数学建模实验报告第十一章最短路问答
数学建模案例分析最短路问题
2020/4/21
数学建模
算法步骤：
（１）赋初值：令 S＝{ u0 }, l(u0 ) =0
? v ? S ? V \ S ,令 l(v) = W(u0 ,v) , z(v) = u0 u ? u0
（2）更新 l(v) 、 z(v) ： ? v ? S ? V \ S ,若l(v) >l(u) ? W(u, v)
（１）顶点与边相互交错且 ? (ei ) ? vi?1vi (i=1,2,…,k)的有限非空序列 w ? (v0e1v1e2 ? vk?1ek vk ) 称为一条从 v0 到 vk 的通路，记为Wv0vk （２）边不重复但顶点可重复的通路称为道路，记为 Tv0vk （３）边与顶点均不重复的通路称为路径，记为 Pv0 vk
2020/4/21
数学建模
最后标记:
l (v) z(v)
l(ui )
u1 u2 u3 u4
u5 u6
u7 u8
0 2 1 7 3 6 9 12
u1 u1
u1 u6 u2
u5 u4
u5
u2
u5
u 1
2020/4/21
u 4
u 6
u 3
u 7
数学建模
u8
返回
每对顶点之间的最短路
（一）算法的基本思想 (二)算法原理
图 G 的边为边集的图 G 的子图，称为 G 的由 V1 导出的子图，记为 G[ V1].
(3)设 E1 ? E,且 E1 ? ? ,以 E1 为边集,E1 的端点集为顶点集的图 G 的子图,
称为 G 的由 E1 导出的子图,记为 G[ E1].
G
2020/4/21
G[{ v1,v4,v5}]
数学建模
终稿-数学建模与数学实验-最短路问题-行遍性问题
M= 1 1 0 1 0 v2
0 0
0 1
1 1
1 0
0 1
v3 v4
对有向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝ (mij ) ，其中：
1 mij 1
0
若vi
是e
的起点
j
若vi
是e
的终点
j
若vi与e j不关联
返回
邻接矩阵
对无向图Ｇ，其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
v1
e1
v2
e4
e5 e2
v4
e3
e6 v3
v5
e7
e8
v7 e9
v6
情形２ G 有２n 个奇次顶点（n ２）
Edmonds 最小对集算法：
基本思想：
先将奇次顶点配对，要求最佳配对，即点对之间距离总和 最小．再沿点对之间的最短路径添加重复边得欧拉图 G*，G*的 欧拉巡回便是原图的最佳巡回．
算法步骤：
C= v1,v2,… ,vi,,vj , vj-1,… , vi+1,vj+1, …,vn,v1 (3)对 C 重复步骤(2)，直到条件不满足为止，最后得到的 C 即 为所求．
例 对以下完备图，用二边逐次修正法求较优H圈．
返回
数学建模与数学实验 最短路问题
实验目的 实验内容
1．了解最短路的算法及其应用 2．会用MATLAB软件求最短路
中．
欧拉图
定义１ 设 G=(V,E)是连通无向图 （１）经过 G 的每边至少一次的闭通路称为巡回． （２）经过 G 的每边正好一次的巡回称为欧拉巡回． （３）存在欧拉巡回的图称为欧拉图． （４）经过 G 的每边正好一次的道路称为欧拉道路．
数学建模实验报告 第十一章 最短路问题
实验名称：第十一章最短路问题一、实验内容与要求掌握Dijkstra算法和Floyd算法，并运用这两种算法求一些最短路径的问题。
二、实验软件MATLAB7.0三、实验内容1、在一个城市交通系统中取出一段如图所示，其入口为顶点v1，出口为顶点v8，每条弧段旁的数字表示通过该路段所需时间，每次转弯需要附加时间为3，求v1到v8的最短时间路径。
63V4 2 V7 4 V8程序：function y=bijiaodaxiao(f1,f2,f3,f4)v12=1;v23=3;v24=2;v35=1;v47=2;v57=2;v56=6;v68=3;v78=4;turn=3; f1=v12+v23+v35+v56+turn+v68;f2=v12+v23+v35+turn+v57+turn+v78;f3=v12+turn+v24+turn+v47+v78;f4=v12+turn+v24+v47+turn+v57+turn+v56+turn+v68; min=f1;if f2<minmin=f2;endif f3<minmin=f3;endif f4<minmin=f4;endminf1f2f3f4实验结果：v1到v8的最短时间路径为15，路径为1-2-4-7-8.2、求如图所示中每一结点到其他结点的最短路。
