形外角的性质可得出∠D ＝∠DCE ﹣∠DBE ∠A ＝∠ACE ﹣∠ABC 即得出∠A ＝2∠D 即得出答案【详解】∵∠ABC 解析：40°【分析】利用角平分线的性质可知∠ABC ＝2∠DBC ，∠ACE ＝2∠DCE ．再根据三角形外角的性质可得出∠D ＝∠DCE ﹣∠DBE ，∠A ＝∠ACE ﹣∠ABC ．即得出∠A ＝2∠D ，即得出答案．【详解】∵∠ABC的平分线交∠ACE的外角平分线∠ACE的平分线于点D，∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACE＝2∠DCE，∵∠DCE是△BCD的外角，∴∠D＝∠DCE﹣∠DBE，∵∠ACE是△ABC的外角，∠A＝∠ACE﹣∠ABC＝2∠DCE﹣2∠DBE＝2（∠DCE﹣∠DBE），∴∠A＝2∠D＝40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查角平分线和三角形外角的性质，熟练利用角平分线和三角形外角的性质来判断题中角之间的关系是解答本题的关键．≅，延长BC，分别交AD，ED于点F，G，若14．如图，ABC ADE∠=________︒．EAB∠=︒，10120B∠=︒，30CAD∠=︒，则CFD95【分析】根据全等三角形的性质得∠BAC=∠DAE结合三角形外角的性质和三角形内角和定理即可求解【详解】解：∵∴∴∴∴故答案为：【点睛】本题主要考查全等三角形的性质三角形外角的性质和三角形内角和定解析：95【分析】根据全等三角形的性质，得∠BAC=∠DAE，结合三角形外角的性质和三角形内角和定理，即可求解．【详解】≅，解：∵ABC ADE∴()∠=∠=-÷=，BAC DAE12010255∴85∠=∠+∠=，ACF BAC B∴18085∠=-∠-∠=，CFA ACF CAD∴1808595CFD ∠=-=．故答案为：95．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理，熟练掌握上述定理和性质，是解题的关键．15．如图所示，在ABC 中，AB AC =，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E ，F ．则下面结论中（1）DA 平分EDF ∠；（2）AE AF =，DE DF =；（3）AD 上的点到B ，C 两点的距离相等；（4）图中共有3对全等三角形．正确的有________ ．（1）（2）（3）（4）【分析】在△ABC 中AB=ACAD 是△ABC 的平分线可知直线AD 为△ABC 的对称轴再根据图形的对称性逐一判断【详解】解：（1）∵在中是的角平分线∴∵∴∴∴平分故（1）正确；（解析：（1）（2）（3）（4）【分析】在△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的平分线，可知直线AD 为△ABC 的对称轴，再根据图形的对称性，逐一判断．【详解】解：（1）∵在ABC 中，AB AC =，AD 是ABC 的角平分线，∴BAD CAD ∠=∠．∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴ADE 90BAD ∠∠=︒-，ADF 90CAD ∠∠=︒-，∴ADE ADF ∠∠=， ∴DA 平分EDF ∠，故（1）正确；（2）由（1）可知，ADE ADF ∠∠=，在AED 和AFD 中，EAD FAD,AD AD,ADE ADF,∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()AED AFD ASA ≅，∴AE AF =，DE DF =，故（2）正确；（3）在AD 上取一点M ，连结BM ，CM ．在ABM 和ACM 中，AB AC BAD CAD AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ABM ACM SAS ≅，∴BM CM =，故（3）正确；（4）在ABD 和ACD 中，AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ABD ACD SAS ≅．∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴∠AED=∠AFD=90°在ADE 和ADF 中，AED=AFD BAD CAD AD AD ∠∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ADE ADF AAS ≅． ∵ABD ACD ≅∴∠ABC=∠ACB ，BD=CD ，∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴∠BED=∠CFD在BED 和CFD △中，EBD FCD BED CFD BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BED CFD AAS ≅，∴图中共有3对全等三角形，故（4）正确．故答案为：（1）（2）（3）（4）．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用三角形全等是正确解答本题的关键．16．如图，△ABC ≌△A'B'C'，其中∠A ＝35°，∠C ＝25°，则∠B'＝_____．120°【分析】根据三角形内角和定理求出∠B 根据全等三角形的性质得出∠B=∠B′即可【详解】解：∵△ABC ∠A ＝35°∠C ＝25°∴∠B ＝180°﹣∠A ﹣∠C ＝180°﹣25°﹣35°＝120°∵△解析：120°【分析】根据三角形内角和定理求出∠B ，根据全等三角形的性质得出∠B=∠B′即可．【详解】解：∵△ABC ，∠A ＝35°，∠C ＝25°，∴∠B ＝180°﹣∠A ﹣∠C ＝180°﹣25°﹣35°＝120°，∵△ABC ≌△A'B'C'，∴∠B ＝∠B′＝120°，故答案为：120°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．17．如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，3AD =，连接BD ，BD CD ⊥，BD 平分ABC ∠．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为______．3【分析】过D作DE⊥BC于EDE即为DP长的最小值由题意可以得到△BAD≌△BED从而得到DE的长度【详解】解：如图过D作DE⊥BC于EDE即为DP长的最小值由题意知在△BAD和△BED 中∴△BA解析：3【分析】过D作DE⊥BC于E，DE即为DP 长的最小值，由题意可以得到△BAD≌△BED，从而得到DE的长度．【详解】解：如图，过D作DE⊥BC于E，DE即为DP 长的最小值，由题意知在△BAD和△BED中，A DEBABD EBD BD BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD≌△BED，∴ED=AD=3，故答案为3．【点睛】本题考查三角形全等的应用，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题关键．18．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，垂足为A，B，S△AOM=8cm2，OA=4cm，则MB=___．4cm【分析】根据求得AM的长度利用角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解【详解】解：解得∵OM平分∠POQ∴故答案为：4cm 【点睛】本题考查角平分线的性质掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解解析：4cm【分析】根据12AOMS OA AM=⋅求得AM的长度，利用角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解．【详解】解：114822AOMS OA AM AM=⋅=⨯=，解得4cmAM=，∵OM平分∠POQ，∴4cmMB AM==，故答案为：4cm．【点睛】本题考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．19．如图，△ACB和△DCE中，AC＝BC，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ADC＝∠BEC，若AB＝17，BD＝5，则S△BDE＝_______．30【分析】根据∠ACB＝∠DCE＝90°可得∠ACD＝∠BCE利用三角形全等判定可得△ACD≌△BCE则BE＝AD∠DAC＝∠EBC再证明∠DBE＝90°根据三角形面积计算公式便可求得结果【详解】解析：30【分析】根据∠ACB＝∠DCE＝90°，可得∠ACD＝∠BCE，利用三角形全等判定可得△ACD≌△BCE，则BE＝AD，∠DAC＝∠EBC，再证明∠DBE＝90°，根据三角形面积计算公式便可求得结果．【详解】解：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB．即∠ACD ＝∠BCE ．∵AC ＝BC ，∠ADC ＝∠BEC ，∴△ACD ≌△BCE ．∴BE ＝AD ，∠DAC ＝∠EBC ．∵∠DAC ＋∠ABC ＝90°，∴∠EBC ＋∠ABC ＝90°．∴△BDE 为直角三角形．∵AB ＝17，BD ＝5，∴AD ＝AB －BD ＝12．∴S △BDE ＝12BD ⋅BE ＝30． 故答案为：30．