线性代数模拟试卷及答案
考研数学三(线性代数)模拟试卷120(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷120(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A，B，A＋B，A－1＋B－1皆为可逆矩阵，则(A－1＋B－1)－1等于( )．A．A＋BB．A－1＋B－1C．A(A＋B)－1BD．(A＋B)－1正确答案：C解析：A(A＋B)－1B(A－1＋B－1)＝[(A＋B)A－1]－1(BA－1＋E)＝(BA－1＋E)－1(BA－1＋E)＝E，选(C)．知识模块：线性代数2．设则m，n可取( )．A．m＝3，n＝2B．m＝3，n＝5C．m＝2，n＝3D．m＝2，n＝2正确答案：B解析：P1mAP2n＝经过了A的第1，2两行对调与第1，3两列对调，P1＝＝E13，且Eij2＝E，P1mAP2n＝P1AP2，则m＝3，n＝5，选(B)．知识模块：线性代数3．设A＝(α1，α2，…，αm)，其中α1，α2，…，αm是n维列向量，若对于任意不全为零的常数k1，k2，…，km，皆有k1α1＋k2α2＋…＋kmαm ≠0，则( )．A．m＞nB．m＝nC．存在m阶可逆阵P，使得AP＝D．若AB＝O，则B＝O正确答案：D解析：因为对任意不全为零的常数k1，k2，…，km，有k1α1＋k2α2＋…＋kmαm≠0，所以向量组α1，α2，…，αm线性无关，即方程组AX＝0只有零解，故若AB＝O，则B＝O，选(D)．知识模块：线性代数4．设α1，α2，…，αM与β1，β2，…，βs为两个n维向量组，且r(α1，α2，…，αm)＝r(β1，β2，…，βs)＝r，则( )．A．两个向量组等价B．r(α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βs)＝r．C．若向量组α1，α1…，αm可由向量组β1，β2，…，βs线性表示，则两向量组等价D．两向量组构成的矩阵等价正确答案：C解析：不妨设向量组α1，α2，…，αm的极大线性无关组为α1，α2，…，αr，向量组β1，β2，…，βs的极大线性无关组为β1，β2，…，βr，若α1，α2，…，αm可由β1，β2，…，βs线性表示，则α1，α2，…，αr，也可由β1，β2，…，βαr，线性表示，若β1，β2，…，βr，不可由α1，α2，…，αr，线性表示，则β1，β2，…，βs也不可由α1，α2，…，αm线性表示，所以两向量组秩不等，矛盾，选(C)．知识模块：线性代数5．设A为m×n阶矩阵，则方程组AX＝b有唯一解的充分必要条件是( )．A．r(A)＝mB．r(A)＝nC．A为可逆矩阵D．r(A)＝n且b可由A的列向量组线性表示正确答案：D解析：方程组AX＝b有解的充分必要条件是b可由矩阵A的列向量组线性表示，在方程组AX＝b有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是r(A)＝n，选(D)．知识模块：线性代数6．设A为n阶矩阵，下列结论正确的是( )．A．矩阵A的秩与矩阵A的非零特征值的个数相等B．若A～B，则矩阵A与矩阵B相似于同一对角阵C．若r(A)＝r＜n，则A经过有限次初等行变换可化为D．若矩阵A可对角化，则A的秩与其非零特征值的个数相等正确答案：D解析：(A)不对，如A＝，A的两个特征值都是0，但r(A)＝1；(B)不对，因为A～B不一定保证A，B可以对角化；(C)不对，如A＝，A经过有限次行变换化为，经过行变换不能化为；因为A可以对角化，所以存在可逆矩阵P，使得P －1AP＝，于是r(A)＝，故选(D)．知识模块：线性代数填空题7．设A为n阶矩阵，且｜A｜＝a≠0，则｜(kA)*｜＝______．正确答案：kn(n－1)an－1解析：因为(kA)*＝kn－1A*，且｜A*｜＝｜A｜n－1，所以｜(kA)*｜＝｜kn－1A*｜＝kn(n－1)｜A｜n－1＝kn(n－1)an－1．知识模块：线性代数8．设A＝，B≠O为三阶矩阵，且BA＝O，则r(B)＝______．正确答案：1解析：BA＝Or(A)＋r(B)≤3，因为r(A)≥2，所以r(B)≤1，又因为B≠O，所以r(B)＝1．知识模块：线性代数9．设三阶矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝，λ3＝其对应的特征向量为α1，α2，α3，令P＝(2α3,－3α1，－α2)，则P－1(A－1＋2E)P＝______．正确答案：解析：P－1(A－1＋2E)P－1A－1P＋2E，而P－1A－1P＝，所以P－1(A－1＋2E)P＝知识模块：线性代数10．设A＝有三个线性无关的特征向量，则a＝______．正确答案：0解析：由｜λE－A｜＝0得A的特征值为λ1＝－2，λ2＝λ3＝6．因为A 有三个线性无关的特征向量，所以A可以对角化，从而r(6E－A)＝1，解得a＝0．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
