平面直角坐标系中求面积
平面直角坐标系中如何求几何图形的面积
图1图2图3平面直角坐标系中如何求几何图形的面积一、 求三角形的面积1、有一边在坐标轴上或平行于坐标轴例1：如图1，平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为（-3,0）、（0,3）、（0，-1），你能求出三角形ABC 的面积吗2、无边在坐标轴上或平行于坐标轴例2：如图2，平面直角坐标系中，已知点A （-3，-1）、B （1,3）、C （2，-3），你能求出三角形ABC 的面积吗归纳：求三角形面积的关键是确定某条边及这条边上的高，如果在坐标系中，某个三角形中有一条边在坐标轴上或平行于坐标轴，则根据这条边的两个顶点的坐标易求出这边的长，根据这条边的相对的顶点可求出他的高。
二、求四边形的面积例3：如图3，你能求出四边形ABCD 的面积吗分析：四边形ABCD 是不规则的四边形，面积不能直接求出，我们可以利用分割或补形来求。
归纳：会将图形转化为有边与坐标轴平行的图形进行计算。
怎样确定点的坐标一、 象限点解决有关象限点问题的关键是熟记各象限的符号特征，由第一到底四象限点的符号特征分别为（+，+）、 （-，+）、（-，-）、（+，-）。
例1：已知点M （a 3-9,1-a ）在第三象限，且它的坐标都是整数，则a =（ ）A 、1B 、2C 、3D 、0二、轴上的点解决有关轴上点问题的关键是把握“0”的特征，x 轴上点的纵坐标为0，可记为（x ，0）；y 轴上点的横坐标为0，可记为（0，y ）；原点可记为（0,0）。
例2：点P （m+3,m+1）在直角坐标系的x 轴上，则P 点的坐标为（ ）A 、（0，-2）B 、（2,0）C 、（4,0）D 、（0，-4）三、象限角平分线上的点 所谓象限角平分线上的点，就是各象限坐标轴夹角平分线上的点。
解决这类问题的关键是掌握“y x =”的特征，一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可记为（x ，x ）；二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数，可记为（x ，-x ）。
《平面直角坐标系中的面积问题》教学设计
A
A
（1） 能否通过小房子的各点坐标求出小房子的面积引入课题 回顾旧知
1.若P （-2,4）则点P 到x 轴的距离为 点P 到y 轴的距离为
2.若A （2,0） B （5,0） 则AB=
若A （0,3），B （0,-5） 则AB=
若A （2,3），B （2,6） 则AB=
若A （4,1），B （-3,1） 则AB=
3.已知：A （1,4），B （-4,0），C （2,0）则三角形ABC 的面积
（二）探索方法
若A （4,0），B （3,3），C （0,2）求四边形OABC 的面积
复习在平面直角坐标系内①两点在
轴上；②两点不在轴上却与坐标轴平行；
两点间的距离。
为解
决简单三角形面积
做铺垫。
通过小组合作交流，不仅可以突破难点，学习更多解题方
法。
同时，利用面积和差求得.渗透转化
思想解；通过不同方法的选择，培养学生设计解决问题方案
时要考虑可行性的习惯；通过一题多解发展学生的创新思维.
