沪教版七年级数学上册练习题 用尺规作线段与角
2019-2020年七年级数学上册 4.6作线段与角教案 沪科版
2019-2020年七年级数学上册 4.6作线段与角教案沪科版一、教学目标：1.知识与技能目标：会用直尺和圆规作一条线段等于已知线段，会利用基本作图进行简单的尺规作图。
2.过程与方法目标：使学生在独立思考与合作交流的基础上，加强口头表达能力和“已知、求作、作法”的书写要求。
3.情感与态度目标：让学生在图案设计的过程中进一步体会尺规作图的用法，提高学习欲望和兴趣，享受成功。
并通过构造美丽图案，渗透数学的美，让学生感受美，体会美的价值所在，激发学生去发现美、创造美.二、教学重点：用尺规作线段等于已知线段三、教学难点：线段的和、差、倍的作法四、教学方法：讲练相结合法五、教学用具：直尺、圆规五、教学过程设计：Ⅰ.创设现实情景，引入新课在现实生活中，我们经常见到一些美丽的图案，如下列图案图案(1)、(2)、(3)是我们曾经画过的.想一想，这些图案是利用哪些作图工具画出的？直尺、圆规和三角尺是常用的作图工具，利用这些工具可以作出很多的几何图形.在以后的作图中，我们运用最多的作图工具是没有刻度的直尺和圆规. 我们把只用没有刻度的直尺和圆规的作图称为尺规作图.我们把只用没有刻度的直尺和圆规的作图称为尺规作图.教师提出要求：1.能口头表达作法，2.能正确作出图形（保留作图痕迹（三）讲授新课用尺规作图具有以下四个步骤： (1)已知，即：已知的条件是什么.(2)求作，即：所要作的最终的结果是什么，满足什么条件. (3)分析，即：分析如何作出所要求作的图形，一般不用写出来. (4)作法，这是作图的主要步骤，在这里要写清作图的过程.今后的作图中，要注意作图步骤的书写.就现在来说，只要求大家了解尺规作图的步骤.已知，线段AB.求作：线段A ′B ′,使A ′B ′=AB. 作法：(1)作射线A ′C ′.(2)以点A ′为圆心，以AB 的长为半径画弧，交射线A ′C ′于点B ′. A ′B ′就是所求的线段.（四）做一做，如图，已知线段a 和两条互相垂直的直线AB 、CD.(1)利用圆规，在射线OA 、OB 、OC 、OD 上作线段OA ′、OB ′、OC ′、OD ′，使它们分别与线段a 相等.（二）旧知回顾：在上册中，我们曾介绍了用直尺和圆规作一条线段等于已知线段.大家回忆一下作图过程和方法.作一条线段等于已知线段。
2023-2024学年沪科版七年级数学上册教学设计：4.6用尺规作线段与角教学设计
2023-2024学年沪科版七年级数学上册教学设计：4.6用尺规作线段与角教学设计一. 教材分析《沪科版七年级数学上册》第四章第六节“用尺规作线段与角”是学生在掌握了尺规作图的基本方法之后，进一步学习尺规作线段和角的方法。
本节内容让学生通过尺规作线段和角，培养学生的动手操作能力和空间想象能力，同时也能让学生更好地理解线段和角的特征。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了尺规作图的基本方法，对于尺规作线段和角，他们可能已经有一定的了解，但可能没有系统地学习和练习。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解和掌握尺规作线段和角的方法，并通过大量的练习让学生熟练掌握。
三. 教学目标1.让学生掌握尺规作线段和角的方法。
2.培养学生的动手操作能力和空间想象能力。
3.让学生能够运用尺规作线段和角的方法解决一些实际问题。
四. 教学重难点1.教学重点：尺规作线段和角的方法。
2.教学难点：如何让学生理解和掌握尺规作线段和角的方法，以及如何运用尺规作线段和角的方法解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、示范教学法、分组合作法、练习法等教学方法，引导学生通过自主学习、合作学习、探究学习，掌握尺规作线段和角的方法。
六. 教学准备1.准备尺规作图的工具，如直尺、圆规等。
2.准备一些线段和角的实际问题，以便在课堂上进行解决。
3.准备一些练习题，以便在课堂上进行练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一些实际问题，引导学生思考如何用尺规作线段和角。
例如，如何用尺规作出两条相等的线段，如何用尺规作出一个特定大小的角。
2.呈现（10分钟）教师通过示范教学，向学生展示如何用尺规作线段和角的方法。
在示范过程中，教师要注意讲解清楚每一步的操作方法，以及为什么要这样做。
3.操练（10分钟）学生分组合作，用尺规作线段和角。
在操作过程中，教师要巡回指导，解答学生的问题，并引导学生注意操作的准确性。
4.巩固（10分钟）学生独立完成一些关于尺规作线段和角的练习题。
2019年七年级沪科新版数学上册《第4章直线与角》单元测试卷(解析版)
2019年七年级沪科新版数学上册《第4章直线与角》单元测试卷一．选择题（共10小题）1．如图，都是由边长为1的正方体叠成的立体图形，例如第（1）个图形由1个正方体叠成，第（2）个图形由4个正方体叠成，第（3）个图形由10个正方体叠成，依次规律，第（7）个图形由（）个正方体叠成．A．86B．87C．85D．842．如图，在矩形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等的矩形有（）A．1对B．2对C．3对D．4对3．如图，是一个正方体的展开图，这个正方体可能是（）A．B．C．D．4．已知一个不透明的正方体的六个面上分别写着1﹣6六个数字，如图是我们能看到的三种情况，那么数字5的对面的数字是（）A ．6B ．4C ．3D ．6或4或3 5．将一个棱长为m （m ＞2且m 为正整数）的正方体木块的表面染上红色，然后切成m 3个棱长为1的小正方体，发现只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的12倍，则m 等于（ ）A ．16B ．18C ．26D ．326．平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m 个，最少有n 个，则m +n 等于（ ） A ．36 B ．37 C ．38 D ．397．已知A 、B 为平面上的2个定点，且AB ＝5．若点A 、B 到直线l 的距离分别等于2、3，则满足条件l 的直线共有（ ）条．A ．2B ．3C ．4D ．58．如图，一条街道旁有A ，B ，C ，D ，E 五幢居民楼．某大桶水经销商统计各楼居民每周所需大桶水的数量如下表：他们计划在这五幢楼中租赁一间门市房，设立大桶水供应点．若仅考虑这五幢楼内的居民取水所走路程之和最小，可以选择的地点应在（ ）A ．B 楼 B ．C 楼 C ．D 楼 D ．E 楼9．如图，将一根绳子对折以后用线段AB 表示，现从P 处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为60cm ，若AP ＝PB ，则这条绳子的原长为（ ）A ．100cmB ．150cmC ．100cm 或150cmD ．120cm 或150cm10．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝（ ）A．56°B．68°C．28°D．34°二．填空题（共8小题）11．一个棱柱有12个面，它有个顶点，条棱．12．如图所示的三角形绕边AB所在直线旋转一周所形成的几何体是．13．“舒肤佳”香皂盒的长、宽、高分别是10cm、4cm、6cm，将这样的四个盒子拼成一个大的长方体，那么在这个大长方体的各种拼法中，表面积的最小值为cm2．14．如图，图中共有个梯形．15．一个无盖的长方形包装盒展开后如图所示（单位：cm），则其容积为cm3．16．如图，在Rt△ABC纸片上可按如图所示方式剪出一正方体表面展开图，直角三角形的两直角边与正方体展开图左下角正方形的边共线，斜边恰好经过两个正方形的顶点，已知BC＝24cm，则这个展开图可折成的正方体的体积为cm3．17．如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则2x﹣y的值为．18．如图，一个5×5×5的正方体，先在它的前后方向正中央开凿一个“十字形”的孔（打通），再在它的上下方向正中央也开凿一个“十字形”的孔（打通），最后在它的左右方向正中央开凿一个“十字形”的孔（打通），这样得到一个被凿空了的几何体，则所得几何体的体积为．三．解答题（共8小题）19．[问题提出]一个边长为ncm（n≥3）的正方体木块，在它的表面涂上颜色，然后切成边长为1cm的小正方体木块，没有涂上颜色的有多少块？只有一面涂上颜色的有多少块？有两面涂上颜色的有多少块？有三面涂上颜色的多少块？[问题探究]我们先从特殊的情况入手（1）当n＝3时，如图（1）没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有1×1×1＝1个小正方体；一面涂色的：在面上，每个面上有1个，共有6个；两面涂色的：在棱上，每个棱上有1个，共有12个；三面涂色的：在顶点处，每个顶点处有1个，共有8个．（2）当n＝4时，如图（2）没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有2×2×2＝8个小正方体：一面涂色的：在面上，每个面上有4个，6个面，共有24个；两面涂色的：在棱上，每个楼上有2个，共有24个；三面涂色的：在顶点处，每个顶点处有1个，共有8个．…[问题解决]一个边长为ncm（n≥3）的正方体木块，没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有个小正方体；一面涂色的：在面上，共有个；两面涂色的：在棱上，共有个；三面涂色的：在顶点处，共个．[问题应用]一个大的正方体，在它的表面涂上颜色，然后把它切成棱长1cm的小正方体，发现有两面涂色的小正方体有96个，请你求出这个大正方体的体积．[问题拓展]把一个长16cm、宽10cm、高8cm的长方体表面涂上红漆，然后把它切成棱长2cm的小正方体，没有面涂色有几块，一面涂色有几块，两面涂色有几块，三面涂色有几块？20．在下列两行图形中，分别找出相互对应的图形，并用线连接．21．如图所示的五棱柱的底面边长都是5cm，侧棱长12cm，它有多少个面？它的所有侧面的面积之和是多少？22．小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：（1）小明总共剪开了条棱．（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．（3）小明说：他所剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍．现在已知这个长方体纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．23．已知∠ABC．（1）用尺规作图：作∠DEF，使∠DEF＝∠ABC（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在上述作图过程中，得到哪些相等的线段？24．如图，已知∠AOB．（1）利用直尺和圆规在图①中画图：在OA，OB上分别截取OC，OD，并且使OC＝OD，连接CD，过点O作OP⊥CD垂足为P；（2）根据（1）的作图，试说明∠AOP＝∠BOP；（3）运用你所学的数学知识，在图②中再设计一种方法，作出∠AOB的平分线．（上述（1）的方法除外，不必说明理由，只在图中保留作图痕迹）25．已知：如图：∠AOB．求作：∠AOB的平分线OC．（不写作法，保留作图痕迹）26．如图，请你在下列各图中，过点P画出射线AB或线段AB的垂线．2019年七年级沪科新版数学上册《第4章直线与角》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，都是由边长为1的正方体叠成的立体图形，例如第（1）个图形由1个正方体叠成，第（2）个图形由4个正方体叠成，第（3）个图形由10个正方体叠成，依次规律，第（7）个图形由（）个正方体叠成．A．86B．87C．85D．84【分析】根据图形的变换规律，可知第n个图形中的正方体的个数为1+3+6+…+，据此可得第（7）个图形中正方体的个数．【解答】解：由图可得：第（1）个图形中正方体的个数为1；第（2）个图形中正方体的个数为4＝1+3；第（3）个图形中正方体的个数为10＝1+3+6；第（4）个图形中正方体的个数为20＝1+3+6+10；故第n个图形中的正方体的个数为1+3+6+…+，第（7）个图形中正方体的个数为1+3+6+10+15+21+28＝84．故选：D．【点评】本题主要考查了图形变化类问题以及正方体，解决问题的关键是依据图形得到变换规律．解题时注意：第n个图形中的正方体的个数为1+3+6+…+．2．如图，在矩形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等的矩形有（）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【分析】根据矩形的性质，由全等三角形的判定得出△EPD ≌△HDP ，则S △EPD ＝S △HDP ，通过对各图形的拼凑，得到的结论．【解答】解：在矩形ABCD 中，∵EF ∥AB ，AB ∥DC ，∴EF ∥DC ，则EP ∥DH ；故∠PED ＝∠DHP ；同理∠DPH ＝∠PDE ；又PD ＝DP ；所以△EPD ≌△HDP ；则S △EPD ＝S △HDP ； 同理S △GBP ＝S △FPB ；则（1）S 梯形BPHC ＝S △BDC ﹣S △HDP ＝S △ABD ﹣S △EDP ＝S 梯形ABPE ；S ▱AGPE ＝S 梯形ABPE ﹣S △GBP ＝S 梯形BPHC ﹣S △FPB ＝S ▱FPHC ；（2）S ▱AGHD ＝S ▱AGPE +S ▱HDPE ＝S ▱PFCH +S ▱PHDE ＝S ▱EFCD ；（3）S ▱ABFE ＝S ▱AGPE +S ▱GBFP ＝S ▱PFCH +S ▱GBFP ＝S ▱GBCH ．故选：C ．【点评】考查了矩形的性质，本题是一道结论开放题，掌握矩形的性质，很容易得到答案．3．如图，是一个正方体的展开图，这个正方体可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】结合正方体的展开图中圆点所在面的位置，把展开图折叠再观察其位置，即可得到这个正方体．【解答】解：把展开图折叠后，只有B 选项符合图形，故选：B ．【点评】此题考查几何体展开图，对于正方体的展开图再折叠成几何体的问题，可以多动手具体折一折，增强空间想象能力．4．已知一个不透明的正方体的六个面上分别写着1﹣6六个数字，如图是我们能看到的三种情况，那么数字5的对面的数字是（）A．6B．4C．3D．6或4或3【分析】本题可从图形进行分析，结合正方体的基本性质，得到底面的数字，即可求得结果．【解答】解：第一个正方体已知1，2，5，第二个正方体已知1，2，4，第三个正方体已知1，4，6，且不同的面上写的数字各不相同，可求得第一个正方体底面的数字为3，∴4相邻的数字是1，2，3，6，∴数字5的对面的数字是4．