实验四 线性定常系统的稳态误差
33-56 线性定常系统稳定性及劳斯稳定判据
2
tr
d tp d
1 2
c(tp ) c() Mp c(tp ) 1 e c ( )
ts 1
d
(ln
1 1 ln ) 2 1
ess
e
n t
n
, t 0
0 0
s
1
34.6
s
0
2.3 104
由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中 有两个根在 s 的右半平面，因而系统是不稳定的。
P83
例2：D(s)=s4+5s3+7s2+2s+10=0 试用劳斯判据判别该系统的稳定性。 解：列劳斯表 1 7 10
5 7 2 33 5 5
s4 s3
2 K 1 3
系统闭环稳定与开环稳定之间没有直接关系
例9: 系统结构图如右， (1)确定使系统稳定的参数(K, )的范围; (2)当 =2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。 解: (1) G( s)
Ka s ( s 2 20 s 100)
Ka 100
K
D( s) s3 20 s 2 100 s 100K 0
s s2 s1 s0
3
1 20
2000 100 K 20
100 100K
0
0 K 20 K 0
100K
(2)当 =2 时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。
当=2时，进行平移变换： s s 1
D( s) s 3 20 2 s 2 100s 100K 0
2
2 1 sin d t arctan
线性系统的校正 实验报告
线性系统的校正实验报告翻译：摘要：本实验通过给定的线性系统对其进行校正，在不同的频率下对系统进行稳态和瞬态测试，通过测试结果分析系统性能和误差，掌握线性系统的基本原理和校正方法。
引言：线性系统广泛应用于各种工业、科技领域，而线性系统的准确度和稳定性关系到整个系统的效率和安全性。
因此，对线性系统进行校正是保证其正常运行的必要手段。
本实验将针对一个给定的线性系统进行校正，分析其校正效果。
实验设计：1. 实验仪器本实验要求使用信号发生器、数字脉冲计数器和示波器。
2. 实验内容（1）信号发生器的设置设置输出波形类型和频率，使其跟线性系统的工作频率相同。
（2）数字脉冲计数器的设置通过数字脉冲计数器测试稳态和瞬态响应，并对脉冲计数器进行校准。
（3）示波器的设置观测线性系统的输出信号，分析系统的稳态和动态响应。
（4）线性系统的测试使用信号发生器输入不同频率的正弦波和方波信号，观测输出信号，并记录数字脉冲计数器的计数。
3.实验步骤（1）准备工作将信号发生器和示波器连接线性系统的输入和输出接口，调节信号发生器的频率和幅度。
（2）瞬态响应测试在信号发生器上输入方波信号，在示波器上观测输出信号的瞬态响应，通过计数器获取相关数据。
在信号发生器上输入正弦波信号，通过调整幅度和相位，使其和线性系统的工作频率相同，记录计数器的数据，并分析系统的稳态响应。
结果分析：通过本实验的测试，得到了不同频率下线性系统的稳态和瞬态响应。
观察稳态响应的幅频响应曲线，分析系统的性能。
通过瞬态响应和数字脉冲计数器的数据，计算误差，判断系统的准确度和稳定性。
运用基本的线性系统校准方法对系统进行校准，进一步提高系统的准确度和稳定性。
结论：。
自动控制理论稳态误差
3
3.5 线性系统的稳定性分析
线性定常系统稳定的充分必要条件
jω
s平面
稳定区域 稳定区域
不稳定区域
σ
不稳定区域
临界稳定 /临界不稳定 不稳定
根在复平面的位置
4
上节课要点复习
3.5 线性系统的稳定性分析
劳斯(Routh)稳定判据
S控制系统稳定的必要条件是：控制系统特征方程式的 所有系数符号相同且不为零（不缺项）。
K
−
K
+1 t
(1 − e T )
K +1
ess
=1−
K K +1
=
1 K +1
开环、闭环传递函数？！！ 17
3.3 二阶系统的时域分析(例子)
二阶系统的单位阶跃响应
R(s)
E(s)
ω
2 n
Y (s)
R(s)
ω
2 n
Y (s)
s(s + 2ζωn )
s2
+
2ζω n s
+
ω
2 n
a)
b)
G(s)H (s) =
E(s)
K
Ts
Y (s)
R(s)
K Y(s)
Ts + K
a)
b)
Ⅰ型系统 K p = ∞
−Kt
y(t) = 1− e T
