应用排序不等式巧解一串竞赛题
排序不等式
三排序不等式[学习目标] 1.了解排序不等式的数学思想和背景.2.了解排序不等式的结构与基本原理.3.理解排序不等式的简单应用．[知识链接]某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现在选择商店中有单价为3元、2元和1元的礼品，问有多少不同的购买方案？在这些方案中哪种花钱最少？哪种花钱最多？答案有多少种不同的购买方案，实质上就是礼品和单价有多少种不同的对应关系．与单价3元对应的礼品可以是4件的礼品，也可以是5件或2件的礼品共有三种对应关系，与单价2元对应的只还有剩下的2种．与单价一元对应的只有一种．由乘法分步计数原理知共有3×2×1＝6种不同的购买方案．根据生活的实际经验，花钱最少的方案应是最贵的礼品买最少的件数，最便宜的礼品买最多的件数，即1×5＋2×4＋3×2＝19元，花钱最多的方案应是：单价最高的礼品买最多的件数，单价最低的礼品买最少的件数，即1×2＋2×4＋3×5＝25元．[预习导引]1．顺序和、乱序和、反序和的概念设a1≤a2≤a3≤…≤a n，b1≤b2≤b3≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n 的任一排列，则称a i与b i(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和a1b1＋a2b2＋…＋a n b n 为顺序和，和a1c1＋a2c2＋…＋a n c n为乱序和，相反顺序相乘所得积的和a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1为反序和．2．排序不等式(排序原理)设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n时，反序和等于顺序和，此不等式简记为反序和≤乱序和≤顺序和．要点一 利用排序原理证明不等式例1 已知a ，b ，c 为正数，求证b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc . 证明 根据所要证明的不等式中a ，b ，c 的“地位”的对称性，不妨设a ≥b ≥c ， 则1a ≤1b ≤1c，bc ≤ca ≤ab . 由排序原理：顺序和≥乱序和，得：bc a ＋ca b ＋ab c ≥bc c ＋ca a ＋ab b. 即b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2abc≥a ＋b ＋c ， 因为a ，b ，c 为正数，所以abc ＞0，a ＋b ＋c ＞0，于是b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc . 规律方法 (1)在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．(2)排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时，所得两两乘积之和最大；反向单调(一增一减)时，所得两两乘积之和最小．跟踪演练1 已知a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13. 证明 不妨设a ≤b ≤c ，则由排序不等式得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，上式两边同乘2再加a 2＋b 2＋c 2，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2，即a 2＋b 2＋c 2≥(a ＋b ＋c )23＝13，命题得证． 要点二 利用排序原理证明n 项不等式例2 设a 1，a 2，…，a n 是n 个互不相同的正整数，求证：1＋12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n 2. 证明 ∵12＜22＜32＜…＜n 2，∴112＞122＞…＞1n 2. 设c 1，c 2，…，c n 是a 1，a 2，…，a n 由小到大的一个排列，即c 1＜c 2＜c 3＜…＜c n ，根据排序原理中，反序和≤乱序和，得c 1＋c 222＋c 332＋…＋c n n 2≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n 2， 而c 1，c 2，…，c n 分别大于或等于1,2，…，n ，∴c 1＋c 222＋c 332＋...＋c n n 2≥1＋222＋332＋...＋n n 2＝1＋12＋ (1)， ∴1＋12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋…＋a n n 2. 规律方法 利用排序不等式证明不等式，关键是构造出不等式中所需要的带大小顺序的两个数组．跟踪演练2 设c 1，c 2，…，c n 为正数组a 1，a 2，…，a n 的某一排列，求证：a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n≥n .证明 不妨设0＜a 1≤a 2≤…≤a n ，则1a 1≥1a 2≥…≥1a n. 因为1c 1，1c 2，…，1c n 是1a 1，1a 2，…，1a n的一个排序， 故由排序原理：反序和≤乱序和得a 1·1a 1＋a 2·1a 2＋…＋a n ·1a n≤a 1·1c 1＋a 2·1c 2＋…＋a n ·1c n. 即a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n≥n . 要点三 利用排序原理求最值例3 设a ，b ，c 为任意正数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b的最小值． 解 不妨设a ≥b ≥c ，则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b， 由排序不等式得，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋ba b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b上述两式相加得：2⎝⎛⎭⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3， 即a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32. 当且仅当a ＝b ＝c 时，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b取最小值32. 规律方法 求最小(大)值，往往所给式子是顺(反)序和式．然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理构造出适当一个或二个乱序和从而求出其最小(大)值．跟踪演练3 设0＜a ≤b ≤c 且abc ＝1.试求1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )的最小值． 解 令S ＝1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )， 则S ＝(abc )2a 3(b ＋c )＋(abc )2b 3(a ＋c )＋(abc )2c 3(a ＋b )＝bc a (b ＋c )·bc ＋ac b (a ＋c )·ac ＋ab c (a ＋b )·ab . 由已知可得：1a (b ＋c )≥1b (a ＋c )≥1c (a ＋b )，ab ≤ac ≤bc . ∴S ≥bc a (b ＋c )·ac ＋ac b (a ＋c )·ab ＋ab c (a ＋b )·bc ＝c a (b ＋c )＋a b (a ＋c )＋b c (a ＋b ). 又S ≥bc a (b ＋c )·ab ＋ac b (a ＋c )·bc ＋ab c (a ＋b )·ac ＝b a (b ＋c )＋c b (a ＋c )＋a c (a ＋b )， 两式相加得：2S ≥1a ＋1b ＋1c ≥3·31abc＝3. ∴S ≥32，即1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )的最小值为32.1．设a 1≤a 2≤a 3≤…≤a n ，b 1≤b 2≤b 3≤…≤b n 为两组实数，在排序不等式中，顺序和，反序和，乱序和的大小关系为( )A ．反序和≥乱序和≥顺序和B ．反序和＝乱序和＝顺序和C ．反序和≤乱序和≤顺序和D ．反序和、乱序和、顺序和大小关系不确定答案 C2．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则1c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________．