（三）巩固练习
已知坐标平面内的三个点A（1，3），B（3，1），O（0，0），求△ABO的面积．学生体验解题方法和技巧，感受解题的快乐。
通过自我展示，提高学生的语言表达能力，锻炼他们的胆识。
（四）归纳方法
1、知识方面
在平面直角坐标系中，求面积的方法有：2、数学思想方面1、通过自己的归纳总结，逐步提高学生提炼方法和技巧的
意识。
2、通过学生的表述，。
平面直角坐标系中求几何图形的面积
5 • A(0,5)43 Nhomakorabea21
•
-4 -3 -2 -1
o
•
12345
x
B(-2,0) -1
C(3,0)
-2
-3
-4
人民教育出版社七年级数学下册
碟子湖学校：胡美丽
一：直接利用面积公式求面积
例1：如图，求△ABC的面积。
直接利用面积 公式求面积
解：由图知：A(0,2),
y4
B(-2,0),C(3,0)
• A(5,2)
s2
1 2 3 4 5P x
S=S梯形OPMB– S1 –S2
2.如图所示，求△ OAB的面积。
y
5
4N
3
s1
2
B(•3,4)
M
s2
• A(5,2)
1
-2 -1 o•
-1 -2
s3
1 2 3 4 5P x
S=S长方形OPMN– S1 – S2 –S3
2.如图所示，求△ OAB的面积。
y
5 4 3 2 1
-2 -1 o•
-1 -2
B(3,4) •
1 2 3M 4
• A(5,2)
5P x
S=S △ BOM+ S梯形BMPA– S △ AOP
三：与图形面积相关的点的存在性问题
例3：在平面直角坐标系中，已知点A(0,3),B(2,1),C(3,4). （1）求 三角形ABC的面积；
（2）在x轴上是否存在点P，使△OCP的面积为 △ABC面积的1.5倍？说明理由。
2.如图所示，求△ OAB的面积。
y
5
利用现在所学过 4
的知识你能确定
M点的坐标吗？ 3
在平面直角坐标系中三角形面积的求法
在平面直角坐标系中三角形面积的求法在平面直角坐标系中，三角形面积的求法是一种基本的几何计算方法。
本文将介绍两种常用的计算三角形面积的方法：海伦公式和向量法。
一、海伦公式海伦公式是一种通过三角形的三条边长来计算其面积的方法。
假设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可以通过以下公式来计算：S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))其中，s为三角形的半周长，可以通过以下公式求得：s = (a + b + c) / 2通过海伦公式，我们可以很方便地计算任意三角形的面积。
下面通过一个具体的例子来演示海伦公式的应用。
例：已知三角形的三个顶点坐标分别为A(1, 1)，B(2, 3)，C(4, 1)，求该三角形的面积。
计算三条边的长度：AB = √((2-1)^2 + (3-1)^2) = √5BC = √((4-2)^2 + (1-3)^2) = 2√2AC = √((4-1)^2 + (1-1)^2) = 3然后，计算半周长s：s = (AB + BC + AC) / 2 = (√5 + 2√2 + 3) / 2代入海伦公式求得三角形的面积：S = √(s(s-AB)(s-BC)(s-AC))将计算得到的数值代入公式，即可得到三角形的面积。
二、向量法向量法是另一种计算三角形面积的常用方法。
我们知道，三角形的面积可以通过任意两边的向量叉乘来计算。
假设三角形的两条边的向量分别为a和b，则三角形的面积S可以通过以下公式来计算：S = 1/2 * |a × b|其中，|a × b|表示向量a和向量b的叉乘的模。
通过向量法，我们可以将三角形的面积转化为向量的计算问题，进而简化计算过程。
下面通过一个具体的例子来演示向量法的应用。
例：已知三角形的三个顶点坐标分别为A(1, 1)，B(2, 3)，C(4, 1)，求该三角形的面积。
计算两条边的向量：AB = (2-1, 3-1) = (1, 2)AC = (4-1, 1-1) = (3, 0)然后，计算向量的叉乘：a ×b = AB × AC = (1 * 0 - 3 * 2) = -6代入向量法公式求得三角形的面积：S = 1/2 * |a × b| = 1/2 * |-6| = 3通过以上计算，我们可以得到三角形的面积为3。
小专题4 平面直角坐标系中计算图形的面积
【教材母题】 (教材 P73 复习题 T14)在如图所示的直角坐 标系中，四边形 ABCD 各个顶点的坐标分别是 A(0，0)，B(3， 6)，C(14，8)，D(16，0)，确定这个四边形的面积．你是怎 么做的？与同伴进行交流．
方法 1：分割法(如图 1) 【解答】 按如图所示方法将四边形分割成四部分．其
【解答】 (1)设点 B 的纵坐标为 y.因为 A(8，0)，所 1
以 OA＝8.则 S△AOB＝2OA·|y|＝12，解得 y＝±3. 所以点 B 的坐标为(2，3)或(2，－3)． (2)设点 P 的纵坐标为 h. 1 因为 S△AOP＝2S△AOB＝2×12＝24，所以2OA·|h|＝24，即
3．如图，已知点 A(－3，1)，B(1，－3)，C(3，4)，则△ABC 的面积为 18．
4．在如图所示的平面直角坐标系中，四边形 OABC 各顶点分 别是 O(0，0)，A(－4，10)，B(－12，8)，C(－14，0)，求 四 作 AD⊥x 轴，垂足为 D，过点 B 作 BE⊥AD，
＋72＝100.
