中山大学信息光学习题课后答案__习题456作业
中山大学信息光学习题课后答案__习题456作业
习 题 44.1 尺寸为a b ⨯的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠零后的平面上透射光场的角谱。
4.2 采用单位振幅的单色平面波垂直照明具有下述透过率函数的孔径，求菲涅耳衍射图样在孔径轴上的强度分布：(1) 220000(,)circ()t x y x y =+ (2) 2200001,1(,)0,a x y t x y ⎧⎪≤+≤=⎨⎪⎩其它 4.3 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为：00()cos(2/)t x a b x d π=+式中，d 为光栅的周期，0a b >>。
观察平面与光栅相距z 。
当z 分别取下述值时，确定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。
(1) 22r d z z λ== (2) 22r z d z λ== (3) 242r z d z λ== 式中：r z 为泰伯距离。
4.4 参看下图，用向P 点会聚的单色球面波照明孔径∑。
P 点位于孔径后面距离为z 的观察平面上，坐标为(0,)b 。
假定观察平面相对孔径的位置是在菲涅耳区，证明观察平面上强度分布是以P 点为中心的孔径的夫琅禾费衍射图样。
4.5 方向余弦为cos ,cos αβ，振幅为A 的倾斜单色平面波照明一个半径为a 的圆孔。
观察平面位于夫琅禾费区，与孔径相距为z 。
求衍射图样的强度分布。
4.6 环形孔径的外径为2a ，径为2a ε(01)ε<<。
其透射率可以表示为：001,()0,a r a t r ε≤≤⎧=⎨⎩其他度分布。
4.7 下图所示孔径由两个相同的圆孔构成。
它们的半径都为a ，中心距离为d ()d a >>。
采用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求出相距孔径为z 的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布并画出沿y 方向截面图。
4.8 参看下图，边长为2a 的正方形孔径再放置一个边长为a 的正方形掩模，其中心落在(,)x y ''点。
信息光学课后作业
1．在如图所示相干成像系统中，物体的复振幅透过率为1(,){1cos[2()]}2a b t x y f x f y π=++为了使像面能得到它的像，问(1)若采用圆形光阑，直径应大于多少？(2)若采用矩形光阑，各边边长应大于多少？解:物体的频谱为(,){(,})y T t x ξη=F 111(,)(,)(,)244a b a b f f f f δξηδξηδξη=+−−+++物体有三个频谱分量,在频谱面上的位置分别是(0,0),(,)a b f f 和(,)a b f f −−。
要使像面上得到物体的像,则必须要求这三个频率分量都通过系统,即系统的截止频率要大于这三个频率分量中的任何一个分量的频率。
(1)若采用圆形光阑，假设光阑直径为D,系统的截止频率2c Dfξλ=根据上面的分析,要使像面上得到物体的像,必须要求c ξ>即要求2D fλ>(2)若采用矩形光阑，假设其大小为a b ×,则系统的截止频率22cx cy a f b f ξλξλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩根据上面的分析,要使像面上得到物体的像,必须要求cx acy b f f ξξ=⎧⎪⎨=⎪⎩即要求22aba ffb ff λλ=⎧⎨=⎩2．物体的复振幅透过率可以用矩形波表示,它的的基频是50mm -1。
通过圆形光瞳的透镜成像。
透镜焦距为10cm,物距为20cm,照明波长为0。
6um 。
为了使像面出现条纹,在相干照明和非相干照明的条件下,分别确定透镜的最小直径应为多少？解:要使像面上出现条纹,则必须至少使矩形波的基频成分通过系统,而矩形波的基频分量的频率为50mm -1,因此要求系统的截止频率至少要大于这个基频值。
已知透镜焦距为f =10cm,物距d =20cm,则根据透镜成像关系111if d d =+可确定像距i d ,带入上述数值,有20cm i d =。
(1)对于相干照明系统,系统截止频率为2c iD d ξλ=式中,D为透镜直径,λ=0。
信息光学习题答案1(word文档良心出品)
第一章 习题解答1.1 已知不变线性系统的输入为 ()()x x g c o mb= 系统的传递函数⎪⎭⎫⎝⎛b f Λ。
若b 取（1）50=.b （2）51=.b ，求系统的输出()x g '。
并画出输出函数及其频谱的图形。
答：（1）()(){}1==x x g δF 图形从略，（2）()()()()()x s co f f δf δx g x x x πδ232+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧1+31+1-31+=F 图形从略。
