江苏省盐城市2021届新高考第二次模拟数学试题含解析
南京市、盐城市届高三年级第二次模拟考试有答案
南京市、盐城市2021 届高三年级第二次模拟考试数学2021． 03考前须知：1．本试卷共 4 页，包括填空题〔第1 题~第 14 题〕、解答题〔第 15 题~第 20 题〕两局部．本试卷总分值为 160 分，考试时间为120 分钟．．．．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡 上对应题目的答案空格内．考试结束后，交答复题卡．．．．．．．．一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置 上．1的定义域为▲ ．1．函数 f(x)＝ ln 1－ x－－ ▲．2．假设复数 z 满足 z(1－ i)＝ 2i 〔 i 是虚数单位〕， z 是 z 的共轭复数，那么z ·z ＝3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，那么甲、乙不在同一兴趣小组的概率为▲．4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：不喜欢戏剧喜欢戏剧男性青年观众 4010女性青年观众4060现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取 n 个人做进一步的调研，假设在“不喜欢戏剧的男性青年观众〞的人中抽取了 8 人，那么 n 的值为▲．5．根据如下图的伪代码，输出S 的值为▲．S ← 1I ← 16．记公比为正数的等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ．假设 a 1＝ 1， S 4－ 5S 2＝0，WhileI ≤8S ← S ＋ I那么 S 5 的值为▲．I ← I ＋ 2 πEnd While 7．将函数 f(x)＝ sinx 的图象向右平移y ＝ g(x)的图象，PrintS个单位后得到函数3那么函数 y ＝ f(x)＋g(x)的最大值为 ▲．〔第 5 题图〕8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y 2＝ 6x 的焦点为 F ，准线为 l ，P 为抛物线上一点， PA ⊥ l ， Aπ 3π ，那么 cos α的值为 ▲ ．9．假设 sin(α－ )＝ 5 ， α∈ (0， )6 210． α， β为两个不同的平面， m ， n 为两条不同的直线，以下命题中正确的选项是▲〔填上所有正确命题的序号〕 ．①假设 α∥ β， m α，那么 m ∥β；②假设 m ∥α， nα，那么 m ∥n ；③假设 α⊥ β， α∩ β＝ n ， m ⊥ n ，那么 m ⊥ β； ④假设 n ⊥ α， n ⊥ β， m ⊥ α，那么 m ⊥ β．11．在平面直角坐标系xOy 中，直线 l 1： kx － y ＋2＝ 0 与直线 l 2： x ＋ ky － 2＝ 0 相交于点 P ，那么当实数 k 变化时，点 P 到直线 x －y － 4＝ 0 的距离的最大值为▲ ．12．假设函数 f(x)＝x2－mcosx ＋m 2＋ 3m － 8 有唯一零点，那么满足条件的实数 m 组成的集合为▲．13．平面向量→ → → →▲．AC ＝(1 ，2)， BD ＝ (－ 2， 2)，那么 AB ?CD 的最小值为14．函数 f(x)＝ lnx ＋ (e － a)x － b ，其中 e 为自然对数的底数．假设不等式b的最f(x)≤ 0 恒成立，那么 a 小值为 ▲ ．．．．．．．．．二、解答题：本大题共6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内 作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤．15．〔本小题总分值 14 分〕如图，在△ ABC 中， D 为边 BC 上一点， AD ＝ 6， BD ＝3， DC ＝ 2．〔1〕假设 AD ⊥ BC ，求∠ BAC 的大小；AAπ〔2〕假设∠ ABC＝4，求△ ADC 的面积．BD CBDC〔第 15 题图 1〕 〔第 15 题图 2〕数学试卷第 2 页共16 页如图，四棱锥P－ABCD 中， AD ⊥平面 PAB， AP⊥ AB．（1〕求证： CD ⊥ AP；（2〕假设 CD ⊥PD，求证： CD∥平面 PAB；D CABP〔第 16 题图〕17．〔本小题总分值14 分〕在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600 平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒〔如图〕．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB， BC 的长分别为 a 厘米和 b 厘米，其中a≥ b．（1〕当 a＝ 90 时，求纸盒侧面积的最大值；（2〕试确定 a， b， x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．D CA B〔第 17 题图〕22如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆 C ： x＋ y＝1 经过点 (b ， 2e)，其中 e 8 b 2为椭圆 C 的离心率．过点 T(1， 0)作斜率为 k(k ＞ 0)的直线 l 交椭圆 C 于 A ， B 两点 (A 在 x 轴下方 )．〔1〕求椭圆 C 的标准方程；〔2〕过点 O 且平行于 l 的直线交椭圆C 于点 M ， N ，求AT · BT 的值；MN 2→ 2 →〔3〕记直线 l 与 y 轴的交点为 P ．假设 AP ＝ 5 TB ，求直线 l 的斜率 k ．yMBOT xPNA19．〔本小题总分值 16 分〕〔第 18 题图〕函数 f (x)＝ e x － ax － 1，其中 e 为自然对数的底数， a ∈ R ．（ 1〕假设 a ＝ e ，函数 g (x)＝ (2－e)x ．①求函数 h(x)＝ f (x)－ g (x)的单调区间；②假设函数F(x)＝f (x)，x ≤m ，的值域为 R ，求实数m 的取值范围；g (x)， x ＞m（ 2〕假设存在实数 x 1， x 2∈ [0， 2]，使得 f(x 1)＝ f(x 2)，且 | x 1－x 2| ≥ 1，求证： e － 1≤ a ≤e 2－e ．20．〔本小题总分值16 分〕数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，数列 { b n } ， { c n } 满足 (n ＋ 1) b n ＝ a n ＋ 1－S n，n(n ＋ 2) c n ＝a n ＋1＋a n ＋2 S n，其中 n ∈ N* ．－ n2〔1〕假设数列 { a n } 是公差为 2 的等差数列，求数列 { c n } 的通项公式；〔 2〕假设存在实数 λ，使得对一切n ∈N* ，有 b n ≤ λ≤ c n ，求证：数列{ a n } 是等差数列．南京市、盐城市2021 届高三年级第二次模拟考试数学附加题2021．03考前须知：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40 分，考试时间30 分钟．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交答复题卡．21．【选做题】在 A 、B、C 、D 四小题中只能选做 2 题，每题 10 分，共计卷卡指20 分．请在答．．．．定区域内作答．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．A．选修 4— 1：几何证明选讲如图，△ ABC 的顶点 A， C 在圆 O 上， B 在圆外，线段AB 与圆 O 交于点 M．（1〕假设 BC 是圆 O 的切线，且 AB＝ 8，BC＝ 4，求线段 AM 的长度；（2〕假设线段 BC 与圆 O 交于另一点 N，且 AB＝ 2AC，求证： BN＝ 2MN ．CC NOOA M BA M B〔第 21(A) 图〕B．选修 4— 2：矩阵与变换3 0设 a， b∈R．假设直线l ：ax＋ y－ 7＝0 在矩阵A=－1b对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x＋ y－ 91＝ 0．求实数a， b 的值．C ．选修 4— 4：坐标系与参数方程3在平面直角坐标系x＝1＋5t，x＝ 4k2，xOy 中，直线 l ：(t 为参数 )，与曲线 C：y＝4k(k 为参数 )交4y＝5t于 A， B 两点，求线段AB 的长．数学试卷第 5 页共16 页D ． 修 4— 5：不等式a ≠b ，求 ： a 4＋ 6a 2b 2＋ b 4＞ 4ab( a 2＋ b 2)．【必做 】第22 、第 23 ，每 10 分，共20 分． 在答 卷卡指定区域内作答．解答 写出．．．．．．．．文字 明、 明 程或演算步 ．22．〔本小 分10 分〕如 ，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，底面四 形ABCD 菱形， A 1A ＝ AB ＝ 2，π∠ABC ＝ ，E ， F 分 是 BC ， A 1C 的中点．3（ 1〕求异面直 EF ， AD 所成角的余弦 ；（ 2〕点 M 在 段 A 1D 上，A 1M＝ λ．假设 CM ∥平面 AEF ，求 数 λ的 ． A 1DA 1D 1B 1C 1FMADBEC〔第 22 题图〕23．〔本小 分10 分〕n(n ＋ 1)有〔 n ≥2， n ∈ N* 〕个 定的不同的数随机排成一个下 所示的三角形数 ：* ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 第 1 行**⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第 2 行 * * *⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第 3 行⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯** ⋯⋯⋯⋯ * * ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 第 n 行M k 是第 k 行中的最大数，其中 1≤ k ≤ n ， k ∈ N* ． M 1＜ M 2＜⋯＜ M n 的概率 p n ．（ 1〕求 p 2 的 ；2（ 2〕 明： p n ＞C n＋1 ．(n ＋ 1)!南京市、盐城市2021 届高三年级第二次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空 〔本大 共14 小 ，每小5 分， 70 分 .〕21． (－∞， 1) 2． 2 3． 34． 30 5．17 6． 31 7． 38． 64 3－ 3 10．①④11． 3 212． {2}9． 109113．－ 414．－ e二、解答 〔本大 共6 小 ，90 分．解答 写出必要的文字 明， 明 程或演算步 〕15．〔本小 分14 分〕解：〔 1〕 ∠ BAD ＝ α，∠ DAC ＝ β．因 AD ⊥ BC ， AD ＝ 6， BD ＝ 3，DC ＝ 2，所以 tan α＝1， tan β＝ 1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分231 1所以 tan ∠ BAC ＝ tan(α＋β)＝tan α＋tan β＝ 2＋3＝ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分1－ tan αtan β111－×32π⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分又∠ BAC ∈ (0， π)，所以∠ BAC ＝ ．4〔 2〕 ∠ BAD ＝α．π在△ ABD 中，∠ ABC ＝ ， AD ＝ 6，BD ＝3．4由正弦定理得AD ＝ BD， 解得 sin α＝ 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分π sin α4sin 4因 AD ＞ BD ，所以 α 角，从而cos α＝ 1－ sin 2α＝14． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分4πππ因此 sin ∠ADC ＝ sin(α＋ )＝ sin αcos ＋cos αsin 44 42 2 14 1＋ 712 分＝ 2 ( 4 ＋ 4 )＝4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯△ADC 的面 S ＝ 1×AD × DC · sin ∠ ADC2＝ 1× 6× 1＋ 7 3 7)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分2 2× ＝ (1＋4 216．〔本小分 14 分〕明：〔1〕因 AD⊥平面 PAB ，AP? 平面 PAB，所以 AD⊥ AP．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分又因 AP⊥ AB ， AB∩ AD ＝ A， AB? 平面 ABCD ，AD? 平面 ABCD ，所以 AP⊥平面 ABCD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分因 CD? 平面 ABCD ，所以 CD⊥ AP．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（2〕因 CD⊥ AP， CD⊥ PD，且 PD∩ AP＝P， PD ? 平面 PAD，AP ? 平面 PAD ，所以 CD⊥平面 PAD．①⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分因 AD⊥平面 PAB， AB?平面 PAB，所以 AB⊥ AD ．又因 AP⊥ AB， AP∩ AD ＝ A， AP? 平面 PAD， AD ? 平面 PAD ，所以 AB⊥平面 PAD ．②⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分由①②得 CD ∥AB，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分因 CD / 平面 PAB， AB? 平面 PAB，所以 CD∥平面 PAB．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分17．〔本小分 14 分〕解：〔 1〕因矩形板 ABCD 的面 3600，故当 a＝ 90 ， b＝ 40，从而包装盒子的面S＝ 2× x(90－ 2x)＋ 2× x(40－2x)＝－ 8x2＋260x， x∈ (0，20)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分因 S＝－ 8x2＋260x＝－ 8(x－65)2＋4225，42故当 x＝65，面最大，最大4225平方厘米．42答：当 x＝6542256 分4，盒的面的最大 2 平方厘米．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔 2〕包装盒子的体2bV＝ (a－ 2x)(b－ 2x) x＝ x[ab－2(a＋ b)x＋ 4x ]， x∈ (0，2)， b≤60．⋯⋯⋯⋯⋯8 分V＝ x[ab－ 2(a＋b) x＋ 4x2] ≤x(ab－ 4abx＋ 4x2)＝x(3600－ 240x＋4x2)＝4x 3－ 240x 2＋ 3600x ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分当且 当a ＝b ＝ 60 等号成立．f (x)＝ 4x 3－ 240x 2＋ 3600x ， x ∈ (0， 30)．f ′(x)＝ 12(x － 10)(x － 30)．于是当 0＜x ＜10 ， f ′(x)＞0，所以 f (x)在 (0， 10)上 增；当 10＜x ＜ 30 ， f ′(x)＜ 0，所以 f (x)在 (10， 30)上 减．因此当 x ＝ 10 ， f (x)有最大 f (10)＝ 16000， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分此 a ＝ b ＝60， x ＝ 10．答：当 a ＝b ＝ 60， x ＝10 盒的体 最大，最大16000 立方厘米．⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分18．〔本小 分 16 分〕222 2解：〔 1〕因xyb 4e8 ＋b 2＝ 1 点 (b ， 2e)，所以8 ＋ b 2＝ 1．2c 2 c 2b 2c 2因 e ＝ a 2＝ 8 ，所以8＋2b2＝ 1．2 2222b8－ b因 a ＝ b ＋ c ，所以8＋2b 2 ＝ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分整理得 b 4－ 12b 2 ＋32＝ 0，解得 b 2＝ 4 或 b 2＝ 8(舍 )．所以 C 的方程x22＋y＝ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分84（ 2〕 A(x 1， y 1)，B(x 2， y 2) ．因 T(1，0) ， 直 l 的方程 y ＝ k(x － 1)．y ＝ k(x － 1)， 立直 l 与 方程x 2 y 28＋4 ＝ 1，消去 y ，得(2k 2＋1)x 2－ 4k 2 x ＋2k 2 －8＝ 0，x 1 ＋x 2 ＝4k 2，2所以2k ＋ 12k 2 －8x 1 x 2＝ 2 ．2k ＋ 1因 MN ∥ l ，所以直 MN 方程 y ＝ kx ，y ＝ kx ， 立直 MN 与 方程x 2 y 28＋4 ＝ 1，2228消去 y 得 (2k ＋ 1)x ＝ 8，解得 x ＝ 2k 2＋ 1．