答案 32 28解析 由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32；最小值为28.3．已知a ，b ，c ∈R ＋，求证a ＋b ＋c ≤a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b. 证明 由于不等式关于a 、b 、c 对称，可设a ≥b ≥c ＞0.由排序不等式，得a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c (逆序和)≤a 2·1b ＋b 2·1c ＋c 2·1a(乱序和)． 及a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c≤a 2·1c ＋b 2·1a ＋c 2·1b. 以上两个同向不等式相加再除以2，即得a ＋b ＋c ≤a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b.1.在没有给定字母大小的情况下，要使用排序不等式，必须限定字母的大小顺序，而只有具有对称性的字母才可以直接限定字母的大小顺序，否则要根据具体环境分类讨论．2．求证一个与排序有关的不等式．若 a ，b ，c 在不等式中的“地位”是对称的，解答时不妨设a ≥b ≥c ，再利用排序不等式加以证明．排序不等式1．有一有序数组，其顺序和为A ，反序和为B ，乱序和为C ，则它们的大小关系为( )A ．A ≥B ≥CB ．A ≥C ≥B C ．A ≤B ≤CD ．A ≤C ≤B解析：选B 由排序不等式，顺序和≥乱序和≥反序和知：A ≥C ≥B .2．若A ＝x 21＋x 22＋…＋x 2n ，B ＝x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n －1x n ＋x n x 1，其中x 1，x 2，…，x n 都是正数，则A 与B 的大小关系为( )A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ≤B解析：选C 序列{x n }的各项都是正数，不妨设0＜x 1≤x 2≤…≤x n ，则x 2，x 3，…，x n ，x 1为序列{x n } 的一个排列．由排序原理，得x 1x 1＋x 2x 2＋…＋x n x n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1，即x 21＋x 22＋…＋x 2n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1.3．锐角三角形中，设P ＝a ＋b ＋c 2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P ，Q 的关系为( ) A ．P ≥Q B ．P ＝Q C ．P ≤Q D ．不能确定解析：选C 不妨设A ≥B ≥C ，则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ，则由排序不等式有Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C ＋2sin C cos A )＝R [sin(A ＋B )＋sin(B ＋C )＋sin(A ＋C )]＝R (sin C ＋sin A ＋sin B )＝P ＝a ＋b ＋c 2. 4．儿子过生日要老爸买价格不同的礼品1件、2件及3件，现在选择商店中单价为13元、20元和10元的礼品，至少要花的钱数为( )A ．76B ．20C ．84D ．96解析：选A 设a 1＝1(件)，a 2＝2(件)，a 3＝3(件)，b 1＝10(元)，b 2＝13(元)，b 3＝20(元)，则由排序原理反序和最小知至少要花a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1＝1×20＋2×13＋3×10＝76(元)．5．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则1c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________．解析：由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28.答案：32 286．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s 、4 s 、3 s 、 7 s ，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为________s.解析：由题意知，等候的时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7＝41.答案：417．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，A ，B 所对的边分别为a ，b ，则aA ＋bB 与π4(a ＋b )的大小关系为________．解析：不妨设a ≥b >0，则A ≥B >0，由排序不等式⎭⎪⎬⎪⎫aA ＋bB ≥aB ＋bA aA ＋bB ＝aA ＋bB ⇒2(aA ＋bB )≥a (A ＋B )＋b (A ＋B ) ＝π2(a ＋b )， ∴aA ＋bB ≥π4(a ＋b )． 答案：aA ＋bB ≥π4(a ＋b ) 8．设a ，b ，c 都是正数，求证：a ＋b ＋c ≤a 4＋b 4＋c 4abc. 证明：由题意不妨设a ≥b ≥c >0.由不等式的性质，知a 2≥b 2≥c 2，ab ≥ac ≥bc .根据排序原理，得a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2≤a 3c ＋b 3a ＋c 3b .①又由不等式的性质，知a 3≥b 3≥c 3，且a ≥b ≥c .再根据排序不等式，得a 3c ＋b 3a ＋c 3b ≤a 4＋b 4＋c 4.②由①②及不等式的传递性，得a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2≤a 4＋b 4＋c 4.两边同除以abc 得证原不等式成立．9．设a ，b ，c 为任意正数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b 的最小值． 解：不妨设a ≥b ≥c ，则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b. 由排序不等式，得 a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b， a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b， 以上两式相加，得2⎝⎛⎭⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3， ∴a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32， 即当且仅当a ＝b ＝c 时，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b的最小值为32.10．设x ，y ，z 为正数，求证：x ＋y ＋z ≤x 2＋y 22z ＋y 2＋z 22x ＋z 2＋x 22y. 证明：由于不等式关于x ，y ，z 对称，不妨设0<x ≤y ≤z ，于是x 2≤y 2≤z 2，1z ≤1y ≤1x ，由排序原理：反序和≤乱序和，得x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ≤x 2·1z ＋y 2·1x ＋z 2·1y， x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ≤x 2·1y ＋y 2·1z ＋z 2·1x ，将上面两式相加，得2(x ＋y ＋z )≤x 2＋y 2z ＋y 2＋z 2x ＋z 2＋x 2y ，于是x ＋y ＋z ≤x 2＋y 22z ＋y 2＋z 22x ＋z 2＋x 22y.。
高一年级竞赛数学：4.排序不等式与切比雪夫不等式
