计算传热学第3讲数学模型与求解区域的离散化
传热学-第三章
同样可得：
t tm,n1 2tm,n tm,n1 o(y 2 ) y 2 m,n y 2
2
未明确写出的级数余项 中的Δ X的最低阶数为2
对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热 微分方程为：
2t 2t v 0 2 2 x y
其节点方程为：
温度ti-1,j
tm1,n
t 2t x 2 3t x3 t m ,n x 2 3 x m,n x m,n 2! x m,n 3!
若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t x 2
m ,n
tm1,n 2tm,n tm1,n o(x 2 ) x 2
Φ 内热源： v Φ V Φ xy
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 Φv 0
tm1,n tm ,n tm1,n tm ,n tm ,n1 tm ,n tm ,n1 tm ,n y y x x x x y y Φxy 0
例如：根据第 k 次迭代的数值 可以求得节点温度：
(k) (k) (k) t1 、t2 ....tn
( ( ( ( ( t1 k 1) a11t1 k ) a12t2k ) ...... a1ntnk ) b1 k )
在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）
( ( ( ( ( t 2k 1) a21t1 k 1) a22t 2k ) ...... a2 n t nk ) b2k ) ( ( ( ( ( t3k 1) a31t1 k 1) a32t 2k 1) ...... a3n t nk ) b3k )
h1t f
x
传热学 第3章-非稳态导热分析解法
第三章 非稳态导热分析解法1、 重点内容：① 非稳态导热的基本概念及特点；② 集总参数法的基本原理及应用；③一维及二维非稳态导热问题。
2、掌握内容：① 确定瞬时温度场的方法；② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。
3、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。
许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。
如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。
因此，应确定其内部的瞬时温度场。
钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。
§3—1 非稳态导热的基本概念一、非稳态导热1、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
2、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分：1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：const t =↑τ2）物体的温度随时间而作周期性变化1）物体的温度随时间而趋于恒定值如图3-1所示，设一平壁，初值温度t 0，令其左侧的表面温度突然升高到1t 并保持不变，而右侧仍与温度为0t 的空气接触，试分析物体的温度场的变化过程。
首先，物体与高温表面靠近部分的温度很快上升，而其余部分仍保持原来的t 0 。
如图中曲线HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范围扩大，到某一时间后，右侧表面温度也逐渐升高，如图中曲线HCD 、HE 、HF 。
最后，当时间达到一定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线HG （若λ=const ，则HG 是直线）。
由此可见，上述非稳态导热过程中，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第一阶段（右侧面不参与换热）温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段。
计算传热学 第3讲 数学模型与求解区域的离散化 part 2
+ k
− k
亚矢通量保持了连续可微的特性
差分格式的发展
Godunov ,1959: Godunov格式 单元界面上构造Riemann问题
●
●
i-1 u
i
x uL=ui-1
,