线性代数模拟试卷及答案
线性代数(文)模拟试卷(一)参考答案一。
填空题(每小题3分，共12分）1.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333222111c b a c b a c b a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333222111d b a d b a d b a B ，2=A ,3=B ，则B A -2=1. 解 B A -2=3332221113332221113333222211112222d b a d b a d b a c b a c b a c b a d c b a d c b a d c b a -=---=12=-B A .2。
已知向量)3,2,1(=α，)31,21,1(=β,设βαT A =，其中T α是α的转置，则n A =A n 13-.解 注意到3321)31,21,1(=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T βα,故n A =βαβαβαβαT n T T T 个)())((=ββαβαβααβαTn T T T T 个)1()())((-=A n T n 1133--=βα。
注 若先写出A ，再求2A ,…,n A 将花比前更多的时间.3。
若向量组T )1,0,1(1-=α，T k )0,3,(2=α，T k ),4,1(3-=α线性相关，则k =3-.解 由1α,2α,3α线性相关，则有321,,ααα=k k 0143011--=1043011--k k k =04)1(3143=--=-k k k k 。
由此解得3-=k .4。
若4阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为21，31，41,51,则行列式E B --1 =24.解 因为A 与B 相似,所以A ,B 有相似的特征值，从而E B --1有特征值1，2，3,4。
故2443211=⋅⋅⋅=--E B . 注 本题解答中要用到以下结论:(1)若A 可逆,A 的特征值为λ,则1-A 的特征值为λ1。
(2)若λ是A 的特征值，则)(A f 的特征值为)(λf ，其中)(x f 为任意关于x 的多项式。
大学数学线性代数期末复习模拟测试试卷(含答案)
线性代数期末模拟测试试卷（含答案）班别 姓名 成绩一、选择题1．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时，该二次型为正定？（ ） A.054<<-t B.5454<<-t C.540<<t D.2154-<<-t2.已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，求x 的值（ ）A.3B.-2C.5D.-53．设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ） A. 0≠A B. 01≠-A C.n A r =)( D.A 的行向量组线性相关4．过点（0，2，4）且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为（ ） A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y x C.14322+=+=-z y x D.24322+=+=z y x5．已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1513A ,其特征值为（ ）A.4,221==λλB.4,221-=-=λλC.4,221=-=λλD.4,221-==λλ二、填空题.答题要求：将正确答案填写在横线上6．三阶行列式ij a 的展开式中，321123a a a 前面的符号应是 。
7．设123221,343A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ij A 为A 中元ij a 的代数余子式，则111213A A A ++= 。
8．设n 阶矩阵A 的秩1)(-<n A r ，则A 的伴随矩阵A *的元素之和∑∑===n i nj ij A 11。
9．三阶初等矩阵()1,2E 的伴随矩阵为 。
10．若非齐次线性方程组AX B =有唯一解，则其导出组0AX =解的情况是 。
11．若向量组11121233,a b a b a b αβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭线性相关，则向量组112222,a b a b αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的线性关系是 。