A4.排序不等式与切比雪夫不等式一、基础知识排序不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤12,,,n j j j 是1,2,,n 的任意一个排列.则1111k nnnk n k k j k k k k k a ba b a b -+===≤≤∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.可简记为反序和≤乱序和≤同序和.切比雪夫不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤则111()().nnni i i i i i i a b n a b ===≤∑∑∑设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≥≥≥则111()().n n ni i i i i i i a b n a b ===≥∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.二、典型例题与基本方法1.用排序不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,1,nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.2.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则11,1nii ni ianna==≥∑∑当且仅当12n a a a ===取等.3.已知,,0a b c >,证明：888333111.a b c a b c a b c ++++≤4.设,,a b c 是ABC ∆的三边长,证明：222()()()0.a b a b b c b c c a c a -+-+-≥5.设,,,0,a b c d >且22224,a b c d +++=证明：22224+.3a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++6.设0(1,2,,),i a i n >=且11.ni i a ==∑求122313121111nnnn a a a S a a a a a a a a a -=+++++++++++++++的最小值.7.设,,1,a b c >且满足222111 1.111a b c ++=---证明：1111.111a b c ++≤+++8.设,,0,a b c >证明：2().a b b c c a a b c b c c a a b ab bc ca+++++++≤+++++B4.练习 姓名：1.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则1nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.2.设,,0,x y z >求证：2222220.z x x y y z x y y z z x---++≥+++3.设12,,,(2)n x x x n ≥都是正数,且11,n i i x ==∑求证：1ni =≥A4.排序不等式与切比雪夫不等式参考解答一、基础知识排序不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤12,,,n j j j 是1,2,,n 的任意一个排列.则1111k nnnk n k k j k k k k k a ba b a b -+===≤≤∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.可简记为反序和≤乱序和≤同序和.证明：11111111()()(())()kk k i nnnnn kk kkj k k j n k j i j k k k k k k k i a b a ba b b a b b b b a a -+======-=-=-+--∑∑∑∑∑∑111111111111()()()()()0.k i i n nn k k n k kn k j i j k k i j k k k k k i i k i i a b b b b a a b b a a --++=========-+--=--≥∑∑∑∑∑∑∑∑11111111()()(())()kk k i n nn n n kk kkj k k j n k j i j k k k k k k k i a b a ba b b a b b b b a a -+======-=-=-+--∑∑∑∑∑∑.于是11.knnk j k k k k a ba b ==≤∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.111111111111()()(())()k k k i nn n n n kk n k k j k n k j n n k j n i j k k k k k k k i a ba b a b b a b b b b a a --+-+-+-++======-=-=-+--∑∑∑∑∑∑111111111111111()()()()()0.k i i n n n k k n k kn n k j n i j k k n i j k k k k k i i k i i a b b b b a a b b a a ---+-++-++=========-+--=--≤∑∑∑∑∑∑∑∑于是111.k nnk n k k j k k a ba b -+==≤∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.切比雪夫不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤则111()().n n ni i i i i i i a b n a b ===≤∑∑∑设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≥≥≥则111()().n n ni i i i i i i a b n a b ===≥∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.证明：法1由排序不等式知道1122112212231112212111122n n n n n n n n n n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b -+++=++++++≤++++++≤+++于是121111.nnnniin i i i i i i i a b a b a b n a b ====+++≤∑∑∑∑即111()().nnni i i i i i i a b n a b ===≤∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.法2 11111111111()()()().nnnnnnnnnnni iiii ii ji ii jiiji i i i j i j i j i j na b a b a b a b a b a b a b b ===========-=-=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑11111111()()()()().n n n n n n n ni i i i j j j j j j i i i i j j j i j n a b a b n a b a b a b b ========-=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑于是1111111112(()())()()()()0.n n n n n n nn ni iiiiijjji i j i j i i i i j i j i j na b a b a b b a bb a a b b =========-=-+-=--≥∑∑∑∑∑∑∑∑∑于是111()().nnniii ii i i a b n a b ===≥∑∑∑当且仅当12n aa a ===或12nb b b ===时取等.二、典型例题与基本方法1.用排序不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,1,nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.证明：由排序不等式知道12121112111111.nnn n nx x x x x x n x x x x x x -+++≥+++= 即1211.nn n x x x n x x x -+++≥ 令G =12112122,,,.nn na a a a a a x x x G GG===于是1211221211211.nn n n nn a a a a a a GG G n a a a a a a a G G G--+++≥即12.na a a n G GG+++≥ 于是1.nii anG =≤∑1.nii an=∑当且仅当12n a a a ===取等.2.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则11,1nii ni ian na ==≥∑∑当且仅当12n a a a ===取等.证明：不妨设120,n a a a ≥≥≥>则12111.na a a ≤≤≤由切比雪夫不等式知211111()().nn ni i i i i i in n a a a a ====⋅≤∑∑∑所以11.1ni i ni ia n n a ==≥∑∑当且仅当12n a a a ===取等.3.