1 2×8|h|＝24，解得 h＝±6.
所以点 P 的纵坐标为 6 或－6.
已知坐标系中图形的面积，求点的坐标时，可将点的横 (纵)坐标转化为到坐标轴的距离，利用面积求得线段长，从 而转化为点的坐标．
1．如图，已知 A(－2，0)，B(4，0)，C(－4，4)，则△ABC 的面积为 12．
2．已知点 O(0，0)，点 A(－3，2)，点 B 在 y 轴的正半轴上．若 △AOB 的面积为 12，则点 B 的坐标为(0，8)．
当图形的各边均不在坐标轴上且不与坐标轴平行时，可 考虑将图形补成常见的长方形或梯形，再通过常见图形面积 的和差，得到要求图形的面积．
平面直角坐标系中三角形面积的计算
平面直角坐标系中三角形面积的计算设直角坐标系中的三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
我们可以利用向量的性质和行列式的方法求出三角形的面积。
首先，我们计算向量AB和向量AC的坐标分量分别为(u,v)和(w,z)。
则有：u=x2-x1v=y2-y1w=x3-x1z=y3-y1然后，根据向量的性质，可以计算向量AB与向量AC的叉积的大小，即面积的两倍：2*面积=，u*z-v*w最后，我们可以通过取绝对值并除以2来得到三角形的面积，即：面积=，u*z-v*w，/2这就是通过向量的方法计算三角形面积的基本公式。
下面我们通过一个具体的例子来演示一下计算三角形面积的过程。
设直角坐标系中的三角形的三个顶点分别为A(2,3)，B(5,6)，C(8,1)。
我们将依次计算向量AB和向量AC的坐标分量：u=5-2=3v=6-3=3w=8-2=6z=1-3=-2然后，根据公式面积=，u*z-v*w，/2，我们计算：面积=，3*(-2)-3*6，/2=，-6-18，/2=24/2=12所以，三角形ABC的面积为12平方单位。
除了向量方法，我们还可以使用行列式的方式来计算三角形的面积。
具体步骤如下：1.将三个顶点的坐标按照行列式的顺序排列，构成一个3×3的矩阵：x1y1x2y2x3y32.计算矩阵的行列式的值。
3.取行列式的绝对值并除以2，即为三角形的面积。
以上就是使用行列式方法计算三角形面积的基本步骤。
总结起来，平面直角坐标系中三角形的面积可以通过向量或行列式的方法进行计算。
这些方法都是基于向量叉积的性质和行列式的性质进行推导和计算的。
无论是哪一种方法，核心思想都是通过计算向量叉积的大小来获得三角形的面积。
初二数学平面直角坐标系面积问题
初二数学平面直角坐标系面积问题一、概述在初中数学学习中，平面直角坐标系是一个重要的概念。
在这个坐标系中，我们可以通过两个数值来确定平面上的一个点的位置，进而计算出所需图形的面积。
本文将从初二数学的角度出发，探讨平面直角坐标系下的面积问题，并为大家解析面积问题的解题思路和方法。
希望能够对同学们的学习有所帮助。
二、平面直角坐标系下的基本概念1. 坐标系平面直角坐标系由两条相互垂直的直线，它们被称为坐标轴，通常用x 和y来表示。
这两条坐标轴把平面分成了四个部分，它们分别是第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
2. 点的坐标在平面直角坐标系中，我们可以用一个有序数对(x, y)来表示一个点P 的坐标，其中x为点P在x轴上的坐标，y为点P在y轴上的坐标。
3. 面积的计算在平面直角坐标系中，我们可以通过连接坐标轴上的点和直线，来确定一个图形的面积。
面积的计算方法有很多种，例如利用基本几何图形的面积公式进行计算，或者利用积分的方法进行计算。
