第七章 法的要素 A
新教材 人教A版高中数学必修第二册 第七章 复数 知识点汇总及解题规律方法提炼
第七章 复数7．1.1 数系的扩充和复数的概念1．复数的有关概念 (1)复数的定义形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝－1． (2)复数集全体复数所构成的集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }叫做复数集． (3)复数的表示方法复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部．■名师点拨对复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b 而非b i.(3)复数z ＝a ＋b i 只有在a ，b ∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．2．复数相等的充要条件在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等当且仅当a ＝c 且b ＝d ．3．复数的分类(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数（b ＝0），虚数（b ≠0）⎩⎨⎧纯虚数a ＝0，非纯虚数a ≠0Ｗ.(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系■名师点拨复数b i(b ∈R )不一定是纯虚数，只有当b ≠0时，复数b i(b ∈R )才是纯虚数．典型应用1 复数的概念下列命题：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ④实数集是复数集的真子集． 其中正确的命题是( ) A ．① B ．② C ．③D ．④【解析】 对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时，为纯虚数．对于①，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，即①错误；两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若x ＝－2，则x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2＝0，此时(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i ＝0不是纯虚数，则③错误；显然，④正确．故选D.【答案】 D判断与复数有关的命题是否正确的方法(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．(2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a ＋b i 的形式，更要注意这里a ，b 均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．[提醒] 解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i 的性质． 典型应用2 复数的分类当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i ：(1)为实数？(2)为虚数？(3)为纯虚数？【解】 (1)当⎩⎨⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数．(2)当m 2－2m ≠0且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．解决复数分类问题的方法与步骤(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可．(3)下结论：设所给复数为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， ①z 为实数⇔b ＝0； ②z 为虚数⇔b ≠0；③z 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0. 典型应用3 复数相等(1)(2019·浙江杭州期末考试)若z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i(m ，n ∈R )，且z 1＝z 2，则m ＋n ＝( )A ．4或0B ．－4或0C ．2或0D ．－2或0(2)若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的值是________． 【解析】 (1)由z 1＝z 2，得n 2－3m －1＝－3且n 2－m －6＝－4，解得m ＝2，n ＝±2，所以m ＋n ＝4或0，故选A.(2)因为log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，所以⎩⎨⎧log 2（x 2－3x －2）>1，log 2（x 2＋2x ＋1）＝0，即⎩⎨⎧x 2－3x －2>2，x 2＋2x ＋1＝1，解得x ＝－2. 【答案】 (1)A (2)－2复数相等的充要条件复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解．[注意] 在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R ，即当a ，b ，c ，d ∈R 时，a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .若忽略前提条件，则结论不能成立．7．1.2 复数的几何意义1．复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的两种几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )←――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) ←――→一一对应平面向量OZ →. ■名师点拨(1)复平面内的点Z 的坐标是(a ，b )，而不是(a ，b i)．也就是说，复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.(2)当a ＝0，b ≠0时，a ＋b i ＝0＋b i ＝b i 是纯虚数，所以虚轴上的点(0，b )(b ≠0)都表示纯虚数．(3)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中的z ，书写时应小写；复平面内的点Z (a ，b )中的Z ，书写时应大写．3．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模或绝对值，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|■名师点拨如果b ＝0，那么z ＝a ＋b i 是一个实数a ，它的模等于|a |(a 的绝对值)． 4．共轭复数(1)一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．(2)虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．(3)复数z 的共轭复数用z －表示，即如果z ＝a ＋b i ，那么z －＝a －b i ． ■名师点拨复数z ＝a ＋b i 在复平面内对应的点为(a ，b )，复数z －＝a －b i 在复平面内对应的点为(a ，－b )，所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x 轴对称．