uR=ui
差分格式的发展
Vanleer, 1979: 二阶精度Godunov格式
Enguist 和Osher及 Osher,1980,1982:
差分格式的发展
上述方法的缺点：对流项直接进行Taylor展开
∂u ∂u ∂u +u =v 2 ∂x ∂x ∂t
2
对流项
输运 特征走向建立差分格式
粘性项
扩散
差分格式的发展
Courant, 1952: 迎风格式的构造方法
∂u ∂u ∂u =v 2 +u ∂t ∂x ∂x
2
u
差分格式的发展
t n+1 i-1 i o i+1 x n
差分格式的发展
中心差分格式＋人工粘性: 计算省时,粘性不易确定
迎风类格式: 对间断的强捕捉能力, 隐格式对角占优; 格式复杂,计算量偏大,多为计算有稳定性问题
Discretization of the equation
差分格式的发展 双曲型方程的时间相关方法，60年代
Euler 或N.S方程： Lax和Kreiss，1954，时间推进
定常边界条件：
t →∞
得到定常解
非定常边界条件: 瞬态解
差分格式的发展
Lax 和 Wendroff ，1960，1964：Lax-Wendroff类差分格式 特点：空间方向上采用三点二阶精度中心差分 时间上显示推进 时间项与空间项相互耦合的措施 MacCormack和Lerat与Peyret，1969，1974 Lerat ，1979。隐式的Lax-Wendroff类差分格式 Briley，McDonald及Beam，Warming：空间中心差分隐式 的多步时间积分法 Jameson，1981：显示的四步Runge-Kutta法
传热学第3章
a
2
BiV
FoV
a
2
h( R / 2)
（2）对于形状如平板、柱体或球的物体，只要满足 Bi0.1，就可以使用集总参数法计算，偏差小于5％。
10
3.3 对流边界条件下一维瞬态导热
第三类边界条件下大平壁、长圆柱及球体的加热 或冷却是工程上常见的一维非稳态导热问题。 3.3.1 无限大平壁对称冷却或加热问题的分析解 假设：厚度为2 ，导热系数 、 热扩散率 为常数，无内热源， 初始温度与两侧流体相同，为t0。 两侧流体温度突然降低为tf ，并 保持不变，平壁表面与流体间对 流换热表面传热系数h为常数。 tf 考虑温度场的对称性，选取 tf 坐标系如图，仅需讨论半个平壁 的导热问题。 这是一维的非稳态导热问题。 11
x, 2sin n x Fo cos n e 0 n 1 n sin n cos n 解的函数形式为无穷级数，式中1、2、 、n是下面超 越方程的根 y y1 y2 cot
2 n
Bi
Bi 根有无穷多个，是Bi的函数。无论 Bi取任何值，1、2、 、n 都是正 的递增数列， 的解是一个快速收 敛的无穷级数。
2 1
上面两式之比
x f Bi , 可见，当Fo 0.2，非稳态导热进入正规状况阶段以后， 虽然与m都随时间变化，但它们的比值与时间无关， 只取决于毕渥数Bi与几何位置x/ 。 认识正规状况阶段的温度变化规律具有重要的实 际意义，因为工程技术中的非稳态导热过程绝大部分 时间都处于正规状况阶段 。 18
第3 章
非稳态导热
主要内容： 非稳态导热过程中温度场的变化规律及 换热量的分析求解方法。包括：
热力学中的热传导计算模型
热力学中的热传导计算模型热传导是自然界中一种常见的现象。
它指物质内部的热量传递与分布，主要表现为物质内部的温度差、热流速度的差异和热传导系数的不同。
热传导的计算模型是对热传导过程进行数学模拟的方式，以加深我们对热理论的理解。
1. 热传导模型的基本原理热传导模型的基本原理是从热传导的基本方程式开始推导。
热传导的基本方程式可以表示为：q = -k · A · (dT/dx)式中，q 表示热流速度，k 表示热传导系数，A 表示横截面积，(dT/dx) 表示温度梯度。
这个方程式是描述在没有传递界面和对流换热作用的情况下，热从高温区向低温区传递的关系式。
这个关系式可以用来解析各种形状的体系温度分布、传热速率等问题。
但是需要注意的是，这个基本方程式只适用于均匀材料内的热传导计算。
如果是非均匀材料，需要用更复杂的数学模型来解析。
2. 热传导模型的数值解法在工程应用中，更常用的方法是使用数值解法解决热传导计算问题。
数值解法可以通过离散方法，将热传导过程离散化为一系列的单元。
每个单元表示一个小体积，热量的传递只涉及到该小体积的周围体积，而不考虑整个体系内部的细节。
然后对每个单元内的热传导进行数值模拟，得到解析结果。
这个方法可以处理各种形状的体系，而且计算速度快，精度高。
数值解法中，有一个非常重要的概念是有限元法。
有限元法是目前最常用的热传导数值解法之一。
有限元法将复杂的热传导问题划分成许多离散的小区域，通过求解每个小区域内的热传导问题，推导出整个体系的温度分布。
