2017春人教版高中数学必修五课件：2.2 第2课时 等差数列的性质3
1 1 【解析】1.选A.因为 4d, 所以 d 1 . a7 1 a3 1 24 1 1 n 5 所以 (n 3)d ， an 1 a3 1 24 所以an= 19 n .所以a8= 19 8 11 . 8 5 13 n5
2.因为数列{an}是公差d=-2的等差数列， 所以a3+a6+a9+„+a30 =(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+„+(a28+2d) =(a1+a4+a7+„+a28)+2d〓10 =100+(-2)〓20=60.
【解析】方法一：设公差为d，则有
qp d 1， pq pq ap aq
所以ap+q=ap+[(p+q)-p]·d=q-q=0.
a p a1 (p 1)d，① 方法二：设公差为d，则 a q a1 (q 1)d.②
由①-②，得q-p=(p-q)d. 所以d=-1，a1=p+q-1. 所以ap+q=a1+(p+q-1)(-1) =p+q-1-p-q+1=0.
(2)公式的理解 等差数列{an}的图象是均匀分布在一条直线上的孤立 的点，任选其中两点(n，an)(m，am)(m≠n)，类比直 线的斜率公式可知公差 d a n a m .
nm
知识点2
等差数列的性质
观察如图所示内容，回答下列问题：
问题1：如何证明上图中的性质1？
问题2：等差数列还有哪些常用结论？
第2课时
等差数列的性质
【知识提炼】
1.等差数列的项与序号的关系
两项 关系 (n-m)d ，m∈N*) an=am+_______(n
多项 若{an}为等差数列，且m+n=p+q(m，n，p， am+an=ap+aq 关系 q∈N*)，则__________
2.等差数列的对称性
在有穷等差数列{an}中，与首末两项“等距离”的两项
解得d2=4，即d=〒2. 由于该数列为递增数列，故d=2.
所以an=1+(n-1)〓2=2n-1.
答案：2n-1
【知识探究】
知识点1
等差数列通项公式的推广
观察如图所示内容，回答下列问题：
问题1：等差数列通项公式的推广形式是什么？如何证 明？
问题2：等差数列通项公式的推广形式的几何意义是什
么？
【总结提升】等差数列通项公式的推广形式 (1)公式的证明 设等差数列{an}的公差为d，则 an=a1+(n-1)d，am=a1+(m-1)d， 两式相减得an-am=(n-m)d，即an=am+(n-m)d.
【解析】选B.5an+1-5an=5(an+1-an)=5d，n∈N*. 所以5a1，5a2，5a3，„，5an是公差为5d的等差数列.
3.等差数列{an}中，a100=120，a90=100，则公差d等于
(
A.2 B.20 C.100 D.不确定
)
【解析】选A.因为a100-a90=10d，所以10d=120-100=20，
+a28=100，求a3+a6+a9+„+a30的值.
1 【解题探究】1.典例1中，等差数列{ }的公差如 an 1
何计算？要求a8须先求什么？
1 提示：由a3=2，a7=1可求等差数列{ }的第3项和 an 1 第7项，进而求出4倍的公差.要求a8须先求 1 . a8 1
2.典例2中，a1+a4+a7+„+a28与a3+a6+a9+„+a30的项数 有什么关系？取值有什么关系？ 提示：a1+a4+a7+„+a28与a3+a6+a9+„+a30的项数相同， 都是10项.a3+a6+a9+„+a30=a1+a4+a7+„+a28+20d.
(3)若数列{kn}是等差数列，则数列{a k }也是等差数列.
n
4.等差数列的单调性
等差数列{an}的公差为d，
递增 数列. (1)当d>0时，数列{an}为_____
递减 数列. (2)当d<0时，数列{an}为_____
常 数列. (3)当d=0时，数列{an}为___
【即时小测】
1.判断 (1)若数列{an}为等差数列，则an+1=an-1+2d，n>1，且
【方法技巧】 1.运用等差数列任意两项的关系可解决的两类问题
(1)在已知公差的情况下，由等差数列的某项求其他任
意项. (2)由等差数列的任意不同两项计算公差.
