(新)人教高中数学A版必修一第五章第5节《三角恒等变换》优质说课稿
高中必修第一册《55三角恒等变换》优质课教案
02
知识回顾与铺垫
Chapter
三角函数基本概念回顾
任意角的概念及弧度制
01
理解任意角、正角、负角、零角的概念，掌握弧度制与角度制
的换算。
三角函数的定义
02
回顾正弦、余弦、正切函数的定义，理解三角函数在各象限的
符号。
三角函数的诱导公式
03
掌握利用单位圆和周期性推导出的三角函数诱导公式。
三角函数性质及图像复习
指出了在应用三角恒等变换时需要注意的一些细节和易错点，如公式使用的条件、 符号的变换等。
布置针对性作业，要求学生按时完成并提交
针对本节课所学内容，布置了相应的 练习题和思考题，要求学生按时完成 并提交。
鼓励学生相互交流和讨论作业中遇到 的问题，促进彼此之间的学习和进步 。
提醒学生在完成作业时要注意细节和 规范性，如书写工整、步骤清晰等。
三角恒等变换的基本公式及其应用。
教学方法与手段
教学方法
本节课采用讲解、示范、练习相结合的教学方法。通过讲解 帮助学生理解三角恒等变换的基本公式和几何意义；通过示 范使学生掌握运用三角恒等变换解决三角函数问题的方法； 通过练习巩固所学知识，提高解题能力。
教学手段
使用多媒体辅助教学，展示三角恒等变换的公式推导过程、 几何意义以及典型例题的解析过程，增强教学的直观性和生 动性。
03
新课导入与探究
Chapter
两角和与差公式推导及应用举例
公式推导
通过向量的数量积和三角函数的 定义，推导两角和与差的余弦、 正弦公式。
应用举例
解决三角形中的角度问题，如已 知两边和夹角求第三边等。
倍角公式推导及应用举例
公式推导
利用三角函数的和差公式，推导二倍 角的正弦、余弦、正切公式。
人教A版高中数学第一册(必修1)教学设计1：5.5.2 简单的三角恒等变换教案
5.5.2 简单的三角恒等变换【课标要求】课程标准：1.能用二倍角公式导出半角公式.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式进行化简、求值以及证明三角恒等式． 教学重点：利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明． 教学难点：利用三角恒等变换来解决问题.【知识导学】知识点一 半角公式知识点二 积化和差与和差化积公式 (1)积化和差公式sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]．sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]．(2)和差化积公式sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.sin α－sin β＝2cos α＋β2sin α－β2.cos α＋cos β＝2cos α＋β2cos α－β2.cos α－cos β＝－2sin α＋β2sin α－β2.【新知拓展】辅助角公式辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎫tan φ＝ba . 推导过程：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x .令cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b 2， 则a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)， 其中角φ所在象限由a ，b 的符号确定，角φ的值由tan φ＝b a 确定或由sin φ＝b a 2＋b 2和cos φ＝aa 2＋b2共同确定．【基础自测】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知cos α＝13，α∈(0，π)，则sin α2＝－33.( )(2)cos 2π8－14＝2＋14.( )(3)函数f (x )＝3sin x ＋cos x (x ∈R )的最小正周期为π.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× 2．做一做(1)若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33(2)已知cos α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A ．－1010 B.1010 C.3310 D ．－35(3)函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最大值是( ) A ．1 B.1＋32 C.32 D ．1＋ 3(4)若tan α＝2，则tan α2＝________.答案 (1)A (2)B (3)C (4)－1±52【题型探究】题型一利用半角公式求值例1 已知sin α＝－45，π<α<3π2，求sin α2，cos α2，tan α2的值．[解] ∵π<α<3π2，sin α＝－45，∴cos α＝－35，且π2<α2<3π4，∴sin α2＝1－cos α2＝255， cos α2＝－1＋cos α2＝－55， tan α2＝sinα2cos α2＝－2. 金版点睛由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤(1)若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论．一般讨论角所在象限． (2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤： ①先化简所求的式子．②观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手)． ③将已知条件代入所求式子，化简求值．[跟踪训练1] 已知sin α2－cos α2＝－15，450°<α<540°，求tan α2的值．解 由题意，得⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＝15， 即1－sin α＝15，得sin α＝45.∵450°<α<540°，∴cos α＝－35，∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝⎛⎭⎫－3545＝2.题型二三角函数式的化简例2 化简：(1＋sin α＋cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＋2cos α(π<α<2π)．[解] 原式＝⎝⎛⎭⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22·2cos 2α2＝2cos α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2(－cos α)⎪⎪⎪⎪cos α2.又∵π<α<2π，∴π2<α2<π，∴cos α2<0，∴原式＝cos α2·(－cos α)－cosα2＝cos α.[变式探究] 将本例改为化简：(1＋sin α－cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22－2cos α(180°<α<360°)．解 原式＝⎝⎛⎭⎫2sin 2α2＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22·2sin 2α2＝2sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪sin α2＝2sin α2(－cos α)2⎪⎪⎪⎪sin α2＝sin α2(－cos α)⎪⎪⎪⎪sin α2.∵180°<α<360°，∴90°<α2<180°，∴sin α2>0，∴原式＝－cos α. 金版点睛化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．[跟踪训练2] 化简：(1)1＋sin θ－1－sin θ⎝⎛⎭⎫3π2<θ<2π； (2)cos 2α1tan α2－tan α2.解 (1)原式＝⎪⎪⎪⎪sin θ2＋cos θ2－⎪⎪⎪⎪sin θ2－cos θ2， ∵3π2<θ<2π，∴3π4<θ2<π， ∴0<sin θ2<22，－1<cos θ2<－22，从而sin θ2＋cos θ2<0，sin θ2－cos θ2>0.∴原式＝－⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ2－⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ2＝－2sin θ2. (2)原式＝cos 2αtan α21－tan 2α2＝12cos 2α·2tanα21－tan2α2＝12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin2α. 题型三三角恒等式的证明例3 求证：tan 3x 2－tan x 2＝2sin x cos x ＋cos2x .