数学物理方程与特殊函数模拟试题及参考答案
成都理工大学
《数学物理方程》模拟试题
一、填空题（3分10=30分）
1.说明物理现象初始状态的条件叫（ ），说明边界上的约束
情况的条件叫（ ），二者统称为 （ ）.
2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） .
3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （ ） .
4.边界条件 funuS)(是第（ ）类边界条件，其中S为边
界.
5.设函数),(txu的傅立叶变换式为),(tU，则方程22222xuatu的傅立叶
变换为 （ ） .
6.由贝塞尔函数的递推公式有 )(0xJdxd（ ） .
7.根据勒让德多项式的表达式有)(31)(3202xPxP= （ ）.
8.计算积分 dxxP2112)]([（ ） .
9.勒让德多项式)(1xP的微分表达式为（ ） .
10.二维拉普拉斯方程的基本解是（ ） .
二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）：
1.30,0,3,000,30,200322222,0xtuxxtxxututtxuuu
2.xtxxutuuuutxx2,0,00,40,04022
3. 20,0,8,00,20,162002022222xtutxxututtxxuuu
三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分）
0,2sin0,,cos0022222tttuxu
txxxua
t
u
四、用积分变换法求解下列定解问题（10分）：
,1,10,0,1002yxu
yu
yx
yx
u
五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10分）：
)(1)()('0''02xJxxJxJ
六、在半径为1的球内求调和函数u，使它在球面上满足
2
1cosr
u
，即所提问题归结为以下定解问题（10分）:
.0,12cos3,0,10,0)(sinsin1)(11222ru
rurrur
r
r
(本题的u只与,r有关，与无关)
《数学物理方程》模拟试题参考答案
一、 填空题：
1.初始条件，边值条件，定解条件.
2. )(2222222zuyuxuatu
3.01)(1222uu.
4. 三.
5.UadtUd2222.
6.)(1xJ.
7.2x.
8.52.
9.)1(212xdxd.
10.2020)()(1lnyyxxu.
二、试用分离变量法求以下定解问题
1.解 令)()(),(tTxXtxu，代入原方程中得到两个常微分方程：
0)()(2''tTatT
，0)()(''xXxX，由边界条件得到0)3()0(XX，
对的情况讨论，只有当0时才有非零解，令2，得到
2
22
2
3
n
为特征值，特征函数3sin)(nBxXnn，再解)(tT，得到
32sin3
2cos)(;;tnDtn
CtTnnn
，于是
,3sin)32sin32cos(),(1xntnDtnCtxunnn
再由初始条件得到
0,)1(183sin332130nnnDnxdxnxC
，所以原定解问题的解为
,3sin)32cos)1(18(),(11xntnntxunn
2. 解 令)()(),(tTxXtxu，代入原方程中得到两个常微分方程：
0)()('tTtT，0)()(''xXxX
，由边界条件得到0)4()0(XX，对
的情况讨论，只有当0时才有非零解，令2，得到
2
22
2
4
n
为特征值，特征函数4sin)(nBxXnn，再解)(tT，得到16;22)(tnnneCtT，
于是,4sin(),(16122xneCtxutnnn再由初始条件得到
140)1(164sin242n
n
n
xdxnxC
，所以原定解问题的解为
,4sin)1(16),(161122xnentxutnnn
3.解 由于边界条件和自由项均与t无关，令)(),(),(xwtxvtxu，代入
原方程中，将方程与边界条件同时齐次化。因此
21
2''''
222
2
2)(16)(416)]([4cxcxxwxwxwxvtv
，再由边界条
件有8)2(,0)0(ww，于是0,821cc，xxxw82)(2.再求定解问题
20,0),(,000,20,200322222,0xtvxw
x
tx
xvt
v
t
t
x
v
vv
用分离变量法求以上定解问
题的解为,2sincos])1)1[(32)1(16(),(331xntnnntxvnnn故
,2sincos])1)1[(32)1(16(28),(3312xntnnnxxtxunnn
三.解：
令)(),(),(xwtxvtxu，代入原方程中，将方程齐次化，因此
xaxwxxwaxxwxvatvcos1)(0cos)(cos)]([2''2''22222
，再求定解
问题,0),(cos12sin0,02022222tttvxxwaxtxvatvv 由达朗贝尔公式得
到以上问题的解为
atxaatxatxaatxataaatxtxvcoscos1cossin0)]cos(1)(2sin)cos(1)(2[sin21),(222
故
.cos1coscos1cossin),(22xaatxaatxtxu
四.解 ：
对y取拉普拉斯变换),()],([pxUyxuL，对方程和边界条件同时对y
取拉普拉斯变换得到ppUpdxdUpx11,120，解这个微分方程得到
p
pxp
pxU111),(22
，再取拉普拉斯逆变换有1),(yyxyxu
所以原问题的解为1),(yyxyxu.