典型应用1复数与复平面内的点已知复数z ＝(a 2－1)＋(2a －1)i ，其中a ∈R .当复数z 在复平面内对应的点Z 满足下列条件时，求a 的值(或取值范围)．(1)在实轴上； (2)在第三象限．【解】 (1)若z 对应的点在实轴上，则有 2a －1＝0，解得a ＝12.(2)若z 对应的点在第三象限，则有 ⎩⎨⎧a 2－1<0，2a －1<0，解得－1<a <12. 故a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12.[变条件]本例中复数z 不变，若点Z 在抛物线y 2＝4x 上，求a 的值． 解：若z 对应的点(a 2－1，2a －1)在抛物线y 2＝4x 上，则有(2a －1)2＝4(a 2－1)，即4a 2－4a ＋1＝4a 2－4，解得a ＝54.利用复数与点的对应解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )可以用复平面内的点Z (a ，b )来表示，是解决此类问题的根据．(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．典型应用2复数与复平面内的向量在复平面内，复数i ，1，4＋2i 对应的点分别是A ，B ，C .求平行四边形ABCD 的顶点D 所对应的复数．【解】 法一：由复数的几何意义得A (0，1)，B (1，0)，C (4，2)，则AC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，由平行四边形的性质知该点也是BD 的中点，设D (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＝2，y ＋02＝32，所以⎩⎨⎧x ＝3，y ＝3，即点D 的坐标为(3，3)，所以点D 对应的复数为3＋3i. 法二：由已知得OA→＝(0，1)，OB →＝(1，0)，OC →＝(4，2)， 所以BA→＝(－1，1)，BC →＝(3，2)， 所以BD→＝BA →＋BC →＝(2，3)，所以OD →＝OB →＋BD →＝(3，3)， 即点D 对应的复数为3＋3i.复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数，反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．典型应用3 复数的模(1)设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i 且|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( )A ．－1<a <1B ．a <－1或a >1C ．a >1D ．a >0(2)(2019·贵州遵义贵龙中学期中测试)已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 在复平面内对应点的集合是( )A ．1个圆B ．线段C ．2个点D ．2个圆【解析】 (1)由题意得a 2＋22<（－2）2＋12，即a 2＋4<5(a ∈R )，所以－1<a <1.(2)由题意知(|z |－3)(|z |＋1)＝0， 即|z |＝3或|z |＝－1， 因为|z |≥0，所以|z |＝3，所以复数z 在复平面内对应点的集合是1个圆． 【答案】 (1)A (2)A求解复数的模的思路解决复数的模的求解问题，应先把复数表示成标准的代数形式，再根据复数的模的定义求解．7．2 复数的四则运算7．2.1 复数的加、减运算及其几何意义1．复数加、减法的运算法则及加法运算律 (1)加、减法的运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )是任意两个复数，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i ．(2)加法运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 ①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1．②结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． ■名师点拨两个复数相加就是这两个复数的实部与实部相加，虚部与虚部相加．对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形．2．复数加、减法的几何意义如图所示，设复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是OZ →，与z 1－z 2对应的向量是Z 2Z 1→.典型应用1复数的加、减法运算(1)计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；(2)设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，求z 1－z 2. 【解】 (1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i ＝－11i. (2)因为z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，z 1＋z 2＝5－6i ， 所以(3＋x )＋(2－y )i ＝5－6i ，所以⎩⎨⎧3＋x ＝5，2－y ＝－6，所以⎩⎨⎧x ＝2，y ＝8，所以z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i ＝－1＋10i.解决复数加、减运算的思路两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．典型应用2复数加、减法的几何意义已知平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0，3＋2i ，－2＋4i.(1)求AO→表示的复数； (2)求CA→表示的复数． 【解】 (1)因为AO→＝－OA →，所以AO→表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i. (2)因为CA→＝OA →－OC →，所以CA→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.1．[变问法]若本例条件不变，试求点B 所对应的复数．解：因为OB→＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.所以点B 所对应的复数为1＋6i.2．[变问法]若本例条件不变，求对角线AC ，BO 的交点M 对应的复数． 解：由题意知，点M 为OB 的中点，则OM →＝12OB →，由互动探究1中知点B 的坐标为(1，6)，得点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，所以点M 对应的复数为12＋3i.复数加、减法几何意义的应用技巧(1)复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算．(2)复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．7．2.2 复数的乘、除运算1．复数乘法的运算法则和运算律 (1)复数乘法的运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )， 则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ． (2)复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有对复数乘法的两点说明(1)复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行运算，但结果要将实部、虚部分开(i 2换成－1)．