故选：B．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，立意新颖，是一道不错的题．5．将一个棱长为m（m＞2且m为正整数）的正方体木块的表面染上红色，然后切成m3个棱长为1的小正方体，发现只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的12倍，则m等于（）A．16B．18C．26D．32【分析】只有一个表面染有红色的小正方体的数量为6（m﹣2）2，恰有两个表面染有红色的小正方体的数量12（m﹣2），根据只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的12倍，即可得到m的值．【解答】解：将一个棱长为m（m＞2且m为正整数）的正方体木块的表面染上红色，然后切成m3个棱长为1的小正方体，则只有一个表面染有红色的小正方体的数量为6（m﹣2）2，恰有两个表面染有红色的小正方体的数量12（m﹣2），∵只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的12倍，∴6（m﹣2）2＝12×12（m﹣2），解得m1＝26，m2＝2（舍去），故选：C．【点评】本题主要考查了正方体，解决问题的关键是抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题．6．平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则m+n等于（）A．36B．37C．38D．39【分析】求出平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多的个数，再求得最少的个数；则即可求得m+n的值．【解答】解：三条最多交点数的情况．就是第三条与前面两条都相交：1+2四条最多交点数的情况．就是第四条与前面三条都相交：1+2+3五条最多交点数的情况．就是第五条与前面四条都相交：1+2+3+4六条最多交点数的情况．就是第六条与前面五条都相交：1+2+3+4+5七条最多交点数的情况．就是第七条与前面六条都相交：1+2+3+5+6八条最多交点数的情况．就是第八条与前面七条都相交：1+2+3+5+6+7九条最多交点数的情况．就是第九条与前面八条都相交：1+2+3+4+5+6+7+8＝36则m+n＝1+36＝37故选：B．【点评】此题考查了平面图形，主要培养学生的观察能力和几何想象能力．7．已知A、B为平面上的2个定点，且AB＝5．若点A、B到直线l的距离分别等于2、3，则满足条件l的直线共有（）条．A．2B．3C．4D．5【分析】根据题意，可以分别以A、B为圆心，以2cm，3cm为半径画圆，然后求两圆的公切线，公切线的条数就是直线l 的条数．【解答】解：如图所示：∵AB ＝5，点A 、B 到直线l 的距离分别等于2、3，∴⊙A 与⊙B 外切，共有3条公切线，∴满足条件l 的直线共有3条．故选：B ．【点评】本题考查的是两点确定一条直线，题中数据AB ＝5与点A 、B 到直线l 的距离分别等于2、3起到了关键的限制作用，利用数形结合进行解答更形象直观．8．如图，一条街道旁有A ，B ，C ，D ，E 五幢居民楼．某大桶水经销商统计各楼居民每周所需大桶水的数量如下表：他们计划在这五幢楼中租赁一间门市房，设立大桶水供应点．若仅考虑这五幢楼内的居民取水所走路程之和最小，可以选择的地点应在（） A ．B 楼 B ．C 楼 C ．D 楼 D ．E 楼【分析】此题为数学知识的应用，由题意设立大桶水供应点，肯定要尽量缩短居民取水所走路程之间的里程，即需应用两点间线段最短定理来求解．【解答】解：设AB ＝a ，BC ＝b ，CD ＝c ，DE ＝d ．每户居民每次取一桶水．以点A 为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和＝55AB +50AC +72AD +85AE ＝262a +207b +157c +85d ，以点B 为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和＝38AB +50BC +72BD +85BE ＝38a +207b +157c +85d ，以点C为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和＝38AC+55BC+72CD+85CE＝38a+93b+157c+85d，以点D为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和＝38AD+55BD+50CD+85DE＝38a+93b+143c+85d，以点E为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和＝38AE+55BE+50CE+72DE＝38a+93b+143c+215d，以点D为取水点，五幢楼内的居民取水所走路程之和最小．故选：C．【点评】此题为数学知识的应用，考查知识点两点之间线段最短．9．如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为60cm，若AP＝PB，则这条绳子的原长为（）A．100cm B．150cmC．100cm或150cm D．120cm或150cm【分析】根据绳子对折以后用线段AB表示，可得绳长是AB的2倍，分类讨论，PB的2倍最长，可得PB，AP的2倍最长，可得AP的长，再根据线段间的比例关系，可得答案．【解答】解：当PB的2倍最长时，得PB＝30cm，AP＝PB＝20cm，AB＝AP+PB＝50cm，这条绳子的原长为2AB＝100cm；当AP的2倍最长时，得AP＝30cm，AP＝PB，PB＝AP＝45cm，AB＝AP+PB＝75cm，这条绳子的原长为2AB＝150cm．故选：C．【点评】本题考查了两点间的距离，分类讨论是解题关键．10．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝（）A．56°B．68°C．28°D．34°【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝68°．∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，∴∠EAF＝∠DAC＝34°．∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，∴∠AEF＝90°，∴∠AFE＝90°﹣34°＝56°，∴∠α＝56°．故选：A．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．二．填空题（共8小题）11．一个棱柱有12个面，它有20个顶点，30条棱．【分析】一个直棱柱有12个面，故为十棱柱．根据十棱柱的概念和特点求解即可．【解答】解：∵棱柱有12个面，∴它是十棱柱．∴十棱柱有20个顶点，30条棱．故答案为：20；30．【点评】本题主要考查的是棱柱的概念，掌握棱柱的概念是解题的关键．12．如图所示的三角形绕边AB所在直线旋转一周所形成的几何体是圆锥．【分析】根据旋转的性质、圆锥体的特征即可求解．【解答】解：如图所示的三角形绕边AB所在直线旋转一周所形成的几何体是圆锥．故答案为：圆锥．【点评】考查了点、线、面、体，关键是熟悉点动成线，线动成面，面动成体的知识点．13．“舒肤佳”香皂盒的长、宽、高分别是10cm、4cm、6cm，将这样的四个盒子拼成一个大的长方体，那么在这个大长方体的各种拼法中，表面积的最小值为592cm2．【分析】表面积要最小，一定要用最大的面重叠．先2个香皂盒重叠，用最大的面（10x6）重叠，可以组成了2个较大的长方体，长是10cm，宽是6cm，高是4+4＝8（cm）．再把这2个较大的长方体重叠，用最大的面（10x8）重叠，长是10cm，宽是8cm，高是6+6＝12（cm），由此计算即可；【解答】解：表面积要最小，一定要用最大的面重叠．先2个香皂盒重叠，用最大的面（10×6）重叠，可以组成了2个较大的长方体，长是10cm，宽是6cm，高是4+4＝8（cm）．再把这2个较大的长方体重叠，用最大的面（10×8）重叠，长是10cm，宽是8cm，高是6+6＝12（cm）．这个大长体的表面积是：（10×8+10×12+8×12）×2＝（80+120+96）x2＝296×2＝592（平方厘米），故答案为592．【点评】本题考查几何体的表面积，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．14．如图，图中共有10个梯形．【分析】根据图形认真分析由图中可知一个梯形需一个平行四边形和一个三角形组成．【解答】解：由图形的特点可知，一个平行四边形和一个三角形可组成一个梯形，且图形中的梯形的形状、大小相同，共有10个．故答案为10．【点评】有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形．15．一个无盖的长方形包装盒展开后如图所示（单位：cm），则其容积为800cm3．【分析】先用20cm减去15cm求出高为5cm，再用15cm减去5cm求出宽为10cm，再用26cm减去10cm求出长为16cm，再根据长方体的体积公式计算即可求解．【解答】解：20﹣15＝5（cm），15﹣5＝10（cm），26﹣10＝16（cm），16×10×5＝800（cm3）．答：其容积为800cm3．故答案为：800．【点评】考查了几何体的展开图，解题的关键是得到长方体的长宽高．16．如图，在Rt△ABC纸片上可按如图所示方式剪出一正方体表面展开图，直角三角形的两直角边与正方体展开图左下角正方形的边共线，斜边恰好经过两个正方形的顶点，已知BC＝24cm，则这个展开图可折成的正方体的体积为27cm3．【分析】首先设这个展开图围成的正方体的棱长为xcm，然后延长FE交AC于点D，根据三角函数的性质，可求得AC的长，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【解答】解：如图，设这个展开图围成的正方体的棱长为xcm，延长FE交AC于点D，则EF＝2xcm，EG＝xcm，DF＝4xcm，∵DF∥BC，∴∠EFG＝∠B，∵tan∠EFG＝＝，∴tan B＝＝，∵BC＝24cm，∴AC＝12cm，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣2x（cm）∵DF∥BC，∴△ADF∽△ACB，∴＝，即＝，解得：x＝3，即这个展开图围成的正方体的棱长为3cm，∴这个展开图可折成的正方体的体积为27cm3．故答案为：27．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．17．如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则2x﹣y的值为﹣3．【分析】根据正方体的展开图中相对面不存在公共点可找出5对面的数字，从而可根据相反数的定义求得x的值，进一步求得y的值，最后代入计算即可．【解答】解：∵“5”与“2x﹣3”是对面，“x”与“y”是对面，∴2x﹣3＝﹣5，y＝﹣x，解得x＝﹣1，y＝1，∴2x﹣y＝﹣2﹣1＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查的是正方体相对面上的文字，掌握正方体的展开图中相对面不存在公共点是解题的关键．18．如图，一个5×5×5的正方体，先在它的前后方向正中央开凿一个“十字形”的孔（打通），再在它的上下方向正中央也开凿一个“十字形”的孔（打通），最后在它的左右方向正中央开凿一个“十字形”的孔（打通），这样得到一个被凿空了的几何体，则所得几何体的体积为76．【分析】从5×5×5的正方体的8个顶点进行分割，可得8个2×2×2的正方体，再加上12条棱中间的12个小正方体，依此求得小正方体的个数，再乘以1个小正方体的体积即可求解．【解答】解：如图所示：该正方体可按如图方式分割，则体积为（1×1×1）×（8×8+12）＝1×76＝76故所得几何体的体积为76．故答案为：76．【点评】考查了截一个几何体，正方体的体积，关键是得到小正方体的个数．三．解答题（共8小题）19．[问题提出]一个边长为ncm（n≥3）的正方体木块，在它的表面涂上颜色，然后切成边长为1cm的小正方体木块，没有涂上颜色的有多少块？只有一面涂上颜色的有多少块？有两面涂上颜色的有多少块？有三面涂上颜色的多少块？[问题探究]我们先从特殊的情况入手（1）当n＝3时，如图（1）没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有1×1×1＝1个小正方体；一面涂色的：在面上，每个面上有1个，共有6个；两面涂色的：在棱上，每个棱上有1个，共有12个；三面涂色的：在顶点处，每个顶点处有1个，共有8个．（2）当n＝4时，如图（2）没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有2×2×2＝8个小正方体：一面涂色的：在面上，每个面上有4个，6个面，共有24个；两面涂色的：在棱上，每个楼上有2个，共有24个；三面涂色的：在顶点处，每个顶点处有1个，共有8个．…[问题解决]一个边长为ncm（n≥3）的正方体木块，没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有（n﹣2）3个小正方体；一面涂色的：在面上，共有6（n﹣2）2个；两面涂色的：在棱上，共有12（n﹣2）个；三面涂色的：在顶点处，共8个．[问题应用]一个大的正方体，在它的表面涂上颜色，然后把它切成棱长1cm的小正方体，发现有两面涂色的小正方体有96个，请你求出这个大正方体的体积．[问题拓展]把一个长16cm、宽10cm、高8cm的长方体表面涂上红漆，然后把它切成棱长2cm的小正方体，没有面涂色有几块，一面涂色有几块，两面涂色有几块，三面涂色有几块？【分析】[问题解决]依据正方体内部的小正方体的体积之和，可得没有涂色的正方体数量；依据正方体每个面上的内部的小正方体的面积，即可得到一面涂色的正方体的数量；依据正方体的棱上处于中间部分的小正方体的数量，可得两面涂色的小正方体数量；依据正方体的顶点数量，即可得到三面涂色的小正方体的数量；[问题应用]设正方体棱长为ncm，依据有两面涂色的小正方体有96个，可得方程12（n ﹣2）＝96，再根据棱长即可得到体积；[问题拓展]依据一个长16cm、宽10cm、高8cm的长方体表面涂上红漆，把它切成棱长2cm的小正方体，类比上述问题的解决方法，即可得到没有面涂色有几块，一面涂色有几块，两面涂色有几块，三面涂色有几块．【解答】解：[问题解决]一个边长为ncm（n≥3）的正方体木块，没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有（n﹣2）3个小正方体；一面涂色的：在面上，共有6（n﹣2）2个；两面涂色的：在棱上，共有12（n﹣2）个；三面涂色的：在顶点处，共8个．