V110 V3V59 V6function[D,R]=floyd(a)n=size(a,1);D=afor i=1:nfor j=1:nR(i,j)=j;endendRfor k=1:nfor i=1:nfor j=1:nif D(i,k)+D(k,j)<D(i,j)D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);R(i,j)=R(i,k);endendendkDRend程序：>> a=[0 3 10 inf inf inf inf inf;3 0 inf 5 inf inf inf inf;10 inf 0 6 inf inf inf inf;inf 5 6 0 4 inf 10 inf ;inf inf inf 4 0 9 5 inf ;inf inf inf inf 9 0 3 4;inf inf inf 10 5 3 0 6;inf inf inf inf inf 4 6 0;];[D,R]=floyd(a)实验结果：D =0 3 10 Inf Inf Inf Inf Inf3 0 Inf 5 Inf Inf Inf Inf10 Inf 0 6 Inf Inf Inf InfInf 5 6 0 4 Inf 10 InfInf Inf Inf 4 0 9 5 InfInf Inf Inf Inf 9 0 3 4Inf Inf Inf 10 5 3 0 6Inf Inf Inf Inf Inf 4 6 0R =1 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8k =1D =0 3 10 Inf Inf Inf Inf Inf3 0 13 5 Inf Inf Inf Inf10 13 0 6 Inf Inf Inf InfInf 5 6 0 4 Inf 10 InfInf Inf Inf 4 0 9 5 InfInf Inf Inf Inf 9 0 3 4Inf Inf Inf 10 5 3 0 6Inf Inf Inf Inf Inf 4 6 0R =1 2 3 4 5 6 7 81 2 1 4 5 6 7 81 1 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8 k =2D =0 3 10 8 Inf Inf Inf Inf3 0 13 5 Inf Inf Inf Inf10 13 0 6 Inf Inf Inf Inf8 5 6 0 4 Inf 10 InfInf Inf Inf 4 0 9 5 InfInf Inf Inf Inf 9 0 3 4Inf Inf Inf 10 5 3 0 6Inf Inf Inf Inf Inf 4 6 0R =1 2 3 2 5 6 7 81 2 1 4 5 6 7 81 1 3 4 5 6 7 82 234567 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8 k =3D =0 3 10 8 Inf Inf Inf Inf3 0 13 5 Inf Inf Inf Inf10 13 0 6 Inf Inf Inf Inf8 5 6 0 4 Inf 10 InfInf Inf Inf 4 0 9 5 InfInf Inf Inf Inf 9 0 3 4Inf Inf Inf 10 5 3 0 6Inf Inf Inf Inf Inf 4 6 0R =1 2 3 2 5 6 7 81 2 1 4 5 6 7 81 1 3 4 5 6 7 82 234567 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8k =4D =0 3 10 8 12 Inf 18 Inf3 0 11 5 9 Inf 15 Inf10 11 0 6 10 Inf 16 Inf8 5 6 0 4 Inf 10 Inf12 9 10 4 0 9 5 InfInf Inf Inf Inf 9 0 3 418 15 16 10 5 3 0 6Inf Inf Inf Inf Inf 4 6 0R =1 2 3 2 2 6 2 81 2 4 4 4 6 4 81 4 3 4 4 6 4 82 234567 84 4 4 4567 81 2 3 4 5 6 7 84 4 4 4567 81 2 3 4 5 6 7 8 k =5D =0 3 10 8 12 21 17 Inf3 0 11 5 9 18 14 Inf10 11 0 6 10 19 15 Inf8 5 6 0 4 13 9 Inf12 9 10 