(2)多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用． 2．复数除法的运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0)(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．■名师点拨对复数除法的两点说明(1)实数化：分子、分母同时乘以分母的共轭复数，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开． 典型应用1 复数的乘法运算(1)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)＝( )A ．1＋3iB ．－1＋3i C.3＋iD ．－3＋i(2)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i(3)把复数z 的共轭复数记作z －，已知(1＋2i) z －＝4＋3i ，求z . 【解】 (1)选B.(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)＝(1－i)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i.(2)选D.因为a －i 与2＋b i 互为共轭复数， 所以a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i. (3)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，由已知得，(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的条件知， 解得a ＝2，b ＝1，所以z＝2＋i.复数乘法运算法则的应用复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i2换成－1，并将实部、虚部分别合并．多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如(a＋b i)2＝a2＋2ab i＋b2i2＝a2－b2＋2ab i，(a＋b i)3＝a3＋3a2b i＋3ab2i2＋b3i3＝a3－3ab2＋(3a2b－b3)i.典型应用2复数的除法运算计算：(1)（1＋2i）2＋3（1－i）2＋i；(2)（1－4i）（1＋i）＋2＋4i3＋4i.【解】(1)（1＋2i）2＋3（1－i）2＋i＝－3＋4i＋3－3i2＋i＝i2＋i＝i（2－i）5＝15＋25i.(2)（1－4i）（1＋i）＋2＋4i3＋4i＝5－3i＋2＋4i3＋4i＝7＋i3＋4i＝（7＋i）（3－4i）（3＋4i）（3－4i）＝21－28i＋3i＋425＝25－25i25＝1－i.复数除法运算法则的应用复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．典型应用3i的运算性质(1)复数z＝1－i1＋i，则ω＝z2＋z4＋z6＋z8＋z10的值为()A．1 B．－1C ．iD ．－i(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019等于________． 【解析】 (1)z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）2 019＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 2 2 019＝i 2 019＝(i 4)504·i 3＝1504·(－i)＝－i.【答案】 (1)B (2)－i(1)i 的周期性要记熟，即i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)．(2)记住以下结果，可提高运算速度．①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i.②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i＝i. ③1i ＝－i.典型应用4在复数范围内解方程在复数范围内解下列方程．(1)x 2＋5＝0；(2)x 2＋4x ＋6＝0.【解】 (1)因为x 2＋5＝0，所以x 2＝－5，又因为(5i)2＝(－5i)2＝－5，所以x ＝±5i ，所以方程x 2＋5＝0的根为±5i.(2)法一：因为x 2＋4x ＋6＝0，所以(x ＋2)2＝－2，因为(2i)2＝(－2i)2＝－2，所以x ＋2＝2i 或x ＋2＝－2i ，即x ＝－2＋2i 或x ＝－2－2i ，所以方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝－2±2i.法二：由x 2＋4x ＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0，所以方程x 2＋4x ＋6＝0无实数根．在复数范围内，设方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)， 则(a ＋b i)2＋4(a ＋b i)＋6＝0，所以a 2＋2ab i －b 2＋4a ＋4b i ＋6＝0，整理得(a 2－b 2＋4a ＋6)＋(2ab ＋4b )i ＝0，所以⎩⎨⎧a 2－b 2＋4a ＋6＝0，2ab ＋4b ＝0，又因为b ≠0，所以⎩⎨⎧a 2－b 2＋4a ＋6＝0，2a ＋4＝0，解得a ＝－2，b ＝± 2.所以x ＝－2±2i ，即方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝－2±2i.在复数范围内，实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求解方法(1)求根公式法①当Δ≥0时，x ＝－b ±b 2－4ac 2a. ②当Δ<0时，x ＝－b ±－（b 2－4ac ）i 2a. (2)利用复数相等的定义求解设方程的根为x ＝m ＋n i(m ，n ∈R )，将此代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．7．3* 复数的三角表示1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值一般地，任何一个复数z ＝a ＋b i 都可以表示成r (cos θ＋isin θ)的形式，其中，r 是复数z 的模；θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ→所在射线(射线OZ →)为终边的角，叫做复数z ＝a ＋b i 的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z .r (cos θ＋isin θ)叫做复数z ＝a ＋b i 的三角表示式，简称三角形式．a ＋b i 叫做复数的代数表示式，简称代数形式．■名师点拨(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．(2)复数0的辐角是任意的．(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z ，且0≤arg z ＜2π.(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．