有限元法不但能有效地解决热传导问题，还可以用于许多其他领域的问题解决，如电磁场、结构力学等计算。
3. 热传导模型的工程应用热传导模型的工程应用非常广泛，最常见的就是用于工业过程中的热处理模拟。
例如，对于加热模型，可以通过热传导模拟提前预测加热温度分布、加热均匀度等参数，从而保证最终产品的质量。
又如，在热电材料设计中，可使用热传导模型来预测电热材料的温度场分布和电阻率变化规律，进而提高其工作效率和使用寿命。
传热学讲义——第三章
第三章 非稳态导热(unsteady state conduction)物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
0≠τ∂∂t，任何非稳态导热过程必然伴随着加热或冷却过程。
根据物体内温度随时间而变化的特征不同，非稳态导热过程可分为两类：（1）周期性导热（periodic unsteady conduction ）：物体的温度按照一定的周期发生变化； 如建筑物的外墙和屋顶温度的变化。
（2）瞬态导热(transient conduction)：物体的温度随时间不断升高或降低，在经历相当长时间后，物体的温度逐渐趋于周围介质的温度，最终达到热平衡。
分析非稳态导热的任务：找出温度分布和热流密度随时间和空间的变化规律。
第一节 非稳态导热的基本概念一、瞬态导热过程采暖房屋外墙墙内温度变化过程。
采暖设备开始供热前：墙内温度场是稳态、不变的。
采暖设备开始供热：室内空气温度很快升高并稳定；墙壁内温度逐渐升高；越靠近内墙升温越快；经历一段时间后墙内温度趋于稳定、新的温度分布形成。
墙外表面与墙内表面热流密度变化过程 采暖设备开始供热前：二者相等、稳定不变。
采暖设备开始供热：刚开始供热时，由于室内空气温度很快升高并稳定，内墙温度的升高相对慢些，内墙表面热流密度最大；随着内墙温度的升高，内墙表面热流密度逐渐减小；随着外墙表面的缓慢升高，外墙表面热流密度逐渐增大；最终二者相等。
上述非稳态导热过程，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第一阶段（右侧面不参与换热）是过程开始的一段时间，特点是：物体中的一部分温度已经发生变化，而另一部分仍维持初始状态时的温度分布（未受到界面温度变化的影响），温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，物体内各处温度随时间的变化率是不一样的，即：在此阶段物体温度分布受t分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段或初始阶段（initialregime）。
（2）第二阶段（右侧面参与换热）当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受t影响，主要取决于边界条件及物性。
传热学第三讲优秀课件
§2 导热微分方程
导入微元体的总热流量+微元体内热源的生成热
=导出微元体的总热流量+微元体热力学能（即内能）的增量
一、直角坐标系导热微分方程的形式
1.导入微元体的总热流量
x
t x
dydz
y
t y
dxdz
z
t z
dxdz
2.导出微元体的总热流量
xdx
x
x
dx
x
x
t x
dydz dx
、 及c 各为微元体的密度、时间及比热容
c t
x
t x
y
t y
z
t z
•
三维直角坐标系非稳态有内热源的导热微分方程
※ 为常数时
•
t
a
2t x 2
2t y 2
2t z 2
c
热扩散率（导温系数） ，m2 / s c
※ 为常数且无内热源时 ※ 为常数且稳态时
t
a
2 x
t
2
2t y 2
2t z 2
•
2t x2
2t y 2
2t z 2
0
※ 为常数、无内热源、稳态时 2t 2t 2t 0
x2 y 2 z 2
二、圆柱坐标系导热微分方程的形式
x r cos; y r sin ; z z
圆柱坐标系
（r, , z）
qr
t r
q
1 r
t
qz
t z
c t
1 r
r
r
t r
2
t
•
四、定解条件
1.初始条件 0时 t f (x, y, z) 2.边界条件
《传热学》第3章_非稳态热传导分析
《传热学》第3章_非稳态热传导分析非稳态热传导分析是传热学中一个重要的研究内容。
在真实的物理系统中，尤其是工程实际中，非稳态热传导过程往往更为常见。
非稳态热传导分析主要研究物体内部温度分布随时间的变化规律，以及热传导过程中的能量交换。
本文将重点介绍非稳态热传导分析的基本原理和方法。
非稳态热传导分析需要考虑时间因素以及物质的热传导性质。