[证明] 证法一：tan 3x 2－tan x2＝sin 3x 2cos 3x 2－sin x2cosx2＝sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫3x 2－x2cos 3x 2cosx 2＝sin x cos 3x 2cos x 2＝2sin x cos ⎝⎛⎭⎫3x 2＋x 2＋cos ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2 ＝2sin xcos x ＋cos2x.∴原式成立．证法二：2sin xcos x ＋cos2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2cos ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2＋cos ⎝⎛⎭⎫3x 2＋x 2＝2⎝⎛⎭⎫sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 22cos 3x 2cos x 2＝sin 3x 2cos 3x 2－sin x2cosx 2＝tan 3x 2－tan x2.∴原式成立． 金版点睛在三角恒等式的证明中，化繁为简是化简三角函数式的一般原则，按照目标确定化简思路，由复杂的一边化到简单的一边.如果两边都比较复杂，也可以采用左右归一的方法. [跟踪训练3] 求证：sin (α＋β)sin (α－β)sin 2αcos 2β＝1－tan 2βtan 2α.证明 证法一：左边＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β)sin 2αcos 2β＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β＝1－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β＝1－tan 2βtan 2α＝右边．∴原等式成立．证法二：右边＝1－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β)sin 2αcos 2β＝sin (α＋β)sin (α－β)sin 2αcos 2β＝左边．∴原式成立.题型四利用辅助角公式研究函数性质例4 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合． [解] (1)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎩⎨⎧⎭⎬⎫32sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为{x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π＋5π12，k ∈Z . 金版点睛(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.(2)解此类题时要充分运用两角和(差)公式、二倍角公式、辅助角公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障. [跟踪训练4] 已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1 ＝3sin2x ＋2cos 2x －1 ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )max ＝2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )min ＝－1.题型五三角变换的实际应用例5 如图，A ，B 是半径为1的圆O 上任意两点，以AB 为一边作等边三角形ABC .当点A ，B 处于怎样的位置时，四边形OACB 的面积最大？最大面积是多少？[解] 如图，设∠AOB ＝θ(0<θ<π)，四边形OACB 的面积为S . 取AB 的中点D ，连接OD ，CD ，则OD ⊥AB ，CD ⊥AB .在Rt △ODA 中，OA ＝1，∠AOD ＝θ2，所以AD ＝OA sin ∠AOD ＝sin θ2，OD ＝OA cos ∠AOD ＝cos θ2，所以AB ＝2AD ＝2sin θ2.因为△ABC 为等边三角形，所以CD ＝AC sin ∠CAB ＝2sin θ2sin60°＝3sin θ2.所以S ＝S △ABC ＋S △AOB ＝12CD ·AB ＋12OD ·AB＝12×3sin θ2×2sin θ2＋12×cos θ2×2sin θ2 ＝3sin 2θ2＋12sin θ＝3×1－cos θ2＋12sin θ＝12sin θ－32cos θ＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋32. 因为0<θ<π，所以－π3<θ－π3<2π3.所以当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，S 取得最大值1＋32.所以当OA 与OB 的夹角为5π6时，四边形OACB 的面积最大，最大面积是1＋32.金版点睛解答此类问题，关键是合理引入辅助角，先将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.在求解过程中，要注意角的取值范围.[跟踪训练5] 有一块以O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 建为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另外两点B ，C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为a ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，才能使矩形ABCD 的面积最大？ 解 画出图形如图所示．设∠AOB ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则AB ＝a sin θ，OA ＝a cos θ. 设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝2OA ·AB ＝2a cos θ·a sin θ＝a 2·2sin θcos θ＝a 2sin2θ. 因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2θ∈(0，π)． 当2θ＝π2，即θ＝π4时，S max ＝a 2，此时点A ，D 距离点O 均为22a . 【随堂达标】1．已知sin α＝35⎝⎛⎭⎫0<α<π2，则cos α2等于( ) A.45 B ．－45 C ．－31010 D.31010 答案 D解析 ∵sin α＝35且0<α<π2，∴cos α＝45.又cos α＝2cos 2α2－1，∴cos 2α2＝1＋cos α2＝910，∵0<α2<π4，∴cos α2＝31010.2.2sin 2αsin2α·2cos 2αcos2α等于( ) A ．tan α B ．tan2α C ．1 D.12答案 B解析 原式＝(2sin αcos α)2sin2αcos2α＝sin 22αsin2αcos2α＝sin2αcos2α＝tan2α.3．函数y ＝3sin x ＋3cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的值域为________． 答案 [－3,23]解析 函数y ＝3sin x ＋3cos x ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 又x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－32，1，∴23sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6∈[－3,23]． 4．求值：sin 235°－12cos10°cos80°＝________.答案 －1解析 sin 235°－12cos10°cos80°＝1－cos70°2－12cos10°sin10°＝－12cos70°12sin20°＝－1.5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2cos 2x －1，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＋sin2x cos π3－cos2x sin π3＋cos2x＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π8上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π8，π4上单调递减， 又f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫π4＝1， 故函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1.。
人教A版高中数学必修一课件 《三角恒等变换》三角函数名师授课课件(第5课时简单的三角恒等变换)
2sin xcos x－1sin
x x－cos
x＋1＝1＋sincoxs
x.
