极射赤平投影在构造地质学中的应用

极射赤平投影在构造地质学中的应用
一、概述
边坡作为工程施工的重要组成部分，其稳定性一直是岩土工程关注的重要内容之一。

近年来，随着我国国民经济的迅速发展，各项基础性建设工程方兴未艾，边坡就随着各项工程的施工铺展开来。

作为边坡一大分类的岩质边坡，其失稳给交通、建筑带来了极大的威胁。

而由于实际岩体中含有大量不同的构造、结构面（层面、解理、裂隙、软弱夹层、断层及破碎带等）给岩质边坡的稳定性分析带来了巨大的困难。

为了对边坡稳定性进行准确地分析，从而采取适当的施工措施，研究学者们提出了很多理论方法，比如图解法、极限平衡法、数值分析法以及不确定性的可靠度方法、模糊数学法、人工智能法和灰色预测系统等。

方法各有利弊，本讲主要针对岩质边坡利用图解法中应用最为广泛的极射赤平投影来分析岩质边坡的稳定性。

极射赤平投影（Stereographic projection）简称赤平投影，主要用来表示线、面的方位，相互间的角距关系及其运动轨迹，把物体三维空间的结合要素（线、面）反映在投影平面上进行研究处理。

它是一种简便、直观的计算方法，又是一种形象，综合的定量图解，所以，广泛应用于天文、
航海、测量、地理及地质科学中。

运用赤平投影方法，能够解决地质构造的几何形态和应力分析等方面的许多实际问题，因此，它是研究地质构造的一种有效手段，在我国工程地质领域中得到广泛应用。

同时，也应该看到这种方法和其它的分析方法一样，有着一定的应用范围和不足的，如不能反映各结构面的物质组成、延展性、开张程度、充填胶结情况、平整光滑程度等特征。

另外，这种方法不能应用于分析松散介质体和颗粒，如土质边坡的稳定性分析。

二、极射赤平投影的基本原理
任何一个过球心的无限伸展的平面（岩层面、断层面、节理面或轴面等）和线，必然与球面相交成球面大圆和点。

球面大圆与极射点的连线必然穿过赤平面，在赤平面上这些穿透点的连线即为该平面的相应大圆的赤平投影。

（一）投影元素
投影球—以任意长为半径作成的球，投影球表面称为球面;
赤平面—过投影球球心的水平面，即赤平投影面;
基圆—赤平面与投影球面相交的大圆(NESW)，或称赤平大圆，圆内标有东西和南北直径线;
极射点—球上、下两极的发射点，由上极射点(P)把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称下半球投影，反之以下极射点(F)把上半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为上半球投影。

因此，这种方法的实质就是把物体界面的形心与球体中心相重合,将其几何要素(点、线、面)等投影于赤平面上，化立体为平面的一种投影方法。

其中，物体界面与球体的交线为一圆弧，称为此物体界面的球面投影;由球体的南极或北极为视点发出与球面投影相交的极射，这些极射在赤平面
上的交点相连为一圆弧，这条圆弧即为此物体界面的赤平极射投影。

以球体的南极为视点发出射线，得到的赤平极射投影为上半球投影;以球体的北极为视点发出射线，得到的赤平极射投影为下半球投影。

目前，多用上半球投影。

（二）直线和面的投影
1、线的投影
直线(OG)产状：90°∠40°,投影到赤平面上为H点。

OD为直线的倾伏向，HD为倾伏角。

2、平面的投影
平面(PGF)产状：SN90°∠40°，投影到赤平面上为PHF。

PF代表走向，OH代表倾向，DH代表倾角。

三、吴尔福网的应用
1、基圆：赤平大圆，代表水平面，0°—360°方位角刻度。

2、两条直径：EW、SN。

3、经向大圆：由一系列走向SN的，向东或西倾斜，倾角不同（0°—90°），间隔2°的投影大圆弧（代表倾斜平面）组成。

4、纬向小圆：为一系列走向东西、直立小圆的投影小圆弧组成。

他们将SN直径、经向大圆和基圆等分，每小格为2°。

(一)吴式网的操作
首先把透明纸(或透明胶片等)蒙在吴氏网上，画出基圆及“+”字中心，并用针固定于网心上，使透明纸能旋转。

然后在透明纸上标出E、S W、N，以正北(N)为0°，顺时针数至360°。

东西直径定倾角，由圆周的0°至圆心的90°。

1、平面产状120°∠30°投影
(1)将透明纸上指北标记与网上N重合，以N为0°；顺时针数至120°得一点D为倾向，与倾向垂直过圆心的直径AB为平面的走向(图A)；
(2)转动透明纸使120°倾向的该点移至东西直径上，由圆周向圆心数30°，得C点，通过C点描绘经向大圆弧(图
B)；
(3)把透明纸的指光标记转回到原来的指北方向，此时弧凸所指方向及凸度大小即为平面120°∠30°的产
状(图C)。