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，通过分析题意找出三角形全等的条件并能结合全等性质解决相应的计算问题是解题的关键．20．如图，已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上面一点，连接BD ，CD ；如图，已知AB AC =，D 、E 为BAC ∠的角平分线上面两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图，已知AB AC =，D 、E 、F 为BAC ∠的角平分线上面三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；…，依此规律，第n 个图形中有全等三角形的对数是______．【分析】根据图形得出当有1点D 时有1对全等三角形；当有2点DE 时有3对全等三角形；当有3点DEF 时有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n 个点时图中有个全等三角形即可【详解】解：当有1点D 时有1对全解析：)(12n n +【分析】根据图形得出当有1点D 时，有1对全等三角形；当有2点D 、E 时，有3对全等三角形；当有3点D 、E 、F 时，有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n 个点时，图中有)(12n n +个全等三角形即可．【详解】解：当有1点D 时，有1对全等三角形；当有2点D 、E 时，有3对全等三角形；当有3点D 、E 、F 时，有6对全等三角形；当有4点时，有10个全等三角形；…当有n 个点时，图中有)(12n n +个全等三角形．故答案为：)(12n n +．【点睛】 本题考查了对全等三角形的应用，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度．三、解答题21．如图，点E ，F 在线段BD 上，已知AF BD ⊥，CE BD ⊥，//AD CB ，DE BF =，求证：AF CE =．解析：见解析【分析】根据ASA 定理证明三角形全等，从而利用全等三角形的性质求解．【详解】证明：∵DE=BF ，∴DE+EF=BF+EF ；∴DF=BE ；∵AF BD ⊥，CE BD ⊥∴∠AFD=∠CEB=90°∵//AD CB∴∠B=∠D在Rt △ADF 和Rt △BCE 中B D DF BE AFD CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴Rt △ADF ≌Rt △BCE∴AF CE =【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质；由DE=BF 通过等式的性质得DF=BE 在三角形全等的证明中经常用到，应注意掌握应用．22．如图，点D 在边AC 上，BC 与DE 交于点P ，AB DB =，C E ∠=∠，CDE ABD ∠=∠．（1）求证：ABC DBE ≌；（2）已知162ABE ∠=︒，30DBC ∠=︒，求CDE ∠的度数．解析：（1）见解析；（2）66°【分析】（1）根据三角形内角和定理说明∠CDE=∠CBE ，再证明∠ABC=∠DBE ，根据AAS 可证明△ABC ≌△DBE ；（2）根据∠ABE 和∠DBC 的度数可以算出∠CBE 和∠ABD 的度数，从而得到∠CDE ．【详解】解：（1）∵∠C=∠E ，∠CPD=∠EPB ，∴∠CDE=∠CBE ，∵∠CDE=∠ABD ，∴∠CBE=∠ABD ，∴∠CBE+∠CBD=∠ABD+∠CBD ，即∠ABC=∠DBE ，又∠C=∠E ，AB=DB ，∴△ABC ≌△DBE （AAS ）；（2）∵162ABE ∠=︒，30DBC ∠=︒，∴∠ABD=∠CBE=（162°-30°）÷2=66°，∴∠CDE=∠CBE=66°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，寻找三角形全等的条件是解题的关键．23．如图，Rt ABC 与Rt DEF △的顶点A ，F ，C ，D 共线，AB 与EF 交于点G ，BC 与DE 相交于点H ，90B E ∠=∠=︒，AF CD =，AB DE =．（1）求证：Rt ABC Rt DEF ≌；（2）若1GF =，求线段HC 的长．解析：（1）见详解；（2）1【分析】（1）先证明AC=DF ，再根据HL 证明Rt ABC Rt DEF ≌；（2）先证明∠AFG=∠DCH ，从而证明∆AFG ≅∆DCH ，进而即可求解． 【详解】（1）∵AF CD =，∴AF+CF=CD+CF ，即AC=DF ，在Rt ABC 与Rt DEF △中，∵AC DF AB DE=⎧⎨=⎩， ∴Rt ABC ≅Rt DEF △（HL ）；（2）∵Rt ABC ≅Rt DEF △，∴∠A=∠D ，∠EFD=∠BCA ，∵∠AFG=180°-∠EFD ，∠DCH=180°-∠BCA ，∴∠AFG=∠DCH ，又∵AF CD =，∴∆AFG ≅∆DCH ，∴HC=GF =1．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握HL 和ASA 证明三角形全等，是解题的关键．24．已知：如图，BAD CAE ∠=∠，AB AD =，AC AE =．（1）求证：ABC ADE △≌△．（2）若42,86B C ∠=︒∠=︒，求DAE ∠的度数．解析：（1）详见解析；（2）52︒【分析】（1）先证明∠BAC=∠DAE ，即可根据SAS 证得结论；（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC 的度数，再根据全等三角形的性质得到答案．【详解】（1）∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC ．即∠BAC=∠DAE ．在△ABC 和△ADE 中AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴ABC ADE △≌△；（2）∵42,86B C ∠=︒∠=︒，∴18052BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒．∵ABC ADE △≌△，∴52DAE BAC ∠=∠=︒．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．25．如图，已知点D ，E 分别在等边三角形ABC 的边BC ，CA 上，且BD CE =，连接AD ，BE 相交于点F ，AH BE ⊥于点H ，求FAH ∠的度数．解析：30【分析】根据条件可证明( SAS )ABD BCE ≅，得到BAD CBE ∠=∠，通过三角形的外角等于不相邻的两个内角和可知AFE ABF BAD ∠=∠+∠，最后推出60AFE ABC ︒∠=∠=，求出结果即可．【详解】解：∵ABC 是等边三角形，∴AB BC =，60ABD C ︒∠=∠=在ABD △和BCE 中，,AB BC ABD C BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴( SAS )ABD BCE ≅．∴BAD CBE ∠=∠．∵AFE ABF BAD ∠=∠+∠．∴60AFE ABF CBE ABC ︒∠=∠+∠=∠=∵AH BE ⊥于点H ，∴90AHF ︒∠=，9030FAH AFH ∴∠=︒-∠=︒．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定以及性质，涉及三角形的外角，属于基础题，熟练掌握全等三角形的判定以及性质是解决本题的关键．26．如图，AB AD =，AC AE =，CAE BAD ∠=∠．求证：B D ∠=∠．解析：见解析【分析】先证明BAC DAE ∠=∠，再根据“SAS”证明ABC ADE △≌△即可．【详解】证明：CAE BAD ∠=∠，CAE EMB BAD EAB ∴∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠．在ABC 和ADE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC ADE SAS ∴≌．B D ∴∠=∠．【点睛】题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．27．如图，已知：AB ＝AD ，BC ＝DE ，AC ＝AE ，试说明：∠1＝∠2．解析：详见解析【分析】先利用SSS 证明△AB ≌和△ADE ，得到∠B=∠ADE ，根据AB=AD ，证得∠B=∠ADB ，再利用∠1+∠B+∠ADB=180︒，∠2+∠ADB+∠ADE=180︒，即可推出∠1=∠2．【详解】在△ABC 和△ADE 中，AB AD BC DE AC AE =⎧⎪=⎨⎪=⎩, ∴△ABC ≌△ADE(SSS)，∴∠B=∠ADE ，∵AB=AD ，∴∠B=∠ADB ，∵∠1+∠B+∠ADB=180︒，∠2+∠ADB+∠ADE=180︒，∴∠1=∠2．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，三角形的内角和定理，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．28．如图，AB CB ⊥，DC CB ⊥，点E 、F 在BC 上，BE CF =，再添加一个什么条件后可推出AF DE =，写出添加的条件并完成证明．解析：添加AB=CD ；证明见解析．【分析】根据线段的和差关系可得BF=CE ，故添加AB=CD 即可利用SAS 证明△ABF ≌△DCE ，根据全等三角形的性质即可得出AF=DE ．【详解】可添加AB=CD ，理由如下：∵BE=CF ，∴BE+EF=CF+EF ，即BF=CE ，∵AB CB ⊥，DC CB ⊥，∴∠B=∠C=90°，在△ABF 和△DCE 中，AB CD B C BF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△DCE ，∴AF=DE ．【点睛】本题考查全等三角形的判断与性质，全等三角形的判定方法有：SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL 等；注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，当利用SAS 判定两个三角形全等时，角必须是两边的夹角；熟练掌握并灵活运用适当判定方法是解题关键．。