[证明] 左边＝2sin2xcos2x－2s2isni2n2xxc2ossinx2xcos2x＋2sin22x ＝4sin222xscinosx2c2xo－s xsin22x
23
＝2ssiinn2x2x
2α＝右边，
∴原式成立．
21
三角恒等式证明的常用方法 1执因索果法：证明的形式一般化繁为简； 2左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子； 3拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它 们之间的差异，简言之，即化异求同； 4比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”； 5分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直 到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.
＝cos x2x＝
2cos22x x
x＝1＋sincoxs
x＝右边．
sin2 2sin2cos2
所以原等式成立．
24
恒等变换与三角函数图象性质的综合
【例3】 已知函数f(x)＝ 3cos2x－π3－2sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期． (2)求证：当x∈－π4，π4时，f(x)≥－12. [思路点拨] 化为fx＝Asinωx＋φ＋b → 由T＝|2ωπ|求周期 →
∴sin4θ＝－
1－2cos2θ＝－ 1－2 a.]
(2)[解] 原式＝
2csoinsα2α2＋－cos2α2s2inα2＋ 2csoinsαα22－＋cos2α2s2inα2.
12
∵π＜α＜32π，∴π2＜α2＜34π，∴cosα2＜0，sinα2＞0，
∴原式＝－si2nα2si＋nα2c＋oscα2o2sα2＋
高中必修第一册《5.5 三角恒等变换》优质课教案教学设计
第五章三角函数5.5.2 简单的三角恒等变换本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》5.5.2节《简单的三角恒等变换》属于新授课.本节的内容是简单的三角恒等变换，主要内容是利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用，本节的内容都是用例题来展现的，通过例题的解答，引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等属性思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力。
让学生感受数形结合及转化的思想方法。
发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
课程目标学科素养1．能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．2．了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．3．体会知识之间的内在联系，培养学生的思考归纳能力，提高其思维灵活性.a.数学抽象：公式的应用；b.逻辑推理：公式之间的联系；c.数学运算：运用公式求值；d.直观想象：公式的灵活运用；e.数学建模：运用三角公式解决实际问题；教学重点：体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．教学难点：了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．多媒体分析:要求当角α取何值时,矩形①找出S与α之间的函数关系设矩形ABCD 的面积为S ,则αααsin )sin 33(cos -=⨯=BC AB S )2cos 1(632sin 21sin 33cos sin 2ααααα--=-= 63)2cos 212sin 23(31632cos 632sin 21-+=-+=αααα 63)62sin(31-+=πα. 对于第二步求具体值,要首先确定变量的取值范围: 由 03πα<<, 得52666πππα<+<. 所以当 262ππα+=, 即6πα=时,max 133.663S =-= 因此,当6πα=时, 矩形ABCD 的面积最大,最大面积为36. 注：（1）在求解最大值时，要特别注意 “03πα<<”这一隐含条件;（2）应用问题转化为数学问题，最后要回归到实际问题.通过三角变换把形如y =a sin x +b cos x 的函数转化为形如y =A sin(ωx+ϕ)的函数,从而使问题得到简化。
人教A版(2019)高中数学必修第一册5.5.2简单的三角恒等变换教案
5.5.2 二倍角的正弦、余弦、正切公式教学目标：经历借助和角、差角及倍角公式通过三角恒等变换推导出半角公式、积化和差公式及和差化积公式(这三组公式不要求记忆)的过程，体会三角恒等变换的内容、思路和方法，发展逻辑推理素养与数学运算素养．教学重点：三角变换的内容、思路和方法． 教学难点：认识三角变换的特点． 教学过程：（一）整体感知引导语：前面几节课大家一起学习了和、差角公式及二倍角公式，这样，为我们进行三角恒等变换提供了新的工具，下面通过例题探究一下在具体问题中，如何根据条件恰当地选择公式，进行恒等变换．（二）新知探究例1 试以cos α表示sin 2α2，cos 2α2，tan 2α2． 追问1：已知角α与待求角2α有什么关系？目前我们掌握的公式中，有没有相关公式可以将具有这种关系的角联系起来？预设答案：二倍角关系，22αα=⨯；我们学习过的二倍角公式可以将它们联系起来．解：在倍角公式cos 2α＝1－2sin 2α中，以α代替2α，以α2代替α，得cos α＝1－2sin 2α2，所以sin 2α2＝1−cos α2． ①在倍角公式cos 2α＝2cos 2α－1中，以α代替2α，以α2代替α，得cos α＝2cos 2α2－1，所以cos2α2＝1＋cos α2． ②将①②两个等式的左右两边分别相除，得tan 2α2＝1−cos α1＋cos α．追问2：经历了例1的解决过程之后，你能谈一谈三角恒等变换与代数恒等变换二者之间有何区别吗？预设答案：与代数恒等变换相比，进行三角恒等变换时，三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所含的角差异，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式．设计意图：这个问题既有引导学生思考的目的，也有帮助学生进行总结的功能：与普通的代数变换相比较，三角变换要考虑所包含的角的不同、三角函数的种类差异，三角函数式的结构差异等多个因素，因此教学时更要注重培养学生有序的思维习惯，从而更好地把握三角恒等变换的特点．教师讲解：例1的结果还可以表示为： sin α2＝±√1−cos α2，cos α2＝±√1＋cos α2，tan α2＝±√1−cos α1＋cos α，并称之为“半角公式”(这组公式不需要记忆)，符号由α2所在象限决定．另外，例1的前两个式子，即①与②，从左向右看的话，它们的次数都从二次降为一次，而角则由2α扩大为α，因此也被称为“降幂(扩角)公式”．练习：求证：sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+．预设答案：证法一：因为 tan α2＝sinα2cosα2＝sin α2cosα2cos ２α2＝sinα1＋cosα，tan α2＝sinα2cosα2＝sin 2α2sin α2cos α2＝1−cos αsin α，所以得证．证法二：因为sinα1＋cosα＝２sin α2cosα2２cos ２α2＝sinα2cosα2＝tan α2，又sin 2α＋cos 2α＝1，即sin 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)， 所以sin α1＋cos α＝1−cos αsin α．所以得证．设计意图：这个题目中，待证等式两侧所含角为二倍关系，如果学生注意到这一点，利用二倍角公式不难证明．解决这个问题一方面可以让学生更加熟悉三角恒等变换问题的操作思路和方法，另一方面也给出了不需要讨论正负号的半角正切公式．例8 求证：（1）sin α cos β＝12［sin(α＋β)＋sin(α－β)］；（2）sin θ＋sin φ＝2sin θ＋φ2cosθ−φ2．追问1：（1）中式子的左右两边在结构形式上有什么不同？你能根据你发现的不同点借助相关公式设计变换过程吗？预设答案：可以从两个不同的角度回答这个问题：第一，从所含角的角度考虑，等式左侧包含角α及β，而等式右侧包含了α与β的和角以及差角，因此如果从等式右边出发，借助和角公式与差角公式化简，最后可以化成等号左边的形式；第二，从运算结构的角度考虑，等号左侧是sin α与cos β的乘积，而右侧是加的形式，如果设计从左向右的变换过程，需要将积转化为和的形式，回顾所学公式，在公式()(S ,S αβαβ+-）中遇到过sin cos αβ这一结构，但上述两个公式中同时都包含了cos sin αβ这个结构，因此需要两个式子用加减消元法消去cos sin αβ即可证明待证结论．这两种思考方法是本质上是一致的．