已知,,0a b c >,证明：888333111.a b c a b c a b c++++≤ 证明：不妨设0,a b c ≥≥>则555333333111,,a b c bc ca ab b c c a a b≥≥≤≤≥≥由排序不等式知 888555555222333333333333333333.a b c a b c a b c a b c a b c b c c a a b c a a b b c c a b++=++≥++=++又222333111,,a b c a b c ≥≥≤≤于是再使用排序不等式得222222333333111.a b c a b c c a b a b c a b c++≥++=++所以888333111.a b c a b c a b c++++≤4.设,,a b c 是ABC ∆的三边长,证明：222()()()0.a b a b b c b c c a c a -+-+-≥证明：等价于证明333222222.a b b c c a a b b c c a ++≥++再等价于222.a b c ab bc cac a b c a b++≥++(*) 不妨设,a b c ≥≥则111.a b c≤≤ 又,,a b c 是ABC ∆的三边长,所以,a b c +>从而()()().a b a b c a b +-≥-即22.a bc b ac +≥+因为,b c a +>从而()()().b c b c a b c +-≥-即22.b ac c ab +≥+所以222.a bc b ac c ab +≥+≥+由排序不等式知222222.a bc b ac c ab a bc b ac c aba b c c a b++++++++≤++ 即222.bc ac ab a b c a b c c a b++≤++于是(*)得证.从而222()()()0.a b a b b c b c c a c a -+-+-≥5.设,,,0,a b c d >且22224,a b c d +++=证明：22224+.3a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++ 证明：不妨设.a b c d ≥≥≥则22221111,.a b c d b c d c d a d a b a b c≥≥≥≥≥≥++++++++先切比雪夫不等式,再使用柯西不等式,最后使用平均值不等式得2222222211114(+)()(+)a b c d a b c d b c d c d a d a b a b c b c d c d a d a b a b c++≥+++++++++++++++++++++211114(1111)644(+)3()3()b c d c d a d a b a b c a b c d a b c d +++=++≥=++++++++++++++16.3≥=于是22224+.3a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++6.设0(1,2,,),i a i n >=且11.ni i a ==∑求122313121111nnnn a a a S a a a a a a a a a -=+++++++++++++++的最小值.解：1212222nna a aS a a a =+++---. 不妨设1210,n a a a >≥≥≥>则121110.222na a a ≥≥≥>--- 使用切比雪夫不等式有12121211111111()()().222222n n nS a a a na a a n a a a ≥++++++=+++------ 在使用柯西不等式得2121211111(111)()().22222221n n n S n a a a n a a a n +++≥+++≥=----+-++-- 当且仅当121n a a a n ====等号成立.所以S 的最小值为.21nn -7.设,,1,a b c >且满足222111 1.111a b c ++=---证明：111 1.111a b c ++≤+++ 证明：因为2222222221113,111111a b c a b c a b c ++=++-------所以222222 4.111a b c a b c ++=---又22222222211144(),111111a b c a b c a b c ++==++------所以2222224440.111a b c a b c ---++=--- 不妨设,a b c ≥≥于是222222,.111111a b c a b c a b c a b c ---+++≥≥≤≤+++--- 这是因为23()111x f x x x -==-++在(1,)+∞单调递增,23()111x g x x x +==+--在(1,)+∞单调递减. 于是使用切比雪夫不等式得22222244412222220()().1113111111a b c a b c a b c a b c a b c a b c ------+++=++≤++++---+++--- 因为,,1,a b c >所以2220.111a b c a b c +++++>--- 于是2220.111a b c a b c ---++≥+++ 因为22213131311133()0.111111111a b c a b c a b c a b c a b c ---+-+-+-++=++=-++≥+++++++++ 所以1111.111a b c ++≤+++8.设,,0,a b c >证明：2().a b b c c a a b c b c c a a b ab bc ca+++++++≤+++++ 证明：即证2()()().a b b c c aab bc ca a b c b c c a a b+++++++≤+++++ 因为()()().a b a b bcab bc ca a a b b c b c ++++=++++ 同理()()().b c b c caab bc ca b b c c a c a++++=++++ ()()().c a c a ab bc ca ab c c a a b a b++++=++++ 于是()()()()()()()()a b b c c a a b bc b c ca c a abab bc ca a a b b b c c c a b c c a a b b c c a a b++++++++++≤++++++++++++++ 222()()().a b bc b c ca c a aba b c ab bc ca b c c a a b+++=+++++++++++于是只须证明()()().a b bc b c ca c a abab bc ca b c c a a b+++++≤+++++(*)不妨设,a b c ≥≥于是111.a b c ≤≤从而111111.a b b c c a +≤+≤+即.a b c a b c ab ca bc+++≤≤ 所以.ab ca bca b c a b c≥≥+++又.a b a c b c +≥+≥+ 使用排序不等式得()()()()()().a b bc b c ca c a ab ab ca bca b c a b c ab bc ca b c c a a b a b c a b c+++++≤+++++=++++++++于是(*)得证.从而2().a b b c c a a b c b c c a a b ab bc ca+++++++≤+++++B4.练习 姓名：1.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则1nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.证明：不妨设120.n a a a ≥≥≥>由切比雪夫不等式知2211111()()().nnnnnii i i i i i i i i i nan a a a a a ======⋅≤=∑∑∑∑∑所以1nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.2.设,,0,x y z >求证：2222220.z x x y y z x y y z z x---++≥+++证明：所证不等式等价于222222.z x y x y z x y y z x z x y y z z x++≥++++++++(*)不妨设,x y z ≤≤则222111,.x y z x y x z y z≤≤≥≥+++ 使用排序不等式得(*).所以原不等式成立.3.设12,,,(2)n x x x n ≥都是正数,且11,ni i x ==∑求证：1ni =≥证明：不妨设12,n x x x ≥≥≥1x ≥≥≥-使用切比雪夫不等式得1111()(nnn ni i i i x n ===≥=∑使用柯西不等式得1ni n=≤==于是1nni =≥≥。
公务员考试排列组合之比赛问题的解题方法
排列组合之比赛问题的解题方法一、基础理论(1)循环赛所需场次单循环(任意两个队打一场比赛)，比赛场次=双循环(任意两个队打两场比赛)，比赛场次=(其中n为参加比赛的总人数或总的队数)(2)淘汰赛所需场次(假设n个队)仅需决出冠亚军，比赛场次=n-1。