2.关注多项相加式之间的关系 (1)等差数列{an}的相邻k项的和仍为等差数列，如 a1+a2，a2+a3，a3+a4，„，an-1+an，„成等差数列； a1+a2，a3+a4，a5+a6，„，an+an+1，„成等差数列； a1+a2+„+am，a2+a3+„+am+1，a3+a4+„+am+2，„， ak+ak+1+„+ak+m-1„成等差数列等.
类型二
等差数列性质的应用
【典例】1.(2015·陇南高二检测)已知{an}，{bn}是
两个等差数列，其中a1=3，b1=-3，且a19-b19=16，那么 a10-b10的值为( )
A.-6
B.6
C.0
D.11
2.(2015·广东高考)在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+
a6+a7=25，则a2+a8=________.
(3){ank}(k∈N*)是公差为kd的等差数列.
【题型探究】 类型一 等差数列中任意两项关系的应用
【典例】1.(2015·邢台高一检测)数列{an}中，a3=2，
1 a7=1，又数列{ }是公差为d的等差数列，则 an 1
a8=(
11 A. 13
) B.0
2 C. 3
D.-1
2.数列{an}是公差为-2的等差数列，且a1+a4+a7+„
所以d=2.
4.等差数列{an}中，a2=5，a6=33，则a3+a5=______ 【解析】由等差数列的性质可得 a3+a5=a2+a6=5+33=38. 答案：38
5.已知递增的等差数列{an}满足a1=1，a3=a22-4，则
an=________.
【解析】设等差数列的公差为d，
因为a3=a22-4，所以1+2d=(1+d)2-4，
a2+an-1 a3+an-2 之和等于首项与末项的和，即a1+an=______=______=„
3.等差数列的“子数列”的性质
已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1，公差为d， am+1 ， (1)将数列中的前m项去掉，其余各项组成首项为____ d 的等差数列. 公差为__
2d 的等差数列. (2)奇数项数列{a2n-1}是公差为___ 2d 的等差数列. 偶数项数列{a2n}是公差为___
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n∈N*.(
)
(2)若{an}为等差数列，且m+n=p(m，n，p∈N*)，则 am+an=ap.( )
(3)取出一个等差数列的所有偶数项构成的数列为等差
数列且其公差为原数列公差的两倍.(
)
【解析】 (1)正确.由等差数列中任意两项的关系知an+1=an-1+2d. (2)错误.因为am=a1+(m-1)d，an=a1+(n-1)d， m+n=p，所以am+an=2a1+(m+n-2)d=2a1+(p-2)d， 又因为ap=a1+(p-1)d，所以要使am+an=ap， 还须有a1+(p-1)d=2a1+(p-2)d，即a1=d.
【变式训练】已知数列{an}为等差数列，且满足
a4+a7+a10=17，a4+a5+a6+„+a14=77，ak=13，求k的值.
【解析】因为a4+a10=2a7，
a4+a14=a5+a13=a6+a12=a7+a11=a8+a10=2a9， 所以3a7=17，11a9=77，所以a7= 17 ，a9=7.
=2a1+(p+q-2)d， 因为m+n=p+q，
所以am+an=ap+aq.
(2)若am+an=ap+aq，则m+n=p+q不一定成立.例如，公差 为0时，总有am+an=ap+aq，m+n=p+q不一定成立.
2.等差数列几个常用的结论
若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列：
(1){c+an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列. (2){c·an}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列.
2.典例2中，观察a3+a4+a5+a6+a7与a2+a8项的序号，
可由等差数列的性质得到什么结论？
提示：a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5.
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2017春人教版高中数学必修五课件：2.2 第2课时 等差数列的性质1
D.10
【解析】∵a1＋a9＝2a5， ∴a5＝5.
第十六页，编辑于星期六：三点 二分。
2．等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则 a2＝( A )
A．3
B．－3
C.23
D．－32
【解析】由题意知a4+a5=a2+a7 ∴a2=15-12=3，故选A.