1.2若限带函数()y x,f 的傅里叶变换在长度L 为宽度W 的矩形之外恒为零， （1）如果L a 1<，Wb 1<，试证明()()y x f y x f b x a x ab ,,sinc sinc =*⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1 证明：(){}(){}(){}()()(){}(){}()y x,f b x sinc a x sinc ab bf af rect y x f y x,f bf af rect y x f Wf L f rect y x f y x,f y x y x yx *⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1==∴=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=,,F F ,,F ,,F F 1-（2）如果L a 1>， Wb 1>，还能得出以上结论吗？ 答：不能。
因为这时(){}(){}()y x yx bf af rect y x f Wf L f rect y x f ,,F ,,F ≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛。
1.3 对一个空间不变线性系统，脉冲响应为 ()()()y x y x h δ77=sinc ,试用频域方法对下面每一个输入()y x f i ,，求其输出()y x g i ,。
（必要时，可取合理近似） （1）()x y x f π4=1cos ,答：()(){}(){}{}{}()(){}{}{}{}{}xcos x cos f rect x cos y 7x sin x cos y x h y x f y x g x πππδπ4=4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛74=74==1-1-1-11-1F F F F F F F ,F ,F F ,（2）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫⎝⎛754=2y rect x rect x cos y x f π,答：()(){}(){}{}()()(){}{}()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛77575⋅75*4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754==1-1-11-2y rect x rect x cos f rect f sinc 75f sinc x cos y 7x sin y rect x rect x cos y x h y x f y x g x y x ππδπF F F F F ,F ,F F ,（3）()()[]⎪⎭⎫⎝⎛758+1=3x rect x cos y x f π,答： ()()[]()(){}(){}()()()()()()()()()()()(){}⎪⎭⎫ ⎝⎛75=75≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫ ⎝⎛75*⎪⎭⎫ ⎝⎛4+81+4-81+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775*8+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛758+1=1-1-1-1-1-3x rect f 75f sinc f rect f 75f sinc f rect f δ75f sinc f f x f rect f δ75f sinc x cos y 7x sin x rect x cos y x g y x x y x x y x x x x y x δδδδδπδπF F F F F F F F ,（4）()()()()()y rect x rect x comb y x f 22*=4, 答：()()()()(){}()(){}{}()()()()()()()()()()()()(){}()()x π6cos x π2cos f f f f f f f f f f f rect f f δf f δf f δf f δf rect f sinc 2f sinc f f comb y 7x sin y rect x rect x comb y x g y x y x y x y x y x x yx y x y x y x x y x y x 1060-3180+250=3+0530-3-0530-1+1590+1-1590+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫ ⎝⎛-3-2120-1+6370+1-6370+41=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2⎪⎭⎫ ⎝⎛41=722*=1-1-1-1-2...,.,.,.,.,F ,.,.,.,F F F F F ,δδδδ0.25δδδ1.4 给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波 ()()x x rect x comb x g i Λ*⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛50⎪⎭⎫ ⎝⎛331=对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。
信息光学习题答案
信息光学习题答案信息光学习题答案第一章线性系统分析简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. g?x??df?x?;g?x???f?x?dx; dx?g?x??f?x?;g?x??????f????h?x????d?;2???f???exp??j2????d? 解：线性、平移不变；线性、平移不变；非线性、平移不变；线性、平移不变；线性、非平移不变。
证明comb(x)exp(j?x)?comb(x) ???comb????x? ?x??1?证明：左边＝comb???????n?????(x?2n)??2??(x?2n) ?2?n????2?n????2?n??????x??2?右边?comb(x)?comb(x)exp(j?x)?? ?n?????(x?n)??exp(j?x)?(x?n)n?????n???? ??(x?n)??exp(jn?)?(x?n)n???? n?????(x?n)??(?1)n???n?(x?n)?当n为奇数时，右边＝0，当n为偶数时，右边＝2所以当n为偶数时，左右两边相等。
n?????(x?2n) (x) 证明??(sin?x)?comb证明：根据复合函数形式的δ函数公式?[h(x)]??i?1n?(x?xi)h?(xi ),h?(xi)?0 式中xi是h(x)=0的根，h?(xi)表示h(x)在x?xi处的导数。
于是??(sin?x)??n?????(x?n)???co mb(x) 1 计算图题所示的两函数的一维卷积。
解：设卷积为g(x)。
当-1≤x≤0时，如图题(a)所示，g(x)??1?x0(1??)(1?x??)d??111?x?x3 326 图题当0 2??2?2??2?2?2?x?2设卷积为g(x)，当x≤0时，如图题(a)所示，g(x)??0d??x?2 当0 2 图题g(x)??d??2?x x2?x?1?2,x?0 g(x)?2?x?1?,x?0?2即g(x)?2??? ?x??2?(x)?rect(x)?1已知exp(??x2)的傅立叶变换为exp(???2)，试求?exp?x2???exp?x2/2?2解：设y??????????? ?x,z??? 即??exp(??y2)??exp(???2) 1????F?,? 得ab?ab?2坐标缩放性质??f(ax,by)???exp?x2???????exp(?y2/??? exp(??z2)??exp(??2?2)2??exp?x/2???2?????exp??y?/2??2 ? ??2??exp(?2??2z2)?2??exp(?2??2?2)计算积分.????sinc?x?dx?? 4??2?x?cos?xdx?? sinc?解：应用广义巴塞伐定理可得? sinc(x)sinc(x)dx?????2222 ?(?)?(?)d??(1?? )d??(1??)d??????103??021???1?1?1?????s inc(x)cos?xdx????(?)?????d????(?)?????d ??2???2?2????????2?1??1??1??1 ??????????? 2??2??2?? 应用卷积定理求f?x??sinc?x?sinc?2x?的傅里叶变换. 3解：??sinc(x)sinc(2x)????sinc(x)????sinc( 2x)??1???rect(?)?rect?? 2?2?当?31????时，如图题(a)所示，2211??3 G(?)??2du??? 2?12当?11???时，如图题(b)所示，2211??2 G(?)??1du?1 2??2当13???时，如图题(c)所示，22113 G(?)??1du??? 2??222G(ξ)的图形如图题(d)所示，图可知G(?)?3???1?????????? 4?3/2?4?1/2? 图题 4 设f?x??exp??x，??0，求??f?x????解：?exp(??x)???????f?x?dx?? ?0?? ?0??exp(?x)exp(?j2??x)dx??exp(??x)exp(? j2??x)dx ?2??2??(2??)2??? exp(??x)dx?2??2?