2．复数三角形式的乘、除运算若复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，且z 1≠z 2，则(1)z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)·r 2(cos θ2＋isin θ2)＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．(2)z 1z 2＝r 1（cos θ1＋isin θ1）r 2（cos θ2＋isin θ2）＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．典型应用1复数的代数形式与三角形式的互化角度一 代数形式化为三角形式把下列复数的代数形式化成三角形式： (1)3＋i ； (2)2－2i.【解】 (1)r ＝3＋1＝2，因为3＋i 对应的点在第一象限，所以cos θ＝32，即θ＝π6，所以3＋i ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6.(2)r ＝2＋2＝2，cos θ＝22，又因为2－2i 对应的点位于第四象限，所以θ＝7π4.所以2－2i ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos 7π4＋isin 7π4.复数的代数形式化三角形式的步骤(1)先求复数的模．(2)决定辐角所在的象限．(3)根据象限求出辐角．(4)求出复数的三角形式．[提醒] 一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．角度二 三角形式化为代数形式分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．(1)4⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6； (2)32(cos 60°＋isin 60°)；(3)2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3－isin π3. 【解】 (1)复数4⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6的模r ＝4，辐角的主值为θ＝π6. 4⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝4cos π6＋4isin π6 ＝4×32＋4×12i ＝23＋2i. (2)32(cos 60°＋isin 60°)的模r ＝32，辐角的主值为θ＝60°.32(cos 60°＋isin 60°)＝32×12＋32×32i＝34＋34i.(3)2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3－isin π3 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＋isin ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π3 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 53π＋isin 53π. 所以复数的模r ＝2，辐角的主值为53π.2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 53π＋isin 53π＝2cos 53π＋2isin 53π ＝2×12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32i ＝1－3i.复数的三角形式z ＝r (cos θ＋isin θ)必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i 跟sin ”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例(3)．典型应用2复数三角形式的乘、除运算计算：(1)8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 43π＋isin 43π×4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 56π＋isin 56π； (2)3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)]；(3)4÷⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4. 【解】 (1)8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 43π＋isin 43π×4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 56π＋isin 56π ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＋56π＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＋56π ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 136π＋isin 136π ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i ＝163＋16i.(2)3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)]＝32[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)] ＝62(cos 75°＋isin 75°)＝62⎝ ⎛⎭⎪⎫6－24＋6＋24i ＝6－238＋6＋238i＝3－34＋3＋34i.(3)4÷⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4 ＝4(cos 0＋isin 0)÷⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4 ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 ＝22－22i.(1)乘法法则：模相乘，辐角相加．(2)除法法则：模相除，辐角相减．(3)复数的n 次幂，等于模的n 次幂，辐角的n 倍．典型应用3复数三角形式乘、除运算的几何意义在复平面内，把复数3－3i 对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转π3，求所得向量对应的复数．【解】 因为3－3i ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12i ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 116π＋isin 116π所以23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 116π＋isin 116π×⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3 ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋π3 ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 136π＋isin 136π ＝23⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6 ＝3＋3i ， 23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 116π＋isin 116π×⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3 ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π－π3 ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32π＋isin 32π ＝－23i.