第5章 波动的不稳定理论 全章总结
自动控制原理-第5章4
K = 5.2
Kg (dB) h(dB)
h(dB)
Phase (deg)
-135
γ
γ
γ
1
-180
-225 10
0
10 Frequency (rad/sec)
K ↑ ωc ↑
ωc
由题意知
kg = 10
K
2 g 2 g
G ( jω g ) = 0.1
= 0.1
ω g (1 + 0.04ω )(1 + 0.0025ω )
γ = 180° +
G ( jω c ) H ( jω c )
γ
当 γ > 0 时，相位裕量为正值； 当 γ < 0 时，相位裕度为负值。 为了使最小相位系统稳定，相位裕度必须为正。 在极坐标图上的临界点为0分贝和 180°
2增益裕度(Gain Margin) kg
也称幅值裕度
在相移∠G(jω)H(jω)等于-180°的频率ωg上，开环 幅频特性| G（jω）H(jω)|的倒数，称为幅值裕度，用kg表示。 1 定义幅值裕度为 kg = G ( jω g ) H ( jω g ) 幅值裕度kg 的含义是， 对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大 倍，则系统将变为临界稳定状态。
G ( jω ) =
K (τ 1 jω + 1)(τ 2 jω + 1) (τ m jω + 1) ( jω )ν (T1 jω + 1)(T2 jω + 1) (Tn ν jω + 1)
n>m
1相位裕度 (Phase Margin) γ
也称相角裕度
在系统的剪切频率ωc上，使闭环系统达到临界稳定 （达到-180°），相频特性所需附加的相移量 定义相角裕度为 相角裕度的含义是 对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后 度，则系统将变为临界稳定。
第5章李雅普诺夫稳定性分析
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 5.2 李雅普诺夫第一法(间接法) 5.3 李雅普诺夫第二法(直接法) 5.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
4
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
1．自治系统
没有外输入作用时的系统称为自治系统，可 用如下系统状态方程来描述:
如果时变函数V(x,t)有一个正定函数作为下限， 也就是说，存在一个正定函数W(x) ，使得
V ( x ,t) W ( x), V (0,t) 0, t t0
则称时变函数V(x,t)在域S（域S包含状态空间的 原点）内是正定的。
24
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
3. 负定函数：如果-V(x)是正定函数，则标量函数 V(x)为负定函数。
则称平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。
在上述稳定的定义中，实数δ通常与ε和初始时
刻t0都有关，如果δ只依赖于ε ，而和t0的选取无关，
则称平衡状态是一致稳定的。
9
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5. 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意 义下的稳定性，且有
lim
t
||
x(t;
x0 ,
(s)
则 m(s) 为矩阵A的最小多项式。
注：换言之，矩阵A的最小多项式就是(sI-A)-1
中所有元素的最小公分母。
17
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
例5-1（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性
0 0 0
x 0 0
0
x
0 0 1
解：1）系统矩阵A为奇异矩阵，故系统存在无穷
第5章 波动的不稳定理论
2
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平
图 5.1 大气扰动与动力不稳定的关系