(说明产生1名冠军，所以要淘汰n-1个队伍，而淘汰赛一场比赛淘汰一支球队，所以共需n-1场比赛。
)需决出第1、2、3、4名，比赛场次=n。
(说明产生1名冠军，所以要淘汰n-1个队伍，而淘汰赛一场比赛淘汰一支球队，而产生第3、4名则需要多进行一场比赛，所以共需n-1场比赛。
)(其中n为参加比赛的总人数或总的队数)单循环赛，即任意两个队打一场比赛，和顺序无关，所以是组合问题;双循环赛，即任意两个队打两场比赛，和顺序有关，所以是排列问题。
二、真题精析例1、8个甲级队应邀参加比赛，先平均分成两组，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名，另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3、4名，整个赛程的比赛场数是：A.16B.15C.14D.13【答案】A【解析】两组各4队，进行单循环赛，共赛2× =12场。
然后进行淘汰赛，共赛4场。
所以整个赛程的比赛共赛12+4=16场。
例2、某单位职员在健身活动中举行乒乓球比赛，每个选手都要和其他选手各赛一场，一共120场比赛，则该单位参加人数是( )人。
A.18B.16C.15D.14【答案】B【解析】本题考查的是排列组合知识。
假设总共有X人，因为每两个人要进行一场比赛，所以应该用组合公式：。
此时利用代入排除法，只有X=16时满足条件。
例3、 100名男女运动员参加乒乓球单打淘汰赛，要产生男、女冠军各一名，则要安排单打赛：A.90场B.95场C.98场D.99场【答案】C【解析】根据题意，最后要决出2个冠军，也就是要淘汰98人，而每个人都是通过一次单打赛被淘汰的，故需要安排98场单打赛。
因此，选C。
用不等式巧解物理竞赛题_熊朝胜
注
【数理化研究】
笔直的公路上依次设置三盏 交通信号灯 L1、 L2 和 L3， 汽车能不 停顿地通过三盏信号灯的最大速 率， 自行车能不停顿地通过三盏信 号灯的最小速率是多少 m/s。 有一道全国中学生物理竞赛 题是这样的： 在一条笔直的公路上依次设 L2 和 L3， L2 置三盏交通信号灯 L1、 与 L1 相 距 80m， L3 与 L1 相 距 120m。每盏信号灯显示绿色的时 间间隔都是 20s， 显示红色的时间 间隔都是 40s。 L1 与 L3 同时显示绿 L2 则在 L1 显示红色经历了 10s 色， 时开始显示绿色。 规定车辆通过三 盏信号灯经历的时间不得超过 150s， 问： （1 ） 若有一辆匀速向前行驶的 汽车通过 L1 的时刻正好是 L1 刚 开始显示绿色的时刻， 则此汽车能 不停顿地通过三盏信号灯的最大 爱因斯坦曾经说过： “ 兴趣是 最好的老师。” 诸多的教学实践也 表明，学生对学习有了浓厚的兴 趣， 才有积极的探索、 敏锐的观察、 牢固的记忆、 丰富的想象和创造性 的运用， 从中更能体会到学习的乐 趣， 全面提升学习数学的实效。 一、 精彩导入， 引发兴趣 “ 良好的开端， 是 成 功 的 一 半 。” 精彩的课堂导入， 不但能很 快地集中学生的注意力，迅速地 安定学生的学习情绪，而且能使 学生对学习产生浓厚地兴趣， 造 成学生渴望学习的心理状态， 从 而为整节课的教学创造一个良好 的铺垫 。 例如， 我在教学 《分数的基本 性质》 时， 课一开始， 我就给学生 讲 “ 猴王分饼 ” 的故事 。 “ 花果山上 的小猴子最喜欢吃猴王做的饼 有一天， 猴王做了三块同样大 了。 小的饼分给小猴子们吃 。 它先把 第一块饼平均分成四块，分给猴 甲一块； 猴乙见到说 ‘ 太少了， 我 ， 于是猴王就把第二块饼 要两块 ’ 平均分成 8 块， 分给猴乙两块； 猴 丙更提贪， 它抢着说： ‘ 我要三块， 我要三块 。’ 这时， 猴王又把第三 块饼平均分成 12 块，分给猴丙 3 块 。” 故事讲到这里， 老师问： “同 学们，你们知道哪只猴子分得多 吗？ ” 学生有的说： “ 猴丙多 。 ” 有的 “ 一样多 。” 这时老师接着说： 说： “ 到底谁多呢？ 学习了分数的基本 性质以后你们就清楚了 。 ” 这样学 生带着强烈的好奇心和浓厚地求 知欲望开始新课的学习，诱发了 学生学习数学的积极性，激发了 学生的求知欲望 。 二、 巧设情境、 激发兴趣 在讲授新知识之前，教师创 造与教学内容相关的情境，提出 有关的问题，以引起学生的好奇 心与思考，是激发学生学习兴趣
练习第三讲33排序不等式Word版含解析
第二讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式高效演练知能提升 A 级基础巩固、选择题1 .设正实数a i , a 2, a 3的任一排列为a i ', a ?', a 3', a^ +予的最小值为()D. 12解析：a1> a2> a3>0,则 a 》a 》£> 0, 由乱序和不小于反序和知, 所以許+aO "+許》1;+12+a3=3,所以話+ af +話的最小值为3,故选A. 答案：A2.车间里有5台机床同时出了故障，从第1台到第5时间依次为4 min , 8 min, 6 min, 10 min , 5 min ,每台机床停产1 min损失5元，经合理安排损失最少为()解析：损失最少为 5(1 X 10+ 2X 8+ 3X 6+ 4X 5 + 5X 4) = 420(元),则 a a '+台的修复A. 420 元B. 400 元C. 450 元D. 570 元反序和最小.答案：A3.设a, b, c€ R+, M = a5 + b5 + c5, N = a3bc + b3ac + c3ab,贝J M与N的大小关系是(解析：不妨设a>b>c>0,则 a4 > b4 > c4,运用排序不等式有:a5+ b5 + c5 = a a4 + b b4 + c c4 > ac4 + ba4 + cb4,又 a3> b3>c3> 0,且 ab>ac>bc>0,所以 a4b + b4c + c4a= a3ab + b3bc + c3ca>a3bc + b3ac + c3ab,即 a5 + b5 + c5> a3bc + b3ac + c3ab,即卩 M > N.答案：A4.已知 a, b, c>0,且 a3+b3+ c3 = 3,贝J a d B+b/e+c/a的最大值是()D. 3解析：设a>b>c>0,所以诟>^/b A寸c.由排序不等式可得a^+ b^/e+ ^/a< a V a+ b托+ 6伍而(a\/a + b V B+ c 寸c)2 < (a V a)2 + (g b)2 + (C V C FK I + 1 + 1) = 9,即 a V a+ b^/b + c讥w 3.所以 a^/b+b^/e + ^/a< 3.答案：C5.已知a, b, c€ (0,+^),贝J a2(a2— be)+ b2(b2— ac)+ c2(c2—ab ）的正负情况是（a+ b 3• b+ c 3• c> a 3b + b 3c + c 3a. 又知 ab>ac>bc, a 2>b 2>c 2,所以 a 3b + b 3c + c 3a> a 2bc + b 2ca + c 2ab. 所以 a 4+ b 4+ c 4> a 2bc + b 2ca + c 2ab,即 a 2(a 2— bc) + b 2(b 2— ac)+ c 2(c 2— ab)> 0. 答案：B 二、填空题6.设 a i , a 2,…，a n 为实数，b i , b 2,…，b n 是 a i , a 2,…，a n 的任一排列，则乘积a i b i + a 2b 2 +…+ a n b n 不小于答案：a i a n + a 2a n -1+ …+ a n a ia b c7.已知a, b, c都是正数，则兀+ c+a+o+bA 1 1 1解析：设 a> b> c> 0,所以c ^" a+b由排序原理，知b t +土+朮+c t +b+a,①a b c c a c b+^+c+； + a ^，b+^+c+a +a+b,② ①+②得 bh +土+ a+b ，2.8.设 a, b, c>0,则竽+ ¥+¥a b c ■A .大于零B .大于等于零 C.小于零D .小于等于零 解析：设a>b>c>0,所以 a 3> b 3>c 3,根据排序原理，得a 3• a+ b+ c.1o q e + (q+e)qe/oqe+e e + %+o q e+ ,p+eq十。
全国高中数学联赛-不等式专题排序不等式与琴生不等式.pdf
1. ABC 中，求 sin A sin B sin C 的最大值。
2. f (x) ax 2 bx c ，若 a 0 ，证明 f (x) 是下凸的；若 a 0 ，证明 f (x) 是上凸的。
3. 用函数 f (x) lg x 的凸函数性质证明平均值不等式：对 ai 0 （ i 1,2,..., n ）有
2
x分
别是 (0,
), (0,)
上的下凸函数。
f
(x)
sin
x, lg
x
分别是 [0,
], (0,)
上的上凸函数。
2
定理一和定理二所表达的不等关系，统称为琴生不等式。
幂平均：
设
a1, a2 ,..., an
是任意
n
个正数，我们称 ( a1r
a2r n
...