故把复数3－3i 对应的向量按逆时针旋转π3得到的复数为3＋3i ，按顺时针旋转π3得到的复数为－23i.两个复数z 1，z 2相乘时，先分别画出与z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→，然后把向量OZ 1→绕点O 按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把OZ 1→绕点O 按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r 2倍，得到向量OZ→，OZ →表示的复数就是积z 1z 2.。
法的基本要素
法的基本要素
“法的基本要素”
法律是社会秩序的基石，是保障人们权益的重要工具。
了解法律的基本要素对于每个公民来说都是至关重要的。
在法律的世界里，有几个基本要素是必不可少的。
首先，法律的基本要素包括立法、执法和司法。
立法是指国家机关通过制定法律来规范社会行为的过程。
执法是指政府机构通过执行法律来维护社会秩序和保护公民权益。
司法是指通过法院审判来解决法律纠纷和制裁违法行为。
这三个要素相互作用，共同构成了法治社会的基础。
其次，法律的基本要素还包括公正、公平和公开。
公正是指法律的适用应当不偏不倚，对所有人都一视同仁。
公平是指法律的适用应当基于客观事实和平等原则，不偏袒任何一方。
公开是指法律的适用应当对社会公众透明公开，让人们了解法律的适用和执行情况。
此外，法律的基本要素还包括权利、义务和责任。
权利是指法律赋予人们的享有自由和利益的权力。
义务是指人们在社会中应当履行的责任和义务。
责任是指人们在违反法律时应当承担的责任和后果。
总的来说，法律的基本要素是社会秩序的基础，是人们权益的保障。
了解并遵守法律的基本要素对于每个公民来说都是非常重要的。
只有通过了解法律的基本要素，我们才能更好地维护自己的权益，遵纪守法，建设一个和谐、稳定和公正的社会。
第七章 教会法
五、刑法与刑罚 基督教教义认为，每个人自降生时就有原始
的罪孽，因此人们必须通过虔诚的忏悔洗刷罪孽。 因此，教会法对于“罪”的理解与世俗法并不相
同。 公元11世纪，教会法厘清了宗教罪孽与世俗犯罪 的区别，规定唯有教会法庭才可以对宗教罪孽行 使管辖权，世俗法庭则无权干涉此类案件。教会 法将宗教罪孽区分为一般罪孽和刑事罪孽，后者 即教会法意义上的犯罪。
二、土地制度 中世纪的罗马天主教会拥有大量地产，鼎盛时
期甚至占据西欧接近1/3的土地，是超过任何世俗 国家的最大的封建主。教会地产主要来源于世俗有 产者的赠与。由于教会在政治领域占有特殊的权威 地位，因此封建王国的君主和贵族为了获得教会对 自己的承认和庇佑，甘愿将大量地产无偿赠与教 会，并且免征赋税。
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第四节 教会法的历史地位和影响
一、教会法是封建性质的宗教法 二、教会法是通行西欧的统一法 三、教会法是西方法律文化的承启者
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六、诉讼制度 教会法庭是基督教教会设立的独立于世俗法
院之外的专门处理宗教纠纷以及涉宗教事务的司 法机构。教会法规定，仅教会法庭有权对基督教 教徒加以审判，而教会法庭除了基督教教徒之 外，也可以对异教徒加以审判，这就使得教会法 庭几乎可以对当时欧洲的所有人行使司法管辖权。 实际上，教会法庭还垄断着对案件性质的解释 权，凡是对教会有利可图的案件，教会法庭都尽 可能将其解释为涉教案件，以争取对该案件加以 管辖。
四、婚姻、家庭与继承制度 婚姻、家庭和继承制度涉及人类生活的基本需
求，因而这些制度易于演变为人们在日常生活中自 然因循的习惯。教会法对婚姻、家庭和继承有着较 为严格的规定，由于这些规定在中世纪西欧各地长 期通行，甚至已经以习惯的形式融入了西方文明的 血液，因而中世纪教会法对近代西方国家的婚姻家 庭法和继承法发生了深远的影响。
定性研究方法 第七章 内容分析法
一、什么是内容分析
❖ 解释性。内容分析的目的在于分析和解释定性资料中所包含和隐含的主题、规则、观念及 意义。作为一种定性资料分析方法，内容分析的对象既可以是定性访谈的记录材料，也可 以是观察记录，还可以是通过田野工作获得的音像资料、文件材料和档案资料等。内容分 析就是通过对这些记录资料的系统检查，揭示关于研究对象的系统认识。
❖ 内容分析包括显性内容分析和潜性内容分析。显性内容分析就是再现或重新组织资料自身 所呈现的内容。潜性内容分析则是分析资料所隐含的潜在意义、规律和意识，也即分析显 性内容的深层结构及意义。内容分析的分析单位主要包括：语词或术语；主题；人物；段 落；项目；概念；语义。范畴分析是一种对民族志调查资料进行内容分析的综合性方法。 范畴一般包括三种类型：民间范畴；混合范畴；分析范畴。
本章要点
❖ 叙述分析是通过对叙述材料基本内容的分析，揭示叙述者是如何在所叙述的经历中建构意义的， 以及这种个人的意义建构过程又是如何与社会世界联系起来的。叙述分析有两条基本脉络：故事 和情节。故事分析要抓住三个要素：人物、情景和关系。口述史方法已发展成为社会科学的一种 重要研究方法，口述史分析的侧重点应置于时间性、主体性、建构性以及象征与解释性上。现象 学分析是一种以现象学认识论和方法论为基础而创立的分析方法，主要有 “存而不论”“现象学 递减”和 “结构综合”三个步骤。图式是指一种由解释的文化编码、动机词汇、逻辑和价值系统 构成的思想基础工具，社会行动或互动正是通过在一定场景中对这些图式的创造和运用而产生的。 图式分析是通过揭示社会行动中人们所创造和运用的图式来理解它们的意义。事件-过程分析的主 要内容包括：（1）事件结构分析； （2）动态过程分析；（3）事件-过程相互性分析。
第七章 内容分析法
目录
第七章 化归、反演、模型方法
4 而 sin x cos x 1 sin x cos x 2 1 1 (t 2 1), 2 2
a 2 at 于是, y=f(t)
1 1 2 1 2 (t a ) a . 2 2 2
1 2 1 1 (t 1) t 2 at a 2 2 2 2
四、等与不等的转化与化归 例4 若f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x都 有f(x+3)≤f(x)+3和f(x+2)≥f(x)+2，且f(1)=1，则 f(2010)= . 思维启迪 通过两个不等关系,转化为f(x+1)= f (x)+1这个等量关系. 解 ∵f(x+1)≤f(x+3)-2≤f(x)+3-2=f(x)+1,
ax4+bx2+c=0(a≠0)
通过换元，化归为一元二次方程就是将该问 题模式化，规范化。
化归方法包括三个要素： 化归对象------即把什么东西进行化归；
化归目标-------即化归到何处去；
化归途径-------如何进行化归。
上面所举的例子中，
化归的对象----双二次方程； 化归的目标----一元二次方程；
1 或x 8, 2
∴x的取值范围是 (0, 1 ) (8, ).
2
二、正难则反的转化与化归
例2 已知三条抛物线：y=x2+4ax-4a+3, y=x2+(a1)x+a2, y=x2+2ax-2a 中至少有一条与x轴相交，求
实数a的取值范围.
