专题基本不等式及其应用单元测试(A卷基础篇)(解析版)

基本不等式及其应用 单元测试(A 卷基础篇)参考答案与试题解析 第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1.（河北省廊坊市2018-2019学年高一下期中）已知函数()(1)()f x ax x b =-+，如果不等式()0f x >的解集为(－1,3)，那么不等式(2)0f x -<的解集为（ ）A. 31(,)(,)22-∞-+∞B. 31(,)22-C. 13(,)(,)22-∞-+∞D. 13(,)22-【答案】A【解析】由()(1)()0f x ax x b =-+>的解集是(1,3)-，则a 0< 故有11,3b a=--=，即1,3a b =-=-. 2()23f x x x ∴=-++ 2(2)443f x x x ∴-=--+由24430x x --+< 解得12x >或23x < 故不等式(2)0f x -<的解集是31(,)(,)22-∞-+∞ 故选A.2.（2018山东寿光现代中学模拟）已知，且，则的最小值为（ ）A. B. 4 C. D. 2 【答案】C【解析】由2a ＋b ＝4，得2≤4，即ab≤2，又a>0，b>0，所以≥，当且仅当2a ＝b ，即b ＝2，a ＝1时，取得最小值.故选C.3.（北京市海淀区2018-2019学年高一下期末）设,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（ ）A. c a c b -<-B. 22ac bc >C.11a b< D.1b a< 【答案】A【解析】A 项，由a b >得到a b -<-，则c a c b -<-，故A 项正确； B 项，当0c =时，该不等式不成立，故B 项错误； C 项，当1a =，2b =-时，112>-，即不等式11a b<不成立，故C 项错误； D 项，当1a =-，2b =-时，21ba =>，即不等式1b a<不成立，故D 项错误． 综上所述，故选A ．4.（2019·北京高考真题（理））若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为（ ） A ．−7 B ．1C ．5D ．7【答案】C 【解析】由题意1,11yy x y-≤⎧⎨-≤≤-⎩作出可行域如图阴影部分所示.设3,3z x y y z x =+=-,当直线0:3l y z x =-经过点()2,1-时,z 取最大值5.故选C.5.（2017·山东高考真题（理））若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是（ ） A ．21log ()2aba ab b +<<+ B ．21log ()2a b a b a b<+<+C ． 21log ()2a b a a b b +<+< D ． 21log ()2a ba b a b +<+< 【答案】B【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以221,01,1,log ()log 1,2aba b a b ><<∴+= 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+ ，所以选B. 6.（2018·全国高考真题（理））设，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】,即又即故选B.7.（2018·浙江高三课时练习）已知当x ＜0时，2x 2－mx ＋1＞0恒成立，则m 的取值范围为( )A ．，＋∞)B ．(－∞，]C ．(－∞)D ．(－∞，－【答案】C【解析】由2x 2－mx ＋1＞0，得mx ＜2x 2＋1，因为x ＜0，所以m ＞＝2x ＋.而2x ＋＝－≤－2＝－2.当且仅当－2x ＝－，即x ＝－时取等号，所以m ＞－2.选 C8.（新疆乌鲁木齐市第七十中学2018-2019学年高一下期中）已知0,0,2a b a b +=＞＞则14y a b=+的最小值是（ ） A.72B. 4C.92D. 5【答案】C【解析】本题考查基本不等式的应用及转化思想. 因为14114140,0,2,()()(5)22b a a b a b a b a b a b a b>>+=∴+=++=++19(5;22≥+=当且仅当42(0,0)b a a b a b a b =+=><且，即24,33a b ==是等号成立.故选C. 9.（新疆乌鲁木齐市第七十中学2018-2019学年高一下期中）若不等式220x ax >＋－在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( ) A. 23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B. 23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. (1,+∞)D. 23,5⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【答案】A【解析】∵关于x 的不等式x 2+ax-2＞0在区间[1，5]上有解，∴2a x x-＞，x ∈[1，5]．2()[15]min a x x x⇔-∈＞，，．∵函数()2f x x x =-在x ∈[1，5]单调递减，∴当x=5时，函数f （x ）取得最小值-235．∴实数a 的取值范围为(-235,+∞) ． 故选A.10.（新疆伊犁州奎屯一中2018-2019学年高一下第二次月考（理））若不等式()()21313ln1ln33x xa x ++-⋅≥-⋅对任意的(],1x ∈-∞恒成立，则a 的取值范围是（ ）A. 10,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. [)2,+∞D. (],2-∞ 【答案】D【解析】由题意结合对数的运算法则有：()213133lnln 33x xxa ++-⋅≥，由对数函数的单调性有：()21313333x xxa ++-⋅≥， 整理可得：2133xxa +≤，由恒成立的条件有：2min133x x a ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭， 其中21313233xx xxy +⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当0x =时等号成立. 