北京人大附中八年级(上)期中数学试卷
八年级（上）期中数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.京剧是我国的国粹，剪纸是流传已久的民间艺术，这两者的结合无疑是最能代表中国特色的艺术形式之一，下图京剧脸谱剪纸中不是轴对称图形的是（ ）A. ．B. ．C. D.2.若分式x−2x−3有意义，那么x的取值范围是（ ）A. x≠3B. x=3C. x≠2D. x≠13.下列计算正确的是（ ）A. x+x2=x3B. x2⋅x3=x6C. (x3)2=x6D. x9÷x3=x34.如果一个等腰三角形的两边分别是3和6，则它的周长是（ ）A. 12B. 15C. 12或15D. 无法确定5.如图，点D，E为△ABC的边BC上的点，且满足DA=DB，EA=EC，若∠B=30°，∠C=40°，则∠DAE的度数为（ ）A. 36∘B. 38∘C. 40∘D. 42∘6.已知x+1x=3，则x2+1x2的值是（ ）A. 3B. 7C. 9D. 117.如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（ ）A. (a−b)2=a2−2ab+b2B. (a+b)2=a2+2ab+b2C. a2−b2=(a+b)(a−b)D. 无法确定8.如图，在暑假期间，某学校对其校内的高中楼（图中的点A），临建楼（图中的点B）和图书馆（图中的点C）进行装修，装修工人小明需要放置一批装修物资，使得装修物资到点A，点B和点C的距离相等，则装修物资应该放置在（ ）A. AC、BC两边高线的交点处B. 在AC、BC两边中线的交点处C. 在∠A、∠B两内角平分线的交点处D. 在AC、BC两边垂直平分线的交点处9.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD为△ABC的角平分线，若AC=12，则在△ABD中AB边上的高为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 610.已知2a-b=3，那么12a2-8ab+b2-12a+3的值为（ ）A. 9B. 12C. 15D. 18二、填空题（本大题共9小题，共18.0分）11.计算（x2+2）0的结果是______．12.若分式a−2a+3值为0，则a的值为______．13.点P（2，3）关于x轴的对称点的坐标为______．14.如图，点D为△ABC的边AB上一点，若∠1=∠2，AB=7，AC=3，则△ACD的周长为______．15.如图，△ABC为等边三角形，DC∥AB，AD⊥CD于D，若CD=2，则AB的长度为______．16.若a2x2+4x+1可以写成一个完全平方式，则常数a的值为______．17.用“★”定义一种新运算：对于任意实数a和b，规定a★b=ab2-5ab+4a，若3★（x+4）=3（x+1）（x-3），则x______．18.如图，在△ABC中，D为BC边上一点，AB=AC，AD=DE，且∠BAD=36°，∠EDC=12°，则∠B的度数为______．19.小为同学和小辰同学研究一个数学问题：尺规作图：作三角形的高线．已知：△ABC．尺规作图：作BC边上的高AD．他们的作法如下：①分别以B，E为圆心，大于12BE长为半径画弧，两弧交于点F．②连接AF，与BC交于点D，则线段AD即为所求．③以A为圈心，AB为半径画弧，与BC交于点E．老师说：“你们的作法思路正确，但作图顺序不对．”请回答：其中顺序正确的作图步骤是（填写序号）______．判断线段AD为BC边上的高的作图依据是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）20.在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为整点，我们经常用整式乘法和因式分解来解决整数和整点问题．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（20，0），B（20，20），C（0，20），点P为正方形内部（边界或者顶点除外）的动点，设点P的坐标为（x，y）（1）若整数x，y满足xy=10，x＞y，请直接写出点P的坐标；（2）设△POA的三边长分别a，b，c（其中c为OA的长度），整数a，b满足a3+2a2b+ab2=2500，求△POA周长．（3）若整点P满足S△POA•S△PBC=S△PAB•S△POC（其中S△POA表示△POA的面积）则称点P为“快乐数学点”，请直接写出在正方形内部的快乐数学点的个数．四、解答题（本大题共8小题，共46.0分）21.计算：（1）x5÷x3+（x-2）（x+3）（2）（2x+3y）2-（2x+y）（2x-y）22.分解因式：（1）4x2y-9y（2）3ax2-6axy+3ay223.先化简，再求值：（x+1）（2-4x）+2（x-2）2+4，其中x2+5x=3．24.为了弘扬长征精神传承红色经典，某学校初二年级于10月19日去红色快乐营进行拓展训练，如图，小瑞同学需要在田地A点挖红薯，然后走到田坎上（直线l）上喝水，最后走到田地B点挖红薯，为了节省时间，挖到更多紅薯，需要走的路程最短，请你为小同学设计喝水的地方并写出结论．25.如图，点D，E分别是三角形△ABC边BC上的点，若AB=AC，BE=CD，求证：AD=AE．26.小兵喜欢研究数学问题，他在计算两个两位数相乘的时候发现了一些有趣的数学现象现象1（十位数相同，个位数和为10）15×15=225，24×26=624，72×78=5616…现象2（十位数和为10，个位数相同）15×95=1425，24×84=2016，36×76=2736…（1）请根据以上现象规律直接写出下面两个计算结果48×42=______78×38=______（2）若其中一个两位数的十位数为a，个位数为b，请选择其中一个现象写出它的一般规律（用含有a，b等式表示），并运用整式的乘法证明这个等式．27.如图，在△ABC中，AB=AC，点D为AB上一点，连接CD，（1）作图：延长CD，在射线CD上取点E使得AE=AC，连接AE，作∠EAB的平分线AF交CE于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）条件下，连接BF，求证：∠BFC=∠BAC．28.线段AB和CD交于点E，连接AD，BC，满足AD∥BC，∠A=∠AED，（1）如图1，若∠D=50°，请直接写出∠B的度数．（2）如图2，作△ADE的高DH，延长DH交BC的延长线于点F，连接AF，求证：EF=AF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC，若AB=AF，请找出图中所有与AC相等的线段．并证明你的结论．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项错误；故选：B．根据轴对称图形的概念进行判断．本题考查的是轴对称图形的概念．掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．2.【答案】A【解析】解：∵分式有意义，∴x-3≠0，解得：x≠3．故选：A．直接利用分式有意义的条件分析得出答案．此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．3.【答案】C【解析】解：A、原式不能合并，错误；B、原式=x5，错误；C、原式=x6，正确；D、原式=x6，错误．故选：C．A、原式不能合并，错误；B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；C、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；D、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断．此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4.【答案】B【解析】解：∵等腰三角形的两边分别是3和6，∴应分为两种情况：①3为底，6为腰，6+6+3=15；②6为底，3为腰，则3+3=6，则应舍去；∴它的周长是15．故选：B．本题应分为两种情况：①3为底，6为腰，②6为底，3为腰．注意还要考虑三角形的三边关系．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．5.【答案】C【解析】解：∵∠B=30°，∠C=40°，∴∠BAC=180°-30°-40°=110°，∵DA=DB，EA=EC，∴∠B=∠DAB=30°，∠C=∠EAC=40°，∴∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE=110°-30°-40°=40°，故选：C．