故答案为：（n﹣2）3，6（n﹣2）2，12（n﹣2），8；[问题应用]设正方体棱长为ncm，∵有两面涂色的小正方体有96个，∴12（n﹣2）＝96，∴n＝10，∴这个大正方体的体积为1000cm3．[问题拓展]把一个长16cm、宽10cm、高8cm的长方体表面涂上红漆，把它切成棱长2cm的小正方体，没有面涂色有（16﹣4）（10﹣4）（8﹣4）÷8＝36块，一面涂色有2[（16﹣4）（8﹣4）÷4+（16﹣4）（10﹣4）÷4+（10﹣4）（8﹣4）÷4]＝72块，两面涂色有4[（16﹣4）÷2+（10﹣4）÷2+（8﹣4）÷2]＝44块，三面涂色有8块．【点评】本题主要考查了正方体，解决问题的关键是抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题．20．在下列两行图形中，分别找出相互对应的图形，并用线连接．【分析】利用面动成体解答即可．【解答】解：如图，【点评】本题主要考查了点，线，面，体，解题的关键是培养学生的空间想象能力．21．如图所示的五棱柱的底面边长都是5cm，侧棱长12cm，它有多少个面？它的所有侧面的面积之和是多少？【分析】结合图形、根据矩形的面积公式计算即可．【解答】解：这个五棱柱有7个面，它的所有侧面的面积之和是：5×12×5＝300（cm2），答：这个五棱柱有7个面，它的所有侧面的面积之和是300cm2．【点评】本题考查的是几何体的表面积的计算，认识立体图形是解题的关键．22．小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：（1）小明总共剪开了8条棱．（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．（3）小明说：他所剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍．现在已知这个长方体纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．【分析】（1）根据平面图形得出剪开棱的条数，（2）根据长方体的展开图的情况可知有四种情况，（3）设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，根据棱长的和是880cm，列出方程可求出长宽高，即可求出长方体纸盒的体积．【解答】解（1）小明共剪了8条棱，故答案为：8．（2）如图，四种情况．（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，∴设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，∵长方体纸盒所有棱长的和是880cm，∴4（a+5a+5a）＝880，解得a＝20cm，∴这个长方体纸盒的体积为：20×100×100＝200000立方厘米．【点评】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．23．已知∠ABC．（1）用尺规作图：作∠DEF，使∠DEF＝∠ABC（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在上述作图过程中，得到哪些相等的线段？【分析】（1）首先作射线DH；再以B为圆心，任意长为半径作弧交AB、BC于点A′、。
人教版七年级上数学几何初步--线段与角的经典题(含答案)
几何初步--线段与角的经典题一．解答题（共45小题）1．如图，已知线段AB（1）请用尺规按下列要求作图：①延长线段AB到C，使BC=AB，②延长线段BA到D，使AD=AC（不写画法，当要保留画图痕迹）（2）请直接回答线段BD与线段AC长度之间的大小关系（3）如果AB=2cm，请求出线段BD和CD的长度．2．已知线段MN=3cm，在线段MN上取一点P，使PM=PN；延长线段MN到点A，使AN=MN；延长线段NM到点B，使BN=3BM．（1）根据题意，画出图形；（2）求线段AB的长；（3）试说明点P是哪些线段的中点．3．如图（1），线段上有3个点时，线段共有3 条；如图（2）线段上有4个点时，线段共有6条；如图（3）线段上有5个点时，线段共有10条．（1）当线段上有6个点时，线段共有条；（2）当线段上有n个点时，线段共有条；（用n的代数式表示）（3）当n=100时，线段共有条．4．已知，如图B，C两点把线段AD分成3：5：4三部分，M为AD的中点，BM=9cm，求CM和AD的长5．如图，已知线段AB=16 cm，点M在AB上，AM：BM=1：3，P、Q分别以AM，AB的中点，求PQ的值．6．在数轴上点A表示的数是8，B是数轴上一点，且AB=12，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）①写出数轴上点B表示的数，②写出点P表示的数（用含t的代数式表示）（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速前进，若点P，Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？（3）在（2）的情况下，若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请画出图形，并求出线段MN的长．．7．已知线段AB，在AB的延长线上取一点C，使BC=2AB，在BA的延长线上取一点D，使DA=AB，取AB中点E，若DE=7.5cm，求DC的长．8．如图，已知线段AB的长为x，延长线段AB至点C，使BC=AB．（1）用含x的代数式表示线段BC的长和AC的长；（2）取线段AC的中点D，若DB=3，求x的值．9．如图，点C是线段AB上一点，点M，N，P分别是线段AC，BC，AB的中点．（1）若AB=12cm，则MN的长度是；（2）若AC=3cm，CP=1cm，求线段PN的长度．10．已知线段AB=6，在直线AB上取一点P，恰好使AP=2PB，点Q为PB的中点，求线段AQ的长．11．如图，延长线段AB到点F，延长线BA到点E，点M、N分别是线段AE、BF 的中点，若AE：AB：BF=1：2：3，且EF=18cm，求线段MN的长．12．如图，线段AC=20cm，BC=3AB，N线段BC的中点，M是线段BN上的一点，且BM：MN=2：3．求线段MN的长度．13．如图，B是线段AD上一动点，沿A→D以2cm/s的速度运动，C是线段BD 的中点，AD=10cm，设点B运动时间为t秒．（1）当t=2时，①AB=cm．②求线段CD的长度．（2）在运动过程中，若AB的中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC 的长；若发生变化，请说明理由．14．如图，已知线段AB和CD的公共部分为BD，且BD=AB=CD，线段AB、CD的中点E、F之间距离是20，求AB、CD的长．15．如图，点C在线段AB上，AC=8cm，CB=6cm，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）求线段MN的长；（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=a cm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=b cm，M、N分别为AC、BC 的中点，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；16．如图所示，点A在线段CB上，AC=AB，点D是线段BC的中点．若CD=3，求线段AD的长．17．（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；（2）模型构建：如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；（3）拓展应用：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握多少次手？请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．18．如图，点A、M、B、N、C在同一直线上顺次排列，点M是线段AB的中点，点N是线段MC的中点，点N在点B的右边．（1）填空：图中共有线段条；（2）若AB=6，MC=7，求线段BN的长；（3）若AB=a，MC=7，将线段BN的长用含a的代数式表示出来．19．定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段AB上，且AC：CB=2：1，则点C 是线段AB的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个．（1）已知：如图2，DE=15cm，点P是DE的三等分点，求DP的长．（2）已知，线段AB=15cm，如图3，点P从点A出发以每秒1cm的速度在射线AB上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒2cm，设运动时间为t秒．①若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值．②若点P点Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值．20．如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）填空：①A、B两点间的距离AB=，线段AB的中点表示的数为；②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为．（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；（3）求当t为何值时，PQ=AB；（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．21．已知数轴上有三点A、B、C，其位置如图1所示，数轴上点B表示的数为﹣40，AB=120，AC=2AB（1）图1中点C在数轴上对应的数是（2）如图2，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒，点P在点Q左侧运动时，经过5秒，点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等，求动点Q的速度（3）如图3，若T点是A点右侧一点，点T在数轴上所表示的数为n，TB的中点为M，N为TA的4等分点且靠近于T点，若TM=2AN，求n的值．22．如图，线段AB=12，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．（1）出发多少秒后，PB=2AM？（2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM﹣BP为定值．（3）当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；②MA+PN的值不变，选择一个正确的结论，并求出其值．23．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度；（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC=a，其他条件不变，求MN的长度；（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？25．【新知理解】如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．（1）线段的中点这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）．（2）若AB=12cm，点C是线段AB的巧点，则AC=cm；【解决问题】（3）如图②，已知AB=12cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B 匀速移动：点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由26．如图，C是线段AB上一点，AB=20cm，BC=8cm，点P从A出发，以2cm/s 的速度沿AB向右运动，终点为B；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA 向左运动，终点为A．已知P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运功．设点P运动时间为xs．（1）AC=cm；（2）当x=s时，P、Q重合；（3）是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．27．有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，A、B两点之间的距离是90米．甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发到终点C，乙机器人始终以50米/分的速度行走，乙行走9分钟到达C点．设两机器人出发时间为t（分钟），当t=3分钟时，甲追上乙．前4分钟甲机器人的速度保持不变，在4≤t≤6分钟时，甲的速度变为另一数值，且甲、乙两机器人之间的距离保持不变．请解答下面问题：（1）B、C两点之间的距离是米．在4≤t≤6分钟时，甲机器人的速度为米/分．（2）求甲机器人前3分钟的速度为多少米/分？（3）求两机器人前6分钟内出发多长时间相距28米？（4）若6分钟后，甲机器人的速度又恢复为原来出发时的速度，直接写出当t ＞6时，甲、乙两机器人之间的距离S．（用含t的代数式表示）28．如图，∠AOB=∠COD=90°，OC平分∠AOB，∠BOD=3∠DOE．试求∠COE的度数．29．已知∠AOB=130°，∠COD=80°，OM，ON分别是∠AOB和∠COD的平分线．（1）如果OA，OC重合，且OD在∠AOB的内部，如图1，求∠MON的度数；（2）如果将图1中的∠COD绕点O点顺时针旋转n°（0＜n＜155），如图2，①∠MON与旋转度数n°有怎样的数量关系？说明理由；②当n为多少时，∠MON为直角？（3）如果∠AOB的位置和大小不变，∠COD的边OD的位置不变，改变∠COD 的大小；将图1中的OA绕着O点顺时针旋转m°（0＜m＜100），如图3，∠MON与旋转度数m°有怎样的数量关系？说明理由．24．以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=60°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE=90°）（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE=°；（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线；（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到某个位置时，若恰好∠COD=∠AOE，求∠BOD的度数？