因 MN ∥ l ，所以 AT · BT (1－ x 1)· (x 2－ 1)MN 2 ＝ (x － x N ) 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分因 (1－ x 1) ·(x 2－ 1)＝－ [x 1x 2－ (x 1＋ x 2) ＋ 1]＝7，22k ＋ 12232，(x M － x N ) ＝ 4x ＝22k ＋ 1AT · BT (1 －x 1)· (x 2－ 1)72k 2＋ 1710 分所以 MN 2 ＝(x M － x N )2＝ 2k 2＋ 1· 32 ＝ 32．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔 3〕在 y ＝ k(x － 1)中，令 x ＝ 0， y ＝－ k ，所以 P(0，－ k)，从而 → →AP ＝ (－ x 1,－ k －y 1 )， TB ＝ (x 2－ 1， y 2)．因→ 2 →22 2 12 分AP ＝5 TB ，所以－ x 1＝ (x 2－1) ，即 x 1＋x 2＝ ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 55x 1 ＋x 2 ＝4k 2，2由(2) 知，2k ＋ 1x 1x 22k 2－8＝2．2k ＋1x 1＋ x 2＝4k 2，2－2 16k 2－2由2k ＋ 14k ＋ 2，x 2 ＝ ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分2 2 解得 x 1＝2 1) 3(2k 2 ＋1)3(2k ＋x 1＋ x 2＝ ，55因 x 1x 2＝2k 2－ 8－ 4k 2＋ 2 16k 2－ 2 ＝ 2k 2－ 82， 所以 2 × 22 ，2k ＋ 13(2k ＋ 1) 3(2k ＋ 1) 2k ＋ 1整理得50k 4－ 83k 2－ 34＝ 0，解得 k 2＝ 2 或 k 2＝－1750 (舍 ) ．又因 k ＞ 0，所以 k ＝ 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分19．〔本小 分 16 分〕解：〔 1〕当 a ＝ e ， f (x)＝ e x － ex － 1．① h (x)＝ f (x)－ g (x)＝e x － 2x －1， h ′(x)＝ e x －2．由 h ′(x)＞ 0 得 x ＞ ln2，由 h ′(x)＜ 0 得 x ＜ ln2 ．所以函数 h(x)的 增区(ln2 ，＋∞ )， 减区 (－∞， ln2) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分② f ′(x)＝ e x － e ．当 x ＜ 1 ， f ′(x)＜0，所以 f (x)在区 (－∞， 1)上 减；当 x ＞ 1 ， f ′(x)＞0，所以 f(x)在区 (1，＋∞ )上 增．1°当 m ≤ 1 ， f (x)在 (－∞， m]上 减， 域[e m －em －1，＋∞ )，g(x)＝ (2 －e)x 在 (m ，＋∞ )上 减， 域(－∞， (2－ e)m)，因 F(x)的 域R ，所以 e m － em － 1≤ (2－ e)m ，即 e m － 2m － 1≤ 0．〔 * 〕由①可知当 m ＜ 0 ， h(m)＝ e m － 2m － 1＞ h(0)＝ 0，故〔 * 〕不成立．因 h(m)在 (0， ln2)上 减，在(ln2 ， 1)上 增，且h(0) ＝ 0， h(1)＝ e － 3＜ 0，所以当 0≤m ≤ 1 ， h(m)≤0 恒成立，因此0≤ m ≤1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分2°当 m ＞ 1 ， f (x)在 (－∞， 1)上 减，在(1， m]上 增，所以函数 f (x)＝ e x － ex －1 在 (－∞， m] 上的 域 [f (1) ，＋∞ )，即 [－ 1，＋∞ )．g( x)＝ (2－ e)x 在 (m ，＋∞ )上 减， 域(－∞， (2－ e)m)．因 F(x)的 域 R ，所以－ 1≤ (2－ e)m ，即 1＜ m ≤ 1．e － 2合 1°， 2°可知， 数 m 的取 范 是 [0， 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分e －2]．〔 2〕 f ′(x)＝e x － a ．假设 a ≤ 0 ， f ′(x)＞ 0，此 f(x)在 R 上 增．由 f(x 1)＝ f( x 2)可得 x 1＝ x 2，与 |x 1－x 2|≥ 1 相矛盾，所以 a ＞ 0，且 f( x)在 (－∞， lna] 减，在 [ln a ，＋∞ )上 增．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分若 x 1，x 2∈ ( －∞， lna] ， 由 f (x 1) ＝f (x 2)可得 x 1＝ x 2，与 |x 1－ x 2|≥ 1 相矛盾，同不能有 x 1 ，x 2∈ [ln a ，＋∞ )．不妨 0≤x 1＜x 2≤2， 有 0≤ x 1＜ lna ＜ x 2≤ 2．因 f( x)在 (x 1， lna)上 减，在(lna ， x 2)上 增，且f (x 1)＝ f (x 2)，所以当 x 1≤ x ≤ x 2 ， f (x)≤f (x 1)＝ f (x 2)．由 0≤ x 1＜ x 2≤ 2，且 |x 1－ x 2 |≥ 1，可得 1∈ [x 1 ， x 2]，故 f (1)≤ f (x 1)＝ f (x 2) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分又 f (x)在 (－∞， ln a] 减，且 0≤ x 1＜ lna ，所以 f (x 1)≤ f (0)，所以 f (1) ≤ f (0)，同理 f (1)≤ f (2)．e － a － 1≤ 0，2即e － a － 1≤ e 2－ 2a － 2，解得 e －1≤ a ≤ e － e － 1，所以 e － 1≤a ≤ e 2－ e ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分20．〔本小 分16 分〕解：〔 1〕因 { a n } 是公差2 的等差数列，所以 a ＝ a ＋ 2(n － 1)，S n＝a ＋n － 1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分n1n 1从而 (n ＋ 2) c n ＝ a 1＋ 2n ＋a 1＋ 2(n ＋ 1)4 分－ (a 1＋ n － 1)＝ n ＋ 2，即 c n ＝ 1． ⋯⋯⋯（2〕由 ( n＋ 1)b n＝ a n＋1－S n，n得n(n＋ 1) b n＝ na n＋1－ S n，(n＋ 1)(n＋ 2) b n＋1＝ (n＋1)a n＋2－ S n＋1，两式相减，并化得a n＋2－ a n＋1＝ (n＋ 2) b n＋1－nb n．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分从而a n＋1＋ a n＋2n＝a n＋1＋ a n＋21－ (n＋ 1) b n](n＋ 2) c n＝－S－ [a n＋2n2＝a n＋2－an＋1＋(n＋1) b n2＝(n＋ 2) b n＋1－nbn＋(n＋1)b n 21＝2(n＋ 2)( b n＋ b n＋1)．11)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分因此 c n＝ ( b n＋ b n＋21因一切 n∈N*，有 b n≤ λ≤ c n，所以λ≤ c n＝ (b n＋ b n＋1 )≤ λ，2故 b n＝λ， c n＝λ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分所以 (n＋ 1)λ＝ a ＋－S n，！未找到引用源。
2021年江苏省盐城市中考数学二模试卷祥细答案与解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1.过点 画 的垂线，三角尺的放法正确的是（）
A. B.
C. D.
2.计算 所得结果是（）
A. B. C. D.
3.下列计算结果正确的是( )
A. B. C. D.
4.下列等式不成立的是（）
A. B. C. D.
、原式＝ ，所以 选项的计算正确；
、原式 ，所以 选项的计算正确；
、原式 ，所以 选项的计算正确，．
5.
【答案】
C
【考点】
平行四边形的判定
菱形的判定
【解析】
根据四边形 中，对角线 、 互相平分，可得四边形 是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断．
【解答】
因为四边形 中，对角线 、 互相平分，
【解答】
过 作 交 的延长线于 ，延长 到 使 ＝ ，
∵ ， ＝ ，
∴ ，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ＝ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ＝ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ＝ ， ＝ ，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ＝ ，
设 ＝ ，
∴ ＝ ， ＝ ，
在 中， ＝ ，
【解答】
＝ ，
【答案】
【考点】
直角三角形斜边上的中线
【解析】
根据等边对等角可得 ＝ ，然后利用等角的余角相等求出 ＝ ，然后根据等角对等边可得 ＝ ，从而得到 ＝ ＝ ，再求解即可．
【解答】
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
江苏省南京市盐城市2021届高三3月第二次模拟考试化学试题(word含答案 )(1)
盐城市、南京市2021届高三年级第二次模拟考试可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 Na-23 S-32一、单项选择题：共13题，每题3分，共39分。
每题只有一个选项最符合题意。
1.2020年11月，“奋斗者”号载人潜水器成功进行万米海试。
下列说法正确的是A.从海水中提取镁的过程属于物理变化B.“铝－空气－海水”电池中用铝作正极C.电解从海水获得的饱和食盐水可制金属钠D.从海水中提取铀是海水利用的研究方向之一2.钠着火不能用水扑灭的原因是2Na+2H2O=2NaOH+H2↑,下列说法正确的是A.Na基态核外电子排布式为［Ne]3s1B.H2O为非极性分子C.O结构示意图为D.NaOH电子式为3.氯及其化合物在生产、生活中有广泛应用。
下列物质的性质与用途具有对应关系的是A.Cl2能溶于水，可用于工业制盐酸B.CIO2有强氧化性，可用于自来水消毒C.HCIO不稳定，可用作棉、麻的漂白剂D.FeCl3溶液呈酸性，可用于蚀刻印刷电路板阅读下列材料，完成4~6题：CO2是一种常见温室气体，也是巨大的碳资源。
CO2可转化为CO、H2等燃料：CO2(g)+CH4(g)=2CO(g)+2H2(g) ΔH1=+247 kJ·mol-1.实验室用块状碳酸钙与稀盐酸反应制取少量CO2.4.下列关于二氧化碳的说法正确的是A.CO2分子的空间构型为直线形B.CO2的水溶液不能导电C.干冰与SiO2的晶体类型相同D.呼吸面具中CO2与Na2O2反应利用了CO2的氧化性5.下列关于反应CO2(g)+CH4(g)=2CO(g)+2H2(g)ΔH1=+247 kJ·mol-1的说法正确的是A.该反应在任何温度下都可自发进行B.反应CO2(s)+CH4(g)==2CO(g)+2H2(g)ΔH2<+247kJ·mol-1C.反应中每生成1molH2,转移电子的数目为3×6.02×1023D.选择高效催化剂可以降低反应的焓变，提高化学反应速率6.实验室制取CO2时，下列装置不能达到相应实验目的的是7.下列关于Na、Mg、Al元素及其化合物的说法正确的是A.Mg在周期表中位于p区B.原子半径：r(Na)<r(Mg)<r(Al)C.第一电离能：I1(Na)<I1(Al)<11(Mg)D.最高价氧化物的水化物的碱性：NaOH<Mg(OH)2<Al(OH)38.用硫酸渣（主要成分为Fe2O3、SiO2)制备铁基颜料铁黄（FeOOH)的一种工艺流程如下。
江苏省南京市、盐城市届高三年级第二次模拟考试数学试题含附加题纯word解析版
江苏省南京市、盐城市 2021届高三年级第二次模拟考试数学试题2021．3一、填空题〔本大题共 14小题，每题5分，合计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的地点上．〕．．．．．．．．．1．会合A＝xx2k1，k Z，B＝xx(x5)0，那么AIB＝．答案：{1，3}考点：会合交集运算分析：∵会合A＝xx2k1，k Z，B＝xx(x5)0，∴A I B＝{1，3}．2．复数z＝1＋2i，此中i为虚数单位，那么z2的模为．答案：5考点：复数分析：z214i4i234i，∴z25．3．如图是一个算法流程图，假定输出的实数y的值为﹣1，那么输入的实数x的值为．答案：1 4考点：算法与流程图分析：当x0时，log2(2x1)1，解得x 1切合题意，4当x0时，2x1，该等式无解．故x1．44．某校初三年级共有500名女生，为了认识初三女生1分钟“仰卧起坐〞工程训练状况，统计了全部女生1分钟“仰卧起坐〞测试数据(单位：个)，并绘制了以下频次散布直方图，那么1分钟起码能做到30个仰卧起坐的初三女生个．1答案：325 考点：频次散布直方图0.01)分析：x2，∴＋＋0.01)×10×500＝325．5．从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，那么第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为 ．答案：12考点：随机事件的概率 分析：先后取两次共有16种取法，此中第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除有8种，故P ＝81 ．162a6．函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当x(0，1]时，f(x)x ，3那么f(a)的值为 ．答案：0考点：函数的奇偶性与周期性分析：当x(0，1]时，f(x)xa，∴f(1)1 a ，33a ，∵函数f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(1)f(1)13∵函数f(x)周期为 2，∴f( 1) f(1)，解得a ＝﹣3，∴f( 1)f(1) 0，∴f(a)f(3)f( 3 2)f(1)0．7．假定将函数f(x)sin(2x)的图象沿 x 轴向右平移 ( ＞0)个单位后所得的图象与3f(x)的图象对于x 轴对称，那么的最小值为 ．答案：2考点：三角函数的图像与性质2T分析：由题意知．228．在△ABC中，AB＝25，AC＝5，∠BAC＝90°，那么△ABC绕BC所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为．答案：65考点：圆锥的侧面积分析：有题意可知该几何体是由底面半径为2，母线长分别为25，5的两个圆锥拼成的图形，故表面积＝2(255)65．9．数列a n为等差数列，数列b n为等比数列，知足{a1，a2，a3}＝{b1，b2，b3}＝{a，b，﹣2}，此中a＞0，b＞0，那么a＋b的值为．答案：5考点：等差、等比中项分析：不如令a＞b，那么ab4，2ba2，那么b＝1，a＝4，∴a＋b＝5．10．点P是抛物线x24y上动点，F是抛物线的焦点，点A的坐标为(0，﹣1)，那么PFPA 的最小值为．答案：22考点：抛物线的性质分析：令直线l为：y＝﹣1，作PG⊥l于点G，那么PFPG cosAPGcos PAF，PA PA当直线AP且抛物线与点P时，∠PAF最大，此时cos∠PAF最小，即PF最小，PA 令直线AP：y＝kx﹣1，与抛物线联立：x24y，x24kx40，y kx1当(4k)2440，解得k＝±1，进而有∠PAF＝45°，即cos PAF＝2．2 11．x，y为正实数，且xy＋2x＋4y＝41，那么x＋y的最小值为．答案：8考点：根本不等式分析：∵xy＋2x＋4y＝41，∴(x4)(y2)49，∴(x4)(y2)2(x4)(y2)14，当且仅当x＝3，y＝5取“＝〞，∴x＋y≥8，即x＋y的最小值为8．12．在平面直角坐标系xOy中，圆C：(x m)2y2r2(m＞0)．过原点O且互相垂3直的两条直线 l 1和l 2，此中l 1 与圆C 订交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D ．假定AB ＝OD ，那么直线 l 1的斜率为 ．25答案：5考点：直线与圆综合分析：作CE ⊥AB 于点E ，那么CE 2BC 2BE 2 BC 21AB 2 BC 2 1OD 24 4r 21(m 2 r 2)5r 2 m 2 ，44由OECD 是矩形，知CE 2＝OD 2，∴5r 2m 2 m 2 r 2，化简得r5 ，4m3即cos ∠OCD ＝CD ＝r 5，tan ∠COB ＝tan ∠OCD ＝25，OCm 352 5．∴直线l 1的斜率为5．在△ 中， 为定长， uuuruuur uuurABC BC AB 2AC ＝3BC ．假定△ABC 的面积的最大值为2，那么13边BC 的长为．答案：2考点：平面向量与解三角形分析：方法一：依据题意作图以下，且令在△ ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，uuur uuuruuur此中C 是AD 中点，E 是BD 中点，那么AB 2AC2AE ，uuuruuur uuuruuur 3uuur3∴AB2AC ＝3BC 可转变为AEBCa ，22 依据三角形中线公式得，AE1 2(AD 2AB 2)BD 2，BC1 2(AB2 BD 2) AD 2，22即3a1 2(4b2 c 2) BD 2 ，a 1 2(c 2 BD 2)4b 2，消BD 2得，2 2211a 2 6b 2 3c 2，作AF ⊥BC 于点F ，设CF ＝x ，那么BF ＝ax ，AF ＝h ，411a 2 6b 2 3c 2 可转变为11a 2 6(x 2 h 2)3[h 22]，ax化简得h 29x 26ax8a 2 a 22a ，，当x3 时，h 取最大值a，即h 的最大值为9∴S max1 aa 2，解得a ＝2，即BC 的长为2． 