根据∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE，只要求出∠BAC，∠DAB，∠CAE即可解决问题．本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6.【答案】B【解析】解：∵x+=3，∴（x+）2=9，∴x2++2=9，∴x2+=7．故选：B．直接利用完全平方公式展开求出即可．本题考查了对完全平方公式的应用，注意：（a+b）2=a2+2ab+b2．7.【答案】C【解析】解：第一个图形的阴影部分的面积=a2-b2；第二个图形是梯形，则面积是（2a+2b）•（a-b）=（a+b）（a-b）．则a2-b2=（a+b）（a-b）．故选：C．分别计算这两个图形阴影部分面积，根据面积相等即可得到．本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键．8.【答案】D【解析】解：作AC、BC两边的垂直平分线，它们的交点是P，由线段的垂直平分线的性质，PA=PB=PC，故选：D．根据线段垂直平分线的性质判断即可，本题考查了线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：过D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠CBA=60°，∵BD平分∠CBA，∴∠DBA=∠CBD=30°，∴AD=BD，CD=BD=AD，∵AD+CD=AC=12，∴CD=4，∵DE⊥AB，∠C=90°，BD平分∠ABC，∴DE=CD=4，故选：B．过D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质得出DE=CD，求出∠A=∠DBA=∠CBD=30°，推出AD=BD，CD=BD，求出CD即可．本题考查了含30°角的直角三角形，角平分线的性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．10.【答案】B【解析】解：原式=4a2-4ab+b2+8a2-4ab-12a+3=（2a-b）2+4a（2a-b-3）+3由于2a-b=3，∴原式=9+0+3=12，故选：B．根据完全平方公式即可求出答案．本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用分组分解法以及完全平方公式，本题属于基础题型．11.【答案】1【解析】解：（x2+2）0=1．故答案为：1．直接利用零指数幂的性质得出答案．此题主要考查了零指数幂的性质，正确把握定义是解题关键．12.【答案】2【解析】解：由题意得：a-2=0，且a+3≠0，解得：a=2，故答案为：2．根据分式值为零的条件可得a-2=0，且a+3≠0，再解可得答案．此题主要考查了分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．13.【答案】（2，-3）【解析】解：∵点P（2，3）∴关于x轴的对称点的坐标为：（2，-3）．故答案为：（2，-3）．根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y）得出即可．此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的性质，正确记忆坐标规律是解题关键．14.【答案】10【解析】解：∵∠1=∠2，∴DB=DC，∴△ADC的周长=AD+DC+AC=AD+DB+AC=AB+AC=7+3=10．故答案为10．证明△ADC的周长=AB+AC，即可解决问题．本题考查等腰三角形的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15.【答案】4【解析】解：∵△ABC为等边三角形，∴AC=AB，∠BAC=60°，∵DC∥AB，∴∠ACD=∠BAC=60°，∵AD⊥CD，∴∠CAD=90°-60°=30°，∴AB=AC=2CD=4故答案为：4．根据等边三角形的性质求出AC=AB，∠BAC=60°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠ACD=∠BAC，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠CAD=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB=2CD．本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等边三角形的性质，熟记各性质是解题的关键．16.【答案】±2【解析】解：∵a2x2+4x+1可以写成一个完全平方式，∴a2=4，解得：a=±2，故答案为：±2利用完全平方公式的结构特征判断即可求出a的值．此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．17.【答案】=15【解析】解：∵a★b=ab2-5ab+4a，∴3★（x+4）=3（x+1）（x-3），∴3（x+4）2-5×3（x+4）+4×3=3（x+1）（x-3），3（x2+8x+16）-15x-60=3（x2-2x-3），3x2+9x-12=3x2-6x-9，则15x=3，解得：x=．故答案为：．直接利用已知将原式变形进而得出x的值．此题主要考查了实数运算，正确化简原式是解题关键．18.【答案】44°【解析】解：设∠B=x．∵AB=AC，∴∠B=∠C=x，∵DE=DA，∴∠DAE=∠DEA=x+∠EDC=x+12°，∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∴2x+36°+x+12°=180°，∴x=44°，故答案为44°．设∠B=x．利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题．本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】③①②到线段两点的距离相等的点在线段的垂直平分线上【解析】解：作法如下：先以A为圈心，AB为半径画弧，与BC交于点E，再分别以B，E为圆心，大于BE长为半径画弧，两弧交于点F，然后连接AF，与BC交于点D，因为根据到线段两点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以线段AD⊥BC，即AD为高．故答案为③①②；到线段两点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．利用基本作图（作已知线段的垂直平分线）可得到正确的作图步骤，然后根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可判断AD⊥BC．本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．20.【答案】解：（1）∵x、y为整数，且xy=10∴x=1y=10或x=2y=5或x=5y=2或x=10y=1∴点P的坐标为（1，10）或（2，5）或（5，2）或（10，1）（2）a3+2a2b+ab2=a（a2+2ab+b2）=a（a+b）2=2500∵a、b为整数，且a+b＞c，c=OA=20∴（a+b）2＞400且，（a+b）2为整数∴（a+b）2=500或625或1250或2500∴（a+b）2=625或2500，即a+b=25或50当a+b=25即（a+b）2=625时，a=4，b=21，a+c＞b，能构成三角形当a+b=50即（a+b）2=2500时，a=1，b=49，a+c＜b，不能构成三角形∴C△POA=a+b+c=25+20=45（3）过点P作PE⊥OA于E，PF⊥AB于F，PG⊥BC于G，PH⊥OC于H，设P（m，n），则PH=m，PE=n，PF=20-m，PG=20-n，∵S△POA•S△PBC=S△PAB•S△POC∴12OA⋅PE⋅12BC⋅PG=12AB⋅PF⋅12OC⋅PH∴n（20-n）=m（20-m）整理得：m2-n2=20（m-n）（m+n）（m-n）-20（m-n）=0（m+n-20）（m-n）=0∴m+n-20=0或m-n=0，且m、n为整数当m+n=20时，满足的值m=1至19，共19个当m-n=0时，满足的值m=1至19，共19个，其中m=n=10重复一次，算18个∴在正方形内部的快乐数学点的个数为37个．【解析】（1）把10进行正整数因数分解，10=1×10=2×5=5×2=10×1，所以有五个点P．（2）把a3+2a2b+ab2=2500进行因式分解，得a（a+b）2=2500，2500=2×2×5×5×5×5，由a、b为正整数且a+b＞20，确定（a+b）2=625或2500，即a+b=25或50，再排除a+b=50的情况，所以a+b=25．（3）设P的坐标为（m，n），则四个三角形的面积都能用m或n表示，计算得n （20-n）=m（20-m），因式分解得（m+n-20）（m-n）=0，所以m+n-20=0或m-n=0，再确定m、n在条件限制下可以取的值．本题考查了数的分解和因式分解的应用，解题关键是对式子进行因式分解后结合题意进行数的分解．21.【答案】解：（1）x5÷x3+（x-2）（x+3）=x2+x2+x-6（2）（2x+3y）2-（2x+y）（2x-y）=4x2+12xy+9y2-（4x2-y2）=12xy+10y2．【解析】（1）直接利用整式的除法运算法则以及多项式乘以多项式运算法则计算得出答案；（2）直接利用完全平方公式以及平方差公式计算得出答案．