第十七页，编辑于星期六：三点 二分。
第九页，编辑于星期六：三点 二分。
【变式练习】 梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间
还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽. 【解析】 由题意知，建立一个等差数列{an}来计算中间各级的 宽，由已知条件，有a1=33,a12=110，1≤n≤12，n∈N*, 又 a12=a1+(12-1)d，即110＝33＋11d，所以 d=7，因此， a2=33+7=40，a3=40+7=47，…，a11=96+7=103. 答：梯子中间各级的宽从上到下依次是40 cm、47 cm、 54 cm、61 cm、68 cm、75 cm、82 cm、89 cm、96 cm、 103 cm.
第十三页，编辑于星期六：三点 二分。
例3 在等差数列{an}中， (1)已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20. 熟记性质
【解析】由a1+a20 =a6+a15= a9+a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10. (2)已知a3+a11=10，求a6+a7+a8.
等差数列的通项公式与一次函数的解析式都是关于 自变量的一次整式，都是简单的，也是最基本的数 列或函数的解析式.
高一数学必修5PPT课件：等差数列的性质
a4= 11 a7= 17
∴d= _2或2, 从而a14= _列的 性质
变 式 1 ： 已 知 { a } 为 等 差 数 列 ， a a a 高一数学必修5PPT课件：等差数列的性质
n
4
5
6
a7 56,a4a7 187,求a1,d
变式2：已知{an }为等差数列，a2 a5 a8 9, a3a5a7 21,求数列通项公式
解： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知 a3+a11=10， ∴ a6+a7+a8= 23（a3+a11）=15
(解3)：已a4+知a5+aa4+6+aa57+=a566+a7=a54+6a，7=a248a7①=187，求a14及公差d.
又 a4a7=187 ② ， 解 ①、 ② 得
a4= 17 或 a7= 11
研究性问题
1. 若a12=23，a42=143， an=263，求n. d= 4 n=72
2.已知{an}为等差数列，若a10= 20 ，d= -1 ，求a 3 ?
a 3= a 10 +(3-10)d
a 3=27
3. 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的
积为12，求此三数. 6，4，2或2，4，6
笔记①: 三个数等差的设法：a-d，a，a+d
练习2、成等差数列的四个数之和为26，第二个 与第三个数之积为40，求这四个数。
笔记:
四个数等差的设法： a-3d，a-d，
a+d，a+3d
公差为2d
性质一、任意两项的关系
在等差数列 an 中，有
an
人教高中数学必修五 第二章2.2 等差数列的概念课件(共20张PPT)
an1 an d (是与n无关的数或式子）
练习
1、判断下列数列是否为等差数列？如果是请说出公差d
a2=a1 + d， 常数列 （1）1，2，4，6，8，10，12，… 不是 a （ a +d ） a 3= 2 + d = 1 + d= a1 + 2 d， （2）0， 1，2，3，4，5，6，… 是 d=1 a 3 + d = （a1+2 + d= a + a = 3 d， 4 1 （3）3，3，3，3， 3，3，3，… 是 d=0 d ） a （ a1+3 + d= a + 4 d， 4 + d = a = 5 2，4，7，11，16，… 1 （ 4） 不是 d ） …… （5）－8，－6，－4，0，2，4，… 不是 （n-1） a3n，－ = 6，－ a1 9 + d． （6）3，0，－ ，… 是 d=-3
练习
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后, 三个数就会成为一个等差数列： （1）2 ， 3 ， 4 （2）-1， 2 ，5 （3）-12， -6 ，0 （4）0，
0
，0
例题
例4
已知一个等差数列的第3项是5，第8项 是20，求它的第25项． an=a1+(n-1)d 解 因为a3=5，a8=20，根据通项公式得
2、已知一个等差数列{an}的首项是a1，公差是d，如何 求出它的任意项an呢？
等差数列通项公式：
an=a1+（n-1）d
例题
例1
求等差数列8，5，2，…的通项公式 和第20项． an=a1+(n-1)d 解：∵a1 =8 d=5-8=-3
人教A版高中数学必修5课件：2.2等差数列定义及通项公式(共37张PPT)
∴294<d≤3.又 d 为整数， ∴d＝3. ∴an＝a1＋(n－1)·d＝－24＋3(n－1)＝3n－27. ∴通项公式为 an＝3n－27.
