高三数学教案：空间点、直线、平面之间的位置关系(3课时)

第一课时 2.1.1 平面
教学要求：能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”理解平面的无限延展性；正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系；初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；理解可以作为推理依据的三条公理.
教学重点：理解三条公理，能用三种语言分别表示.
教学难点：理解三条公理.
教学过程：
一、复习准备：
1. 讨论：长方体的8个顶点、12条棱所在直线、6个面之间有和位置关系？
2. 举例：生活中哪些物体给我们以平面的形象？
二、讲授新课：
1. 教学平面的概念及表示：
① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；
理解两点：无限好比在平面上画直线；一个平面把空间分成两部分。

② 平面的画法：A.任意角度观察桌面、黑板面，感到象什么？美术中如何画一张纸？
B.画法：通常画平行四边形来表示平面。

（注意通常两字）水平平面：通常画成锐角成45°，横边等于邻边的两倍。

非水平平面：只要画成平行四边形。

直立的平面：一组对边为铅垂线。

相交的平面：一定要画出交线；遮住部分的线段画虚线或不画。

C.练习： 画一个平面、相交平面
③ 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC 。

④ 点与平面的关系：点A 在平面α内，记作A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉.
2. 教学公理1：
①揭示公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

（即直线在平面内，或者平面经过直线）
②应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内
③符号：点A 的直线l 上，记作：A ∈l ； 点A 在直线l 外，记作A ∉l ；
直线l 的平面α内，记作l ⊂α。

④用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂
3.教学公理2：
①揭示公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

②理解：不在同一条直线上；一点、两点、三点、四点的情况；有且只有一个，等价于确定 ③实例：一扇门。

记写：平面ABC 。

4 .教学公理3：
①揭示公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ②理解：例如墙角；平面在空间无限伸展；有且只有一个的含义：存在一个，最多一个。

③符号：平面α和β相交，交线是a ，记作α∩β＝a 。

④ 符号语言：,P A B A B l P l ∈⇒=∈
5. 练习：用符号表示点、直线、面之间的关系（图见P47）.
6. 小结：平面概念；三条公理的文字语言、图形语言、符号语言.
三、巩固练习：
1. 练习：P48 1～4
2. 根据符号语言画出下列图形：① a ∩α＝A ，B ∈a ，但B ∉α；② a ∩b ＝A ，b ⊂α，a ⊄α
3. 过直线l 上三点A 、B 、C 分别作三条互相平行的直线a 、b 、c ，讨论四条直线共面？ 第二课时 2.1.2 空间直线与直线之间的位置关系
教学要求：了解空间两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，掌握平行公理，掌握等角定理，掌握两条异面直线所成角的定义及垂直
教学重点：掌握平行公理与等角定理.
教学难点：理解异面直线的定义与所成角
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：同一平面上的两条直线位置关系有哪几种？三条公理的内容？
2. 按符号画出图形：a ⊂α，b ∩α＝A ，A ∉a
3. 探究：教室内的哪些直线实例？有什么位置关系？
二、讲授新课：
1. 教学两条直线的位置关系：
① 实例探究 → 定义异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线.
→ 以长方体为例，寻找一些异面直线？ →性质：既不平行，又不相交。

→举例：教室内，日常生活中… →画法：以辅助平面衬托：（三种）
→讨论：分别在两个平面内的两条直线，是不是异面直线？
②讨论：空间两条直线的位置关系：（整理如下）
⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
2. 教学平行公理：
① 提出公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行？ →示例：三棱镜
② 出示例：空间四边形ABCD ，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且C F
C B ＝C G
C D ＝1
3，求证：EFGH 是梯形。

分析：如何画图？证明哪组对边平行且不相等？由已知有哪些结论？什么是空间四边形？ （四个顶点不在同一平面上的四边形） → 学生试叙述证明过程，教师板书。

→变题：变换比例式…. →小结：平面几何中的性质，如何在立体几何中使用？
3. 教学等角定理：
① 讨论：平面几何中，两角对边分别平行，且方向相同，则两角有何关系？到立体几何中呢？ ② 提出定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两角相等。

→试将题改写成数学符号语言题，并画出立体图形。

→ 探究：如何证明角相等？
③ 推广：直线a 、b 是异面直线，经过空间任意一点O ，分别引直线a ’∥a ，b ’∥b ，则把直线a ’和b ’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角。

→ 图形表示
→ 讨论：与点O 的位置是否有关？为什么？最简单的取法如何取？ → 垂直
→探究：给出正方体和几条面、体的对角线，找出几对异面直线，并指出所成角
4. 小结：空间两直线的位置关系；公理4；等角定理；异面直线的定义、垂直、所成角.
三、巩固练习：1. 教材P53 1、2题.
2. 已知空间边边形ABCD 各边长与对角线都相等，求异直线AB 和CD 所成的角的大小. 第三课时 2.1.3 空间直线与平面之间的位置关系 & 2.1.4 平面与平面之间的位置关系
教学要求：了解直线与平面的三种位置关系，理解直线在平面外的概念，了解平面与平面的两种位置关系.
教学重点：掌握线面、面面位置关系的图形语言与符号语言.
教学难点：理解各种位置关系的概念.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：公理1～4的内是什么？空间两条直线有哪几种位置关系？
2. 探究：以长方体为例，探求一面对角线与各面的位置关系？ 生活中直线与平面的位置关系？
二、讲授新课：
1. 教学直线与平面的位置关系：
① 讨论：直线和平面有哪几种位置关系？ →操作演示，示范说明。

② 定义：直线和平面平行：直线和平面没有公共点。

→小结：三种位置关系：直线在平面内、相交、平行； →探究：公共点情况；
→定义：直线在平面外：相交或平行的情况。

③三种位置关系的图形画法：
④ 三种位置关系的符号表示：
a ⊂α a ∩α＝A a ∥α （后两个统称为a ⊄α）
⑤ 练习：举出直线和平面的三种位置关系的生活实例； 结合空间几何体举例
⑥ 练习：教材P54 例4； 练习题
→ 小结方法：操作演示； 反例排除
2. 教学平面与平面的位置关系：
① 以长方体为例，探究相关平面之间的位置关系？ 联系生活中的实例找面面关系. ② 讨论得出：相交、平行。

→定义：平行：没有公共点；相交：有一条公共直线。

→符号表示：α∥β、 α∩β＝b →举实例：…
③ 画法：相交：……
平行：使两个平行四边形的对应边互相平行
④ 练习： 画平行平面；画一条直线和两个平行平面相交；画一个平面和两个平行平面相交 ⑤ 探究：A. 分别在两平行平面的两条直线有什么位置关系？
B. 三个平面两两相交，可以有交线多少条？
C. 三个平面可以将空间分成多少部分？
3. 小结：线面位置关系；面面位置关系.
三、巩固练习：
1. 三个平面两两相交于三条直线，交线不平行，求证：三条交线交于一点.
2. 已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG 交于点O, 求证：B、D、O三点共线.
3. 求证：空间四边形各边的中点共面.
4. 作业：P58 2、3题.。