4 0 9 5 Inf21 18 19 13 9 0 3 417 14 15 9 5 3 0 6Inf Inf Inf Inf Inf 4 6 0R =1 2 3 2 2 2 2 81 2 4 4 4 4 4 81 4 3 4 4 4 4 82 2345 5 5 84 4 4 4567 85 5 5 5 567 85 5 5 5 567 81 2 3 4 5 6 7 8 k =6D =0 3 10 8 12 21 17 253 0 11 5 9 18 14 2210 11 0 6 10 19 15 238 5 6 0 4 13 9 1712 9 10 4 0 9 5 1321 18 19 13 9 0 3 417 14 15 9 5 3 0 625 22 23 17 13 4 6 0 R =1 2 3 2 2 2 2 21 2 4 4 4 4 4 41 4 3 4 4 4 4 42 2345 5 5 54 4 4 4567 65 5 5 5 567 85 5 5 5 567 86 6 6 6 6 678 k =7D =0 3 10 8 12 20 17 233 0 11 5 9 17 14 2010 11 0 6 10 18 15 218 5 6 0 4 12 9 1512 9 10 4 0 8 5 1120 17 18 12 8 0 3 417 14 15 9 5 3 0 623 20 21 15 11 4 6 0 R =1 2 3 2 2 2 2 21 2 4 4 4 4 4 41 4 3 4 4 4 4 42 2345 5 5 54 4 4 45 7 7 77 7 7 7 7 6 7 85 5 5 5 567 87 7 7 7 7 6 7 8 k =8D =0 3 10 8 12 20 17 233 0 11 5 9 17 14 2010 11 0 6 10 18 15 218 5 6 0 4 12 9 1512 9 10 4 0 8 5 1120 17 18 12 8 0 3 417 14 15 9 5 3 0 623 20 21 15 11 4 6 0R =1 2 3 2 2 2 2 21 2 4 4 4 4 4 41 4 3 4 4 4 4 42 2345 5 5 54 4 4 45 7 7 77 7 7 7 7 6 7 85 5 5 5 567 87 7 7 7 7 6 7 8D =0 3 10 8 12 20 17 233 0 11 5 9 17 14 2010 11 0 6 10 18 15 218 5 6 0 4 12 9 1512 9 10 4 0 8 5 1120 17 18 12 8 0 3 417 14 15 9 5 3 0 623 20 21 15 11 4 6 0 R =1 2 3 2 2 2 2 21 2 4 4 4 4 4 41 4 3 4 4 4 4 42 2345 5 5 54 4 4 45 7 7 77 7 7 7 7 6 7 85 5 5 5 567 87 7 7 7 7 6 7 8四、实验体会。
最短路问题(整理版)
最短路问题(short-path problem)若网络中的每条边都有一个权值值(长度、成本、时间等)，则找出两节点(通常是源节点与结束点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。
最短路问题，我们通常归属为三类：单源最短路径问题（确定起点或确定终点的最短路径问题）、确定起点终点的最短路径问题（两节点之间的最短路径）1、Dijkstra算法：用邻接矩阵a表示带权有向图，d为从v0出发到图上其余各顶点可能达到的最短路径长度值，以v0为起点做一次dijkstra，便可以求出从结点v0到其他结点的最短路径长度代码：procedure dijkstra（v0：longint）；//v0为起点做一次dijkstrabegin//a数组是邻接矩阵，a[i,j]表示i到j的距离，无边就为maxlongintfor i:=1 to n do d[i]:=a[v0,i];//初始化d数组（用于记录从v0到结点i的最短路径）， fillchar(visit,sizeof(visit),false);//每个结点都未被连接到路径里visit[v0]:=true;//已经连接v0结点for i:=1 to n-1 do//剩下n-1个节点未加入路径里；beginmin:=maxlongint;//初始化minfor j:=1 to n do//找从v0开始到目前为止，哪个结点作为下一个连接起点（*可优化） if (not visit[j]) and (min>d[j]) then//结点k要未被连接进去且最小begin min:=d[j];k:=j;end;visit[k]:=true;//连接进去for j:=1 to n do//刷新数组d，通过k来更新到达未连接进去的节点最小值，if (not visit[j]) and (d[j]>d[k]+a[k,j]) then d[j]:=a[k,j]+d[k];end;writeln(d[n]);//结点v0到结点n的最短路。