§2 惯性稳定度
1．定义 地转平衡大气中，基本气流上作南北运动的空气质点形成的扰动其振幅是否随时间增长的问题。表示 惯性振荡或快波的不稳定发展现象。
3
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平
2
uc
u c
2
y2 y1
f y dy 0 ，此积分式的几何意义： （面积和）
s1 s2 0 ，
因此 f y 必经过 f ( y ) 0 处，即 f y 在 y1 , y2 内必定至少改变一次符号。所以，正压不稳定的 必要条件为：在 y1 , y2 内至少存在一点 yc ，使得:
又 * ，
2ici 1 1 ，则有： 2 * uc uc u c
2 u 2 y2 y 2 ci dy 0 2 y1 uc
对于正压不稳定， ci 0
2 2
（5.25）
所以
( 0 ，令 f y
2 u ) y 2
§1 波动稳定度的概念
1.波动稳定度的定义 定常的基本气流 u 上有小扰动产生， 若扰动继续保持为小扰动或随时间衰减,则称波动是中性的或波动 是稳定的 ；若扰动随时间增强，则称波动不稳定。
2.稳定度的表达方式 设有波动 q Qe
ik ( x ct )
Qei ( kx t )
(5.1)
6
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平
波动知识点总结手写
波动知识点总结手写波动是物理学中一个非常重要的概念。
它在自然界的众多现象中都有所体现，涉及到的领域包括光学、声学、电磁学等等。
在本文中，我们将对波动的基本概念、特性以及应用进行总结和介绍。
一、波动的基本概念1.波动的定义波动是指能够在空间中传递能量的物理现象。
在波动过程中，能量并不是沿着固体物质的传递路径移动，而是在形式上的传递。
波动一般分为机械波和电磁波两类。
2.波动的分类根据波动的传播介质的不同，波动可以分为机械波和电磁波。
机械波需要介质来传播，如水波、声波等；而电磁波不需要介质，可以在真空中传播，典型的例子是光波、无线电波等。
3.波动的传播波动的传播可以分为纵波和横波。
纵波是指波动方向与波动传播方向垂直的波动，典型的例子是声波；横波是指波动方向与波动传播方向平行的波动，典型的例子是光波。
二、波动的特性1.波动的传播特性波动的传播包括波的传播速度、波长、频率等。
波的传播速度是指波动在单位时间内传播的距离，它与波动的频率和波长等因素有关。
波长是指波的波形重复出现的最小长度，单位是米；频率是指波的单位时间内波动的个数，单位是赫兹。
2.波动的干涉现象波动干涉是指两个或多个波动相遇时，由于波动的叠加效应产生的现象。
波动干涉分为构成干涉和破坏干涉两种。
构成干涉是指两个波动相遇时，波峰与波峰相遇或者波谷与波谷相遇，使波的振幅得到加强；破坏干涉是指波动相遇时，波峰与波谷相遇，使波的振幅得到减弱。
3.波动的衍射现象波动的衍射是指波动遇到障碍物时，波动在障碍物后面形成的现象。
在波动的衍射中，波动沿着障碍物边缘传播，同时也向障碍物的阴影区传播，使得波动的振幅取得了改变。
4.波动的折射现象波动的折射是指波动遇到介质界面时，波动的传播方向发生改变的现象。
具体来说，波动从一个介质传播到另一个介质时，波长和频率并不改变，但波速和波长的传播方向会发生改变。
三、波动的应用1.声波的应用声波是一种机械波，在工程技术中有着广泛的应用。
武汉理工大学 车辆工程汽车理论讲稿(第5章)
汽车过多转向
K<0称为过多转向。过多转向汽车加速时，和中性转向
相比，稳态横摆角速度增益较大，但R= u / ，故转向
半径随车速增大而减小。显然，当 u 1/ K 时，
/ = 。这时较小的前轮转角都会导致激转而翻车。
为了保持良好的操纵稳定性，汽车都应当具有适度 的不足转向。
三种稳态响应
汽车稳态横摆角速度增益曲线
(k1
k2
)
v u
1 u
(ak1
bk2 )r
k1
mur
(ak1
bk2
)
v u
1 u
(a 2 k1
b2k2
)r
ak1
0
消去v后，得：
1
u
/L Ku
2
K
m L2
(a k2
b) k1
式中
/ — 稳态横摆角速度增益，也叫转向灵敏度；
K—稳定性因数（s2/m2）； — 横摆角速度； u—车速；δ —前轮转角； m—汽车质量；L —轴距； a，b — 汽车质心到前后轴的距离； k1，k2 — 前后轮侧偏刚度。