五.证明：
由公式)())((1xJxxJxdxdnnnn有)()()(1'xJxxnJxxJnnn，令1n
有)()()(211'xxJxJxxJ，所以)(1)()(11'2xJxxJxJ，又
)()(),()(1'0''10'xJxJxJxJ
，
所以)(1)()(0'0''2xJxxJxJ.
六．解：
由分离变量法，令)()(),(rRru，得到0)(cos),(nnnnPrCru，
由边界条件有01)(cos12cos3nnnrPCu，令xcos，
)()()(261)12(322110022xPcxPcxPcxx
，
)13(212622102xcxccx
，
4,0,0210ccc
，故222222cos6)1cos3(214),(rrrru
数学物理方程习题解答案
数学物理方程习题解答案数学物理方程习题解习题一1，验证下面两个函数：(,)(,)sin x u x y u x y e y ==都是方程0xx yy u u +=的解。
证明：（1）(,)u x y =因为32222222222222223222222222222222222222222211()22()2()()11()22()2()()0()()x xx y yy xx yy x u x x y x y x y x x x y u x y x y yu y x y x y x y y y y x u x y x y x y y x u u x y x y =-?=-+++-?-=-=++=-??=-+++-?-=-=++--+=+=++所以(,)u x y =是方程0xx yy u u +=的解。
（2）(,)sin xu x y e y = 因为sin ,sin cos ,sin x x x xx xxy yy u y e u y e u e y u e y=?=?=?=-?所以sin sin 0xxxx yy u u e y e y +=-=(,)sin x u x y e y =是方程0xx yy u u +=的解。
2，证明：()()u f x g y =满足方程0xy x y uu u u -=其中f 和g 都是任意的二次可微函数。
证明：因为()()u f x g y =所以()(),()()()()()()()()()()()()0x y xy xy x y u g y f x u f x g y u f x g y uu u u f x g y f x g y g y f x f x g y ''=?=?''=?''''-=?-??=得证。
3，已知解的形式为(,)()u x y f x y λ=+，其中λ是一个待定的常数，求方程 430xx xy yy u u u -+= 的通解。
数学物理方程期末考试试题及答案
数学物理方程期末考试试题及答案一、求解方程（15分）⎪⎩⎪⎨⎧===-=+=-.)()(0002x u x u u a u at x at x xx tt ψϕ其中)0()0(ψϕ=。
解：设⎩⎨⎧+=-at x at x ηξ＝则方程变为： 0=ξηu ，)()(at x G at x F u ++-=(8’)由边值条件可得：)()0()2(),()2()0(x G x F x x G F ψϕ=+=+由)0()0(ψϕ=即得：)0()2()2(),(ϕψϕ--++=at x at x t x u 。
二、利用变量分离法求解方程。
（15分）⎪⎩⎪⎨⎧==≥==∈=-====)(,)(,0,0,),(,00002x u x u t u u Q t x u a u t t t l x x xx tt ψϕ其中l x ≤≤0。
0>a 为常数解：设)()(t T x X u =代于方程得：0''=+X X λ，0''2=+T a T λ(8’)x C x C X λλsin cos21+=，at C at C T λλsin cos 21+=由边值条件得：21)(,0ln C πλ== lx n at A at B u n n n πλλsin)sin cos (1+=∑∞= ⎰=l n dx l x n x l B 0sin )(2πϕ，⎰=ln dx lx n x an A 0sin )(2πψπ 三．证明方程02=--cu u a u xx t )0(≥c 具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与稳定性. (15分)证明：设u e v ct -=代入方程：⎪⎩⎪⎨⎧====-=).(),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ϕ设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得：⎪⎩⎪⎨⎧====-=0),(,),0(0002t l v t v v v a v t xx t由极值原理得0=v 唯一性得证。
数学物理方程第一章、第二章习题全解
u x
d
x,
