数学物理方程与特殊函数试题及答案

2020年智慧树知道网课《数学物理方程与特殊函数(长安大学)》课后章节测试满分答案

第一章测试

【单选题】(1分)

1822年傅里叶在《热的解析理论》中提出的数学物理方程是（）。

波动方程

热传导方程

拉普拉斯方程

弦振动方程

【单选题】(1分)

是第（）类边界条件

第二类边界条件

第四类边界条件

第一类边界条件

D. 第三类边界条件

【单选题】(1分)

弦振动方程是（）方程。

线性方程

抛物型方程

椭圆型方程

双曲型方程

【多选题】(1分)

含两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类是（）。

线性方程

椭圆型方程

C. 抛物型方程

双曲型方程

【多选题】(1分)

数学物理方程的定解问题包括（）。

混合问题

边值问题

初值问题

有界问题

第二章测试

【单选题】(1分)

特征值问题的特征函数是

【判断题】(1分)

的特征函数是

错

对

3 【多选题】(1分)

求解非齐次的弦振动方程混合问题时采用的方法是（）。

分离变量法

特征函数法

行波法

齐次化原理

【多选题】(1分)

分离变量法求解弦振动方程混合问题的条件是同时满足（）

边界条件齐次

初值条件齐次

边界条件非齐次

方程齐次

【多选题】(1分)

一维热传导方程混合问题的方程、边值条件、初值条件都是非齐次的时候，需要（）。

首先将非齐次方程齐次化

同时将边界条件和方程都齐次化

首先将非齐次初值条件齐次化

首先将非齐次边界条件齐次化

第三章测试

【单选题】(1分)

求解三维齐次波动方程初值问题的方法是（）。

特征线法

球面平均法

特征函数法

D. 行波法

【单选题】(1分)

求解一维齐次波动方程初值问题的方法是（）。

球面平均法

齐次化原理

数学物理方程与特殊函数第五版

1量子力学方程和特殊函数

量子力学方程和特殊函数是数学物理学中非常重要的概念，它们

被用来表达物理系统的运动方式以及物理里面的函数运算。它们是现

代数学物理的基础和重要的概念，从相对论到量子化认识的物理理

论，数学物理学家都使用这些方程和函数。

2量子力学方程

无论使用什么物理理论，量子力学方程都是免不了的。它的出现

可以说是相对论的另一个重要突破，它模拟了量子效应，在显微镜下

认识微观世界，有助于科学家们进行更深入的研究。量子力学方程主

要有Schrödinger方程、Heisenberg方程、Pauli方程、Fermi–

Dirac方程等等，用于描述物理里面的粒子之间的相互作用、以及物理

系统的动态演变。

3特殊函数

特殊函数是指在数学物理学中定义的函数，它们中有很多是现代

数学物理学家发明的，如对数函数、指数函数、分式函数、圆函数、

椭圆函数等等。这些函数以简单的公式来定义某种类型的函数，可以

用来解决相关的理论物理学问题和方程，用来计算物理量与动作等。

特殊函数也可以用来表示物理学里面某个系统的特殊性能，如量子级

数和分子振动频率等。4《数学物理方程与特殊函数》

《数学物理方程与特殊函数》是现代数学物理的一本重要的参考

书，主要介绍了量子力学方程以及更多的特殊函数，如对数函数、指

数函数、泊松分布、玻尔兹曼分布等。书中深入浅出的介绍了这些函

数的原理和运用，对数学物理学家有很大的帮助，其内容不仅仅是广

受欢迎的数学物理理论，同样也包括了实际应用，有助于理解这些理

论和函数的实际用途。

5总结

量子力学方程和特殊函数在现代数学物理学里非常重要的概念，

通过他们，我们研究物理系统的运动，模拟量子效应，了解微观世

界，进一步深入物理实验，进而让物理学发展出更多不同的方向和理

论。《数学物理方程与特殊函数》是一本重要的参考书，介绍量子力

学和特殊函数，并结合实际应用，为我们探求物理真理之路提供重要

依据。

数学物理方法梁昆淼答案

【篇一：第五章傅里叶变换数学物理方法梁昆淼】

>?t1.函数 f(t)???0

?12. 函数 f(t)???0

3.设(|t|?1)(|t|?1)的傅里叶变换为2(?cos??sin?/?)/(??)

(|t|?1)(|t|?1)的傅里叶变换为f(?)?2sin?/??。的傅立叶变换像函数，

的傅立叶变换像函数为 _______________________ 。

4.?2012

?2011excosx??(x??) dx?

[sinx??(x??e??。 5. ?