10．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始， 每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等 方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列，求 an 和 an－ 1(n≥2)的关系式；
[答案] B
4．首项是 18，公差为 3 的等差数列的第________项开
始大于 100.
[解析] 由题意 an＝18＋3(n－1)＝3n＋15，
由
3n＋15>100
得
1 n>283.
∵n∈N*，
∴n＝29，即从 29 项开始大于 100.
[答案] 29
5．若b＋1 c，c＋1 a，a＋1 b成等差数列，求证：a2，b2，c2 成等差数列．
又∵d 是整数，∴d＝－4.故选 C. [答案] C
二、填空题
5．若 x≠y，数列 x，a1，a2，y 和 x，b1，b2，b3，y 各
自成等差数列，则ab11－ －ab22＝________. [解析] 由于 a1－a2＝x－3 y，b1－b2＝x－4 y，则ab11－ －ab22＝43.
[答案]
(2)若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，证明该 数列为常数列．
[解] (1)由等方差数列的定义可知：a2n－a2n－1＝p(n≥2)． (2)解法一：∵{an}是等差数列，设公差为 d，则 an－an －1＝an＋1－an＝d(n≥2)．又{an}是等方差数列，∴a2n－a2n－1＝ a2n＋1－a2n(n≥2)，∴(an＋an－1)(an－an－1)＝(an＋1＋an)(an＋1－ an)，即 d(an＋an－1－an＋1－an)＝－2d2＝0，∴d＝0，即{an} 是常数列．
10．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始， 每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等 方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列，求 an 和 an－ 1(n≥2)的关系式；
[答案] B
4．首项是 18，公差为 3 的等差数列的第________项开
始大于 100.
[解析] 由题意 an＝18＋3(n－1)＝3n＋15，
由
3n＋15>100
得
1 n>283.
∵n∈N*，
∴n＝29，即从 29 项开始大于 100.
[答案] 29
5．若b＋1 c，c＋1 a，a＋1 b成等差数列，求证：a2，b2，c2 成等差数列．
又∵d 是整数，∴d＝－4.故选 C. [答案] C
二、填空题
5．若 x≠y，数列 x，a1，a2，y 和 x，b1，b2，b3，y 各
自成等差数列，则ab11－ －ab22＝________. [解析] 由于 a1－a2＝x－3 y，b1－b2＝x－4 y，则ab11－ －ab22＝43.
[答案]
(2)若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，证明该 数列为常数列．
[解] (1)由等方差数列的定义可知：a2n－a2n－1＝p(n≥2)． (2)解法一：∵{an}是等差数列，设公差为 d，则 an－an －1＝an＋1－an＝d(n≥2)．又{an}是等方差数列，∴a2n－a2n－1＝ a2n＋1－a2n(n≥2)，∴(an＋an－1)(an－an－1)＝(an＋1＋an)(an＋1－ an)，即 d(an＋an－1－an＋1－an)＝－2d2＝0，∴d＝0，即{an} 是常数列．
等差数列的性质 高中数学必修五课件
巩固练习
3、已知{an}为等差数列 且 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求公差d.
4. 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的
积为12，求此三数. 6，4，2或2，4，6
设这三个数分别为a-d ，a，a+d，则3a=12，a2-d2=12
5. 四个数成等差数列，它们的和为12，首尾二数
…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…
对称项设法的优点：若有n个数构成等差数列．利用对 称项设出这个数列，则其各项和为na．
巩固练习
1. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= -35 提示： d=an+1—an=4
2、
已知 a n 中 a 数 1 3 ， ,a 1 n 列 a 1 n 1 5 (n 2 )则 ,a n __ .
m n p q , a m a n a p a q .
例题分析
例1 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20
分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10
(2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8
试ap求 q.