2方法二：14．函数f(x)e x x b (e 为自然对数的底数，b R)，假定函数g(x)f(f(x)1 )恰有24个零点，那么实数b 的取值范围为．答案：(1，1ln2)2考点：函数与方程分析：∵f(x)e x x b ，∴f(x)e x1，当x ＜0，f (x)＜0，那么f(x)在(，0)上单一递减，当x ＞0，f(x)＞0，那么f(x)在(0，)上单一递加，∴f(x)的最小值为f(0) 1b ，简单知道当1b 0，函数g(x)f(f(x)1)没有零点；2当1b0 ，函数g(x)f(f(x)1)有且仅有两个零点；2要使函数g(x)f(f(x)1)恰有4个零点，一定1b0，即b ＞12此时f(x)恰有2个零点，令这两个零点为t 1，t 2，规定t 1＜0＜t 2，那么f(x)1 ＝t 或t 2，f(x)＝1 t 或 1 t，易知f(x)＝1 t 有两个不相等的2 12 1 2 22 2实根，那么f(x)＝1t 1一定知足有且仅有两个不相等的实根，故1 t 11 b ，即t 112 12b ，由于函数 f(x)在( b ，t 1)上单一递减， 2 2∴f(11 b 11b)f(t 1)0，即e2 ( b)b0，解得bln2， 22251综上所述，1 bln2．2二、解答题〔本大题共 6小题，合计 90分．请在答题纸指定地区 内作答，解允许写出文字．．．．．．．说明，证明过程或演算步骤． 〕 15．〔本题总分值 14分〕如图，三棱锥P —ABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ． 〔1〕求证：AC ∥平面PDE ；〔3〕假定PD ＝AC ＝2，PE ＝ 3，求证：平面 PBC ⊥平面ABC ．（ 解：〔1〕∵D ，E 分别为AB ，BC 的中点，（ DE ∥AC ， （ AC平面PDE ，DE 平面PDE ，∴AC ∥平面PDE（ 2〕∵D ，E 分别为AB ，BC 的中点， ∴DE1AC12在△PDE 中，DE 2PE 2 PD 24，PE ⊥DE∵平面PDE ⊥平面ABC ，平面PDE I 平面ABC ＝DE ，PE 平面PDE PE ⊥平面ABC PE 平面PBC∴平面PBC ⊥平面ABC16．〔本题总分值14分〕在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且a ＝bcosC ＋csinB ．〔1〕求B 的值；〔2〕设∠BAC 的均分线AD 与边BC 交于点D ，AD ＝17，cosA ＝7 ，求b7 25的值．解：〔1〕由正弦定理得sinA ＝sinBcosC ＋sinCsinB6Sin[﹣π(B ＋C)]＝sinBcosC ＋sinCsinB sin(B ＋C)＝sinBcosC ＋sinCsinB sinBcosC ＋sinCcosB ＝sinBcosC ＋sinCsinB sinCcosB ＝sinCsinB∵B 、C (0，)，sinB ＞0，sinC ＞0，cosB ＝sinB ，tanB ＝1，由B(0，)， 得B ＝ ．4 2〕记A ＝2 AD 是∠BAC 的角均分线∴∠BAD ＝∠CAD ＝∵cosA ＝7 ，A(0，)，2524∴sinA ＝1 cos2 A ＝25sinC ＝sin(A ＋B)＝17 250∵cosA ＝2cos 2112sin 2 ，A(0，)，22∴sin ＝4，cos＝355∴sin ∠ADC ＝sin(B ＋)＝7210在△ADC 中，由正弦定理得：b AD ， AD sinADC sinCADC=5∴bsinsinC17．〔本题总分值14分〕如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点 A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游人到小岛参观，从点A 向小岛建三段栈道 AB ，BD ，BE ．湖面上的点B 在线段AC上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，此中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆 C 的优弧〔圆C 上实线局部〕上再修筑栈道?DE ．记∠CBD 为．（ 1〕用表示栈道的总长度f()，并确立sin 的取值范围；（ 2〕求当为什么值时，栈道总长度最短．7解：〔1〕连结CD ，在Rt △CBD 中，CD ＝1，CB ＝1 ，BD ＝ 1，sin tan?( 2)12DEf() 312 2tansin11，1)，当B 与A 重合时，sin，∴sin[33〔2〕∵sin[1，1)，∴cos(0，22 ]，33求得f()cos (2cos1)sin2∴时，即cos1，f()minf() 35323318．〔本题总分值16分〕如图，在平面直角坐标系x 2 y 2 1(a ＞b ＞0)的离心率为1xOy 中，椭圆C ：b 2，且过a 2 2点(0，3)．〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕△BMN 是椭圆C 的内接三角形，①假定点B 为椭圆C 的上极点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长；②假定原点 O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值．8解：〔1〕由题意得c1 ，b 3，b 2a 2 c 2，解得a ＝2，b 23a 2 椭圆方程为：x 2 y 2143〔2〕①B(0， 3)，O 是△ABC 的垂心，设M(x 0，y 0)(y 0＜0)，那么N(x 0，﹣y 0)知足x2y 0 2 1，OM ⊥BN ，那么有y 0y 03 1，43x 0 x 0解得x 0 2 33，y 04 3377那么MN ＝433，7设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，B(x 0，y 0)，O 是△ABC 的重心，那么x 1x 2x 0，y 1y 2 y 0，那么有(x 1x 2)2(y 1 y 2)212431，那么2x 1x 2 3y 1y 210，I 假定MN 斜率不存在，那么M(﹣1，3 3)，N(﹣1， )，d ＝1，22II 假定MN 斜率存在，那么y kx m ，联立得(4k 23)x 28mkx 4m 2 120，3x 2 4y 21248(4k220，那么x 1 x 28km，x 1x 24m 22 m3) 4k 234k2，3整理得4k 23 4m 2，那么点O 到MN 的距离dm11，当k ＝0时，取d3k 22，14k 429综上，当k ＝0时，d min3 ．219．〔本题总分值16分〕函数f(x)x 3x 2 (a16)x ，g(x)alnx ，aR ．函数h(x)f(x) g(x)x的导函数h(x)在[5，4]上存在零点．2〔1〕务实数 a 的取值范围；〔2〕假定存在实数a ，当x[0，b]时，函数f(x)在x ＝0 时获得最大值，求正实数b 的最大值；〔3〕假定直线l 与曲线y f(x)和yg(x)都相切，且l 在y 轴上的截距为﹣12，务实数a 的值．解：〔1〕由题意，h(x)x 2 x (a16) alnx ，h(x)2x 1a在[5，4]上存在零点，5，4]上有解，ax2即2x 2x a0 在[2x 2x ，2x 2 x [10，28]，因此a 的取值范围是[10，28]． 2〔2〕f(x)3x 2 2x(a 16)，f (0) 0 a 16令f(x)＝0，x 113a4713a 473，x 23，当0＜b ≤x 2时，明显f(x)在x ＝0时取最大值当bx 2时，f(x)在[0，x 2]上单一递减，在 [x 2，b]上单一递加，因此只要f(b) f(0)0，即b 3b 2 (a16)bb 2 b a16，∵a max28，∴b 的最大值为 4，〔3〕设f(x)上切点为(x 1，f(x 1))，f(x)3x 2 2x(a 16) ，可得切线方程为y x 13 x 12 (a 16)x 1[3x 122x 1 (a 16)](x x 1)，点(0，﹣12)在其上，可得(x 12)(2x 123x 1 6) 0，因此x 12设g(x)上切点为(x 2，g(x 2))，g(x)a ，x10可得切线方程为y alnx 2a(xx 2)，点(0，﹣12)在其上，x 2可得12alnx 2 a ，由于公切线，因此 3x 122x 1(a 16)a，将x 12代入，可得24aax 2x 212 alnx 2ax 2 1由 a，因此a 的值为12．a，可得1224 x 2a20．〔本题总分值16分〕无量数列a n 的各项均为正整数，其前 n 项和为S n ，记T n 为数列a n 的前a n 项和，即T n a 1 a 2 Laa n．〔1〕假定数列 a n 为等比数列，且 a 1 1，S 45S 2，求T 3的值；〔2〕假定数列a nT n 2 ，求数列a n为等差数列，且存在独一的正整数n(n ≥2)，使得a n的通项公式；〔3〕假定数列T n 的通项为T nn(n 1)a n 为等差数列．2，求证：数列a 11q2 TS 15；解：〔1〕S 4 5S 234〔2〕由于无量等差数列，因此d ≥0，且a 1 N ，d N ，当d ＝0时，a n 和T n 均为常数，故不存在独一的整数知足条件，舍去；2n1T ni1a iII 当d ≥2时，a n1 2(n1)2n12n 13，舍去a na na 1 n1故d ＝1，T ni1a in(n 1)n(n 1)a 11) 2 2 a 1 a n a 1n 12(a 1 n2(a 1 n 1) 假定a 12，那么没有知足条件的n ，因此a 12，此时 T n n(n 1)n2， n2 211故a n n〔3〕T11，T23，T36a11，a22，a33，又T n T n1a n a n1因此a n n；假定a n n，T n a1a2L a a n a1a2L a n12Ln(n1)n与原命题2矛盾，∴a n n，a n a n11为常数，因此数列a n为等差数列．12。
2021-2022学年江苏省盐城市响水中学高一年级下册学期第二次学情分析考试数学试题【含答案】
2021-2022学年江苏省盐城市响水中学高一下学期第二次学情分析数学试题一、单选题1．设复数z 满足（其中i 为虚数单位），则（ ）2i z =-z =ABC ．5DA【分析】利用复数求模长公式进行计算.=故选：A2．已知样本9，10，11，x ，y 的平均数是10xy =（ ）A ．93B ．94C ．95D ．96D【分析】根据平均数和标准差列方程即可求解.【详解】由题意 ，91011105x y++++=，解得 或 ，()()222010108x y x y +=⎧⎪∴⎨-+-=⎪⎩812x y =⎧⎨=⎩128x y =⎧⎨=⎩∴ ；96xy=故选：D.3．设， ，）1cos 662a =22tan131tan 13b =-c =A ．B ．C．D ．a b c >>a b c <<a c b<<b c a<<C【分析】利用和差公式，二倍角公式等化简，再利用正弦函数的单调性比较大小.,,a b c 【详解】，1cos 66sin 30cos 6cos30sin 6sin(306)sin 242a ==-=-= ，，22tan13tan 261tan 13b ==-sin 25c == 因为函数在上是增函数，，sin y x =()0,90 242526<<所以sin 24sin 25sin 26<<由三角函数线知：，，因为，sin 26MP = tan 26AT =MP AT <所以，所以sin 26tan 26<a c b<<故选：C.4．已知平面平面，直线平面，直线平面，，在下列说法α⊥βm ⊂αn ⊂βl αβ= 中，①若，则；②若，则；③若，则.m n ⊥m l ⊥m l ⊥m β⊥m β⊥m n ⊥正确结论的序号为（ ）A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③D【分析】由面面垂直的性质和线线的位置关系可判断①；由面面垂直的性质定理可判断②；由线面垂直的性质定理可判断③．【详解】平面平面．直线平面，直线平面，，α⊥βm ⊂αn ⊂βl αβ= ①若，可得，可能平行，故①错误；m n ⊥m l ②若，由面面垂直的性质定理可得，故②正确；m l ⊥m β⊥③若，可得，故③正确．m β⊥m n ⊥故选：D ．本题考查空间线线和线面、面面的位置关系，主要是平行和垂直的判断和性质，考查推理能力，属于基础题．5．在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若，则的形ABC 1cos cos b B a A -=ABC 状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形C【分析】通过正弦定理将边化为角，化简即可得结果.【详解】由正弦定理得，即，sin cos sin sin cos B A A A B =-sin sin C A =由于为三角形内角，所以.,A C C A =故选：C.6．如图正方体中，M ，N 分别是，的中点，则正确的是1111ABCD A B C D -1AD 1BD （ ）A ．且平面ABCD 11A D BD ⊥MN ∥B ．且平面11A D BD ⊥MN ∥11BDD B C ．与相交且平面ABCD 1A D 1BD MN ∥D ．与异面且平面1A D 1BD MN ∥11BDD B A【分析】结合线线垂直、线面平行和直线相交、异面等知识正确答案.【详解】由于平面，所以与平交，由此排除BD 选项.1N BD ∈⊂11BDD B MN 11BDD B 由于平面，平面，且，1BD ⊂11BDD B 1A D ⋂11BDD B D =1D BD ∉根据异面直线的知识可知：与是异面直线.由此排除C 选项.1A D 1BD 对于A 选项，根据正方体的性质可知，1111,,A D AD A D AB AD AB A ⊥⊥= 所以平面，所以.1A D ⊥1ABD 11A D BD ⊥由于分别是的中点，所以，,M N 11,AD BD //MN AB由于平面平面，所以平面，所以A 选项正确.MN ⊂,ABCD AB ⊂ABCD //MN ABCD 故选：A7．在△中，，E 是上一点．若，则（ ）ABC 2BD DC =AD 12λ=+ CE CA CB λ=A ．B ．C ．D ．16121413A【分析】根据图形可设，从而得到，根据已知条件= AE m AD (1)3m CE m CA CB =-+，即可求出的值.12λ=+ CE CA CBλ【详解】如图所示，设，=AE m AD 则1()3⎛⎫=+=+=+-=+- ⎪⎝⎭CE CA AE CA mAD CA m CD CA CA m CB CA ，(1)3=-+m m CA CB又∵，∴，∴，12λ=+CE CA CB 12m =136λ==m 故选：．A 8．如图，在平行六面体中，点是棱上靠近的三等分点，点1111ABCD A B C D -E 1BB B 是棱的中点，且三棱锥的体积为2，则平行六面体的F 1CC 1A AEF -1111ABCD A B C D -体积为（ ）A ．8B ．12C ．18D ．20B【分析】首先设点到的距离为，点到平面的距离为，得到E 1AA dF 11ABB A h，11112△=A AE ABB A S S 再计算平行六面体的体积即可.1111ABCD A B C D -【详解】如图设点到的距离为，点到平面的距离为，E 1AA dF 11ABB A h 则，，1112△=⋅⋅A AE S AA d ,1=⋅ABB A S AA d 所以11112△=A AE ABB A S S ，111,1263△△-=⋅⋅=⇒⋅=A AEF A AE A AEV S h Sh 平行六面体的体积为1111ABCD A B C D -111111-=⋅ABCD A B C D ABB A S V h所以.11111212△-==⋅ABCD A A D AE B C S h V 故选：B本题主要考查几何体的体积，同时考查了三棱锥的体积，属于简单题.二、多选题9．为了了解参加运动会的名运动员的年龄情况，从中抽取了名运动员的年龄200020进行统计分析.就这个问题，下列说法中正确的有（ ）A ．名运动员是总体；B ．所抽取的名运动员是一个样本；200020C ．样本容量为；D ．每个运动员被抽到的机会相等.20CD【分析】根据总体、样本、总体容量、样本容量等概念及在整个抽样过程中每个个体被抽到的机会均等即可求解.【详解】由已知可得，名运动员的年龄是总体，名运动员的年龄是样本，总200020体容量为，样本容量为，在整个抽样过程中每个运动员被抽到的机会均为，2000201100所以A 、 B 错误，C 、D 正确.故选：CD.本题主要考查总体、样本、总体容量、样本容量等概念及抽样的公平性问题，属基础题.10．已知复数的实部为，则下列说法正确的是（ ）()()()32=-+∈z a i i a R 1-A ．复数的虚部为B ．复数的共轭复数z 5-z 15=-z iC ．D ．在复平面内对应的点位于第三象限z =z ACD首先化简复数，根据实部为-1，求，再根据复数的概念，判断选项.z a 【详解】，()()()()23232323223z a i i a ai i i a a i=-+=+--=++-因为复数的实部是-1，所以，解得：，321a +=-1a =-所以，15z i =--A.复数 的虚部是-5，正确；B.复数的共轭复数，不正确；z z 15z i =-+，正确；D.在复平面内对应的点是，位于第三象=z ()1,5--限，正确.故选：ACD11．下列命题中是真命题的是（ ）A ．在四边形ABCD 中，若，且，则四边形ABCD 是菱形0AB CD +=0AC BD ⋅= B ．若点G 为的外心，则ABC 0GA GB GC ++=C ．向量，能作为平面内的一组基底1(2,3)e =-213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．