计算传热学第3讲数学模型与求解区域的离散化

求解区域的界定：例子

无穷大区域的“无穷远界面”

无限大介质中的非稳态导热
y
x
求解区域的界定

对称区域：对称问题的求解区域
T2
T1
T1 T2
T2
对称轴 T1
T1
对称轴
T1
3.1.2 求解区域的离散化

什么是求解区域的离散化

将求解区域划分为若干个互不重合的子区域（CV)

不重合 子区域（sub-region) 控制容积（control volume) 给出节点位臵坐标
无限区域（infinite domain）：
求解区域实际区域 界定原则：计算结果不敏感原则，亦即，求解 区域的大小对计算结果没有明显的影响。 例子：

求解区域的界定：例子

流动问题的出口界面：
求解区域的界定：例子

无穷大区域的“无穷远界面”

半无限大介质中的稳态导热 Tf, h
Tw
Tf, h

三点中心差分格式：主要用于扩散项的处理
x
2 x 2

P
E W
2x
,
O( x 2 )

P
E 2P W
x 2
,
O( Байду номын сангаас 2 )
(x)w
(x)+w (x)-e
(x)e
W
(x)w
w
P
x
e
E
(x)+
e
图 1 一维问题空间区域的离散化
3.2.2 Taylor级数展开法－非均匀步长
(5)
P
非均匀步长：一阶导数（2阶精度）

略去二阶及二阶以上无穷小量，
x (x) w (x) e 1 [ (E P ) (W P )] (x) w (x) e (x) e (x) w
(6)
P
1 3 O[(x) w (x) e ] (x) w (x) e 3 3 x P 1 4 (x) e (x) w [(x) e (x) w ] ....... 4 4! x P

节点的命名

内部结点 Internal node
N(i,j+1) 内部结点 Internal node
边界节点 Boundary node
W(i-1,j)
P(i,j)
E(i+1,j)
边界节点 Boundary node
S(i,j-1)
求解区域的离散化

确定区域离散化的要素



节点位臵坐标 控制界面位臵 节点间距 控制容积的大小
1 4 1 5 1 6 (x) 4 (x) 5 (x) 6 ....... w w w 4! x 4 P 5! x 5 P 6! x 6 P
(x)w
(x)+w (x)-e
(x)e
W
(x)w
w
P
x
e
E
(x)+
e
图 1 一维问题空间区域的离散化


节点在控制容积中的位臵不同

控制界面始终位于两节点中间位臵上：导数计算准确 不能保证节点始终位于CV的几何中心上 节点始终位于CV的几何中心上：非稳态项计算准确 不能保证控制界面始终位于两节点中间位臵上

内节点法：

求解区域的离散化：方法比较

当网格划分足够细时，两者没有本质区别

内节点法：



节（结）点：网格线的交点 控制容积（节点所代表的求解区域）：两节点 中间界面所围成的区域。 节点的分类：

相邻接点：坐标轴方向上相差一个步长的节点 内部节点：所有相邻节点都属于求解区域的节点 边界节点：至少有一个相邻节点不属于求解区域 研究对象点：P（i,j) 相邻节点：按方位关系或位臵坐标
(10)
P
非均匀步长：二阶导数（2阶精度）

将（10）代入方程（1）
1 2 2 (11) E P ( ) P (x) e (x) e 2 x 2 P
1 3 2 (x) e [(x) e (x) w ] 3! x 3 P 1 4 2 2 (x) e [(x) e (x) w (x) e (x) 2 ] ....... w 4! x 4 P

将E在P点做Taylor展开 2 1 3 1 2 (x) 3 (x) e (x) e (1) E P e 3 2 3! x P 2 x P x P
1 4 1 5 1 6 4 (x) e (x) 5 (x) 6 ....... e e 4! x 4 P 5! x 5 P 6! x 6 P
非均匀步长：一阶导数（2阶精度）

定义
(7 ) (x) e Lx (x) w 节点间距比
(8)
x
P
1 [E L2W ( L2 1)P ] x x (x) e (1 Lx )
非均匀步长：二阶导数（2阶精度）


基本思路、方法同前 为方便推导，在（5）中令，
非均匀步长：一阶导数（2阶精度）

将（2）通乘(x)e/(x)w ,得到，
(x) e 1 2 (W P ) (x) e (x) w (x) e 2 (x) w x P 2 x P
(4)
1 3 1 4 (x) e (x) 2 (x) e (x)3 w w 3! x 3 P 4! x 4 P 1 5 1 6 4 (x) e (x) w (x) e (x)5 ....... w 5! x 5 P 6! x 6 P

Taylor级数法和控制容积法最为重要 Taylor级数法的基本思路


借助Taylor级数展开给出各阶导数的差商表达式 将方程中的各阶导数用相应的差商表达式代替 整理化简
3.2.1 Taylor级数展开法－等步长

参照前图，等步长时，

x ＝(x)w ＝(x)e 各阶导数的表达式
对求解区域进行离散化处理
Discretization of Computational Domain
对数学模型进行离散化处理
Discretization of Mathematical Model
3-1求解区域的离散化