最短路问题例题
问题：求出A-F之间最短路线；（1）写出思路于算法；（2）Matlab 编程找出最短路径。
答案：A-F之间的最短路线有A-B3-D3-E1-F，A-B3-D3-E1-E2-F；A-B2-C1-D1-D2-E2-F 这三条路线的最短距离均为8。
方案一：思路：对于是否返回的分析：如图可以看出只有B端才能跨越C端的点直接到达D端的，其余的各端点都是必须按照字母顺序一路下来。
若如D端返回到C端或B端这是不可能的，因为这样无疑增加了路程，如图可以看出C端的点能到达D端的各个点，所以要求的直接命中想到达的该点；而D端出发去到E端后有图可以看出不可能再返回D端了，因为这只会增加路线的长度，而且E 端的各点是相通的，也没必要再返回D端；同样B端到达C端或D端的，因为B2,B2到能直接到达C端的各点，只有B1只能到达C1，但B1它到D1的距离和B1点到C1的距离同样为4但也不可能经过C1后返回B端的，因为C1也是联系D端的各点，而且你要返回B 段端，还不如在A端的时候就选择好一个理想的B点，这样距离会更加短。
所以不能进行返回。
如图将我们本来所需要的的路线分成两半，以D字母的为中间端。
后半部分：后半部分主要由D端连接到E端最后才连接到F端的,同时D端无法越过E端直接连接到F端。
更为重要的是前半部分，也必须要经过D端才能与F端相接，所以构成他们之间的枢纽定在D端是最好不过的。
首先的是先分析D端的三个点D1，D2，D3分别到点F的最短距离。
一、已经从D端出发去到E端后有图可以看出不可能再返回D端了，因为这只会增加路线的长度，而且E端的各点是相通的，也没必要再返回D端；二、由图可以看出E端到点F最好的路线是E2-F距离为1，除E2外的E1，E3他们到F点的方式（E1-F, E1-E2-F ,E3-F ,E3-E2-F）的距离均为2；所以如果能先到达E2则可以只考虑E2到F这条路线。
若先到达了E1，或E3、则这路线的最短路径必定变化为两条。
最短路问题
最短路问题何谓最短路？最短路问题考虑的是有向网络N=（V，A，W），其中弧（i,j）∈A 对应的权又称为弧长或费用。
对于其中的两个顶点s，t∈V,以s 为起点，t 为终点的有向路称为s-t 有向路，其所经过的所有弧上的权（或弧长、费用）之和称为该有向路的权（或弧长、费用）。
所有s-t 有向路中权最小的一条称为s-t 最短路。
ij w 如何得到最短路？最短路问题的线性规划描述如下：(,)m i ni j i j i j A w x ∈∑ (1):(,):(,)1,,..1,,0,,ij ji j i j A j j i A i s s t x x s i s t ∈∈=⎧⎪t −=−=⎨⎪≠⎩∑∑ (2) 0ij x ≥ (3) 其中决策变量表示弧（i,j）是否位于s-t 路上：当=1时，表示弧（i,j）位于s-t 路上，当=0时，表示弧（i,j）不在s-t 路上。
本来，应当是0-1变量，但由于约束（2）的约束矩阵就是网络的关联矩阵，它是全幺模矩阵，因此0-1变量可以松弛为区间[0，1]中的实数（当用单纯形法求解时，将得到0-1整数解）。
ij x ij x ij x ij x 值得注意的是，我们这里将变量直接松弛为所有非负实数。
实际上，如果可以取0-1以外的整数，则约束条件并不能保证对应于非零的弧所构成的结构（记为P）一定是一条路，因为这一结构可能含有圈。
进一步分析，我们总是假设网络本身不含有负圈，而任何正圈不可能使目标函数最小，因此上面的约束条件（2），（3）可以保证当达到最优解时，P 如果包含圈，该圈一定是零圈，我们从P 中去掉所有的零圈，就可以得到最短路。
ij x ij x ij x 无圈网络与正费用网络一般采用标号设定算法。
Bellman 方程（最短路方程）将约束条件（2）两边同时乘以-1，得到其对偶问题为：m ax()t s u u − （4）..,(,)j i ij s t u u w i j A −≤∀∈ （5）根据互补松弛条件，当x 和u 分别为原问题和对偶问题的最优解时：()0,(,i j j i i j )x u u w i j −−=∀∈A （6） 因此,当某弧（i，j）位于最短路上时，即对应的变量＞0时，一定有ij x j i i u u w −=j 。