R(s)
E(s)
K
Y (s)
R(s)
K
Y (s)
Ts +1
Ts + K +1
K P = limG(s)H (s) s→0
ess
=1 1+ Kp
自动控制原理实验报告--控制系统的稳定性和稳态误差
本科实验报告课程名称：自动控制原理实验项目：控制系统的稳定性和稳态误差实验地点：多学科楼机房专业班级：学号：学生姓名：指导教师：2012 年5 月15 日一、实验目的和要求：1．学会利用MATLAB 对控制系统的稳定性进行分析； 2．学会利用MATLAB 计算系统的稳态误差。
二、实验内容和原理：1．利用MATLAB 描述系统数学模型如果系统的的数学模型可用如下的传递函数表示nn n m m m a s a s b s b s b s U s Y s G ++++++==-- 11110)()()( 则在MATLAB 下，传递函数可以方便的由其分子和分母多项式系数所构成的两个向量惟一确定出来。
即num=[b 0,b 1 ,…, b m ]; den=[1,a 1,a 2 ,…,a n ]例2-1 若系统的传递函数为5234)(23+++=s s s s G 试利用MA TLAB 表示。
当传递函数的分子或分母由若干个多项式乘积表示时，它可由MA TLAB 提供的多项式乘法运算函数conv( )来处理，以获得分子和分母多项式向量，此函数的调用格式为 p=conv(p1,p2)其中，p1和p2分别为由两个多项式系数构成的向量，而p 为p1和p2多项式的乘积多项式系数向量。
conv( )函数的调用是允许多级嵌套的。
例2-2 若系统的传递函数为)523)(1()66(4)(232++++++=s s s s s s s s G试利用MA TLAB 求出其用分子和分母多项式表示的传递函数。
2．利用MATLAB 分析系统的稳定性在分析控制系统时，首先遇到的问题就是系统的稳定性。
判断一个线性系统稳定性的一种最有效的方法是直接求出系统所有的极点，然后根据极点的分布情况来确定系统的稳定性。
对线性系统来说，如果一个连续系统的所有极点都位于左半s 平面，则该系统是稳定的。
MATLAB 中根据特征多项式求特征根的函数为roots( )，其调用格式为r=roots(p) 其中，p 为特征多项式的系数向量；r 为特征多项式的根。
线性系统的稳态误差PPT课件
N (s)
I型系统：ν=1
1 1, 2 0 1 0, 2 1
➢对参考输入，都是I型系统。 ➢抗扰动的能力却完全不同。
1 1, 2 0
阶跃信号 N(s) R / s 斜坡信号 N (s) R / s2
essn
lim s0
s2K2 s K1K2 K3
R s
0
essn
lim s2K2 s0 s K1K2 K3
所求开环传递函数为
G(s)
s(s2
2 3s
4)
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五、扰动作用下的稳态误差
扰动不可避免
扰动稳态误差
负载力矩的变化、放大器的零点漂移、电网电压波动 和环境温度的变化等，这些都会引起稳态误差。
扰动稳态误差的大小反映了系统抗干扰能力的强弱。
R(s)
-
E(s) G1(s)
N(s) C(s)
斜坡稳态误差只与G1(s)、H(s)中的增益K1 K3成反比。 至于扰动作用点后的G2(s) ，其增益的大小K2和是否有 积分环节，它们均对减小或消除扰动引起的稳态误差没
有什么作用。
第16页/共22页
II型系统：ν=2
1 2, 2 0
三种可能的组合 1 1, 2 1
1 0, 2 2
➢第一种组合的系统具有II型系统的功能，即对于阶跃和
1]
N
(s)
系统的输出量完全不受扰动的影响 Cn (s) 0
G2 (s)[Gn (s)G1(s) 1] 0
Gn (s)
1 G1 (s)
(对于扰动实现 全补偿的条件)
➢引入前馈后，系统的闭环特征多项式没有发生任何
变化，即不会影响系统的稳定性
➢由于G1(s)分母的s阶次一般比分子的s阶次高，故
自动控制原理实验(1)
实验一 典型环节的电路模拟一、实验目的1．熟悉THKKL-5型 控制理论·计算机控制技术实验箱及“THKKL-5”软件的使用； 2．熟悉各典型环节的阶跃响应特性及其电路模拟；3．测量各典型环节的阶跃响应曲线，并了解参数变化对其动态特性的影响。