3.1.1求解区域的界定：

有限区域（finite domain）：

求解区域（Computational domain）＝实际区域
非均匀步长：一阶导数（2阶精度）

从上式可以解出，
x (x) w (x) e 1 [ (E P ) (W P )] (x) w (x) e (x) e (x) w 1 3 1 4 (x) w (x) e (x) w (x) e [(x) e (x) w ] ....... 3 4 3 x P 4! x P
非均匀步长：一阶导数（2阶精度）

（3）－（4）得到
(x) w (x) e (E P ) (W P ) (x) e (x) w [(x) w (x) e ] x 1 3 (x) w (x) e 3 3 x P P 1 4 (x) w (x) e [(x) e (x) w ] ........ 4 4! x P


求解区域的离散化 Taylor级数展开法 控制方程的离散化－Taylor级数法 控制方程的离散化－控制容积法 控制方程的离散化－变物性的情况


控制容积法 Taylor级数法


交界面参数的计算 四个基本原则 源项的线性化
三个关键环节


建立恰当的数学模型
Proper Mathematical Modelling
网格参数：各参数之间的关系

外节点法

(x)+w＝½ (x)w ； (x)-e ＝½ (x)e x ＝½ [(x)w ＋(x)e ] (x)+w＝ (x)-e ＝½ x

内节点法

3.2 Taylor级数展开法

控制方程离散化的方法：

Taylor级数法 多项式拟合法 控制容积法 。。。。
W
(x)-w
w
e (x)+e
E
网格参数：名称与定义


(x)w＝(x)+w＋(x)-w 节点W－P之间的距离 (x)e＝(x)+e＋(x)-e 节点P－E之间的距离 (x)+w 控制界面w－节点P之间的距离 (x)-e 节点P－控制界面e之间的距离 x ＝ (x)+w ＋(x)-e 控制容积 w ， e 左、右控制面

向后差分：用于时间偏导数和对流项的处理
x


P
P W
x
,
O( x)
(x)w
(x)+w (x)-e
(x)e
向前差分：
x

P
E P
x
W
, O( x)
(x)w
w
P
x
e
E
(x)+
e
图 1 一维问题空间区域的离散化
3.2.1 Taylor级数展开法－等步长
非均匀步长：二阶导数（2阶精度）

将（10）代入方程（2）
1 2 (12) W P ( ) P (x) w (x) 2 w 2 2 x P
1 3 (x) 2 [(x) e (x) w ] w 3! x 3 P 1 4 2 (x) 2 [(x) 2 (x) w (x) e (x) e ] ....... w w 4! x 4 P
(x)w
(x)+w (x)-e
(x)e
W
(x)w
w
P
x
e
E
(x)+
e
图 1 一维问题空间区域的离散化
非均匀步长

将W在P点做Taylor展开 2 1 3 1 (x) 3 (x) w (x) 2 (2) W P w 3 w 2 3! x P 2 x P x P
非均匀步长：一阶导数（2阶精度）

将（1）通乘(x)w/(x)e ,得到，
(x) w 1 2 ( E P ) (x) w (x) w (x) e 2 (x) e x P 2 x P
(3)
1 3 1 4 2 (x) w (x) e (x) w (x)3 e 3! x 3 P 4! x 4 P 1 5 1 6 4 (x) w (x) e (x) w (x)5 ....... e 5! x 5 P 6! x 6 P
计算传热学第3讲
数学模型与求解区域的离散化
Discretization of Mathematical Models and Computation Domain
作业与阅读要求


阅读：陶文铨《数值传热学》第2章 作业：P44 题2－3，题2－4 作业：P46 题2－11
本讲主要内容



确定节点在子区域中的位臵

节点所代表的区域及其大小
用一组正交的网格线（可以是曲线）将求解区域 进行分割

方法：

求解区域的离散化：方法一

外节点法或节点-控制容积法

网格线的交点作为节点 节点所代表的求解区域（控制容积）

由两节点间中心位臵的对称界面围成的区域。

例子：二维矩形区域
求解区域的离散化


边界节点处理较简单 边界相邻节点：要特别注意处理方法，与其它内部节点 有所不同 内节点法在边界相邻节点处始终是非均匀网格 可能会产生较大的误差

历史及习惯的原因：内节点应用较广泛


求解区域的离散化：网格参数

一维为例
(x)w (x)+w
(x)e (x)-e
P x
图 1 一维问题空间区域的离散化
(9)
(x) w (x) e 1 ( ) P [ (E P ) (W P )] (x) w (x) e (x) e (x) w
非均匀步长：二阶导数（2阶精度）

方程（5）就变形为，
x 1 3 ( ) P (x) w (x) e 3 3 x P 1 4 (x) w (x) e [(x) e (x) w ] ....... 4 4! x P
求解区域的离散化：方法二

内节点法或控制容积-节点法


先划定控制容积（节点所代表的求解区域） 节点：控制容积的几何中心 例子：二维矩形区域
3.1.3求解区域的离散化： 方法比较

边界节点所代表的求解区域（控制容积）不同：

外节点法：半个控制容积 内节点法：容积为0的控制容积 外节点法：