数学建模实验报告11详解
《数学建模实验》实验报告学号： 姓名：一只小船渡过宽为d 的河流，目标是起点A 正对着的另一岸B 点，已知河水流速v 1与船在静水中的速度v 2之比为k .1.建立小船航线的方程，求其解析解；2.设d =100m,v 1=1m/s,v 2=2m/s ，用数值解法求渡河所需时间、任意时刻小船的位置及航行曲线，作图，并与解析解比较。
一、问题重述我们建立数学模型的任务有：1.由已给定的船速、水速以及河宽求出渡河的轨迹方程；2.已知船速、水速、河宽，求在任意时刻船的位置以及渡船所需要的时间。
二、问题分析此题是一道小船渡河物理应用题，为典型的常微分方程模型，问题中船速、水速、河宽已经给定，由速度、时间、位移的关系，我们容易得到小船的轨迹方程，同时小船的起点和终点已经确定，给我们的常微分方程模型提供了初始条件。
三、模型假设1.假设小船与河水的速度恒为定值21v v 、,不考虑人为因素及各种自然原因；2.小船行驶的路线为连续曲线，起点为A ，终点为B ；3.船在行驶过程中始终向着B 点前进，即船速2v 始终指向B ；4.该段河流为理想直段，水速1v 与河岸始终保持平行。
四、模型建立68.7000 -0.0000 100.000068.8000 -0.0000 100.000068.9000 -0.0000 100.000069.0000 -0.0000 100.0000我们看到，在=t 66.6s 时，小船到达对岸B 。
接下来我们给出小船的t y t x --,图像以及小船的轨迹以及与解析法的比较图像如下图：由第三个图，我们可以看出数值解与解析解图像几乎重合，差别不大。
六、附录：（1）建立m文件boat1.mfunction dx=boat1(t,x)v1=1;v2=2;d=100;dx=[v1-v2*x(1)/sqrt(x(1)^2+(d-x(2))^2);v2*(d-x(2))/sqrt((d-x(2))^2+x(1)^ 2)];end（2）主程序如下：tt=0:0.1:100;x0=[0,0];[t,x]=ode23s(@boat1,tt,x0);%用龙格-库塔方法计算微分；[t,x]figure(1)plot(t,x),gridtitle('xy分位移-时间曲线图');legend('x-t','y-t')figure(2)plot(x(:,1),x(:,2))title('小船轨迹图');Y=0:0.1:100;d=100;v1=1;v2=2;k=v1/v2;X=0.5*d*((1-Y./d).^(1-k)-(1-Y./d).^(1+k));figure(3)plot(X,Y,'r',x(1:100:end,1),x(1:100:end,2),'g')。
最短路问题的实际应用论文
金华双龙洞旅游路线中最短路问题摘要：金华双龙洞景点分布较多，通过对其旅游路线的设置，转化为图论内容中的最短路情景进行讨论，建立模型，并通过搜索资料，利用几种方法解决路线最小的问题。
关键字：数学建模最短路问题 lingo Dijkstra法 flod算法一、研究背景：在旅游过程中，我们常常感觉到自己一天下来走了很多路，回到宾馆脚痛的不行。
但其实我们可以利用运筹学的知识，通过建立数学模型，转化为图论的内容。
从而较为合理的制定出选择的路线（即最短路问题）。
因而这次的小论文，我主要探究一下几个问题：1.从景点进口到出口的最短路程。
（最短路问题）2.从景点到出口的最长路线。
3.建立的模型是否满足能回到起点（古典图论问题）二、研究内容：根据从互联网中搜索的资料，金华双龙洞的主要景点：景区进口双龙洞，冰壶洞，朝真洞，桃源洞，黄大仙祖宫五个，其余为小景点（若要加入，同样可以按照以下问题的研究方法进行讨论）现在忽略。
问题总假设：分别设置双龙洞，冰壶洞，朝真洞，桃源洞，黄大仙祖宫五个景点为A,B,C,D,E五点，根据现实及假设，可以得到如图所示的路线图：再利用用Dijkstra算法求解无负权网络的最短路。
同时也可以利用此法算出最长路程。
问题一的解决：以A为景点出口，E为出口。
故A点标号为P（a）=0 给其余所有的T标号T（i）=+∞考虑与A相邻的两个顶点BC，两个顶点为T标号，故修改这两个点的标号为：T(b)=min[T(b),P(a)+l12]=min[+∞,0+3]=3T(c)=min[T(c),P(a)+l13]=min[+∞,0+2]=2比较所有T标号，T(c)最小，所以令P(c)=2再考察（C,B）(C,D)(C,E)的端点：同理可得T(b)=6 T(d)=6.8 T(e)=10.2(显然已经到终点但还需要看看其余路线长短)故又令P（b）=6.综合分析只有一条线路即A→C→B→D→E 此时总路程为2+4+3+8.4=16.4>10.2所以，最短路程为A→C→E。