二、实验设备1．THKKL-5型 控制理论·计算机控制技术实验箱；2．PC 机一台(含“THKKL-5”软件)、USB 数据采集卡、37针通信线1根、16芯数据排线、USB 接口线。
三、实验内容1．设计并组建各典型环节的模拟电路；2．测量各典型环节的阶跃响应，并研究参数变化对其输出响应的影响。
四、实验原理自控系统是由比例、积分、微分、惯性等环节按一定的关系组建而成。
熟悉这些典型环节的结构及其对阶跃输入的响应，将对系统的设计和分析十分有益。
本实验中的典型环节都是以运放为核心元件构成，其原理框图 如图1-1所示。
图中Z 1和Z 2表示由R 、C 构成的复数阻抗。
1．比例（P ）环节比例环节的特点是输出不失真、不延迟、成比例地复现输出信号的变化。
图1-1 它的传递函数与方框图分别为：KS U S U S G i O ==)()()(当U i (S)输入端输入一个单位阶跃信号，且比例系数为K 时的响应曲线如图1-2所示。
2．积分（I ）环节 图1-2积分环节的输出量与其输入量对时间的积分成正比。
它的传递函数与方框图分别为：设U i (S)为一单位阶跃信号，当积分系数为T 时的响应曲线如图1-3所示。
TsS U S Us G i O1)()()(==图1-33．比例积分(PI)环节比例积分环节的传递函数与方框图分别为：)11(11)()()(21211212CSR R R CSR R R CSR CS R S U S U s G i O +=+=+==其中T=R 2C ，K=R 2/R 1设U i (S)为一单位阶跃信号，图1-4示出了比例系数(K)为1、积分系数为T 时的PI 输出响应曲线。
稳态误差计算(普通解法)
⎡ K ⎤ 1 ⎤ ⎡1 G( z) = Z ⎢ = KZ ⎢ − ⎥ ⎣ s s + 1⎥ ⎦ ⎣ s ( s + 1) ⎦
z ⎛ z =K⎜ − −T ⎝ z −1 z − e
系统特征方程为
图 6-21 离散系统结构图
K (1 − e−T ) z ⎞ = ⎟ −T ⎠ ( z − 1)( z − e )
D( z ) = ( z − 1)( z − e −T ) + K (1 − e −T ) z = z 2 + [(1 − e −T ) K − 1 − e −T ]z + e −T = 0
利用朱利稳定判据
⎧ D(1) = K (1 − e −T ) > 0 ⎪ ⎨ −T −T ⎪ ⎩ D(−1) = 2(1 + e ) − K (1 − e ) > 0
e(∞) = lim
z →1
( z − 1)( z − 0.368) =0 z 2 − 0.736 z + 0.368
2
当 r (t ) = t ，相应 r (nT ) = nT 时， R ( z ) = T z ( z − 1) ，于是由式(6-59)求得
e(∞) = lim
z →1
T ( z − 0.368) = T =1 z − 0.736 z + 0.368
G( z) =
e − T z + 1 − 2e − T 0.368 z + 0.264 = 2 −T ( z − 1)( z − e ) T =1 z − 1.368 z + 0.368
2
0.368 z + 0.264 →∞ z − 1.368 z + 0.368 0.368 z + 0.264 =1 K v = lim( z − 1) 2 z →1 z − 1.368 z + 0.368 K p = lim
自动控制原理实验四-线性定常控制系统的稳定分析
实验四线性定常控制系统的稳定分析
一、实验目的
（1）深刻理解反馈对系统稳定性的作用和影响；
（2）深刻理解系统类型对系统稳定性的影响的规律；
（3）深刻理解零点对系统稳定性无影响；
（4）理解系统参数对系统稳定性的影响。
二、实验原理及内容：
1．单位反馈对系统稳定性的影响
(1) 已知开环系统结构图如图4-1所示。
R （S
其中W(S)分别为：（a ）1()0.11W s s =+和（b ）1()0.2
W s s =- (2)闭环系统单位负反馈形式为：
图4-2 闭环系统
其中W(S)同（1）。
通过观察两组W （S ）在开环和闭环两种形式下系统的零、极点分布和单位阶跃响应曲。
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实验四 线性定常系统的稳态误差一、实验目的1．通过本实验，理解系统的跟踪误差与其结构、参数与输入信号的形式、幅值大小之间的关系；2．研究系统的开环增益K 对稳态误差的影响。