(2??)2???02? 设线性平移不变系统的原点响应为h?x??exp??x?step?x?，试计算系统对阶跃函数step?x?的响应. 解：阶跃函数定义step(x)??线性平移不变系统的原点响应为h?x??exp??x?step?x??exp??x?,所以系统对解阶跃函数step?x?的响应为g(x)?step(x)?h(x)??1,?0,x?0得x?0x?0 ??0exp[?(x??)]d??1?exp(?x), x?0 有两个线性平移不变系统，它们的原点脉冲响应分别为h1?x??sinc?x?和h2?x??sinc?3x?.试计算各自对输入函数f?x??cos2?x的响应g1?x?和g2?x?. 解：已知一平面波的复振幅表达式为U(x,y,z)?Aexp[j(2x?3y?4z)] 试计算其波长λ以及沿x,y,z方向的空间频率。
信息光学习题答案及解析
信息光学习题答案第一章 线性系统分析1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. （1）()();x f dxdx g =（2）()();⎰=dx x f x g （3）()();x f x g = （4）()()()[];2⎰∞∞--=αααd x h f x g（5）()()απξααd j f ⎰∞∞--2exp解：（1）线性、平移不变； （2）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变； （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。
1.2 证明)()ex p()(2x comb x j x comb x comb +=⎪⎭⎫ ⎝⎛π证明：左边＝∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ∑∑∑∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=--+-=-+-=-+-=+=n nn n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb )()1()()()exp()()()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边当n 为奇数时，右边＝0，当n 为偶数时，右边＝∑∞-∞=-n n x )2(2δ所以当n 为偶数时，左右两边相等。
1.3 证明)()(sin x comb x =ππδ 证明：根据复合函数形式的δ函数公式0)(,)()()]([1≠''-=∑=i ni i i x h x h x x x h δδ式中i x 是h(x)=0的根，)(i x h '表示)(x h 在i x x =处的导数。
于是)()()(sin x comb n x x n =-=∑∞-∞=πδπππδ1.4 计算图题1.1所示的两函数的一维卷积。
解：设卷积为g(x)。
当-1≤x ≤0时，如图题1.1(a)所示， ⎰+-+=-+-=xx x d x x g 103612131)1)(1()(ααα图题1.1当0 < x ≤1时，如图题1.1(b)所示， ⎰+-=-+-=13612131)1)(1()(xx x d x x g ααα 即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤--+=其它,010,61213101,612131)(33x x x x x x x g 1.5 计算下列一维卷积。
信息光学习题答案
第一章 习题解答1.1 已知不变线性系统的输入为 ()()x x g com b = 系统的传递函数⎪⎭⎫⎝⎛b f Λ。
若b 取（1）50=.b （2）51=.b ，求系统的输出()x g '。
并画出输出函数及其频谱的图形。
答：（1）()(){}1==x x g δF 图形从略，（2）()()()()()x s co f f δf δx g x x x πδ232+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧1+31+1-31+=F 图形从略。
1.2若限带函数()y x,f 的傅里叶变换在长度L 为宽度W 的矩形之外恒为零， （1） 如果L a 1<，Wb 1<，试证明()()y x f y x f b x a x ab ,,sinc sinc =*⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1 证明：(){}(){}(){}()()(){}(){}()y x,f b x sinc a x sinc ab bf af rect y x f y x,f bf af rect y x f Wf L f rect y x f y x,f y x y x yx *⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1==∴=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=,,F F ,,F ,,F F 1-Θ（2） 如果L a 1>， Wb 1>，还能得出以上结论吗？ 答：不能。