此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．22.【答案】解：（1）4x2y-9y=y（4x2-9）=y（2x+3）（2x-3）；（2）3ax2-6axy+3ay2=3a（x2-2xy+y2）=3a（x-y）2．【解析】（1）直接提取公因式y，进而分解因式即可；（2）直接提取公因式3a，再利用完全平方公式分解因式即可．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．23.【答案】解：（x+1）（2-4x）+2（x-2）2+4=-4x2-2x+2+2（x2-4x+4）+4=-2x2-10x+14，∵x2+5x=3，∴原式=-2（x2+5x）+14=-2×3+14=8．【解析】直接利用多项式乘以多项式以及完全平方公式分别计算得出答案．此题主要考查了整式的混合运算，正确合并同类项是解题关键．24.【答案】解：如图，作点A关于直线l的对称点C；连接BC，与直线l交于点D，连接AD，则AD=CD，AD+BD的最小值即为BC长，故点D即为喝水的地方．【解析】作点A关于直线l的对称点C；连接BC，直线BC与直线l的交点D即为喝此题考查了轴对称--最短路径问题在生活中的应用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．25.【答案】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABE和△ACD中，AB=AC∠B=∠CBE=CD，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AD=AE．【解析】根据等边对等角可得∠B=∠C，然后利用“边角边”证明△ABE和△ACD全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可．本题考查了全等三角形的判定与性质，利用等边对等角的性质求出∠B=∠C是解题的关键．26.【答案】2016 2964【解析】解：（1）48×42=2016，78×38=2964．故答案为：2016；2964；（2）现象1：规律：（10a+b）（10a+10-b）=100a（a+1）+b（10-b）．证明如下：若其中一个两位数的十位数为a，个位数为b，则另一个两位数的十位数为a，个位数为（10-b），（10a+b）（10a+10-b）=100a2+100a-10ab+10ab+10b-b2=100a（a+1）+b（10-b）．（1）根据题意直接写出结果即可；（2）根据题意表示出相应两个数，根据多项式乘多项式的法则求解即可．此题主要考查运算规律探索与运用，认真观察算式中存在的规律，并结合它们灵活应用是解题的关键，在证明中，整式的运算法则是基础．27.【答案】解：（1）如图所示，AE和AF即为所求．（2）∵AB=AC，AE=AC，∴AE=AB，∵AF平分∠BAE，∴∠EAF=∠BAF，在△EAF和△BAF中，∵AE=AB∠EAF=∠BAFAF=AF，∴△EAF≌△BAF（SAS），∴∠AEF=∠ABF，∵AE=AC，∴∠AEF=∠ACF，∴∠ABF=∠ACF，∵∠BDF=∠CDA，∴∠BFC=∠BAC．【解析】（1）根据已知逐步作图即可得，要求掌握作一线段等于已知线段和角平分线的尺规作图；（2）先证△EAF≌△BAF得∠AEF=∠ABF，再由AE=AC知∠AEF=∠ACF，据此得∠ABF=∠ACF，结合∠BDF=∠CDA即可得证．本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握作一线段等于已知线段和角平分线的尺规作图及全等三角形的判定与性质．28.【答案】解：（1）∵∠D=50°，∠A=∠AED，∴∠A=65°，∵AD∥BC，∴∠A=∠B=65°，（2）∵∠A=∠AED，∴AD=DE，且DH⊥AE∴DH是AE的垂直平分线，∴EF=AF（3）AC=CF=DC，理由如下：如图，连接EF，∵∠DAB=∠B，∠AED=∠BEC，∠DAB=∠DEA∴∠B=∠BEC∴BC=EC，∵AF=EF，AB=AF∴AB=EF，∵AD=DE，DH⊥AE∴∠CDF=∠ADF，设∠CDF=∠ADF=x°，∠DAB=∠B=y°，∴∠ADC=2x°∵AB=AF，∴∠B=∠AFB=y°，∵AD∥BF∴∠ADF=∠DFB=∠CDF=x°，∠ADC=∠DCB=2x°∴CF=CD，∵∠AFD=∠AFB-∠DFB∴∠AFD=（y-x）°，∵AF=EF，FH⊥AE∴∠AFE=2∠DFA=2∠DFE=2（y-x）°，∴∠EFC=∠AFB-∠AFE=（2x-y）°∵∠DCB=∠CEF+∠CFE∴2x°=（2x-y）°+∠CEF∴∠CEF=y°∴∠CEF=∠B，且BC=EC，AB=EF，∴△ABC≌△FEC（SAS）∴CF=AC∴AC=CF=DC【解析】（1）根据三角形的内角和定理和平行线的性质可求∠B的度数；（2）由∠A=∠AED，可证AD=DE，根据等腰三角形的性质，可得DH是AE的垂直平分线，则EF=AF；（3）根据等腰三角形的性质三角形外角的性质，可证∠B=∠CEF，即可证△ABC≌△FEC，可得CF=AC=CD．本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证△ABC≌△FEC是本题的关键．。
2019-2020学年北京人大附中八年级上学期期中数学试卷 (学生版+解析版)
2019-2020学年北京人大附中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10个小题）．1．下列倡导节约的图案中是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．分式12x +有意义，x 的取值范围是( ) A ．2x ≠ B ．2x ≠- C ．2x = D ．2x =-3．在下列运算中，正确的是( ) A ．3412a a a =gB ．2366()ab a b =C ．347()a a =D ．43a a a ÷=4．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB ，另一把直尺压住射线OA 并且与第一把直尺交于点P ，小明说：“射线OP 就是BOA ∠的角平分线．”他这样做的依据是( )A ．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B ．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C ．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D ．以上均不正确5．如图，5AB AC ==，DB DC =，若ABC ∠为60︒，则BE 长为( )A ．5B ．3C ．2.5D ．26．如图，ABC ∆中，点D 在BC 边上，将点D 分别以AB 、AC 为对称轴，画出对称点E 、F ，并连接AE 、AF ．根据图中标示的角度，可得EAF ∠的度数为( )A ．108B ．115C ．122D ．1307．如图（一)，在边长为a 的正方形中，挖掉一个边长为b 的小正方形()a b >，把余下的部分剪成一个矩形（如图（二))，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )A ．222()2a b a ab b +=++B ．22()()a b a b a b -=+-C ．222()2a b a ab b -=-+D ．22(2)()2a b a b a ab b +-=+-8．如图，AD 是ABC ∆的角平分线，作AD 的垂直平分线EF 交BC 的延长线于F ．下列结论不一定成立的是( )A ．AF DF =B ．BAF ACF ∠=∠C ．BF AC ⊥D ．::ABD ACD S S AB AC ∆∆=9．已知a ，b ，c 是ABC ∆的三边长，且满足222()a c b a c b +=+-，则此三角形是( ) A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．无法确定10．在坐标系xOy 中，已知点(3,1)A 关于x 轴、y 轴的对称点分别为P 、Q ．若坐标轴上的点M 恰使MAP ∆、MAQ ∆均为等腰三角形，则满足条件的点有( ) A ．4个B ．5个C ．8个D ．9个二、填空题（每空2分，共18分） 11．分式1x x-的值为 0 ，则x 的值是 ． 12．0(2)1a -=，则a 的取值范围为 ． 13．计算2019201813()3⨯= ．14．若(1)(2)x kx +-的展开式中不含有x 的一次项，则k 的值是 ．15．如图：ABC ∆中，DE 是AC 的垂直平分线，3AE cm =，ABD ∆的周长为13cm ，则ABC ∆的周长为 ．16．已知5m n +=，2mn =，则32232m n m n mn -+的值为 ．17．在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，30CBE ∠=︒，若以C 为圆心，CB 长为半径画圆交BE 延长线于F ，且6EF =，则BF = ．18．如图等腰ABC ∆中，AB AC =，M 为其底角平分线的交点，将BCM ∆沿CM 折叠，使B 点恰好落在AC 边上的点D 处，若DA DM =，则ABC ∠的度数为 ．19．在等边ABC ∆中，M 、N 、P 分别是边AB 、BC 、CA 上的点（不与端点重合），对于任意等边ABC ∆，下面四个结论中： ①存在无数个MNP ∆是等腰三角形； ②存在无数个MNP ∆是等边三角形； ③存在无数个MNP ∆是等腰直角三角形； ④存在一个MNP ∆在所有MNP ∆中面积最小． 