二、实验原理控制系统的方框图如图4-1所示。
其中G(S)为系统前向通道的传递函数，H(S)为其反馈通道的传递函数。
图4-1 控制系统的方框图由图4-1求得)()()(11)(S R S H S G S E +=（4-1）由上式可知，系统的误差E(S)不仅与其结构和参数有关，而且也与输入信号R(S)的形式和大小有关。
如果系统稳定，且误差的终值存在，则可用下列的终值定理求取系统的稳态误差：)(lim 0S SE e s ss →=（4-2）本实验就是研究系统的稳态误差与上述因素间的关系。
下面叙述0型、I 型、II 型系统对三种不同输入信号所产生的稳态误差ss e 。
1．0型二阶系统设0型二阶系统的方框图如图4-2所示。
根据式（4-2），可以计算出该系统对阶跃和斜坡输入时的稳态误差：图4-2 0型二阶系统的方框图● 单位阶跃输入（sS R 1)(=） 3112)1.01)(2.01()1.01)(2.01(lim 0=⨯+++++⨯=→S S S S S S e S ss （4-3） 输入输出响应曲线如图4-1所示，仿真图如图4-2所示。
图4-3 0型系统阶跃响应稳态误差响应曲线 图4-4 Matlab 仿真曲线由 Matlab 仿真结果来看，输入为单位阶跃信号时，输出稳态误差近似为，符合 4-3式计算的理论值。
● 单位斜坡输入（21)(s S R =） ∞=⨯+++++⨯=→2012)1.01)(2.01()1.01)(2.01(lim S S S S S S e S ss （4-4）输入输出响应曲线如图4-3所示，仿真图如图4-4所示。
图4-5 0型系统斜坡响应稳态误差响应曲线 图4-6 Matlab 仿真曲线由 Matlab 仿真结果来看，输入为单位阶跃信号时，输出稳态误差趋于无穷大，符合4-5式理论计算值。
上述结果表明0型系统只能跟踪阶跃信号， 0型系统跟踪阶跃输入有稳态误差，计算公式为：Pss K R e +=10（4-5）其中)()(lim 0S S H S G K p →≅，R 0为阶跃信号的幅值。
2．I 型二阶系统设图4-4为I 型二阶系统的方框图。
图4-7 I 型二阶系统方框图● 单位阶跃输入SS S S S S R S G S E 110)1.01()1.01()()(11)(⨯+++=+=0110)1.01()1.01(lim 0=⨯+++⨯=→SS S S S S e S ss （4-6）图4-8 I 型系统阶跃响应稳态误差响应曲线 图4-9 Matlab 仿真曲线由 Matlab 仿真结果来看，输入为单位阶跃信号时，输出稳态误差近似为0，符合4-6计算的理论值。
● 单位斜坡输入1.0110)1.01()1.01(lim 20=⨯+++⨯=→SS S S S S e S ss （4-7）图4-10 I 型系统斜坡响应稳态误差响应曲线 图4-11 Matlab 仿真曲线由 Matlab 仿真结果来看，输入为单位斜坡信号时，输出稳态误差近似为，符合4-7计算的理论值。
这表明I 型系统的输出信号完全能跟踪阶跃输入信号，在稳态时其误差为零。
对于单位斜坡信号输入，系统输出有稳态误差，，理论误差计算公式为：VOK V （4-8） 其中)()(lim 0S H S SG K S V →=，O V 为斜坡信号对时间的变化率。
3．II 型二阶系统设图4-5为II 型二阶系统的方框图。
图4-12 II 型二阶系统的方框图● 单位阶跃输入当单位阶跃输入时II 型二阶系统的仿真曲线如图4-13所示图4-13 II 型二阶系统单位阶跃输入仿真曲线结果趋于零。
● 单位斜坡输入当单位斜坡输入时II 型二阶系统的仿真曲线如图4-14所示图4-14 II 型二阶系统单位斜坡输入仿真曲线结果趋于零。
● 单位抛物输入当单位抛物波输入时II 型二阶系统的理论稳态偏差曲线如图4-15所示，仿真曲线如图图4-15 II 型系统的抛物波稳态误差响应曲线 图4-16 Matlab 仿真曲线表明II 型系统的输出信号完全能跟踪阶跃和斜坡输入信号，在稳态时其误差为零。
当输入信号为抛物波221)(t t r =，即31)(S S R =时，其稳态误差为：1.01)47.01(10lim 3220=⨯++⨯=→S s S S S e S ss （4-9）三、实验内容连接电路，在上位机上观察实验曲线。
1．0型二阶系统当输入u r 为一单位阶跃信号时，用上位软件观测图中e 点并记录其实验曲线，并与理论偏差值进行比较。