因为这时(){}(){}()y x yx bf af rect y x f Wf L f rect y x f ,,F ,,F ≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛。
1.3 对一个空间不变线性系统，脉冲响应为 ()()()y x y x h δ77=sinc ,试用频域方法对下面每一个输入()y x f i ,，求其输出()y x g i ,。
（必要时，可取合理近似） （1）()x y x f π4=1cos ,答：()(){}(){}{}{}()(){}{}{}{}{}xcos x cos f rect x cos y 7x sin x cos y x h y x f y x g x πππδπ4=4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛74=74==1-1-1-11-1F F F F F F F ,F ,F F ,（2）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫⎝⎛754=2y rect x rect x cos y x f π,答：()(){}(){}{}()()(){}{}()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛77575⋅75*4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754==1-1-11-2y rect x rect x cos f rect f sinc 75f sinc x cos y 7x sin y rect x rect x cos y x h y x f y x g x y x ππδπF F F F F ,F ,F F ,（3）()()[]⎪⎭⎫⎝⎛758+1=3x rect x cos y x f π,答： ()()[]()(){}(){}()()()()()()()()()()()(){}⎪⎭⎫ ⎝⎛75=75≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫ ⎝⎛75*⎪⎭⎫ ⎝⎛4+81+4-81+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775*8+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛758+1=1-1-1-1-1-3x rect f 75f sinc f rect f 75f sinc f rect f δ75f sinc f f x f rect f δ75f sinc x cos y 7x sin x rect x cos y x g y x x y x x y x x x x y x δδδδδπδπF F F F F F F F ,（4）()()()()()y rect x rect x comb y x f 22*=4, 答：()()()()(){}()(){}{}()()()()()()()()()()()()(){}()()x π6cos x π2cos f f f f f f f f f f f rect f f δf f δf f δf f δf rect f sinc 2f sinc f f comb y 7x sin y rect x rect x comb y x g y x y x y x y x y x x yx y x y x y x x y x y x 1060-3180+250=3+0530-3-0530-1+1590+1-1590+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫ ⎝⎛-3-2120-1+6370+1-6370+41=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2⎪⎭⎫ ⎝⎛41=722*=1-1-1-1-2...,.,.,.,.,F ,.,.,.,F F F F F ,δδδδ0.25δδδΛ1.4 给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波 ()()x x rect x comb x g i Λ*⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛50⎪⎭⎫ ⎝⎛331=对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。
中科大信息光学习题解答