考研数学一(线性代数)模拟试卷101(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）模拟试卷101(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A为m×n阶矩阵，C为n阶矩阵，B=AC，且r(A)=r，r(B)=r1，则( )．A．r＞r1B．r＜r1C．r≥r1D．r与r1的关系依矩阵C的情况而定正确答案：C解析：因为r1=r(B)=r(AC)≤r(A)=r，所以选(C)．知识模块：线性代数2．向量组α1，α2，…，αm线性无关的充分必要条件是( )．A．向量组α1，α2，…，αm，β线性无关B．存在一组不全为零的常数k1，k2，…，km，使得k1α1+k2α2+…+km αm≠0C．向量组α1，α2，…，αm的维数大于其个数D．向量组α1，α2，…，αm的任意一个部分向量组线性无关正确答案：D解析：(A)不对，因为α1，α2，…，αm，β线性无关可以保证α1，α2，…，αm线性无关，但α1，α2，…，αm线性无关不能保证α1，α2，…，αm，β线性无关；(B)不对，因为α1，α2，…，αm线性无关可以保证对任意一组非零常数k1，k2，…，km，有k1α1+k2α2+…+kmαm≠0，但存在一组不全为零的常数k1，k2，…，km使得k1α1+k2α2+…+kmαm≠0不能保证α1，α2，…，αm线性无关；(C)不对，向量组α1，α2，…，αm线性无关不能得到其维数大于其个数，如α1=，α2=线性无关，但其维数等于其个数，选(D)．知识模块：线性代数3．设A，B为正定矩阵，C是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( )．A．CTACB．A－1+B－1C．A*+B*D．A—B正确答案：D解析：显然四个选项中的矩阵都是实对称阵，因为A，B正定，所以A－1，B－1及A*，B*都是正定的，对任意X≠0，XT(CTAC)X=(CX)TA(CX)＞0(因为C可逆，所以当X≠0时，CX≠0)，于是CTAC为正定矩阵，同样用定义法可证A－1+B－1与A*+B*都是正定矩阵，选(D)．知识模块：线性代数4．设A为可逆的实对称矩阵，则二次型XTAX与XTA－1X( )．A．规范形与标准形都不一定相同B．规范形相同但标准形不一定相同C．标准形相同但规范形不一定相同D．规范形和标准形都相同正确答案：B解析：因为A与A－1合同，所以XTAX与XTA－1X规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选(B)．知识模块：线性代数5．设A是m×n矩阵，且m＞n，下列命题正确的是( )．A．A的行向量组一定线性无关B．非齐次线性方程组AX=B一定有无穷多组解C．ATA一定可逆D．ATA可逆的充分必要条件是r(A)=n正确答案：D解析：若ATA可逆，则r(ATA)=n，因为r(ATA)=r(A)，所以r(A)=n；反之，若r(A)=n，因为r(ATA)=r(A)，所以ATA可逆，选(D)．知识模块：线性代数6．设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，且非齐次线性方程组AX=b有两个不同解η1，η2，则下列命题正确的是( )．A．AX=b的通解为k1η1+k2η2B．η1+η2为AX=b的解C．方程组AX=0的通解为k(η1一η2)D．AX=b的通解为k1η1+k2η2+(η1+η2)正确答案：C解析：因为非齐次线性方程组AX=b的解不唯一，所以r(A)＜n，又因为A*≠O，所以r(A)=n一1，η2一η1为齐次线性方程组AX=0的基础解系，选(C)．知识模块：线性代数填空题7．设α=(1，一1，2)T，β=(2，1，1)T，A=αβT，则An=________·正确答案：解析：βT=3，A2=αβT·αβT=3αβT=3A，则An=3n－1A=3n－1．知识模块：线性代数8．设A为n阶可逆矩阵(n≥2)，则[(A*)*]－1=_________(用A*表示)．正确答案：解析：由A*=｜A｜A－1得(A*)*=｜A*｜．(A*)－1=｜A｜n－1．(｜A｜A －1)－1=｜A｜N－2A，故[(A*)*]－1=．知识模块：线性代数9．设η1，…，ηs是非齐次线性方程组AX=b的一组解，则k1η1+…+ks ηs为方程组AX=b的解的充分必要条件是_________．正确答案：k1+k2+…+ks=1解析：k1+k2+…+ks=1，显然k1η1+k2η2+…+ksηs为方程组AX=b的解的充分必要条件是A(k1η1+k2η2+…+ksηs)=b，因为Aη1=Aη2=…=Aηs=b，所以(k1+k2+…＋ks)b=b，注意到b≠0，所以k1+k2+…+ks=1，即k1η1+k2η2+…+ksηs为方程组AX=b的解的充分必要条件是k1+k2+…+ks=1．知识模块：线性代数10．