函数解析式的方法和习题

求函数解析式常用的方法

求函数解析式常用的方法有：待定系数法、换元法、配凑法、消元法、特殊值法。以下主要从这几个方面来分析。

(一)待定系数法

待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型

(如一次函数，二次函数，正、反例函数等)及函数的某些特征求其解析式的题目，它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。

例1:已知f(x)是二次函数，若f(0) 0,且f(x 1) f(x) x 1试求f(x)的

表达式。

小结：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设

法求出其系数即可得到结果。类似的已知f(x)为一次函数时，可设

k

f(x)=ax+b(a工0); f(x)为反比例函数时，可设f(x)= (k工0) ；f(x)为x

二次函数时，根据条件可设一般式②顶点式③双根式

练习：

1、已知(x)是一次函数,且满足3 (x+1)-2 (x-1)=2x+17,求(x).

2、已知二次函数f x当x 2时有最大值16，它的图像截x轴所得的线段长为8，求y f x的解析式.

(二)换元法换元法也是求函数解析式的常用方法之一，它主要用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。

例2:已知f(、、X 1) x 2、、X 1,求f(x)的解析式

小结：已知f[g(x)]是关于x的函数，即f[g(x)]=F(x)，求f(x)的解析式, 通常令

g(x)=t，由此能解出x=(t)，将x=(t)代入f[g(x)]=F(x) 中，求得f(t)的解析式，再用x替换t，便得f(x)的解析式。注意：换元后要确定新元t的取值围。

练习题：

1、若f(2x 1) x2 2x,则f( 1) ；

2、已知f(J)，求f(x)；

x x

3、已知f (-1) x2 3x 4，求f (x)；

x

(三)配凑法

已知复合函数f[g(x)]的表达式，要求f (x)的解析式时，若右边易配成g(x)的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时, 域的变化。

例3:已知f(-.x 1) x 2代,求f(x)的解析式。

f[g(x)]表达式要注意定义

总结：求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法

来求解。

练习题：

2

1、已知函数f (x 1) x 1 ，则f(x) _________ ；

1 2 1

2、已知f (x ) x 2,求f (x).

x x

(四)消元法，此方法的实质是解函数方程组。

消元法适用的围是：题目条件中，有若干复合函数与原函数f(x)混合运算, 则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。

例5:设f(x)满足f(x) 2f (丄)x,求f(x)的解析式。

x

1

小结：消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)、f(-)；互为

x

相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。

练习题：

1 L

1、设f x是定义在1, 上的一个函数，且有f(x) 2f(—)、、x 1,

x

(1)求f 1的值；

(2)求f x .

2、已知f (x)满足2f (x) f (-) 3x，求f(x) • x

3、f (x)满足：f(x) 2f( x) 3x 2，求f (x)

(五)赋值法赋值法是依据题条件的结构特点，由特殊到一般寻找普遍规律的方法。其方法：将适当变量取特殊值，使问题具体化、简单化，依据结构特点，从而找出一般规律，求出解析式。

例5:已知f(0) 1,f(a b) f(a) b(2a b 1),求f(x)。

解析：令a 0,

贝U f ( b) f (0) b(1 b) b2 b 1

令b x

贝U f (x) x2 x 1

小结：①所给函数方程含有2个变量时，可对这2个变量交替用特殊值代入，或使这2个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定。②通过取某些特殊值代入题设中等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式。

练习题：

1、已知：f(0) 1,对于任意实数x, y，等式f(x y) f (x) y(2x y 1)

恒成立，求f(x)

2、设函数f(x)的定义域为R,且满足f(xy) = f(x) + f(y).

⑴求f(0)与f(1)的值；

1

(2) 求证：f(X)二一f(x)；

(3) 若f(2) = p, f(3) = q(p, q 都是常数)，求f(36)的值.

总之，求函数解析式的常用方法有：配凑法、换元法、待定系数法、

消元法等。如果已知函数解析式的类型，可用待定系数法；已知复合函数解析式时，可用换元法，这时要注意“元”的取值围；当已知的表达式比较简单时，可用配凑法；若已知抽象的函数表达式，根据题目的条件特征, 可用赋值法或解方程组消元的方法求解析式