因此小段( x, x + d x) 的伸长( 压缩 ) 为 ud x, 其相对 伸长 (压 缩) 为 x
u x
,
即
x 点处的应变为
u x
(
x,
t)
。若 略
去垂
直杆 长方
向
的形
变
,
根
据
Hooke 定律 , 应力与应变 u 成正比 , 即 x
P=
E
u x
比例系数 E 称为杆的杨氏模量,故所求的纵振动方程为
18
数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
2δρ ut ( x , 0 ) = k ( c - δ≤ x ≤ c + δ) 在这个小段外,初速度仍为零, 我们想得到的是 x = c 处受到冲 击的初速度 , 所 以 最后 还 要 令 δ→ 0。此 外 , 弦是 没 有 初 位 移的 , 即 u( x, 0) = 0 , 于是初始条件为
h c
x
l
h -
c(
l
-
x)
(0 ≤ x ≤ c) ( c < x ≤ l)
ut ( x, 0) = ψ( x ) = 0
则 u( x, t) 是下列定解问题的解 :
utt - a2 uxx = 0
( 0 < x < l, t > 0)
u( x, 0) = φ( x ) , ut ( x, 0 ) = ψ( x )
nπl x
= φ( x )
得
∫ An =
2
l
φ(
x) sin
nπx d x
=
l0
l
∫ ∫ 2 l h xsin nπxd x + 2 l h ( l - x ) si n nπxd x =
数学物理方程与特殊函数积分变换法
（3）求拉式逆变换
F (s)
2s 3 s2 9
练习
（1）求傅式变换
f
(t)
sin t
t
0
t
其他
解 F f (t) f (t)e jtdt F()
sin te jtdt
2i sin t sintdt
0
2sin 2 1 i
练习
（2）求傅式变换 f (t) e jw0t u(t)
例1 解定解问题
u a 2 2u ,
t
x 2
u(x,0) (x),
x ,t 0 x
解：利用傅立 叶变换的性质
dU (,t) a 2 2U (,t), t 0
dt
U (,0) 1,
U (,t) Cea22t
C 1
U (,t) ea22t
1
e e x2 2 2
0
L f1(t) f2(t) L f1(t) L f2(t)
L 1 F1(s) F2 (s) f1(t) f2 (t)
常见结果
L
ekt
s
1
k
L cos
kt
s2
s
k2
L
sin
kt
s2
k
k2
L 1 1
s
练习
（1）求傅式变换
f
(t)
sin t
t
0
t
其他
（2）求傅式变换 f (t) e jw0t u(t)
2 2
2
u
2
1
x2
e e 4 2t
a2 2t
2a t
u(x,t)
1
x2
e 4 2t
数理方程课后习题
2
(1)n 1
0, 4l
n2
2
,
n为偶数 n为奇数
u l
2 n1
4l
2n 1 2 2
e cos
2
n12
l2
2a2
t
2n 1
l
x
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
习题2第17题： 在扇形区域内求下列定解问题
h
h x, c
l
c
x,
X (0) 0, X (l) 0
0 x l,t 0 t 0 0 xl
0 xc c xl
X X 0, 0 x l
X (0) 0,
X (l) 0
数学物理方程与特殊函数
X X 0, 0 x l
2u 0,
u(,0) u(, ) 0, u(a, ) f ( ),
u(0,)
0 , a a 0
u(, ) ()( )
1 1 0
2
1
1
2
p2
p2 p2 p
U (0, p)
1 p2
1 p
u(x, y) xy y 1
d pU (x, p)1 1
dx
p
数学物理方程与 特x2殊uy函数1, u(0, y) y 1, u(x,0) 1,
第3章行波法与积分变换法
x 0, y 0
t)
a
2
2u x 2
,
0, u(l , t )
数理方程课后习题(带答案)
T nC n co n ls atD n sin n lat
un XnTn B nsin ln x (C n cn o la ts D n sin ln a t) (C nco n la s t D nsin ln at)sin lnx
u
un
n 1
na
na n
n 1(C ncolstD nsin l t)silnx
由此可得：w (x)1
xt
dt
f()dC xA ,
a2 0 0
其中
C1 l(BAa 1 2 0 ldt0 tf()d),
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
然后用分离变量解
v(vt0,t)a2
2v x2 , 0, v(l,
t)
0,
0 x l,t 0 t 0
v(x,0) g(x) w(x), 0 x l
2 lu(x,0) n
2l
n
Dnna0
t
sin l
xdxna0x(lx)sinl