傅里叶变换透镜 率关系 h f 。
频谱面上能够获得有线性特征的位置与空间频
普通透镜和傅里叶透镜对平行光输入在后焦面上光点的位置差
y ' ftgu f sin u 1 3 fu 称频谱畸变。 2
普通透镜只有在 u 很小时才符合傅里叶变换透镜的要求。 要专门设 计消除球差和慧差，适当保留畸变以抵消频谱畸变。
H (, )
P( x, y) P( x d , y d )dxdy
i i
P( x, y)dxdy
由自相关性质（p16） ，如果
r ( x, y )
R ff ( x, y ) R ff (0,0)
f
(α x,β γ ) f (α ,β )dα dβ
5. 在 4F 系统中,输入物面的透过率为
t t 0 t1 cos 2 f 0 x ,
以单色平行光垂直照明, =0.63m,
f’=200mm, f0 =400lp/mm, t0=0.6, t1 =0.3,
问频谱面上衍射图案的主要特征: 几个衍射斑? 衍射斑沿什么方向分 布? 各级衍射斑对应的衍射角 sin =? 各级衍射中心强度与零级衍 射斑之比. （1）在不加滤波器的情况下,求输出图象光强分布. （2）如用黑纸作空间滤波器挡住零级斑,求输出图象光强分布. （3）如用黑纸挡掉+1 级斑,求输出图象光强分布. 6. 在图示 4F 系统中, <1>被处理物面最大尺寸和最高空间频率为多大?(设频谱面与物面同 尺寸) <2>付里叶变换镜头的焦距和通光直径为多大? <3>欲将光栅常数 0.1mm 的二维光栅处理成一维光栅。给出空间滤波 器的形状和尺寸。 <4>说明针孔滤波器作用并计算其大小。
信息光学教程全书习题及参考答案
−∞ −∞ ∞
∫ ∫ δ (x, y )dxdy = 1
−∞
=
∫ δ (x )dx ∫ δ ( y )dy
−∞ ∞ ∞ −∞ −∞
∞
= ab ∫ δ (ax )dx ∫ δ (by )dy = ab ∫
∞ ∞ ∞ ∞
−∞ −∞
∫ δ (ax, by )dxdy
即
−∞ −∞
1 ∫ ∫ δ (ax, by )dxdy = ab 1 δ ( x, y ) ab
F { f ( x, y )} =
∞
−∞
∫ f (x, y )exp(− j 2π (ξx ) + ηy )dxdy
令 x − y 平面上的极坐标为 (r , θ ) ；频率空间 ξ − η 平面上的极坐标为 ( ρ , φ ) 有： ⎨
⎧ x = r cos θ ⎩ y = r sin θ
⎧ξ = ρ cos φ ⎨ ⎩η = ρ sin φ
(1)按照菲涅耳衍射公式表示出光波传播到平面 L 时的光波场； (2)按照衍射的角谱理论表示出光波传播到平面 L 时的光波场。 参考答案： (1)
U1 (x, y) =
⎧ k ⎫ exp( jkd0 ) ∞ ∞ (x0 − x)2 + ( y0 − y)2 ⎬dx0dy0 U0 (x0 , y0 ) exp⎨ j ∫ ∫ jλd0 −∞−∞ ⎩ 2d0 ⎭
L{} 来表示，当
2
L{ f ( x, y)} = g (ξ ,η ) ， L{ f
1 1
( x, y )} = g 2 (ξ ,η ) ，且 a1 、 a 2 为常数时，
L{a
1 1
f ( x, y ) + a 2 f 2 ( x, y )} = a1 g1 (ξ ,η ) + a 2 g 2 (ξ ,η )
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习 题 44.1 尺寸为a b ⨯的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠零后的平面上透射光场的角谱。
4.2 采用单位振幅的单色平面波垂直照明具有下述透过率函数的孔径，求菲涅耳衍射图样在孔径轴上的强度分布：(1) 220000(,)circ()t x y x y =+ (2) 2200001,1(,)0,a x y t x y ⎧⎪≤+≤=⎨⎪⎩其它 4.3 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为：00()cos(2/)t x a b x d π=+式中，d 为光栅的周期，0a b >>。
观察平面与光栅相距z 。
当z 分别取下述值时，确定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。
(1) 22r d z z λ== (2) 22r z d z λ== (3) 242r z d z λ== 式中：r z 为泰伯距离。
4.4 参看下图，用向P 点会聚的单色球面波照明孔径∑。
P 点位于孔径后面距离为z 的观察平面上，坐标为(0,)b 。
假定观察平面相对孔径的位置是在菲涅耳区，证明观察平面上强度分布是以P 点为中心的孔径的夫琅禾费衍射图样。
4.5 方向余弦为cos ,cos αβ，振幅为A 的倾斜单色平面波照明一个半径为a 的圆孔。
观察平面位于夫琅禾费区，与孔径相距为z 。
求衍射图样的强度分布。