当输入u r 为一单位斜坡信号时，用上位软件观测图中e 点并记录其实验曲线，并与理论偏差值进行比较。
● 单位阶跃输入由4-17图可得，稳态误差为，与实际稳态误差较接近。
实验曲线如下图所示：图4-17 0型二阶系统单位阶跃响应曲线●单位斜坡输入由4-18图可得，稳态误差无穷大，与理论相符。
实验曲线如下图所示：图4-18 0型二阶系统单位阶跃响应曲线2．Ｉ型二阶系统当输入u r为一单位阶跃信号时，用上位软件观测图中e点并记录其实验曲线，并与理论偏差值进行比较。
当输入u r为一单位斜坡信号时，用上位软件观测图中e点并记录其实验曲线，并与理论偏差值进行比较。
●单位阶跃输入由4-19图可得，Ｉ型二阶系统在单位阶跃输入下稳态误差为零，与理论相符。
实验曲线如下图所示：图4-19 I型二阶系统单位阶跃响应曲线●单位斜坡输入由4-20图可得，Ｉ型二阶系统在单位斜坡输入下稳态误差为零，与理论相符。
试验曲线如下图所示：图4-20 I型二阶系统单位斜坡响应曲线3．II型二阶系统当输入u r为一单位斜坡(或单位阶跃)信号时，用上位软件观测图中e点并记录其实验曲线，并与理论偏差值进行比较。
当输入u r为一单位单位抛物波信号时，用上位软件观测图中e点并记录其实验曲线，并与理论偏差值进行比较。
●单位阶跃输入由4-21图可得，II型二阶系统在单位阶跃输入下稳态误差为零，与理论相符。
试验曲线如下图所示：图4-21 II型二阶系统单位阶跃响应曲线●单位斜坡输入由4-22图可得，II型二阶系统在单位斜坡输入下稳态误差为零，与理论相符。
试验曲线如下图所示：图4-22 II型二阶系统单位斜坡响应曲线●单位抛物波输入由4-23图可得，Ｉ型二阶系统在单位抛物波输入下稳态误差近似为，与理论相符。
试验曲线如下图所示：图4-23 II 型二阶系统单位抛物波响应曲线四、实验思考题1. 为什么0型系统不能跟踪斜坡输入信号？ 答： 以实验要求中给出的系统为例，图4-24 0型二阶系统的方框图从0型系统的方框图可以推知，对阶跃信号稳态误差为3112)1.01)(2.01()1.01)(2.01(lim 0=⨯+++++⨯=→S S S S S S e S ss对斜坡信号的稳态误差为∞=⨯+++++⨯=→2012)1.01)(2.01()1.01)(2.01(lim S S S S S S e S ss可见，由于0型系统的E(S)在原点处没有零点，而斜坡信号拉氏变换后在原点有一个二阶极点，极点不能被抵消，造成了误差的不断累积，因此0型系统不能跟踪斜坡输入信号。
2. 为什么0型系统在阶跃信号输入时一定有误差存在，决定误差的因素有哪些？答：同样以以实验要求中给出的系统为例，从0型系统的方框图可以推知，对阶跃信号稳态误差为：3112)1.01)(2.01()1.01)(2.01(lim 0=⨯+++++⨯=→S S S S S S e S ss可见，由于阶跃信号拉氏变换后在原点只有一个一阶极点，能够被抵消，同时也不存在未被抵消的零点，这时的就是常数。
从系统框图可见，0型系统由两个惯性环节串联，再做负反馈构成，惯性环节的传递函数：稳态误差决定于两个惯性环节的放大倍数。
3. 为使系统的稳态误差减小，系统的开环增益应取大些还是小些？答：从上面的计算式子就可以看出，为了减少0型系统的稳态误差，系统的开环增益应当取大些。
对于I 型系统，前面也已推导过，对斜坡信号输入存在稳态误差，其值为VO K V ，其中)()(lim 0S H S SG K S V →=，O V 为斜坡信号对时间的变化率。
对于II 型系统，情况类似，可见，为了减少稳态误差，开环增益都应该增大。
五、心得体会此次实验有让我增长了许多知识，在学习理论知识的同时锻炼；了自己的动手能力，在实验过程中遇到了很多问题，包括THKKL-6型试验仪的接线问题，上位机的调试问题，然后通过仔细的阅读使用说明书并细心检查线路后，排除了相应的困难，在不断的解决问题的过程中逐步提升自己的实践动手能力以及对知识的熟悉掌握程度。
这次实验加深了我对线性系统稳态误差的理解，通过实物模拟学习到了0型、I 型、II 型二阶系统跟踪阶跃等信号的稳态误差，让我对自动控制这门学科的奇妙之处颇为惊讶，同时激发了我继续探索控制领域其他理论知识的兴趣，这些经验对我们以后的学习将有着一定的帮助与启示，使我们对自己的专业和以后将从事的工作拥有更加全面的了解和认识。