追问2：注意观察（2）式的左右两侧，它与（1）的结构特征有何区别？两个等式之间有什么联系？预设答案：从等式两侧所含角的角度考虑，（1）的右侧所含角是左侧所含角的和角与差角，而（2）的左侧所含角是右侧所含角的和角与差角；从运算结构考虑，（1）左侧积结构是右侧和结构的一半，（2）左侧和结构是右侧积结构的二倍．综合以上分析，只需将（1）式等号两侧交换，再将,αβ分别替换成,22θϕθϕ+-即可得到（2）．设计意图：这个追问旨在将之前解决三角恒等变换的思路一以贯之地延续下去，即从寻找“差异”着手进行分析，而对（2）分析过后，不难发现它与（1）的结构几乎完全一致，仅仅是左右交换并更换了角而已．这样可以强化学生对寻找“差异”的认识，并引导学生发现解决问题的方法．证明：（1）因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β，即sin αcos β＝12［sin(α＋β)＋sin(α－β)］．（2）由（1）可得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β． ③ 设α＋β＝θ，α－β＝φ，那么α＝θ＋φ2，β＝θ−φ2． 把α，β的值代入③，即得sin θ＋sin φ＝2sinθ＋φ2cosθ−φ2．设计意图：本题所证式子是“积化和差”与“和差化积”共八个公式中的其中两个，这两组公式与半角公式同样不要求记忆．通过公式的证明过程，体会三角恒等变换的内容、思路和方法．（三）回顾小结问题：我们在进行三角恒等变换时，应该怎样进行分析？在变换中经常会用到哪些数学思想或方法？预设的师生活动：学生进行归纳、思考并回答．预设答案：我们进行三角恒等变换时，应首先分析已知条件与目标之间的差异，这些差异可能是所含角的差异，也可能是三角函数名称的差异，或是结构差异等等，找到“差异”之后，再选择合适的公式，将这个“差异”逐步“拉近”，就可以一步一步达到目标．在变换中经常用到化归思想、转化思想、方程思想以及换元法．设计意图：回顾反思，使学生归纳解决三角恒等变换问题的通用思路和常规方法． （四）作业布置教科书习题5.5第9，10，11，19题． （五）目标检测设计1．已知cos θ＝13，且270°＜θ＜360°，试求sin θ2和cos θ2的值．2．已知等腰三角形的顶角的余弦等于725，求这个三角形的一个底角的正切．3．求证：（1）sin α sin β＝−12［cos(α＋β)－cos(α－β)］．（2）cos θ－cos φ＝－2sin θ＋φ2sinθ−φ2．答案：1．－√６３．2．４３．设计意图：巩固利用公式进行恒等变换的解题过程，提升学生逻辑推理与数学运算素养．。
新高考数学A版讲义：三角函数第5节 三角恒等变换
第5节 两角和与差的恒等变换公式知识点一 两角和与差的余弦公式知识点二 两角和与差的正弦公式题型一、给角求值例1 计算：(1)cos 105°；(2)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°.解 (1)cos 105°＝cos(60°＋45°)＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45°＝12×22－32×22＝2－64.(2)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin (17°＋30°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝cos 17°sin 30°cos 17°＝sin 30°＝12.反思感悟 解决给角求值问题的方法(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式． 跟踪训练1计算：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；(2)sin(54°－x )cos(36°＋x )＋cos(54°－x )sin(36°＋x )． 解 (1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝12.(2)原式＝sin [(54°－x )＋(36°＋x )]＝sin 90°＝1. 题型二、给值求值例2 已知π2<β<α<34π，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos 2α的值．解 ∵π2<β<α<34π，∴－34π<－β<－π2.∴0<α－β<π4，π<α＋β<32π.∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513， cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45. ∴cos 2α＝cos [(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)＝1213×⎝⎛⎭⎫－45－513×⎝⎛⎭⎫－35＝－3365， 延伸探究1．若本例的条件不变，求sin 2α的值． 解 由本例解析知sin 2α＝sin [(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝513×⎝⎛⎭⎫－45＋1213×⎝⎛⎭⎫－35＝－5665. 2．若本例条件变为：π2<β<α<3π4，sin(α－β)＝513，sin(α＋β)＝－513，求sin 2β的值．解 因为π2<β<α<3π4，所以0<α－β<π4，π<α＋β<32π.所以cos(α－β)＝1213，cos(α＋β)＝－1213，所以sin 2β＝sin [(α＋β)－(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)＝⎝⎛⎭⎫－513×1213－⎝⎛⎭⎫－1213×513＝0. 反思感悟 给值(式)求值的策略(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．跟踪训练2 已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求tan αtan β的值．解 ∵sin(α＋β)＝12，∴sin αcos β＋cos αsin β＝12.①∵sin(α－β)＝13，∴sin αcos β－cos αsin β＝13.②由①，②解得sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝512112＝5. 题型三、给值求角例3 已知cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，0<α<π2，0<β<π2，求角β的值．解 因为0<α<π2，cos α＝17，所以sin α＝437.又因为0<β<π2，所以0<α＋β<π.因为sin(α＋β)＝5314<sin α，所以cos(α＋β)＝－1114，所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝5314×17－⎝⎛⎭⎫－1114×437＝32. 又因为0<β<π2，所以β＝π3.延伸探究若把本例中的“0<β<π2”改为“π2<β<π”，求角β的值．解 因为0<α<π2，cos α＝17，所以sin α＝437.又因为π2<β<π，所以π2<α＋β<3π2.因为sin(α＋β)＝5314，所以cos(α＋β)＝－1114，所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝5314×17－⎝⎛⎭⎫－1114×437＝32. 又因为π2<β<π，所以β＝2π3.反思感悟 解决给值(式)求角问题的方法解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是⎝⎛⎭⎫π2，3π2或⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，选取求正弦值． 跟踪训练3 已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值． 解 因为α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，所以cos α＝255，sin β＝31010. 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝55×1010－255×31010＝－22. 又因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2.故α－β＝－π4.知识点三 两角和与差的正切公式题型一、化简求值例1 计算：(1)tan(－75°)；(2)tan 74°＋tan 76°1－tan 74°tan 76°；(3)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°.