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实验名称：第十一章最短路问题一、实验内容与要求掌握Dijkstra算法和Floyd算法，并运用这两种算法求一些最短路径的问题。
二、实验软件MATLAB7.0三、实验内容1、在一个城市交通系统中取出一段如图所示，其入口为顶点v1，出口为顶点v8，每条弧段旁的数字表示通过该路段所需时间，每次转弯需要附加时间为3，求v1到v8的最短时间路径。
V1 1 V2 3 V3 1 V5 6 V6V4 2 V7 4 V8程序：function y=bijiaodaxiao(f1,f2,f3,f4)v12=1;v23=3;v24=2;v35=1;v47=2;v57=2;v56=6;v68=3;v78=4; turn=3;f1=v12+v23+v35+v56+turn+v68;f2=v12+v23+v35+turn+v57+turn+v78;f3=v12+turn+v24+turn+v47+v78;f4=v12+turn+v24+v47+turn+v57+turn+v56+turn+v68; min=f1;if f2<minmin=f2;endif f3<minmin=f3;endif f4<minmin=f4;endminf1f2f3f4实验结果：v1到v8的最短时间路径为15，路径为1-2-4-7-8.2、求如图所示中每一结点到其他结点的最短路。
V110 V3V59 V6floy.m中的程序：function[D,R]=floyd(a)n=size(a,1);D=afor i=1:nfor j=1:nR(i,j)=j;endendRfor k=1:nfor i=1:nfor j=1:nif D(i,k)+D(k,j)<D(i,j)D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);R(i,j)=R(i,k);endendendkDRend程序：>> a=[0 3 10 inf inf inf inf inf;3 0 inf 5 inf inf inf inf;10 inf 0 6 inf inf inf inf;inf 5 6 0 4 inf 10 inf ;inf inf inf 4 0 9 5 inf ;inf inf inf inf 9 0 3 4;inf inf inf 10 5 3 0 6;inf inf inf inf inf 4 6 0;];[D,R]=floyd(a)实验结果：D =0 3 10 Inf Inf Inf Inf Inf3 0 Inf 5 Inf Inf Inf Inf10 Inf 0 6 Inf Inf Inf InfInf 5 6 0 4 Inf 10 Inf Inf Inf Inf 4 0 9 5 InfInf Inf Inf Inf 9 0 3 4Inf Inf Inf 10 5 3 0 6 Inf Inf Inf Inf Inf 4 6 0R =1 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8. k =1D =0 3 10 Inf Inf Inf Inf Inf3 0 13 5 Inf Inf Inf Inf10 13 0 6 Inf Inf Inf InfInf 5 6 0 4 Inf 10 InfInf Inf Inf 4 0 9 5 InfInf Inf Inf Inf 9 0 3 4Inf Inf Inf 10 5 3 0 6Inf Inf Inf Inf Inf 4 6 0R =1 2 3 4 5 6 7 81 2 1 4 5 6 7 81 1 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8 k =2D =0 3 10 8 Inf Inf Inf Inf3 0 13 5 Inf Inf Inf Inf10 13 0 6 Inf Inf Inf Inf8 5 6 0 4 Inf 10 InfInf Inf Inf 4 0 9 5 InfInf Inf Inf Inf 9 0 3 4Inf Inf Inf 10 5 3 0 6 Inf Inf Inf Inf Inf 4 6 0R =1 2 3 2 5 6 7 81 2 1 4 5 6 7 81 1 3 4 5 6 7 82 234567 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8k =3D =0 3 10 8 Inf Inf Inf Inf3 0 13 5 Inf Inf Inf Inf10 13 0 6 Inf Inf Inf Inf8 5 6 0 4 Inf 10 InfInf Inf Inf 4 0 9 5 InfInf Inf Inf Inf 9 0 3 4Inf Inf Inf 10 5 3 0 6 Inf Inf Inf Inf Inf 4 6 0R =1 2 3 2 5 6 7 81 2 1 4 5 6 7 81 1 3 4 5 6 7 82 234567 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8. k =4D =0 3 10 8 12 Inf 18 Inf3 0 11 5 9 Inf 15 Inf10 11 0 6 10 Inf 16 Inf8 5 6 0 4 Inf 10 Inf12 9 10 4 0 9 5 InfInf Inf Inf Inf 9 0 3 418 15 16 10 5 3 0 6Inf Inf Inf Inf Inf 4 6 0R =1 2 3 2 2 6 2 81 2 4 4 4 6 4 81 4 3 4 4 6 4 82 234567 84 4 4 4567 81 2 3 4 5 6 7 84 4 4 4567 81 2 3 4 5 6 7 8 k =5D =0 3 10 8 12 21 17 Inf3 0 11 5 9 18 14 Inf10 11 0 6 10 19 15 Inf8 5 6 0 4 13 9 Inf12 9 10 4 0 9 5 Inf21 18 19 13 9 0 3 417 14 15 9 5 3 0 6Inf Inf Inf Inf Inf 4 6 0R =1 2 3 2 2 2 2 81 2 4 4 4 4 4 81 4 3 4 4 4 4 82 2345 5 5 84 4 4 4567 85 5 5 5 567 85 5 5 5 567 81 2 3 4 5 6 7 8 k =6D =0 3 10 8 12 21 17 253 0 11 5 9 18 14 2210 11 0 6 10 19 15 238 5 6 0 4 13 9 1712 9 10 4 0 9 5 1321 18 19 13 9 0 3 417 14 15 9 5 3 0 625 22 23 17 13 4 6 0 R =1 2 3 2 2 2 2 21 2 4 4 4 4 4 41 4 3 4 4 4 4 42 2345 5 5 54 4 4 4567 65 5 5 5 567 85 5 5 5 567 86 6 6 6 6 67 8. k =7D =0 3 10 8 12 20 17 233 0 11 5 9 17 14 2010 11 0 6 10 18 15 218 5 6 0 4 12 9 1512 9 10 4 0 8 5 1120 17 18 12 8 0 3 417 14 15 9 5 3 0 623 20 21 15 11 4 6 0R =1 2 3 2 2 2 2 21 2 4 4 4 4 4 41 4 3 4 4 4 4 42 2345 5 5 54 4 4 45 7 7 77 7 7 7 7 6 7 85 5 5 5 567 87 7 7 7 7 6 7 8 k =8D =0 3 10 8 12 20 17 233 0 11 5 9 17 14 2010 11 0 6 10 18 15 218 5 6 0 4 12 9 1512 9 10 4 0 8 5 1120 17 18 12 8 0 3 417 14 15 9 5 3 0 623 20 21 15 11 4 6 0R =1 2 3 2 2 2 2 21 2 4 4 4 4 4 41 4 3 4 4 4 4 42 2345 5 5 54 4 4 45 7 7 77 7 7 7 7 6 7 85 5 5 5 567 87 7 7 7 7 6 7 8D =0 3 10 8 12 20 17 233 0 11 5 9 17 14 2010 11 0 6 10 18 15 218 5 6 0 4 12 9 1512 9 10 4 0 8 5 1120 17 18 12 8 0 3 417 14 15 9 5 3 0 623 20 21 15 11 4 6 0 R =1 2 3 2 2 2 2 21 2 4 4 4 4 4 41 4 3 4 4 4 4 42 2345 5 5 54 4 4 45 7 7 77 7 7 7 7 6 7 85 5 5 5 567 87 7 7 7 7 6 7 8四、实验体会。