所有正确结论的序号是 ．三、解答题（21，22题，每小题，4分22-27题，每小题8分28题6分，共52分） 20．分解因式： （1）2233ma mb - （2）244ax ax a -+ 21．计算：（1）(1)(2)(3)x x x x -+-+ （2）2(5)(5)(2)a b a b a b +--+22．先化简，再求值：322(53)(1)7x x x x x +-÷+--，其中261x x +=． 23．下面是小康设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程． 已知直线l 及直线l 外一点P ． 求作：直线l 的垂线，使它经过点P ．做法：如图，①以P为圆心，以大于P到直线l的距离的长度为半径画弧，交直线l于A、B两点；②连接PA、PB；③作APB∠的角平分线PQ．直线PQ即为所求．根据小康设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：PA=∠，Q，PQ平分APB∴⊥)（填推理的依据）PQ l(24．如图，AC和BD相交于点O，且//AB DC，OA OB=．求证：OC OD=．25．阅读：在一次数学活动中，“揭秘”学习小组发现：⨯=53573021⨯=3832121684867224⨯=⨯=71795609这组计算蕴含着简算规律：十位数字相同，个位数字和为10的两个两位数相乘，结果末两位的是个位数字的乘积前几位是十位数字与十位数字加一的乘积．小乐同学用所学知识做了如下解释：将相同的十位数字设为a，个位数字为b，d，则2=++=+++g，10ab ad a b a d a a b d bd(10)(10)10010()Qb d+=∴原式2100100100(1)a a bd a a bd =++=++．（1）请你利用小组发现的规律计算：6367⨯= ；（2）小乐同学进一步思考，个位数字相同，十位数字之和为10的两个两位数相乘会不会也有简算规律呢？于是，小乐计算了35752625⨯=，83231909⨯=，48683264⨯=，17971649⨯=，但是还是没有发现规律，你能帮助小乐发现规律，并用所学知识解释吗？26．如图，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC ∠，120A ∠=︒，60C ∠=︒，17AB =，12AD =．（1）求证：AD DC =； （2）求四边形ABCD 的周长．27．等腰ABC ∆中，AB AC =，60ACB ∠>︒，点D 为边AC 上一点，满足BD BC =，点E 与点B 位于直线AC 的同侧，ADE ∆是等边三角形． （1）①请在图1中将图形补充完整；②若点D 与点E 关于直线AB 轴对称，ACB ∠= ；（2）如图2所示，若80ACB ∠=︒，用等式表示线段BA 、BD 、BE 之间的数量关系，并说明理由．28．在平面直角坐标系xOy 中，我们称横纵坐标都是整数的点为整点，若坐标系内两个整点(,)A p q 、(B m ，)()n m n …满足关于x 的多项式2x px q ++能够因式分解为()()x m x n ++，则称点B 是A 的分解点．例如(3,2)A 、(1,2)B 满足232(1)(2)x x x x ++=++，所以B 是A 的分解点．（1）在点1(5,6)A、2(0,3)A、3(2,0)A-中，请找出不存在分解点的点：；（2）点P、Q在纵轴上(P在Q的上方），点R在横轴上，且点P、Q、R都存在分解点，若PQR∆面积为6，请直接写出满足条件的PQR∆的个数及每个三角形的顶点坐标；（3）已知点D在第一象限内，D是C的分解点，请探究OCD∆是否可能是等腰三角形？若可能请求出所有满足条件的点D的坐标；若不可能，请说明理由．参考答案一、选择题（每小题分，共30分）1．下列倡导节约的图案中是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．解：A 、不是轴对称图形，故此选项错误； B 、是轴对称图形，故此选项正确； C 、不是轴对称图形，故此选项错误；D 、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：B ． 2．分式12x +有意义，x 的取值范围是( ) A ．2x ≠ B ．2x ≠- C ．2x = D ．2x =-解：根据题意得：20x +≠， 解得：2x ≠-． 故选：B ．3．在下列运算中，正确的是( ) A ．3412a a a =gB ．2366()ab a b =C ．347()a a =D ．43a a a ÷=解：A 、底数不变指数相加，即347a a a =g ，故A 错误；B 、积得乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即2336()ab a b =，故B 错误；C 、底数不变指数相乘，即3412()a a =，故C 错误；D 、底数不变指数相减，即43a a a ÷=，故D 正确；故选：D ．4．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB ，另一把直尺压住射线OA 并且与第一把直尺交于点P ，小明说：“射线OP 就是BOA ∠的角平分线．”他这样做的依据是( )A ．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B ．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C ．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D ．以上均不正确解：（1）如图所示：过两把直尺的交点P 作PE AO ⊥，PF BO ⊥， Q 两把完全相同的长方形直尺， PE PF ∴=，OP ∴平分AOB ∠（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选：A ．5．如图，5AB AC ==，DB DC =，若ABC ∠为60︒，则BE 长为( )A ．5B ．3C ．2.5D ．2解：AB AC =Q ，60ABC ∠=︒，ABC ∴∆是等边三角形，A 在BC 的垂直平分线上， 5BC AB ∴==， DB DC =Q ，∴点D 在BC 的垂直平分线上，AD ∴垂直平分BC ， 12.52BE BC ∴==． 故选：C ．6．如图，ABC ∆中，点D 在BC 边上，将点D 分别以AB 、AC 为对称轴，画出对称点E 、F ，并连接AE 、AF ．根据图中标示的角度，可得EAF ∠的度数为( )A ．108B ．115C ．122D ．130解：连接AD ，D Q 点分别以AB 、AC 为对称轴，画出对称点E 、F ， EAB BAD ∴∠=∠，FAC CAD ∠=∠， 61B ∠=︒Q ，54C ∠=︒，180615465BAC BAD DAC ∴∠=∠+∠=︒-︒-︒=︒， 2130EAF BAC ∴∠=∠=︒，故选：D ．7．如图（一)，在边长为a 的正方形中，挖掉一个边长为b 的小正方形()a b >，把余下的部分剪成一个矩形（如图（二))，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )A ．222()2a b a ab b +=++B ．22()()a b a b a b -=+-C ．222()2a b a ab b -=-+D ．22(2)()2a b a b a ab b +-=+-解：由题意可得：22()()a b a b a b -+=-． 故选：B ．8．如图，AD 是ABC ∆的角平分线，作AD 的垂直平分线EF 交BC 的延长线于F ．下列结论不一定成立的是( )A ．AF DF =B ．BAF ACF ∠=∠C ．BF AC ⊥D ．::ABD ACD S S AB AC ∆∆=解：A 、EF Q 是AD 的垂直平分线， AF DF ∴=，故选项A 不符合题意； B 、AF DF =Q ， DAF ADF ∴∠=∠，AD Q 是ABC ∆的角平分线， BAD CAD ∴∠=∠， DAF CAD CAF ∠=∠+∠Q ，ADF BAD B ∠=∠+∠， B CAF ∴∠=∠，BAF BAC CAF ∠=∠+∠Q ，ACF BAC B ∠=∠+∠， BAF ACF ∴∠=∠，故选项B 不符合题意；C 、根据已知不能得出BF AC ⊥，故选项C 符合题意；D 、AD Q 是ABC ∆的角平分线， ∴点D 到AB 和AC 的距离相等，::ABD ACD S S AB AC ∆∆∴=，故选：C ．9．已知a ，b ，c 是ABC ∆的三边长，且满足222()a c b a c b +=+-，则此三角形是( ) A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．无法确定解：222()a c b a c b +=+-Q ， 2222220a c b b ba bc ∴+++--=，22()()0a b b c ∴-+-=，a b c ∴==，ABC ∴∆是等边三角形，故选：A ．10．在坐标系xOy 中，已知点(3,1)A 关于x 轴、y 轴的对称点分别为P 、Q ．若坐标轴上的点M 恰使MAP ∆、MAQ ∆均为等腰三角形，则满足条件的点有( ) A ．4个B ．5个C ．8个D ．9个解：如图，1AQ AM =，5AQ AM =，2AQ AM =，4QA QM =，33AM QM =， 故坐标轴上的点M 恰使MAP ∆、MAQ ∆均为等腰三角形，则满足条件的点有5个， 故选：B ．