12009?6 ?2008) ]dx? 6.?xsinx?(x? ?1?3) dx?。 7. ?xsinx?(x?)

dx? ?12

8.?[(x2?1)tan(sinx)??(x?)] dx? 。 ?20103

?911??9.?x3 ?(x?3) dx?－27 。

?tf(t)?10.函数 ??0(|t|?1)(|t|?1)的傅里叶变换为2(?cos??sin?/?)/(??)。

(0?t?1)?1?(?1?t?0)的傅里叶变换为。11. f(t)???1

?0(|t|?1)?

12. 在(??,?)这个周期上，f(x)?x。其傅里叶级数展开为

?k?1?2sinkx k

13.当0?x?2时，f(x)??1；当?2?x?0时，f(x)?1；当|x|?2时，f(x)?0。则函数的f(x)傅里叶变换为b(?)?2

??(1?cos2?)

1?14已知函数f(x)的傅里叶变换为f(?)，试证明f(ax)的傅里叶变换为f()。 a

f[f(ax)]?1?

2????f(ax)e?i?xdx【令x?y/a】

?1?

2????f(y)e?i?aydya【令y?x】?1?f(x) ?i?

2????aedx

?1?

af(a)a---(2分) ---(2分) ---(2分) ---(2分) 证明：

《数学物理方程》习题精练

1 《数学物理方程》习题精练5

(椭圆型方程的边值问题)

内容 1.分离变量法

2.调和函数的性质与极值原理

3.Dirichlet问题的Green函数法

1. 分离变量法

(1)Poisson方程边值问题的“特解法”

Poisson方程描述稳恒场的分布情况，对于Poisson方程的边值问题，虽不像波动方程和热传导方程那样有所谓的Duhamel原理，但若能找到Poisson方程的一个特解，常可把它转化成Laplace方程的边值问题来求解，这便是所谓的“特解法”.

今有边值问题

(*)DyxyxuDyxyxfuuDyyxx),( ),,(),( ),,(

设),(yxw是Poisson方程的一个解(特解)，),(yxu是所给边值问题的解.令

),(),(),(yxwyxvyxu，

则),(yxv满足如下的边值问题

(**)DyxwyxvDyxvvDDyyxx),( ,),(),( ,0

亦即),(yxv是域D上的调和函数.这样，就把Poisson方程的边值问题(*)转化成Laplace方程的边值问题(**).对于特殊的区域D，我们还可以用分离变量法来求解(**).

例1 求解Poisson方程的边值问题

.0)( ,222222ayxyyxxuayxxyuu

解 ①先寻求Poisson方程的一个特解),(yxw.

显然，xyxyyx)](121[33，于是得到一个特解为

cossin121)(121)(121),(42233xyyxxyyxyxw.

数学物理方程期末考试试题及答案

一、求解方程（15分）

.)()(0002xuxuuauatxatxxxtt

其中)0()0(。

解：设atxatx＝则方程变为：

0u，)()(atxGatxFu(8’)由边值条件可得：

)()0()2(),()2()0(xGxFxxGF

由)0()0(即得：

)0()2()2(),(atxatxtxu。

二、利用变量分离法求解方程。（15分）

)(,)(,0,0,),(,00002xuxutuuQtxuautttlxxxxtt

其中lx0。0a为常数

解：设)()(tTxXu代于方程得：

0''XX，0''2TaT(8’)

xCxCXsincos21，atCatCTsincos21

由边值条件得： 21)(,0lnC

lxnatAatBunnnsin)sincos(1

lndxlxnxlB0sin)(2，lndxlxnxanA0sin)(2

三．证明方程02cuuauxxt)0(c具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与稳定性. (15分)

证明：设uevct代入方程：

).(),(),(),0()(02102tgtlvtgtvxvvavtxxt

设21,vv都是方程的解设21vvv代入方程得：

0),(,),0(0002tlvtvvvavtxxt

由极值原理得0v唯一性得证。(8’)由

21vv21vv，稳定性得证由uevct知u的唯一性稳定性得证。

四．求解二维调和方程在半平面上的狄利克雷问题(15分).