解：设 d,则公 因 apa 差 q为 (p 为 q)d, 所d以 apaqqp1. pq pq 从 a p q a p 而 q q d q ( 1 ) 0 . 所a以 pq0.
二、 例：
例： 已知数列{ a n }的通项公式为 an pnq，其
人教A版高中数学必修五2.2等差数列的性质课件
a5 a7 9
性质6.（小题必备结论）
（1）若an 是公差为d的等差数列，则 1 an (为任一常数)是公差为d的等差数列； 如： an 1，2，3，4，5， d 1 2 an 3，4，5，6，7， d 1
2 an (为任一常数)是公差为d的等差数列； 如：an 1，2，3，4，5 d 1 2an 2，4，6，8，10 d ' 2
则a5 a8 ___1__8___
解： a2 a11 a3 a10 a5 a8 a2 a3 a10 a11 2(a5 a8 ) 36 a5 a8 18
性质3.设项技巧
例2.已知三个数成等差数列，它们的和为6，平方和为44， 求这三个数。
解：设这三个数为 a d, a, a d 由题意得：a d a a d 6 (a d)2 a2 (a d)2 44 解得：a 2 d 4
an 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9,
1, 3, 5, 7, 9,
也构成等差数列；
6,15, 24,
例5.设an,bn都是等差数列，且a1 25，b1 75，a2 b2 100，
C 则a37 b37 (
)
A.0
B.37
C.100
D. 37
解：令 cn an bn
思考：等差数列的通项公式与函数有什么关系？
an a1 (n 1)d
an a1 nd d dn (a1 d ) an dn (a1 d )
f (x) kx b (n, an )是一次函数上离散的点
性质4.等差数列与一次函数的关系
等差数列的通项公式 一次函数
解析式 不同点 相同点
7 3
或
a d
7 3
所以，这四个数为 2, 4,10,16或16,10,4,-2
性质6.（小题必备结论）
（1）若an 是公差为d的等差数列，则 1 an (为任一常数)是公差为d的等差数列； 如： an 1，2，3，4，5， d 1 2 an 3，4，5，6，7， d 1
2 an (为任一常数)是公差为d的等差数列； 如：an 1，2，3，4，5 d 1 2an 2，4，6，8，10 d ' 2
则a5 a8 ___1__8___
解： a2 a11 a3 a10 a5 a8 a2 a3 a10 a11 2(a5 a8 ) 36 a5 a8 18
性质3.设项技巧
例2.已知三个数成等差数列，它们的和为6，平方和为44， 求这三个数。
解：设这三个数为 a d, a, a d 由题意得：a d a a d 6 (a d)2 a2 (a d)2 44 解得：a 2 d 4
an 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9,
1, 3, 5, 7, 9,
也构成等差数列；
6,15, 24,
例5.设an,bn都是等差数列，且a1 25，b1 75，a2 b2 100，
C 则a37 b37 (
)
A.0
B.37
C.100
D. 37
解：令 cn an bn
思考：等差数列的通项公式与函数有什么关系？
an a1 (n 1)d
an a1 nd d dn (a1 d ) an dn (a1 d )
f (x) kx b (n, an )是一次函数上离散的点
性质4.等差数列与一次函数的关系
等差数列的通项公式 一次函数
解析式 不同点 相同点
7 3
或
a d
7 3
所以，这四个数为 2, 4,10,16或16,10,4,-2
2017春人教版高中数学必修五课件：2-2第2课时----等差数列的性质
3 3 得1－2d1＋2d＝－8，
9 2 即 1－ d ＝－8， 4 化简得 d2＝4，所以 d＝2 或－2.10 分
又四个数成递增等差数列， 所以d>0，所以d＝2，
故所求的四个数为－2,0,2,4.12分
[题后感悟] 利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计
方法二：根据等差数列的通项公式，得 a2＋a8＋a14＝(a1＋d)＋(a1＋7d)＋(a1＋13d) ＝3a1＋21d. 1 由题意知 3a1＋21d＝1，即 a1＋7d＝3. 2 ∴a3＋a13＝2a1＋14d＝2(a1＋7d)＝3.