解 (1)∵tan 75°＝tan(45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－33＝3＋33－3＝12＋636＝2＋3，∴tan(－75°)＝－tan 75°＝－2－ 3. (2)原式＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－33. (3)∵tan 60°＝3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴tan 23°＋tan 37°＝3－3tan 23°tan 37°，∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3. 反思感悟 利用公式T (α±β)化简求值的两点说明 (1)分析式子结构，正确选用公式形式：T (α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换． (2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“3”时，要考虑用这些特殊值所对应的 特殊角的正切值去代换，如“1＝tan π4”，“3＝tan π3”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．跟踪训练1 求值：(1)1－tan 15°1＋tan 15°；(2)tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°.解 (1)1－tan 15°1＋tan 15°＝tan 45°－tan 15°1＋tan 15°tan 45°＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝33.(2)由tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β的变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)得tan 10°＋tan 35°＝tan 45°(1－tan 10°tan 35°)＝1－tan 10°tan 35°， 所以tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝1. 题型二、给值求值(角)例2 已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．解 ∵tan β＝－17，tan(α－β)＝12，∴tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171－12×⎝⎛⎭⎫－17＝13，tan(2α－β)＝tan [(α－β)＋α]＝tan (α－β)＋tan α1－tan (α－β)tan α＝12＋131－13×12＝1.∵tan α＝13>0，tan β＝－17<0，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴α－β∈(－π，0)． 又∵tan(α－β)＝12>0，∴α－β∈⎝⎛⎭⎫－π，－π2，2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)． 而tan(2α－β)＝1，∴2α－β＝－34π.反思感悟 (1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解．(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小． 跟踪训练2 已知tan α＝13，tan β＝－2，且0<α<π2<β<π，求(1)tan(α－β)的值；(2)角α＋β的值．解 (1)tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan α·tan β＝13－(－2)1＋13×(－2)＝7.(2)∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝13＋(－2)1－13×(－2)＝－1，又0<α<π2，π2<β<π，∴π2<α＋β<32π，∴α＋β＝34π.题型三、两角和与差的正切公式的综合应用例3 (1)已知A ，B 是三角形ABC 的两个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2＋8x －1＝0的两个实根，则tan C ＝________.解析 由题意可知⎩⎨⎧tan A ＋tan B ＝－83，tan A ·tan B ＝－13，由两角和的正切公式得tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－831－⎝⎛⎭⎫－13＝－2，又A ＋B ＋C ＝π，所以tan C ＝tan [π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝2.(2)在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，试判断△ABC 的形状．解 由tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3得tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝3－3tan B tan C1－tan B tan C ＝3，又0<B ＋C <π，∴B ＋C ＝π3，①；又由3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B 得tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B ＝33(tan A ·tan B －1)1－tan A ·tan B ＝－33.又0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝56π，②由①②及A ＋B ＋C ＝π解得B ＝π6，C ＝π6，A ＝23π.所以△ABC 为等腰三角形．反思感悟 (1)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．(2)熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形： ①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； ②1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan (α＋β)；③tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)； ④tan α·tan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β).提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式． 跟踪训练3 已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，则α＋β的值为( )A.π3 B ．－2π3 C ．－2π3或π3D ．无法确定 解 由已知得⎩⎨⎧tan α＋tan β＝－33，①tan α·tan β＝4，②所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，又由①②可知tan α<0，tan β<0.∴－π2<α<0，－π2<β<0，∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－23π.两角和与差的正弦余弦公式1．sin 15°sin 75°的值为( ) A.12 B.32 C.14 D.34解析 原式＝sin 15°cos 15°＝12(2sin 15°cos 15°)＝12sin 30°＝14.2.⎝⎛⎭⎫cos π8－sin π8⎝⎛⎭⎫cos π8＋sin π8的值为( ) A ．－22 B ．－12 C.12 D.22解析 原式＝cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22.3．已知α是第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于( ) A ．－53 B ．－59 C.59 D.53解析 由sin α＋cos α＝33，平方得1＋2sin αcos α＝39＝13，∴2sin αcos α＝－23. ∴(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝53.∵α是第二象限角，∴sin α>0，cos α<0.∴cos α－sin α＝－153， ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)·(cos α－sin α)＝－53. 4．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α等于( )A ．－34 B.34 C ．－43 D.43解析 因为sin α＋cos αsin α－cos α＝12，整理得tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×(－3)1－(－3)2＝34.5．