若O 为△所在平面内任一点，且满足，则△ABC ()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=为等腰三角形ABC AD【分析】A 由相反向量的定义及向量数量积的垂直表示知ABCD 是菱形，B 根据钝角三角形外心即可判断命题的真假，C 由平面内基底的性质判断真假，D 利用向量加减法的几何含义及向量数量积的垂直表示即可判断真假.【详解】A ：四边形ABCD 中，由知：线段、平行且相等，由0AB CD +=AB CD 知：对角线相互垂直，即ABCD 是菱形，真命题；0AC BD ⋅=B ：以钝角△的外心为例，显然若点G 为外心时，，假命题；ABC 0GA GB GC ++≠C ：由已知有，显然共线，所以不能作为平面内的一组基底，假命题；124e e =D ： ，，若为中点，则，OB OC CB -=OB OA OC OA AB AC -+-=+ D BC 2AB AC AD += 由有，所以垂直平分，即，()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-= 0CB AD ⋅= AD BC AB AC =故△为等腰三角形.ABC 故选：AD.关键点点睛：利用相反向量的定义、向量数量积的垂直表示、平面中基底的性质、几何图形中向量加减法表示判断各选项所描述命题的真假.12．在正方体中，分别为的中点，则下列结论中1111ABCD A B C D -,,E F G 11,,BC CC BB 正确的是（ ）A ．1D D AF⊥B ．二面角F AEC --C ．异面直线与1A G EFD ．点到平面的距离是点到平面的距离的2倍G AEF C AEF BCD【分析】由于在正方体中，，与不垂直，故与不垂直，判11//D D A A 1A A AF 1D D AF 断选项A ；过点作，交的延长线于，连接，设正方体的棱长为C CM AE ⊥AE M FM 2，，判断选项B ；取的中点，连接，则，tan FCFMC CM ∴∠=11B C H 1,A H GH //GH EF 与所成角即为直线与所成角，在中用余弦定理，判断1A GEF 1A G GH 1A GH ∠11AC G △选项C ；连接交于点，则点到平面的距离与点到平面的距离CG EF N G AEF C AEF 之比为，而∽，判断选项D.GNCN GNF △CNE 【详解】在正方体中，显然有，且在正方体1111ABCD A B C D -11//D D A A中，与不垂直，1111ABCD A B C D -1A A AF 故与不垂直，选项A 错误；1D DAF 过点作，交的延长线于，连接，由二面角的定义可知，C CM AE ⊥AE M FM 即为二面角的平面角，不妨设正方体的棱长为2，则FMC ∠F AE C --1,CF CM === ，选项B 正确；tan FC FMC CM ∴∠===取的中点，连接，则，11B C H 1,A H GH //GH EF 故异面直线与所成角即为直线与所成角1A G EF 1A G GH 1A GH∠而，1A H =1A G ==GH ==故在中，由余弦定理可得11AC G △，选项C 正确；2221111cos 2A G GH A H A GH A G GH +-∠===⋅⋅连接交于点，则点到平面的距离与点到平面的距离之比为CG EF N G AEF C AEF ，而∽ GNCN GNF △CNE 故， 选项D 正确.2GN GFCN CE ==故选：BCD.三、填空题13．一组数据从小到大排列，依次为，若它们的中位数与平均数相等，则2,3,4,,9,10x______.x =8【分析】先计算平均数和中位数，根据题意得出关于x 的方程，解方程得到x 的值.【详解】因为数据2,3,4，，9,10的中位数与平均数相等，所以x ，解得.423491026x x ++++++=8x =主要考查了平均数，中位数的概念和方程求解的方法．要掌握这些基本概念才能熟练解题．14．如图，某人在高出海平面方米的山上P 处，测得海平面上航标A 在正东方向，俯角为，航标B 在南偏东，俯角，且两个航标间的距离为200米，则30°60︒45︒__________米.h =200【分析】根据题意利用方向坐标，根据三角形边角关系，利用余弦定理列方程求出的值．h 【详解】航标在正东方向，俯角为，由题意得，．A 30°60APC ∠=︒30PAC ∠=︒航标在南偏东，俯角为，则有，．B 60︒45︒30ACB ∠=︒45CPB ∠=︒所以，；BC PC h ==tan 30PCAC ==︒由余弦定理知，2222cos AB BC AC BC AC ACB =+-∠即，224000032h h h =+-可求得（米．200h =)故200．本题考查方向坐标以及三角形边角关系的应用问题，考查余弦定理应用问题，是中档题．15．在 中．已知，为线段上的一点，且满ABC ∆2CD DB =P AD足．若的面积为，则的最小值为12CP CA mCB =+ ABC ∆3ACB π∠=CP_______．2【分析】利用A ，P ，D 三点共线可求出m ，并得到．再利用平面13=1123CP CA CB =+ 向量的基本性质和基本不等式即可求出的最小值．CP【详解】解∵12CP CA mCB=+13(2)22CA m CD CD DB=+⋅=∵A ，P ，D 三点共线，∴，即m ．13122m +=13=∴131223CP CA CD=+⨯ 1122CA CD=+ 112223CA CB =+⨯，1123CA CB =+又∵．3ABC S ACB π=∠=∴，即CA •CB ＝8．12CA CBsin ACB ⋅∠=∴8ab =∴CP ==)CA b CB a ===令，=≥．2==故答案为2．本题考查平面向量共线定理，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量线性运算的运用．四、双空题16．若正三棱台中上底的边长为1，下底的边长为2，侧棱长为1，则它111ABC A B C -的表面积为_________，与所成角的余弦值为_______________．1AA 1BC【分析】根据题目所给边长，直接求表面积即可得解，延长交于点，111,,AA BB CC P 作中点，中点，连接， ，则与1PC N AB M 11,,MN B N MB 1111//,//MB AA B N BC 1AA 所成角即为和所成角，在中解三角形，即可得解.1BC 1MB 1B N1MB N【详解】根据题意正三棱台的上下底面为等边三角形，111ABC A B C -上底面为边长为1的等边三级形，下底为边长为2的等边三角形，侧面为等腰梯形上底边长为1，下底边长为2，腰长为1，所以高h=所以面积，111122322S =⨯⨯⨯⨯延长交于点，111,,AA BB CC P 由上底的边长为1，下底的边长为2，所以分别为中点，111,,A B C ,,PA PB PC 作中点，中点，连接，1PC N AB M 11,,MN B N MB ，则与所成角即为和所成角，1111//,//MB AA B N BC 1AA 1BC 1MB 1B N 连接，在底面的投影为，为底面的中心且在上，MC P O O MC 作于，显然NH MC ⊥H //NH PO 由，23CO ==2PC=所以PO ===所以，34NHPO ==MH MOOH =+==所以，，32MN ==212APMB ==在等腰梯形上底边长为1，下底边长为2，腰长为1，11BCC B 所以，1BC =1B N =在中，，1MB N222111211cos 2MB B N MN MB N MB B N +-∠===⋅根据线线所成角的范围，则与1AA 1BC 故.本题考查了求空间几何体的表面积，考查了异面直线所成角，计算量较大，属于较难题.本题的关键点为：（1）通过平移把异面直线平移到同一平面中；（2）通过空间线面关系进行计算，是本题的核心能力.五、解答题17．已知复数满足（a ＞0，a ∈R ），且，其中为虚数单位．z i 1i ⋅=-+z a 2z z +∈R i (1)求复数；z (2)若复数，，在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，求cos ∠ABC ．z 2z 2z z -(1)1iz =+【分析】（1）根据，得到，进而得到为实数求解.i 1i ⋅=-+z a i z a =+2z z +（2）化简得到复数所对应的点，进而得到向量 和的坐标，然后利用向量的夹BA BC 角公式求解.【详解】(1)解：因为，i 1i ⋅=-+z a 所以，()i 1i i=--+=+z a a 则，22i i +=+++z a z a ，()22i i 1-=+++a a a ，22221i 11⎛⎫=++-∈ ⎪++⎝⎭a a Ra a 所以，22101a -=+所以，21a =又，所以，0a >1a =所以．1i z =+(2)，，()221i 2iz =+=21i z z -=-所以，，，()1,1A ()0,2B ()1,1C -所以，，()1,1BA =-()1,3BC =-．cos cos ,BA BC ABC BA BC BA BC⋅∠=<>==18．某企业员工人参加“抗疫”宣传活动，按年龄分组：第组，第组x 1[)25,302，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图[)30,353[)35,404[)40,455[]45,50所示.区间[)25,30[)30,35[)35,40[)40,45[]45,50频数5050a 150b(1)上表是年龄的频数分布表，结合此表与频率分布直方图，求正整数、、的值；x a b (2)现在要从年龄较小的第、、组中用分层抽样的方法抽取人，问：这三组应各12330取多少人？(3)若同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，根据频率分布直方图估计该企业员工的平均年龄.(1)，，500x =200a =50b =(2)这三组中抽取的人数分别为、、5520(3)41【分析】（1）计算出第组的频率，结合频率、频率和总人数之间的关系可求得的值，1x 再利用频率、频率和总人数之间的关系可求得、的值；a b （2）计算出第、、组的人数之比，结合分层抽样可计算出这三组所抽取的人数；123（3）将每个矩形底边的右端点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全加可得结果.【详解】(1)解：第组的频率为，所以，，150.020.1⨯=505000.1x ==，50050.08200a =⨯⨯=.5000.02550b =⨯⨯=(2)解：第、、组的人数之比为，12350:50:2001:1:4=现在要从年龄较小的第、、组中用分层抽样的方法抽取人，12330第组抽取的人数为人，第组所抽取的人数为人，113056⨯=213056⨯=第组所抽取的人数为人.3430206⨯=(3)解：，300.025350.025400.085450.065500.02541x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=所以估计该企业员工的平均年龄为.4119．在中，角 ，，所对边分别为，，，且.ABC A B C a b c ()tan 2tan b A c b B=-（1）求角；A （2）若向量，，求的取值范围.()cos ,2cos m B A =20,cos 2C n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2m n -（1）；（2）.60︒【分析】（1）首先，利用正弦定理，正切化为正弦和余弦，化简得，求角；1cos 2A =（2）根据（1）的结果，得的坐标，再化简，根据角2m n - 121sin 226m n B π⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭ 的范围求模的范围.B 【详解】解：（1）由，及正弦定理，()tan 2tan b A c b B=-得，()sin sin sin 2sin sin cos cos A BBC B A B =-即，sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=即，()sin 2sin cos A B C A+=所以，.1cos 2A =3A π=（2），()222cos ,12cos cos ,cos cos ,cos 23C m n B B C B B π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以，22241cos 221cos 232cos cos 322B B m n B B ππ⎛⎫+- ⎪+⎛⎫⎝⎭-=+-=+⎪⎝⎭ 11sin 226B π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭由于，得，203B π<<1sin 2,162B π⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦所以.2m n -∈ 20．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，E 是线段PC 上的一点，．PC =()RPE EC λλ=∈(1)试确定实数，使平面BED ，并给出证明；λ//PA (2)当时，证明：PC ⊥平面BED ．2λ=(1)，证明见解析1λ=(2)证明见解析【分析】（1）作辅助线，连接AC ，可证明当E 为PC 中点时，使平面BED ，即//PA 得答案.（2）证明平面PAC ，即证明，再通过证明△PAC 与△OEC 相似，证明BD ⊥BD PC ⊥，根据线面垂直的判定定理，即可证明PC ⊥平面BED ．PC OE ⊥【详解】(1)连接AC ，且，AC BD O =若平面BED ，因为平面PAC ，平面平面，PA ∥PA ⊂PAC BED EO =所以，又因为O 为AC 中点，PA EO ∥所以E 为PC 中点，即．1λ=当时，E 为PC 中点，又因为O 为AC 中点，1λ=所以，平面BED ，平面BED ，PA OE ∥PA ⊂OE ⊂所以平面BED ．PA ∥(2)连接OE ，因为平面ABCD ，平面ABCD ，PA ⊥BD ⊂所以，在菱形ABCD 中，，PA BD ⊥AC BD ⊥又因为，PA AC A = 所以平面PAC ，平面PAC ，BD ⊥PA ⊂所以，BD PC ⊥在直角三角形PCA 中，，2PA =PC =AC =所以OC =因为，所以，所以2λ=CE =CE OC=又，故△PAC 与△OEC 相似，AC PC=CE AC OC PC =所以，PC OE ⊥又因为，，OE ，平面BED ，PC BD ⊥OE BD O = BD ⊂所以平面BED ．PC ⊥21．如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD ，AD ＝2，PA ＝PD E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点．（1）证明：EF ∥平面PAB ；（2）若二面角P －AD －B 为60°．①证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；②求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．（1）证明见解析；（2）①证明见解析；．【详解】试题分析：（1）要证明平面，可以先证明平面，利用线//EF PAB //EF MA 面平行的判定定理，即可证明平面；（2）①要证明平面平面//EF PAB PBC ⊥，可用面面垂直的判定定理，即只需证明平面即可；②由①ABCD PB ⊥ABCD平面，所以为直线与平面所成的角，由BE ⊥PBC FEB ∠EF PBC PB 为直角，即可计算的长度，在中，即计算直线与平面ABP ∠,AM EF Rt EBF ∆EF 所成的角的正弦值．PBC 试题解析：（1）证明：如图，取PB 中点M ，连接MF ，AM ．因为F 为PC 中点，故MF ∥BC 且MF ＝BC ．由已知有BC ∥AD ，BC ＝AD ．12又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE 且MF ＝AE ，故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF ∥AM ．又AM ⊂平面PAB ，而EF ⊄平面PAB ，所以EF ∥平面PAB ．（2）①证明：如图，连接PE ，BE ．因为PA ＝PD ，BA ＝BD ，而E 为AD 中点，故PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，所以∠PEB 为二面角P －AD －B 的平面角．在△PAD 中，由PA ＝PD AD ＝2，可解得PE ＝2．在△ABD 中，由BA ＝BD AD ＝2，可解得BE ＝1．在△PEB 中，PE ＝2，BE ＝1，∠PEB ＝60°，由余弦定理，可解得PB 从而∠PBE ＝90°，即BE ⊥PB ．又BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC ．又BE ⊂平面ABCD ，所以平面PBC ⊥平面ABCD ．②连接BF ．由①知，BE ⊥平面PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角．由PB∠ABP 为直角．而MB ＝PBAMEF12又BE ＝1，故在Rt △EBF 中，sin ∠EFB ＝．BE EF 所以直线EF 与平面PBC 直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质；直线与平面所成角的求解．【方法点晴】本题主要考查了直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面所成角的求解，熟练掌握线面位置关系的判定定理与性质定理是解答基础，同时根据题设条件确定直线与平面所成的角是解答的关键，本题的第二问的解答中，根据平面，可以确定为直线与平面所成的角，可放置在BE ⊥PBC FEB ∠EF PBC 中，即计算直线与平面所成的角的正弦值．Rt EBF ∆EF PBC 22．如图所示，四边形OAPB 中，OA ⊥OB ，PA +PB =10，∠PAO =∠PBO ，∠APB =，56π设∠POA =α，△AOB 的面积为.S （1）用α表示OA 和OB ；（2）求△AOB 面积S 的最大值．（1），；，；（2）π10sin()3sin cos OA ααα+=+π(0,)2α∈π10sin()6sin cos OB ααα+=+π(0,)2α∈【分析】（1）在和中分别利用正弦定理可求得，从而AOP BOP △10sin sin cos AP ααα=+得，在和中再一次分别利用正弦定理可求得OA 和10cos sin cos BP ααα=+AOP BOP △OB ；（2）由（1）表示出，50AOB S = sin cos t αα=+将上式转化为可求出结果25AOB S=π4t α=+∈【详解】解：（1）在中，由正弦定理得．AOP sin sin AP OPPAO α=∠在中，由正弦定理得．BOP △πsin sin()2BP OPPBOα=∠-因为∠PAO =∠PBO ，PA +PB =10，所以，10sin cos AP APαα-=则，．10sin sin cos AP ααα=+10sin 10cos 10sin cos sin cos BP αααααα=-=++因为四边形OAPB 内角和为2，可得∠PAO =∠PBO =，π3π在中，由正弦定理得，AOP sin sin AP OAAPO α=∠即，10πsin cos sin()3OAααα=++所以，π10sin()3sin cos OA ααα+=+π(0,)2α∈在中，由正弦定理得即，BOP △sin sin BP OBBOP BPO =∠∠cos sin BP OB BPO α=∠则，10πsin cos sin()6OBααα=++所以，．π10sin()6sin cos OB ααα+=+π(0,2α∈（2）的面积AOB ππ10sin()10sin()113622sin cos sin cos S OA OB αααααα++=⋅=⋅⋅++=．50=设，．sin cos t αα=+π)4t α+∈则50S ==150(252=当时，即时，t =π4α=S 25=所以AOB。