an r
1
)r
(r
在命题与逻辑用语的学习过程中，我们常常会列举与不等式性质相关的问题作为范例. 不仅在大纲版人教社教材和课标版各教材的简易逻辑部分，都配有与此相关的例题、练习题 作为逻辑学习的载体，在各类教辅用书和重要考试的考题中， 以不等式性质或其运用作为 素材的逻辑问题也是屡见不鲜的.这不仅是因为不等式的性质具有形式简洁明确、易于体现 逻辑关系的特点，还因为它的工具作用使得我们在以许多其他教学内容作为题材提出围绕命 题与逻辑用语的问题时，也与不等式的性质相关.
高一对函数单调性的证明， 由于学生对不等式相关知识和方法的掌握方面还很欠缺，所以
我们将证明 f (x1 )与f (x2 ) 的大小关系，转化为判断 f (x1 ) f (x2 ) 的符号问题，从而以 f (x1 ) f (x2 ) 的恒等变形作为主要步骤，避免了对运用不等式性质进行变形的依赖.
三个重要不等式
三个重要不等式目的：掌握三个重要不等式及其应用重点、难点：综合应用三个重要不等式解决竞赛数学中的不等式问题 1、排序不等式[2]设有两组数1212, ,,;,,,n n a a a b b b L L ，满1212 ,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤L L ， 则有 1122n n a b a b a b +++L （顺序和）1212n i i n i a b a b a b ≥+++L （乱序和）1211n n n a b a b a b -≥+++L （逆序和）其中12, ,,n i i i L 是1,2,,n L 的一个排列，当且仅当12= n a a a ==L 或12n b b b ===L 时等号成立.证明 先证左端 设乱序和为S ,要S 最大,我们证明必须n a 配n b ,1n a -配1n b -,L ,1a 配1b , 设n a 配n i b ()n i n <,n b 配某个()k a k n <, 则有 n n n i n k k i n n a b b a a b a b +≤+这是因为 ()()0n n n n n k i k n n i n k n i a b a b a b a b a a b b +--=--≥ 同理可证1n a -必配1n b -，2n a -必配2n b -，L ，1a 必配1b ， 所以 12121122n i i n i n n a b a b a b a b a b a b +++≤+++L L 再证右端 又1211 ,n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-L L ，由以上证明结论(乱≤ 同) 可得，()()()()()()12121112nn n n i i n i a b a b a b a b a b a b --+-++-≥-+-++-L L于是有12121112n n n n i i n i a b a b a b a b a b a b -+++≤+++L L当且仅当12= n a a a ==L 或 12n b b b ===L 时，等号成立. 证毕. 2．均值不等式设12,n a a a L 是正实数，则n n n a a a n a a a ............2121≥+++na a a n1 (112)1+++≥即n n n H G A ≥≥,等号当且仅当n a a a ===......21时成立.证明： ),......,2,1(n i R a i =∈+Θ∴设)1(log )(>=a x f xa，则)(x f 为),0(+∞内的上凸函数 由琴生不等式，得：na a a a a a nnn n n a a a aa a a a a a nn ............log)log ......log (log 12121 (2121)++≤≤+++++即所以n n G A ≥对于na a a 1,......,1,121这n 个正数，应用n n G A ≥， 得0 (1)1 (112121)>≥+++n nn a a a n a a a 所以nn n a a a na a a 1......11......2121+++≥所以n n H G ≥成立 ,故n n n H G A ≥≥ 证毕. 此外，均值不等式还可用排序不等式、数学归纳法等其它方法证明，3、柯西不等式设,(1,2....)i i a b R i n ∈=则222111()()()nnni i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑当且仅当(1,2....)i i b ka i n ==时等号成立证法一（数学归纳法）(1)当(1,2...)(1,2....)i i a i n b i n ==或全为零时，命题显然成立. (2)当数组1212,,...;,...n n a a a b b b 不全为零时， 采用数学归纳法.1） 当n=1时22221111a b a b =不等式成立 2）设当1n k =-时，不等式成立.令11122123111,,k k k i i i i i i i S a S b S a b ---======∑∑∑则有2123S S S ≥3）那么当n=k 时112222221111()()kkk k i i k i k i i i i a b a a b b --====⋅=++∑∑∑∑2212()()kk S a S b =++ =22221212k kk k S S S b S a a b +++223()k k S a b ≥+22332()k k k k S a b S a b ≥++=23()k k S a b + =121()k i i k k i a b a b -=+∑=21()k i i i a b =∑当且仅当(1,2....)i i b ka i n ==时等号成立综上述，对222111,,.1,2...()nnni i i i i i i i i n N a b R i n a b a b ===∀∈∀∈=≥∑∑∑均有证法二，作关于x 的二次函数222222212112212()(...)2(...)(...)n n n n f x a a a x a b a b a b x b b b =+++++++++++若22212...0n a a a +++=则12..0n a a a ====不等式显然成立.若22212...0n a a a +++≠ 则2221122()()()...()0n n f x a x b a x b a x b =++++++≥又22212...0n a a a +++>Q 222111[2()]4()()0nnni i i i i i i a b a b ===∴-≤∑∑∑222111()n n ni i i i i i i a b a b ===∴≥∑∑∑当且仅当1212...n na a ab b b ===时等号才成立 例1、（1935年匈牙利奥林匹克）假设12,,,n b b b L 是正数12, ,,n a a a L 的某个排列，证明：1212n na a a nb b b +++≥L 证明 1 不妨设12n b b b ≤≤≤L ，则12111nb b b ≥≥≥L 由排序不等式(乱序≥逆序)得，12121212111111n n n na a ab b b b b b b b b n⋅+⋅++⋅≥⋅+⋅++⋅=L L 例[5]3 设12,,,n a a a L 是个n 互不相同的自然数，证明：即1212n na a a nb b b +++≥L 例23（第20届IMO 试题） 设12,,,n a a a L 是n 个互不相等的自然数，证明：32122211112323n a a a a n n ++++≤++++L L 证法一 （用排序不等式）设12,,,n b b b L 是12,,,n a a a L 的一个排序，且12n b b b <<<L又221112n <<<L 由逆序和<乱序和得，22112222122n n b a b a b a n n ⋅+++<+++L L 又因为 121,2,,n b b b n ≥≥≥L 所以 21221111232n b b b n n ++++≤+++L L 当k k a b k ==，()1,2,k n =L 时，等号成立.