即0x =时，函数2133xxy +=取得最小值2. 综上可得：2a ≤. 本题选择D 选项.第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分） 11．（河北省邢台市2018-2019学年高一下学期第三次月考）已知0xy >，则9x yy x+的最小值为_______． 【答案】6【解析】因为0xy >，所以0x y >，90y x >，所以96x y y x +≥=，所以最小值为6.12.（2019·天津高考模拟（理））若实数x ，y 满足1xy =，则224x y +的最小值为______．【答案】4 【解析】因为1xy=，所以()2222422244x y x y x y xy +=+≥⨯⨯==，当2x y =时取“=”， 所以224x y +的最小值为4，故答案为4.13.（北京市海淀区2018-2019学年高一下期末）函数24()(0)x x f x x x-+-=>的最大值为______,此时x的值为______. 【答案】 －3 2【解析】因为244()()1x x f x x x x-+-==-++，又0x >，所以44x x+≥=，当且仅当2x =时取等号； 此时244()()1413x x f x x x x-+-==-++≤-+=-.即()f x 最大值为3-，此时2x =.14.（2018浙江嘉兴第一中学模拟）若正实数满足，则的最小值是______．（6分）【答案】18 【解析】由正实数满足可得即，令，即，解得：即，∴的最小值是18.故答案为：1815.（新疆疏勒县八一中学2018-2019学年高二上期末）设a 、b 是实数，且3a b +=，则22a b +的最小值是__________．（6分）【答案】【解析】根据基本不等式的性质，有22a b +≥=又由3a b ，+= 则22a b +≥ 当且仅当22a b =即32a b ==时取等号. 16.（ 2017江苏，10）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 . 【答案】30【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立. 17.（2018年理数天津卷）已知，且，则的最小值为_____________.（6分）【答案】三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分） 18.已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥ 【答案】见解析【解析】∵a 、b 、c 都是正数∴0a b +≥> （当且仅当a b =时，取等号）0b c +≥> （当且仅当b c =时，取等号）0c a +≥> （当且仅当c a =时，取等号）∴()()()8a b b c c a abc +++≥=（当且仅当a b c ==时，取等号） 即()()()8a b b c c a abc +++≥. 19.求证:47(3)3a a a +≥>-【答案】见解析 【解析】证明:443333a a a a +=+-+--由基本不等式和3a >得4433333a a a a +=+-+≥--=237= 当且仅当433a a =--即5a =时取等号. 20.（2019·江苏高考真题）设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -. 【答案】1{|1}3x x x <->或.【解析】当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <–13： 当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.21.（河北省邢台市第一中学2018-2019学年高一下第三次月考）某家用轿车的购车费9.5万元，保险费、保养费及换部分零件的费用合计每年平均4000元，每年行车里程按1万公里，前5年性能稳定，每年的油费5000元，由于磨损，从第6年开始，每年的油费以500元的速度增加，按这种标准，这种车开多少年报废比较合算？ 【答案】20【解析】设这种车开x 年报废比较合算，当6x ≥时，总费用为：9500040005000500[123(5)]y x x x =+++++++-9500040005000250(4)(5)x x x x =+++-- 22506750100000x x =++，平均费用：1000002506750675016750y x x x =++≥=， 当100000250x x=，即20x =时，取最小值． 当5x ≤时，平均费用：950009000167505y x ≥+>． ∴ 这种车开20年，平均使用费用最低，故这种车开20年报废比较合算．22.（福建省三明市三地三校2018-2019学年高一下期中联考）已知函数2()28f x x x =-- （1）解不等式()0f x ≥；（2）若对一切0x >，不等式()9f x mx ≥-恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）(][),24,-∞-⋃+∞；（2）(]0,∞-【解析】（1）()()()228240f x x x x x =--=+-≥ 2x ∴≤-或4x ≥∴所求不等式解集为：(][),24,-∞-⋃+∞（2）当0x >时，()9f x mx ≥-可化为：22112x x m x x x-+≤=+-又12x x +≥=（当且仅当1x x =，即1x =时取等号）min12220x x ⎛⎫∴+-=-= ⎪⎝⎭ 0m ∴≤即m 的取值范围为：(]0,∞-。