数学物理方程与特殊函数课后答案

习题一

29.0(,)

cos

sin

(,)(cos,sin),

cossin;

sincos.

sin

cos;

sxxyy

rrr

rxy

ylaplaceuur

uuu

uxyurr

uuu

ururu

uuu

uθθ

θθ

θ+=

++=

⎧

⎨

⎩

∴=

⎧

⎪

⎨

=−+

⎪

⎩

=−

⇒

=∵ 证明方程在极坐标下为

证明：

sin

cos;

cos

in.

sin.

sin

()cos()

sinsin

coscosr

xxxrr

yrr

xxrrx

rrrrθθ

θθ

θθ⎧∂∂∂

⎛⎞

⎧

=−

⎜⎟

⎪

∂∂∂

⎝⎠⎪⎪

⇒

⎨⎨

∂∂∂

⎛⎞

⎪⎪

⎜⎟

⎪

⎩

∂∂∂

⎝⎠

⎩

∂∂∂∂∂

⎛⎞

==−

⎜⎟

∂∂∂∂∂

⎝⎠

∂∂∂∂

⎛⎞⎛

=−−

⎜⎟⎜

∂∂∂∂

⎝⎠⎝

从而

222

222sincossincossin

cos

sincossincossin

cos

()sin()sinyyuuuu

rrrrrr

uuu

rrrr

yyrryθθθθθ

θθ

θθθθθ

θθθ

θ⎞

⎟

⎠

∂∂∂∂

=+−+

∂∂∂∂∂

∂∂∂

−++

∂∂∂∂

∂∂∂∂∂

⎛⎞

==+

⎜⎟

∂∂∂∂∂

⎝⎠

222

222coscos

sin

sincossincoscos

sin

sincossincoscos

xxyyrruu

rrrr

uuuu

rrrrrr

uuu

rrrr

uuuu

rθθ

θθ

θθθθθ

θθ

θθθθθ

θθθ∂∂∂∂

⎛⎞⎛⎞

⎜⎟⎜⎟

∂∂∂∂

⎝⎠⎝⎠

∂∂∂∂

=−++

∂∂∂∂∂

∂∂∂

+−+

∂∂∂∂

+=+

所以

rθθ+=习题二

21.

(01,0),

(0,)(1,)0,

,0.

(2)

(,0)

1,1,

(,0)(1);ttxx

tuauxt

utut

uxxx⎧

=<<>

⎪

⎧

⎪

<≤

⎪

⎨

⎪

⎨

⎪

−<<

⎪

⎩

⎪

=−

⎩求下列问题的解

2(,)()().

()()0,

()()0.

(0)(1)0.

数学物理方程与特殊函数老师给题答案汇总

1.证明二维laplace方程在极坐标下

证：

2.长为l 的均匀杆，侧面绝缘，一端温度为零，另一端有恒定热流q 进入（即单位时间内通过单位截面积流入的热量为q ），杆的初始温度分布为x(l-x) / 2 ，试写出相应的定解问题。

解：对于杆上的一个微元dx，流入的热量为：

温度变化所需的热量为：两式相等：

定解问题为：

02222yuxu22,arctanyxxysin,cos221cos,sin/1122222yxyxxyxyxyx2222222222222sincoscos2sinsinuuuuuyuxuxuxu2222222222222sinsinsin2sincosuuuuuxuuuuyuxu11222222222cossinuuyuyuyu011222uusincosuu02222yuxu011222uu3.设弦的两端固定于x=0及x=l，弦的初始位移如图所示，初速度为零，又没有外力作用，求弦作横向振动时的位移函数u(x,t)。

解

如果琴弦像上图的方法来放置，是不是边界条件将不再是齐次的。

4.解下列问题

解：

lxxxutxtluxtutlxxuatu0),()0,(0,0),(,0),0(0,0,222)()(),(tTxXtxuXTaXT2XXTaT2002TaTXX0)(,0)0(00lXXlxXX0)()(),(0)()0(),0(tTlXxtlutTXxtu0)(,0)0(lXX,3,2,1,22nlnnn0sin)(lBlX0)0(AXxlnBXnncoslnnxBxAXcossin02XX020BXBAxX0X00BAlleBeAlX)(0)0(BAXxxBeAeX02XX0202TaT000T00TA002222nnTlnaTtlnanneAT2222nnnTXuxlneCtlnancos2222000CAB100cos2222ntlnannnxlneCCuu000TXuxlneBAtlnanncos2222001()d2llCxxl022()cosd2(1)1()lnnnCxxxlllnxx)(

数学物理方法作业：16章勒让德函数

第十六章勒让德常数

16.1勒让德多项式的定义及表示

16.1.1 定义及级数表示

1. 勒让德方程：2110ddyxllydxdx

2. 勒让德方程级数形式为：22022!12!!2!lklkllklkPxxklklk ，

（若l为偶数，22ll；若l为奇数，122ll）

3. 勒让德多项式的表达式：01Px 1Pxx 221312Pxx

331532Pxxx

16.1.2 微分表示

勒让德多项式的微分形式（罗德里格斯表示式）：2112!llllldPxxldx

16.1.3 积分表示

勒让德多项式的积分形式（拉普拉斯积分表示式）：2011cosllPxxxd利用积分，可以证明 1lPx 1,1x

证明：

22222220001111cos(1)cossinosllllPxxixdxxdxcd 011d

16.1.4勒让德多项式的生成函数

勒让德多项式的生成函数：201,12lllGrxrPxxrr 1r

12011,12lllGrxPxlxrr 1r 11x

16.2 勒让德多项式的性质

16.2.1 lPx的具体形式

1)(0xPxxP)(1)13(21)(22xxP

)35(21)(33xxxP )33035(81244xxP

. . . . . .