即 111123n++++L ≤21222n a a a n +++L 证法二 （用柯西不等式）依题设12,,,n a a a L 是n 个互不相等的自然数，不妨设1212,,n a a a n ≥≥≥L ，，则1111nn k k kk a ==≥∑∑ 由柯西不等式有,22111nn k k k ==⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎝⎭⎝∑2111n n k k k k a k a ==⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ ∴2211111nn n k k k k ka k a k ===⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 111111nnk nk k kkk a ====⋅∑∑∑∴2111nn k k k a k k==≥∑∑ 即 32122211112323n a a a a n n++++≤++++L L例12设,,a b c 为任意正数，求出a b c b c c a a b+++++的最小值.解 不妨设a b c ≥≥，则a b a c b c +≥+≥+,111b c c a a b≥≥+++, 由排序不等式得，a b c b c a b c c a a b b c c a a ba b c c a b b c c a a b b c c a a b++≥++++++++++≥++++++++上两式相加则，23ab c b c c a a b ⎛⎫++≥ ⎪+++⎝⎭即 32a b c b c c a a b ++≥+++ 且当仅当a b c ==时，a b c b c c a a b +++++取最小值32. 例1[10],x y R +∈,1x y +=,求证: 11(1)(1)9x y++≥.证明: 由1x y +=,且,x y R +∈,得 11(1)(1)(1)(1)x y x y x y x y++++=++ ，(2)(2)y xx y =++52()y xx y=++又y x x y +≥ 故 11(1)(1)5229x y++≥+⋅=例2[1]若0,x > 0y >, 1x y +=,求证:221125()()2x y xy +++≥. 证明 由 222x y xy +≥， 得 2222()()x y x y +≥+，即 222()2x y x y ++≥，于是 22211()11()()2x y x yx y xy++++++≥21(1)2xy+=因为1x y =+≥所以14xy≥， 故 2221(1)11()()2xy x y xy++++≥252≥.此题用柯西不等式也可求解例[1]1 设0,1,2,,i x i n >=L ，求证：2222112231n n x x x x x x x x x +++≥+++L L .证明 构造均值不等式的模型 由均值不等式，得212122x x x x +≥ ， 223232x x x x +≥ ，L ，2112n n n n x x x x --+≥ ， 2112n n x x x x +≥ . 将上述n 个不等式相加得222211212231()()2()n n n x x x x x x x x x x x x +++++++≥+++L L L ， 所以 2222112231n n x x x x x x x x x +++≥+++L L .说明：该题的证明方法很多，也可以构造柯西不等式的模型. ：例[1]2 已知12,,,n a a a L 都是正数，试证：21212111()()n na a a n a a a ++++++≥L L . 证明 构造柯西不等式的模型 构造两个数组LL 利用柯西不等式，有222111([][]nn n i i i ===≤∑∑，即 21111(1)()()nnni i i i ia a ===≤∑∑∑，所以 21212111()()n na a a n a a a ++++++≥L L . 说明：该题也可以构造均值不等式的模型来求证. 例1[3]（1984年全国高中联赛题）设 12,,,n a a a L为正整数，求证：2221212231n n a a a a a a a a a +++≥+++L L证明 由柯西不等式得，()22212231231na a a a a a a a a ⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭L L()2212n a a a ⎛≥=+++L L故2221212231n n a a a a a a a a a +++≥+++L L 例5]5[设12,...n a a a 都是正数，且12...1n a a a +++=求证222221212111(1)()()...()n n n a a a a a a n+++++++≥证明 由柯西不等式有221111[1()]()nn k k k k k ka n a a a ==⋅+≤+∑∑又2211111[1()]()n n n k k k k k k ka a a a ===⋅+=+∑∑∑211221(1)(1)nnk k k ka a n ===+∑∑≥+ 222111()(1)nk k k a n a n=∴+≥+∑ 例6]5[设12,...(1)n a a a n >均为实数。
排列不等式应用案例
排列不等式应用案例
排列不等式是数学中常见的一个概念，用于比较和描述数值的
大小关系。
在实际应用中，排列不等式可以被广泛运用于各个领域。
本文将介绍一些排列不等式的应用案例。
1. 经济学
在经济学中，排列不等式可以用于衡量和比较不同国家或地区
的经济发展水平。
例如，可以使用国内生产总值（GDP）作为评价
指标，并将不同国家的GDP进行排列。
通过排列不等式，我们可
以了解各国之间的经济发展水平差异。
2. 数学竞赛
排列不等式也是数学竞赛中常见的考点之一。
比如，给定一组
正整数，要求证明它们的平均值大于等于它们的几何平均值。
通过
使用排列不等式，我们可以很容易地得到证明结果。
3. 数据分析
在大数据分析中，排列不等式可以用于排序和筛选数据。
例如，在进行市场营销活动时，我们可以根据顾客的消费金额对顾客进行
排列，从而选择出消费最高的顾客进行个性化推荐。
排列不等式在
这种场景中可以起到非常重要的作用。
4. 社会科学
在社会科学研究中，排列不等式可以用于比较和研究不同社会
群体之间的收入差距。
通过排列不等式，我们可以对不同收入层次
的人群进行排列，并分析各个收入层次之间的差异和趋势。
以上仅是排列不等式应用的一些案例，实际上排列不等式在数
学和其他学科中都有着广泛的应用。
无论是经济学、数学竞赛还是
数据分析，排列不等式都可以帮助我们更好地理解和研究问题，提
供更有效的解决方案。
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则原不等式等价于
B
A +
2
C
+
B2 C+ A
+
C2 A+B
≥
3 2
.
仿例 2 可证上式成立, 以下略.