30．已知，O为直线AB上一点，∠DOE=90°．（1）如图1，若∠AOC=130°，OD平分∠AOC．①求∠BOD的度数；②请通过计算说明OE是否平分∠BOC．（2）如图2，若∠BOE：∠AOE=2：7，求∠AOD的度数．31．如图①，已知线段AB=20cm，CD=2cm，线段CD在线段AB上运动，E、F 分别是AC、BD的中点．（1）若AC=4cm，则EF=cm．（2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变请求出EF的长度，如果变化，请说明理由．（3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②已知∠COD在∠AOB内部转动，OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD，则∠EOF、∠AOB和∠COD有何关系，请直接写出．32．点O 是直线AB上一点，∠COD 是直角，OE平分∠BOC．（1）①如图1，若∠DOE=25°，求∠AOC 的度数；②如图2，若∠DOE=α，直接写出∠AOC的度数（用含α的式子表示）；（2）将图1中的∠COD 绕点O按顺时针方向旋转至图 2 所示位置．探究∠DOE 与∠AOC 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．33．探究题：如图①，已知线段AB=14cm，点C为AB上的一个动点，点D、E 分别是AC和BC的中点．（1）若点C恰好是AB中点，则DE=cm；（2）若AC=4cm，求DE的长；（3）试利用“字母代替数”的方法，设AC=a cm请说明不论a取何值（a不超过14cm），DE的长不变；（4）知识迁移：如图②，已知∠AOB=120°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE=60°与射线OC的位置无关．34．如图①，∠AOB=∠COD=90°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．（1）已知∠BOC=20°，且∠AOD小于平角，求∠MON的度数；（2）若（1）中∠BOC=α，其它条件不变，求∠MON的度数；（3）如图②，若∠BOC=α，且∠AOD大于平角，其它条件不变，求∠MON的度数．35．已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．初步尝试：（1）如图1，若∠AOC=30°．求∠DOE的度数；类比探究：（2）在图1中，若∠AOC=a，直接写出∠DOE的度数（用含a的代数式表示）；解决问题：（3）如图2时，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC，探究∠AOC和∠DOE的度数之间的数量关系．直接写出你的结论．36．如图，∠AOB=100°，∠AOC为锐角，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC．（1）如果∠AOC=40°，求∠MON的度数；（2）如果∠AOC为任意一个锐角，你能求出∠MON的度数吗？若能，请求出来；若不能，说明为什么？37．已知：∠AOD=160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．则∠MON的大小为；（2）如图2，若∠BOC=20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．求∠MON的大小；（3）在（2）的条件下，若∠AOB=10°，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM：∠DON=2：3，求t的值．38．如图，∠AOB=20°，∠AOE=110°，OB平分∠AOC，OD平分∠AOE．（1）求∠COD的度数；（2）若以点O为观察中心，OA为正东方向，求射线OD的方位角；（3）若∠AOE的两边OA，OE分别以每秒5°和每秒3°的速度，同时绕点O按逆时针方向旋转，当OA回到原处时，OA，OE停止运动，则经过多少秒时，∠AOE=30°？39．如图，直角三角板的直角顶点O在直线AB上，OC，OD是三角板的两条直角边，OE平分∠AOD．（1）若∠COE=20°，则∠BOD=；若∠COE=α，则∠BOD=（用含α的代数式表示）（2）当三角板绕O逆时针旋转到图2的位置时，其它条件不变，试猜测∠COE 与∠BOD之间有怎样的数量关系？并说明理由．40．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=110°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN=30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．求∠BON的度数．（2）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为（直接写出结果）．（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC的数量关系，并说明理由．41．阅读解答过程，回答问题：如图，OC在∠AOB内，∠AOB和∠COD都是直角，且∠BOC=30°，求∠AOD的度数．解：过O作射线OM，使点M，O，A在同一直线上，因为∠MOD+∠BOD=90°，∠BOC+∠BOD=90°，所以∠BOC=∠MOD，所以∠AOD=180°﹣∠MOD=180°﹣∠BOC=180°﹣30°=150°．（1）如果∠BOC=60°，那么∠AOD等于多少度？如果∠BOC=n°，那么∠AOD等于多少度？（2）如果∠AOB=∠DOC=x°，∠AOD=y°，求∠BOC的度数．42．已知：∠AOD=160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；（2）如图2，若∠BOC=20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．当∠BOC绕点O 在∠AOD内旋转时求∠MON的大小；（3）在（2）的条件下，若∠AOB=10°，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM：∠DON=2：3，求t的值．43．如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．（1）若∠DCE=25°，∠ACB=；若∠ACB=130°，则∠DCE=；（2）猜想∠ACB与∠DCE大大小有何特殊关系，并说明理由；（3）如图（b），若是两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB 与∠CAE的大小有何关系，请说明理由；（4）已知∠AOB=α，∠COD=β（α、β都是锐角），如图（c），若把它们的顶点O 重合在一起，则∠AOD与∠BOC的大小有何关系，请说明理由．44．如图，两条直线AB、CD相交于点O，且∠AOC=∠AOD，射线OM（与射线OB重合）绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON（与射线OD重合）绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s．两射线OM、ON同时运动，运动时间为t秒．（本题出现的角均指小于平角的角）（1）图中一定有个直角；当t=2时，∠MON的度数为，∠BON 的度数为，∠MOC的度数为．（2）当0＜t＜12时，若∠AOM=3∠AON﹣60°，试求出t的值；（3）当0＜t＜6时，探究的值，在t满足怎样的条件是定值，在t满足怎样的条件不是定值．45．已知，如图（1），∠AOB和∠COD共顶点O，OB和OD重合，OM为∠AOD 的平分线，ON为∠BOC的平分线，∠AOB=α，∠COD=β（1）如图（2），若α=90°，β=30°，则，∠MON=（2）若将∠COD绕O逆时针旋转至图（3）的位置，求∠MON（用α、β表示）（3）如图（4），若α=2β，∠COD绕O逆时针旋转，转速为3°/秒，∠AOB绕O 同时逆时针旋转，转速为1°/秒（转到OC与OA共线时停止运动），且OE平分∠BOD，请判断∠COE与∠AOD的数量关系并说明理由．线段与角的经典题一．解答题（共45小题）1．【解答】解：（1）如图所示，BC、AD即为所求；（2）由图可得，BD＞AC；（3）∵AB=2cm，∴AC=2AB=4cm，∴AD=4cm，∴BD=4+2=6cm，∴CD=2AD=8cm．2．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵MN=3cm，AN=MN，∴AN=1.5cm，∵BN=3BM，∴BM=MN=1.5cm，∴AB=BM+MN+AN=6cm；（3）∵点P在线段MN上，PM=PN，∴点P是线段MN 的中点，∵BM=AN=1.5cm，PM=PN=1.5cm，∴BP=AP=3cm，∴点P是线段AB 的中点．3．【解答】解：（1）当线段上有6个点时，线段共有=15条；（2）当线段（3）当n=100时，线段共有=4950上有n个点时，线段共有条；条；故答案为：15，，4950．4．【解答】解：设AB=3xcm，BC=5xcm，CD=4xcm，∴AD=AB+BC+CD=12xcm，∵M是AD的中点，∴AM=MD=AD=6xcm，∴BM=AM﹣AB=6x﹣3x=3xcm，∵BM=9 cm，∴3x=9，解得，x=3，∴CM=MD﹣CD=6x﹣4x=2x=2×3=6（cm），AD=12x=12×3=36（cm）．5．【解答】解：∵AB=16cm，AM：BM=1：3，∴AM=4cm．BM=12cm，∵P，Q 分别为AM，AB的中点，∴AP=AM=2cm，AQ=AB=8cm，∴PQ=AQ﹣AP=6cm．6．【解答】解：（1）①8﹣12=﹣4，8=12=20，∴数轴上点B表示的数﹣4或20，②动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左运动，则点P表示的数8﹣6t；（2）分两种情况：当点B在点A的左侧时，点P运动追上点Q，即8﹣6t=﹣4﹣4t，解得t=6；当点B在点A的右侧时，点P运动追上点Q，即8﹣6t=20﹣4t，解得t=﹣6（舍去），∴点P运动6秒追上点Q；（3）∵M为AP的中点，∴M点表示的数为（8+8﹣6t）÷2=8﹣3t，∵N为PB的中点，∴N点表示的数为（﹣4+8﹣6t）÷2=2﹣3t，∴MN=8﹣3t﹣（2﹣3t）=6，∴点P在运动的过程中，MN的长度不会发生变化．7．【解答】解：∵E是AB中点，∴AE=EB，设AE=x，则AB=2x，又∵DA=AB，∴DA=2x，∵BC=2AB，∴BC=4x，∵DE=7.5cm，∴3x=7.5，解得：x=2.5，∴DC=DA+AB+BC=2x+2x+4x=8x=8×2.5=20（cm）．8．【解答】解：（1）∵AB=x，BC=AB，∴BC=x，∵AC=AB+BC，∴AC=x+x= x．（2）∵AD=DC=AC，AC=x，∴DC=x，∵DB=3，BC=x，∵DB=DC﹣BC，∴3=x﹣x，∴x=12．9．【解答】解：（1）∵M、N分别是AC、BC的中点，∴MC=AC，CN=BC，∴MN=MC+CN=AC+BC=（AC+BC）=AB=6cm．故答案为6cm；（2）∵AC=3cm，CP=1cm，∴AP=AC+CP=4cm，∵P是线段AB的中点，∴AB=2AP=8cm．∴CB=AB ﹣AC=5cm，∵N是线段CB的中点，CN=CB=2.5cm，∴PN=CN﹣CP=1.5cm．10．【解答】解：如图1所示，∵AP=2PB，AB=6，∴PB=AB=×6=2，AP=AB=×6=4；∵点Q为PB的中点，∴PQ=QB=PB=×2=1；∴AQ=AP+PQ=4+1=5．如图2所示，∵AP=2PB，AB=6，∴AB=BP=6，∵点Q为PB的中点，∴BQ=3，∴AQ=AB+BQ=6+3=9．故AQ的长度为5或9．11．【解答】解：设EA=xcm，则AB=2xcm，BF=3xcm，EF=6xcm．∵点M，N分别是线段EA，BF的中点，∴EM=MA=xcm，BN=NF=xcm．∵AB=2xcm，∴MN=MA+AB+BN=4xcm．∵EF=18cm，∴6x=18，解得：x=3，∴MN=4x=12cm．12．【解答】解：∵AC=20cm，BC=3AB，∴BC=×20=15cm，∴AB=5cm，∵N为BC的中点，∴BN=CN=7.5cm，∵BM：MN=2：3，∴MN=×7.5=4.5cm．13．【解答】解：（1）①∵B是线段AD上一动点，沿A→D以2cm/s的速度运动，∴当t=2时，AB=2×2=4cm．故答案为：4；②∵AD=10cm，AB=4cm，∴BD=10﹣4=6cm，∵C是线段BD的中点，∴CD=BD=×6=3cm；（2）不变；∵AB 中点为E，C是线段BD的中点，∴EB=AB，BC=BD，∴EC=EB+BC=（AB+BD）=AD=×10=5cm．14．【解答】解：设BD=x，则AB=3x，CD=4x．∵点E、点F分别为AB、CD的中点，∴AE=AB=1.5x，CF=CD=2x，AC=AB+CD﹣BD=3x+4x﹣x=6x．∴EF=AC﹣AE﹣CF=6x﹣1.5x﹣2x=2.5x．∵EF=20，∴2.5x=20，解得：x=8．∴AB=3x=24，CD=4x=32．15．【解答】解：（1）∵点M、N分别是AC、BC的中点，AC=8cm，CB=6cm，∴CM=AC=4cm，CN=BC=3cm，∴MN=CM+CN=4+3=7cm，即线段MN的长是7cm；（2）∵点M、N分别是AC、BC的中点，AC+CB=acm，∴CM=AC，CN= BC，∴MN=CM+CN=AC+BC=（AC+BC）=acm，即线段MN的长是acm；（3）如图：MN=b，理由是：∵点M、N分别是AC、BC的中点，AC﹣CB=bcm，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=CM ﹣CN=AC﹣BC=（AC﹣BC）=bcm，即线段MN的长是bcm．16．【解答】解：∵点D是线段BC的中点，CD=3，∴BC=2CD=6，∵AC=AB，AC+AB=CB，∴AC=2，AB=4，∴AD=CD﹣AC=3﹣2=1，即线段AD的长是1．17．