在非稳态热传导过程中，物体内部的温度分布随时间的变化满足热传导方程。
传热方程的一般形式为：∂(ρcT)/∂t=k∇²T+Q其中ρ是物质密度，c是比热容，T是温度，k是热传导系数，∇²是拉普拉斯算子，Q是热源项，即热传导过程中的能量增减。
解决非稳态热传导分析的一般步骤如下：1.建立热传导方程。
根据实际情况，确定适当的坐标系，并根据系统的几何形状和边界条件，建立热传导方程。
2.确定边界条件。
边界条件包括物体表面的温度、热通量以及对流边界等。
根据具体情况，选择适当的边界条件。
3.选择合适的数值方法。
非稳态热传导问题通常需要借助数值方法进行求解。
有限差分法、有限元法、迭代法等都可以应用于非稳态热传导分析，具体选择哪种方法需要根据具体问题的特点进行判断。
4.数值求解。
根据使用的数值方法，将热传导方程离散化，并进行数值求解。
通常需要在计算过程中进行迭代，直到得到满足要求的结果。
5.结果分析和验证。
得到物体内部温度随时间的变化规律后，可以通过实验进行验证。
比较模拟结果与实验结果，判断模拟的准确性。
非稳态热传导分析的典型应用包括热处理过程中的温度变化分析、电子元器件的散热分析、建筑物内部温度分布分析等。
通过对非稳态热传导问题的分析，可以更好地理解和控制物体内部温度分布的变化规律，为实际工程提供指导。
然而，非稳态热传导分析也存在一些挑战和限制。
首先，非稳态热传导分析通常需要考虑物质性质的非线性以及边界条件的复杂性，这增加了问题的难度。
其次，非稳态热传导问题的求解往往需要较长的计算时间和大量的计算资源。
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(x)w
(x)+w (x)-e
(x)e
W
(x)w
w
P
x
e
E
(x)+
e
图 1 一维问题空间区域的离散化
(x)w
(x)+w (x)-e
(x)e
W
(x)w
w
P
x
e
E
(x)+
e
图 1 一维问题空间区域的离散化
非均匀步长
将W在P点做Taylor展开 2 1 3 1 (x) 3 (x) w (x) 2 (2) W P w 3 w 2 3! x P 2 x P x P
W
(x)-w
w
e (x)+e
E
网参数：名称与定义
(x)w＝(x)+w＋(x)-w 节点W－P之间的距离 (x)e＝(x)+e＋(x)-e 节点P－E之间的距离 (x)+w 控制界面w－节点P之间的距离 (x)-e 节点P－控制界面e之间的距离 x ＝ (x)+w ＋(x)-e 控制容积 w ， e 左、右控制面
节点的命名
内部结点 Internal node
N(i,j+1) 内部结点 Internal node
边界节点 Boundary node
W(i-1,j)
P(i,j)
E(i+1,j)
边界节点 Boundary node
S(i,j-1)
求解区域的离散化
确定区域离散化的要素
节点位臵坐标 控制界面位臵 节点间距 控制容积的大小
非均匀步长：一阶导数（2阶精度）
将（2）通乘(x)e/(x)w ,得到，
(x) e 1 2 (W P ) (x) e (x) w (x) e 2 (x) w x P 2 x P
(4)
1 3 1 4 (x) e (x) 2 (x) e (x)3 w w 3! x 3 P 4! x 4 P 1 5 1 6 4 (x) e (x) w (x) e (x)5 ....... w 5! x 5 P 6! x 6 P
边界节点处理较简单 边界相邻节点：要特别注意处理方法，与其它内部节点 有所不同 内节点法在边界相邻节点处始终是非均匀网格 可能会产生较大的误差
历史及习惯的原因：内节点应用较广泛
求解区域的离散化：网格参数
一维为例
(x)w (x)+w
(x)e (x)-e
P x
图 1 一维问题空间区域的离散化
无限区域（infinite domain）：
求解区域实际区域 界定原则：计算结果不敏感原则，亦即，求解 区域的大小对计算结果没有明显的影响。 例子：
求解区域的界定：例子
流动问题的出口界面：
求解区域的界定：例子
无穷大区域的“无穷远界面”
半无限大介质中的稳态导热 Tf, h
Tw
Tf, h
确定节点在子区域中的位臵
节点所代表的区域及其大小
用一组正交的网格线（可以是曲线）将求解区域 进行分割
方法：
求解区域的离散化：方法一
外节点法或节点-控制容积法
网格线的交点作为节点 节点所代表的求解区域（控制容积）
由两节点间中心位臵的对称界面围成的区域。
例子：二维矩形区域
求解区域的离散化
非均匀步长：一阶导数（2阶精度）
定义
(7 ) (x) e Lx (x) w 节点间距比
(8)
x
P
1 [E L2W ( L2 1)P ] x x (x) e (1 Lx )
非均匀步长：二阶导数（2阶精度）
