一轮复习充分、必要与命题

充分条件、必要条件与命题的四种形式

考点梳理

1.充分条件、必要条件与充要条件

（1）“若p 则q ”形式的命题为真时，记作p q ?，称p 是q 的 条件，q 是p 的 条件.

（2）如果既有p q ?，又有q p ?，记作p q ?，则p 是q 的 条件，q 是p 的 条件.

◆即时应用

（1）设0a ≠，则{}","x a a ∈-是""x a =的 条件.

（2）1""4

m <是“一元二次方程20x x m ++=有实数解”的 条件. （4）若集合{}

{}21,,2,4A m B ==，则"2"m =是{}"4"A B = 的 条件. 2.四种命题及其关系

（1）四种命题间的相互关系 （2）四种命题的真假关系

◆即时应用

（1）判断下列命题是真命题还是假命题

a) “若22

0x y +≠，则,x y 不全为零”的否命题（ ）

b) “正多边形都相似”的逆命题（ ）

c) “若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆命题（ ）

d) “若x x 是无理数”的逆命题（ ）

（2）命题：“若21x ≤，则11x -<<”的逆命题是 . （3）命题“对实数a ，若0a >，则20a >”的否命题是 .

★热点考向

1.四种命题及其关系

例题1（1）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是 .

（2）命题“若a b >，则11a b ->-”的否命题是 .

2.充分条件与必要条件的判定

例题2（1）设集合{}20A x R x =∈->，{}0B x R x =∈<，{}

(2)0C x R x x =∈->，则""x A B ∈ 是""x C ∈的（ ）

.A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要

（2）已知条件:(1)(1)0P x x -+>，条件:q 有意义，则p ?是q ?的（ ）

.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件

3.充分条件、必要条件的应用

例题3已知集合{}35M x x x =<->或，{}()(8)0P x x a x =--<

（1）求实数a 的取值范围，使它成为{}58M P x x =<≤ 的充要条件；

（2）求实数a 的一个值，使它成为{}

58M P x x =<≤ 的一个充分但不必要条件.

▲探究结论成立的充要条件

设*n N ∈，一元二次方程240x x n -+=有整数跟的充要条件是n = .

■考题体验

1.已知,,a b c R ∈，命题“3a b c ++=，则2223a b c ++≥”的否命题是（ ） .A 若3a b c ++≠，则2223a b c ++< .B 若3a b c ++=，则2223a b c ++<

.C 若3a b c ++≠，则2223a b c ++≥ .D 若3a b c ++≥，则2223a b c ++=

2.“1x >是1x >”的

.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要

3.设,,l m n 是空间三条直线，,αβ是空间两个平面，给出下列命题：

①当n α⊥时，“n β⊥”是“α∥β”成立的充要条件；

②当m α?且n 是l 在α内的射影时，""m n ⊥是""l m ⊥的充分不必要条件；

③当m α?时，""m β⊥是""αβ⊥的充不必要条件；

④当m α?，且n α?时，“n ∥α”是“m ∥n ”的既不充分也不必要条件；

则其中不正确命题的个数是（ ）

.A 1 .2B .3C .4D

4.命题：“若,,a b c 成等比数列，则2b ac =”及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题

的个数是 .