思维启迪 三条抛物线中至少有一条与 x 轴相交 的情况比较多，反面为三条抛物线与x轴都不相 交，只有一种情况. 解 令y=0，由
现代汉语语法学第七章关于层次分析法及有关问题
一、现代汉语句法结构的基本类型 二、句法结构的扩展和替换 三、句法结构的层次性和层次分析法
（一）句法结构的层次性 一个句法结构是由若干个词组成 的一个序列，这个序列表面上呈线性 状态。其实，它的内部组织是有层次 性的。它是由小到大，有密到疏，有 层次地进行组合的。句法结构的这种 一层一层地组合起来的特点，就是句 法结构的层次性。
（一）句法组合的层次性 （二）层次分析法 （三）对汉语一些特殊结构的处理 多数短语可以一分为二，采用二分 法分析，但有些短语要用多分法。例 如联合结构、连谓结构、兼语结构、 双宾语结构等。
（一）句法组合的层次性 （二）层次分析法 （三）对汉语一些特殊结构的处 理 （四）广义同构和狭义同构
1、狭义同构 两个或两个以上的句法结构，如果满足 一下条件：（1）语法形式的长度相同；（2） 包含的词的词类都相同；（3）词的排列顺 序都相同；（4）层次构造相同，或者说同 模；（5）相对应的成分的语法功能相同。 那么，我们说这两个句法结构是狭义同构。
（2）局限性： ①层次分析法无法揭示句法结 构内部的深层语义关系。例如： 鸡不吃了 |_||_____| 主谓关系 |_||_| 状中关系 ②不易于归纳句型，对长句较 难检查出毛病。
一、现代汉语句法结构的基本类型 二、句法结构的扩展和替换 替换——在既定的语境里，一个语法形 式可用另一个较复杂或较简单的语法形式替换， 替换后整个组合的结构和功能不变。 替换形式的长度等于或超过被替换形式的 长度又叫扩展。 替换形式的长度短于被替换形式的长度又 叫紧缩。 实际上，扩展和紧缩可以统一在替换的基 础上。期间的关系如图所示：（P123页）
2、分析过程主要包括两个内容 （1）切分：是解决一个结构的直接组成成分 有哪些； （2）定性：解决切分所得的直接组成成分之 间在句法上是什么关系。 具体步骤： （1）找出两个最大的直接组成成分，确定这 两部分是什么关系； （2）用同样的方法分析这两大部分，找出它 们各由哪两个部分组成，又分别是什么关系； （3）逐层切分下去，直至分析出每个实词； （4）一般采用从左到右、从上到下、逐块切 分的分析步骤。
第7章 配位平衡和配位滴定法
本章主要内容： 第一节 配位化合物的基本概念 第二节 配位平衡 第三节 配位滴定法
配位化合物的生物医药应用
实验
CuSO4溶液 适量氨水
(浅蓝色)
乙醇
[Cu(NH3)4]SO4晶体
(深蓝色)
Cu2(OH)2SO4
↓
过量氨水
(蓝色)
[Cu(NH3)4]2+
(深蓝色)
N
N
N
N
名称 草酸根
乙二胺
邻菲罗啉
联吡啶 乙二胺 四乙酸
缩写符号 (OX) (en)
(o-phen) (bpy)
(H4edta)
CH2 H2N
CH2 NH2
NN
乙二胺(en）
联吡啶(bpy)
O O 2–
N
N
1,10-二氮菲（邻菲咯啉）
CC
O• •
O• •
C2O42-
3.配体数和配位数
配体数：配合物中配体的总数 配位数：与中心原子结合成键的配位原子的数目 单基配体形成的配合物：
配体命名顺序
同类配体中配位原子相同，较少原子数的配体在前， 较多原子数的配体列后
例：[Pt(NH3)2 (NH2OH)NO2]Cl 氯化一硝基 ·二氨·一羟胺合铂(Ⅱ)
配离子为阴离子，则在配离子与外界阳离子之间用
“酸”字连接；若外界为氢离子，则在配离子之后缀以
“酸”字，即“某酸”。
K[Al(OH)4]
1、配合物的命名顺序 内外界顺序与一般无机化合物的命名原则相同。 阴离子名称在前，阳离子名称在后。
2、内界（配离子）的命名顺序
配体数
配体名称
合
（汉字数字） （不同配体间用圆点·分开）
现代汉语语法学第七章关于层次分析法及有关问题
（一）句法组合的层次性 （二）层次分析法 （三）对汉语一些特殊结构的处 理 （四）广义同构和狭义同构 （五） 对两种分析法的评论 1、中心词分析法
（1）基本原则
①句子分析就是分析一个句子（单句） 的句子成分。句子成分有六种——主语、 谓语、宾语、定语、状语、补语。 ②词与句子成分发生直接关系，短语 中只有联合短语和主谓短语可以直接充当 句子成分。
（2）局限性： ①层次分析法无法揭示句法结 构内部的深层语义关系。例如： 鸡不吃了 |_||_____| 主谓关系 |_||_| 状中关系 ②不易于归纳句型，对长句较 难检查出毛病。
（4）中心词分析法的局限性： ①应用范围有限。 ②忽视句法构造的层次性。 ③语义理解容易偏差 。 ④ 短语在句中的位置没有了。
一、句法组合的层次性 二、层次分析法 三、对汉语一些特殊结构的处理 四、对两种分析法的评论 1、中心词分析法 2、层次分析法
（1）优越性： ①注意到了句子构造的层次 性； ②有效地分化了歧义句； ③有一贯性。