2021届江苏省盐城中学高三上学期第二次阶段性质量检测数学试题(解析版)
2021届江苏省盐城中学高三上学期第二次阶段性质量检测数学试题一、单选题1．集合{}10A x x =-≤，集合{}21,xB y y x R ==+∈，则A B =（ ）A ．()1,+∞B ．[)1,+∞C ．()0,∞+D ．∅【答案】A【分析】分别求出集合,A B ，再根据交集的运算即可求出． 【详解】因为{}[)101,A x x =-≤=+∞，{}{}()21,11,x B y y x R y y ==+∈=>=+∞，所以()1,AB =+∞．故选：A ．【点睛】本题主要考查指数函数的值域的应用以及集合的交集运算，属于容易题． 2．“2a <”是“10,x a x x∀>≤+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】若10,x a x x ∀>≤+，则min 1()a x x ≤+，利用均值定理可得min 1()2x x +=，则2a ≤，进而判断命题之间的关系．【详解】若10,x a x x ∀>≤+，则min 1()a x x≤+， 因为12x x +≥，当且仅当1x x=时等号成立，所以2a ≤， 因为{}{2}2a a a a <⊆≤，所以“2a <”是“10,x a x x∀>≤+”的充分不必要条件， 故选:A【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定，考查利用均值定理求最值． 3．函数()()231ln 31xxx f x -=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】先由函数的奇偶性排除部分选项，再用特殊值确定. 【详解】因为()()()()()2231ln 31ln 3131------==-=-++x xxxx x f x f x ，所以()f x 是奇函数，故排除A ，C ；因为21212131ln 21231⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭= ⎪⎝⎭+f ，且211221310,310,ln 02⎛⎫->+>< ⎪⎝⎭，所以102f ⎛⎫<⎪⎝⎭， 故选：B【点睛】本题主要考查函数图象的识别以及奇偶性的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.4．若log 0a b <（0a >且1a ≠），221b b->，则（ ）A ．1a >，1b >B ．01a <<，1b >C ．1a >，01b <<D ．01a <<，01b <<【答案】B【分析】首先根据221bb->以及对数式有意义，确定1b >，再结合log 0a b <，得到01a <<，从而得到正确选项.【详解】由221bb->，可得20b b ->，解得0b <或者1b >，因为log a b 有意义，所以0b >，所以1b >， 因为log 0a b <，所以01a <<， 故选：B.【点睛】该题考查的是有关求参数取值范围的问题，涉及到的知识点有指数不等式，对数不等式，属于基础题目.5．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于（ ） A ．－3 B ．1 C ．－1 D ．3【答案】A【分析】先解一元二次不等式得到集合A 和B ，求得交集，再利用解集求得一元二次不等式x 2＋ax ＋b ＜0系数的关系，即得结果.【详解】由题意：A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}． A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知： a ＝－1，b ＝－2，∴a ＋b ＝－3. 故选：A. 6．已知sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos2=α（ ）A ．0B ．1C ．2D 【答案】A【分析】本题首先可根据两角和的正弦公式以及两角差的余弦公式对sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭进行化简，得出cos sin αα=，然后根据22cos 2cos sin =-ααα即可得出结果.【详解】因为sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11cos sin cos 2222αααα+=+，即cos sin αα=， 则22cos2cos sin 0ααα=-=， 故选：A.【点睛】本题考查两角和的正弦公式、两角差的余弦公式以及二倍角公式，考查计算能力，考查转化与化归思想，是简单题.7．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且对任意x ∈R 都有()2f x '>，(1)3f =，则不等式()210f x x -->的解集为A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(0,)+∞D ．(,0)-∞【答案】B【分析】先构造函数()()21g x f x x =--，求导得到()g x 在R 上单调递增，根据函数的单调性可求得不等式的解集.【详解】构造函数()()21g x f x x =--，(1)3f =，(1)(1)210g f x ∴=--=.又任意x ∈R 都有()2f x '>.∴()()20g x f x '='->在R 上恒成立. ∴()g x 在R 上单调递增.∴当()(1)g x g >时，有1x >，即()210f x x -->的解集为{}|1x x >. 【点睛】本题主要考查利用函数的单调性解不等式，根据题目条件构造一个新函数是解决本题的关键.8．对于任意的实数[1,e]x ∈，总存在三个不同的实数[1,5]y ∈-，使得21ln 0y y xe ax x ---=成立，则实数a 的取值范围是A ．24251(,]e e e- B ．4253[,)e eC ．425(0,]eD ．24253[,)e e e- 【答案】B【分析】原方程化为21ln yx y ea x -=+，令()[]ln ,1,xf x a x e x=+∈，令()[]21,1,5y g y y e y -=∈-，可得()1,f x a a e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，利用导数研究函数()g y 的单调性，利用数形结合可得41254,,a a e e e⎡⎤⎡⎤+⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，得到关于a 不等式组，解出即可.【详解】0x ≠，∴原式可化为21ln y xy e a x-=+， 令()[]ln ,1,x f x a x e x =+∈时()()1ln '0,xf x f x x-=≥递增， 故()1,f x a a e⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，令()[]21,1,5yg y y e y -=∈-，故()()1211'22yy y g y y ey e y y e ---=⋅-=-，故()g y 在()1,0-上递减，在()0,2上递增，在()2,5上递减， 而()()()()244251,00,2,5g e g g g e e-====， 要使总存在三个不同的实数[]1,5y ∈-，使得21ln 0yy xe ax x ---=成立，即41254,,a a e e e ⎡⎤⎡⎤+⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故42514a e a e e ⎧≥⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，故4253a e e ≤<，实数a 的取值范围是4253,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选B.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想,是一道综合题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.解答本题的关键是将问题转化为41254,,a a e e e⎡⎤⎡⎤+⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.二、多选题9．若函数3()12f x x x =-在区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围可以是（ ） A ．31k -<<- B ．1k 3<<C ．2k 2-<<D ．11k -≤≤【答案】AB【分析】求导函数得到原函数的单调区间，求得函数在2x =-取得极大值，在2x =取得极小值，函数在区间()1,1k k -+上不是单调函数，则2-在()1,1k k -+内，或2在()1,1k k -+内，列出不等式求解可得.【详解】3()12f x x x =-，2()312f x x '=-令2()3120f x x '=->解得2x > 或2x < ；3()12f x x x =-在(,2),(2,)-∞+∞上单增，在(2,2)-上单减.所以函数在2x =-取得极大值，在2x =取得极小值因为函数3()12f x x x =-在区间()1,1k k -+上不是单调函数 所以121k k -<-<+或121k k -<<+ 解得31k -<<-或13k << 故选：AB..【点睛】求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况得到函数的最值． 10．若将函数f (x )=cos(2x +12π)的图象向左平移8π个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．g (x )的最小正周期为π B ．g (x )在区间[0，2π]上单调递减 C ．x =12π是函数g (x )的对称轴D ．g (x )在[﹣6π，6π]上的最小值为﹣12【答案】AD【分析】函数f (x )=cos(2x +12π)的图象向左平移8π个单位长度后得函数g (x )的解析式，从而可求出它的最小正周期、对称轴等. 【详解】函数f (x )=cos(2x +12π)的图象向左平移8π个单位长度后得()cos 2812g x x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小正周期为π，A 正确；222()3k x k k Z ππππ≤+≤+∈()63k x k k Z ππππ∴-≤≤+∈为g (x )的所有减区间，其中一个减区间为,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故B 错； 令23x k ππ+=，得6,2kx k Z ππ=-+∈，故C 错； x ∈[﹣6π，6π]，220,33x ππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，1cos(2),132x π⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦，故 D 对 故选：AD11．已知函数()f x 是偶函数，()1f x +是奇函数，并且当[]1,2x ∈，()12f x x =--，则下列选项正确的是（ ）.A ．()f x 在()3,2--上为减函数B ．()f x 在()3,2--上()0f x <C ．()f x 在()3,2--上为增函数D ．()f x 在()3,2--上()0f x >【答案】CD【分析】利用()f x 是偶函数，()1fx +是奇函数可知()f x 为周期函数，且周期为4，然后根据函数()f x 在[]1,2x ∈上的性质确定在区间()3,2--上的性质. 【详解】因为()f x 是偶函数，()1f x +是奇函数，所以函数()f x 的图象关于y 轴对称，且关于点()1,0中心对称，则()f x 的周期为4， 当[]1,2x ∈时，()12121f x x x x =--=+-=-，则函数()f x 在[]1,2x ∈上递增，且()0f x >在()1,2上恒成立，故函数()f x 在()3,2--上也递增，且()0f x >，所以C 、D 正确. 故选：CD.【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的结合，常用结论如下：当函数()f x 的图象关于x a =对称，且关于点()(),0b a b ≠中心对称时，则函数()f x 为周期函数，且周期4T a b =-. 12．某同学对函数()sin e ex xxf x -=-进行研究后，得出以下结论，其中正确的是（ ） A ．函数()y f x =的图象关于原点对称B ．对定义域中的任意实数x 的值，恒有()1f x <成立C ．函数()y f x =的图象与x 轴有无穷多个交点，且每相邻两交点的距离相等D ．对任意常数0m >，存在常数b a m >>，使函数()y f x =在[]a b ，上单调递减 【答案】BD【分析】由函数奇偶性的定义即可判断选项A ；由函数的性质可知()sin 1x xx f x e e -=<-可得到sin xxx e e -<-，即sin 0xxe ex --->，构造函数()sin 0x x h x e e x x -=-->，求导判断单调性，进而求得最值即可判断选项B ；函数()y f x =的图象与x 轴的交点坐标为()0，πk (k Z ∈，且)0k ≠，可判断选项C ；求导分析()0f x '≤时成立的情况，即可判断选项D. 【详解】对于选项A ：函数()sin e e x xxf x -=-的定义域为{}|0x x ≠，且()()sin sin x x x xx xf x f x e e e e ----===--，所以()f x 为偶函数，即函数()y f x =的图象关于y 轴对称，故A 选项错误；对于选项B ：由A 选项可知()f x 为偶函数，所以当0x >时，0x x e e -->，所以()sin 1x xx f x e e -=<-，可得到sin x x x e e -<-，即sin 0x xe e x --->，可设()sin 0x x h x e e x x -=-->，，()cos x x h x e e x -'=+±，因为2x x e e -+>，所以()cos 0x x h x e e x -±'=+>，所以()h x 在()0+∞，上单调递增，所以()()00h x h >=，即()sin 1xxx f x e e-=<-恒成立，故选项B 正确；对于选项C ：函数()y f x =的图象与x 轴的交点坐标为()()00k k Z k π∈≠，，且，交点()0π-，与()0π，间的距离为2π，其余任意相邻两点的距离为π，故C 选项错误； 对于选项D ：()()()()2cos sin 0xx x x xxe e x e e xf x ee -----+-'=≤，可化为e x (cos x －sin x )()cos sin 0xex x --+≤，不等式两边同除以x e -得，()2cos sin cos sin x e x x x x -≤+，当()32244x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈⎪⎝⎭，，cos sin 0x x -<，cos sin 0x x +>，区间长度为12π>，所以对于任意常数m >0，存在常数b >a >m ，32244a b k k ππππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，，，()k Z ∈，使函数()y f x =在[]a b ，上单调递减，故D 选项正确；故选：BD【点睛】思路点睛：利用导数研究函数()f x 的最值的步骤： ①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<得到单调性；③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.