(2)根据已知条件 a2＋a3＋a23＋a24＝48，得 4a13＝48， ∴a13＝12. (3)由 a2＋a3＋a4＋a5＝34，得 2(a2＋a5)＝34，即 a2＋a5 ＝17.
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8， ∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.10分 又四个数成递增等差数列， 所以d>0， ∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.12分
方法二：若设这四个数为 a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差 为 d)，8 分 依题意，2a＋3d＝2，且 a(a＋3d)＝－8， 3 把 a＝1－2d 代入 a(a＋3d)＝－8，
第3年获利160万元，„，每年获利构成等差数列{an}，
且当an<0时，该公司将会出现亏损．
[解题过程] 设第n年的利润为an万元， 则a1＝200，an－an－1＝－20，n≥2，n∈N*，
所以每年的利润an可构成一个首项为200，公差为－20的等
差数列{an}， 从而an＝220－20n. 若an<0，则该公司经销这一产品将会出现亏损， 令an＝220－20n<0，解得n>11.又n∈N*，所以n＝12. 故从第12年起，该公司经销此产品将会出现亏损．
9 2 即 1－ d ＝－8， 4 化简得 d2＝4，所以 d＝2 或－2.10 分
又四个数成递增等差数列， 所以d>0，所以d＝2，
故所求的四个数为－2,0,2,4.12分
[题后感悟] 利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计
方法二：根据等差数列的通项公式，得 a2＋a8＋a14＝(a1＋d)＋(a1＋7d)＋(a1＋13d) ＝3a1＋21d. 1 由题意知 3a1＋21d＝1，即 a1＋7d＝3. 2 ∴a3＋a13＝2a1＋14d＝2(a1＋7d)＝3.
(2)根据已知条件 a2＋a3＋a23＋a24＝48，得 4a13＝48， ∴a13＝12. (3)由 a2＋a3＋a4＋a5＝34，得 2(a2＋a5)＝34，即 a2＋a5 ＝17.
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8， ∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.10分 又四个数成递增等差数列， 所以d>0， ∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.12分
方法二：若设这四个数为 a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差 为 d)，8 分 依题意，2a＋3d＝2，且 a(a＋3d)＝－8， 3 把 a＝1－2d 代入 a(a＋3d)＝－8，
第3年获利160万元，„，每年获利构成等差数列{an}，
且当an<0时，该公司将会出现亏损．
[解题过程] 设第n年的利润为an万元， 则a1＝200，an－an－1＝－20，n≥2，n∈N*，
所以每年的利润an可构成一个首项为200，公差为－20的等
差数列{an}， 从而an＝220－20n. 若an<0，则该公司经销这一产品将会出现亏损， 令an＝220－20n<0，解得n>11.又n∈N*，所以n＝12. 故从第12年起，该公司经销此产品将会出现亏损．
人教A版高中数学必修五课件：2.2.1 等差数列(2) (共17张PPT)
(2) 若 m 、n 、p 、q N* 且 m n p q
则 am an ap aq (反之不成立)
证明：由通项公式得：
am an a1 (m 1)d a1 (n 1)d 2a1 (m n 2)d
ap aq a1 ( p 1)d a1 (q 1)d
2a1 ( p q 2)d
2.2.2 等差数列 （2）
1、定义:
如果一个数列从第2项起，每一项与 它的前一项 的差都等于同一个常数，那么
这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常 用 d 表示.
即 an an1 d （n 2）
2、通项公式：
an a1 (n 1)d.
推广：an am (n m)d
故a，A，b 成等差数列 A a b 2
3、等差中项：
如果a ，A ，b成等差数列，那么 A叫做a与b的等差中项，且 A a b .
2
由此得,在等差数列a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , … an , …中,
an
an1 an1 2
（n 2）
即 2an an1 an1 （n 2）
(2) 若 m n p q，则 am an ap aq . (3) ak ，akm ，ak2m ， 组成的数列仍然是 等差数列，且公差为 md .