二、填空题（每空2分，共18分）11．分式1x x -的值为 0 ，则x 的值是 1 ． 解：Q 分式1x x-的值为 0 ，10x ∴-=且0x ≠， 1x ∴=．故答案为 1 ．12．0(2)1a -=，则a 的取值范围为 2a ≠ ． 解：0(2)1a -=， 20a ∴-≠， 2a ≠，故答案为2a ≠．13．计算2019201813()3⨯= 3 ．解：原式20181(3)33=⨯⨯3=．故答案为：3．14．若(1)(2)x kx +-的展开式中不含有x 的一次项，则k 的值是 2 ． 解：(1)(2)x kx +-， 222kx x kx =-+-，2(2)2kx k x =+--，Q 不含有x 的一次项， 20k ∴-=，解得：2k =． 故答案为：2．15．如图：ABC ∆中，DE 是AC 的垂直平分线，3AE cm =，ABD ∆的周长为13cm ，则ABC ∆的周长为 19cm ．解：DE Q 是AC 的垂直平分线， AD CD ∴=，26AC AE cm ==，又ABD ∆Q 的周长13AB BD AD cm =++=， 13AB BD CD cm ∴++=，即13AB BC cm +=，ABC ∴∆的周长13619AB BC AC cm =++=+=．故答案为19cm ．16．已知5m n +=，2mn =，则32232m n m n mn -+的值为 34 ． 解：5m n +=Q ，2mn =， 32232m n m n mn ∴-+22(2)mn m mn n =-+ 2[()4]mn m n mn =+- 22(542)=⨯-⨯2(258)=⨯- 217=⨯34=，故答案为：34．17．在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，30CBE ∠=︒，若以C 为圆心，CB 长为半径画圆交BE 延长线于F ，且6EF =，则BF = 9 ．解：AB AC =Q ，AD BC ⊥， BD CD ∴=，90ADB ∠=︒，设BD CD x ==，则2BC x =， 2CF BC x ∴==， 30CBE ∠=︒Q ，233BE x ∴=， 6EF =Q ，2363BF x ∴=+， 过C 作CH BF ⊥于H ， 22BF BH FH ∴==， 2336BH x ∴=+，12CH BC x ==， 222BH CH BC +=Q ， 22223(3)(2)6x x x ∴++=， 解得：332x =（负值舍去）， 23693BF x ∴=+=， 故答案为：9．18．如图等腰ABC ∆中，AB AC =，M 为其底角平分线的交点，将BCM ∆沿CM 折叠，使B 点恰好落在AC 边上的点D 处，若DA DM =，则ABC ∠的度数为 72︒ ．解：MQ为其底角平分线的交点，AM∴平分BAC∠，AB AC=Q，ABC ACB∴∠=∠，设2A x∠=，则DAM x∠=，1452 MBC MCB x∠=∠=︒-，DA DM=Q，DAM DMA ∴∠=∠，由折叠的性质可得：1452 MDC MBC x ∠=∠=︒-，则11801352 ADM MDC x∠=︒-∠=︒+，在ADM∆中，180DAM DMA ADM∠+∠+∠=︒，即11351802x x x++︒+=︒，解得：18x=︒，则236A x∠==︒．72ABC∴∠=︒，故答案为：72︒．19．在等边ABC∆中，M、N、P分别是边AB、BC、CA上的点（不与端点重合），对于任意等边ABC∆，下面四个结论中：①存在无数个MNP∆是等腰三角形；②存在无数个MNP∆是等边三角形；③存在无数个MNP∆是等腰直角三角形；④存在一个MNP∆在所有MNP∆中面积最小．所有正确结论的序号是①②③．解：如图1中，满足AM BN PC==，可证PMN∆是等边三角形，这样的三角形有无数个．如图2中，当NM NP =，90MNP ∠=︒时，MNP ∆是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个．故①②③正确，PNM ∆的面积不存在最小值． 故答案为①②③．三、解答题（21，22题，每小题，4分22-27题，每小题8分28题6分，共52分） 20．分解因式： （1）2233ma mb - （2）244ax ax a -+解：（1）原式223()3()()m a b m a b a b =-=+-； （2）原式22(441)(21)a x x a x =-+=-． 21．计算：（1）(1)(2)(3)x x x x -+-+ （2）2(5)(5)(2)a b a b a b +--+ 解：（1）原式22326x x x x x =-++-- 26x =-；（2）原式222225(44)a b a b ab =--++ 22222544a b a b ab =---- 2294b ab =--．22．先化简，再求值：322(53)(1)7x x x x x +-÷+--，其中261x x +=． 解：原式22531217x x x x =+-+-+- 267x x =+-，当261x x +=时， 原式176=-=-．23．下面是小康设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程． 已知直线l 及直线l 外一点P ． 求作：直线l 的垂线，使它经过点P ． 做法：如图，①以P 为圆心，以大于P 到直线l 的距离的长度为半径画弧，交直线l 于A 、B 两点； ②连接PA 、PB ；③作APB ∠的角平分线PQ ． 直线PQ 即为所求．根据小康设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．证明：PA =Q PB ，PQ 平分APB ∠， (PQ l ∴⊥ )（填推理的依据）解：（1）如图所示，直线PQ 即为所求．（2）证明：PA PBQ，PQ平分APB∠，=∴⊥（等腰三角形底边上的高线与顶角平分线互相重合）．PQ l故答案为：PB，等腰三角形底边上的高线与顶角平分线互相重合．24．如图，AC和BD相交于点O，且//=．AB DC，OA OB求证：OC OD=．【解答】证明：AO BOQ，=A B∴∠=∠，Q，DC AB//∴∠=∠，C AD B∠=∠，∴∠=∠，C D∴=．CO DO25．阅读：在一次数学活动中，“揭秘”学习小组发现：⨯=5357302138321216⨯=⨯=84867224⨯=71795609这组计算蕴含着简算规律：十位数字相同，个位数字和为10的两个两位数相乘，结果末两位的是个位数字的乘积前几位是十位数字与十位数字加一的乘积．小乐同学用所学知识做了如下解释：将相同的十位数字设为a，个位数字为b，d，则2(10)(10)10010()ab ad a b a d a a b d bd =++=+++g ，10b d +=Q ∴原式2100100100(1)a a bd a a bd =++=++．（1）请你利用小组发现的规律计算：6367⨯= 4221 ；（2）小乐同学进一步思考，个位数字相同，十位数字之和为10的两个两位数相乘会不会也有简算规律呢？于是，小乐计算了35752625⨯=，83231909⨯=，48683264⨯=，17971649⨯=，但是还是没有发现规律，你能帮助小乐发现规律，并用所学知识解释吗？解：（1）由规律得，63671006(61)374200214221⨯=⨯⨯++⨯=+=， 故答案为：4221；（2）规律：个位数字相同，十位数字和为10的两个两位数相乘，结果末两位的是个位数字的平方（或乘积），前几位是十位数字的乘积与与个位数字的和．理由：设将相同的个位数字设为m ，十位数字分别为p ，q ，则10p q +=， ∴(10)(10)pm qm p m q m =++g21001010pq pm qm m =+++ 210010()pq m p q m =+++ 2100100pq m m =++ 2100()pq m m =++，即：个位数字相同，十位数字和为10的两个两位数相乘，结果末两位的是个位数字的平方（或乘积），前几位是十位数字的乘积与与个位数字的和．26．如图，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC ∠，120A ∠=︒，60C ∠=︒，17AB =，12AD =．（1）求证：AD DC =； （2）求四边形ABCD 的周长．【解答】证明：（1）在BC 上取一点E ，使BE AB =，连结DE ．BD Q 平分ABC ∠，ABD CBD ∴∠=∠．在ABD ∆和EBD ∆中，AB BE ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD EBD SAS ∴∆≅∆；12DE AD ∴==，BED A ∠=∠，17AB BE ==，120A ∠=︒Q ，60DEC ∴∠=︒．60C ∠=︒Q ，DEC C ∴∠=∠．DE DC ∴=，AD DC ∴=．（2）60C ∠=︒Q ，DE DC =，DEC ∴∆为等边三角形EC CD AD ∴==．12AD =Q ，12EC CD ∴==，∴四边形ABCD 的周长171712121270=++++=．27．等腰ABC ∆中，AB AC =，60ACB ∠>︒，点D 为边AC 上一点，满足BD BC =，点E 与点B 位于直线AC 的同侧，ADE ∆是等边三角形．（1）①请在图1中将图形补充完整；②若点D 与点E 关于直线AB 轴对称，ACB ∠= 75︒ ；（2）如图2所示，若80ACB ∠=︒，用等式表示线段BA 、BD 、BE 之间的数量关系，并说明理由．