【解答】解：（1）∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，以点D为左端点的线段有线段DB，∴共有3+2+1=6条线段；（2）设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，则x=（m﹣1）+（m﹣2）+（m﹣3）+…+3+2+1，∴倒序排列有x=1+2+3+…+（m﹣3）+（m﹣2）+（m﹣1），∴2x=mm+m+…+m=m（m﹣1），∴x=m（m ﹣1）；（3）把45位同学看作直线上的45个点，每两位同学之间的一握手看作为一条线段，直线上45个点所构成的线段条数就等于握手的次数，因此一共要进行×45×（45﹣1）=990次握手．18．【解答】解：（1）图中共有线段1+2+3+4=10条；故答案为：10；（2）∵AB=6，点M是线段AB的中点，∴BM=AB=3，∵MC=7，点N是线段MC的中点，∴NC=MC=3.5，BC=MC﹣BM=7﹣3=4，∴BN=BC﹣NC=4﹣3.5=0.5；（3）∵AB=a，点M是线段AB的中点，∴BM=AB=a，∵MC=7，点N是线段MC的中点，∴NC=MC=3.5，BC=MC﹣BM=7﹣a，∴BN=BC﹣NC=7﹣a﹣3.5=3.5﹣a．19．【解答】解：（1）当DP=2PE时，DP=DE=10cm；当2DP=PE时，DP=DE=5cm．综（2）①根据题意得：（1+2）t=15，解得：t=5．答：上所述：DP的长为5cm或10cm．当t=5秒时，点P与点Q重合．②（I）点P、Q重合前：当2AP=PQ时，有t+2t+2t=15，解得：t=3；当AP=2PQ时，有t+t+2t=15，解得：t=；（II）点P、Q重合后，当AP=2PQ时，有t=2（t﹣5），解得：t=10；当2AP=PQ时，有2t=（t﹣5），解得：t=﹣5（不合题意，舍去）．综上所述：当t=3秒、秒或10秒时，点P是线段AQ的三等分点．20．【解答】解：（1）①10，3；②﹣2+3t，8﹣2t；（2）∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等∴﹣2+3t=8﹣2t，解得：t=2，∴当t=2时，P、Q相遇，此时，﹣2+3t=﹣2+3×2=4，∴相遇点表示的数为4；（3）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，∴PQ=|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|=|5t﹣10|，又PQ=AB=×10=5，∴|5t﹣10|=5，解得：t=1或3，∴当：t=1或3时，PQ=AB；（4）∵点M表示的数为=﹣2，点N表示的数为=+3，∴MN=|（﹣2）﹣（+3）|=|﹣2﹣﹣3|=5．21．【解答】解：（1）∵AB=120，点B表示的数为﹣40，∴点A表示的数为80．∵AC=2AB，∴点C表示的数为80﹣120×2=﹣160．（2）设点R的速度为x个单位长度/秒，则点P的速度为3x个单位长度/秒，点Q的速度为（2x﹣5）个单位长度/秒，当点P在点Q左边时，P、R相遇时QP=QR，5（3x+x）=AC=240，解得x=12，2x﹣5=24﹣5=19，∴点Q的速度为19个单位长度/秒，（3）设AT=y，∵TB的中点为M，∴TM=TB=（120+y）=60+y，∵N为TA的4等分点且靠近于T点，∴AN=y，∵TM=2AN，∴60+y=y，解得x=60，∴n=80+60=140．故答案为：﹣160．22．【解答】解：（1）如图1，由题意得：AP=2t，则PB=12﹣2t，∵M为AP的中点，∴AM=t，由PB=2AM得：12﹣2t=2t，t=3，答：出发3秒后，PB=2AM；（2）如图1，当P在线段AB上运动时，BM=12﹣t，2BM﹣BP=2×（12﹣t）﹣（12﹣2t）=24﹣2t﹣12+2t=12，∴当P在线段AB上运动时，2BM﹣BP为定值12；（3）选①；如图2，由题意得：MA=t，PB=2t﹣12，∵N为BP的中点，∴PN=BP=（2t﹣12）=t﹣6，①MN=PA﹣MA﹣PN=2t﹣t﹣（t﹣6）=6，∴当P在AB延长线上运动时，MN长度不变；所以选项①叙述正确；②MA+PN=t+（t﹣6）=2t﹣6，∴当P在AB延长线上运动时，MA+PN的值会改变．所以选项②叙述不正确．23．【解答】解：（1）∵线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC 的中点，∴CM=AC=5厘米，CN=BC=3厘米，∴MN=CM+CN=8厘米；（2）∵点M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=CM+CN= AC+BC=a；（3）①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点，得10﹣2t=6﹣t，解得t=4；②当5＜t≤时，P为线段CQ的中点，2t﹣10=16﹣3t，解得t=；③当＜t≤6时，Q为线段PC的中点，6﹣t=3t﹣16，解得t=；④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点，2t﹣10=t﹣6，解得t=4（舍），综上所述：t=4或或．24．【解答】解：（1）∵∠BOE=∠COE+∠COB=90°，又∵∠COB=60°，∴∠COE=30°，故答案为：30；（2）∵OE 平分∠AOC，∴∠COE=∠AOE=COA，∵∠EOD=90°，∴∠AOE+∠DOB=90°，∠COE+∠COD=90°，∴∠COD=∠DOB，∴OD所在射线是∠BOC的平分线；（3）设∠COD=x°，则∠AOE=5x°，∵∠DOE=90°，∠BOC=60°，∴6x=30或5x+90﹣x=120∴x=5或7.5，即∠COD=5°或7.5°∴∠BOD=65°或52.5°．25．【解答】解：（1）∵线段的长是线段中线长度的2倍，∴线段的中点是这条线段的“巧点”．故答案为：是；（2）∵AB=12cm，点C是线段AB的巧点，∴AC=12×=4cm或AC=12×=6cm或AC=12×=8cm；故答案为：4或6或8；（3）t秒后，AP=2t，AQ=12﹣t（0≤t≤6）①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除．②当P为A、Q的巧点时，Ⅰ．AP=AQ，即，解得s；Ⅱ．AP=AQ，即，解得s；Ⅲ．AP=AQ，即，解得t=3s；③当Q为A、P的巧点时，Ⅰ．AQ=AP，即，解得s（舍去）；Ⅱ．AQ=AP，即，解得t=6s；Ⅲ．AQ=AP，即，解得s．26．【解答】解：（1）AC=AB﹣BC=20﹣8=12（cm），（2）20÷（2+1）=（s）．故当x=s时，P、Q重合；（3）存在，①C是线段PQ的中点，得2x+20﹣x=2×12，解得x=4；②P为线段CQ的中点，得12+20﹣x=2×2x，解得x=；③Q为线段PC的中点，得2x+10=2×（20﹣x），解得x=7；综上所述：x=4或x=或x=7．故答案为：12；．27．【解答】解：（1）∵乙机器人从B点出发，以50米/分的速度行走9分钟到达C点，∴B、C两点之间的距离是50×9=450（米）．∵在4≤t≤6分钟时，甲、乙两机器人之间的距离保持不变，∴在4≤t≤6分钟时，甲机器人的速度为50米/分．（2）设甲机器人前3分钟的速度为x米/分，则3x﹣50×3=90，解得x=80．答：甲机器人前3分钟的速度为80米/分．（3）当t=4时，两人相距80﹣50=30米，且4≤t≤6时，两人相距总是30米．分三种情况说明：①甲在AB间时，90﹣80t+50t=28，解得t=＞，此情形不存在．②甲乙均在B右侧，且甲在乙后时，90+50t﹣80t=28，解得t=．③甲乙均在B右侧，且乙在甲后时，80t﹣90﹣50t=28，解得t=．答：两机器人前6分钟内出发分钟或分钟相距28米．（4）S=．故答案为：450，50；28．【解答】解：∵∠AOB=90°，OC平分∠AOB，∴∠COB=∠AOB=45°，∵∠COD=90°，∴∠BOD=45°，∵∠BOD=3∠DOE，∴∠DOE=15°，∴∠BOE=30°，∴∠COE=∠COB+∠BOE=45°+30°=75°．29．【解答】解：（1）如图1，∵OM平分∠AOB，∠AOB=130°，∴∠AOM=∠AOB=×130°=65°，∵ON平分∠COD，∠COD=80°，∴∠AON=∠COD=×80°=40°，∴∠MON=∠AOM﹣∠AON=65°﹣40°=25°；（2）①如图2中，∠MON=∠COM﹣∠NOC=65°+n°﹣40°=n°+25°．②当∠MON=90°时，n°+25°=90°，∴n=65°．（3）如图3中，∠MON=∠COM﹣∠CON=65°+m°﹣（80°+m°）=m°+25°．30．【解答】解：（1）①∵OD平分∠AOC，∠AOC=130°，∴∠AOD=∠DOC=∠AOC=×130°=65°，∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣65°=115°；②∵∠DOE=90°，又∵∠DOC=65°，∴∠COE=∠DOE﹣∠DOC=90°﹣65°=25°，∵∠BOD=115°，∠DOE=90°，∴∠BOE=∠BOD﹣∠DOE=115°﹣90°=25°，∴∠COE=∠BOE，即OE平分∠BOC．（2）若∠BOE：∠AOE=2：7，设∠BOE=2x，则∠AOE=7x，又∵∠BOE+∠AOE=180°，∴2x+7x=180°，∴x=20°，∠BOE=2x=40°，∵∠DOE=90°，∴∠AOD=90°﹣40°=50°．31．【解答】解：（1）∵AB=20cm，CD=2cm，AC=4cm，∴DB=14cm，∵E、F分别是AC、BD的中点，∴CE=AC=2cm，DF=DB=7cm，∴EF=2+2+7=11cm，故答案为：11；（2）EF的长度不变．∵E、F分别是AC、BD的中点，∴EC= AC，DF=DB，∴EF=EC+CD+DF=AC+CD+DB===，∵AB=20cm，CD=2cm，∴EF==11cm；（3）．理由：∵OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD，∴∠COE=∠AOC，∠DOF=∠BOD，∴∠EOF=∠COE+∠COD+∠DOF=∠AOC+∠COD+∠BOD=（∠AOC+∠BOD）+∠COD=（∠AOB﹣∠COD）+∠COD=（∠AOB+∠COD）．故答案为：．32．【解答】解：（1）①∵∠COD=90°，∠DOE=25°，∴∠COE=∠COD﹣∠DOE=90°﹣25°=65°，又∵OE平分∠BOC，∴∠BOC=2∠COE=130°，∴∠AOC=180°﹣∠BOC=180°﹣130°=50°；②∵∠COD=90°，∠DOE=α，∴∠COE=∠COD﹣∠DOE=90°﹣α，又∵OE平分∠BOC，∴∠BOC=2∠COE=180°﹣2α，∴∠AOC=180°﹣∠BOC=180°﹣（180°﹣2α）=2α；（2）∠DOE=∠AOC，理由如下：如图2，∵∠BOC=180°﹣∠AOC，又∵OE平分∠BOC∴∠COE=∠BOC=（180°﹣∠AOC）=90°﹣∠AOC，又∵∠COD=90°，∴∠DOE=90°﹣∠COE=90°﹣（90°﹣∠AOC）=∠AOC．33．【解答】解：（1）∵AB=14cm，点D、E分别是AC和BC的中点，∴DE=DC+EC= AC+BC=AB=7cm故答案为：7；（2）∵AC=4cm，AB=14cm，∴BC=AB﹣AC=10cm，又∵D为AC中点，E为BC中点，∴CD=2cm，CE=5cm，∴DE=CD+CE=7cm；（3）∵AC=acm，∴BC=AB﹣AC=（14﹣a）cm，又∵D为AC 中点，E为BC中点，∴CD=acm，CE=（14﹣a）cm，∴DE=CD+CE=a+（14﹣a）=7cm，∴无论a取何值（不超过14）DE的长不变；（4）设∠AOC=α，∠BOC=120﹣α，∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，∴∠COD=，∠COE=（120°﹣α），∴∠DOE=∠COD+∠COE=+（120°﹣α）=60°，∴∠DOE=60°，与OC位置无关．34．【解答】解：（1）∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=20°，∴∠AOC=∠BOD=90°﹣20°=70°．∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠MOC=∠BON=35°，∴∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON=35°+20°+35°=90°；（2）∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=α，∴∠AOC=∠BOD=90°﹣α．∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠MOC=∠BON=45°﹣α，∴∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON=45°﹣α+α+45°﹣=90°；（3）∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=α，∴∠AOC=∠BOD=90°+α．∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠MOC=∠BON=45°+α，∴∠MON=∠MOC﹣∠COB+∠BON=45°+α﹣α+45°+=90°．35．【解答】解：（1）由已知得∠BOC=180°﹣∠AOC=150°，又∠COD是直角，OE 平分∠BOC，∴∠DOE=∠COD﹣∠BOC=90°﹣×150°=15°．（2）由（1）知∠DOE=∠COD﹣∠BOC，∴∠DOE=90°﹣（180°﹣∠AOC）=90°﹣90°+∠AOC=∠AOC=α．（3）∠AOC=2∠DOE．理由如下：∵∠COD是直角，OE 平分∠BOC，∴∠COE=∠BOE，∠COB=2∠COE，∴∠AOC=180°﹣∠COB=180°﹣2∠COE=2（90°﹣∠COE），∵∠DOE=90°﹣∠COE，∴∠AOC=2∠DOE．36．【解答】解：（1）因为OM平分∠BOC，ON平分∠AOC所以∠MOC=∠BOC，∠NOC=∠AOC 所以∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（∠BOC﹣∠AOC）=（100°+40°﹣40°）=50°．（2）可以．同理，∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（∠BOC﹣∠AOC）=（∠BOA+∠AOC﹣∠AOC）=∠BOA=50°．37．【解答】解：（1）因为∠AOD=160°OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，所以∠MOB=∠AOB，∠BON=∠BOD，即∠MON=∠MOB+∠BON=∠AOB+∠BOD=（∠AOB+∠BOD）=∠AOD=80°，故答案为：80°；（2）因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，所以∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，即∠MON=∠MOC+∠BON﹣∠BOC=∠AOC+∠BOD﹣∠BOC=（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC=（∠AOD+∠BOC）﹣∠BOC=×180°﹣20°=70°；（3）∵射线OB从OA 逆时针以2°每秒的旋转t秒，∠COB=20°，∴∠AOC=∠AOB+∠COB=2t°+10°+20°=2t°+30°．