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22 B.33C. 2D.3 解析 ∵sin 2α＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝14.∴cos α＝±12.又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α＝12，sin α＝32.∴tan α＝3. 6．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3，则sin 2θ－2cos 2θ＝________.解析 由已知，得1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12.所以sin 2θ－2cos 2θ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ－2tan 2θ＋1＝2×12－2⎝⎛⎭⎫122＋1＝－45.7．化简：sin 235°－12sin 10°cos 10°＝________.解析 原式＝2sin 235°－12sin 10°cos 10°＝－cos 70°sin 20°＝－cos 70°sin (90°－70°)＝－1.8．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值等于________．解析 方法一 因为sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725， 所以sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝725. 方法二 由sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，得22(sin x －cos x )＝－35， 所以sin x －cos x ＝－325，两边平方得1－sin 2x ＝1825，所以sin 2x ＝725.9．已知tan α＝17，tan β＝13，且α，β均为锐角，求α＋2β的值．解 tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝34，tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝1.因为α，β均为锐角，且tan α＝17<1，tan β＝13<1，所以α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π4， 所以α＋2β∈⎝⎛⎭⎫0，3π4，所以α＋2β＝π4. 10．已知cos x ＝1010，且x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin 2x 的值． 解 ∵cos x ＝1010，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴sin x ＝－1－cos 2x ＝－31010，∴sin 2x ＝2sin x cos x ＝－35， ∴22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin 2x ＝22⎝⎛⎭⎫cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－cos 2x 2＝12－12sin 2x ＝12－12×⎝⎛⎭⎫－35＝45.11．设sin α＝13，2π<α<3π，则sin α2＋cos α2等于( )A ．－233 B.233 C.43 D ．－33解析 ∵sin α＝13，∴⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＝1＋sin α＝43. 又2π<α<3π，∴π<α2<3π2，∴sin α2＋cos α2＝－233.12．已知函数f (x )＝cos 2x －1cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2⎝⎛⎭⎫0<x ≤π3，则( ) A ．函数f (x )的最大值为3，无最小值 B ．函数f (x )的最小值为－3，最大值为0 C ．函数f (x )的最大值为33，无最小值 D ．函数f (x )的最小值为－3，无最大值 解析 因为f (x )＝cos 2x －1cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝cos 2x －1sin 2x ＝－2sin 2x 2sin x cos x ＝－tan x ,0<x ≤π3，所以函数f (x )的最小值为－3，无最大值，故选D.13．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是______． 解析 ∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π知sin α≠0，∴cos α＝－12，∴α＝2π3，∴tan 2α＝tan 4π3＝tan π3＝ 3. 14．(2019·全国Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________． 解析 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1， 令t ＝cos x ，则t ∈[－1,1]，∴f (t )＝－2t 2－3t ＋1.又函数f (t )图象的对称轴t ＝－34∈[－1,1]，且开口向下，∴当t ＝1时，f (t )有最小值－4.综上，f (x )的最小值为－4.15．等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．解析 设A ，B 分别是等腰△ABC 的顶角和底角，则cos B ＝23，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫232＝53.所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. 16．已知α为锐角且tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝3.(1)求tan α的值；(2)求2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4cos α－sin αcos 2α的值．解 (1)因为tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝3，所以tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝3，即1＋tan α1－tan α＝3，解得tan α＝12. (2)2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4cos α－sin αcos 2α＝cos α(sin 2α＋cos 2α)－sin αcos 2α＝2cos 2αsin α＋cos 2αcos α－sin αcos 2α＝cos 2α(cos α＋sin α)cos 2α＝cos α＋sin α.因为α为锐角且tan α＝12，所以cos α＝2sin α.由sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＝15，所以sin α＝55，cos α＝255，可得cos α＋sin α＝355.即原式＝355.两角和与差的正切公式1．(2019·全国Ⅰ)tan 255°等于( ) A ．－2－ 3 B ．－2＋3 C ．2－ 3D ．2＋3解析 tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－33＝2＋3.2.3－tan 18°1＋3tan 18°的值等于( ) A ．tan 42° B ．tan 3°C ．1D ．tan 24° 解析 ∵tan 60°＝3，∴原式＝tan 60°－tan 18°1＋tan 60°tan 18°＝tan(60°－18°)＝tan 42°. 3．若tan(180°－α)＝－43，则tan(α＋405°)等于( ) A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 解析 ∵tan(180°－α)＝－tan α＝－43， ∴tan α＝43，∴tan(α＋405°)＝tan(α＋45°)＝1＋tan α1－tan α＝1＋431－43＝－7. 4．在△ABC 中，∠C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( ) A.14 B.13 C.12 D.53解析 ∵∠C ＝120°，∴∠A ＋∠B ＝60°，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝3， ∴tan A ＋tan B ＝3(1－tan A tan B )＝233，解得tan A ·tan B ＝13.