4.6 环形孔径的外径为2a ，径为2a ε(01)ε<<。
其透射率可以表示为：001,()0,a r a t r ε≤≤⎧=⎨⎩其他度分布。
4.7 下图所示孔径由两个相同的圆孔构成。
它们的半径都为a ，中心距离为d ()d a >>。
采用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求出相距孔径为z 的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布并画出沿y 方向截面图。
4.8 参看下图，边长为2a 的正方形孔径再放置一个边长为a 的正方形掩模，其中心落在(,)x y ''点。
采用单位振幅的单色平面波垂直照射，求出与它相距为z 的观察平面上夫琅禾费射图样的光场分布。
画出0x y ''==时，孔径频谱在x 方向上的截面图。
4.9 下图所示孔径由两个相同的矩孔构成，它们的宽度为a ，长度为b ，中心相距d 。
采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z 的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。
假定4b a =及 1.5d a =，画出沿x 和y 方向上强度分布的截面图。
4.10 下图所示半无穷不透明屏的复振幅透过率可以用阶跃函数表示，即：00()step()t x x =样的复振幅分布。
画出沿x 方向的振幅分布曲线。
4.11 下图所示为宽度为a 的单狭缝，它的两半部分之间通过相位介质引入位相差π。
采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z 的观察平面上夫琅禾费衍射图样强度分布。
画出沿x 方向的截面图。
4.12 线光栅的缝宽为a ，光栅常数为d ，光栅整体孔径是边长L 的正方形。
试对下述条件，分别确定a 和d 之间的关系：(1) 光栅的夫琅禾费衍射图样中缺少偶数级。
(2) 光栅的夫琅禾费衍射图样中第三级为极小。
4.13 衍射屏由两个错开的网络构成，其透过率可以表示为：000000(,)comb(/)comb(/)comb[(0.1)/)]comb(/)t x y x a y b x a a y b =+-采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z 的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。
画出沿x 方向的截面图。
4.14 如下图所示为透射式锯齿形位相光栅。
其折射率为n ，齿宽为a ，齿形角为α，光栅的整体孔径为边长为L 的正方形。
采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距光栅为z 的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。
若使用衍射图样中某个一级谱幅值最大，α角应如何选择？4.15 衍射零是由m n ⨯个圆孔构成的方形列阵，它们的半径都为a ，其中心在0x 方向间距为x d ，在0y 方向间距为y d ，采用单位振幅的单色平面波垂直照明衍射屏，求相距为z 的观察平面上的夫琅禾费衍射图样的强度分布。
4.16 在透明玻璃板上有大量(N )无规则分布的不透明小圆颗粒，它们的半径都是a 。
采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z 的观察平面上的夫琅禾费衍射图样的强度分布。
习 题 55.1 下图所示楔形薄透镜，楔角为α，折射率n ，底边厚度为0∆。
求其位相变换函数，并利用它来确定平行光束小角度入射时产生的偏向角δ。
5.2 见下图，点光源S 与楔形薄透镜距离为0z ，它发出倾角为θ的傍轴球面波照棱镜，棱镜楔角为α，折射率n 。
求透射光波的特征和S 点虚像的位置。
5.3 采用如下光路对某一维物体作傅里叶分析。
它所包含的最低空间频率为20/mm ，最高空间频率为200/mm 。
照明光的波长λ为0.6μm 。
若希望谱面上最低频率成分与最高频率成分之间与最高频率之间间隔50/mm ，透镜的焦距应取多大？5.4 对于下图所示的变换光路，为了消除在物体频谱上附加的位相弯曲，可在紧靠输出平面之前放置一个透镜。
问这个透镜的类型以及焦距如何选取？5.5 参看下图，单色点光源S 通过一个会聚透镜在光轴上'S 位置。
物体(透明片)位于透镜后方，相距'S 的距离为d ，波完全相同。
求证物体的频谱出现在点光源的像平面上。
5.6 如下图所示，透明片111(,)t x y 和222(,)t x y 分别紧贴在焦距为122,f a f a ==的两个透镜之前。
透镜12,L L 和观察屏三者间隔相等，都等于2a 。
如果用单位振幅单色平面波垂直照明，求观察零上的复振幅分布。
5.7 一个被直径为d 的圆形孔径的物函数0U ，把它放在直径为D 的圆形会聚透镜的前焦面上，测量透镜后焦面上的强度分布。