∵射线OM平分∠AOC，∴∠AOM=∠AOC=t°+15°．∵∠BOD=∠AOD﹣∠BOA，∠AOD=160°，∴∠BOD=150°﹣2t．∵射线ON平分∠BOD，∴∠DON=∠BOD=75°﹣t°．又∵∠AOM：∠DON=2：3，∴（t+15）：（75﹣t）=2：3，解得t=21．38．【解答】解：（1）因为OB平分∠AOC，∠AOB=20°，所以∠AOC=40°，因为OD平分∠AOE，∠AOE=110°，所以∠AOD=55°，因为∠COD=∠AOD﹣∠AOC，所以∠COD=55°﹣40°=15°；（2）因为90°﹣55°=35°，所以射线OD的方位角是北偏东35°；（3）设经过x秒时，∠AOE=30°，①如图1所示，当OA未追上OE时，依题意，得5x﹣110=3x﹣30，解得，x=40；②如图2所示，当OA超过OE时，依题意，得5x﹣110=3x﹣305x﹣110=3x+30，解得，x=70．39．【解答】解：（1）若∠COE=20°，∵∠COD=90°，∴∠EOD=90°﹣20°=70°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOD=2∠EOD=140°，∴∠BOD=180°﹣140°=40°；若∠COE=α，∴∠EOD=90﹣α，∵OE平分∠AOD，∴∠AOD=2∠EOD=2（90﹣α）=180﹣2α，∴∠BOD=180°﹣（180﹣2α）=2α；故答案为：40°；2α；（2）如图2，∠BOD=2∠COE，理由是：设∠BOD=β，则∠AOD=180°﹣β，∵OE平分∠AOD，∴∠EOD=∠AOD==90°﹣，∵∠COD=90°，∴∠COE=90°﹣（90°﹣）=，即∠BOD=2∠COE．40．【解答】解：（1）如图2，∵OM平分∠BOC，∴∠MOC=∠MOB，又∵∠BOC=110°，∴∠MOB=55°，∵∠MON=90°，∴∠BON=∠MON﹣∠MOB=35°；（2）分两种情况：①如图2，∵∠BOC=110°∴∠AOC=70°，当直线ON恰好平分锐角∠AOC 时，∠AOD=∠COD=35°，∴∠BON=35°，∠BOM=55°，即逆时针旋转的角度为55°，由题意得，5t=55°解得t=11（s）；②如图3，当NO平分∠AOC时，∠NOA=35°，∴∠AOM=55°，即逆时针旋转的角度为：180°+55°=235°，由题意得，5t=235°，解得t=47（s），综上所述，t=11s或47s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC；（3）∠AOM﹣∠NOC=20°．理由：∵∠MON=90°，∠AOC=70°，故答案为：11或47；∴∠AOM=90°﹣∠AON，∠NOC=70°﹣∠AON，∴∠AOM﹣∠NOC=（90°﹣∠AON）﹣（70°﹣∠AON）=20°，∴∠AOM与∠NOC的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC=20°．41．【解答】解：（1）∵∠AOB=90°，∠BOC=60°．∴∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=30°．∴∠AOD=∠AOC+∠COD=30°+90°=120°．若∠BOC=n°，则∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=（90﹣n）°．∴∠AOD=∠AOC+∠COD=（90﹣n）°+90°=（180﹣n）°．（2）∵∠AOB=x°，∠AOD=y°．∴∠BOD=∠AOD﹣∠AOB=（y﹣x）°．∴∠BOC=∠DOC ﹣∠BOD=x°﹣（y﹣x）°=（2x﹣y）°．42．【解答】解：（1）因为∠AOD=160°OM平分∠AOB，ON平分∠BOD所以∠MOB=∠AOB，∠BON=∠BOD即∠MON=∠MOB+∠BON=∠AOB+∠BOD=（∠AOB+∠BOD）=∠AOD=80°；（2）因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD所以∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD即∠MON=∠MOC+∠BON﹣∠BOC=∠AOC+∠BOD﹣∠BOC=（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC=（∠AOD+∠BOC）﹣∠BOC=×180°﹣20°=70°；（3）∵射线OB从OA逆时针以2°每秒的旋转t秒，∠COB=20°，∴∠AOC=∠AOB+∠COB=2t°+10°+20°=2t°+30°．∵射线OM平分∠AOC，∴∠AOM=∠AOC=t°+15°．∵∠BOD=∠AOD﹣∠BOA，∠AOD=160°，∴∠BOD=150°﹣2t．∵射线ON平分∠BOD，∴∠DON=∠BOD=75°﹣t°．又∵∠AOM：∠DON=2：3，∴（t+15）：（75﹣t）=2：3，解得t=21．答：t为21秒．43．【解答】解：（1）∵∠BCE=90°，∠DCE=25°，∴∠BCD=∠BCE﹣∠DCE=65°，∵∠ACD=90°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°+65°=155°；∵∠ACB=130°，∠ACD=90°，∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=130°﹣90°=40°，∵∠BCE=90°，∴∠DCE=∠BCE﹣∠BCD=90°﹣40°=50°，故答案为：155°，50°；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：∵∠ACB=∠ACE+∠DCE+∠DCE，∴∠ACB+∠DCE=∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠DCE=∠ACD+∠BCE=180°；（3）∠DAB+∠CAE=120°，理由如下：∵∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB，∴∠DAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE+∠CAB+∠CAE=∠DAC+∠BAE=120°；（4）∠AOD+∠BOC=α+β，理由如下：∵∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD，∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COB+∠BOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=α+β．44．【解答】解：（1）如图所示，∵两条直线AB，CD相交于点O，∠AOC=∠AOD，∴∠AOC=∠AOD=90°，∴∠BOC=∠BOD=90°，∴图中一定有4个直角；当t=2时，∠BOM=30°，∠NON=24°，∴∠MON=30°+90°+24°=144°，∠BON=90°+24°=114°，∠MOC=90°﹣30°=60°；故答案为：4；144°，114°，60°；（2）当ON与OA重合时，t=90÷12=7.5（s），当OM与OA重合时，t=180°÷15=12（s），如图所示，当0＜t≤7.5时，∠AON=90°﹣12t°，∠AOM=180°﹣15t°，由∠AOM=3∠AON﹣60°，可得180°﹣15t°=3（90°﹣12t°）﹣60°，解得t=；如图所示，当7.5＜t＜12时，∠AON=12t°﹣90°，∠AOM=180°﹣15t°，由∠AOM=3∠AON﹣60°，可得180°﹣15t°=3（12t°﹣90°）﹣60°，解得t=10；综上所述，当∠AOM=3∠AON﹣60°时，t的值为s或10s；（3）当∠MON=180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，∴15t°+90°+12t°=180°，解得t=，①如图所示，当0＜t＜时，∠COM=90°﹣15t°，∠BON=90°+12t°，∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15t°+90°+12t°，∴==（不是定值），。
七年级数学上册《用尺规作线段与角》教案、教学设计
c.开展小组讨论和分享，促进学生之间的交流与合作，提高学生的沟通能力。
4.关注个体差异，因材施教：
a.对基础薄弱的学生，进行个别辅导，帮助他们掌握基本的尺规作图方法。
b.对学有余力的学生，提供拓展性学习资源，提高他们的几何作图技能。
5.融入情感态度与价值观教育：
2.尺规作线段的方法：
a.作给定长度的线段：利用尺子和圆规，按照步骤进行操作，边讲解边示范。
b.作等分线段：介绍等分线段的原理，演示等分线段的尺规作图方法。
3.尺规作角的方法：
a.作直角：利用圆规和直尺，按照步骤作出直角。
b.作等角：以已知的角为基准，利用圆规和直尺作出与之相等的角度。
4.结合实际例子，讲解尺规作图在实际问题中的应用。
1.引入：教师出示一张白纸，提出问题：“如何用最简单的方法在纸上画出一条指定长度的线段？”引导学生思考并回答。
2.背景知识：简要介绍尺规作图的历史和在实际生活中的应用，让学生了解尺规作图的价值和意义。
3.导入新课：通过以上铺垫，引出本节课的主题——《用尺规作线段与角》。
（二）讲授新知
1.尺规作图的基本概念：介绍尺子和圆规在几何作图中的作用，讲解基本的作图方法。
4.能够运用尺规作图方法探索数学规律，发现几何图形中的对称美和几何关系。
（二）过程与方法
1.通过观察、实践、探索，让学生掌握尺规作图的基本方法和技巧。
2.培养学生的动手操作能力，提高空间想象力和逻辑思维能力。
3.引导学生运用尺规作图方法解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力。
4.鼓励学生在尺规作图过程中，积极与他人交流与合作，提高沟通能力。
七年级数学上册 第4章 直线与角单元综合测试 (新版)沪科版-(新版)沪科版初中七年级上册数学试题
《直线与角》单元测试一．选择题（共12小题）1．下列图形中（）可以折成正方体．A．B． C．D．2．如图所示，某工厂有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点在同一直线上），已知AB=300米，BC=600米．为了方便职工上下班，该厂的接送车打算在此路段只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）A．点A B．点B C．AB之间D．BC之间3．学校，电影院，公园在平面图上的标点分别是A，B，C，电影院在学校的正东方向，公园在学校的南偏西25°方向，那么平面图上的∠CAB等于（）A．115°B．155°C．25° D．65°4．已知∠AOB=60°，其角平分线为OM，∠BOC=20°，其角平分线为ON，则∠MON的大小为（）A．20° B．40° C．20°或40°D．30°或10°5．如图，是一个正方体纸盒的展开图，若在其中三个正方形A，B，C中分别填入适当的数，使得它们折成正方体后相对的面上两个数互为相反数，则填入正方形A，B，C中的三个数依次是（）A．1，﹣3，0 B．0，﹣3，1 C．﹣3，0，1 D．﹣3，1，06．如图，有一个无盖的正方体纸盒，下底面标有字母“M”，沿图中粗线将其剪开展成平面图形，想一想，这个平面图形是（）A．B．C．D．7．下面图形不能围成一个长方体的是（）A．B． C．D．8．长方体的截面中，边数最多的多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形9．用平面截一个正方体，可能截出的边数最多的多边形是（）A．七边形B．六边形C．五边形D．四边形10．下面各正多面体的每个面是同一种图形的是（）①正四面体；②正六面体；③正八面体；④正十二面体；⑤正二十面体．A．①②③B．①③④C．①③⑤D．①④⑤11．如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（）A．B．C． D．12．如图中，三角形的个数为（）A．26个B．30个C．28个D．16个二．填空题（共4小题）13．如图是正方体的一个表面展开图，在这个正方体中，与“晋”字所在面相对的面上的汉字是．14．若一个角为60°30′，则它的补角为．15．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB=．16．墙角处有若千大小相同的小正方体堆成如图所示实体的立体图形，如果打算搬走其中部分小正方体（不考虑操作技术的限制），但希望搬完后的实体的三种视围分别保持不变，那么最多可以搬走个小正方体．三．解答题（共7小题）17．如图，已知点C为AB上一点，AC=15cm，CB=AC，若D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长．18．如图，B、C两点把线段MN分成三部分，其比为MB：BC：=2：3：4，点P是MN的中点，PC=2cm，求MN的长．19．已知：∠AOB及边OB上一点C．求作：∠OCD，使得∠OCD=∠AOB．要求：1．尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；（说明：作出一个即可）2．请你写出作图的依据．20．如图，C，D是线段AB上的两点，已知AC：CD：DB=1：2：3，MN分别是AC，BD的中点，且AB=36cm，求线段MN的长．21．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少？（2）如图2，当∠AOB=α，∠BOC=60°时，猜想∠MON与α的数量关系；（3）如图3，当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．22．如图①，已知线段AB=20cm，点C为AB上的一个动点，点D，E分别是AC和BC的中点（1）若点C恰好是AB中点，则DE的长是多少？（直接写出结果）（2）若BC=14cm，求DE的长（3）试说明不论BC取何值（不超过20cm），DE的长不变（4）知识迁移：如图②，已知∠AOB=130°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，试求出∠DOE的大小，并说明∠DOE的大小与射线OC的位置是否有关？23．