图1平面产状投影
2、直线产状330°∠40°投影
(1)将透明纸上指北标记与网上N重合，以N为0°，顺时针数至330°，得A点为该直线倾向(图2-A)；
(2)把该点转动至东酉直径上(转至南北直径上也可)对直线投影，由圆周向圆心数40°，并投点A′ (图2-B)；
(3)把透明纸的指北标记转回到原来指北方向，该点即为该直线的赤平投影(图2-C)。

图2直线产状投影
3、法线的投影90°∠40°投影
法线OP和平面NSD垂直，倾向相反（相差90°），倾角互余。

图3法线产状投影
4、两相交直线所决定的平面产状
线理L1产状为120°∠36°，L2产状为180°∠40°投影操作如下：
(1)先投影两条直线得到D’、F’两点；
(2)逆时针旋转，使D’、F’两点位于同一条经向大圆弧上；
(3)在EW直径上找到大圆弧与EW直径的交点，数出平面的倾角；
(4)复原归位，连接圆心、交点到基圆，则基圆方位就是平面的倾向。

图4两相交直线决定的平面投影
5、已知两视倾斜线求产状
岩层两倾斜线为80°∠15°、110°∠32°，求岩层产状，并求180°方位（视倾向）剖面上的。

(1)先作出两条两视倾斜线的投影点A、B；
(2)逆时针旋转，使A、B两点位于同一条经向大圆弧上；
(3)复原归位，圆弧凸出最大点为真倾角（40°）；180°方位剖面上的岩层视倾角为36°。

图5两视倾斜求真倾斜
6、已知真倾角求视倾角
图6真倾角与视倾角的关系
其中，α为真倾角；β、β’为视倾角；
ω为真倾角和视倾角之间的夹角；γ、γ’为侧伏角
某岩层产状300°∠40°，求在335°方向剖面上岩层的视倾角。

视倾角为图7中的H′D ′。

真倾角与视倾角的换算，实际就是已知两条相交直线求其所构成的平面产状，平面投影的实际应用。

(1)先做出岩层的平面投影大圆弧；
(2)在基圆上，复原归位后，顺钟找到视倾角的视倾向方位335°的点D’，由O圆心到D’交平面圆弧于H’点；
(3)将D’H’点所连直线转到EW直径上数倾角（从周至心），即得视倾角度数。

图7已知真倾角，求视倾角
7、已知两相交直线求夹角及其平分线
线理L1产状为120°∠36°，L2产状为180°∠40°。

(1)先求两直线构成的平面投影产状，为两个点D’与F’；（产状正好为120°∠36°）
(2) D’与F’所在的经向大圆弧为其构成的平面。

量大圆弧D’与F’的纬向角距（54°），为其夹角；
(3)夹角的平分角距点，27°即为夹角平分线。

可求应力轴的方向、翼间角的大小、轴迹产状等。

图8已知两相交直线求夹角及其平分线
8、求平面上的直线的产状（例枢纽的倾伏或侧伏）
已知平面产状180°∠37°，该平面上一条直线侧伏向E，侧伏角44°，求直线的倾伏向和倾伏角(如图9)。

图9平面和直线
侧伏角是岩层走向线与层面直线倾伏向的夹角；平面倾向南则走向为东西。

(1)画出平面产状的投影，归位后，顺圆弧由E数44°找到C’’点，此点为平面直线的位置；
(2)自圆心过C’’点到基圆交大圆弧C’点，C’点的方位为直线的倾伏向方位；
(3)将其转到EW直径上数出C’’和C’的倾角γ度数；
C’’点为直线在平面投影位置，γ为所求倾角（25°），C’方位为直线倾向方位；β（44°）为侧伏角；
图10求平面上的直线的产状。