故选B. 5．已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．不确定解析 (1＋tan A )(1＋tan B )＝1＋(tan A ＋tan B )＋tan A tan B＝1＋tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan A tan B ＝1＋1－tan A tan B ＋tan A tan B ＝2.6．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________． 解析 tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3. 7．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－β2＝12，tan ⎝⎛⎭⎫β－α2＝－13，则tan α＋β2＝________. 解析 tan α＋β2＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫β－α2＝12－131－12×⎝⎛⎭⎫－13＝17. 8．已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B ＝________.解析 ∵B 为锐角，sin B ＝55，∴cos B ＝255，∴tan B ＝12， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝13＋121－13×12＝1.∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π4. 9．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，tan β＝12. (1)求tan α的值；(2)求sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β)的值． 解 (1)∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，∴tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13. (2)原式＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝cos αsin β－sin αcos βcos αcos β＋sin αsin β＝sin (β－α)cos (β－α)＝tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝12－131＋12×13＝17. 10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．解 (1)由条件得cos α＝210，cos β＝255.∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210， sin β＝1－cos 2β＝55.因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan α·tan 2β＝7＋431－7×43＝－1.∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4.11．已知sin α＝55，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为( ) A.π4 B.3π4 C.π3 D.2π3解析 sin α＝55，且α为锐角，则cos α＝255，tan α＝12， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12－31－12×(－3)＝－1.又α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，故α＋β＝3π4. 12．tan 15°＋tan 105°等于( )A ．－2 3B ．2＋ 3C ．4 D.433解析 tan 15°＋tan 105°＝tan(45°－30°)＋tan(45°＋60°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＋tan 45°＋tan 60°1－tan 45°tan 60°＝－23， 13．化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于________．解析 原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 20°＋tan 10°)＝tan 10°tan 20°＋3tan(20°＋10°)(1－tan 20°tan 10°)＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10°＝1.14．设tan θ＝2，则tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝________，sin θ－cos θsin θ＋cos θ＝________. 解析 由tan θ＝2，得tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝tan θ＋tan π41－tan θtan π4＝－3，sin θ－cos θsin θ＋cos θ＝tan θ－1tan θ＋1＝13.15．(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值为( )A ．16B ．8C ．4D ．2答案 C解析 由于21°＋24°＝45°，23°＋22°＝45°，利用两角和的正切公式及其变形可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2，故(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)＝4.16．是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝2π3，(2)tan α2tan β＝2－3同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由．解 假设存在锐角α，β使得(1)α＋2β＝2π3，(2)tan α2tan β＝2－3同时成立． 由(1)得α2＋β＝π3，所以tan ⎝⎛⎭⎫α2＋β＝tan α2＋tan β1－tan α2tan β＝ 3. 又tan α2tan β＝2－3，所以tan α2＋tan β＝3－3， 因此tan α2，tan β可以看成是方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两个根，解得x 1＝1，x 2＝2－ 3. 若tan α2＝1，则α＝π2，这与α为锐角矛盾，所以tan α2＝2－3，tan β＝1，所以α＝π6，β＝π4， 所以满足条件的α，β存在，且α＝π6，β＝π4.。
新人教A版新教材学高中数学必修第一册第五章三角函数简单的三角恒等变换教案
＝—错误!＝—３．
１0．化简：错误!（0<α<π）．
解：因为 tan 错误!＝错误!，
所以（１＋cos α）tan 错误!＝sin α.
又因为 cos错误!＝—sin α，
且１—cos α＝２sin２错误!，
所以原式＝错误!＝错误!
＝—错误!.
因为 0<α<π，所以 0<错误!<错误!.
所以 sin 错误!>0．
6．已知 sin 错误!—cos 错误!＝错误!，则 cos ２θ＝________．
解析：因为 sin错误!—cos错误!＝错误!，
所以１—sin θ＝错误!，即 sin θ＝错误!，
所以 cos ２θ＝１—２sin２θ＝１—错误!＝错误!.
答案：错误!
7．已知 sin错误!＝错误!，则 cos２错误!＝________．
利用半角公式求值的思路 （１）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求 解． （２）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的 范围． （３）选公式：涉及半角公式的正切值时，常用 tan 错误!＝错误!＝错误!，其优点是计算时可避免
若 cos α＝错误!，且 α∈（0，π），则 cos 错误!的值为（ ）
Ａ．错误!
B．—错误!
Ｃ．±错误!
Ｄ．±错误!
答案：A
已知 cos α＝错误!，α∈错误!，则 sin 错误!等于（ ）
A．—错误!
Ｂ．错误!
Ｃ．错误!
Ｄ．—错误!
答案：B
已知 cos θ＝—错误!，且１80°＜θ＜２70°，则 tan 错误!＝________．
人教A版(2019)数学必修第一册 5-5三角恒等变换5-5-2简单的三角恒等变换 课件
5
2
2
A.3 B.-3 C. 1 D.- 1
3
3
2［. 2020·重庆一中高一期末］已知cos
2α＝
7 25
，α∈
2
,
0
，则sin
α＝
.
