数学物理方法

1.就下列初始条件及边界条件解弦振动方程1,0211,1,2t x x ux x =⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩(1),01,t u x x x t=∂=-≤≤∂10,0.x x u ut ====>解：22222010,01,0.0,01,02(1),0 1.11,1,2x x t t u a x t t t u u t x x u u x x x tx x ====⎧⎪⎪∂∂⎪=≤≤>⎪∂∂⎪==>⎨⎪⎧⎪≤≤⎪∂⎪⎪==-≤≤⎨⎪∂⎪-<≤⎪⎪⎩⎩利用分离变量的方法有：(,)()(),u x t X x T t = 代入齐次方程得 "2"()()()().X x T t a X x T t = 则2"()"()()()X x T t X x a T t λ==- 得常微分方程2"()()0,"()()0.T t a T t X x X x λλ+=+=利用边界条件得 "()()0,(0)(1)0.X x X x X X λ+=⎧⎨==⎩我们知道 1’ 00λλ<=，时不符合要求 2’ 0λ>时， 令2λβ= 则方程的通解 X()cos sin x A x B x ββ=+由边界 (0)(1)0X X == 得22n n λπ= sin n n X B n x π= 得 222"()()0n n T t a n T t π+=即解得 'cos 'sin n n n T C n at D n at ππ=+.得 (,)()()[cos sin ]sin n n n u x t X x T t C n at D n at n x πππ==+ 通解 11(,)(,)[cos sin ]sin .n n n n n u x t u x t C n at D n at n x πππ∞∞====+∑∑由初始条件(1)t ux x t=∂=-∂=1sin n n D n a n x ππ∞=∑⇒ 14424[(1)1](1)sin n n D x x n x n a n a πππ--=-=⎰ 再由01,0211,1,2t x x ux x =⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩ ⇒ 1/21221/242sin 2(1)sin sin 2n n C x n xdx x n xdx n ππππ=+-=⎰⎰ ∴2244144[(1)1](,)(sin cos sin )sin 2n n n u x t n t an t n x n n a ππππππ∞=--=+∑2．3就下列初始条件及边界条件解弦振动方程1,0211,1,2t x x ux x =⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩(1),01,t u x x x t=∂=-≤≤∂10,0.x x u ut ====>解：22222010,01,0.0,01,02(1),0 1.11,1,2x x t t u a x t t t u u t x x u u x x x tx x ====⎧⎪⎪∂∂⎪=≤≤>⎪∂∂⎪==>⎨⎪⎧⎪≤≤⎪∂⎪⎪==-≤≤⎨⎪∂⎪-<≤⎪⎪⎩⎩利用分离变量的方法有：(,)()(),u x t X x T t =代入齐次方程得 "2"()()()().X x T t a X x T t = 则2"()"()()()X x T t X x a T t λ==- 得常微分方程2"()()0,"()()0.T t a T t X x X x λλ+=+=利用边界条件得 "()()0,(0)(1)0.X x X x X X λ+=⎧⎨==⎩我们知道 1’ 00λλ<=，时不符合要求 2’ 0λ>时， 令2λβ= 则方程的通解 X()cos sin x A x B x ββ=+由边界 (0)(1)0X X == 得22n n λπ= sin n n X B n x π= 得 222"()()0n n T t a n T t π+= 即解得 'cos 'sin n n n T C n at D n at ππ=+.得 (,)()()[cos sin ]sin n n n u x t X x T t C n at D n at n x πππ==+ 通解 11(,)(,)[cos sin ]sin .n n n n n u x t u x t C n at D n at n x πππ∞∞====+∑∑由初始条件(1)t ux x t=∂=-∂=1sin n n D n a n x ππ∞=∑⇒ 14424[(1)1](1)sin n n D x x n x n a n a πππ--=-=⎰ 再由01,0211,1,2t x x ux x =⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩ ⇒ 1/21221/242sin 2(1)sin sin 2n n C x n xdx x n xdx n ππππ=+-=⎰⎰ ∴2244144[(1)1](,)(sin cos sin )sin 2n n n u x t n t an t n x n n a ππππππ∞=--=+∑4题目：在扇形区域内解下列定解问题：⎧⎪⎨⎪⎩222222110(,0)(,)0(,)()u