已知A=有三个线性无关的特征向量，则a=_________．正确答案：a=-10解析：由｜λE一A｜==(λ一1)(λ一2)2=0得λ1=1，λ2=λ3=2，因为A 可对角化，所以r(2E—A)=1，由2E—A=得a=一10．知识模块：线性代数11．二次型f(x1，x2，x3)=(x1一2x2)2+4x2x3的矩阵为_______．正确答案：解析：因为f(x1，x2，x3)=x12+4x22一4x1x2+4x2x3，所以A=．知识模块：线性代数12．设A为n阶矩阵，且｜A｜=a≠0，则｜(kA)*｜=_________．正确答案：kn(n－1)an－1解析：因为(kA)*=kn－1A*，且｜A*｜=｜A｜n－1，所以｜(kA)*｜=｜kn －1A*｜=kn(n－1)｜A｜n－1=kn(n－1)an－1．知识模块：线性代数13．设A=，B≠O为三阶矩阵，且BA=O，则r(B)=_________．正确答案：1解析：BA=Or(A)+r(B)≤3，因为r(A)≥2，所以r(B)≤1，又因为B≠O，所以r(B)=1．知识模块：线性代数14．设A为三阶实对称矩阵，α1=(A，一A，1)T是方程组AX=0的解，α2=(a，1，1－a)T是方程组(A+E)X=0的解，则a=_________．正确答案：1解析：因为A为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交，因为AX=0及(A+E)X=0有非零解，所以λ1=0，λ2=一1为矩阵A的特征值，α1=(a，一a，1)T，α2=(a，1，1－a)T是它们对应的特征向量，所以有α1Tα2=a2一a+1一a=0，解得a=1．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
线性代数模拟试题及答案
线性代数模拟试题A一．是非、选择题（每小题3分，共15分）1．设A 与B 均为n 阶方阵，则下列结论中 成立。
（a ） det （AB ）=0,则A=0,或B ＝0；（b ） det （AB ）＝0，则detA ＝0，或detB ＝0；（c ） AB=0,则A=0,或B=0；（d ） AB ≠0,则detA ≠0,或detB ≠0。
2．设)1,1,1,1()0,1,0,1(),1,1,0,0(),0,0,1,1(4321====αααα，则它的极大无关组为（a ）;,21αα （b ）321,ααα；（c ）421,,ααα； （d ）4321,,αααα；3．若n 实对称矩阵A 满足,02=A 则A ＝0。
（ ）4．若齐次线性方程组AX=0只有零接，则A 的列向量组线性无关。
（ ）5．若n 阶实对称矩阵n n ij a A ⨯=)(正定，则),2,1(0n i a ij =>（ ）二．填空题（每小题3分，共12分）1．二次型212121321242),,(x x x x x x x x f +-=的秩为2．设A 为n 阶方阵，且detA ＝2，则=+--])31det[(*1A A3．已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=11322002x A 与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=y B 00020001相似，则=x =y 4．当t 取值为时，二次型31212322212224x x x tx x x x f ++---=是负定的。
三．（10分）已知向量),,,(21n a a a =α和),,(321b b b =β，求矩阵βαT A =的全部特征值。
四．（10分）求解矩阵方程⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡213345666213132321X五．（15分）λ取何实值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-=-=-λλλλλλλλ41433221x x x x x x x x有唯一解、无穷多解、无解？在有无穷多解的情况求通解。
考研数学一(线性代数)模拟试卷113(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）模拟试卷113(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A是三阶矩阵，B是四阶矩阵，且｜A｜=2，｜B｜=6，则为( )．A．24B．一24C．48D．一48正确答案：D解析：×24×6=一48，选(D)．知识模块：线性代数2．n阶矩阵A经过若干次初等变换化为矩阵B，则( )．A．｜A｜=｜B｜B．｜A｜≠｜B｜C．若｜A｜=0则｜B｜=0D．若｜A｜＞0则｜B｜＞0正确答案：C解析：因为A经过若干次初等变换化为B，所以存在初等矩阵P1，…，PS，Q1，…，QT，使得B=PS…P1AQ1…Qt，而P1，…，Ps，Q1，Qt都是可逆矩阵，所以r(A)=r(B)，若｜A｜=0，且r(A)＜n，则r(B)＜n，即｜B｜=0，选(C)．