3.［2020·天津市新华中学高一期末］设a＝ 1 cos 6°- 3 sin 6°，b＝ 2 tan 13 ，
2
2
1 tan213
c＝ 1 cos 50 ，则有
5.5 三角恒等变换
5.5.2 简单的三角恒等变换
学习目标
1.掌握三角恒等变换的特点、变换技巧、基本思想方法，能利用三角恒等变换 对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用. 2.通过三角恒等变换，加强三角变换与三角函数性质之间的内在联系，使学生 进一步提高运用联系转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想 ，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的作用. 重点：半角公式、积化和差、和差，三角变换的内容、思路和方法，三角变 换的特点. 难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计， 不断提高从整体上把握变换过程的能力.
sin
x 2
2sin
x 2
cos
x 2
sin
x 2
4sin2 x cosx 2
2sin2 x 2
sin x 2
1 2cos2 x 1 cos x
右边＝
2 ＝ 2 ，所以左边＝右边，即等式成立.
2sin x cos x sin x
22
2
证明三角恒等式的原则与步骤 1.观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单、高次降低次、复 角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想. 2.证明恒等式的一般步骤： （1）先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； （2）本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等 原则，设法消除差异，达到证明的目的.
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（新）人教高中数学A版必修一第五章第5节《三角恒等变换》优质
说课稿
今天我说课的内容是新人教高中数学A版必修一的第五章第5节《三角恒等变换》。
现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种变化规律称为周期性.这些现象都可以用三角函数刻画.前面我们学习了函数的一般概念，并研究了指数函数、对数函数等，知道了函数的研究内容、过程和方法，以及如何用某类函数刻画相应现实问题的变化规律.第五章我们将利用这些经验，学习刻画周期性变化规律的三角函数.三角函数是怎样的函数?它具有哪些特性?如何利用三角函数模型刻画各种周期性变化现象?本章我们就来研究这些问题.本节主要讲三角恒等变换知识。
本节教学承载着实现上述目标的任务，为了更好地教学，下面我从课程标准、教材分析、核心素养、教学重难点、教学方法、教学过程等方面进行说课。
一、说课程标准
普通高中数学课程标准（２０１７年版２０２０年修订）【内容要求】１．函数概念与性质：本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。
３．三角函数:三角函数是一类最典型的周期函数。
本单元的学习，用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性（对称性）、单调性和最大（小）值等性质.内容包括：三角恒等变换。
二、教材分析。
本节知识位于三角函数与数学变换的结合点上，能较好反应三角函数及变换之间的内在联系和相互转换，本节课内容的地位体现在它的基础性上。
作用体现在它的工具性上。
前面学生已经掌握了两角和与差
的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式，并能通过这些公式进行求值、化简、证明，虽然学生已经具备了一定的推理、运算能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养．
三、说教学目标和核心素养。
（一）教学目标
1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．
2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法．
3.能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用．
（二）核心素养
1.数学抽象：n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念；
2.逻辑推理：三角恒等式的证明；
3.数学运算：三角函数式的求值；
4.数据分析：三角函数式的化简；
5.数学建模：通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质。
四、说教学重难点。
1.重点:能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用.
2.难点:能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及
证明，进而进行简单的应用．
五、学情分析。
虽然学生已经掌握了整数指数幂的概念及其运算性质，并在学习幂函数的过程中接触过二次根式的分数指数幂的符号表示，但是由于n次方根及有理指数幂比较抽象，学生理解起来还是有困难.教学中应多举实例让学生理解分数指数幂的意义，明确分数指数幂是根式的一种新的写法，并通过根式和分数指数幂的互化区分负数指数幂与分数指数幂的不同，巩固、加深对有理数指数幂的理解.
六、说教学方法。
启发式、讲授法、自主学习法。
七、说教学过程。
一、谈话导入
师：前面我们学习了诱导公式，利用它们对三角函数式进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的.这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换.观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角a的和(或差)的三角函数与这个任意角a的三角函数的恒等关系.如果把特殊角换为任意角β，那么任意角a与β的和(或差)的三角函数与a，β的三角函数会有什么关系呢?下面来研究这个问题. 师板书课题：三角恒等变换
二、讲授新课。
（一）两角和与差的正弦、余弦和正切公式.
1.两角差的余弦公式
（1）生阅读教材这一部分内容，思考探究问题：如果已知任意角a, β的正弦、余弦，能由此推出a+β, a-β的正弦、余弦吗?
（2）生小组内交流。
（3）师画图讲解：cos(a-β)与角a, β的正弦、余弦之间的关系.
对于任意角a，β有cos(a-β)=cos acos β十sin a sin β.
此公式给出了任意角a，β的正弦、余弦与其差角a-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式.
（4）师讲解例题，生跟练.
2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式.
（1）生阅读教材这一部分内容，思考探究问题：由上述公式出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗?
（2）生小组内交流。
（3）师讲解：
①两角和的余弦公式，cos(a +β)=cos acos β一sin asin β.
记作：(C(a+β) )
②sin(a+β)=sin acos β十cos asin β,
sin(a-β)=sin acos β-cos asin β.
③和角公式、差角公式
（4）师讲解例题，生跟练.
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
以和(差)角公式为基础来推导倍角公式.
（二）简单的三角恒等变换.
过渡：学习了和(差)角公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新工具，从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富.
（1）生阅读教材这一部分内容，思考探究问题：由上述公式出发，你能发现三角恒等变换的内容、思路和方法吗?
（2）生小组内交流。
（3）师通过例题讲解归纳：
①因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式.这是三角恒等变换的一个重要特点.
②用换元的方法.如把a+β看作θ, a-β看作φ，从而把包含a，β的三角函数式转化为θ，φ的三角函数式.或者，把sinacosβ看作x，cosasinβ看作y，把等式看作x，y的方程，则原问题转化为解方程(组)求x.它们都体现了化归思想.
（4）生练习。
三、全课总结。