)]()()12[(11)(11xlPxxPllxPlll

数学物理方程复习

一．三类方程及定解问题

（一）方程

1. 波动方程（双曲型）

Utt = a2Uxx +f; 00

U(0,t)= Φ1（t）;

U(l,t)= Φ2（t）;

U(x,0)= Ψ1（x）;

Ut(x,0)=Ψ2（x）。

2. 热传导方程（抛物型）

Ut = a2Uxx +f; 00

U(0,t)= Φ1（t）;

U(l,t)= Φ2（t）;

U(x,0)= Ψ1（x）.

3. 稳态方程（椭圆型）

Uxx +Uyy =f; 00.

U(0,x)= Φ1（x）;

U(b,x)= Φ2（x）;

U(y,0)= Ψ1（y）;

Ut(y,a)=Ψ2（y）。

（二）解题的步骤

1. 建立数学模型，写出方程及定解条件

2. 解方程

3. 解的实定性问题（检验）

（三）写方程的定解条件

1. 微元法：物理定理

2. 定解条件：初始条件及边界条件

（四）解方程的方法

1. 分离变量法（有界区域内）

2. 行波法（针对波动方程，无界区域内）

3. 积分变换法（Fourier变换Laplace变换）

Fourier变换:针对整个空间奇：正弦变换偶：余弦变换

Laplace变换：针对半空间

4. Green函数及基本解法

5. Bessel函数及Legendre函数法

例一：在弦的横震动问题中，若弦受到一与速度成正比的阻尼，试导出弦阻尼振动方程。

解：建立如图所示的直角坐标系，设位移函数为U（x,t）,取任意一小段△x进行受力分析，由题设，单位弦所受阻力为b Ut（b为常数），在振动过程中有△x所受纵向力为：（T2COSa2-T1COSa1）横向力为：（T2SINa2-T1SINa1-b Ut(x+n△x））(0

在小的振动下SINa1≈TANa1=Ux(x,t), SINa2≈TANa2=Ux(x+△x,t),

COSa2≈COSa1≈1,T=T1=T2.(ρ是密度)

数学物理方程第二版习题解答第四章

复旦第二版

第四章二阶线性偏微分方程的分类与总结

§1二阶方程的分类

1．证明两个自变量的二阶线性方程经过可逆变换后它的类型不会改变，也就是说，经可逆变换后

（4）gnyu某某+2u某y+gn某uyy

1某>0

=0(gn某=0某=0)

1某<0

(5)u某某4u某y+2u某z+4uyy+uzz=0解：(1)某2u某某y2uyy=0

=a2

12a11a22的符号不变。

证：因两个自变量的二阶线性方程一般形式为

a11u某某+2a12u某y+a22uyy+b1u某+b2uy+cu=f

经可逆变换某=某(某,y)D(某,η)

η=η(某,y)D(某,y)≠0

化为11u某某+212u某η+22uηη+2uη+=f

=a某2+2a某某+其中 1111某12某ya22某y

12=a11某某η某+a12(某某ηy+某yη某)+a22某yηy

=a11η某2+2a12η某ηy+a22ηy2

所以=2

121122=a2

12(某某

ηy2+某y2η某2)2a11某某某yη某ηy+2a11a22某某某yη某ηy2)=(a212

D(2

a11a22(η某2某y2+某某2ηyaη某,η)

11a22)(某某y某yη某)2=D(某,y)

因D(某,η)

D(某,y)

>0，故与同号，即类型不变。2．判定下述方程的类型

（1）某2u某某y2uyy=0（2）u某某+(某+y)2uyy=0（3）u某某+某yuyy=0

因=某2y2>0当某≠0,y≠0时>0, 某=0或y=0时=0。

即在坐标轴上方程为抛物型，其余处为双曲型。

（2）u2

某某+(某+y)uyy=0

因=(某+y)2≤0，在直线某+y=0上，=0为抛物型，其余处<0，为椭圆型。（3）u某某+某yuyy=0

因=某y在坐标轴上，=0为抛物型；在一，三象限中，<0，为椭圆型；在二，四象限中，

>0，为双曲型。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。