三、常见的面积计算题型1. 长方形的面积计算我们来看一个简单的例子。
如果给出了一个长方形的两个顶点的坐标，我们要计算这个长方形的面积该怎么做呢？解题思路：（1）首先计算长方形的边长，可以利用坐标点之间的距离公式进行计算。
（2）根据长方形的面积公式S=长×宽，计算出长方形的面积。
2. 三角形的面积计算另外一个常见的题型是给出三角形的三个顶点的坐标，要求计算三角形的面积。
解题思路：（1）利用三角形的面积公式S=（1/2）×底边长度×高，计算出三角形的面积。
（2）可以利用向量运算的方法进行计算，例如计算三角形的两条边的向量，然后利用向量叉乘的方法得到三角形的面积。
3. 多边形的面积计算对于给出多边形的各个顶点的坐标，要求计算多边形的面积这样的题型，我们可以采用分割成若干个三角形，再分别计算每个三角形的面积，最后将各个三角形的面积相加来得到多边形的面积。
(完整版)平面直角坐标系中的面积问题
陈玲萍
问题1 已知平面直角坐标系中，点A（1，-2）， B（-4，-2），C（1,3）.
则①线段AB与x轴的位置关系 平行，线段 AB的长度为 5 ； ②线段AC与y轴的位置关系 平行 ，线段 AC的长度为 5 。
平行x轴的直线上的AB两点间的距离为：AB= xA xB 平行y轴的直线上的AC两点间的距离为：AC= yA yC
AD
44 2
8
（2）A（0,5），B（0,3），C（3,1）；
如图，过点C做CD⊥AB
∵A（0,5），B（0,3），C（3,1）
∴CD=3，AB=2
∴
SABC
1 ABCD 1 23 3
2
2
小结
平面直角坐标系中，求三角形的面积， 关键在于找到平行x轴或平行y轴的线 段作为规则图形的底和高。
F
∴BE=3,CF=3
∴ SABC SABD SACD
1 AD• BE 1 AD• CF
E
2
2
1 33 1 33
2
2
9
F
E
补
补
割
问题4
在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点 坐标分别为O(0，0)，A(5，0)，B(3，4)， C(0，3),计算这个四边形的面积。
方法总结
割
割
割
补
补
问题2
• 求下列三角形的面积： • （1）A（1,4），B（0,0），C（4,0）； • （2）A（0,5），B（0,3），C（3,1）；
（1）A（1,4），B（0,0），C（4,0）； 由图，过点A作AD⊥BC
∵A（1,4），B（0,0），C（4,0）
∴AD=4，BC=4
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（2）点P在x轴上，且△ABP的面积等于△ABC的面积，求点P的坐标。
y
7
6
A
5 4
C
3
2
P?
1
P
-6 -5 -4 -3 -2 -1-1 01 2B3 4 5 6 7x
-2
-3
-4
-5
-6
19
-7
总结
平面直角坐标系中求面积
方法一：一边在坐标轴上三角形面积的求法 方法二：一边平行于坐标轴的三角形面积的求法 方法三：利用割补法求图形的面积 方法四：与图形面积相关的点的存在性问题
则D(1,0) E(5,0)，由点的坐标可知
AD=4 BE=2 OD=1 DE=4 CE=1
∴ S四边形ABCD= S△AOD+ S梯形ABED+S△BEC
= 1 OD·AD+ 1(BE+AD)·DE +1 ·EC ·BE
2
2
2
=
1 2
×1×4+
1 2
×6×4+
1
2 ×1×2
= 15
已知△ABC中，A(-1,-2),B(6,2),C(1,3), 求△ABC的面积.