基本思路、方法同前 为方便推导，在（5）中令，
对求解区域进行离散化处理
Discretization of Computational Domain
对数学模型进行离散化处理
Discretization of Mathematical Model
3-1求解区域的离散化
3.1.1求解区域的界定：
有限区域（finite domain）：
求解区域（Computational domain）＝实际区域
将E在P点做Taylor展开 2 1 3 1 2 (x) 3 (x) e (x) e (1) E P e 3 2 3! x P 2 x P x P
1 4 1 5 1 6 4 (x) e (x) 5 (x) 6 ....... e e 4! x 4 P 5! x 5 P 6! x 6 P
(10)
P
非均匀步长：二阶导数（2阶精度）
将（10）代入方程（1）
1 2 2 (11) E P ( ) P (x) e (x) e 2 x 2 P
1 3 2 (x) e [(x) e (x) w ] 3! x 3 P 1 4 2 2 (x) e [(x) e (x) w (x) e (x) 2 ] ....... w 4! x 4 P
三点中心差分格式：主要用于扩散项的处理
x
2 x 2
P
E W
2x
,
O( x 2 )
P
E 2P W
x 2
,
O( x 2 )
(x)w
(x)+w (x)-e
(x)e
W
(x)w
w
P
x
e
E
(x)+
e
图 1 一维问题空间区域的离散化
3.2.2 Taylor级数展开法－非均匀步长
求解区域的界定：例子
无穷大区域的“无穷远界面”
无限大介质中的非稳态导热
y
x
求解区域的界定
对称区域：对称问题的求解区域
T2
T1
T1 T2
T2
对称轴 T1
T1
对称轴
T1
3.1.2 求解区域的离散化
什么是求解区域的离散化
将求解区域划分为若干个互不重合的子区域（CV)
不重合 子区域（sub-region) 控制容积（control volume) 给出节点位臵坐标
(5)
P
非均匀步长：一阶导数（2阶精度）
略去二阶及二阶以上无穷小量，
x (x) w (x) e 1 [ (E P ) (W P )] (x) w (x) e (x) e (x) w
(6)
P
1 3 O[(x) w (x) e ] (x) w (x) e 3 3 x P 1 4 (x) e (x) w [(x) e (x) w ] ....... 4 4! x P
Taylor级数法和控制容积法最为重要 Taylor级数法的基本思路
借助Taylor级数展开给出各阶导数的差商表达式 将方程中的各阶导数用相应的差商表达式代替 整理化简
3.2.1 Taylor级数展开法－等步长
参照前图，等步长时，
x ＝(x)w ＝(x)e 各阶导数的表达式
求解区域的离散化：方法二
内节点法或控制容积-节点法
先划定控制容积（节点所代表的求解区域） 节点：控制容积的几何中心 例子：二维矩形区域
3.1.3求解区域的离散化： 方法比较
边界节点所代表的求解区域（控制容积）不同：
外节点法：半个控制容积 内节点法：容积为0的控制容积 外节点法：
节点在控制容积中的位臵不同
控制界面始终位于两节点中间位臵上：导数计算准确 不能保证节点始终位于CV的几何中心上 节点始终位于CV的几何中心上：非稳态项计算准确 不能保证控制界面始终位于两节点中间位臵上
内节点法：
求解区域的离散化：方法比较
当网格划分足够细时，两者没有本质区别
内节点法：
非均匀步长：一阶导数（2阶精度）
将（1）通乘(x)w/(x)e ,得到，
(x) w 1 2 ( E P ) (x) w (x) w (x) e 2 (x) e x P 2 x P
(3)
1 3 1 4 2 (x) w (x) e (x) w (x)3 e 3! x 3 P 4! x 4 P 1 5 1 6 4 (x) w (x) e (x) w (x)5 ....... e 5! x 5 P 6! x 6 P
求解区域的离散化 Taylor级数展开法 控制方程的离散化－Taylor级数法 控制方程的离散化－控制容积法 控制方程的离散化－变物性的情况
控制容积法 Taylor级数法
交界面参数的计算 四个基本原则 源项的线性化
三个关键环节
建立恰当的数学模型
Proper Mathematical Modelling
节（结）点：网格线的交点 控制容积（节点所代表的求解区域）：两节点 中间界面所围成的区域。 节点的分类：
相邻接点：坐标轴方向上相差一个步长的节点 内部节点：所有相邻节点都属于求解区域的节点 边界节点：至少有一个相邻节点不属于求解区域 研究对象点：P（i,j) 相邻节点：按方位关系或位臵坐标