三、填空题13．已知函数()(21)xf x x =-，则不等式2(2)(34)0f x x f x +++≤的解集为___________ 【答案】[4,1]--【分析】易得()(21)x f x x =-在R 上为奇函数且为增函数，然后可解出答案. 【详解】易得()(21)x f x x =-在R 上为奇函数且为增函数 所以由2(2)(34)0f x x f x +++≤可得2(2)(34)f x x f x +≤-+所以2(2)(34)f x x f x +≤--，所以2234x x x +≤--，解得41x --≤≤ 即不等式2(2)(34)0f x x f x +++≤的解集为[4,1]-- 故答案为：[4,1]--14．若点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上，则cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为________.【分析】先由题意，得到sin 2cos αα=-，即tan 2α，再由cos 2cos 2cos sin 2sin 333πππααα⎛⎫+=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，根据二倍角公式，以及同角三角函数基本关系，通过弦化切，即可求出结果.【详解】因为点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上， 所以sin 2cos αα=-，因此tan 2α，所以22cos sincos 2cos 2cos sin 2sin cos 3332πππααααααα-⎛⎫+=⋅-⋅=- ⎪⎝⎭()222222222cos sin cos 1tan 143sin cos 2(tan 1)tan 1105102sin cos αααααααααααα----+=-=-=+=++++【点睛】本题主要考查三角恒等变换求值的问题，熟记同角三角函数基本关系，以及二倍角公式，两角和的余弦公式等即可，属于常考题型. 15．已知21(0,0)a b a b +=>>，则21b a b+的最小值等于________．【答案】2【分析】由21(0,0)a b a b +=>>，代入21b a b+变形，利用基本不等式即可得出． 【详解】解：由题意得2122222222b b a b ba b a a b a b a b a b++=+=++⋅+=+，当且仅当1a ==时等号成立，所以21b a b+的最小值为2． 故答案为：2【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．四、双空题16．已知函数21,0,()2,0.x xe x f x ex x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩则()0f x =根为_____________；若函数(())y f f x a =-有四个零点，则实数a 的取值范围是___________.【答案】1-或2 1(1,1)e+【分析】（1）当0x ≤时，运用导数求得函数单调区间，可得min ()(1)0f x f =-=，可得一根，当0x >时，直接求解可得.（2）先运用导数求得函数单调区间，并作出函数的图象，再根据图象列出函数有4个零点所需要的条件，即可求得结果. 【详解】（1）当0x ≤时，1()xf x xe e=+，所以()(1)x x xf x e xe x e '=+=+， 令()0f x '=，得1x =-，并且当1x <-时，()0f x '<，当1x >-时，()0f x '>， 所以函数()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,0)-上单调递增， 所以min ()(1)0f x f =-=，故当0x ≤时，()0f x =有唯一根1-， 当0x >时，()22f x x x =-，令()0f x =，解得0x =（舍去）或2，故当0x >时，()0f x =的根为2， 综上，()0f x =根为1-或2；（2）因为21,0()2,0x xe x f x e x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩， 当0x ≤时，由（1）min ()(1)0f x f =-=，则10()f x e≤≤， 当0x >时，22()2(1)1f x x x x =-=--，则函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 且仅当(2)0f =，且()1f x ≥-，因为当(())0y f f x a =-=时，则有()2f x a -=或()1f x a -=-， 即()2f x a =+或()1f x a =-，由图象得，要使函数(())y f f x a =-有四个零点，则12101a e a e ⎧+>⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩解得111a e <<+，或120110a a -<+<⎧⎨-<-<⎩，无解，综上所述，实数a 的取值范围是1(1,1)e+， 故答案是：1-或2；1(1,1)e+.【点睛】该题考查的是有关根据函数的零点的个数确定参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，结合图象确定函数的零点，以及与题意相同的对应参数所要满足的条件，属于较难题目.五、解答题17．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且1a ，3a 的等差中项为10，28a =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】（1）()1*2n n a n N +=∈；（2）1212nn n S ++=-. 【分析】（1）利用已知条件求出首项与公差，然后求数列{}n a 的通项公式； （2）化简n nnb a =，利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【详解】（1）由题意可得：211(1)208a q a q ⎧+=⎨=⎩，22520q q ∴-+=，1q >，∴142a q =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为1*2()n n a n N +=∈．（2）12n n nb +=，∴23411232222nn n S +=+++⋯+， 3412112122222n n n n n S ++-=++⋯++， 上述两式相减 可得2341211111222222n n n nS ++=+++⋯-∴11231111111112221122222222n n n n n n n n n S ++++-+=+++⋯-=-=-．【点睛】本题考查数列的递推关系式，数列求和的方法，考查逻辑推理能力、运算求解能力．18．已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．【答案】（Ⅰ）π；（Ⅱ，最小值为1-．【详解】（Ⅰ）π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭．因此，函数()f x 的最小正周期为π．（Ⅱ）因为π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数， 又π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1-．19．已知函数2224()(log )log 1f x a x b x =++，,a b 为常数，1()02f =，且()f x 的最小值0.（1）求()f x 的表达式；（2）若函数2()()log 21F x f x m x m =-++有两个零点，且一个在区间(11,42)上，另一个在区间(1,12)上，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）222()(log )2log 1f x x x =++；（2）11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）由1()02f =可得10a b -+=，由()f x 的最小值为0可得20404a a b a>⎧⎪⎨-=⎪⎩，即可解出,a b ；（2）令2log u x =，可得方程2(2)220u m u m +-++=有两个不等根，且分别在区间()2,1--､()1,0-上，利用零点存在性定理可求出.【详解】解：（1）222()(log )log 1f x a x b x =++，1()02f =，10a b ∴-+=（1）， 若0a =，2()log 1f x x =+，函数无最小值，故0a ≠，又且()f x 的最小值为0，必须有20404a a b a>⎧⎪⎨-=⎪⎩（2），由（1）（2）得，1,2a b ==，从而222()(log )2log 1f x x x =++；（2）由2()()log 210F x f x m x m =-++=得，222(log )(2)log 220x m x m +-++=，令2log u x =，则方程2(2)220u m u m +-++=有两个不等根，且分别在区间()2,1--､()1,0-上，设2()(2)22h u u m u m =+-++，所以(2)442220(1)12220(0)220h m m h m m h m -=-+++>⎧⎪-=-+++<⎨⎪=+>⎩，解得1123m -<<-，即m 的取值范围(11,23--). 【点睛】本题考查零点存在性定理的应用，解题的关键是得出方程2(2)220u m u m +-++=有两个不等根，且分别在区间()2,1--､()1,0-上.20．某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查.调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段.在随机问卷阶段，A ，B 两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行了数据统计，具体情况如下表：（1）先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去.①求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数；②为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会.会后共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份（其余人员仅赠送骑行优惠券）.已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自A 组，求A 组这4人中得到礼品的人数X 的分布列和数学期望；（2）从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄（记作m 岁）有关”的结论.在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄m 应取25还是35？请通过比较2K 的观测值的大小加以说明.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】(1) ①9人 ②见解析；(2) 25m =【分析】（1）①根据分层抽样要求，先求从300人中抽取60人，其中“年龄达到35岁”的人数60100300⋅，再求“年龄达到35岁” 中偶尔使用单车的人数4520100⋅； ②确定随机变量X 的取值，计算X 各个取值的概率，得分布列及数学期望.(2)对年龄m 是否达到35,m 是否达到25对数据重新整理（2⨯2联表），根据公式计算相应的2K ，比较大小确定.【详解】（1）①从300人中抽取60人，其中“年龄达到35岁”的有6010020300⨯=人，再将这20人用分层抽样法按“是否经常使用单车”进行名额划分，其中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数为45209100⨯=. ②A 组这4人中得到礼品的人数X 的可能取值为0，1，2，3，相应概率为：()35395042C P X C ===，()12453910121C C P X C ===， ()2145395214C C P X C ===，()34391321C P X C ===.故其分布列为∴()5105140123422114213E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）按“年龄是否达到35岁”对数据进行整理，得到如下列联表：35m =时，由（1）中的列联表，可求得2K 的观测值 ()22130012545755530015002520010018012020010018012016k ⨯⨯-⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯. 25m =时，按“年龄是否达到25岁”对数据进行整理，得到如下列联表：可求得2K 的观测值()22230067871133330021004920010018012020010018012016k ⨯⨯-⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯. ∴21k k >，欲使犯错误的概率尽可能小，需取25m =.【点睛】本题考查分层抽样和独立性检验，随机变量的分布列及数学期望，考查统计知识理解掌握水平、对数据的处理能力及分析推理解决实际问题的能力.21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆M ：22221x y a b+=(a >b >0)的左顶点为A ，过点A 的直线与椭圆M 交于x 轴上方一点B ，以AB 为边作矩形ABCD ，其中直线CD过原点O .当点B 为椭圆M 的上顶点时，△AOB 的面积为b ，且AB .（1）求椭圆M 的标准方程； （2）求矩形ABCD 面积S 的最大值； （3）矩形ABCD 能否为正方形？请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）最大值为2；（3）存在，理由见解析. 【分析】（1）由题可得22222312a b bab b a b c ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解出,a b 即可求出椭圆方程；（2）设直线AB 的方程为(2)y k x =+，联立直线与椭圆方程，表示出点B 坐标，进而得出AB ，由CD 的方程为y kx =，得出BC ，即可得出矩形ABCD 面积，求出最大值；（3）若矩形ABCD 为正方形，则AB BC =，322220k k k -+-=(0)k >，根据零点存在可得出方程有解，即可判断.【详解】解：（1）由题意：22222312a b b ab b a b c +=⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2,2a b c ===，所以椭圆M 的标准方程为22142x y +=.（2）显然直线AB 的斜率存在，设为k 且0k >， 则直线AB 的方程为(2)y k x =+，即20kx y k -+=，联立22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8840k x k x k +++-=，解得222412B k x k -=+，2412B k y k =+，所以AB ==， 直线CD 的方程为y kx =，即0kx y，所以BC ==，所以矩形ABCD面积2881122k S k k k====++所以当且仅当2k =时，矩形ABCD 面积S的最大值为（3）若矩形ABCD 为正方形，则AB BC =，即212k =+，则322220k k k -+-=(0)k >， 令32()222(0)f k k k k k =-+->，因为(1)10,(2)80f f =-<=>，又32()222(0)f k k k k k =-+->的图象不间断，所以32()222(0)f k k k k k =-+->有零点，所以存在矩形ABCD 为正方形. 【点睛】本题考查椭圆中四边形的面积问题，解题的关键是设出直线方程，表示出矩形的相邻两边边长，进而可求出最值. 22．设函数1(1)f x x=-，()1xg x ax =+(其中a R ∈，e 是自然对数的底数）． （1）若函数()()()F x f x g x =-没有零点，求实数a 的取值范围；（2）若函数(),()f x g x 的图象有公共点P ，且在点P 有相同的切线，求实数a 的值； （3）若()()xf eg x ≤在x ∈[0,)+∞恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(3,1]a ∈-；（2）3a =-；（3）1[0,]2【详解】（1）由()()()0F x f x g x =-=得2(1)(1)10a x a x ----=，显然0x =，1x a=-都不是此方程的根，当1a =时，没有实根，则1a ≠，由2(1)4(1)0a a -+-<得：31a -<<，故当(3,1]a ∈-时，函数()()()F x f x g x =-没有零点；（2）21'()f x x=，21'()(1)g x ax =+，设它们的公共点为(,)P P P x y ， 则有{()()'()'()P P P P P P y f x y g x f x g x ===即{()()'()'()P P P P f x g x f x g x ==也就是{当1P P ax x +=时111Px -=，无解；当1P P ax x +=-时111P x -=-，12P x =，3a =-； （3）由题得在[0,)+∞上恒成立，因为0x ≥，故1[0,1)xe--∈，所以110xe -≥在[0,)+∞上恒成立，故01xax ≥+在[0,)+∞上恒成立，所以，0a ≥． 