u u u u u u a f ρρρρθρραθθ∂∂∂∇=++=∂∂∂=== (,0)(0)o R R ρθαρ<<<<<< (1)(2)(3)参考答案：解：令(,)()()u R ρθρφθ=，有2'''"()()()()()R R R ρρρρφθλρφθ+==--即有2"'()()()0R R R ρρρρλρ+-= (*)对于()φθ有"()()0(0)()0φθλφθφφα⎧+=⎨==⎩其解的通式可设为：)+Bcos）将边界条件带入有B=0，且由经验知λ为一个大于零的数，则有n απ=，解得2()n πλα= （n=1,2,3…）且有 ()sin n n n A πφθθα=将λ的值带入（*）中有()n n n n n R C D ππααρρρ-=+ ，而由物理知识可以得到自然边界 (0,)u θ<+∞和(0)R <+∞，将其带入知n D =0故()n n n R C παρρ=，则1(,)sinn n n n u K παπρθρθα∞==∑又有起始条件(,)()u a f θθ= 有1()sin()n n n n u K a f παπθθθα∞===∑将()f θ在[]0,α上展开成sin n πθα⎧⎫⎨⎬⎭⎩的Fourier 级数，得到2()sinn n n C f d a απαπθθθαα=⋅⎰(n=1,2,3,…)5 第三章 ：求上半平面内静电场的电位，即解下列定解问题22200,0,,|(),,lim 0y x y u y x u f x x u =+→∞⎧∇=>-∞<<+∞⎪⎪=-∞<<+∞⎨⎪=⎪⎩解：有原题的x 值的取值范围可知，此题可用傅里叶变换求解，则令：(,)(,),()()jwx jwx U w y u x y e dx F w f x e dx--+∞+∞==-∞-∞⎰⎰对方称两边对x 求傅里叶变换可得：222()0Ujw U y∂-=∂，其解的形式为:12(,)wy wy U w y c e c e -=+（1）在对条件进行变换可得：(,)(),lim (,)0y U w y F w U w y →∞== （2） 代入（1）式中有12()c c F w += 则：11(,)(())wy wy U w y c e F w c e -=+-， 此时可分类讨论：1）当w=0时，U （w,y ）=F(w);2）当w<0时，要满足条件（2），则需C 2=0，有(,)()wy U w y F w e -= 3）当w>0时，同理需要C 1=0，则有(,)()wy U w y F w e = 综上所述，可得：||(,)()w y U w y F w e -=又有逆变换1|w|y |w|y 221[]2()jwx yF e e e dw x y ππ---+∞=∂=-∞+⎰ 则可得u （x,y ）的表达式为：1||22221(,)[()]()*()()()w y y y U x y F F w e f x f d x y y x ππ--+∞===-∞++-⎰τττ6 第三章：用积分变换解下列问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=>+=>>=∂∂∂==.0,1,0,1,0,0,1002x uy y u y x yx uy x解：令dxe y x u y s u sx -+∞⎰=0),(),(~对泛定方程关于变量x 取拉普拉斯变换得s u L xy 1][=由拉普拉斯变换的定义及微分性质，有[][][][]1~1),(~),0(),(][),(),(][00-=--∂∂=-∂∂=∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂==-∞+-+∞⎰⎰dy u d s y y x u s y y u y x u sL y u L y dx e y x u y dxe y x u u L x sx x sx xy xy即得s dyu d s 11~=- 解之得c y s s y s u++=21),(~因s dx e dx e x u s u sx sx 1)0,()0,(~00===-∞+-∞+⎰⎰ 所以可得s y s s y s u11),(~2++= 取逆变换得1111),(121++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=--y xy s L s s yL y x u7 证明平面上的格林公式 uΔv − vΔu dσ = u∂v ∂n D C − v ∂u ∂n ds其中C 为D 的边界曲线,ds 是弧微分。

证 在散度定理div A dσ = A ∙ nD Cds中取A= uΔv 得uΔv + ∇v ∙ ∇u dσ = u∂v∂nD Cds (1)在上式中交换u，v 顺序，得vΔu + ∇u ∙ ∇v dσ = v∂u∂nD Cds (2)(1),(2)式相减得uΔv − vΔu dσ = u∂v∂nD C− v∂u∂nds结论得证。

4.2 8 验证u(x1, x2,…, xn)=f r (其中r = x1 2 + x22 + ⋯+ xn2 是n维调和函数),其中f r = C1 +C2rn−2 (n ≠ 2)f r = C1 + C2 ln1r(n = 2)C1, C2为任意常数。