已知：∠AOD=160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON 的大小；（2）如图2，若∠BOC=20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时求∠MON的大小；（3）在（2）的条件下，若∠AOB=10°，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM：∠DON=2：3，求t的值．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．下列图形中（）可以折成正方体．A．B． C．D．【解答】解：A，C，D围成几何体时，有两个面重合，故不能围成正方体；只有B能围成正方体．故选：B．2．如图所示，某工厂有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点在同一直线上），已知AB=300米，BC=600米．为了方便职工上下班，该厂的接送车打算在此路段只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）A．点A B．点B C．AB之间D．BC之间【解答】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和=15×300+10×900=13500（米），②以点B为停靠点，则所有人的路程的和=30×300+10×600=15000（米），③以点C为停靠点，则所有人的路程的和=30×900+15×600=36000（米），④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜100），则所有人的路程的和是：30m+15（300﹣m）+10（900﹣m）=13500+5m＞13500，⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜200），则总路程为30（300+n）+15n+10（600﹣n）=15000+35n＞13500．∴该停靠点的位置应设在点A；故选：A．3．学校，电影院，公园在平面图上的标点分别是A，B，C，电影院在学校的正东方向，公园在学校的南偏西25°方向，那么平面图上的∠CAB等于（）A．115°B．155°C．25° D．65°【解答】解：从图中发现平面图上的∠CAB=∠1+∠2=115°．故选A．4．已知∠AOB=60°，其角平分线为OM，∠BOC=20°，其角平分线为ON，则∠MON的大小为（）A．20° B．40° C．20°或40°D．30°或10°【解答】解：∠BOC在∠AOB内部∵∠AOB=60°，其角平分线为OM∴∠MOB=30°∵∠BOC=20°，其角平分线为ON∴∠BON=10°∴∠MON=∠MOB﹣∠BON=30°﹣10°=20°；∠BOC在∠AOB外部∵∠AOB=60°，其角平分线为OM∴∠MOB=30°∵∠BOC=20°，其角平分线为ON∴∠BON=10°∴∠MON=∠MOB+∠BON=30°+10°=40°．故选：C．5．如图，是一个正方体纸盒的展开图，若在其中三个正方形A，B，C中分别填入适当的数，使得它们折成正方体后相对的面上两个数互为相反数，则填入正方形A，B，C中的三个数依次是（）A．1，﹣3，0 B．0，﹣3，1 C．﹣3，0，1 D．﹣3，1，0【解答】解：根据以上分析：填入正方形A，B，C中的三个数依次是1，﹣3，0．故选：A．6．如图，有一个无盖的正方体纸盒，下底面标有字母“M”，沿图中粗线将其剪开展成平面图形，想一想，这个平面图形是（）A．B．C．D．【解答】解：选项A、D经过折叠后，标有字母“M”的面不是下底面，而选项C折叠后，不是沿沿图中粗线将其剪开的，故只有B正确．故选：B．7．下面图形不能围成一个长方体的是（）A．B． C．D．【解答】解：选项A，B，C折叠后，都可以围成一个长方体，而D折叠后，最下面一行的两个面重合，缺少一个底面，所以不能围成一个长方体．故选：D．8．长方体的截面中，边数最多的多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形【解答】解：长方体的截面中，边数最多的多边形是六边形．如：在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，取BC、CD、BB′、DD′、A′B′、A′D′的中点，可以证明它们都在同一平面，那么，这个截面就是六边形．故选：C．9．用平面截一个正方体，可能截出的边数最多的多边形是（）A．七边形B．六边形C．五边形D．四边形【解答】解：正方体有六个面，截面与其六个面相交最多得六边形．故选：B．10．下面各正多面体的每个面是同一种图形的是（）①正四面体；②正六面体；③正八面体；④正十二面体；⑤正二十面体．A．①②③B．①③④C．①③⑤D．①④⑤【解答】解：根据以上分析，正四面体，正八面体正二十面体的每个面是同一种图形．故选：C．11．如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（）A．B．C． D．【解答】解：选项A、C、D折叠后都符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形不交于一个顶点，•与正方体三个剪去三角形交于一个顶点不符．故选：B．12．如图中，三角形的个数为（）A．26个B．30个C．28个D．16个【解答】解：最里面的正方形内的三角形有10个，第三层的正方形内三角形的个数有10+4=14个，第二层的正方形内三角形个数有14+2+5+5=26个，最外层的正方形内的三角形的个数为26+4=30个．最小的三角形共有16个，其余的三角形共有14个，所以共有三角形30个．故选：B．二．填空题（共4小题）13．如图是正方体的一个表面展开图，在这个正方体中，与“晋”字所在面相对的面上的汉字是祠．【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“晋”与“祠”是相对面，“汾”与“酒”是相对面，“恒”与“山”是相对面．故答案为：祠．14．若一个角为60°30′，则它的补角为119°30′．【解答】解：180°﹣60°30′=119°30′．故答案为：119°30′．15．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB= 180°．【解答】解：设∠AOD=a，∠AOC=90°+a，∠BOD=90°﹣a，所以∠AOC+∠BOD=90°+a+90°﹣a=180°．故答案为：180°．16．墙角处有若千大小相同的小正方体堆成如图所示实体的立体图形，如果打算搬走其中部分小正方体（不考虑操作技术的限制），但希望搬完后的实体的三种视围分别保持不变，那么最多可以搬走27 个小正方体．【解答】解：第1列最多可以搬走9个小正方体；第2列最多可以搬走8个小正方体；第3列最多可以搬走3个小正方体；第4列最多可以搬走5个小正方体；第5列最多可以搬走2个小正方体．9+8+3+5+2=27个．故最多可以搬走27个小正方体．故答案为：27．三．解答题（共7小题）17．如图，已知点C为AB上一点，AC=15cm，CB=AC，若D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长．【解答】解：∵AC=15 cm，CB=AC．∴CB=10 cm，AB=15+10=25 cm．又∵E是AB的中点，D是AC的中点．∴AE=AB=12.5 cm．AD=AC=7.5 cm∴DE=AE﹣AD=12.5﹣7.5=5 cm18．如图，B、C两点把线段MN分成三部分，其比为MB：BC：=2：3：4，点P是MN的中点，PC=2cm，求MN的长．【解答】解：∵MB：BC：=2：3：4，∴设MB=2xcm，BC=3xcm，=4xcm，∴MN=MB+BC+=2x+3x+4x=9xcm，∵点P是MN的中点，∴PN=MN=xcm，∴PC=PN﹣，即x﹣4x=2，解得x=4，所以，MN=9×4=36cm．19．已知：∠AOB及边OB上一点C．求作：∠OCD，使得∠OCD=∠AOB．要求：1．尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；（说明：作出一个即可）2．请你写出作图的依据．【解答】解：（1）如图所示，∠OCD即为所求；（2）作图的依据为SSS．20．如图，C，D是线段AB上的两点，已知AC：CD：DB=1：2：3，MN分别是AC，BD的中点，且AB=36cm，求线段MN的长．【解答】解：∵AC：CD：DB=1：2：3，∴设AC=xcm，则CD=2xcm，DB=3xcm，∵AB=36cm，∴x+2x+3x=36，解得x=6，∵M、N分别是AC、BD的中点，∴CM=AC=x，DN=BD=x，∴MN=CM+CD+DN=x+2x+x=4x=4×6=24（cm）．21．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少？（2）如图2，当∠AOB=α，∠BOC=60°时，猜想∠MON与α的数量关系；（3）如图3，当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，∴∠AOC=90°+60°=150°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=∠AOC=75°，∠NOC=∠BOC=30°∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=45°．（2）如图2，∠MON=α，理由是：∵∠AOB=α，∠BOC=60°，∴∠AOC=α+60°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=∠AOC=α+30°，∠NOC=∠BOC=30°∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（α+30°）﹣30°=α．（3）如图3，∠MON=α，与β的大小无关．理由：∵∠AOB=α，∠BOC=β，∴∠AOC=α+β．∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠MOC=∠AOC=（α+β），∠NOC=∠BOC=β，∴∠AON=∠AOC﹣∠NOC=α+β﹣β=α+β．∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（α+β）﹣β=α即∠MON=α．22．如图①，已知线段AB=20cm，点C为AB上的一个动点，点D，E分别是AC和BC的中点（1）若点C恰好是AB中点，则DE的长是多少？（直接写出结果）（2）若BC=14cm，求DE的长（3）试说明不论BC取何值（不超过20cm），DE的长不变（4）知识迁移：如图②，已知∠AOB=130°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，试求出∠DOE的大小，并说明∠DOE的大小与射线OC的位置是否有关？【解答】解：（1））∵点C恰为AB的中点，∴AC=BC=AB=10cm，∵点D、E分别是AC和BC的中点，∴DC=AC=5cm，CE=BC=5cm，∴DE=10cm．（2）∵AB=20cm，BC=14cm，∴AC=6cm，∵点D、E分别是AC和BC的中点，∴CD=3cm，CE=7cm，∴DE=CD+CE=10cm；（3）∵点D、E分别是AC和BC的中点，∴CD=AC，CE=BC，∴DE=CD+CE=（AC+BC）=AB=10cm，∴不论AC取何值（不超过20cm），DE的长不变．（4）∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠DOC=∠AOC，COE=∠COB，∴∠DOE=∠DOC+∠COE=（∠AOC+∠COB）=∠AOB，∵∠AOB=130°，∴∠DOE=65°．∴∠DOE的度数与射线OC的位置无关．23．已知：∠AOD=160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BO D．当OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON 的大小；（2）如图2，若∠BOC=20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时求∠MON的大小；（3）在（2）的条件下，若∠AOB=10°，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM：∠DON=2：3，求t的值．【解答】解：（1）因为∠AOD=160°OM平分∠AOB，ON平分∠BOD所以∠MOB=∠AOB，∠BON=∠BOD即∠MON=∠MOB+∠BON=∠AOB+∠BOD=（∠AOB+∠BOD）=∠AOD=80°；（2）因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD所以∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD即∠MON=∠MOC+∠BON﹣∠BOC=∠AOC+∠BOD﹣∠BOC=（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC=（∠AOD+∠BOC）﹣∠BO C=×180°﹣20°=70°；（3）∵射线OB从OA逆时针以2°每秒的旋转t秒，∠COB=20°，∴∠AOC=∠AOB+∠COB=2t°+10°+20°=2t°+30°．∵射线OM平分∠AOC，∴∠AOM=∠AOC=t°+15°．∵∠BOD=∠AOD﹣∠BOA，∠AOD=160°，∴∠BOD=150°﹣2t．∵射线ON平分∠BOD，∴∠DON=∠BOD=75°﹣t°．又∵∠AOM：∠DON=2：3，∴（t+15）：（75﹣t）=2：3，解得t=21．答：t为21秒．。
沪科版七年级数学上册《第4章直线与角4.6用尺规作线段与角(第1课时)》教学设计
沪科版七年级数学上册《第4章直线与角4.6用尺规作线段与角（第1课时）》教学设计一. 教材分析《第4章直线与角4.6用尺规作线段与角（第1课时）》这一节内容，主要让学生掌握用尺规作线段与角的方法，进一步理解直线、射线、线段的性质及角的概念。
本节内容是前面学习内容的延续，也是后面学习的基础，对于培养学生几何思维具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了直线、射线、线段的概念，角的定义及分类，具备一定几何基础。
但用尺规作线段与角还需引导学生理解和掌握。
因此，在教学过程中，要关注学生对基础知识的掌握情况，注重引导学生通过实际操作，理解并掌握用尺规作线段与角的方法。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握用尺规作线段与角的方法，能独立完成用尺规作线段与角的操作。