解法一：不等式恒成立等价于(1)(1)0xax e x -+--≤在[0,)+∞上恒成立，令1()(1)(1)1xx ax h x ax e x ax x e -+=+--=-+--，则1'()1xax a h x a e -+=+-， 再设()'()m x h x =，则21'()xax a m x e-+-=，同时，，'(0)0h =，(0)0h =，①当0a =时，1'()0,xm x e =-<，则()'()m x h x =在[0,)+∞上单调递减，∴'()'(0)=0h x h ≤， ∴()h x 在[0,)+∞上单减，∴即()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立，②当102a <≤时，21()'()xa a x a m x e---=，因为210a a-->，所以'()0m x <， 则()'()m x h x =在[0,)+∞上单调递减，∴'()'(0)=0h x h ≤，∴()h x 在[0,)+∞上单减， ∴即()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立，③当12a >时，21()'()xa a x a m x e ---=，210a a-> 若210a x a-<<，则'()0m x >，即()'()m x h x =在21(0,)a a -上单调递增，所以'()'(0)0h x h >=即()h x 在21(0,)a a-上也单调递增，∴，即()()xf eg x ≥，不满足条件．综上，()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立时，实数a 的取值范围是1[0,]2． 解法二：不等式恒成立等价于(1)(1)0x xax e e x +--≤在[0,)+∞上恒成立，设()(1)(1)=(1)(1)xxxh x ax e e x e ax x ax =+---+-+，则'()()x h x e ax x a a =-+-，再设()'()()xm x h x e ax x a a ==-+-，则同时，'(0)21m a =-，(0)'(0)0m h ==，(0)0h =，①当1a ≥时，'(0)210m a =->，故函数)'(h x 是(0,)+∞上的增函数所以'()'(0)0h x h >=，所以函数()h x 是(0,)+∞上的增函数，所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)0h x h >=， 即()()xf eg x ≤，与()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立不符，②当102a ≤≤时2101a a -≥-，21'()(1)()01x a m x a e x a -=-+<-，故函数)'(h x 是(0,)+∞上的减函数所以'()'(0)0h x h <=，函数()h x 是(0,)+∞上的减函数，所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)0h x h ≤=，即()()f x g x ≤在[0,)+∞上恒成立， ③当112a <<时，2101a a -<-，21'()(1)()1x a m x a e x a -=-+-当21(0,)1a x a -∈--时，'()0m x >，故函数)'(h x 是21(0,)1a a ---上的增函数所以在21(0,)1a x a -∈--上，'()'(0)0h x h >=， 所以函数()h x 是21(0,)1a a ---上的增函数，所以当21(0,)1a x a -∈--时，()(0)0h x h >=，即()()xf eg x ≥，与()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立不符，综上可得，使()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立实数a 的取值范围是1[0,]2．。
南京市、盐城市2021届高三年级第二次模拟考试数学试卷参考答案
南京市、盐城市2021届高三年级第二次模拟考试数学参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A 2．C 3．D 4．C 5．C 6．B 7．D 8．B二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9. ACD 10．BC 11．ABD 12．AC 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．36 14．132 15． 6 16．34，2（第一问2分，第二问3分） 四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．(本小题满分10分)解：在△ABC 中，B ＝π－(A ＋C )，所以sin B ＝sin(A ＋C )．因为sin B －sin(A －C )＝3sin C ，所以sin(A ＋C )－sin(A －C )＝3sin C ， ············· 2分 即sin A cos C ＋cos A sin C －(sin A cos C －cos A sin C )＝3sin C ，所以2cos A sin C ＝3sin C ． ······································································· 4分 在△ABC 中，sin C ≠0，所以cos A ＝32． 因为0＜A ＜π，所以A ＝π6． ····································································· 6分选择① 方法1因为A ＝π6，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋9－33b ．又因为b ＝3a ，所以2b 2－93b ＋27＝0，解得b ＝33，或b ＝332，此时△ABC 存在． ················································································· 8分 当b ＝33时，△ABC 的面积为S △ABC ＝12bc sin A ＝12×33×3×12＝934．当b ＝332时，△ABC 的面积为S △ABC ＝12bc sin A ＝12×332×3×12＝938． ········ 10分方法2因为b ＝3a ，由正弦定理，得sin B ＝3sin A ＝3sin π6＝32．因为0＜B ＜π，所以B ＝π3，或B ＝2π3，此时△ABC 存在． ····························· 8分当B ＝π3时，C ＝π2，所以b ＝c cos A ＝332，所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12bc sin A ＝12×332×3×12＝938．当B ＝2π3时，C ＝π6，所以b ＝c sin Bsin C＝33，所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12bc sin A ＝12×33×3×12＝934． ···················· 10分选择②因为a ＝3cos B ，所以a ＝3×a 2＋9－b 26a，得a 2＋b 2＝9，所以C ＝π2，此时△ABC 存在． ································································· 8分因为A ＝π6，所以b ＝3×cos π6＝332，a ＝3×sin π6＝32，所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab ＝938． ················································· 10分选择③ 由a sin A ＝c sin C ，得a sin C ＝c sin A ＝32， ·························································· 8分 这与a sin C ＝1矛盾，所以△ABC 不存在． ················································ 10分18．(本小题满分12分) 解：（1）方法1因为S n ＝2n ＋r ，所以当n ＝1时，S 1＝a 1＝2＋r ．当n ＝2时，S 2＝a 1＋a 2＝4＋r ，故a 2＝2． 当n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝8＋r ，故a 3＝4．因为{a n }是等比数列，所以a 22＝a 1a 3，化简得2＋r ＝1，解得r ＝－1， ············· 3分 此时S n ＝2n －1．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－2n －1－1＝2n －1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，a n ＝2n －1，所以r ＝－1满足题意． ·········································································· 5分 方法2因为S n ＝2n ＋r ，所以当n ＝1时，S 1＝a 1＝2＋r ．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋r －2n －1－r ＝2n －1． ······································· 3分 因为{a n }是等比数列，所以2＋r ＝1，解得r ＝－1． ····································· 5分 （2）因为a n ＝2n －1，所以b n ＝2(1＋log 2a n )＝2n ． ········································· 7分 因为a 1＝1，a 2＝2＝b 1，a 3＝4＝b 2，a 4＝8＝b 4，a 5＝16＝b 8，a 6＝32＝b 16，a 7＝64＝b 32，a 8＝128＝b 64，a 9＝256＝b 128， ········································· 9分 所以c 1＋c 2＋c 3＋···＋c 100＝(b 1＋b 2＋b 3＋···＋b 107)－(a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8) ······················· 11分 ＝107×(2＋214)2－2(1－27)1－2＝11302． ··············································· 12分19．(本小题满分12分)解：（1）对项目A 投资的统计数据进行计算，有－x ＝3，－y ＝0.6，n∑i =1x i 2＝55．所以^b ＝n∑i =1x i y i －n －x ·－yn∑i =1x i 2－n －x2＝11－5×3×0.655－5×32＝0.2， ·················································· 4分 ^a ＝－y －^b －x ＝0.6－0.2×3＝0，所以回归直线方程为：^y ＝0.2x ． ······························································· 6分线性相关系数r ＝n∑i =1x i y i －n －x ·－y(n ∑i =1x i 2－n －x 2) (n∑i =1y i 2－n －y 2)＝11－5×3×0.6( 55－5×32)(2.24－5×0.62)＝24.4≈0.9524＞0.95这说明投资金额x 与所获利润y 之间的线性相关关系较强，用线性回归方程^y＝0.2x 对该组数据进行拟合合理． ········································································ 8分（2）设对B 项目投资x (1≤x ≤6)百万元，则对A 项目投资(7－x )百万元．所获总利润y ＝0.16x －0.49x ＋1＋0.49＋0.2(7－x ) ············································· 10分＝1.93－ [0.04(x ＋1)＋0.49x ＋1]≤1.93－20.04(x ＋1)×0.49x ＋1＝1.65，当且仅当0.04(x ＋1)＝0.49x ＋1，即x ＝2.5时取等号，所以对A ，B 项目分别投资4.5百万元，2.5百万元时，获得总利润最大． ······· 12分20．(本小题满分12分)（1）证明：取AB 中点D ，连接CD ，B 1D ．因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，所以AB ⊥CD ，CD ＝3，BD ＝1． 又因为AB ⊥B 1C ，且CD ∩B 1C ＝C ，CD ，B 1C ⊂平面B 1CD ， 所以AB ⊥平面B 1CD ．又因为B 1D ⊂平面B 1CD ，所以AB ⊥B 1D ． ················································ 2分 在直角三角形B 1BD 中，BD ＝1，B 1B ＝2，所以B 1D ＝3． 在三角形B 1CD 中，CD ＝3，B 1D ＝3，B 1C ＝6，所以CD 2＋B 1D 2＝B 1C 2，所以CD ⊥B 1D ． ··············································· 4分 又因为AB ⊥B 1D ，AB ∩CD ＝D ，AB ，CD ⊂平面ABC ，所以B 1D ⊥平面ABC ． 又因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面ABC ． ························· 6分 （2）解：以DC ，DA ，DB 1所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，1，0)，B (0，－1，0)，C (3，0，0)，B 1(0，0，3)，因此BB 1→＝(0，1，3)，AC →＝(3，－1，0)，AA 1→＝BB 1→＝(0，1，3)． 因为点P 在棱BB 1上，则设BP →＝λBB 1→＝λ(0，1，3)，其中0≤λ≤1．则CP →＝CB →＋BP →＝CB →＋λBB 1→＝(－3，－1＋λ，3λ)． ······························ 8分 设平面ACC 1A 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0， n ·AA 1→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，y ＋3z ＝0．取x ＝1，y ＝3，z ＝－1，所以平面ACC 1A 1的一个法向量为n ＝(1，3，－1)． ……………………………………………………10分 因为直线CP 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为45，所以cos ＜n ，CP →＞＝n·CP →|n |×|CP →|＝－235×3＋(λ－1)2＋3λ2 ＝－45，（第20题图）化简得16 λ2－8λ＋1＝0，解得λ＝14，所以BP ＝λBB 1＝12． ·········································································· 12分21．(本小题满分12分)解：由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，y 2＝4x ，得y 2－4y ＋4m ＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝4m ．因为直线l 与C 相交，所以△＝16－16m ＞0，得m ＜1． ···························· 2分 （1）由AT →＝2TB →，得y 1＋2y 2＝0， ······················································· 4分所以4＋y 2＝0，解得y 2＝－4，从而y 1＝8，因为y 1y 2＝4m ，所以4m ＝－32，解得m ＝－8． ······································ 6分（2）设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，因为M ，N 两点关于直线y ＝x ＋m 对称，则y 4－y 3x 4－x 3＝y 4－y 3y 424－y 324＝4y 4＋y 3＝－1，解得y 4＝－4－y 3． 又y 4＋y 32＝x 4＋x 32＋m ，于是－4－y 3＋y 32＝x 4＋x 32＋m ，解得x 4＝－4－2m －x 3． ······························· 8分又点N 在抛物线上，于是(－4－y 3)2＝4(－4－2m －x 3)．因为y 32＝4x 3，所以y 32＋4y 3＋16＋4m ＝0， ··········································· 10分 于是MA →·MB →＝(x 1－x 3)(x 2－x 3)＋(y 1－y 3)(y 2－y 3)＝(y 124－y 324)(y 224－y 324)＋(y 1－y 3)(y 2－y 3)＝(y 1－y 3)(y 2－y 3)16[(y 1＋y 3)(y 2＋y 3)＋16]＝(y 1－y 3)(y 2－y 3)16[y 1y 2＋y 3(y 1＋y 2)＋y 32＋16]＝(y 1－y 3)(y 2－y 3)16(4m ＋4y 3＋y 32＋16)＝0，因此MA ⊥MB ，同理NA ⊥NB ，于是点M ，N 在以AB 为直径的圆上，即A ，B ，M ，N 四点共圆． ··············· 12分22．