12
例1、探究展示
如图，四边形ABCO在平面直角坐标系中，
且A（1,4），B（5,2），Cy（6,0）， O（0,0），
求四边形ABCO的面积。
A (1,4)
4
●
3
B (5,2)
F2
●
1
●
-5 -4 -3 -2 -1O
1D 2
-1
C (6,0)
●
3 4E 5 6 x
-2
-3
-4
解：过点A作AD⊥X轴于点D，过点B作BE⊥X轴于点E
3
问题1 如图（1）， △AOB的面积是多少？
y
4
B (0,3)
3
2
1
A (4,0)
O
1
234
x
图（1）
4
（2）这个△AOB的面积是多少，你会求吗？
y
4
B (3,3)
3
2
1
A (4,0)
O
1
234
x
图（2）
5
2、如图所示，A(-4,-5),B(-2,0),C(4,0), 求△ABC的面积。
y
4
20
专题训练 平面直角坐标系中求面积
一、自主学习
1、（1）已知点P在x轴上，且到 y轴的距离为 2， 则 点P的坐标为(_-_2_,_0_)_(_2_,_0_)
（2）已知点P到x轴的距离为 3，到y轴的距离为 4，则 点P的坐标为 _(_4_,_3_)_(_-_4_,_3_)_(_4_,_-_3_)_(_-_4_,_-_3_)_
3
2
1
DB
C
●
●
-5 -4 -3 -2 -1O -1
12 345
x
-2
-3
-4
A●
-5
解：过点 A作AD⊥ X轴于点 D
∵A(-4,-5)
∴D(-4,0)
由点的坐标可得 AD=5 BC=6
∴ S△ABC = 1 ·BC·AD= 1 × 6×5=15
2
2
练习. １．已知A(1,4), B(-4,0),C(2,0). △ABC的面积是＿12＿＿．
y
A (1,4)
２.若BC的坐标不变,
B (-4,0) O
△ABC的面积为6,点A
y
的横坐标为-1,那么
A
点A的坐标为_(_-1,2)或(-1_,.-2)
(-4,0B)
C (2,0x)
(2,0)
Cx
8
题型二
?一边平行于坐标轴的三 角形面积的求法
9
例1：三角形ABC三个顶点的坐标分别为 A（4，1），B（4，5），C（-1，2）， 求三角形ABC的面积.
3
方法2
E(6,3)
B(6,2)
-2 2O 1 2 3 4 5 x
-1 -1 6 7 8
1
A(-1,-2)
D(6,-2)
-
2
17
题型四
?与图形面积相关的点的存在 性问题
18
例1.已知，△ABC 三个顶点A、B、C的坐标分别为A（-2，4），B（2，
0），C（2，5）。
（1）在所给的平面直角坐标系xoy中画出△ABC，并求△ABC的面积。
6y
5
4
C(1,3)
3
2
1
B(6,2)
-2 -1O -1
1
2 3 4 56 7 8
x
A(-1,-2)-2 -3
15
y
5 F(-14,3) C(1,3)
3
方法1
E(6,3)
B(6,2)
-2 2O 1 2 3 4 5 x
-1 -11 6 7 8 A(-1,-2)
D(6,-2)
-
2
16
y
5
4
C(1,3)
10
例2.已知，△ABC 三个顶点A、B、C的坐标分别为 A
（-2，4），B（2，0），C（2，5）。在所给的平面
直角坐标系 xoy中画出△ABC，并求△ABC的面积。
y
7
6
A
5 4
C
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1-1 01 2B3 4 5 6 7x
-2
-3
-4
-5
-6
11
-7
题型三
?利用割补法求图形的面积
（3）若A（-1,0），B（4,0），则线段 AB的长为_5___ （4）若A（0,5），B（0,3），则线段 AB的长为__2___
（5）若A（-3，-2），B（-5，-2），则线段 AB的长 为__2___
（6）若A（3,2），B（3，-3），则线段 AB的长为_5__
题型一
?一边在坐标轴上三角形 面积的求法