(4) Sk ，S2k Sk ，S3k S2k ， 组成的数列仍然是 等差数列 .
(5) 若数列{an}与{bn}均为等差数列 ， 则数列{man kbn}(m，k 为常数)仍为等差数列 .
∴ a3+ a6+a9=3a6 = 27.
练习： 在等差数列{an } 中 . (1) 已知 a2 a3 a11 a12 76，求 a7 ； (2) 已知 a2 a3 a4 a5 34，a2a5 52， 且 d 0，求 d ，an .
高中数学必修5课件：第2章2-2-2等差数列的性质
(4)形如a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，…的抽取， 实 际 上 是 3a2,3a5,3a8… 当 然 成 等 差 数 列 ． 对 于 每 2 项 ， 4 项 ， 5 项…抽取，道理是相同的．
(5)a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…
数学 必修5
第二章 数列
1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于( )
A．4
B．5
C．6
D．7
解析： a2＋a8＝2a5＝12，∴a5＝6. 答案： C
数学 必修5
第二章 数列
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5
＋a6等于( )
A．40
B．42
C．43
D．45
解析： ∵a2＋a3＝2a1＋3d，∴d＝3，∴a4＋a5＋a6＝a1 ＋a2＋a3＋3×3d＝42.
答案： B
数学 必修5
第二章 数列
3 ． 已知 {an} 为等差数列 ， a3＋ a8＝22 ，a6＝ 7， 则a5＝ ________.
解析： ∵a3＋a8＝a5＋a6＝22，∴a5＝22－a6＝22－7＝ 15.
答案： 15
数学 必修5
第二章 数列
4．在等差数列{an}中， (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d. 解析： 方法一：(1)直接化成a1和d的方程如下：(a1＋d) ＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48， ∴4a13＝48，∴a13＝12.
数学 必修5
第二章 数列
利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化 计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时， 可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…a－2d，a －d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两 项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a －d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
(5)a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…
数学 必修5
第二章 数列
1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于( )
A．4
B．5
C．6
D．7
解析： a2＋a8＝2a5＝12，∴a5＝6. 答案： C
数学 必修5
第二章 数列
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5
＋a6等于( )
A．40
B．42
C．43
D．45
解析： ∵a2＋a3＝2a1＋3d，∴d＝3，∴a4＋a5＋a6＝a1 ＋a2＋a3＋3×3d＝42.
答案： B
数学 必修5
第二章 数列
3 ． 已知 {an} 为等差数列 ， a3＋ a8＝22 ，a6＝ 7， 则a5＝ ________.
解析： ∵a3＋a8＝a5＋a6＝22，∴a5＝22－a6＝22－7＝ 15.
答案： 15
数学 必修5
第二章 数列
4．在等差数列{an}中， (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d. 解析： 方法一：(1)直接化成a1和d的方程如下：(a1＋d) ＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48， ∴4a13＝48，∴a13＝12.