图中c点是质心位置，cn是中性转向点。汽车向右转向。
中性转向点到前轮中心的距离为：
a Fy2 L k22 L Fy1 Fy2 k11 k22
k22 L k2 L
k12 k22
k1 k2
当轮胎和轴距一定时，中性转向点到前轮中心的距离便确定。
注意到汽车作稳态圆周运动时，横摆角加速度为0，前后轮实际侧偏 力合力作用点即在质心位置。
根据
u/L 1 Ku2
稳态横摆角速度增益较小，即较小。但因R= u / ，故
不足转向汽车转向半径随车速增大而增大。
线性系统理论(第五章)系统运动的稳定性
的一个状态 。
t [t0,)
如果 xe 不在坐标原点，可以通过非奇异线性变换，使 xe 0，
因此，平衡状态的稳定性问题都可以归结为原点的稳定性问题。
对线性定常系统：x Ax 其平衡状态 Axe 0
A 非奇异，只存在一个位于状态空间原点的平衡状态。
主要内容为： •外部稳定性和内部稳定性 李亚普诺夫意义下稳定性的一些基本概念 •李亚普诺夫第一法 •李亚普诺夫第二法 •性连续系统的稳定性 •线性定常离散系统的稳定性
§5.1 外部稳定性和内部稳定性
一、外部稳定性
外部稳定性：称一个因果系统为外部稳定（BIBO）是指对任何
一个有界输入u(t), ‖u(t)‖≤β1<∞ t [t0, ) 的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即
§5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念
一、李亚普诺夫第一方法和第二方法 李亚普诺夫第一方法也称李亚普诺夫间接法，属于小范围 稳定性分析方法。是求出线性化以后的常微分方程的解， 从而分析原系统的稳定性。
李亚普诺夫第二方法也称李亚普诺夫直接法，不需要求解 微分方程的解，就能够提供系统稳定性的信息。
x2 x2
fx22
可见，只有在 x2 0 时，d E / dt 0 。在其他各处均有d E / dt 0 ，
这表明系统总能量是衰减的，因此系统是稳定的。
Lyapunov第二法是研究系统平衡状态稳定性的。
二、自治系统、平衡状态和受扰运动
1、自治系统：没有输入作用的一类动态系统
x f (x,t) x(t0) x0 t [t0,)
A 奇异，存在无穷多个平衡状态。
3、受扰运动：动态系统的受扰运动定义为其自治系统由初始 状态扰动 x0 引起的一类动态运动，即系统的状态零输入响 应。
5第五章 稳定性理论
Lyapunov稳定性的定义和概念 Lyapunov直接法
11
5.2.1 系统的基本概念
1、自治系统：输入为0的系统 对于一般系统
f ( x, t ) , t t0 x
(*)
对于线性系统，就是齐次状态方程
A(t ) x x
2、平衡状态（平衡点） 对于（*）系统，如果存在某个状态xe，使下式成立
5.2.2 Lyapunov稳定性的定义
1.李氏意义下的稳定 xe为如下系统的一个孤立平衡状态
f ( x, t ) , t t0 x
如果对任一正实数 满足 其中初态 平衡状态
(*)
0 都对应存在另一个正实数 ( , t0 ) 0
x0 xe ( , t0 )
y (t ) k , t [t 0 , )
那么称此因果系统是外部稳定的，也称有界输入有界输出稳定， 简记为BIBO稳定。 BIBO稳定是通过输入输出关系来体现稳定性，但稳定性本身仍然 是由系统结构和参数决定的，与外部输入无关。
2
2、外部稳定性的判断 1）线性时变系统 对于零初始条件的线性时变系统，设G(t,)为其脉冲响 应矩阵，则系统为BIBO稳定的充要条件是存在一个有限常数 k使得对于任意的t[t0，∞)， G(t,) 的每一个元gij (t,)都满 足下式
t1
t0
g ij (t , ) d
g ij (t1 , t ) 0 g ij (t1 , t ) 0 g ij (t1 , t ) 0
1 那么当外加输入 u j (t ) Sgn[ g ij (t1 , t )] 0 1
t1 t1 t0 t0
yij (t1 ) g ij (t , )u j ( )d g ij (t , ) d
波动知识点总结范文
波动知识点总结范文波动是物理学中的重要概念，涉及到电磁波、声波、水波等各种类型的波动。
本文将对波动的基础知识进行总结，包括波动的定义、波动的特性、波动的传播和干涉衍射等方面。