解：（1）①根据题意，补全图形如图1所示，②当点D 与点E 关于直线AB 轴对称时，AB DE ∴⊥，ADE ∆Q 是等边三角形，60DAE ∴∠=︒，AD AE =，1302BAC DAE ∴∠=∠=︒， AB AC =Q ，1(180)752ACB BAC ∴∠=︒-∠=︒， 故答案为75︒；（2）如图2，在BA 上取一点F ，使BF BD =，DE 与AB 的交点记作点H ， ADE ∆Q 是等边三角形，AD ED ∴=，60EAD AED ∠=∠=︒，在ABC ∆中，AB AC =，80ACB ∠=︒，80ABC ACB ∴∠=∠=︒，18020BAC ACB ABC ∴∠=︒-∠-∠=︒，40BAE DAE BAC ∴∠=∠-∠=︒，在BCD ∆中，BC BD =，80BDC ACB ∴∠=∠=︒，18020DBC ACB BDC ∴∠=︒-∠-∠=︒，60ABD ABC DBC ∴∠=∠-∠=︒，BF BD =Q ，BDF ∴∆是等边三角形，60AED ABD ∠=∠=︒Q ，AHE BHD ∠=∠，40BDE BAE ∴∠=∠=︒，60BDF ∴∠=︒，BD FD BF ==，18040ADF BDC BDF ADF ∴∠=︒-∠-∠=︒=∠，DE AD =Q ，()BDE FDA SAS ∴∆≅∆，FA BE ∴=，BA BF FA BD BE ∴=+=+．28．在平面直角坐标系xOy 中，我们称横纵坐标都是整数的点为整点，若坐标系内两个整点(,)A p q 、(B m ，)()n m n …满足关于x 的多项式2x px q ++能够因式分解为()()x m x n ++，则称点B 是A 的分解点．例如(3,2)A 、(1,2)B 满足232(1)(2)x x x x ++=++，所以B 是A 的分解点．（1）在点1(5,6)A 、2(0,3)A 、3(2,0)A -中，请找出不存在分解点的点： 2A ；（2）点P 、Q 在纵轴上(P 在Q 的上方），点R 在横轴上，且点P 、Q 、R 都存在分解点，若PQR ∆面积为6，请直接写出满足条件的PQR ∆的个数及每个三角形的顶点坐标；（3）已知点D 在第一象限内，D 是C 的分解点，请探究OCD ∆是否可能是等腰三角形？若可能请求出所有满足条件的点D 的坐标；若不可能，请说明理由．解：（1）对于1(3,2)A ，232(1)(2)x x x x ++=++，故1(1,2)B 是1A 的分解点．对于3(2,0)A -，22(2)x x x x -=-，故3(0B ，2-是3A 的分解点．点2A 不存在分解点．故答案为2A ．（2）P Q ，Q 在纵轴上，P ，Q 都存在分解点，P ∴，Q 的纵坐标只能是0，1-，4-，16-，当1(1,0)R 时，PQR ∆Q 的面积为6，12PQ ∴=，P Q 在Q 的上方，1(0,4)P ∴-，1(0,16)Q -，同法当2(1,0)R -时，可得2(0,4)P -，2(0,16)Q -，当3(3,0)R 时，可得3(0,0)P ，3(0,4)Q -，当4(3,0)R -时，可得4(0,0)P ，4(0,4)Q -，当5(4,0)R 时，可得5(0,1)P -，5(0,4)Q -，当6(4,0)R -时，可得6(0,1)P -，6(0,4)Q -，当7(12,0)R 时，可得7(0,0)P ，7(0,1)Q -，当8(12,0)R -时，可得8(0,4)P -，8(0,1)Q -，综上所述，PQR ∆的个数为8．（3）如图，设(,)D m n ，则m ，n 是正整数，2()()()x m x n x m n x mn ++=+++Q 且D 为C 的分解点， (,)C m n mn ∴+．当1m =时，(1,)D n ，(1,)C n n +，此时OC OD CD >>，不可能构成等腰三角形． 当1m ≠时，则m n m +>，mn m >，则点C 必在直线x m =，y n =相交直线的右上角区域， 此时OC OD >，OC CD >，若OCD ∆为等腰三角形，只可能OD CD =， 如图，过C 作CN ⊥直线y n =，过点D 作DM x ⊥轴于M ．在Rt ODM ∆和Rt CDN ∆中，DM DN n ==，若OD CD =，则Rt ODM Rt CDN(HL)∆≅∆， DM CN ∴=，即m mn n =-，此式子可以化为(1)(1)1m n --=， m Q ，n 为正整数，2m ∴=，2n =，即(2,2)D ，(4,4)C ，此时O ，C ，D 共线，OCD ∆不存在，综上所述，OCD ∆不可能为等腰三角形．。
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人大附中初二年级第一学期数学统一练习⑿
2010.12
一、选择题
1. 下列算式：①34113333-÷==；②3227()-=-；③3
3.26100.000326-⨯
=-；④001(
)999910000
=；
⑤23236
1(2)22
--⨯==；⑥2
1020-=-中正确的个数是( ) A.2个 B.3个 C.4个
D.5个
2. 根据分式的基本性质，分式a a b
--可变形为( )
A.a a b --
B.a a b +
C.a a b --
D.a a b
-+
3. 下列各式与
x y
x y
-+相等的是( ) A.()()55
x y x y -+++ B.22x y x y
-+ C.
()()2
22
x y x y x y -≠-
D.22
22
x y x y -+ 4. 化简2
12239m m ++-的结果是( ) A.69
m - B.23m -
C.
23
m +
D.299
m m +- 5. 如果分式222x y
中，x 、y 的值都变为原来的一半，则分式的值( )
A.不变
B.是原来的2倍
C.是原来的12倍
D.以上都不对
6. 当分式
3
x -的值为零时，x 的值为( ) A.0
B.3
C.－3
D.±3
7. 下列算式中，你认为错误的是( )
A.11b a
a b ÷⨯= B.1a b a b a b +=++
1=+ D.22
11()a b a b -⋅=+ 8. 若x <2，则22
x x --的值为( )
A.－1
B.0
C.1
D.2
9. 某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A 、B 两种不同的包装箱进行包装，已知每个B
型包装箱比A 型包装箱多装15件文具，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用12个。
设B 型包装箱每个可以装x 件文具，根据题意列方程为( ) A.108010801215x x =+- B.108010801215x x =++ C.108010801215x x =-+ D.108010801215x x =--
10. 甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a 小时相遇；若同向而行，则b 小时追上乙，那么甲的速度是乙的速度的( ) A.a b b +倍 B.b a b +倍 C.b a b a -+倍 D.b a b a +-倍
二、填空题
11. 将
21,,243y x
x xy
y 通分后的结果分别为；
12. 计算()()
2
1
32
----
13. 若23a =，则2223712
a a a a ---+的值等于；
14. 已知12210,20a b a b -+=-=，则22a b -+的值为; 15. 若方程2x k -=有增根，则k 的值为； 16. 已知123x y z z x ==++，则2y z
x +＝；
17. 已知111a b c ----=，则b =;
18. 我国是一个水资源贫乏的国家，每一个公民都应自觉养成节约用水的习惯。
为提高水资源的利用效率，某小区安装了循环用水装置，经测算，原来a 天需用水m 吨，现在这些水可多用5天。
现在每天比原来少用水吨。
19. 某市为治理污水，需要铺设一段全长为300m 的污水排放管道。
铺设120m 后，为了尽量减少施
工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务。
求原计划每天铺设管道的长度。
如果设原计划每天铺设x m 管道，那么根据题意，可得方程。
20. 已知22222334422,33,44,33881515
+=⨯+=⨯+=⨯……；请你观察后，找出规律，并写出一组等式，
若用n (n 为正整数)表示上面的规律为。
三、解答题
21. 计算：()22212144x x x x x x x
-+÷-⋅+++ 22. 解方程：23112
x x x x -=-+-
23. 先化简：22
42244a a a a a ⎛⎫-+-÷ ⎪
-+⎝⎭，再对a 取一个数代入求值。
24. 解关于x 的方程：()11m n n x m
+=≠-
25. 列方程解应用题：
⑴2010年春季我国西南五省持续干旱，旱情牵动着全国人民的心。
“一方有难、八方支援”，某厂计划生产1800吨纯净水支援灾区人民，为忙把纯净水发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前3天完成了生产任务，求原计划每天生产多少吨纯净水？
⑵某校八年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元。
已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%。
请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程。
26. 附加题
⑴分式
2
124
x x -+的最大值为； ⑵若分式2243
x a x -+的值为0，则x 的值为； ⑶关于x 的方程311x a x x --=-无解，则a 的值为；
⑷已知()()()2
14b c a b c a -=--且0a ≠，则b c a
+的值为。