例 5 设 a1, a, …, ak, …为两两不相同的正整
数, 求证: 对于任何正整数 n, 下列不等式成立
n
n
6 6 ≥ ak
k= 1 k2
k= 1
1 k
.
(第 20 届 IM O 试题)
证 因 a1, a2, …, ak, …为两两不相同的正整
排序不等式是证明不等式的有力工具, 应用广 泛. 若所证不等式是对称不等式, 我们可以任意排列
不等式中字母的大小顺序关系, 再利用排序不等式
证之.
本文通过一串数学竞赛题, 谈谈排序不等式的
应用. 虽然这些题目有一定的难度, 但只要巧妙地设
出两个有序数组, 直接应用排序不等式的结论, 则问
题的解决十分简捷合理, 轻而易举. 例 1 设 a, b, c 为正数, 求证
1.
(1976 年英国数学竞赛题)
n
6 21 若 a1, a2, …, an 同号, a= ai, 则 i= 1
n
6i= 1
ai ≥ n 2a- a i 2n-
1.
(1982 年西德数学竞赛题)
1997 年第 4 期 数 学 通 讯
43
应用排序不等式巧解一串竞赛题
毛晓峰
(兰州铁路一中 730000)
排序不等式: 设两组实数 a1, a2, …, an 和 b1, b2,
…, bn 满足
a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn
则 a1b1+ a2b2+ …+ anbn
(乱序和) , (乱序和) ,
2 (x a+ y b+ z c)
≥x (b+ c) + y (c+ a) + z (a+ b)
=
1 b+
c
(b+
c) +
1 c+
a
(c+
a) +
a
1 +
b
(a
+
b)
= 3.
∴x a+
y b+
z c≥
3 2
,
即a b+
c
+
b c+
a
+
c a+
≥ b
3 2
.
例 2 设 a, b, c 都是正数, 试证
a2 b+
c
+
b2 c+
a
+
c2 ≥ a+ b
1 2
(a+
b+
c).
( 1988 年第 2 届“友谊杯”国际数学邀请赛试
题)
证 该不等式是关于 a, b, c 的对称不等式, 不 妨设
0< a≤b≤c, 且令
x=
a b+
c, y =
b c+
a
,
z
=
c a+
b,
则 0< x ≤y ≤z.
由排序不等式, 有
∴2 (n- 1) (A 1a1+ A 2a2+ …+ A nan)
≥2A 1 (a2+ a3+ …+ an) + 2A 2 (a1+ a3+ …+ an)
+ 2A n (a1+ a2+ …+ an- 1).
上式两端再同加上 A 1a1+ A 2a2+ …+ A nan 得
(2n- 1) (A 1a1+ A 2a2+ …+ A nan)
(顺序乘积和)
≥a1bi1 + a2bi2 + …+ anbin ≥a1bn+ a2bn- 1+ …+ anb1
(乱序乘积和) (逆序乘积和)
其中 i1, i2, …, in 是数码 1, 2, …, n 的任意一个
排列.
当且仅当 a1= a2= …= an 或 b1= b2= …= bn 时 等号成立.
A 1a1+ A 2a2+ …+ A nan
≥A 1an+ A 2a1+ …+ A nan- 1,
以上 n- 1 个不等式相加, 得
(n- 1) (A 1a1+ A 2a2+ …+ A nan)
≥A 1 (a2+ a3+ …+ an) + A 2 (a1+ a3+ …+ an) + …
+ A n (a1+ a2+ …+ an- 1).
A 1= 2- 1a1 , A 2= 2- 1 a2 , …, A n= 2-1 an , 则 0< A 1≤A 2≤…≤A n.
由排序不等式, 有
A 1a1+ A 2a2+ …+ A nan ≥A 1a2+ A 2a3+ …+ A na1, A 1a1+ A 2a2+ …+ A nan ≥A 1a3+ A 2a4+ …+ A na2, ……
.
(第 31 届 IM O 预选题) 证 该不等式是关于 a, b, c, d 的对称不等式, 因此不妨设
0< a≤b≤c≤d , 且令
A
=
b+
a2 c+
d ,B =
c+
b2 d+
a,C=
c2 d+ a+
b,
D=
d2 a+ b+
c,
则 0< A ≤B ≤C ≤D.
根据第 4 期
≥A (b+ c+ d ) + B (c+ d + a) + C (d + a+ b)
+ D (a+ b+ c)
= a2+ b2+ c2+ d 2
≥ab+ bc+ cd + d a= 1,
∴A
a+
B
b+
C c+
D
d≥
1 3
,
即 b+
a3 c+
d
+
c+
b3 d+
a+
c3 d+ a+
b+
d3 a+ b+
A a+ B b+ C c+ D d ≥A b+ B c+ C d + D a,
A a+ B b+ C c+ D d ≥A c+ B d + C a+ D b,
A a+ B b+ C c+ D d ≥A d + B a+ C b+ D c,
以上三式相加, 得
3 (A a+ B b+ C c+ D d )
a) +
c a+
b (a+
b)
= a+ b+ c.
∴ a2 b+
c
+
b2 c+
a
+
c2 ≥ a+ b
1 2
(a+
b+
c).
例 3 设 a, b, c, d 是正数, 且满足 ab+ bc+ cd +
d a= 1, 试证
b+
a3 c+
d+
c+
b3 d+
a+
c3 d+ a+
b+
d3 a+ b+
≥ c
1 3
ak k2
≥
k=
1
bk k2
≥
k=
1
k k2
=
k= 1
1 k
.
例 6 已知 a1, a2, …, an ∈R + , 且 a1+ a2 + …+
an= 1, 求证
a 2-
1
a
1
+
a 2-
2
a
2
+
…+
an ≥ n 2- an 2n-
1.
(1984 年巴尔干数学竞赛题)
证 ∵a1+ a2+ …+ an= 1, ∴2 (a1+ a2+ …+ an) = 2. 因不等式是关于 a1, a2, …, an 的对称不等式, 不 妨设 0< a1≤a2≤…≤an, 且令
≥ c
1 3
.
例 4 设 a, b, c 为正实数, 且满足 abc= 1, 试证
1 a3 (b+
c) +
1 b3 (c+
a) +
1 c3 (a+
≥ b)
3 2
.
(第 36 届 IM O 试题)
证 作代换A =
1 a
,B
=
1 b
,
C=
1 c