波动的定义：波动是指能够沿空间传播的物理量的传播现象。
波动是振荡的结果，可以传播能量而无需物质传输。
波动的特性：1.振幅：波动的最大偏离位置与平衡位置的距离，反映了波动的强度。
2.波长：波动传播一个完整周期所需要的距离，通常用λ表示。
3.周期：波动传播一个完整周期所需要的时间，用T表示。
4.频率：单位时间内波动的周期数，通常用ν表示，其倒数称为周期。
5.相位：反映了波动相对于其中一参考点的位置关系。
波动的传播方式：1.机械波：机械波是指需要介质传播的波动，例如声波和水波。
机械波的传播需要介质的弹性与密度来实现波动的能量传递。
2.电磁波：电磁波是指在真空或介质中传播的电场和磁场的联合振荡。
电磁波无需介质传播，可以在真空中传播。
3.纵波和横波：纵波的振动方向与波动传播方向一致，例如声波；而横波的振动方向与波动传播方向垂直，例如光波。
波动的干涉和衍射：1.干涉：干涉是指两个或多个波动相遇时产生的叠加效应。
当两个波动处于相位差一致的状态下，会出现加强的干涉现象，这被称为构成干涉。
当两个波动的相位差为180°时，则会出现减弱或者抵消的干涉现象，这被称为破坏性干涉。
2.衍射：衍射是指波动在通过一个窄缝或者遇到一个小孔时的传播现象。
衍射会导致波动弯曲和扩散，使得波动能够传播到原本看不见的区域。
波动的实际应用：波动在生活中和科学研究中有广泛的应用1.通信技术：电磁波可以用于无线通信。
例如，无线电波、微波和红外线都是利用波动的性质进行信息传输的。
2.医学成像：利用声波和电磁波的干涉和衍射现象，可以实现超声波和X射线的成像技术，用于医学诊断。
3.光学仪器：光学仪器如显微镜、望远镜、干涉仪和衍射光栅等都是基于波动原理设计的。
这些仪器可以用于观察微观结构和距离遥远的天体。
第5章现代控制理论之系统运动的稳定性分析
由稳定性定义知，球域S(δ) 限制着初始状态x0的取值，球域
S(ε)规定了系统自由运动响应 xt xt; x0的, t0边 界。
简单地说：1.如果 x t; x0, t0 有界，则称 xe 稳定；
2.如果 x t; x0, t0 不仅有界，而且当t→∞时收敛于原点，则
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义
设系统状态方程为： x f x,t , x Rn
若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状
态，记为xe。故有下式成立：f xe ,t 0
由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
由定义，平衡状态将包含在 f x,t 这样0 一个代数方程组
中。
对于线性定常系统 x A，x其平衡状态为 xe 应满足代数
方程 。Ax 0
只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。
对于非线性系统，方程 方程而定。
如：
x1 x2
x1 x1
x2
x
3 2
f x的,t 解 可0 能有多个，视系统
稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。
稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动 的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不 考虑输入作用。
1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统 初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与 系统初始条件及外作用有关；
当稳定性与 t0 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。
05 第五章 大气稳定度和不稳定能量,
大气稳定度和不稳定能量
一、大气稳定度
指气层内某一气块受垂直方向的扰动后，返回或 远离原平衡位置的趋势和程度。 a= g (Ti-T) /T 气块温度低于环境温度，气块重，气层稳定 气块温度高于环境温度，气块轻，气层不稳定 气块温度与环境温度相同，气层是中性的