知识模块：线性代数3．设，则( )．A．B=P1AP2B．B=P2AP1C．B=P2－1AP1D．B=P1－1AP2－1正确答案：D解析：显然B==P1AP2－1，因为P1－1=P1，所以应选(D)．知识模块：线性代数4．设α1，α2，α3线性无关，β1可由α1，α2，α3线性表示，β2不可由α1，α2，α3线性表示，对任意的常数k有( )．A．α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关B．α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关C．α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关D．α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关正确答案：A解析：因为β1可由α1，α2，α3线性表示，β2不可由α1，α2，α3线性表示，所以kβ1+β2一定不可以由向量组α1，α2，α3线性表示，所以α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关，选(A)．知识模块：线性代数5．设α1，α2，α3，α4为四维非零列向量组，令A=(α1，α2，α3，α4)，AX=0的通解为X=k(0，一1，3，0)T，则A*X=0的基础解系为( ) ．A．α1，α3B．α2，α3，α4C．α1，α2，α4D．α3，α4正确答案：C解析：因为AX=0的基础解系只含一个线性无关的解向量，所以r(A)=3，于是r(A*)=1．因为A*A=｜A｜E=O，所以α1，α2，α3，α4为A*X=0的一组解，又因为－α2+3α3=0，所以α2，α3线性相关，从而α1，α2，α4线性无关，即为A*X=0的一个基础解系，应选(C)．知识模块：线性代数6．设α，β为四维非零列向量，且α⊥β，令A=αβT，则A的线性无关特征向量个数为( )．A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：因为α，β为非零向量，所以A=αβT≠O，则r(A)≥1，又因为r(A)=r(αβT)≤r(α)=1，所以r(A)=1．令AX=λX，由A2X=αβT．αβTX=O=λ2X得λ=0，因为r(0E—A)=r(A)=1，所以A的线性无关的特征向量个数为3，应选(C)．知识模块：线性代数7．设A，B为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是( )．A．r(A)=r(B)B．｜A｜=｜B｜C．A～BD．A，B与同一个实对称矩阵合同正确答案：D解析：因为A，B与同一个实对称矩阵合同，则A，B合同，反之若A，B 合同，则A，B的正、负惯性指数相同，从而A，B与合同，选(D)．知识模块：线性代数填空题8．设A=，则(A+3E)－1(A2一9E)=_________．正确答案：解析：(A+3E)－1(A2一9E)=(A+3E)－1(A+3E)(A一3E)=A一3E=．知识模块：线性代数9．设A=，则A－1=_________．正确答案：解析：知识模块：线性代数10．设A是4×3阶矩阵且r(A)=2，B=，则r(AB)=________．正确答案：2解析：因为｜B｜=10≠0，所以r(AB)=r(A)=2．知识模块：线性代数11．设，且α，β，γ两两正交，则a=________，b=________．正确答案：a=一4，b=一13解析：因为α，β，γ正交，所以，解得a=一4，b=一13．知识模块：线性代数12．设η1，…，ηs是非齐次线性方程组AX=b的一组解，则k1η1+…+ks ηs为方程组AX=b的解的充分必要条件是_________．正确答案：k1+k2+…+ks=1解析：k1+k2+…+ks=1，显然k1η1+k2η2+…+ksηs为方程组AX=b的解的充分必要条件是A(k1η1+k2η2+…+ksηs)=b，因为Aη1=Aη2=…=Aηs=b，所以(k1+k2+…+ks)b=b，注意到b≠0，所以k1+k2+…+ks=1，即k1η1+k2η2+…+ksηs为方程组AX=b的解的充分必要条件是k1+k2+…+ks=1．知识模块：线性代数13．设α，β为三维非零列向量，(α，β)=3，A=αβT，则A的特征值为_________．正确答案：0或者3解析：因为A2=3A，令AX=λX，因为A2X=λ2X，所以有(λ2一3λ)X=0，而X≠0，故A的特征值为0或者3，因为λ1+λ2+λ3=tr(A)=(α，β)，所以λ1=3，λ2=λ3=0．知识模块：线性代数14．设5x12+x22+tx32+4x1x2一2x1x3一2x2x3为正定二次型，则t的取值范围是________．正确答案：t＞2解析：二次型的矩阵为A=，因为二次型为正定二次型，所以有5＞0，=1＞0，｜A｜＞0，解得t＞2．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