数学 必修5
第二章 数列
利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化 计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时， 可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…a－2d，a －d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两 项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a －d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
高中数学人教版必修5课件：2.2.1等差数列的性质(共14张PPT)
问题。
重、难点：活用性质，优化计算。
抛砖引玉
已知等差数列{an}中，公差为d， 则an与am（n，m∈N*)有何关系？ 解：∵an=a1+(n-1) d ①
am=a1+(m-1)d ② ①-②得：an-am=(n-m)d
∴ an=am+(n-m)d
1、等差数列的性质一：
• 设数列{an}是公差为d的等差数列，则：
• (2)中项公式法 2an+1=an+ an+2{an}是等差数列
• (3)通项公式法 an=kn+b，k、b是常数{an}为等差数列
知识盘点
• 等差数列的性质：
1、设数列{an}是公差为d的等差数列， 则：an= am+(n-m)d (m，n∈N*)
2、在等差数列{an}中， 若m+n=p+q，m、n、p、q∈N*， 则am+an=ap+aq。 特别地，若m+n=2k，则 am+an=2ak。
课后作业
• 1. 在等差数列{an}中 ，已知a5=10 ， a12=31 , 公差 d 及a19 。
• 2.已知为等差数列, a1+a5=10,
a2+a4+a6=33,则求a3+a4的值。
理想的书籍是智慧的铜匙。 人生应该树立目标，否则你的精力会白白浪费。 游手好闲会使人心智生锈。 每个人身上都有惰性和消极情绪，成功的人都是懂得管理自己的情绪和克服自己的惰性，并像太阳一样照亮身边的人，激励身边的人。 如果要给美好人生一个定义，那就是惬意。如果要给惬意一个定义，那就是三五知己、谈笑风生。 无所不能的人实在一无所能，无所不专的专家实在是一无所专…… 驾驭命运的舵是奋斗。 在强者的眼中，没有最好，只有更好。 当你能飞的时候就不要放弃飞。 我在奋斗在坚持在拼搏在努力你要等。 每个人心里都有一段伤痕，时间才是最好的疗剂。 学到很多东西的决窍，就是一下子不要学很多的东西。 学贵精不贵博。……知得十件而都不到地，不如知得一件却到地也。 有梦就去追，没死就别停。 不管做什么都不要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。 珍惜今天的美好就是为了让明天的回忆更美好。 人生应该树立目标，否则你的精力会白白浪费。 没有人能预知未来的命运，但我们可以用愉悦的表情面对命运。 燕雀安知鸿鹄之志哉。 人生最大的错误是不断担心会犯错。 在茫茫沙漠，唯有前时进的脚步才是希望的象征。
重、难点：活用性质，优化计算。
抛砖引玉
已知等差数列{an}中，公差为d， 则an与am（n，m∈N*)有何关系？ 解：∵an=a1+(n-1) d ①
am=a1+(m-1)d ② ①-②得：an-am=(n-m)d
∴ an=am+(n-m)d
1、等差数列的性质一：
• 设数列{an}是公差为d的等差数列，则：
• (2)中项公式法 2an+1=an+ an+2{an}是等差数列
• (3)通项公式法 an=kn+b，k、b是常数{an}为等差数列
知识盘点
• 等差数列的性质：
1、设数列{an}是公差为d的等差数列， 则：an= am+(n-m)d (m，n∈N*)
2、在等差数列{an}中， 若m+n=p+q，m、n、p、q∈N*， 则am+an=ap+aq。 特别地，若m+n=2k，则 am+an=2ak。
课后作业
• 1. 在等差数列{an}中 ，已知a5=10 ， a12=31 , 公差 d 及a19 。
• 2.已知为等差数列, a1+a5=10,
a2+a4+a6=33,则求a3+a4的值。
理想的书籍是智慧的铜匙。 人生应该树立目标，否则你的精力会白白浪费。 游手好闲会使人心智生锈。 每个人身上都有惰性和消极情绪，成功的人都是懂得管理自己的情绪和克服自己的惰性，并像太阳一样照亮身边的人，激励身边的人。 如果要给美好人生一个定义，那就是惬意。如果要给惬意一个定义，那就是三五知己、谈笑风生。 无所不能的人实在一无所能，无所不专的专家实在是一无所专…… 驾驭命运的舵是奋斗。 在强者的眼中，没有最好，只有更好。 当你能飞的时候就不要放弃飞。 我在奋斗在坚持在拼搏在努力你要等。 每个人心里都有一段伤痕，时间才是最好的疗剂。 学到很多东西的决窍，就是一下子不要学很多的东西。 学贵精不贵博。……知得十件而都不到地，不如知得一件却到地也。 有梦就去追，没死就别停。 不管做什么都不要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。 珍惜今天的美好就是为了让明天的回忆更美好。 人生应该树立目标，否则你的精力会白白浪费。 没有人能预知未来的命运，但我们可以用愉悦的表情面对命运。 燕雀安知鸿鹄之志哉。 人生最大的错误是不断担心会犯错。 在茫茫沙漠，唯有前时进的脚步才是希望的象征。