2.过程与方法目标：通过小组合作、探究学习，培养学生几何思维和动手能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：用尺规作线段与角的方法。
2.难点：理解并掌握用尺规作线段与角的原理。
五. 教学方法采用“问题驱动”的教学方法，引导学生通过观察、操作、思考、讨论，自主探索用尺规作线段与角的方法，培养学生的动手能力和几何思维。
六. 教学准备1.准备尺规作图工具：直尺、圆规、铅笔、橡皮等。
2.准备相关课件和教学素材。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过复习直线、射线、线段的概念，角的定义及分类，引导学生回顾已学知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过展示用尺规作线段与角的操作过程，让学生初步感知用尺规作线段与角的方法。
同时，引导学生思考：为什么这样操作可以得到正确的线段与角？激发学生的探究欲望。
3.操练（10分钟）学生分组进行合作学习，每组选择一个线段或角进行用尺规作图。
教师巡回指导，解答学生在操作过程中遇到的问题。
4.巩固（10分钟）教师选取几组学生用尺规作出的线段与角，让学生判断正确与否，并说明理由。
沪科版七年级上册第4章直线与角复习专题汇编【举一反三系列】
第4章直线与角专题汇编知识链接举一反三考点1：几何图形【例1】下面的几何体中，属于棱柱的有（）A.1个B. 2个C. 3个D. 4个【变式1-1】如图，下面的平面图形绕轴旋转一周，可以得到的立体图形是（）A. B. C. D.【变式1-2】图①是由白色纸板拼成的立体图形，将它的两个面的外表面涂上颜色，如图②．则下列图形中，是图②的表面展开图的是（）A. B. C. D.【变式1-3】下图右边四个图形中，哪个是左边立体图形的展开图？（）A. B. C. D.考点2：基本概念【例2】下列说法中正确的个数是（）线段AB和射线AB都是直线的一部分；直线AB和直线BA是同一条直线；射线AB和射线BA是同一条射线；把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线．A. 1B. 2C. 3D. 4【变式2-1】下列说法正确的个数有（）①射线AB与射线BA表示同一条射线．②若∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，则∠2=∠3．③一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫这个角的平分线．④连结两点的线段叫做两点之间的距离．⑤40°50ˊ=40.5°．⑥互余且相等的两个角都是45°．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【变式2-2】下列说法：①两点之间的所有连线中，线段最短；②在数轴上与表示-1的点距离是3的点表示的数是2；③连接两点的线段叫做两点间的距离；④射线AB和射线BA是同一条射线；⑤若AC=BC，则点C是线段AB的中点；⑥一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线是这个角的平分线，其中错误的有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【变式2-3】如图的四个图形和每一个图形相应的一句描述，其中所有图形都是画在同一个平面上．①线段AB与射线MN不相交；②点C在线段AB上；③直线a和直线b不相交；④延长射线AB，则会通过点C．其中正确的语句的个数有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个考点3：钟面上的角度计算【例3】上午9点30分时，时钟的时针和分针所夹的较小的角是______度．【变式3-1】钟表上11点15分时，时针与分针的夹角为______．【变式3-2】中午12点30分时，钟面上时针和分针的夹角是______度．【变式3-3】上午八点二十五分，钟表上时针和分针的夹角的度数为______．考点4：尺规作图【例4】已知：∠α，∠β，线段c．求作：△ABC，使∠A=α，∠B=∠β，AB=c（不写作法，保留作图痕迹）【变式4-1】用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段a，b，求作：线段AB，使AB=2b-a．【变式4-2】作图题：学过用尺规作线段与角后，就可以用尺规画出一个与已知三角形一模一样的三角形来．比如给定一个△ABC，可以这样来画：先作一条与AB相等的线段A′B′，然后作∠B′A′C′=∠BAC，再作线段A′C′=AC，最后连结B′C′，这样△A′B′C′就和已知的△ABC 一模一样了．请你根据上面的作法画一个与给定的三角形一模一样的三角形来．（请保留作图痕迹）【变式4-3】如图，在同一平面内有四个点A，B，C，D．（1）请按要求作出图形（注：此题作图不需写出画法和结论）：①作射线AC②作直线BD，交射线AC于点O③分别连接AB，AD．（2）观察所作图形，我们能得到：AO+OC=______；DB-OB=______（空格处填写图中线段）考点5：与线段中点有关的计算【例5】已知：点C在直线AB上，，，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长．【变式5-1】如图，线段AB，C是线段AB上一点，M是AB的中点，N是AC的中点．若，，求线段MN的长；若，试用含a的式子表示线段MN的长．【变式5-2】如图，点C是线段AB上，AC=10cm，CB=8cm，M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长．（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=acm，其他条件不变，不用计算你猜出MN的长度吗？（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC-BC=acm，M，N仍分别为AC，BC的中点，你还能猜出线段MN的长度吗？（4）由此题你发现了怎样的规律？【变式5-3】综合与探究：问题情境：已知：点M，N分别是线段AC，BC的中点．初步探究：（1）如图1，点C在线段AB上，且AC=9，CB=6，求线段MN的长；问题解决：（2）若点C为线段AB上任一点，且AC=a，CB=b，求出线段MN的长度．（用含有a，b 的代数式表示）类比应用：（3）若点C在线段AB的延长线上，且AC=a，CB=b，请你画出图形，并直接写出线段MN的长度．(用含有a，b的代数式表示)拓展延伸：（4）已知：如图2，C为线段AB的中点，D为线段AC的中点，E为线段BC上任意一点，M为线段EB的中点，DM=m，CE=n，请你直接写出线段AB的长度．（用含有m，n 的代数式表示）考点6：与角平分线有关的角度计算【例6】如图，已知OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB=90°，∠BOC=30°．求：（1）∠AOC的度数；（2）∠MON的度数．【变式6-1】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=72°，OF⊥CD，垂足为O，求：（1）求∠BOE的度数．（2）求∠EOF的度数．【变式6-2】如图所示．（1）已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数；（2）∠AOB=α，∠BOC=β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的大小．【变式6-3】已知∠AOB=α，过O作射线OC，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）如图，若α=120°，当OC在∠AOB内部时，求∠MON的度数；（2）当OC在∠AOB外部时，画出相应图形，求∠MON的度数（用含α的式子表示）．考点7：与旋转有关的角度计算【例7】O为直线AD上一点，以O为顶点作∠COE=90°，射线OF平分∠AOE．（1）如图①，∠AOC与∠DOE的数量关系为____，∠COF和∠DOE的数量关系为____；（2）若将∠COE绕点O旋转至图②的位置，OF依然平分∠AOE，请写出∠COF和∠DOE 之间的数量关系，并说明理由；（3）若将∠COE绕点O旋转至图③的位置，射线OF依然平分∠AOE，请直接写出∠COF 和∠DOE之间的数量关系．【变式7-1】已知∠AOB=100°，∠COD=40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角）．（1）如图1，当OB、OC重合时，求∠EOF的度数；（2）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜90）时，∠AOE﹣∠BOF的值是否为定值？若是定值，求出∠AOE﹣∠BOF的值；若不是，请说明理由．（3）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180）时，满足∠AOD+∠EOF=6∠COD，则n=__________．【变式7-2】如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=110°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN=30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．求∠BON的度数．（2）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为______（直接写出结果）．（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM 与∠NOC的数量关系，并说明理由．【变式7-3】将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起．（1）如图（1）若∠BOD=35°，求∠AOC的度数，若∠AOC=135°，求∠BOD的度数．（2）如图（2）若∠AOC=150°，求∠BOD的度数．（3）猜想∠AOC与∠BOD的数量关系，并结合图（1）说明理由．（4）三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠AOD（0°＜∠AOD＜90°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠AOD角度所有可能的值，不用说明理由．考点8：与几何有关的规律探索【例8】阅读表：解答下列问题：（1）根据表中规律猜测线段总数N与线段上的点数n（包括线段两个端点）有什么关系？（2）根据上述关系解决如下实际问题：有一辆客车往返于A，B两地，中途停靠三个站点，如果任意两站间的票价都不同，问：①有______ 种不同的票价？②要准备______ 种车票？（直接写答案）【变式8-1】（1）试验探索：如果过每两点可以画一条直线，那么请下面三组图中分别画线，并回答问题：第（1）组最多可以画条直线；第（2）组最多可以画条直线；第（3）组最多可以画条直线．（2）归纳结论：如果平面上有n（n≥3）个点，且每3个点均不在一条直线上，那么最多可以画出直线条．（作用含n的代数式表示）（3）解决问题：某班50名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握一次手问好，则共握______次手；最后，每两个人要互赠礼物留念，则共需______件礼物．【变式8-2】为了探究n条直线能把平面最多分成几部分．我们从最简单的情形入手．(1)一条直线把平面分成2部分；(2)两条直线最多可把平面分成4部分；(3)三条直线最多可把平面分成7部分……把上述探究的结果进行整理，列表如下：(1)当直线条数为5时．把平面最多分成________部分，写成和的形式为________；(2)当直线条数为10时，把平面最多分成________部分；(3)当直线条数为n时．把平面最多分成几部分?【变式8-3】归纳与猜想：如图，在已知角内画射线.（1）（2）（3）（4）（1）如图（1），画1条射线，图中共有______个角；（2）如图（2），画2条射线，图中共有______个角；（3）如图（3），画3条射线，图中共有______个角，（4）若画n条射线所得的角的个数为______（用含n的式子表示）。
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O
C
O
80︒
A
南
B
北
15︒ 60︒
O
30︒
O 相关资料
一、判断题
4.6 用尺规作线段与角
1. 尺规作图是指用刻度尺和圆规作图.（ ）
2. 尺规中的尺是指没有刻度的直尺.（
）
3. 用直尺和三角板过直线外一点作已知直线的平行线是尺规作图.（ ）
4. 最基本的尺规作图是作线段和角.（
）
二、选择题:
北
A
1. 如图 1，射线 OA 表示的方向 西
东
西 东
是（
）
C
A.西北方向;
B.西南方向;
南
C.西偏南 10°;
D.南偏西 10° 2.如图 2 所示，下列说法正确的是（
）
A.OA 的方向是北偏东 30°;
B.OB 的方向是北偏西 60° (1) (2)
C.OC 的方向是北偏西 75°;
D.OC 的方向是南偏西 75°
3.画一个钝角∠AOB，然后以 O 为顶点，以 OA 为一边， 在角的内部画一条射线 OC ，
使∠AOC＝90°，正确的图形是（
）
B
B
A
A
C
B
C
C A A O O
A
B
C
三、填空题
1. 已知线段 AB ，求作：线段 A ′B ′，使 A ′B ′= A B .
B D
作法：
（1）作A′C′.
(2)以点A′为圆心，以交A′C′于点B′，
(3)就是所作的线段.
2.已知：∠A O B 求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′ =∠ A O B.
作法：
（1）作O′A′
（2）以点O 为圆心，以长为半径画弧交OA 于点C，交OB 于点D.
(3)以点O′为圆心，以长为半径画弧，交O′A′于点C′.
(4)以点C′为圆心，以长为半径画弧，交前面的弧于点D′.
D
（5）过点 D ′作射线 O ′B ′，∠A ′O ′B ′就是所求作的角.
四、作图
用尺规完成下列作图.
1. 已知线段 a ,b (a ＞b )，利用尺规作线段 c ，使 c =2a －b .
a b
2. 已知∠α、∠β(∠α＞∠β)，求作一个角，使它等于 2∠α－∠β.
3. 已知，直线 AB 和 AB 外一点 P ，作一条经过点 P 的直线 CD ，使 C D∥A B。
B
P
A
B
O
C
A
4.已知，如图，∠AOB及其两边上的点 C、D，过点 C 作CE∥OB，过点 D 作DF∥ OA，CE、DF 交于点 P。