线性代数模试题试题库(带答案)
,
A= 2−1
1 1
−2 −1
1
=
13
−1
3
2 3
1
3
解：
= A−1
= A01−1 A02−1
1
−2
0
0
−2 5 0 0
0 0 13 −1 3
0
0
2 3
1 3
四、证明题(每小题 5 分，共 10 分)
19、设 n 阶方阵 A 满足 ( A + E )3 = 0 ，证明矩阵 A 可逆，并写出 A 逆矩阵的表达式。
即行列式 D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以 D = (−1)n D 。
3、设
A
=
1 0
1 1 ,
则
A100
=
1 0
100
1
。
= A2
1 0
= 11 10 11
= 10 12 , A3
1 0
= 12 10 11
因为： A∗ =A A−1 =−2A−1 ⇒ 4A−1 + A∗ =4A−1 − 2A−1 =2A−1 =8 A−1 =−4 。
1 0 2 2、 A 为 5×3 矩阵,秩( A )=3, B = 0 2 0 ,则秩( AB )= 3 。
0 0 3 因为 B 可逆， AB 相当于对 A 作列初等变换，不改变 A 的秩。
C.5
D.6
1 2 1 0 1 2 1 0
通过初等变换，由秩为 2 可得： 3
−1 0
2
0
−7
−3
考研数学三(线性代数)模拟试卷40(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷40(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22一y32，其中P=(e1，e3，e3)。
若Q一(e1，-e3，e3)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy 下的标准形为A．2y12一y22+y32B．2y12+y22一y32C．2y12一y22一y32D．2y12+y22+y32正确答案：A解析：本题考查用正交变换化二次型成标准形的问题，这本质上是实对称矩阵的正交相似对角化问题，计算上主要是求n阶实对称矩阵的n个两两正交的单位特征向量。
设二次型的矩阵为A，则由题意知矩阵P的列向量e1，e2，e3是矩阵A的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是2，1，一1．即有Ae1=2e1，Ae2=2e2，Ae3=2e3从而有AQ=A(e1，一e3，e2)=(Ae1，一Ae3，Ae2)=(2e1，一(一e3)，e2)矩阵Q的列向量e1，一e3，e2仍是A的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是2，一1，1．矩阵Q是正交矩阵，有Q-1=QT，上式两端左乘Q-1，得从而知，在正交变换x=Py下的标准形为f=2y12一y22+y32。
于是选(A)。
知识模块：线性代数2．二次型f(x1，x2，x3)一2x12+x22一4x32一4x1x2—2x2x3的标准形是A．2y12一y22一3y32B．一2y12一y22一3y32C．2y12+y22D．2y12+y22+3y32正确答案：A解析：f即不正定(因f(0，0，1)=一4＜0)，也不负定(因f(1，0，0)=2＞0)，故(B)、(D)都不对；又f的秩=矩阵的秩=3，故(C)不对，只有(A)正确。
或用配方法：f=2(1-a2)2一x22一4x32一22a2=2(1-a2)2一(1+a2)2一3x32一2y12一y22一3y32，其中所作满秩线性变换为知识模块：线性代数3．则A与BA．合同且相似B．合同但不相似C．不合同但相似D．不合同且不相似正确答案：A解析：A的特征值为4，0，0，0，A为实对称矩阵，故存在正交矩阵P，使P-1AP=PTAP=B，即A与B既合同又相似。
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线性代数(文)模拟试题库及参考答案
一.填空题(每小题3分,共12分)
1.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333222111c b a c b a c b a A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=33
3222111d b a d b a d b a B ,2=A ,3=B ,则B A -2=1. 解 B A -2=3
332221
113332221113333222211112222d b a d b a d b a c b a c b a c b a d c b a d c b a d c b a -=---
=12=-B A .