(本小题满分12分)解：（1）当a ＝12时，f (x )＝e x －12x sin x －x －1，则f ′(x )＝e x －12(x cos x ＋sin x )－1，f ′′(x )＝e x ＋12x sin x －cos x ．因为x ∈[0，π]，所以e x ≥1，12x sin x ≥0，因此f ′′(x )≥1－cos x ≥0， ··················· 2分所以f ′(x )在[0，π]上单调递增，于是f ′(x )≥f ′(0)＝0，因此f (x )在[0，π]上单调递增，所以f (x )≥f (0)＝0． ····································· 4分 （2）由（1）知，当a ≤12时，f (x )≥e x －12x sin x －x －1≥0，当且仅当x ＝0时取等号，此时函数f (x )仅有1个零点． ··································································· 6分 当a ＞12时，因为f (x )＝e x －ax sin x －x －1，所以f ′(x )＝e x －a (x cos x ＋sin x )－1，f ′′(x )＝e x ＋a (x sin x －2cos x )． 当x ∈[π2，π]时，f ′′(x )＞0，所以f ′(x )单调递增．当x ∈[0，π2]时，f ′′′(x )＝e x ＋a (3sin x ＋x cos x )．因为e x ＞0，a (3sin x ＋x cos x )≥0，所以f ′′′(x )＞0，所以f ′′(x )单调递增．又f ′′(0)＝1－2a ＜0，f ′′(π2)＝e π2＋π2a ＞0，因此f ′′(x )在[0，π2]上存在唯一的零点x 0，且x 0∈(0，π2)． ································ 8分当x ∈(0，x 0)时，f ′′(x )＜0，所以f ′(x )单调递减； 当x ∈(x 0，π2)时，f ′′(x )＞0，所以f ′(x )单调递增．又f ′(0)＝0，f ′(x 0)＜f ′(0)＝0，f ′(π)＝e π＋a π－1＞0，因此f ′(x )在[0，π]上存在唯一的零点x 1，且x 1∈(x 0，π)．······························ 10分 当x ∈(0，x 1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )单调递减； 当x ∈(x 1，π)时，f ′(x )＞0，所以f (x )单调递增． 又f (0)＝0，f (x 1)＜f (0)＝0，f (π)＝e π－π－1＞0，所以f (x )在(x 1，π)上存在唯一零点，因此f (x )在[0，π]上有两个零点．综上，a 的取值范围是(12，＋∞)． ··························································· 12分。
2021年江苏省盐城市阜宁县中考数学二模试卷(附解析)
2021年江苏省盐城市阜宁县中考数学二模试卷（附解析）2021年江苏省盐城市阜宁县中考第二次数学模拟试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．下列各数中，最大的是（）a．0b、一,c．1d．明天太阳将从西边升起b．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中c．实心铁球投入水中会沉入水底d．抛出一枚硬币，落地后正面朝上3.以下几何图形的主视图为三角形（）a．b．c．d．4.以下计算是正确的（）235632a、 x+x2=x3b.2x+3x=5xc.（x）=xd.x÷x=x5．如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=30°，则∠2的度数为（）a、60°b.50°c.40°d.30°6。
以下四个命题：（1）数据5、2、3、0的极差是8；（2）方差越大，说明数据就越稳定；（3）不在同一直线上的三点确定一个圆；（4）在⊙ o半径为5，弦ab‖CD，ab=6，CD=8，那么ab和CD之间的距离是7，其中真命题的数量是（）a.4，B.3，C.2，D.1二、填空题（本小题共10小题，每小题3分，共30分）7．计算：|8．函数y=|=．中，自变量x的取值范围是．9.在平面直角坐标系中，已知主函数y=32x的图像通过两点P1（x1，Y1）和P2（X2，Y2）。
如果X1<X2，则y1y2。
（填写“>”、“<”或“=”）10。
指定使用符号[x]表示实数的整数部分，例如[289]=2[1]=11．如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“我”字一面相对面上的字是．]=1. 根据这条规定[12.如图所示，为了估算池塘两侧a点和B点之间的距离，选择池塘一侧的o点，分别取OA和ob的中点m和N，测量Mn=39m，则a点和B点之间的距离为m13．如图，把△abc绕点c按顺时针方向旋转35°，得到△a′b′c，a′b′交ac于点d．若∠a′dc=90°，则∠a=．14.如图所示，AB是⊙ o、 C点位于AB、CD切割的延长线上⊙ o到D点，并连接ad。
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江苏省盐城市2021届新高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在ABC 中，,(,),2AD AB BD xAB yAC x y R AD ⊥=+∈=，且12AC AD ⋅=，则2x y +=（ ）A ．1B ．23-C ．13-D ．34- 【答案】C【解析】【分析】 由题可0,12AD AB AC AD ⋅=⋅=,所以将已知式子中的向量用AD AB AC ，，表示，可得到的,x y 关系，再由,,B D C 三点共线，又得到一个关于,x y 的关系，从而可求得答案【详解】由BD xAB yAC =+，则(1),[(](1)AD x AB y AC AD AD AD x AB y AC x AD AB y AD AC =++⋅=⋅++=+⋅+⋅，即412y =，所以13y =，又,,B D C 共线，则1111,,233x y x x y ++==-+=-. 故选：C【点睛】此题考查的是平面向量基本定理的有关知识，结合图形寻找各向量间的关系，属于中档题.2．框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入115x =，216x =，318x =，420x =，522x =，624x =，725x =，则图中空白框中应填入（ ）A ．6i >，7S S =B ．6i 7S S =C ．6i >，7S S =D ．6i ，7S S =【答案】A【解析】【分析】 依题意问题是()()()22212712020207S x x x ⎡⎤=-+-+⋯+-⎣⎦，然后按直到型验证即可. 【详解】 根据题意为了计算7个数的方差，即输出的()()()22212712020207S x x x ⎡⎤=-+-+⋯+-⎣⎦， 观察程序框图可知，应填入6i >，7S S =， 故选：A.【点睛】 本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及转化与化归思想，属于基础题.3． “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．的是( )A ．这五年，出口总额之和．．．．比进口总额之和．．．．大B ．这五年，2015年出口额最少C ．这五年，2019年进口增速最快D ．这五年，出口增速前四年逐年下降【答案】D【解析】【分析】根据统计图中数据的含义进行判断即可.【详解】对A 项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，则A 正确；对B 项，由统计图可得，2015年出口额最少，则B 正确；对C 项，由统计图可得，2019年进口增速都超过其余年份，则C 正确；对D 项，由统计图可得，2015年到2016年出口增速是上升的，则D 错误；故选：D【点睛】本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于基础题.4．二项式22)n x +的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A ．180B ．90C ．45D ．360 【答案】A【解析】试题分析：因为22)n x +的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以10n =，551021101022•?()2r rr r r r r T C C x x--+==，令5502r -=，则2r ，23104180T C ==. 考点：1.二项式定理；2.组合数的计算.5．已知等差数列{}n a 的公差为-2，前n 项和为n S ，若2a ，3a ，4a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，则n S 的最大值为（ ）A ．5B ．11C ．20D ．25【答案】D【解析】【分析】由公差d=-2可知数列单调递减，再由余弦定理结合通项可求得首项，即可求出前n 项和，从而得到最值.【详解】等差数列{}n a 的公差为-2，可知数列单调递减，则2a ，3a ，4a 中2a 最大，4a 最小，又2a ，3a ，4a 为三角形的三边长，且最大内角为120︒，由余弦定理得22223434a a a a a =++，设首项为1a ，即()()()()()222111112a 4a 6a 4a 60a -=-+-+--=得()()11490a a --=， 所以14a =或19a =，又41a 60a ，=->即1a 6>,14a =舍去，19a =故，d=-2 前n 项和()()()219n 25252n n n S n -=+⨯-=--+. 故n S 的最大值为525S =.故选：D【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查求前n 项和的最值问题，同时还考查了余弦定理的应用.6．若复数z 满足)1z z i +=，复数z 的共轭复数是z ，则z z +=（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．12-+ 【答案】C【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则求出z ，再根据共轭复数的概念求解即可．【详解】解：∵1z -=，∴122z i ==-+，则122z =--， ∴1z z +=-，故选：C ．【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算法则，考查共轭复数的概念，属于基础题．7．若,x y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．10B ．8C ．5D ．3 【答案】D【解析】【分析】 画出可行域,将2z x y =+化为122z y x =-+,通过平移12y x =-即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值.【详解】解:由约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩作出可行域如图,化目标函数2z x y +＝为直线方程的斜截式,122z y x =-+.由图可知 当直线122z y x =-+过()3,0A 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值为3. 故选:D.【点睛】 本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为y ax bz =+ 的形式,在可行域内通过平移y ax =找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.8．双曲线1C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一个焦点为(c,0)F （0c >），且双曲线1C 的两条渐近线与圆2C ：222()4c x c y -+=均相切，则双曲线1C 的渐近线方程为（ ） A ．30x y ±=B ．30x y ±=C 50x y ±=D ．50x =【答案】A【解析】【分析】根据题意得到2c d ==，化简得到223a b ，得到答案.【详解】 根据题意知：焦点(c,0)F 到渐近线b y xa =的距离为2c d ==，故223a b ，故渐近线为0x ±=.故选：A .【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力和转化能力.9．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．13CD 【答案】C【解析】【分析】根据直线与圆相交，可求出k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率.【详解】因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以1d =≤，解得44k -≤≤所以相交的概率224P ==,故选C. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.10．已知α，β是两平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，则不正确命题是（ ）A ．若m ⊥α，n//α，则m ⊥nB ．若m//α，n//α，则m//nC ．若l ⊥α，l//β，则α⊥βD ．若α//β，l ⊄β，且l//α，则l//β【答案】B【解析】【分析】根据线面平行、线面垂直和空间角的知识，判断A 选项的正确性.由线面平行有关知识判断B 选项的正确性.根据面面垂直的判定定理，判断C 选项的正确性.根据面面平行的性质判断D 选项的正确性.A ．若//n α，则在α中存在一条直线l ，使得//,,l n m l αα⊥⊂，则m l ⊥，又//l n ，那么m n ⊥，故正确；B ．若//,//m n αα，则//m n 或相交或异面，故不正确；C ．若l β//，则存在a β⊂，使//l α，又,l a αα⊥∴⊥，则αβ⊥，故正确．D ．若//αβ，且//l α，则l β⊂或l β//，又由,//l l ββ⊄∴，故正确．故选：B【点睛】本小题主要考查空间线线、线面和面面有关命题真假性的判断，属于基础题.11．已知函数3ln ()3ln x a x f x a x x =-+-在区间()1,+∞上恰有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,3)(3,)e +∞ B ．[)0,e C ．()2,e +∞ D ．(,){3}e -∞ 【答案】A【解析】【分析】 函数3ln ()3ln x a x f x a x x =-+-的零点就是方程3ln 30ln x a x a x x-+-=的解，设()ln x g x x =，方程可化为(()3)(())0g x g x a --=，即()3g x =或()g x a =，求出()g x 的导数()g x '，利用导数得出函数的单调性和最值，由此可根据方程解的个数得出a 的范围．【详解】 由题意得3ln 30ln x a x a x x-+-=有四个大于1的不等实根，记()ln x g x x =，则上述方程转化为3(()3)10()g x a g x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 即(()3)(())0g x g x a --=，所以()3g x =或()g x a =． 因为2ln 1()(ln )x g x x '-=，当()1,x e ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(),x e ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；所以()g x 在x e =处取得最小值，最小值为()g e e =．因为3e >，所以()3g x =有两个符合条件的实数解，故3ln ()3ln x a x f x a x x=-+-在区间()1,+∞上恰有四个不相等的零点，需a e >且3a ≠．【点睛】本题考查复合函数的零点．考查转化与化归思想，函数零点转化为方程的解，方程的解再转化为研究函数的性质，本题考查了学生分析问题解决问题的能力．12．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（ ）．A ．26B ．4C ．23D ．22【答案】A【解析】【分析】 作出其直观图，然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可.【详解】根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且2AD AB ==，4BC =， PA ⊥平面ABCD ，且2PA =， ∴22222PB =+=222222PD =+=，22CD =2242026PC PA AC =+=+= ∴这个四棱锥中最长棱的长度是26故选A ．【点睛】本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，正确还原直观图是解题关键，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。