Hale Waihona Puke 一、大气稳定度积雨云顶高
层结曲线 露点曲线
颠簸层顶高 颠簸层底高
状态曲线
层状云顶高
颠簸层顶高 颠簸层底高 颠簸层顶高 层状云底高 颠簸层底高 积雨云底高
三、逆温层
（一）辐射逆温 （二）平流逆温 （三）湍流逆温 （四）下沉逆温 （五）锋面逆温
（一）辐射逆温
夜间地面、雪面、冰面或云层顶部等因辐射冷却 造成的逆温。
练习
1、有充沛水汽的近地面层，出现逆温时的特征 是（ ）。
A. B. C. D.
将有强对流发生 能见度变坏 大气不稳定度增加 有积雨云出现
2、以下用气块温度直减率γ判断大气稳定度的 描述中正确的有———。
A．γ值越大，气层越不稳定；γ值越小，气层越稳定 B．γ值越小，气层越不稳定；γ值越大，气层越稳定 C．γ<γm时绝对稳定，γ>γd时绝对不稳定
地形逆温
夜间，由于山上冷空气沿山坡流到低洼地区使 原来洼地底部的较暖空气被迫抬升形成的逆温。
地形逆温使洼地常出现霜冻。
辐射逆温、平流逆温、融雪逆温、地形逆 温属于近地面层逆温，其中以辐射逆温为 主。近地面层逆温多由热力原因引起。
（三）湍流逆温
由于低层空气的湍流混合作用而形成的逆温。 湍流强，湍流层厚，逆温层发生的高度高 湍流弱，湍流层薄，逆温层发生的高度低 逆温层之下，水汽大量聚集；逆温层之上水汽 含量骤减。
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第五章波动的不稳定理论全章总结
李国平
2008.12
惯性不稳定
•惯性－惯性力－惯性风－惯性振荡－惯性波－惯性不稳定
•地转平衡大气中，基本气流上作南北运动的空气质点形成的扰动其振幅是否随时间增长的问题•扰动发展的能源主要来自基本气流的动能
•惯性不稳定的判据为：•表示惯性振荡或快波的不稳定发展现象
0a u f y
ζ∂=−<∂
惯性不稳定的基流分布
正压不稳定
•正压：正压大气－正压基流
•正压大气中，由于平均纬向气流的水平切变引起的大气长波扰动发展的动力机制
•不稳定发展的能源来自于基本气流的动能•可能是热带辐合带（ITCZ）中弱扰动发展的可能机制或是热带某些扰动发展初期的机制
正压不稳定的必要条件
•第一必要条件（Kuo 判据）
•第二必要条件（判据）
在某些地方必须改变符号或至少存在一点为零
22a u y y ζβ∂∂=−∂∂Fjortoft
Fjortoft 与基本气流与其绝对涡度经向梯度在某些地方正相关
2
12220
y y u u dy y β⎛⎞∂−Ψ>⎜⎟∂⎝⎠∫
斜压不稳定
•由基本气流的垂直切变所引起的罗斯波波（大气长波）不稳定，即由于基本场的南北向温度梯度所造成的长波不稳定
•不稳定产生的斜压长波发展的能源主要来自基本气流的有效位能，也可部分来自基本气流的动能
•是中纬度天气尺度波动发展的主要机制，温带气旋的生成、斜压罗斯贝波的发展即为斜压不稳定的典型现象。
斜压不稳定判据
•充分条件•必要条件22C
T u
u >C L L >C
L L >T
u
斜压不稳定判据的意义
•波长较短的长波始终是稳定的，上下层的波动只有振幅不同，而位相一致
•对于波长较长的长波，当基流切变小于最小临界切变时，波动仍是稳定的
•当基流切变大于最小临界切变时，有一部分波动开始变为不稳定，此时上下层的波动既有振幅的差异，又有位相的差异
•在这种水平、垂直结构下，槽前的暖空气一边向北流且同时上升；而槽后的冷空气一边向南流且同时下沉
•平均有效位能转换为扰动有效位能再转换为扰动动能，使扰动得
以发展
K-H不稳定
•开尔文—赫姆霍兹波（K—H波）：密度差和风的垂直切变可在两层流体的分界面上产生重力内波
•K-H波的发展→K-H不稳定
•稳定层结下形成的波状云可认为由此不稳定引起•锋面波不稳定：旋转大气中，密度和速度不连续的倾斜分界面上，产生的惯性重力内波的发展
急流不稳定
•急流内不稳定，混合不稳定
•不稳定不仅与垂直切变有关，而且与水平（南
北）切变有关，是一种由正压和斜压组合的不稳定
•夏季在非洲大陆大气低层经常产生2000～
3000km的扰动，可认为是该地区以高度700hPa 为中心的东风急流不稳定引起的
)
,(p y u u =)
,(p y u u =
大气扰动与动力不稳定的关系。