2.已知向量)3,2,1(=α,)3
1,21,1(=β,设βαT A =,其中T α是α的转置,则n A =A n 13-.
解 注意到3321)31,21,1(=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=T βα,故 n A =
β
αβαβαβαT n T T T 个)())(( =ββαβαβααβα
T
n T T T T 个)1()())((- =A n T n 1133--=βα.
注 若先写出A ,再求2A ,…,n A 将花比前更多的时间.
3.若向量组T )1,0,1(1-=α,T k )0,3,(2=α,T k ),4,1(3-=α线性相关,则k =3-. 解 由1α,2α,3α线性相关,则有
321,,ααα=k k 0143011--=1
043011--k k k =04)1(3143=--=-k k k k . 由此解得3-=k .
4.若4阶矩阵A 与B 相似,矩阵A 的特征值为
21,31,41,5
1,则行列式E B --1 =24.
解 因为A 与B 相似,所以A ,B 有相似的特征值,从而E B --1有特征值1,2,3,4.故2443211=⋅⋅⋅=--E B .
注 本题解答中要用到以下结论:
(1)若A 可逆,A 的特征值为λ,则1-A 的特征值为
λ
1. (2)若λ是A 的特征值,则)(A f 的特征值为)(λf ,其中)(x f 为任意关于x 的多项式.
(3)若n 阶矩阵A 有n 个特征值1λ,2λ,…,n λ,则n A λλλ 21=. 二.单项选择题(每小题3分,共18分)
1.矩阵A 在( A )时,其秩将被改变.
(A ) 乘以奇异矩阵 (B ) 乘以非奇异矩阵 (C ) 进行初等行变换 (D ) 转置
2.要使⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2011ξ,⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=1102ξ都是线性方程组O AX =的解,只要系数矩阵A 为( A ).
(A ) )1,1,2(-
(B ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110102 (C ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110201 (D ) ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---110224110
解 我们知道,若1ξ,2ξ,…,k ξ是齐次线性方程组O AX =的k 个线性无关的解向量,O AX =的任一解为向量1ξ,2ξ,…,k ξ的线性组合,则1ξ,2ξ,…,k ξ为O AX =的基础解系,且所含解向量的数目)(A r n k -=,其中n 为矩阵A 的列数.
由于1ξ,2ξ为O AX =的解,知3=n .又因1ξ与2ξ是线性无关的,故2≥k .因而1)(≤A r ,而(A )、(B )、(C )、(D )四个选项中满足1)(≤A r 的矩阵只有(A )项中的)1,1,2(-.
3.设向量组Ⅰ:1α,2α,…r α可由向量组Ⅱ:1β,2β,…s β线性表示,则( D ). (A ) 当s r <时,向量组Ⅱ必线性相关
(B ) 当s r >时,向量组Ⅱ必线性相关
(C ) 当s r <时,向量组Ⅰ必线性相关
(D ) 当s r >时,向量组Ⅰ必线性相关
解 根据定理“若1α,2α,…s α可由1β,2β,…t β线性表出,并且t s >,则1α, 2α,…,s α必线性相关”,即若多数向量可以由少数向量线性表出,则这多数向量必线性相关,故应选(D ).
4.设A 是n m ⨯矩阵,O AX =是非齐次线性方程组b AX =所对应的齐次。