一、现代汉语句法结构的基本类型 二、句法结构的扩展和替换 三、句法结构的层次性和层次分析法
（一）句法结构的层次性 一个句法结构是由若干个词组成 的一个序列，这个序列表面上呈线性 状态。其实，它的内部组织是有层次 性的。它是由小到大，有密到疏，有 层次地进行组合的。句法结构的这种 一层一层地组合起来的特点，就是句 法结构的层次性。
（一）句法组合的层次性 （二）层次分析法 1、什么是层次分析法 层次分析法就是逐层顺次找出某一语言 片断（包括短语和句子）的直接组成成分的 一种方法。又叫直接组成成分分析） 我们利用层次分析法把一个语言片段分 出许许多多的大小不同的片段，如果把一个 大片断包含的小片断叫做“成分”；小片断合 成的大片断叫做“组合”。
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第七章法的要素
一. 名词解释
1.法的要素
2.法律概念 3．法律规则 4．授权性规则 5.义务性规则 6．权益复合规则
7．规范性规则 8．标准性规则 9．调整性规则 10．构成性规则 11．强行性规则
12．指导性规则 13．法律原则 14．政策性原则 15．公理性原则
二. 单项选择
1．《中华人民共和国宪法》第56条规定：“中华人民共和国公民有依照法律纳税的义务。
”这一规则是（）。
A．规范性规则 B．标准性规则 C．强行性规则 D．构成性规则
2．“在住宅区内机动车车速应限制在每小时20公里以内”这一规则是（）。
A．规范性规则 B．标准性规则 C．强行性规则 D．构成性规则
3．根据内容的不同，法律规则可以划分为（）。
A．授权性规则、义务性规则和权义复合规则 B．调整性规则与构成性规则
C．强行性规则与指导性规则 D．规范性规则和标准性规则
4．《中华人民共和国婚姻法》第21条第3款规定：“无劳动能力或生活困难的父母，有要求子女付给赡养费的权利”该规定属于（）。
A．规范性规则 B．标准性规则 C．授权性规则 D．构成性规则
5．将法律规则分为主要规则和次要规则，主要规则是设定义务的规则，次要规则是授予权利的规则，这是新分析法学派的代表人物英国法学家（）的观点
A．庞德 B．边沁 C．哈特 D．奥斯丁
6．《中华人民共和国宪法》第41条规定：“中华人民共和国公民对于任何国家机关和国家工作人员，有提出批评和建议的权利，”这是一个（）规则。
A．授权性规则 B．义务性规则
C．权义复合规则 D．禁止性规则
7．《中华人民共和国全国人民代表大会和地方各级人民代表大会选举法》第17条规定：“全国少数民族应选全国人民代表大会代表，由全国人民代表大会常务委员会参照各少数民族的人口数和分布等情况，分配给各省、自治区、直辖市的人民代表大会选出。
人口特少的民族，至少应有代表一人。
”这是一个（）规则。
A．授权性规则 B．义务性规则
C．标准性规则 D．规范性规则
8．《中华人民共和国公司法》第22条规定：“股东应当按期足额缴纳公司章程中规定的各自所认缴的出资额。
股东以货币出资的，应当将货币出资足额存入有限责任公司在银行开设的账户；以非货币财产出资的，应当依法办理其财产权的转移手续”，这样的规则属于（）。
A．强行性规则 B．义务性规则
C．指导性规则 D．禁止性规则
9．联合国1948年《世界人权宣言》的规则课以联合国成员国以保护人权的义务，这样的规则属于（）。
A．强行性规则 B．义务性规则 C．指导性规则 D．禁止性规则
10．根据原则产生的基础不同，可将法律原则分为（）。
A．政策性原则和公理性原则 B．基本法律原则和具体法律原则
C．实体性原则和程序原则 D．公法原则和私法原则
11．我国刑法规定：“为了使国家公共利益、本人或者他人的人身、财产和其他权利免受正在进行的不法侵害，而采取的制止不法侵害的行为，对不法侵害人造成损害的，属于正当防卫，不负刑事责任”。
该条款的内容属于哪种规则？（）
A．授权性规则 B．义务性规则
C．命令性规则 D．禁止性规则
12．下列选项中关于《中华人民共和国合同法》的表述正确的是（）。
A．既有强行性规则又有指导性规则 B．有强行性规则而无指导性规则
C．无强行性规则而有指导性规则 D．既无强行性规则又无指导性规则
三．多项选择
1．综合各家关于法律要素的学术，法律要素包括（）。
A．法律规则 B．法律原则 C．法律概念 D．法律解释
2．下列关于法律要素的表述，正确的是（）。
A．法律规则的改变要比法律原则容易
B．法律要素包括法律规则、法律原则、法律概念、法律意识
C．法律规则是构成法律的主要要素
D．法律原则可以指引人们正确地适用规则
3．判断一个社会的法律要素质量高低的标准通常有（）。
A．法律要素涵义的明确性与确定性程度 B．法律要素间联系的紧密性及协调性程度
C．法律要素的专门化、技术化程度 D．法律要素的分类的科学程度
4．新自然法学派的德沃金认为法是由（）组成的。