假定D d >。
(1) 写出所测强度准确代表物体功率谱的最大空间频率的表达式，并计算6D =cm ，2.5d =cm ，焦距50f =cm 以及0.6λμ=m 时，这个频率的数值(单位：/mm)(2) 在多大的频率以上测得的频谱为零？尽管物体可以在更高的频率上有不为零的频率分量。
5.8 一个衍射屏具有下述圆对称的复振幅透过率函数(见下图)：2001(0)[1cos()]circ(/)2t r ar r l =+ (1) 这个屏的作用类似于透镜，为什么？(2) 给出此屏的焦距表达式？(3) 这种屏作成像元件它会受到什么性质的限制(特别对于多色物体成像)？5.9 下图所示为菲涅尔波带片的复振幅透过率2001(0)[1sgn(cos )]circ(/)2t r ar r l =+ 证明它的作用相当于一个有多重焦距的透镜。
确定这些焦距的大小。
5.10 单位振幅的单色平面波垂直照射一个直径为5cm 、焦距为80cm 的透镜。
在透镜后面20cm的地方，以光轴为中心放置一个余弦型振幅光栅，其复振幅透过率为：0000001(,)(1cos 2)rect(/)rect(/)2t x y f x x L y L π=+ 假定1L =cm ，0100f =/mm 。
画出焦平面上沿f x 轴强度分布。
标出各衍射分量之间距离和各个分量(第一个零点之间)的宽度的数值。
习 题66.1 下图所示为两个相干成像系统。
所用透镜的焦距都相同。
单透镜系统中光阑直径为D ，双透镜系统为了获得相同的截止频率，光阑直径l 应等于多大(相对于D )写出关系式。
6.2 一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为：0001(,)(1cos 2)2t x y fx π=+ 放在下图所示成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波传播方向在0x z 平面，与z 轴夹角为θ。
透镜焦距为f ，孔径为l 。
(1) 求物体透射光场的频谱。
(2) 使像平面出现条纹的最大θ等于多少？求此时像面强度分布。
(3) 若θ采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与0θ=时截止频率比较，结论如何？6.3 下图所示相干成像系统中，物体复振幅透过率为：1(,)[1cos()]2a b t x y f x f y =++ 为了使像面能得到它的像，问：(1) 若采用圆开光阑，直径应大于多少？(2) 若采用矩形光阑，各边边长就大于多少？6.4 当点扩散函数(,)I i i h x y 成点对称时，证明OTF 为实函数，即等于调制传递函数。
6.5 一个非相干成像系统，出瞳由两个正方形孔构成。
如下图所示，正方形孔的边长1a =cm ，两孔中心距3b =cm 。
若光波波长0.5λμ=m ，出瞳与像面距离10i d =cm ，求系统的OTF ，画出沿x f 和y f 轴的截面图。
6.6 物体的复振幅透过率可以用矩形波表示，它的基频是50/mm 。
通过圆形光瞳的透镜成像。
透镜焦距为10cm ，物距为20cm ，照明波长为0.6λμ=m 。
为了使像面出现条纹，在相干照明和非相干照明的条件下，分别确定透镜的最小直径应为多少？6.7 若余弦光栅的透过率为：(,)cos 2t x y a b fxπ=+% 式中，0a b >>。
用相干成像系统对它成像。
设光栅频率f %足够低，可以通过系统。
忽略放大和系统总体衰减，并不考虑像差。
求像面的强度分布，并证明同样的强度分布出现在无穷多个离焦的像平面上。
6.8 物体的复幅透过率为1()cos(2/)t x x b π=通过光学系统成像。
系统的出瞳是半径为a 的圆孔径，且2/i i d a d b λλ<<。
i d 为出瞳到像面的距离，λ为波长。
问对该物体成像，采用相干照明和非相干照明，哪一种方式更好？6.9 在上题中，如果物体换为1()cos(2/)t x x b π=结论如何？6.10 利用施瓦兹不等式证明OFT 的性质：|(,)||(0,0)|H H ξη≤。
6.11 一个非相干成像系统，出瞳为宽为2a 的狭缝，它到像面的距离为i d 。
物体的强度分布为：()cos 2g x fxαβπ=+% 条纹的方向与狭缝平行。
假定物体可以通过系统成像，忽略总体衰减，求像面光强分布(照明光波长为λ)。
6.12 下图所示成像系统，光阑为双缝，缝宽为a ，中心间隔为d ，照明光波长为λ。
求下述情况下系统的脉冲面积响应和传递函数，画出它们的截面图。
(1) 相干照明；(2) 非相干照明。
6.13 下图所示非相干成像系统，光瞳为边长l 的正方形。
透镜焦距50f =mm ，光波长30.610λ-=⨯mm ，若物面光分布为：1()1cos(600)2I x x π=+ 希望像面光强分布为：1()[1cos(600)]4i I x C x π=+ 式中，C 为总体衰减系数。
(1) 画出系统沿x f 轴的OTF 截面图。