A．概念 B．原则 C．规则 D．政策
5．社会法学派泰斗庞德将法律归结为（）要素。
A．律令 B．技术 C．规则 D．理想模式
6．以下关于法律要素的观点正确的是（）。
A．法律要素质量的优劣通常是衡量法律合理化、科学化程度的重要标志
B．法律进化的过程本身就是法律要素的质和量提高的过程
C．法律要素质量越高，法律的可预测性程度就越高
D．法律要素的确定性程度越高，所包含的正义和理性就越多
7．法的要素具有（）的特征。
A．个别性和局部性 B．多样性和差别性
C．整体性和不可分割性 D．稳定性和灵活性
8．依法律概念涉及的内容来分，法律概念有（）。
A．涉人概念 B．涉事概念 C．涉物概念 D．涉时概念
9．在美国的黑格斯诉帕尔默案中，16周岁的男孩毒死了他的祖父，为的是更快地继承祖父的财产，而那时没有法律规则规定在这种情况下继承人不能继承遗产，我们可以如何处理（）。
A．按照严格法定原则，没有法律规则规定的这种情况，必须按照一般法律规则让继承人继承遗产
B．一般的法律原则在这里与社会伦理不符
C．可以适用“一个人不能从他的不当行为中得利”的法律原则
D．剥夺继承人的继承权
10．就适用行政诉讼法法律原则来说，以下（）原则属于基本法律原则。
A．法律面前人人平等 B．以事实为依据，以法律为准绳
C．原告、被告恒定原则 D．辩论原则
11．下列何种表述不属于法律规则？（）
A．公民的权利能力一律平等
B．民事活动应当自愿、公平、等价有偿、诚实信用
C．合同的当事人应当按照合同的约定，全部履行自己的义务
D．党必须在宪法和法律范围内活动
12．我国《商标法》规定：“商标使用人应当对其使用商标的商品质量负责。
”该规范属于（）。
A．授权性规则 B．义务性规则 C．强行性规则 D．确定性规则
四．判断
1．《中华人民共和国刑法》第94条规定：“本法所称司法工作人员，是指有侦查、检察、审判、监管职责的工作人员。
”这里的司法工作人员概念和日常生活用语中的司法工作人员概念是不一致的。
（）
2．法的要素是制定法不可或缺的基本质料，习惯法、判例法中没有要素。
（）
3．将法归结为单一的“命令”要素的理论，始于法国人博丹，经英国法学家霍布斯，到分析法学派创始人奥斯丁手中，成为主宰西方法学一个多世纪的强势理论。
（）
4．在法的要素模式——道德原则和法律规则模式中，道德原则确定法律原则。
（）
5．我国法学界长期以来关于法的要素通行的是“法律规范”说，将法律归结为法律规范单一模式。
（）
6．法律概念是与法律规则和法律原则相并列的法的要素。
（）
7．按概念的确定性程度不同可以将法律概念分为确定性概念和不确定性概念，这样的划分概念就是说有的概念绝对确定，有的概念绝对不确定。
（）
8．法律规则即法律规范。
（）
五．简答题
1.简述德沃金的法的要素的分类模式。
2．如何正确理解确定性概念和不确定性概念。
3．简述法律规则的特点。
4．简述法律规则分类的意义。
5．简述法律原则的功能。
六．论述题——1．论述法律概念的功能。
——
2．论述法律规则的逻辑结构。
六．案例分析
四川泸州的黄永彬与妻子蒋伦芳结婚30多年，有一养子。
1994年起黄开始与张学英来往，1996年起二人公开同居，依靠黄的工资（退休金）及奖金生活，并曾经共同经营。
但黄永彬与蒋伦芳并未离婚。
2001年2月起，黄病重住院，蒋伦芳一直在医院照顾，法院认为其尽到了抚养义务。
4月18日黄永彬立下遗嘱：“我决定，将依法所得的住房补贴金、公积金、抚恤金和泸州市江阳区一套住房售价的一半（即4万元），以及手机一部留给我的朋友张学英一人所有。
我去世后骨灰盒由张学英负责安葬。
”4月20日，该遗嘱在纳溪区公证处得到公证。
黄去世后，张根据遗嘱向蒋索要财产和骨灰盒，遭到蒋拒绝。
张遂向纳溪区人民法院起诉，请求根据《继承法》的有关规定，判令被告蒋伦芳按照遗嘱履行，同时对遗产申请诉前保全。
从5月17日起，法院经过4次开庭之后（其间曾一度中止，2001年7月13日，纳溪区司法局对该公证遗嘱的“遗赠抚恤金”部分予以撤销，依然维持了住房补贴和公积金中属于黄永彬部分的公证。
此后审理恢复），于10月11日判决驳回原告张学英的诉讼请求。
法院判决依据《民法通则》第7条“民事活动应当遵守社会公德，不得损害社会公共利益”的基本原则，认为黄某的遗嘱虽然是其真实意义的表示，形式上也合法，但遗嘱内容存在违法之处，且黄某与原告的非法同居关系违反了《婚姻法》的有关规定，黄某的遗赠遗嘱是一种违反公序良俗和法律的行为，因此是无效的。
本案的判决一方面获得了当地民众和一些学者的支持；另一方面，很多法律界人士却认为这是道德与法和情与法的一次冲突，甚至认为这是在舆论的压力下所作出的一起错案；认为在有具体的实体法规则——《继承法》可依的情况下再依据法律原则，这样的判决是错误的。
问题：你如何看待本案的判决？法律规则和法律原则之间的关系是怎样的？其各自的功能是什么？。